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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y
Agrimensura
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemática
Tesis del
Doctorado en Matemática
PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE PARA
PROCESOS CON CAMBIO DE FASE EN
SEMIESPACIOS POROSOS HÚMEDOS
SIGUIENDO FORMULACIONES
DE A. V. LUIKOV
por
EDUARDO ADRIAN SANTILLAN MARCUS
Director: DOMINGO ALBERTO TARZIA
2006
ii
The search in science is endless;
therefore for a true scientist
the discovery of a new phenomenon
does not become the conclusion of his work :
It lays the foundation for the beginning
of new research; a new eld of knowledge:
And then
a new road to the unknown :::
O:G:MARTYNENKO
de JEP T ER; V ol: 73; N o 5 (2000)
A: V : LUIKOV 0 S SCIENTIFIC LEGACY
(ON THE 90 th ANNIVERSARY OF HIS BIRTH )
iii
iv
Resumen
El objetivo de la presente tesis es la de resolver diversos problemas de frontera
libre para la ecuación del calor-difusión que ocurren en un medio poroso, en particular para el problema de Stefan. El problema de Stefan (o problema de cambio
de fase) estudia la temperatura en el espacio ocupado por dos fases de un cuerpo, generalmente una fase sólida y una líquida. Las funciones que representan las
temperaturas de las dos fases satisfacen las correspondientes ecuaciones del calor.
Sobre la super…cie de separación, que puede variar en el tiempo y que se encuentra
a temperatura constante, se impone una condición adicional que surge del principio
de conservación de la energía. El interés y la di…cultad del problema se debe a la
presencia de dicha frontera libre, cuya determinación es de fundamental importancia en la práctica. Los problemas de transferencia de calor y masa con cambio de
fase que ocurren en un medio poroso tienen amplia aplicación en la industria, y
debido a la no-linealidad del problema, las soluciones usualmente involucran di…cultades matemáticas. Sólo unas pocas soluciones exactas han sido halladas para
casos ideales. Se estudiarán diversos problemas de frontera libre en los cuales se
considerarán las ecuaciones de Luikov; es decir acoplamiento de las temperaturas y
masa (humedad) de las dos fases del proceso físico.
En el capítulo 1 se presenta una introducción de la tesis.
En el capítulo 2 se considera un medio poroso semi-in…nito que es secado al
mantener una condición de ‡ujo de calor en x = 0: Inicialmente, todo el cuerpo
está a temperatura uniforme t0 y potencial de humedad uniforme u0 : La humedad
se asume que se evapora por completo a temperatura constante, al punto de evaporación tv . También se supone que el potencial de humedad en la primer región
es constante en uv . También se supondrá que la humedad en forma de vapor no
se lleva ninguna cantidad de calor apreciable del sistema. Se halla una solución a
este problema, dependiendo del valor del número de Luikov Lu ; luego se discutirá
la ecuación que determina la constante adimensional que caracteriza el frente de
evaporación cuando el número de Luikov Lu es igual o diferente a uno, y …nalmente
se darán algunos resultados ilustrativos y una condición su…ciente para el número
de Luikov Lu para obtener cuando la distribución de temperatura tiene un valor
mínimo menor que su temperatura inicial.
En el capítulo 3 se considera el ‡ujo de calor y humedad a través de un semiespacio poroso durante el congelamiento con una sobrecondición en el borde …jo para
v
hallar condiciones necesarias y su…cientes sobre los datos para la determinación de
un coe…ciente desconocido en un problema de frontera libre. Se hallan fórmulas para
la determinación de un coe…ciente térmico desconocido elegido entre (densidad de
masa); am (difusividad de la humedad); c1 (calor especí…co de la región congelada);
c2 (calor especí…co de la región húmeda); k1 (conductividad térmica de la región
congelada); k2 (conductividad térmica de la región húmeda); (coe…ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a la frontera libre s(t); las temperaturas
T1 ; T2 y la humedad u:
En el capítulo 4 se considera un modelo similar al del Capítulo 2 con una
sobrecondición en el borde …jo para hallar condiciones necesarias y su…cientes sobre
los datos para la determinación de dos coe…cientes desconocidos pero considerando
un problema de frontera móvil. Se hallarán fórmulas para la determinación de dos
coe…cientes térmicos desconocidos elegidos entre (densidad de masa); am (difusividad de la humedad); c1 (calor especí…co de la región congelada); c2 (calor especí…co
de la región húmeda); k1 (conductividad térmica de la región congelada); k2 (conductividad térmica de la región húmeda); (coe…ciente de gradiente térmico); r
(calor latente) junto a las temperaturas T1 ; T2 y la humedad u:
En el capítulo 5 se considera un medio poroso semi-in…nito, inicialmente a
temperatura Ti expuesto a una condición de ‡ujo de calor en x = 0: El líquido
comienza a ebullir dentro de los poros cuando la temperatura alcanza condiciones de
ebullición locales. Dos regiones existen, las cuales están separadas por una interfase
móvil distinta s (t) ; donde sucede la ebullición. Una tiene el contenido de líquido
original, mientras que la otra carece del mismo. El gas, generado en la interfase,
‡uye a través del material poroso y el calor se trans…ere por convección en una
dirección opuesta a la conducción del ‡ujo de calor. La tasa de ‡ujo de calor es
determinada, por un lado, a través de la Ley de Darcy (afectada por el gradiente de
presión, la permeabilidad del material poroso en la region 2 y la viscosidad del gas),
y por otro lado, a través del ‡ujo de calor que alcanza la interfase y el coe…ciente
de calor latente del líquido en ebullición. Estos dos mecanismos gobiernan la tasa
buscada de evaporacion y la presión esperada.
Un modelo analítico del proceso se de…ne y se obtienen soluciones exactas para
distribuciones de temperatura. Teniendo en cuenta una desigualdad para la temperatura en la interfase x = s(t), Ts , una desigualdad para el coe…ciente q0 es necesaria y su…ciente para obtener la solución explícita correspondiente. Finalmente,
también se obtiene una equivalencia entre un problema de cambio de fase con
condición de temperatura
p y un problema de cambio de fase con condición de ‡ujo
de calor del tipo
q0 = t sobre la super…cie.
vi
Finalmente, en el capítulo 6 se presenta un análisis matemático teórico del
congelamiento (desublimación) de humedad en un medio poroso …nito con una
condición de ‡ujo en x = 0: Se probará la existencia local y la unicidad en el
tiempo de la solución de este problema. Además se probará que este problema P es
equivalente a un sistema de ecuaciones integrales de Volterra de segunda especie.
Se verá que este problema visto como sistema de ecuaciones integrales tiene una
solución local única en el tiempo usando el Teorema de Punto Fijo de Contracción
de Banach.
La importancia de los resultados a obtener reside en el hecho de que la modelización de este tipo de sistemas es un problema de gran interés matemático
y relevancia en el campo industrial. Problemas de cambio de fase que ocurren
en medios porosos aparecen frecuentemente en procesos industriales tales como
procesos de separación, tecnología de alimentos, migración de calor y mezclas en
suelos y terrenos, etc, y es fundamental poder establecer condiciones sobre los datos
para asegurar la presencia o no de cambio de fase o de la frontera libre.
vii
viii
Resumen Extendido
El objetivo de la presente tesis es la de resolver diversos problemas de frontera libre para la ecuación del calor-difusión que ocurren en un medio poroso, en
particular para el problema de cambio de fase conocido en la literatura como
problema de Stefan. El problema de Stefan (o problema de cambio de fase) estudia
la temperatura en el espacio ocupado por dos fases de un cuerpo, generalmente
una fase sólida y una líquida. Las funciones que representan las temperaturas de
las dos fases satisfacen las correspondientes ecuaciones del calor. Sobre la super…cie
de separación, que puede variar en el tiempo y que se encuentra a temperatura
constante, se impone una condición adicional que surge del principio de conservación
de la energía. El interés y la di…cultad del problema se debe a la presencia de dicha
frontera libre, cuya determinación es de fundamental importancia en la práctica.
