Diapositiva 1 - introduccion a las estructuras | fau

INTRODUCCIÓN A
LAS ESTRUCTURAS
ARQUITECTURA
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
MOMENTO DE INERCIA
MÓDULO RESISTENTE
RADIO DE GIRO
ESBELTEZ
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
El estudio de las entidades matemáticas
de las formas es IMPORTANTE en el
cálculo estructural porque:
permitirá determinar la distribución
de tensiones en una pieza
estructural
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
Una tensión (x) cualquiera de una pieza
estructural puede calcularse como:
Tensión (x) =
Solicitación (x)
Propiedad geométrica de la sección
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
Algunas propiedades geométricas y las
solicitaciones asociadas a ellas son:
Propiedad geométrica de la sección
Solicitación asociada
Área
Esfuerzo normal y esfuerzo de corte
Baricentro o centro de gravedad
En todas las solicitaciones
Momento estático de primer orden
Corte y flexión
Momento de inercia
Corte y flexión
Producto de inercia
Flexo - tracción
Momento de inercia polar
Torsión
Radio de Giro o Radio de inercia
Pandeo y torsión
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
MOMENTOS DE INERCIA
MÓDULO RESISTENTE
RADIO DE GIRO
ESBELTEZ
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA. Definición
El área de una sección transversal cualquiera (o
de una figura plana) es la superficie limitada por
ese contorno.
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA. Determinación
El área de una sección transversal puede obtenerse como la
suma de formas geométricas de área conocida (triángulos,
rectángulos, parte de circunferencias)
=
A1
A
A2
A = A1 + A2 + A3
A3
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA. Determinación
Si se divide en “n” formas geométricas a la sección el
área total será:
A = A1 + A2 + … + An
n
A
A =  Ai
i1
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
MOMENTOS DE INERCIA
MÓDULO RESISTENTE
RADIO DE GIRO
ESBELTEZ
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
• Dada una
sección
transversal o
figura plana
cualquiera y
un eje en una
posición
cualquiera
del plano
Figura
plana
Eje
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
Figura
plana
• La dividimos
en secciones
rectangulares,
Ai
Ai
• Analizamos
en particular a
la sección Ai
Eje
xx
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
• Determinamos la
distancia entre su
centro y el eje,
distancia yi (medida
perpendicularmente
al eje)
Ai
Ai
yi
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
• El momento
estático de
primer orden del
área Ai con
respecto al eje x
será:
Ai
yi
Sx = Ai.yi
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
• El momento
estático de
primer orden de
TODA la
sección con
respecto al eje x
será:
Ai
yi
n
Sx =  Ai.yi
i 1
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
• Empleando el
cálculo
diferencial e
integral
dA
Sx =  y.dA
y
A
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
• Ejemplo: Determinación del momento estático
de primer orden con respecto al eje x de la
siguiente sección:
4 cm
8 cm
4 cm
4 cm
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
1) Dividimos a la sección en secciones simples y determinamos el
área y la distancia de cada sección al eje x.
4 cm
A1= 4 cm . 8 cm = 32 cm2
A1
A2= 4 cm . 4 cm = 16 cm2
y1 = 4 cm
8 cm
4 cm
2) Determinamos el momento
estático planteando:
4 cm
A2.
y2
y1
y2 = 2 cm
n
Sx =  Ai.yi
x
Sx = 32 cm2. 4 cm + 16 cm2. 2 cm
i 1
Sx = A1. y1 + A2 . y2
Sx = 160 cm3
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
MOMENTOS DE INERCIA
MÓDULO RESISTENTE
RADIO DE GIRO
ESBELTEZ
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Definición
• Se define como centro de gravedad o baricentro
de una sección transversal al punto por el cual
pasan todos los infinitos ejes respecto de los
cuales el momento estático es nulo.
