UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

Aritmética
1.
Dadas las proposiciones p: Edgar es profesor, q: Matías es ingeniero, r: David
es médico. Hallar la expresión simbólica del enunciado: “Si Matías no es
ingeniero y no es cierto que Edgar sea profesor, porque David es médico”.
aq š p) o (p v r)
A) (a
D) (q v p) o r
B) (aq š ap) o (p v r)
E) (ap š aq) o ar
C) r o (aq š ap)
Solución:
p: Edgar es profesor, q: Matías es ingeniero, r: David es médico
“Si Matías no es ingeniero y no es cierto que Edgar sea profesor, porque David
es médico”.
CLAVE: C
r o (aq š ap)
2.
Determine cual o cuales de las siguientes proposiciones son contingencias:
i) (~ p o q) l (p › q)
ii) (p › q) ' ~ p
iii) (p ' q) o (p š q)
A) i y ii
B) i y iii
C) Sólo i
D) Sólo ii
E) ii y iii
Solución:
p q
V
V
F
F
V
F
V
F
(i)
(~ p o q ) l (p › q)
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
(ii)
(p›q)'~p
V
V
V
F
Luego: (II), (III) son contingencias.
V
V
V
F
V F
V F
F V
V V
(iii)
(p ' q) o ( p š q)
F V
V F
V F
F V
V
F
F
F
CLAVE: E
3.
Si la proposición (a
ar š s) l [ (p ' as) l (p › aq) ] es falsa, determine el valor
de verdad de las siguientes proposiciones, en el orden indicado.
I. (as › q) ' p
II. a[(aq l r) o t]
III. [p › (q š s)] l [(r o q) › a(q š t)]
A) VVV
B) VFV
C) FFF
D) FFV
E) FVF
Solución:
(ar š s) l [ (p ' as) l (p › aq) ] { F
F
p' F
F
p
V V
F
V
F
V
V
F
p { F; q { F; r { F; s { V
I. (as › q) ' p { (aV › F) ' F{ F ' F { F
II. a[(aq l r) o t] { a[(aFl F) o t] { a[F o t] { a[V] { F
III. [p › (q š s)] l [(r o q) › a(q š t)] { [F › (F š V)] l [(F o F) › a(F š t)] {
FlV{F
CLAVE: C
4.
Dadas las proposiciones M y N tales que
M{pš(p›(pš (p›… …(p› q)…
…))))
abcb5 paréntesis
N{ap›(pš(ap›(pš… …(ap› q)…
…))))
2014 paréntesis
Simplifique la proposición [ M o ( N š M) ]
A) a q
B) p š a p
C) a p › q
D) p › a p
E) p
Solución:
M{pš(p›(pš (p›…
…(p› q)…
…))))
abcb5 paréntesis
N{ap›(pš(ap›(pš… …(ap› q)…
{ p š p { p (absorción)
…)))){
2014 paréntesis
Para una cantidad par de paréntesis: p š q
Luego N { a p › ( p š q ) { a p › q (absorción)
Luego [ M o ( N š M) ] { p o [ (a p › q) š p] { a p › ( p š q ) { a p › q
CLAVE: C
5.
Se define p
p
V
V
F
F
q según la tabla
q
V
F
V
F
p
q
F
V
F
F
Halle la conclusión de la proposición {[( ap › q)
A) VFFV
B) FFVV
C) FFFF
q]
q}
D) FVVF
ap
E) FVVV
Solución:
p
V
V
F
F
6.
q
V
F
V
F
{[( ap › q)
F FV
F FF
V FV
V VF
F
F
F
V
q]
V
F
V
F
F
F
F
V
q}
ap
V F F
F F F
V F V
F F V
CLAVE: C
Simplificar la proposición { (p › q ) š [a(r o q) › (aq o ar ) ] } › [ (r › aq) o q ].
A) p š q
B) ap š q
C) p š aq
D) p › q
E) ap š aq
Solución:
{ (p › q ) š [a(r o q) › (aq o ar ) ] } › [ (r › aq) o q ] ≡
{ (p › q ) š [a(ar › q) › (q › ar ) ] } › [a (r › aq) › q ] ≡
{ (p › q ) š [(r š aq) › (q › ar ) ] } › [(ar š q) › q ] ≡
{ (p › q ) š [((r š aq) › q) › ar ) ] } › [(ar š q) › q ] ≡
{ (p › q ) š [ (r › q) › ar ] } › q ≡
{ (p › q ) š [ (r › ar) › q ] } › q ≡
{ (p › q ) š [ V › q ] } › q ≡
{ (p › q ) š V } › q ≡
{p›q}›q≡ p›q
7.