Los problemas de transferencia de calor y masa con cambio de fase que ocurren en
un medio poroso tienen amplia aplicación en la industria, y debido a la no-linealidad
del problema, las soluciones usualmente involucran di…cultades matemáticas. Sólo
unas pocas soluciones exactas han sido halladas para casos ideales.
En el capítulo 1 se presenta una introducción de la tesis.
En el capítulo 2 se considera un problema similar al planteado por S. H. Cho,
en "An exact solution of the coupled phase change problem in a porous medium"[Int.
J. Heat and Mass Transfer 18 (1975) 1139-1142]. Un medio poroso semi-in…nito
es
p
secado al mantener una condición de ‡ujo de calor en x = 0 del tipo q0 = t; con
q0 > 0; que fue considerado por primera vez porpD. A. Tarzia en "An inequality for
the coe¢ cient of the free boundary s(t) = 2 t of the Neumann solution for the
two-phase Stefan problem"[Quart. Appl. Math. 39 (1981) 491-497]. Inicialmente,
todo el cuerpo está a temperatura uniforme t0 y potencial de humedad uniforme
u0 : La humedad se asume que se evapora por completo a temperatura constante,
al punto de evaporación tv . También se supone que el potencial de humedad en la
primer región, 0 < x < s ( ) ; es constante (de valor uv ); donde x = s ( ) localiza
el frente de evaporación al tiempo > 0. También se supondrá que la humedad
en forma de vapor no se lleva ninguna cantidad de calor apreciable del sistema.
Despreciando la difusión de masa debido a variaciones de temperatura, el problema
puede expresarse como:
@t1
@ 2 t1
(x; ) = a1 2 (x; ) ;
@
@x
0 < x < s ( ) ; > 0 (region 1)
ix
(1)
u1 = uv ;
0 < x < s ( ) ; > 0 (region 1)
@t2
@ 2 t2 "Lcm @u2
(x; ) = a2 2 +
;
@
@x
c2 @
@u2
@ 2 u2
(x; ) = am 2 (x; ) ;
@
@x
x > s ( ) ; > 0 (region 2)
x > s ( ) ; > 0 (region 2)
(2)
(3)
(4)
Las condiciones iniciales y de borde son:
k1
k1
@t1
=
@x
q
p0
en x = 0; > 0
(5)
t2 = t0 en x > 0; = 0
(6)
u2 = u0 en x > 0; = 0
(7)
t1 (s ( ) ; ) = t2 (s ( ) ; ) = tv > t0 en x = s ( )
(8)
u1 (s ( ) ; ) = u2 (s ( ) ; ) = uv < u0 en x = s ( )
(9)
@t1
@t2
(s ( ) ; ) + k2
(s ( ) ; ) = (1
@x
@x
")
ds
m L dt
en x = s ( )
(10)
donde t1 (x; ) es la temperatura del medio poroso secado, t2 (x; ) es la temperatura del medio poroso húmedo, u2 (x; ) es el potencial de transferencia de
masa del medio poroso húmedo, x es la variable espacial, es la variable temporal,
ai ; i = 1; 2 es la difusividad termal de la fase i; am es la difusividad de humedad,
cm es la capacidad de masa especí…ca, c2 es el calor especí…co, ki ; i = 1; 2 es la
conductividad térmica de la
p fase i; L es el calor latente de evaporación de líquido
por unidad de masa, q0 = t es el ‡ujo de calor sobre el borde …jo x = 0; m es
la densidad de humedad del medio, t0 es la temperatura inicial, tv es la temperatura de cambio de fase, u0 es el potencial de transferencia de masa inicial, uv
es el potencial de transferencia de masa de cambio de fase, y " es el coe…ciente
de evaporación interna. Se hallará una solución a este problema, dependiendo del
valor del número de Luikov Lu = aam2 , luego se discutirá la ecuación que determina la
constante adimensional que caracteriza el frente de evaporación cuando el número
de Luikov Lu es igual a uno y Lu es diferente a uno, y …nalmente se darán algunos
resultados ilustrativos y una condición su…ciente para el número de Luikov Lu para
obtener cuando la distribución de temperatura tiene un valor mínimo menor que
su temperatura inicial.
Estos resultados en colaboración con D. A. Tarzia fueron publicados en Computational and Applied Mathematics, Vol. 22, N.3 (2003) 293-311.
x
En el capítulo 3 se considerará el modelo presentado en los trabajos: M. D.
Mikhailov, "Exact solution for freezing of humid porous half-space"[Int. J. Heat
Mass Transfer 19, 651-655 (1976)] y E. A. Santillan Marcus - D. A. Tarzia , "Explicit
solution for freezing of humid porous half-space with a heat ‡ux condition"[Int. J.
Eng. Science 38, 1651-1665 (2000)] con una sobrecondición en el borde …jo para
hallar condiciones necesarias y su…cientes sobre los datos para la determinación de
un coe…ciente desconocido en un problema de frontera libre siguiendo la idea de D.
A. Tarzia, en "Determination of the unknown coe¢ cients in the Lamé-Clapeyron
problem (or one-phase Stefan problem)"[Adv Appl. Math. 3, 74-82 (1982)] para
una fase, y de M.B. Stampella - D. A. Tarzia en "Determination of one or two
unknown thermal coe¢ cients of a semi-in…nite material through a two-phase Stefan
problem"[Int.J.Eng.Sci., 27, 1407-1419 (1989)] para dos fases.
Se considera el ‡ujo de calor y humedad a través de un semiespacio poroso
durante el congelamiento. La posición del frente de cambio de fase al tiempo t
está dada por x = s (t) que divide al cuerpo poroso en dos regiones. En la región
congelada, 0 < x < s (t), no hay movimiento de humedad y la distribución de
temperatura está descripta por la ecuación del calor
k1 @ 2 T1
@T1
(x; t) =
(x; t) ;
@t
c1 @x2
0 < x < s (t) ; t > 0;
(11)
La región s (t) < x < +1 es la parte húmeda del cuerpo de capilares porosos en
donde ‡uyen acoplados el calor y la humedad. El proceso está descripto por A.V.
Luikov en ”Systems of di¤erential equations of heat and mass transfer in capillary
porous bodies" [Int. J. Heat Mass Transfer 18, (1975) 1-14]. para el caso " = 0 ("
es el factor de conversión de fase de líquido en vapor) dado por
k2 @ 2 T2
@T2
(x; t) =
(x; t) ;
@t
c2 @x2
@u
@2u
(x; t) = am 2 (x; t) ;
@t
@x
x > s (t) ; t > 0;
x > s (t) ; t > 0:
(12)
(13)
Las distribuciones iniciales de temperatura y humedad son uniformes
T2 (x; 0) = T2 (+1; t) = t0 ;
u (x; 0) = u (+1; t) = u0 :
(14)
Se supone que sobre la super…cie del semiespacio el ‡ujo de calor depende del
tiempo de la siguiente manera:
k1
@T1
q0
(0; t) = p
@x
t
xi
(15)
donde q0 > 0 es un coe…ciente que caracteriza el ‡ujo de calor en el borde …jo x = 0.
Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temperaturas
T1 (s (t) ; t) = T2 (s (t) ; t) = tv ;
(16)
t > 0;
donde tv < t0 :
Del balance de calor y humedad en el frente de congelamiento surge que
k1
@T1
(s (t) ; t)
@x
k2
@T2
(s (t) ; t) =
@x
r u (s (t) ; t)
@u
@T2
(s (t) ; t) +
(s (t) ; t) = 0;
@x
@x
ds
(t) ;
dt
t > 0;
t > 0:
(17)
(18)
Se considera además una sobre condición en el borde …jo x = 0 dada por
T1 (0; t) = ts
(19)
donde ts < tv :
Se hallarán fórmulas para la determinación de un coe…ciente térmico desconocido elegido entre (densidad de masa); am (difusividad de la humedad); c1 (calor
especí…co de la región congelada); c2 (calor especí…co de la región húmeda); k1 (conductividad térmica de la región congelada); k2 (conductividad térmica de la región
húmeda); (coe…ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a la frontera
libre s(t); las temperaturas T1 ; T2 y la humedad u:
Estos resultados han sido sometidos a publicación en International Communications in Heat and Mass Transfer.