1
2
3
4
G
i
5
S1 = 0
S2 = 0
S3 = 0
S4 = 0
S5 = 0
Si = 0
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas
DETERMINACIÓN DE LAS COORDENADAS DEL
BARICENTRO
Habíamos visto que el momento
estático de una sección era:
Sx = A . yG
A
G
yG
x
Sx
yG=
A
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas
n
n
Sx =  Ai.yi
Como:
A =  Ai
y
i 1
reemplazando:
i1
n
yG= S x =
A
 Ai.yi
i 1
n
 Ai
i1
n
 Ai.yi
yG=
i 1
n
 Ai
i1
Distancia entre el eje x
y el baricentro de la
sección
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas
• Análogamente, se podría plantear momento
estático con respecto al eje “y”, y se obtendría:
y
n
 Ai.xi
A
xG
xG=
G
i 1
n
 Ai
i1
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas
RESUMIENDO LAS COORDENADAS DEL BARICENTRO
SERÁN:
n
 Ai.xi
y
xG=
A
i 1
n
 Ai
i1
xG
G
n
 Ai.yi
yG
yG=
x
i 1
n
 Ai
i1
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas
Conclusión: Dada una figura plana cuyo baricentro se desea determinar, debemos:
1) Subdividir la sección en formas geométricas simples, cuyos baricentros sean
conocidos;
2) Ubicar ejes convencionales “x” e “y”,
3) Determinar los momentos estáticos de primer orden con respecto a los ejes
“x” e “y”.
4) Determinamos las coordenadas del baricentro xG e yG
y
y
A1
A
xG
G1
G
yG
x
A2
A3
G2
G3
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO
Ejemplo:
El valor de la distancia baricéntrica yG para la figura será:
n
 Ai.yi
yG =
i 1
n
 Ai
=
A1.yG1 + A2.yG2 + A3.yG3
A1 + A2 + A3
i1
yG
y
y
A1
A
G1
xG
G
yG
xG
x
yG1
A2
G2
yG2
A3
G3
yG3
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO
Análogamente, el valor de la distancia baricéntrica xG será:
n
 Ai.xi
xG=
i 1
n
 Ai
=
A1.xG1 + A2.xG2 + A3.xG3
A1 + A2 + A3
i1
yG
y
y
A
A1
xG1 G1
xG
G
yG
xG
x
xG2
A2
xG3
G2
A3
G3
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO
Observación 1: un eje de simetría en una sección
transversal es un eje respecto del cual el momento estático
es nulo. Por lo tanto el baricentro o centro de gravedad
siempre está sobre el eje de simetría de una sección.
1 eje de simetría
2 ejes de simetría
3 ejes de simetría
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO
Observación 2: el momento estático de una sección con
orificios puede considerarse como la suma del momento
estático de la sección sin descontar los orificios menos
el momento estático de las formas geométricas que
representen a los orificios.
yG
A
xG
G
A2
A1
G1
=
y
-
yG1
x
G2
yG2
x
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1
BARICENTRO:
TRABAJO
B AR IC E NT R O S PRÁCTICO Nº 1
T R AB AJ O P R AC T IC O Nº1
E jemplo: D eterminación del baricentro de la s iguiente figura .
20 cm
y
20 cm
40 cm
60 cm
A1
20 cm
A2
20 cm
x
40 cm
40 cm
1) S ubdividimos una s ección cualquiera en varias s ecciones de área y centro de gravedad conocidos .
2) S e calculan las áreas y los momentos es táticos de las áreas
2a) C álculo de las áreas A 1 y A2
A1 =
20 cm .
40 cm =
800,00 cm2
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1
2a) C álculo de las áreas A 1 y A2
A1 =
20 cm .
40 cm
=
800,00 cm2
A2 =
20 cm .