CLAVE: D
Si ( q o ‫ ׽‬t) es falsa y (p ∆ t) es verdadera, determine el valor de verdad de
las siguientes proposiciones, en el orden indicado.
i) ‫ ׽[ ׽‬p š (‫ ׽‬q › ‫ ׽‬p)]
ii) (p › t) › s
iii) [p › (‫ ׽‬q š t)] ˩ [(p o q) š ‫( ׽‬q š t)]
A) FFV
B) FVV
C) FVF
D) VFV
Solución:
Como ( q o ‫׽‬t) ≡ F; (p ∆ t) ≡ V entonces q ≡ F, t ≡ V, p ≡ F
i) ‫ ׽[ ׽‬p ˄ (‫ ׽‬q ˅ ‫ ׽‬p) ] ≡ F
V
V
V
V
E) VVV
ii) (p ˅ t) ˅ s ≡ V
V
V
iii) [ p ˅ ( ‫ ׽‬q ˄ t ) ] ˩ [ ( p o q ) ˄ ‫ ( ׽‬q ˄ t ) ] ≡ V
V
V
V
V
V
‫ ׵‬FVV
8.
CLAVE: B
­ 1 si "p"es T
®
¯ 2 si "p"es F
Calcule el valor de F(c) + F(b) + F(a), donde
c { ~ q o (~ p › ~ q)
b { > (r š ~ p) š (p š q)@o r
a { >q l (pšq)@ l (qš~ p)
Se tiene que: F(p)
A) 5
B) 2
C) 3
D) 6
E) 4
Solución:
c { ~ q o (~ p › ~ q) { q › (~ p › ~ q) { ~ p › (q › ~ q) { ~ p › V { V
b { >(r š ~p) š (p š q)@o r { >(p š ~ p) š (r š q)@o r { >F š (r š q)@o r { F o r { V
a { >q l (pšq)@ l (qš~ p) { ~ (qš~ p) l (qš~ p) { F
Por lo tanto F(c) + F(b) + F(a) = 1 + 1 + 2 = 4
9.
CLAVE: E
Si [ (~ p š q) o (p › r) ] { [ (s š t) l (~ s š ~ t)], la proposición
[ (p š r) o(s › t) ] š (q š t), es equivalente a
A) s
B) t
C) ~ t
D) ~ s
E) ~s › t
Solución:
[ (~ p š q) o (p › r) ] { [ (s š t) l (~ s š ~ t)] { [ (s š t) l ~ (s š t)] { F
[ (~ p š q) o (p › r) ] { F
F
V
V
F F
V
F
p { F, q { V, r { F
Luego [ (p š r) o(s › t) ] š (q š t) { [ (F š F) o(s › t) ] š (V š t) {
[ F o (s › t) ] š (V š t) { V š t { t
CLAVE: B
10. Se define p … q { a(p › q) l p, indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones, en el orden indicado.
I. [(p … aq) … q] l q
A) VFF
II. (p … aq) ' a(ap o q)
B) FVF
C) VFV
III. (ap … aq) l (p š aq)
D) FFV
E) VVV
Solución:
p … q { a(p › q) l p ≡ [(p › q) š ap] › [a(p › q) š p]
≡ [(p › q) š ap] › [(ap š aq) š p]
≡ [(p › q) š ap] › F
≡ [(p › q) š ap]
≡ ap š q
I. [(p … aq) … q] l q ≡ [(ap š aq) … q] l q ≡ [a (ap š aq) š q] l q ≡
[(p › q) š q] l q ≡ q l q ≡ V
II. (p … aq) ' a(ap o q) ≡ (ap š aq) ' a(p › q) ≡ a(p › q) ' a(p › q) ≡ F
III. (ap … aq) l (p š aq) ≡ (p š aq) l (p š aq) ≡ V
CLAVE: C
11. Clasifique las siguientes proposiciones como tautología (T), contradicción (F)
o contingencia ( C ), en el orden indicado.