En el capítulo 4 se considerará un modelo similar al del Capítulo 3 con una
sobrecondición en el borde …jo para hallar condiciones necesarias y su…cientes sobre
los datos para la determinación de un coe…ciente desconocido, pero considerando un
problema de frontera móvil. Se hallarán fórmulas para la determinación de dos coe…cientes térmicos desconocidos elegidos entre (densidad de masa); am (difusividad
de la humedad); c1 (calor especí…co de la región congelada); c2 (calor especí…co de
la región húmeda); k1 (conductividad térmica de la región congelada); k2 (conductividad térmica de la región húmeda); (coe…ciente de gradiente térmico); r (calor
latente) junto a las temperaturas T1 ; T2 y la humedad u:
xii
En el capítulo 5 se considera un modelo semejante al planteado por S. Haber,
A. Shavit, y A. Dayan, en "The e¤ect of heat convection on drying of porous semiin…nite space"[Int. J. Heat Mass Transfer 27 (1984) 2347-2353]. Su análisis estuvo
basado en las siguientes suposiciones básicas: (a) existen dos regiones distintas que
están separadas por una interfase móvil donde ocurre el cambio de fase; (b) Una
región mantiene su concentración inicial de agua mientras que la otra carece de
ella; (c) el proceso ocurre a una tasa cinética in…nita; (d) el vapor es compresible
y obedece la ley del gas ideal; (e) La ecuación de Clapeyron relaciona presiones y
temperaturas de interfase; (f) el mecanismo de evaporación-recondensación descripto por S. H. Cho, en "An exact solution of the coupled phase change problem in a
porous medium"[Int. J. Heat and Mass Transfer 18 (1975) 1139-1142] es despreciado; (g) Los ‡ujos de difusión de masa debido a gradientes de concentración y los
efectos de Dufour y Soret no serán tomados en cuenta. Considerando estas mismas
suposiciones, se estudiará un medio poroso semi-in…nito, inicialmente a temperatup
ra Ti expuesto a una condición de ‡ujo de calor en x = 0 del tipo
q0 = t ; con
q0 > 0. El liquido comienza a ebullir dentro de los poros cuando la temperatura
alcanza condiciones de ebullición locales. Dos regiones existen, las cuales están
separadas por una interfase móvil distinta s (t) ; donde sucede la ebullición. La
región 1 tiene el contenido de líquido original, mientras que la región 2 carece de
liquido. El gas, generado en la interfase, ‡uye a través del material poroso y el calor
se trans…ere por convección en una dirección opuesta a la conducción del ‡ujo de
calor. La tasa de ‡ujo de calor es determinada, por un lado, a través de la Ley de
Darcy (afectada por el gradiente de presión, la permeabilidad del material poroso
en la región 2 y la viscosidad del gas), y por otro lado, a través del ‡ujo de calor que
alcanza la interfase y el coe…ciente de calor latente del líquido en ebullición. Estos
dos mecanismos gobiernan la tasa buscada de evaporación y la presión esperada.
Se de…ne un modelo analítico del proceso y se obtienen soluciones exactas para
distribuciones de temperatura. Teniendo en cuenta una desigualdad para Ts , una
desigualdad para el coe…ciente q0 es necesaria y su…ciente para obtener la solución
explícita correspondiente. Finalmente, también se obtiene una equivalencia entre
un problema de cambio de fase con condición de temperatura
p y un problema de
cambio de fase con condición de ‡ujo de calor del tipo q0 = t sobre la super…cie.
Estos resultados en colaboración con M. F. Natale fueron publicados en Applied
Mathematics and Computation 137, 1 (2003), 109-129.
Finalmente, el capítulo 6 es un análisis matemático teórico del congelamiento
(desublimación) de humedad en un medio poroso …nito con una condición de ‡ujo
en x = 0; siguiendo los trabajos de M. D. Mikhailov, "Exact solution of temperature
xiii
and moisture distribution in a porous half-space with moving evaporation front"[Int.
J. Heat Mass Transfer 18 (1975), 797-804] y de E. A. Santillan Marcus y D. A.
Tarzia, "Explicit solution for freezing of humid porous half-space with a heat ‡ux
condition"[Int.J.Engng. Sci. 38 (2000), 1651-1665].
Se considera el ‡ujo de calor y humedad a través de un semi-espacio …nito poroso
durante el congelamiento. La posición del frente de cambio de fase al tiempo t está
dada por x = s (t) : Divide al cuerpo poroso en dos regiones. Sean u = u(x; t); v =
v(x; t) y w = w(x; t) la distribución de temperatura en la región congelada y la
distribución de temperatura y la distribución de humedad en la región en donde
‡uyen el calor y la humedad acoplados respectivamente. Consideramos en nuestro
modelo que a2 6= am : Consideramos los conjuntos
1
T
= f(x; t) /0 < x < s (t) ; 0 < t < T g
(20)
2
T
= f(x; t) /s (t) < x < 1; 0 < t < T g :
(21)
y
En la región congelada 1T no hay movimiento de humedad y la distribución de
temperatura está descripta por la ecuación del calor
@2u
@u
(x; t) = a1 2 (x; t) ;
@t
@x
donde a1 es la difusividad termal en
0 < x < s (t) ; 0 < t < T
(22)
1
T.
La región 2T es la zona del cuerpo de capilares porosos en donde ‡uyen acoplados el calor y la humedad. El proceso fue descripto por A.V. Luikov en Heat and
mass transfer in capillary-porous bodies [Pergamon Press, Oxford, 1966] para el
caso en que " = 0 (" es el factor de conversión de fase de líquido en vapor):
@v
@2v
(x; t) = a2 2 (x; t) ;
@t
@x
s (t) < x < 1; 0 < t < T
(23)
@w
@2w
@2v
(24)
(x; t) ;
s (t) < x < 1; 0 < t < T
(x; t) = am 2 (x; t) + am
@t
@x
@x2
donde a2 es la difusividad termal y am es la difusividad de humedad en 2T , y
es el coe…ciente de gradiente termal. Las distribuciones iniciales de temperatura y
humedad están dadas por:
u(x; 0) = (x)
0 ;
0 < x < s (t)
(25)
v (x; 0) =
0 ;
s (t) < x < 1
(26)
(x)
xiv
w (x; 0) =
(x) > 0 ;
(27)
s (t) < x < 1
En x = 1; las distribuciones de temperatura y humedad satisfacen:
v (1; t) = h (t) > 0 ;
0<t<T
(28)
w (1; t) = w0 > 0 ;
0<t<T
(29)
Se supone que en x = 0 el ‡ujo de calor depende del tiempo de la manera siguiente:
k1
@u
(0; t) = j(t) ;
@x
(30)
0<t<T
Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temperaturas:
u (s (t) ; t) = v (s (t) ; t) = 0;
0<t<T
(31)
Allí, del balance de calor y humedad surge
k1
@u
(s (t) ; t)
@x
k2
@v
(s (t) ; t) = w (s ( ) ; )
@x
2r
ds
(t) ;
dt
0<t<T
(32)
@w
@v
(33)
(s (t) ; t) +
(s (t) ; t) = 0;
0<t<T
@x
@x
donde ki ; i = 1; 2 son las conductividades termales en iT ; 2 es la densidad del
cuerpo poroso en 2T , y r es el calor latente de congelamiento.