40 cm
=
800,00 cm2
2b) D eterminación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A 1 y A2 y los ejes arbitrarios
D is tancias con res pecto al eje x:
y1 = 40 cm
y2 = 10 cm
D is tancias con res pecto al eje y:
x1 = 10 cm
x2 = 20 cm
2c) Determinación de los momentos es táticos con res pecto a los ejes arbitrarios
y
20 cm
Momento es tático con res pecto al eje x
S x = A1 . y1 + A2 . y2
Sx =
800 cm2 . 40 cm +
800 cm2 . 10 cm
Momento es tático con res pecto al eje y
S y = A1 . x1 + A2 . x2
Sy =
800 cm2 . 10 cm +
800 cm2 . 20 cm
= 40000 cm3
40 cm
A1
= 24000 cm3
A2
20 cm
3) Determinación de las coordenadas del baricentro
x
40 cm
C oordenada en y
C omo:
Mx = SAi . yG
C oordenada en x
C omo:
My = SAi . xG
yG = Mx
SAi
yG =
40000 cm3
800 cm2 + 800 cm2
= 25,00 cm
xG = My
SAi
xG =
24000 cm3
800 cm2 + 800 cm2
= 15,00 cm
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1
E l baricentro s e ubica a una dis tancia con res pecto a los ejes adoptados de:
xG = 15 cm ; yG = 25 cm
y
60 cm
yG
20 cm
15 cm
xG
G
25 cm
20 cm
x
40 cm
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2
BARICENTRO:
B AR IC E NT R O S PRÁCTICO Nº 2
TRABAJO
T R AB AJ O P R AC T IC O Nº2
E jemplo: D eterminación del baricentro de la s iguiente figura .
0,44 cm
y
0,44 cm
A1
8 cm
8 cm
0,44 cm
6 cm
A2
0,44 cm
5,56 cm
1) S ubdividimos una s ección cualquiera en varias s ecciones de área y centro de gravedad conocidos .
2) S e calculan las áreas y los momentos es táticos de las áreas
2a) C álculo de las áreas A 1 y A2
A1 =
20 cm .
40 cm =
800,00 cm2
A2 =
20 cm .
40 cm =
800,00 cm2
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2
2a) C álculo de las áreas A 1 y A2
A1 = 0,44 cm . 8,00 cm = 3,52 cm2
A2 = 0,44 cm . 5,56 cm = 2,45 cm2
2b) D eterminación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A 1 y A2 y los ejes arbitrarios
D is tancias con res pecto al eje x:
y1 = 4,00 cm
y2 = 0,22 cm
D is tancias con res pecto al eje y:
x1 = 0,22 cm
x2 = 3,22 cm
2c) Determinación de los momentos es táticos con res pecto a los ejes arbitrarios
Momento es tático con res pecto al eje x
Mx = A1 . y1 + A2 . y2
Mx = 3,52 cm2 . 4,00 cm +
2,45 cm2 . 0,22 cm
Momento es tático con res pecto al eje y
My = A1 . x1 + A2 . x2
My = 3,52 cm2 . 0,22 cm +
2,45 cm2 . 3,22 cm
y
0,44 cm
A1
= 14,62 cm3
8 cm
= 8,66 cm3
3) Determinación de las coordenadas del baricentro
A2
5,56 cm
C oordenada en y
C omo:
Mx = SAi . yG
0,44 cm
x
yG = Mx
SAi
yG =
14,62 cm2
3,52 cm2 + 2,45 cm2
= 2,45 cm
xG = My
SAi
xG =
8,66 cm3
3,52 cm3 + 2,45 cm2
= 1,45 cm
C oordenada en x
C omo:
My = SAi . xG
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2
E l baricentro s e ubica a una dis tancia con res pecto a los ejes adoptados de:
xG = 1,45 cm ; yG = 2,45 cm
y
0,44 cm
yG
1,45 cm
8 cm
xG
G
2,45 cm
0,44 cm
5,56 cm
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 3
BARICENTRO:
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3
E jemplo: D eterminación del baricentro de la s iguiente figura.
y
8 cm
8 cm
A1
3 cm
5 cm
5 cm
3 cm
y1
A2
y2
4 cm
4,00 cm
x
IMPORTANTE: Como la sección tiene un eje de simetría solo se determinará yG.
C omo la s ección tiene un eje de s imetría s olo s e determinará yG
1) S ubdividimos una s ección cualquiera en varias s ecciones de área y centro de gravedad conocidos .
2) S e calculan las áreas y los momentos es táticos de las áreas
2) S e calculan las áreas y los momentos es táticos de las áreas
2a) C álculo de las áreas A1 y A2
A1 = 8,00 cm . 3,00 cm = 24,00 cm2
A2 =
5,00 cm .
