TRABAJO AUTÓNOMO 1 Progresiones Aritméticas ¡ME ENCANTA APRENDER MATEMÁTICAS!

Elaborado por: Diego Andrés Villarreal Rivera
TRABAJO AUTÓNOMO 1
Progresiones Aritméticas
¡ME ENCANTA APRENDER MATEMÁTICAS!
Cordial saludo. A través de este trabajo autónomo aprenderemos lo esencial sobre las Progresiones
aritméticas. Es muy importante estudiar los videos propuestos y plantear, en clase y en el foro, todas las
dudas que surjan. Mucho ánimo y éxitos para todos.
Tiempo estimado: 10 días.
I. PROGRESIONES
Una progresión es una secuencia de números con una característica especial: si conoces un término
puedes hallar el que sigue sumando (progresión aritmética) o multiplicando (progresión geométrica) un
número fijo.
1.1 Progresión aritmética
Es una progresión en la cual se puede obtener cada término a partir del anterior, sumando o restando a
este un mismo número, llamado diferencia.
Llamaremos a1 al primer término de la progresión, a2 al segundo y así sucesivamente. El término nésimo (cualquiera) está dado por la fórmula:
an  a1  (n 1)  d
Donde an es el término n-ésimo, a1 es el primer término de la progresión, n es la posición del término
n-ésimo y d es la diferencia.
Elaborado por: Diego Andrés Villarreal Rivera
Ejemplo 1: Halla el noveno término de una progresión aritmética cuyos primero términos son 4, 11 y
18.
Solución. A partir de los términos que conocemos, podemos hallar la diferencia:
18 – 11 = 7
11 – 4 = 7
Evidentemente es 7. Ahora, utilizaremos la fórmula, teniendo en cuenta que n = 9, pues nos piden el
noveno término.
an  a1  (n  1)  d
a9  4   9  1  7
a9  4  8  7
a9  4  56
a9  60
El noveno término es 60.
Ejemplo 2: Si el quinto término de una progresión aritmética es 2 y su diferencia es 2, determina el
primer término de la progresión.
Solución. A partir de los datos que tenemos podemos determinar el primer término despejando a1 en la
fórmula, puesto que d = 2 y a5=2:
an  a1   n  1  d
2  a1   5  1  2
2  a1  4  2
2  a1  8
2  8  a1
6  a1
El primer término de la sucesión es −6.
1.2 Serie aritmética
Una serie aritmética es la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética.
Elaborado por: Diego Andrés Villarreal Rivera
La suma de las primeros n términos es: sn 
n  a1  an 
2
Ejemplo 1: Calcula la suma de todos los números pares entre el 2 y el 60, incluyéndolos.
Solución. Primero, calculamos el valor de n utilizando los datos conocidos.
an  a1   n  1  d
60  2   n  1  2
60  2   n  1  2
58   n  1  2
58
 n 1
2
29  n  1
29  1  n
30  n
Ahora ya sabemos que la progresión tiene 30 términos y que el 2 es el primer término y el 60 es el
término número 30. Calculemos el valor de la serie:
n  a1  an 
2
30  2  60  30  62  1860
S30 


 930
2
2
2
sn 
El resultado de la suma de todos los números pares entre el 2 y el 60, incluyéndolos, es igual a 930.
Ejemplo 2: Calcula la suma de los primeros 25 términos de una progresión cuya diferencia es 4 y su
primer término es 18.
Solución. Para calcular el resultado de la serie necesitamos saber cuál es el término que ocupa la
posición 25, así que comenzamos por encontrarlo:
an  a1   n  1  d
a25  18   25  1  4
a25  18   24   4
a25  18  96
a25  114
Elaborado por: Diego Andrés Villarreal Rivera
Ahora sí, calculemos la serie:
n  a1  an 
2
25 18  114  25 132  3300
S25 


 1650
2
2
2
sn 
La suma de los primeros 25 términos de la progresión aritmética mencionada es igual a 1650.
TALLER
Elaborado por: Diego Andrés Villarreal Rivera
Nota: Los ejercicios y problemas del taller fueron tomados del portal www.amolasmates.es. Creo y
respeto los derechos de autor. Este documento es utilizado con fines puramente pedagógicos.
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