Entonces, el esquema matemático es el siguiente: Hallar las funciones u =
u(x; t); v = v(x; t); w = w(x; t) en las variables espacial x y temporal t; y la frontera
libre s = s(t) de manera que se satisfagan las ecuaciones y condiciones (22)-(33). El
conjunto de ecuaciones y condiciones (22)-(33) se llama problema P . Se probará la
existencia local y la unicidad en el tiempo de la solución del problema P . Además
se probará que P es equivalente a un sistema de ecuaciones integrales de Volterra
siguiendo el método de Friedman-Rubinstein dado en A. Friedman, "Free Boundary Problems for Parabolic Equations"[I. Melting of Solids, J. Math. Mech. 8 (1959)
499-517] y en L.I. Rubinstein, "The Stefan problem"[Trans. Math. Monographs #
27, Amer. Math. Soc., Providence (1971)]. Se verá que este problema visto como
sistema de ecuaciones integrales tiene una solución local única en el tiempo usando
el Teorema de Punto Fijo de Contracción de Banach.
Estos resultados en colaboración con A. C. Briozzo fueron aceptados para la
publicación en Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods & Applications.
xv
La importancia de los resultados a obtener reside en el hecho de que la modelización de este tipo de sistemas es un problema de gran interés matemático
y relevancia en el campo industrial. Problemas de cambio de fase que ocurren
en medios porosos aparecen frecuentemente en procesos industriales tales como
procesos de separación, tecnología de alimentos, migración de calor y mezclas en
suelos y terrenos, etc, y es fundamental poder establecer condiciones sobre los datos
para asegurar la presencia o no de cambio de fase o de la frontera libre.
xvi
Agradecimientos
CAP 2: Este capítulo ha sido parcialmente …nanciado por el proyecto "Free
Boundary Problems for the Heat-Di¤usion Equation" de CONICET - UA, Rosario
(Argentina) y "Partial Di¤erential Equations and Numerical Optimization with Applications"de la Fundación Antorchas (Argentina).
CAP 3: Este capítulo ha sido parcialmente …nanciado por el proyecto # 4798 /
96 "Free Boundary Problems for the Unidimensional Heat-Di¤usion Equation" de
CONICET - UA, Rosario (Argentina).
CAP 4 y 5: Estos capítulos han sido parcialmente …nanciados por los Proyectos
PIP No 5379 de CONICET - UA, (Argentina) y por el "Fondo de Ayuda a la
Investigación" bajo el Proyecto "Problemas de frontera libre para la ecuación del
calor y sus aplicaciones" de la Universidad Austral, Rosario (Argentina).
CAP 6: Este capítulo ha sido …nanciado por el "Fondo de Ayuda a la Investigación"bajo el proyecto "Problemas de frontera libre para la ecuación del calor y
sus aplicaciones" de la Universidad Austral, Rosario (Argentina).
Se agradecen in…nitamente el gran apoyo y las miles de discusiones útiles sobre
estos temas con el Profesor D. A. Tarzia.
También quiero agradecer el apoyo de mis compañeros de trabajo (en orden
alfabético): Adriana C. Briozzo, Mariela Cirelli, Graciela G. Garguichevich, María
Fernanda Natale, y Luciano Ponzellini Marinelli, y a todos y cada uno del plantel
docente y no docente de la Universidad Austral Rosario.
xvii
xviii
Dedicado
Para mi madre y mis abuelos, por sobre todas las cosas.
Para los que creyeron que yo podía, y también para los que no.
Para los amigos que siempre están.
xix
xx
Índice general
1. Introducción
1
2. Soluciones exactas para el secado con cambio de fase acoplado en
un medio poroso con una condición de ‡ujo de calor en el borde
…jo.
11
2.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2. Nomenclatura
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4. Solución del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.5. Discusión sobre la ecuación que determina a , considerando el caso
en que el número de Luikov es igual a uno. . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6. Discusión sobre la ecuación que determina a , considerando el caso
cuando el número de Luikov es distinto a uno. . . . . . . . . . . . .
19
2.7. Algunos resultados ilustrativos y una condición su…ciente para el
número de Luikov para obtener el valor mínimo de la distribución de
temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.8. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3. Determinación de coe…cientes térmicos desconocidos de un
material poroso semi-in…nito durante un problema de frontera libre con ‡ujos de calor y humedad acoplados.
27
3.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
xxi
3.3. Coe…cientes térmicos desconocidos en un pro-blema de frontera libre
31
3.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4. Determinación de coe…cientes térmicos desconocidos de un material poroso semi-in…nito durante un problema de frontera móvil
con ‡ujos de calor y humedad acoplados.
43
4.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3. Coe…cientes térmicos desconocidos en un problema de frontera móvil. 47
4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5. El efecto de la convección de calor durante el secado de un espacio
poroso semi-in…nito con una condición de ‡ujo en el borde …jo
x = 0.
77
5.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.3. Presentación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.4. Solución del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Enunciado del problema Pe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.7. Algunos resultados ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.8. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
86
5.6. Relación entre los problemas de transferencia de calor con temperatura
y ‡ujo de calor en el borde …jo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6. Sobre el congelamiento de un medio poroso húmedo …nito con una
condición de ‡ujo de calor.
99
6.1. Enunciado del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2. Formulación integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3. Resultados principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A. Aleksey Vassillevich Luikov: Biografía
xxii
127
Índice de …guras
2.1. Comportamiento de
como función de q0
. . . . . . . . . . . . . .
22
2.2. Comportamiento de la temperatura adimensional con respecto a la
variable adimensional ; tomando Lu igual a 0.1 . . . . . . . . . . .
23
2.3. Comportamiento de la temperatura adimensional con respecto a la
variable adimensional ; tomando Lu igual a 1 . . . . . . . . . . . .
23
2.4. Comportamiento de la temperatura adimensional con respecto a la
variable adimensional ; tomando Lu igual a 4 . . . . . . . . . . . .
24
5.1. Comportamiento de
como función de q0 variando el parámetro
.
91
5.2. Comportamiento de
como función de q0 variando el parámetro
.
92
5.3. Comportamiento de
como función de q0 variando el parámetro Q
92
5.4. Comportamiento de
como función de
variando el parámetro q0 .
93
5.5. Comportamiento de
como función de
variando el parámetro
.
93
5.6. Comportamiento de
como función de
variando el parámetro Q .
94
5.7. Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro
95
5.8. Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro
96
5.9. Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro Q 96
5.10. Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro K 97
5.11. Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro H 97
xxiii
Capítulo 1
Introducción
Los procesos de transferencia de calor y masa de una sustancia están entre los
grupos más importantes de la ciencia moderna, y tienen una gran importancia práctica en la ingeniería de las industrias y en los procesos tecnológicos de producción
química y de industrias livianas. Los problemas de intercambio de masa y calor
adquieren especial importancia en los nuevos procesos. Al mismo tiempo, una característica peculiar de los fenómenos de transferencia de calor y masa en las áreas
mencionadas es su interdependencia, cuando la transferencia de calor y masa se
vuelve un proceso combinado.
Es importante notar que las leyes que gobiernan los procesos de intercambio
de calor y masa son cercanamente similares y las generalizaciones obtenidas en un
campo pueden ser usadas exitosamente en el otro. Una característica del desarrollo
de esta tecnología es la transferencia de métodos y diseños de procesos de una rama de la industria hacia otra. Esto hace posible cambios radicales en el proceso de
producción y la creación de nuevos métodos de producción de materiales y artículos
manufacturados. La base cientí…ca de muchos procesos de ingeniería termal es la
teoría de transferencia de calor y masa, que incluye la hidrodinámica de medios continuos y la física molecular, termodinámica y la química física de medios dispersos.
La teoría cinética molecular del fenómeno de intercambio de calor y masa es muy
complicado y no ha sido lo su…cientemente trabajado: Sin embargo al día de hoy la
teoría de intercambio de calor y masa es principalmente una teoría fenomenológica,
basada en la hidrodinámica y la termodinámica de los medios continuos.