4,00 cm
=
2b) Determinación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A1 y A2 y el eje x arbitrario.
Dis tancias con res pecto al eje x:
y1 = 6,50 cm
y2 = 2,50 cm
20,00 cm2
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 3
2c) Determinación del momento es tático con res pecto al eje x arbitrario
Mx = A1 . y1 + A2 . y2
Mx = 24,00 cm2 . 6,50 cm +
20,00 cm2 . 2,50 cm
= 206,00 cm3
3) Determinación de las coordenadas del baricentro
C omo:
Mx = SAi . yG
yG = Mx/SAi
yG =
206,00 cm2
24,00 cm2 + 20,00 cm2
El baricentro se ubica a una distancia con respecto a los ejes adoptados de:
xG = 0,00 cm ; yG = 4,68 cm
la s iguiente figura.
y
yG
8 cm
A1

y
3 cm
xG
G
5 cm
A2
y1
yG = 4,68 cm
y2
4,00 cm
x
x
= 4,68 cm
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
MOMENTO DE INERCIA
MÓDULO RESISTENTE
RADIO DE GIRO
ESBELTEZ
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Definición
El momento de inercia de
una figura plana cualquiera
con respecto a un eje se
define como el producto
del área de la figura por el
cuadrado de la distancia
entre el centro de gravedad
y el eje.
Ixx = A.
yG2
Figura
plana
G
yG
Eje
x
Ixx: momento de inercia con respecto al eje x
A : área de la figura plana
yG: distancia desde el baricentro al eje arbitrario
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Definición
Si imaginamos a la
figura dividida en
rectángulos el
momento de inercia
con respecto a un
eje arbitrario x se
podrá calcular
como:
Ai
yi
n
Ixx =
 Ai.yi 2
i 1
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Definición
• Empleando el
cálculo
diferencial e
integral
dA
2
y
Ixx =  .dA
y
A
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
Determinación de los momentos de inercia del rectángulo de la figura con respecto a
los ejes baricéntricos x e y, empleando el cálculo integral.
Consideramos un elemento de área diferencial en forma de un franja delgada de
ancho b y altura dy. El área del elemento será:
dA = b. dy
h/2
El momento de inercia con respecto al eje x será:
Ixx   y .dA 
-h/2
2
h/2
2
 y .b.dy
-h/2
y
h/2
dA
dy
h/2
b
-h/2
y
 b.
3
-h/2
b   h   h 
 .    
3   2   2 
3
3
y
G
h/2
b/2
Ixx  b.  y .dy
2
3 h/2
b/2
x
b  h3  h3  
Ixx  .
 

3  8  8  
b  h3 h3 
 .  
38 8
b.h3
Ixx 
12
b h3
 .
3 4



ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
Si se hiciera un planteo similar, pero analizando una franja
delgada vertical, el momento de inercia con respecto al eje y
resultaría:
h.b 3
Iyy 
12
Resumiendo: los momentos de inercia con respecto a los
ejes baricéntricos “x” e “y” resultan:
y
G
x
h
b.h3
Ixx 
12
h.b 3
Iyy 
12
b
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
De la misma manera se podría plantear para otras formas, y para otras posición de
los ejes. Los resultados obtenidos efectuando el mismo planteo se detallan, a
continuación:
h/2
G
G
x
h
x
r
h/2
r
x
x
b
b
Ixx= b.h3/12
2.h/3
G
Ixx= p.r4/4
Ixx= b.h3/3
h
x
G
h
r
Ixx= 5. p.r4/4
x
r
x
x
h/3
b
b
Ixx= b.h3/36
Ixx= b.h3/12
Ixx= p.r4/8
Ixx= 5.p.r4/8
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
Observaciones
1) En general, el momento de
inercia se incrementa según el
eje se aleja del baricentro. Por
ejemplo:
h/2
G
x
h
h/2
x
b
b
Ixx= b.h3/12
2) Sin importar cuales sean los
ejes seleccionados, los
momentos de inercia son
cantidades positivas, ya que las
distancias están elevadas al
cuadrado.
n
Ixx =  Ai.yi2
i1
n
2
Iyy =  Ai.xi
i1
<
Ixx= b.h3/3
Ixx =  y
2
.dA
A
2
Iyy =  x .dA
A
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
Observaciones
3) El momento de inercia
sección con orificios puede
considerarse como la suma
del momento de inercia de
la sección sin descontar los
orificios menos el momento
de inercia de las formas
geométricas que
representen a los orificios.
