Cálculo numérico. Resolución numérica de EDPs.

Cálculo numérico. Resolución numérica de EDPs.
José Luis Morales
http://allman.rhon.itam.mx/∼jmorales
Departamento de Matemáticas. ITAM. 2008.
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Resolución numérica de EDPs con diferencias finitas
1
La ecuación de difusión.
2
Diferencias finitas de orden cuadrático
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Resultados
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Ecuación de difusión en dos dimensiones
∂u
= a∇2 u,
∂t
en donde
∇2 u =
∂2u ∂2u
+
∂x 2 ∂y 2
es el Laplaciano de u.
El caso especial
∂u
=0
∂t
corresponde al llamado estado estacionario. La ecuación resultante
es conocida como la ecuación de Laplace
∂2u ∂2u
+ 2 = 0.
∂x 2
∂y
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Funciones armónicas
Las soluciones analı́ticas de la ecuación diferencial anterior se
conocen como funciones armónicas.
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Discretización de la ecuación de Laplace
Consideremos la ecuación de Laplace en el cuadrado unitario
Ω = [0, 1] × [0, 1] con condiciones a la frontera u(x, y ) = g (x, y )
en ∂Ω.
Si hacemos una partición de Ω igualmente espaciada con
h = 1/(n + 1)
P = { (xi , yj ) = (ih, jh),
i , j = 1, 2, . . . , n } .
Entonces en cada punto de la partición tenemos que
u(xi − h, yj ) − 2u(xi , yi ) + u(xi + h, yj )
∂ 2 u + O(h2 )
(xi ,yi ) =
2
∂x
h2
u(xi , yj − h) − 2u(xi , yi ) + u(xi , yj + h)
∂ 2 u + O(h2 )
(xi ,yi ) =
2
∂y
h2
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Resultado de la discretización
Adoptando la notación
uij = u(xi , yj )
tenemos
4uij = ui −1,j + ui +1,j + ui ,j−1 + ui ,j+1 + O(h4 ),
i , j = 1, 2, . . . , n.
Despreciando los términos O(h4 ) obtenemos un sistema de n2
ecuaciones con n2 incógnitas
4uij − (ui −1,j + ui +1,j + ui ,j−1 + ui ,j+1 ) = 0,
i , j = 1, 2, . . . , n.
Observar que es necesario tener condiciones en la frontera para
poder resolver el sistema.
Lu = g .
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Algunos resultados (matemáticos y numéricos)
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4
L es simétrica positiva definida, pentadiagonal de n2 × n2 .
La solución del sistema Lu = g existe y es única. L es bien
condicionada.
La solución u se puede calcular por el método de Cholesky
adaptado a matrices ralas.
La eficiencia del método de Cholesky se puede mejorar
sustancialmente utilizando reordenamiento simétrico de
ecuaciones e incógnitas, i.e.
L̄ = PLP T ,
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en donde P es una matriz de permutaciones.
P se obtiene mediante algoritmos basados en teorı́a de
gráficas (grado mı́nimo).
El factor de Cholesky de L̄ tiene menos elementos que el
factor de Cholesky de L.
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Cálculo numérico. Resolución numérica de EDPs.
Llenado del factor de Cholesky sin reordenamiento
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Llenado del factor de Cholesky con reordenamiento
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