I. ( p o q ) o aq
II. (a q › p ) ' [ p ' ( p › q) ]
III. ( q ' a p ) l ( p ' q )
A) TFC
B) FTC
C) TCF
D) CTF
E) CCT
Solución:
I. (p o q) o aq ≡ a(ap › q) › aq ≡ (p š aq) › aq ≡ aq … ( C )
12.
II. p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(aq
F
V
F
V
III. p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(q
V
F
V
F
›
V
V
F
V
p ) ' [ p ' (p › q)]
V V V F
V
V V V F
V
F V
F V
V
F V
F F
F …(T)
' ap )
V F
F F
F V
V V
l (p
F
F
F
F
' q)
F
V
V
F …(F)
CLAVE: D
Si p # q ≡ a( q o p) y p ’ q ≡ (q o p), simplificar la proposición
{q’ [(p › (r # s)) š p]} o [( ap # aq) ’ a q]
A) p › q
B) p š q
C) p
D) q
E) s
Solución:
p # q ≡ a( q o p) ≡ a( aq › p) ≡ q š ap ≡ ap š q
p ’ q ≡ (q o p) ≡ aq › p ≡ p › aq
{q’ [(p › (r # s)) š p]} o [( ap # aq) ’ a q] ≡
{q’ [(p › (ar š s)) š p]} o [( p š aq) ’ a q] ≡
{q’ p} o [( p š aq) › q] ≡
{q › ap} o [q › p] ≡ a{q › ap} › [q › p] ≡ {aq š p} › [q › p] ≡ p › q
CLAVE: A
1.
“Si Adán comió la manzana entonces Eva lo tentó”, equivale a
A) Si Adán no comió la manzana, entonces Eva lo tentó
B) Adán no comió la manzana pero Eva lo tentó
C) o Eva lo tentó o Adán comió la manzana
D) Si Eva no lo tentó, Adán no comió la manzana
E) Ya que Eva lo tentó, Adán no comió la manzana
Solución:
p : Adán comió la manzana
q : Eva lo tentó
“Si Adán comió la manzana entonces Eva lo tentó” p o q
apoq
apšq
p'q
aqoap≡poq
qoap
A)
B)
C)
D)
E)
2.
CLAVE: D
Determine cuantas de las siguientes proposiciones son contradicciones.
I)
II)
III)
IV)
~ p ' ( q › ~p )
p›(qop)
p š ( q › ~p )
( p o q ) š ( p š ~q)
A) 2
B) 3
C) 0
D) 1
E) 4
Solución:
p q
V
V
F
F
V
F
V
F
(I)
~ p ' ( q › ~p )
V
F
F
F
(II)
p›(qop)
V
V
F
V
Luego sólo (IV) es contradicción
(III)
p š ( q › ~p )
V
F
F
F
(IV)
( p o q ) š ( p š ~q)
F
F
F
F
CLAVE: D
3.
Si el valor de verdad de la proposición
{ (a p ›a q ) o { a ( p š q ) š [ a p o ( p š q ) ] } } Δ q
es falsa, halle el valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones
en el orden indicado:
I. q Δ p
II. (p o q) š (q o p)
III. ap › q
A) FFV
B) FVV
C) VFV
D) VVF
E) FFF
Solución:
{ (a p ›a q ) o { a ( p š q ) š [ a p o ( p š q ) ] } } Δ q
{ a( pš q ) o {a ( p š q ) š [ p ›( p š q ) ] }Δ q
( p š q ) › { a( pš q ) š p } Δ q
{ ( p š q ) › p }Δ q
pΔq
F
luego p , q son iguales.
I. q Δ p ≡ F
4.
II. (p o q) š (q o p) ≡ V
III. ap › q ≡ V
CLAVE: B
¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes
proposición (p o p) o r?
a la
I. [( p š q ) › p] o r
II. ( r › q ) š a( ar š q )
III. ( p š ar) › a( p š r )
IV. [p š ( q › p ) ] o ( p › r )
A) i
B) i y iii
C) ii
D) ii y iv
E) iii y iv
Solución:
Tenemos que (p o p) o r ≡ r
V or
i. [( p š q ) › p] o r ≡ p o r (NO)
ii. ( r › q ) š a( ar š q ) ≡ ( r › q ) š (r › aq) ≡ r › (q š aq) ≡ r (SI)
iii. ( p š ar) › a( p š r ) ≡ ( p š ar) › (ap › ar ) ≡ [( p š ar) › ar] › ap ≡ ar › ap
(NO)
iv. [p š ( q › p ) ] o ( p › r ) ≡ p o ( p › r ) ≡ ap › ( p › r ) ≡ V (NO)
CLAVE: C
5.