Por ejemplo:
y
G
h1
h
b1
b
b.h3 b1.h13
Ixx 

12
12
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
El momento de inercia de
una sección con respecto a
un eje cualquiera es igual a
la suma del momento de
inercia propio (respecto a un
eje baricéntrico paralelo al
primero) más el producto del
área de la sección por el
cuadrado de la distancia
entre ambos ejes.
Figura
plana
G
x’
d
Eje
x
Ixx = Ix’x’ + A.d2
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto al eje x.
Consideramos un elemento de área diferencial en forma de un franja delgada de
ancho b y altura dy.
y = yG + d
La distancia entre el baricentro del área diferencial y el eje x resulta:
y
y`
El momento de inercia con respecto al eje x será:
dA
h/2
dy
h/2
b
x’
Ixx   y .dA 
2
-h/2
yG
h/2
2
 ( y G  d) .dA 
-h/2
Operando:
G
h/2
d
h/2
Ixx   (y G2  2.yG.d  d2 ).dA 
-h/2
b/2
b/2
x
h/2
2
h/2
h/2
-h/2
-h/2
Ixx   y G .dA   2.yG.d.dA   d2.dA
-h/2
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
Analizamos cada uno de los términos de la integral:
h/2
2
h/2
h/2
-h/2
-h/2
Ixx   y G .dA   2.yG.d.dA   d2.dA
-h/2
h/2
 d .dA  d
2
-h/2
2
h/2
2
 dA  d . A
-h/2
h/2
h/2
-h/2
-h/2
 2.yG.d. dA  2d.  y G.dA  2d. Mestático baricéntrico  2d.0  0
h/2
2
 y G .dA  Ixx'  Momento de inercia con respecto al eje x’x’ baricéntrico.
-h/2
y
y`
dA
Reemplazando:
Ixx  Ixx' 0  A.d
2
dy
h/2
b
x’
yG
G
h/2
Finalmente:
Ixx  Ixx' A.d
2
d
b/2
b/2
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto
al eje x.
Incógnita: Ixx
h/2
G
x’
Ix’x’= b.h3/12
Datos:
h/2
x
b
A= b.h
d= h/2
Área del rectángulo
Distancia entre ambos ejes
Ixx = Ix’x’ + A.d2
Aplico el Teorema de Steiner
Reemplazo los datos
Operando
Finalmente
Momento de inercia con
respecto al eje baricéntrico x
Ixx = b.h3/12 + b.h.(h/2)2
Ixx = b.h3/12 + b.h.(h2/4) = b.h3/12 + b.h3/4
Ixx = b.h3/3
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Determinación
Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto
al eje y.