En los últimos años, gracias a los trabajos de físicos alemanes y belgas se han
originado nuevos métodos poderosos de investigación empírica del fenómeno de
transferencia llamado la termodinámica de procesos irreversibles o la termodinámica de los estados en no-equilibrio. Este método nos permite estudiar la transfe1
rencia de calor y masa de una sustancia en su asociación inseparable. Abraza la
hidrodinámica de líquidos viscosos, conductividad de calor, difusión y fricción interna. Como resultado, en vez de ecuaciones diferenciales separadas de movimiento
(Navier - Stokes), transferencia de calor (Fourier - Kirchho¤), y difusión (Fick),
un sistema de ecuaciones diferenciales interconectadas de transferencia de masa y
energía es obtenido. La solución de tal sistema de ecuaciones diferenciales presenta
grandes di…cultades matemáticas, luego en la mayor parte de los casos se emplean
métodos numéricos de resolución usando computadoras. No obstante, en algunos
casos particulares de transferencia de calor y masa (en soluciones moleculares, mezclas …jas binarias, medios dispersos y cuerpos de capilares porosos), este sistema de
ecuaciones diferenciales puede resolverse completamente. Estas soluciones ofrecen
sin duda un gran interés no sólo por el cálculo del proceso de transferencia de calor
y masa sino también por el estudio de las leyes fundamentales de intercambio de
calor y masa y, en particular, para trabajar nuevos métodos de determinación de
características termofísicas.
Los procesos de transferencia de masa son importantes ya que la mayoría de los
procesos químicos requieren de la puri…cación inicial de las materias primas o de la
separación …nal de productos y subproductos. Para esto en general, se utilizan las
operaciones de transferencia de masa. Con frecuencia , el costo principal de un proceso deriva de las separaciones. Los costos por separación o puri…cación dependen
directamente de la relación entre la concentración inicial y …nal de las sustancias
separadas; sí esta relación es elevada, también serán los costos de producción. En
muchos casos, es necesario conocer la velocidad de transporte de masa a …n de diseñar o analizar el equipo industrial para operaciones unitarias, en la determinación
de la e…ciencia de etapa, que debe conocerse para determinar el número de etapas
reales que se necesita para una separación dada. Algunos de los ejemplos del papel
que juega la transferencia de masa en los procesos industriales son: la remoción de
materiales contaminantes de las corrientes de descarga de los gases y aguas contaminadas, la difusión de neutrones dentro de los reactores nucleares, la difusión
de sustancias al interior de poros de carbón activado, la rapidez de las reacciones
químicas catalizadas y biológicas así como el acondicionamiento del aire, etc. En
la industria farmacéutica también ocurren procesos de transferencia de masa tal
como la disolución de un fármaco, la transferencia de nutrientes y medicamento a
la sangre, etc.
Debido a la no-linealidad del problema, la obtención de soluciones explícitas
usualmente tiene di…cultades matemáticas. Sólo unas pocas soluciones exactas han
sido halladas para casos ideales, por ejemplo [24], [47], [5], [31], [36], [37], y [48].
La importancia cientí…ca y tecnológica de los problemas de frontera libre queda
2
mani…esta por los trabajos [10], [34], y [52].
La formulación matemática de la transferencia de calor y masa en cuerpos de
capilares porosos ha sido establecida por Luikov en [30], [31] y [33].
La resolución del problema de la evaporación de humedad líquida desde un
medio poroso con dos modelos diferentes fue presentada por Mikhailov en [36].
Para la resolución del problema del congelamiento (desublimación) de un semiespacio poroso húmedo, Mikhailov también presentó una solución exacta en [37].
Lin presentó en [26] una solución exacta del problema de desublimación en un medio
poroso para una condición de temperatura sobre un borde …jo. Otros problemas en
esta dirección fueron dados por Fasano y otros en [12], Gonzalez y Tarzia en [18].
Recapitulando, numerosos trabajos con diferentes enfoques en el tema han sido
encarados y motivan la presente Tesis. Entre estos trabajos pueden mencionarse:
[1], [2], [5], [6],.[7], [8], [11], [13], [15], [18], [20], [21], [22], [25], [27], [28], [29], [32],
[35], [36], [37], [39], [42], [44], [45], [48], [51], [52], [53], [54].
En la presente Tesis se obtienen nuevos resultados acerca de la existencia de
solución para problemas de frontera libre para procesos con cambio de fase en
semi-espacios porosos húmedos:
a) El problema de secado con un cambio de fase acoplado en un
medio poroso con condición de ‡ujo en el borde …jo del tipo pq0t .
Este problema se detalla en el capítulo 2: Se considera un problema similar
al planteado por S. H. Cho en [7]. Un medio poroso semi-in…nito
p es secado al
mantener una condición de ‡ujo de calor en x = 0 del tipo q0 = t; con q0 > 0;
que fue considerado por primera vez por D. A. Tarzia en [48]. Inicialmente, todo
el cuerpo está a temperatura uniforme t0 y potencial de humedad uniforme u0 : La
humedad se asume que se evapora por completo a temperatura constante, al punto
de evaporación tv . También se supone que el potencial de humedad en la primer
región, 0 < x < s ( ) ; es constante en uv ; donde x = s ( ) localiza el frente de
evaporación al tiempo > 0. También se supondrá que la humedad en forma de
vapor no se lleva ninguna cantidad de calor apreciable del sistema. Despreciando la
difusión de masa debido a variaciones de temperatura, el problema puede expresarse
como:
@t1
@ 2 t1
(x; ) = a1 2 (x; ) ;
@
@x
0 < x < s ( ) ; > 0 (region 1)
3
u1 = uv ;
0 < x < s ( ) ; > 0 (region 1)
@t2
@ 2 t2 "Lcm @u2
(x; ) = a2 2 +
;
x > s ( ) ; > 0 (region 2)
@
@x
c2 @
@u2
@ 2 u2
(x; ) = am 2 (x; ) ;
x > s ( ) ; > 0 (region 2)
@
@x
Las condiciones iniciales y de borde son:
k1
@t1
=
@x
q
p0
en x = 0; > 0
t2 = t0 en x > 0; = 0
u2 = u0 en x > 0; = 0
t1 (s ( ) ; ) = t2 (s ( ) ; ) = tv > t0 en x = s ( )
u1 (s ( ) ; ) = u2 (s ( ) ; ) = uv < u0 en x = s ( )
k1
@t1
@t2
(s ( ) ; ) + k2
(s ( ) ; ) = (1
@x
@x
")
ds
m L dt
en x = s ( )
donde t1 (x; ) es la temperatura del medio poroso secado, t2 (x; ) es la temperatura del medio poroso húmedo, u2 (x; ) es el potencial de transferencia de
masa del medio poroso húmedo, x es la variable espacial, es la variable temporal,
ai ; i = 1; 2 es la difusividad termal de la fase i; am es la difusividad de humedad,
cm es la capacidad de masa especí…ca, c2 es el calor especí…co, ki ; i = 1; 2 es la
conductividad térmica de la
p fase i; L es el calor latente de evaporación de líquido
por unidad de masa, q0 = t es el ‡ujo de calor sobre el borde …jo x = 0; m es
la densidad de humedad del medio, t0 es la temperatura inicial, tv es la temperatura de cambio de fase, u0 es el potencial de transferencia de masa inicial, uv
es el potencial de transferencia de masa de cambio de fase, y " es el coe…ciente
de evaporación interna. Se hallará una solución a este problema, dependiendo del
valor del número de Luikov Lu , luego se discutirá la ecuación que determina la
constante adimensional que caracteriza el frente de evaporación cuando el número
de Luikov Lu es igual a uno y Lu es diferente a uno, y …nalmente se darán algunos
resultados ilustrativos y una condición su…ciente para el número de Luikov Lu para
obtener cuando la distribución de temperatura tiene un valor mínimo menor que
su temperatura inicial, motivado por un análisis matemático y físico del problema.
b) El problema de determinación de coe…cientes en un problema de secado con un cambio de fase acoplado en un medio poroso con
condición de temperatura en el borde …jo.
