Tur b ule nc ia e n la s e c ua c io ne s d e N av ie r

···
ℓT
ℓ2
ℓD
Imaginemos el siguiente experimento, consideremos un cubo [0, L]3 lleno
de un fluido viscoso e incompresible. Dicho fluido, el cual se encontraba
en un estado de reposo, es ahora agitado por la acción de una fuerza
exterior f la cual actúa a la escala de longitud ℓ0 ≤ L y de manera independiente del tiempo. A partir de un tiempo suficientemente grande
este fluido se encuentra en un estado turbulento permanente.
U3
εI = εT = εD := ε ≈
.
L
La ley de disipación de energía nos dice que, para U la velocidad promedio del fluido y L > 0
llamada la longitud característica del fluido, en estado turbulento
L
ℓ0
ℓ1
Transferencia de energía, tasa εT
Disipación de energía, tasa εD
Inyección de energía, tasa εI
ℓ0
Observación 1 En este modelo artificial de la mecánica de fluidos, donde el fluido se encuentra
en todo el espacio R3, una definición adecuada de la longitud característica L > 0 es un problema
delicado.
⇒ En 1934 Jean Leray muestra la existencia de u(t, x) (campo de velocidad del fluido) solución
débil de la ecuación (1) donde el dato inicial u0 ∈ L2 es a divergencia nula (div(u0) = 0).
El modelo determinista El modelo determinista de base, en donde estudiaremos la ley de disipación
de energía, está dado por las ecuaciones de Navier-Stokes en el espacio R3 entero, incompresibles y bajo
la acción de una fuerza exterior f ∈ L2 estacionaria y a divergencia nula.
⎧
⎪
∂tu = ν∆u − u · ∇ u − ∇p + f, sobre ]0, +∞[ × R3,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
(1)
div(u) = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ u(0, ·) = u .
0
L
ℓ0
(2) Ley de disipación de energía.
En este modelo, ℓ0 es la escala de longitud a la que se
introduce la energía cinética en el fluido. ℓT es llamada
la escala de Taylor y caracteriza las escalas de longitud
donde la energía se transfiere dentro del fluido. ℓD es la
escala a partir de la cual la energía se disipa fuera del
fluido.
(1) El modelo de casada de energía.
¿Por qué estudiar la turbulencia? El estudio de los fluidos en estado turbulento es uno de los problemas
más intrigantes y al mismo tiempo más frustrantes de la física clásica. La importancia del estudio de
la turbulencia radica en el hecho que la mayoría de los fluidos son turbulentos, el agua o el aire por
ejemplo, y sin embargo actualmente no hemos podido responder a la pregunta ¿qué es la turbulencia,
cómo y cuándo se origina?
Nos concentraremos en dos resultados de la Teoría K41 :
1 Introducción
En este marco una parte activa de la investigación actual consiste en desarrollar modelos teóricos de
la mecánica de fluidos que nos permitan estudiar de manera rigurosa las leyes enunciadas en la Teoría
K41 y en donde el modelo de base está dado por las ecuaciones de Navier-Stokes. El nuevo modelo
determinista que se expone en este póster es parte del trabajo en mi tesis doctoral.
Las leyes simples y universales que esta teoría propone para la descripción de la turbulencia fueron
tratadas desde el punto de vista estadístico y están basadas en hipótesis las cuales no son totalmente
comprendidas hasta la actualidad.
La teoría de la turbulencia desarrollada por A.N. Kolmogorov en 1941 (Teoría K41) describe el comportamiento de un fluido en estado turbulento mediante una caracterización de la tasa de disipación
de energía cinética y del espectro de energía de dicho fluido.
Resumen
([email protected])
'
3
ℓ02
la fuerza promedio se define L =
UL
.
ν
(3)
(2)
U3
1 √
+√
ε
L
Re
+
U3
.
L
− 32
t
∥f ∥2Ḣ −1 y no podemos asegurar que U < +∞.
2ν
⎩
u(0, ·) = u0.
∂tu = ν∆u − u · ∇u − ∇p + f − αP2u,
div(u) = 0,
0
≤
β
∥u0∥2L2 e− 2 t
,
U3
Uα 3
C0 √
εα
+√
ℓ0
Reα
Uα 3
ℓ0
y entonces
lı́m sup εα ≤ C0
Reα →+∞
(4)
⇒ Para estudiar la otra desigualdad de (2), Lα ≤ ε, definimos a continuación una nueva longitud característica L1 > 0.
εα ≤ C 0
Uα 3
.
ℓ0
β
4
+ ∥f ∥2L2 (1 − e− 2 t) y entonces Uα < +∞.
β
(ii) Además, existe una constante C0 > 0 independiente αP2uα y f tal que
∥uα(t)∥2L2
(i) existe uα ∈ L∞(]0, +∞[, L2(R3)) ∩ L2loc(]0, +∞[, Ḣ 1(R3)) solución débil de (4) tal que
0
Teorema
2'
(Chamorro, Jarrín, Lemarié, 2015) Si la fuerza exterior es tal que supp f% ⊂
&
1 , 1 para todo α > 0 se tiene que:
C 0, 10ℓ
ℓ
!
%(ξ).
αP
2 u(ξ) = α 1|ξ|<k2 u
1 defini- ⎧
Para α > 0 y 0 < k2 ≤ 20ℓ
0
⎨
mos
3 Ecuaciones de Navier-Stokes modificadas
∥u(t)∥2L2 ≤ ∥u0∥2L2 +
La velocidad promedio del fluido U : por la desigualdad de energía se tiene solamente el control
la cual no se verifica de manera general.