y’
y
Incógnita: Iyy
h/2
G
Iy’y’= b.h3/12
Datos:
h/2
A= b.h
d= b/2
Momento de inercia con
respecto al eje baricéntrico x
Área del rectángulo
Distancia entre ambos ejes
b
Ixx = Ix’x’ + A.d2
Aplico el Teorema de Steiner
Reemplazo los datos
Operando
Finalmente
Ixx = h.b3/12 + h.b.(b/2)2
Ixx = h.b3/12 + h.b.(b2/4) = h.b3/12 + h.b3/4
Ixx = h.b3/3
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
MOMENTO DE INERCIA
MÓDULO RESISTENTE
RADIO DE GIRO
ESBELTEZ
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MÓDULO RESISTENTE. Definición
y
El módulo resistente
de una sección
cualquiera se define
como el cociente
entre el momento de
inercia baricéntrico
de la sección y la
distancia entre el
baricentro y la fibra
más alejada de la
misma:
G
dx
x
dy
Ixx
Wx =
dy
Iyy
Wy =
dx
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MÓDULO RESISTENTE. Determinación
Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección rectangular
Según la definición vista de el
Ixx
módulo resistente es:
Wx =
dy
El momento de inercia baricéntrico
de una sección rectangular con
respecto al eje x es:
b.h 3
Ixx =
12
La mayor distancia entre el
baricentro y la fibra más alejada de
la sección es:
dy = h/2
h/2
G
dy = h/2
b
Reemplazando:
Ixx
Wx=
=
dy
b.h 3
12
h/2
=
2.b.h3
12.h
2
b.h
Wx =
6
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MÓDULO RESISTENTE. Determinación
Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección rectangular
Procedemos análogamente
para determinar Wy:
Iyy
y
Wy =
dx
El momento de inercia baricéntrico
de una sección rectangular con
respecto al eje x es:
h.b 3
Iyy =
12
La mayor distancia entre el
baricentro y la fibra más alejada de
la sección es:
dx = b/2
G
h
b/2
b/2
Reemplazando:
Iyy
Wy=
=
dx
h.b 3
12
b/2
=
2.h.b3
12.b
2
h.b
Wx =
6
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MÓDULO RESISTENTE. Determinación
Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección circular
Según la definición vista de el
Ixx
módulo resistente es:
Wx =
d
El momento de inercia baricéntrico
de una sección circular con respecto
al eje x es:
Ixx= p.r4/4
y
G
r
x
d
La mayor distancia entre el
baricentro y la fibra más alejada de
la sección es:
dx = r
Reemplazando:
Ixx
Wx =
=
dy
p.r4/4
r
=
p.r4
4.r
Wx = Wy =
p.r3
4
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
AREA
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN
BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
MOMENTO DE INERCIA
MÓDULO RESISTENTE
RADIO DE GIRO
ESBELTEZ
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
RADIO DE GIRO. Definición
y
El radio de giro de
una sección
cualquiera se define
como la raíz
cuadrada del
cociente entre el
momento de inercia
de la sección y el
área de la misma:
ix =
G
x
A
Ixx
A
iy =
Iyy
A
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6
TRABAJO PRÁCTICO Nº 6
eldel
momento
de
inercia,
eldemódulo
resistente
giro de la siguiente sección:
jemplo: DDeterminar
eterminación
baricentro
de
la s iguiente
figura.
E jemplo: D eterminación
del
baricentro
la
s iguiente
figura. y el radio de
y
y
8 cm
3 cm
5 cm
8 cm
8 cm
A1
3 cm
5 cm
5 cm
4 cm
A1
3 cm
y1
y2
4,00 cm
4 cm
3 cm
A2 y1
5 cm
A2
y2
8 cm
4,00 cm
x
1) Subdividimos una sección cualquiera en varias secciones de área, momento de inercia
baricéntricos y centro de gravedad conocidos.