4
Este problema se detalla en el Capítulo 3 y 4: Primero en el Capítulo 3 se
considerará el modelo presentado en los trabajos [37] y [44] con una sobrecondición
en el borde …jo para hallar condiciones necesarias y su…cientes sobre los datos para
la determinación de un coe…ciente desconocido en un problema de frontera libre
siguiendo la idea de D. A. Tarzia en [49] para una fase, y de M.B. Stampella - D.A.
Tarzia en [46] para dos fases.
Se considera el ‡ujo de calor y humedad a través de un semiespacio poroso
durante el congelamiento. La posición del frente de cambio de fase al tiempo t
está dada por x = s (t) que divide al cuerpo poroso en dos regiones. En la región
congelada, 0 < x < s (t), no hay movimiento de humedad y la distribución de
temperatura está descripta por la ecuación del calor
k1 @ 2 T1
@T1
(x; t) =
(x; t) ;
@t
c1 @x2
0 < x < s (t) ; t > 0;
La región s (t) < x < +1 es la parte húmeda del cuerpo de capilares porosos en
donde ‡uyen acoplados el calor y la humedad. El proceso está descripto por A.V.
Luikov en [32]. para el caso " = 0 (" es el factor de conversión de fase de líquido en
vapor) dado por
k2 @ 2 T2
@T2
(x; t) =
(x; t) ;
@t
c2 @x2
@u
@2u
(x; t) = am 2 (x; t) ;
@t
@x
x > s (t) ; t > 0;
x > s (t) ; t > 0:
Las distribuciones iniciales de temperatura y humedad son uniformes
T2 (x; 0) = T2 (+1; t) = t0 ;
u (x; 0) = u (+1; t) = u0 :
Se supone que sobre la super…cie del semiespacio el ‡ujo de calor depende del
tiempo de la siguiente manera:
k1
@T1
q0
(0; t) = p
@x
t
donde q0 > 0 es un coe…ciente que caracteriza el ‡ujo de calor en el borde …jo x = 0.
Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temperaturas
T1 (s (t) ; t) = T2 (s (t) ; t) = tv ;
5
t > 0;
donde tv < t0 :
Del balance de calor y humedad en el frente de congelamiento surge que
k1
@T1
(s (t) ; t)
@x
k2
@T2
(s (t) ; t) =
@x
r u (s (t) ; t)
@u
@T2
(s (t) ; t) +
(s (t) ; t) = 0;
@x
@x
ds
(t) ;
dt
t > 0;
t > 0:
Se considera además una sobre condición en el borde …jo x = 0 dada por
T1 (0; t) = ts
donde ts < tv :
Se hallarán fórmulas para la determinación de un coe…ciente térmico desconocido elegido entre (densidad de masa); am (difusividad de la humedad); c1 (calor
especí…co de la región congelada); c2 (calor especí…co de la región húmeda); k1 (conductividad térmica de la región congelada); k2 (conductividad térmica de la región
húmeda); (coe…ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a la frontera
libre s(t); las temperaturas T1 ; T2 y la humedad u:
Luego en el Capítulo 4 se contemplará un modelo similar al del Capítulo 3
con una sobrecondición en el borde …jo para hallar condiciones necesarias y su…cientes sobre los datos para la determinación de un coe…ciente desconocido, pero
considerando un problema de frontera
p móvil, esto es decir que conocemos a x = s(t)
(dada por la expresión s(t) = 2 t con > 0 una constante dada). Se hallarán
fórmulas para la determinación de dos coe…cientes térmicos desconocidos elegidos
entre (densidad de masa); am (difusividad de la humedad); c1 (calor especí…co de
la región congelada); c2 (calor especí…co de la región húmeda); k1 (conductividad
térmica de la región congelada); k2 (conductividad térmica de la región húmeda);
(coe…ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a las temperaturas T1 ; T2
y la humedad u:
c) El problema de puntos de ebullición móviles en una sustancia
porosa semi-in…nita expuesta a una condición de ‡ujo en el borde …jo
del tipo pq0t
Este problema se considera en el Capítulo 5: Se examinará un modelo semejante al planteado por [21]. Su análisis estuvo basado en las siguientes suposiciones
básicas: (a) existen dos regiones distintas que están se-paradas por una interfase
6
móvil donde ocurre el cambio de fase; (b) Una región mantiene su concentración
inicial de agua mientras que la otra carece de ella; (c) el proceso ocurre a una
tasa cinética in…nita; (d) el vapor es compresible y obedece la ley del gas ideal; (e)
La ecuación de Clapeyron relaciona presiones y tempe-raturas de interfase; (f) el
mecanismo de evaporación-recondensación descripto por S. H. Cho en [7] es despreciado; (g) Los ‡ujos de difusión de masa debido a gradientes de concentración y los
efectos de Dufour y Soret no serán tomados en cuenta. Considerando estas mismas
suposiciones, se estudiará un medio poroso semi-in…nito, inicialmente a temperatup
ra Ti expuesto a una condición de ‡ujo de calor en x = 0 del tipo
q0 = t ; con
q0 > 0. El liquido comienza a ebullir dentro de los poros cuando la temperatura
alcanza condiciones de ebullición locales. Dos regiones existen, las cuales están
separadas por una interfase móvil distinta s (t) ; donde sucede la ebullición. La
región 1 tiene el contenido de líquido original, mientras que la región 2 carece de
líquido. El gas, generado en la interfase, ‡uye a través del material poroso y el calor
se trans…ere por convección en una dirección opuesta a la conducción del ‡ujo de
calor. La tasa de ‡ujo de calor es determinada, por un lado, a través de la Ley de
Darcy (afectada por el gradiente de presión, la permeabilidad del material poroso
en la región 2 y la viscosidad del gas), y por otro lado, a través del ‡ujo de calor que
alcanza la interfase y el coe…ciente de calor latente del líquido en ebullición. Estos
dos mecanismos gobiernan la tasa buscada de evaporacion y la presión esperada.
Un modelo analítico del proceso se de…ne y se obtienen soluciones exactas para
distribuciones de temperatura. Teniendo en cuenta una desigualdad para Ts , una
desigualdad para el coe…ciente q0 es necesaria y su…ciente para obtener la solución
explícita correspondiente. Finalmente, también se obtiene una equivalencia entre
un problema de cambio de fase con condición de temperatura
p y un problema de
cambio de fase con condición de ‡ujo de calor del tipo q0 = t sobre la super…cie.
d) El problema de desublimación de humedad en un medio poroso
…nito con una condición de ‡ujo en el borde …jo.
Este problema se considera en el Capítulo 6: Es un análisis matemático teórico
del congelamiento (desublimación) de humedad en un medio poroso …nito con una
condición de ‡ujo en x = 0; siguiendo los trabajos de M. D. Mikhailov [36] y de E.
A. Santillan Marcus y D. A. Tarzia [44].
Se considera el ‡ujo de calor y humedad a través de un semi-espacio …nito poroso
durante el congelamiento. La posición del frente de cambio de fase al tiempo t está
dada por x = s (t) : Divide al cuerpo poroso en dos regiones. Sean u = u(x; t); v =
v(x; t) y w = w(x; t) la distribución de temperatura en la región congelada y la
distribución de temperatura y la distribución de humedad en la región en donde
7
‡uyen el calor y la humedad acoplados respectivamente. Consideramos en nuestro
modelo que a2 6= am : Consideramos los conjuntos
1
T
= f(x; t) /0 < x < s (t) ; 0 < t < T g
2
T
= f(x; t) /s (t) < x < 1; 0 < t < T g :
y
En la región congelada 1T no hay movimiento de humedad y la distribución de
temperatura está descripta por la ecuación del calor
@u
@2u
(x; t) = a1 2 (x; t) ;
@t
@x
donde a1 es la difusividad termal en
0 < x < s (t) ; 0 < t < T
(1.1)
1
T.