∥∇ ⊗ f ∥L2 ≤ cℓ0 ∥∇ ⊗ f ∥L∞
F
: en la demostración del Teorema 1 necesitaLa longitud característica de Constantin L = ∥∇⊗f
∥L∞
mos la desigualdad
Dos errores en este modelo
⇒ Se trata de un resultado parcial de la ley de disipación de energía donde ¡la otra desigualdad de (2)
es un problema abierto!
ε≤
Teorema 1 (Constantin, 2003) Sea u(t, x) una solución de Leray del sistema de Navier-Stokes (1)
asociada a la fuerza exterior f . Entonces
Re→+∞
para i = 1, 2.
U3
≤ c2(Re)ε y
L
lı́m sup ci(Re) = Ci,
c1(Re)ε ≤
¿Qué se quiere mostrar? queremos encontrar c1,2 :]0, +∞[→]0, +∞[ funciones y C1, C2 > 0 constantes todas independientes de f, U y ε tales que
(4) Los números de Reynolds: caracterizan de manera teórica el estado turbulento de un fluido, Re =
F
∥∇⊗f ∥L∞ .
(la fuerza actúa a la escala ℓ0) y siguiendo
( ) T
*1
1
dt 2
(2) Velocidad promedio del fluido: U = lı́m sup
∥u(t)∥2L2 3 .
ℓ0
T −→+∞ T 0
( ) T
*1
1
dt 2
(3) Tasa promedio de disipación de energía: ε = ν lı́m sup
∥∇ ⊗ u(t)∥2L2 3 .
T
ℓ
T −→+∞
0
0
(1) Longitud característica: notando por F =
∥f ∥L2
[1] definimos las cantidades físicas del modelo determinista:
Para f y ℓ0 > 0 dados: suponemos que supp f% ⊂ B 0, ℓ1
0
&
2 El modelo determinista de P. Constantin
bajo la dirección de Diego Chamorro y Pierre Gilles Lemarié-Rieusset,
Laboratoire de mathématiques et modélisation d’Évry, Évry-Francia, Asociación AMARUN
Oscar Jarrín
Turbulencia en las ecuaciones de Navier-Stokes
∞
L1 =
ℓ0
.
γ
es un numero adimensional y fijo.
0
1
U3
≤ C2(G0)ε.
L1
cuando Re >> 1 se tiene ℓT ≈
···
ℓT
1
ℓ
Re 0
ℓD
div(u) = 0,
(−∂2ψ(x − k), ∂1ψ(x − k), 0),
2
5
|ξ|=k
<< k <<
1
ℓD ,
se tiene
log( ℓ10 )
Introducción
log(E(k)
[3] P.G. Lemarié-Rieusset. The Navier-Stokes Problem in the 21st Century, 2016.
[2] C Doering et C. Foias. Energy dissipation in body-forced turbulence, 2002.
2
5
E(k) ≈ Cε 3 k − 3
Transferencia
[1] P. Constantin. Euler equations Navier-Stokes equations and turbulence, 2004.
Referencias
1
ℓ0
% (ξ)|2ds(ξ)
|U
según la ley − 53 de la Teoría K41: para
que E(k) ≈ Cε 3 k − 3 .
E(k) :=
)
Para U (x) una solución estacionaria se quiere estudiar su
espectro de energía,
⇒ donde estudiamos los casos α = 0 y α > 0 con una nueva fuerza exterior f1.
⎩
k∈A
-
Nos interesamos en las soluciones estacionarias U (x) de las ecuaciones N-S modificadas
⎧
⎨ ν∆U = −U · ∇U − ∇P + f1 − αU, sobre R3,
5 Trabajo en curso
donde: Re ≈ NA pero ℓT ≈ ℓ0.
fA(x) = ν 2
log( ℓ1D )
Disipación
log(k)
Ejemplo: consideremos la fuerza particular fA: para ψ ∈ S(R3) una ondelette de Meyer, A ⊂ Z3
tal que NA := Card(A) < +∞ definimos
Según la Teoría K41 el fluido descrito por las ecuaciones (4) no es turbulento. Cuando Re >> 1 se tiene que
1 ℓ << ℓ .
ℓT ≈ Re
0
0
ℓ0
Sin embargo, el mismo término −αP2 u nos proporciona la siguiente estimación de la escala de Taylor
& 2'1
2
ℓT := νU
con respecto a la escala inicial ℓ0 : ℓT ≈ C3(G0)ℓ0
ε
El término −αP2 u nos permite asegurar que U < +∞ y tomando el parámetro α = ℓν2 mostramos
0
3
en el teorema anterior que ε ≈ U
L .
Un fluido no turbulento.
C1(G0)ε ≤
débil de (4). Si Re ≥ c2Gγ02 existen C1(G0), C2(G0) > 0 constantes que dependen únicamente de G0
0
tales que
Teorema 3 (Chamorro, Jarrín, Lemarié, 2015) Tomando α = ℓν2 notaremos por u(t, x) la solución
G0 :=
Por las desigualdades de Bernstein se muestra que 0 < γ ≤ 1 por lo que ℓ0 ≤ L1 y además L1 ≈ L.
∥f ∥L∞ ℓ30
ν2
γ := c FL y para ℓ0 > 0 definimos
0
∥f ∥
Dada f la fuerza exterior introducimos en nuestro modelo las siguientes cantidades:
4 La ley de disipación en las ecuaciones N-S modificadas