Si p(x): x2 = 16, q(x) = x – 3 = 8 y r(x): x + 4 < 9; determine el valor de verdad de
las siguientes proposiciones, en el orden indicando
I. p(–4) o [~ q(2) › ~ r(3)]
II. >r(2) š ~ p(2)] o r(1)
III. >q(3) l p(4)@ l [r(6) š~ p(2)]
A) FFV
B) FVV
C) VVV
D) VVF
E) FFF
Solución:
I. p(–4) o [~ q(2) › ~ r(3)] ≡ V o [~ F › ~ V] ≡ V o V ≡ V
II. >r(2) š ~ p(2)] o r(1) ≡ >V š ~ F] o V ≡ V o V ≡ V
III.>q(3) l p(4)@ l [r(6) š~ p(2)] ≡ >F l V@ l [F š~ F] ≡ Fl F ≡ V
6.
Si p * q ≡ ( p š q ) › a ( a p š q ), simplificar la proposición
>(p*aq)*ap@ša>(p*r)›(q*r)@
A) q š a q
B) p › a p
C) p š q
D) p › q
Solución:
p * q ≡ ( p š q ) › a ( a p š q ) ≡ ( p š q ) › ( p › aq ) ≡ p › aq
Luego > ( p * a q ) * a p @ š a > ( p * r ) › ( q * r ) @ ≡
> (p › q) * a p @ š a > ( p › ar ) › ( q › ar ) @ ≡
> (p › q) › p @ š a > ( p › q › ar ) @ ≡
(p › q) š [a ( p › q) š r @ ≡ F ≡ q š a q
7.
CLAVE: C
E) p
CLAVE: A
Indique cuántas de las siguientes proposiciones lógicas son tautologías
I. [ap › (q o r)] l [p o (aq › r) ]
II. [ap l q] š [ (p o aq) › (q Δ p)]
III. (q l p) › [(q › p) š a (p š q)]
IV. [a(p o q) š (aq › p) ]
A) Cero
B) Uno
C) Dos
D) Tres
E) Cuatro
Solución:
I. [ap › (q o r)] l [p o (aq › r) ] ≡ [ap › (aq › r)] l [ap › (aq › r) ] ≡ V
II. [ap l q] š [ (p o aq) › (q Δ p)] ≡ [ap l q] š [ (ap › aq) › (q Δ p)] ≡
[ap l q] š [a(p š q) › (q Δ p)] ≡ (q Δ p) š [a(p š q) › (q Δ p)] ≡ (q Δ p) ≡ C
III. (q l p) › [(q › p) š a (p š q)] ≡ (q l p) › a (q l p) ≡ V
IV. [a(p o q) š (aq › p) ] ≡ [a(p › q) š (aq › p) ] ≡ [(ap š aq) š (aq › p) ] ≡ p š aq
CLAVE: C
8.
Si p # q está definido por la tabla
p
q
p#q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
Simplifique la proposición (p # q) # p.
A) ~ p
B) ~ q
C) p › q
D) p š q
E) p › ~ p
Solución:
p
q (p # q) # p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
CLAVE: E
9.
Simplifique la proposición
p ' {q › [ (poq) š (po h)] › [ q '(h › a h)]}
A) h
C) h › q
B) p
D) p › aq
E) ap
Solución:
p ' {q v [ (ap v q) š (ap v h)] v [ q '(h va h)]} ≡
p ' {q v [ (ap v q) š (ap v h)] v [ q '(h va h)]} ≡
p ' {q v (q ' T) v (ap v (q š h))} ≡
p ' {q v aq v (ap v (q š h))} ≡
p ' {T v (ap v (q š h))} ≡
p ' T ≡ ap
q según la tabla de valores de verdad
10. Se define r
q
V
V
F
F
CLAVE: E
r
V
F
V
F
r
q
F
F
V
F
Determine la conclusión de la proposición r
A) VVFV
B) VVFF
Solución:
q r
V F
V F
F V
F F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
{( q
V
V
F
F
C) VFFF
V
F
F
F
ar)
F
V
F
V
š ( aq
F F F
F F F
F V F
F V V
>( q
D) VFVF
r )}
V
F
V
F
ar) š( aq
r)]
E) FVVF
CLAVE: D