La región 2T es la zona del cuerpo de capilares porosos en donde ‡uyen acoplados el calor y la humedad. El proceso fue descripto por A.V. Luikov en Heat and
mass transfer in capillary-porous bodies [Pergamon Press, Oxford, 1966] para el
caso en que " = 0 (" es el factor de conversión de fase de líquido en vapor):
@2v
@v
(x; t) = a2 2 (x; t) ;
@t
@x
s (t) < x < 1; 0 < t < T
(1.2)
@w
@2w
@2v
(1.3)
(x; t) = am 2 (x; t) + am
(x; t) ;
s (t) < x < 1; 0 < t < T
@t
@x
@x2
donde a2 es la difusividad termal y am es la difusividad de humedad en 2T , y
es el coe…ciente de gradiente termal. Las distribuciones iniciales de temperatura y
humedad están dadas por:
u(x; 0) = (x)
0 ;
0 < x < s (t)
(1.4)
v (x; 0) =
(x)
0 ;
s (t) < x < 1
(1.5)
w (x; 0) =
(x) > 0 ;
s (t) < x < 1
(1.6)
En x = 1; las distribuciones de temperatura y humedad satisfacen:
v (1; t) = h (t) > 0 ;
0<t<T
(1.7)
w (1; t) = w0 > 0 ;
0<t<T
(1.8)
Se supone que en x = 0 el ‡ujo de calor depende del tiempo de la manera siguiente:
k1
@u
(0; t) = j(t) ;
@x
8
0<t<T
(1.9)
Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temperaturas:
u (s (t) ; t) = v (s (t) ; t) = 0;
0<t<T
(1.10)
Allí, del balance de calor y humedad surge
k1
@u
(s (t) ; t)
@x
k2
@v
(s (t) ; t) = w (s ( ) ; )
@x
2r
ds
(t) ;
dt
0<t<T
(1.11)
@w
@v
(1.12)
(s (t) ; t) +
(s (t) ; t) = 0;
0<t<T
@x
@x
donde ki ; i = 1; 2 son las conductividades termales en iT ; 2 es la densidad del
cuerpo poroso en 2T , y r es el calor latente de congelamiento.
Entonces, el esquema matemático es el siguiente: Hallar las funciones u =
u(x; t); v = v(x; t); w = w(x; t) en las variables espacial x y temporal t; y la frontera
libre s = s(t) de manera que se satisfagan las ecuaciones y condiciones 1.1-1.12.
El conjunto de ecuaciones y condiciones 1.1-1.12 se llama problema P . Se probará
la existencia local y la unicidad en el tiempo de la solución de este problema P .
Además se probará que este problema P es equivalente a un sistema de ecuaciones
integrales de Volterra siguiendo el método de Friedman-Rubinstein dado en [16]
y en [43]. Se verá que este problema visto como sistema de ecuaciones integrales
tiene una solución local única en el tiempo usando el Teorema de Punto Fijo de
Contracción de Banach.
La presente tesis está dividida en cinco Capítulos. En cada uno de ellos se
presenta el problema, se resuelve el modelo propuesto y se exhibe la solución y la
conclusión del mismo
Para los problemas correspondientes a las partes a), b) y c) se harán distintas
transformaciones para obtener un problema clásico de Stefan equivalente al dado mediante la aplicación de transformación recíproca, método de similaridad y
resolución de problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias, y se
preveen encontrar condiciones necesarias y su…cientes para la existencia de solución
explícita en función de los datos del problema. En cuanto a la parte d) se realizarán
distintas transformaciones para llevar el problema a uno equivalente con un sistema de ecuaciones integrales no lineales de tipo Volterra, siguiendo el método de
Friedman-Rubinstein. Luego se probará que el problema tiene una única solución
local en el tiempo usando el Teorema de Punto Fijo de Contracción de Banach. En
todos estos problemas se buscarán condiciones sobre los datos para garantizar la
existencia de solución (explícita o no).
9
La importancia de los resultados a obtener reside en el hecho de que la modelización en procesos de cambio de fase en medios porosos es un problema de gran interés
matemático e importancia industrial. Problemas de este tipo aparecen frecuentemente en procesos industriales tales como procesamiento de alimentos, solidi…cación
de suelos húmedos, aprovechamiento de energía solar, etc. y es fundamental poder
establecer condiciones sobre los datos para asegurar la presencia o no de cambio de
fase o de la frontera libre.
10
Capítulo 2
Soluciones exactas para el secado
con cambio de fase acoplado en un
medio poroso con una condición
de ‡ujo de calor en el borde …jo.
2.1.
Resumen
Se obtienen soluciones exactas para el problema de secado con cambio de p
fase
acoplado en un medio poroso con una condición de ‡ujo en x = 0 del tipo q0 = ;
con q0 > 0, para cualquier valor del número de Luikov Lu . Esta solución sólo
puede obtenerse cuando q0 veri…ca una cierta desigualdad. Además, para números
1
; donde " es el coe…ciente de
de Luikov grandes (más precisamente, Lu >
"K0 + 1
evaporación interna, y K0 es el número de Kossovitch), obtenemos que la distribución de temperatura t2 alcanza un valor mínimo que es menor que su temperatura
inicial o su valor límite alcanzado en +1.
2.2.
Nomenclatura
Subíndices
11
al tiempo inicial, t = 0
medio poroso secado; 0 < x < s ( )
medio poroso húmedo; x > s ( )
en el frente de evaporación, x = s ( )
0
1
2
v
ai ; i = 1; 2
a12
am
cm
c2
ki ; i = 1; 2
k21
Lcm (u0 uv )
K0 =
c2 (tv t0 )
L
Lu = am a1
q0
s( )
ti (x; ); i = 1; 2
t0
tv
Ti ; i = 1; 2
u
u0
Ui ; i = 1; 2
x
X
difusividad térmica de la fase -i:
razón de difusividades térmicas de fase 1 a fase 2
difusividad de humedad
capacidad de masa especí…ca
capacidad de calor especí…co
conductividad térmica de la fase-i:
razón de conductividades térmicas de fase 2 a fase 1
Número de Kossovitch
calor latente de evaporación de líquido
por unidad de masa
Número de Luikov
coe…ciente que caracteriza el ‡ujo de calor en x = 0
posición del frente de evaporación
temperatura de la fase-i:
temperatura inicial
temperatura al estado de cambio de fase
temperatura adimensional de la fase-i
potencial de transferencia de masa
potencial de transferencia de masa inicial
potencial de transferencia de masa
adimensional de la fase-i
coordenada espacial
longitud adimensional
Símbolos Griegos
"
m
2.3.
coe…ciente de evaporación interna
variable adimensional
constante adimensional que caracteriza
al frente de evaporación
densidad de humedad
tiempo
Introducción.
12
Los problemas de transferencia de calor y masa con cambio de fase, que ocurren en un medio poroso, tales como evaporación, condensación, congelamiento,
derretimiento, sublimación y desublimación, tienen amplia aplicación en procesos
de separación, tecnología de alimentos, migración de calor y mezclas en suelos y
terrenos, etc. Debido a la no-linealidad del problema, las soluciones usualmente
involucran di…cultades matemáticas. Sólo unas pocas soluciones exactas han sido
halladas para casos ideales. La formulación matemática de la transferencia de calor
y masa en cuerpos de capilares porosos ha sido establecida por Luikov [29], [30],
[31], [32], [33]. Otros problemas en esta dirección son [5], [8], [13], [18], [44], [50].
Una gran bibliografía sobre problemas de frontera libre y móvil para la ecuación
del calor-difusión fue dada por [53]. Gupta [20] presentó una solución aproximada al
problema de transferencia de calor y masa acoplados que involucraba evaporación.
El problema que Gupta [20] trató tiene solución analítica, la que fue presentada
por Cho [7].