x
2) Cálculo de las áreas
A1 = 8,00 cm . 3,00 cm = 24,00 cm2
A2 = 5,00 cm .4,00 cm = 20,00 cm2
SAi = A1 + A2 = 44,00 cm2
3) Determinación de las coordenadas del baricentro (Como la sección tiene un eje de simetría
solo se determinará yG)
yG= Mx/SAi
Mx = A1 . y1 +
A2 . y2 = 24,00 cm2 . 6,50 cm + 20,00 cm2 . 2,50 cm = 206,00 cm3
yG= 206,00 cm3 / 44,00 cm2
yG= 4,68 cm
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6
El baricentro se ubica a una distancia con respecto a los ejes adoptados de:
y = y'
xG= 0,0 cm, yG= 4,68 cm
y
8 cm
3 cm
A1
3,32 cm
dx1
G
x'
dx2
A2
5 cm
4,68 cm
X’
4 cm
4) Determinación de los momentos de inercia con respecto al eje x
Aplicando el Teorema de Steiner:
Ix'x'1 = 8 cm. (3 cm)3 = 18 cm4
12
Ix'x'2 = 4 cm. (5 cm)3 = 41,66 cm4
12
Ixx = Ix'x'1 + A1. dx12 + Ix'x'2 + A2. dx22
A1 = 24,00 cm2
dx1 = 3,32 cm – 1,5 cm = 1,82 cm
A2 = 20,00 cm2
dx2 = 4,68 cm – 2,5 cm = 2,18 cm
Ixx = 18 cm4 + 24,00 cm2. (1,82 cm)2 + 41,66 cm4 + 20,00 cm2. (2,18 cm)2
Ixx = 234,21 cm4
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6
5) Determinación de los momentos de inercia con respecto al eje y
Aplicando el Teorema de Steiner:
y = y'
8 cm
Iyy = Iy‘y'1 + A1. dy12 + Iy‘y'2 + A2. dy22
3 cm
A1
Iy‘y'1 = 3 cm. (8 cm)3 = 128 cm4
12
A1 = 24,00 cm2
dy1 = 0,00 cm
Iy’y'2 = 5 cm. (4 cm)3 = 26,67 cm4
12
dx1
X’
dx2
A2
5 cm
4 cm
y = y'
A2 = 20,00
cm2
dy2 = 0,00cm
Iyy = 128 cm4 + 26,67 cm4
3,32 cm
G
Iyy = 154,67 cm4
x'
4,68 cm
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6
6) Determinación de los módulos resistentes
y = y'
Wx = Ixx = 234,21 cm4 = 50,04 cm3
4,68 cm
dy
Wy= Iyy = 154,67
dx
cm4
= 38,67
3,32 cm
G
cm3
x'
4,00 cm
4,68 cm
7) Determinación de los radios de giro
y = y'
ix =
iy =
Ixx
A
Iyy
A
4
= 234,21 cm
44 cm4
8 cm
= 2,31 cm
3 cm
A1
4
= 1,87 cm
= 154,67 cm
4
44 cm
dx1
dx2
5 cm
A2
4 cm
X’
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7
TRABAJO PRÁCTICO Nº 7
Calcular los momentos de inercia y módulos resistentes de las secciones de columnas que se
indican a continuación, que corresponden a una sección simple y compuesta:
y
y
Sección B
Sección A
22 cm
G
x
16 cm
22 cm
G
x
8 cm 10 cm 8 cm
A) Análisis de la sección A
Ixx = 16 cm. (22 cm)3 = 14.197,33 cm4
12
Wx = Ixx = 14.197 cm4 = 1290,64 cm3
dy
11 cm
Iyy = 22 cm. (16 cm)3 = 7509,33 cm4
12
Wy = Iyy = 7509,3 cm4 = 938,66 cm3
dx
8 cm
Observaciones:
Como Ixx > Iyy entonces Wx > Wy, por ende la resistencia a la flexión simple será mayor
respecto al eje x.
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7
B) Análisis de la sección B
Se emplea la misma sección que la anterior pero la cortamos longitudinalmente y la
separamos com presillas metálicas u outro elemento de unión, teniendo una sección
compuesta.
Sección B
22 cm
Ixx = 26 cm. (22 cm)3 - 10 cm. (22 cm)3 = 14197,33 cm4
12
12
y
G
x
Iyy = 22 cm. (26 cm)3 - 22 cm. (10 cm)3 = 30389,33 cm4
12
12
Wx = Ixx = 14.197,33 cm4 = 1290,67 cm3
11 cm
dy
8 cm 10 cm 8 cm
Wy = Iyy = 30389,33 cm4 = 2337,64 cm3
13 cm
dx
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7
C) Comparación de Resultados
y
y
Sección B
Sección A
22 cm
G
16 cm
x
G
22 cm
8 cm 10 cm 8 cm
I xx = 14197,33 cm4
I xx = 14197,33 cm4
I yy = 7509,33 cm4
I yy = 30389,33 cm4
Wx = 1290,67 cm3
Wx = 1290,67 cm3
Wy = 938,66 cm3
Wy = 2337,64 cm3
x