La transferencia de calor y masa durante el secado desde un punto de vista
homogéneo también fue considerado en [1], [25], [6], [15], [22], [35], y [40].
En lo que sigue, estudiaremos un problema similar al de [7]. Un medio poroso
semi-in…nito
p es secado al mantener una condición de ‡ujo de calor en x = 0 del
tipo q0 = t; con q0 > 0; que fue considerado por primera vez en [48]: Inicialmente,
todo el cuerpo está a temperatura uniforme t0 y potencial de humedad uniforme
u0 : La humedad se asume que se evapora por completo a temperatura constante,
al punto de evaporación tv . También se supone que el potencial de humedad en la
primer región, 0 < x < s ( ) ; es constante en uv ; donde x = s ( ) localiza el frente
de evaporación al tiempo > 0. También se supondrá que la humedad en forma de
vapor no se lleva ninguna cantidad de calor apreciable del sistema. Despreciando la
difusión de masa debido a variaciones de temperatura, el problema puede expresarse
como:
@ 2 t1
@t1
(2.1)
(x; ) = a1 2 (x; ) ;
0 < x < s ( ) ; > 0 (region 1)
@
@x
u1 = uv ;
0 < x < s ( ) ; > 0 (region 1)
(2.2)
@t2
@ 2 t2 "Lcm @u2
(x; ) = a2 2 +
;
x > s ( ) ; > 0 (region 2)
@
@x
c2 @
@u2
@ 2 u2
(x; ) = am 2 (x; ) ;
x > s ( ) ; > 0 (region 2)
@
@x
Las condiciones iniciales y de borde son:
k1
@t1
=
@x
q
p0
en x = 0; > 0
13
(2.3)
(2.4)
(2.5)
k1
t2 = t0 en x > 0; = 0
(2.6)
u2 = u0 en x > 0; = 0
(2.7)
t1 (s ( ) ; ) = t2 (s ( ) ; ) = tv > t0 en x = s ( )
(2.8)
u1 (s ( ) ; ) = u2 (s ( ) ; ) = uv < u0 en x = s ( )
(2.9)
@t2
@t1
(s ( ) ; ) + k2
(s ( ) ; ) = (1
@x
@x
")
ds
m L dt
en x = s ( )
(2.10)
Los símbolos son dados en la nomenclatura. Aclaramos que t1 es la temperatura
del medio poroso secado, t2 es la temperatura del medio poroso húmedo y u2 es el
potencial de transferencia de masa del medio poroso húmedo.
En el párrafo 2.4, hallamos una solución a este problema, dependiendo del valor
del número de Luikov Lu , luego en los párrafos 2.5 y 2.6 discutiremos la ecuación
que determina la constante adimensional que caracteriza el frente de evaporación
cuando el número de Luikov Lu es igual a uno y Lu es diferente a uno. Finalmente, en
el párrafo 2.7 damos algunos resultados ilustrativos y una condición su…ciente (2.54)
para el número de Luikov Lu para obtener cuando la distribución de temperatura
tiene un valor mínimo menor que su temperatura inicial.
Este estudio fue motivado por el siguiente análisis matemático y físico. Teniendo
en cuenta (2.1), (2.5) y (2.8), y (2.4), (2.7) y (2.9), por el principio del máximo,
tenemos que t1 (x; ) > tv para la región 1 y uv < u2 (x; ) < u0 para la región 2
respectivamente. Esperamos desde un punto de vista físico que el frente de cambio
de fase s ( ) debería ser una función creciente. En este caso, y gracias nuevamente al
@u2
(x; ) < 0 para la región 2, luego
principio del máximo, deberíamos obtener que
@
la ecuación del calor (2.3) tiene un sumidero de calor dentro de la región 2. Debido
al principio del máximo, tenemos que t2 (x; ) < tv para la región 2 y no podemos
decir nada acerca de dónde la temperatura tiene un valor mínimo absoluto. Una de
las metas de este capítulo es obtener una condición su…ciente para los datos para
tener un valor mínimo para la temperatura dentro de su correspondiente dominio.
Más aún, podemos caracterizar a las coordenadas de este punto cuando la variable
x
toma el valor (2.57) como función de los datos.
adimensional = p
2 a1
2.4.
Solución del problema
Sean las siguientes variables y parámetros adimensionales:
ui u 0
Ui =
; para i = 1; 2
uv u0
14
(2.11)
Ti =
ti
tv
t0
; para i = 1; 2
t0
x
= p
2 a1
am
Lu =
>0
a1
Ko =
=
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Lcm (u0 uv )
>0
c2 (tv t0 )
(1 ")
k1 (tv
k21 =
m La1
t0 )
(2.15)
(2.16)
>0
k2
> 0:
k1
(2.17)
Suponiendo que U y T son sólo funciones de la variable , las condiciones (2.1)–(2.9)
nos implican que
p
(2.18)
s ( ) = 2 a1
donde es una constante positiva a ser determinada luego. Por lo tanto, las ecuaciones (2.1)-(2.4) son transformadas en las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias adimensionales en la forma:
T100 ( ) + 2 T10 ( ) = 0;
U1 = 1;
T200 ( ) + 2 T20 ( )
0<
0<
<
<
(2.20)
2"Ko U20 ( ) = 0;
Lu U200 ( ) + 2 U20 ( ) = 0;
> :
Las condiciones de frontera (2.5)-(2.10) se convierten en:
p
2q0 a1
0
T1 =
en
= 0;
k1 (tv t0 )
T10
(2.19)
>
(2.21)
(2.22)
(2.23)
T2 = 0 en
! 1;
(2.24)
U2 = 0 en
! 1;
(2.25)
T1 = T2 = 1 en
= ;
(2.26)
U1 = U2 = 1 en
= ;
(2.27)
k21 T20 =
2
15
en
= ;
(2.28)
Las soluciones de las ecuaciones (2.19) y (2.22), las cuales satisfacen las condiciones de frontera (2.23), (2.25), (2.26) y (2.27), se obtienen fácilmente de la manera
siguiente
p
q0 a 1
(erf
erf ) ;
0< <
T1 ( ) = 1 +
(2.29)
k1 (tv t0 )
1
erf
U2 ( ) =
1
erf
p
Lu
p
Lu
;
(2.30)
> :
Sustituyendo la expresión (2.30) en la ecuación (2.21), y resolviendo la ecuación
diferencial ordinaria no-homogénea resultante con condiciones de frontera (2.24) y
(2.26), obtenemos los siguientes resultados, dependiendo de si Lu = 1 o Lu 6= 1;
i.e.:
"Ko
(1 erf ( ))
si Lu = 1; >
T2 ( ) = p
e
2
1
1
erf ( )
erf ( )
e
2
+
1
1
erf ( )
;
erf ( )
(2.31)
erf
;
erf
(2.32)
o
2
"Ko Lu 6
6
T2 ( ) =
Lu 1 4
1
1
erf
erf
p
p
Lu
+
1
1
Lu
si Lu 6= 1; > :
3
erf ( ) 7
7+ 1
erf ( ) 5 1
Las funciones (2.29), (2.30) y (2.31) o (2.32) satisfacen todas las condiciones de
frontera salvo la condición (2.28). Sustituyendo estas expresiones en la condición
(2.28), la constante positiva se determina de la siguiente ecuación, dependiendo
del valor de Lu ; como sigue:
"
#
2
2
k21
e
2"K0
e
p
p
+ 2"K0 2 "K0 2 +
1 erf ( )
1 erf ( )
(2.33)
p
2 a1 q 0
2
+
e
=2 ;
>0
si Lu = 1;
k1 (tv t0 )
o
p
a 1 q0
Lu "K0 h 1
2
e
+
k2 pLu F1
(tv t0 )
L
1
u
p
= k2 F1 ( ) +
k1 ;
>0
16
p
Lu
i
F1 ( ) =
si Lu 6= 1:
(2.34)
2.5.
Discusión sobre la ecuación que determina a
, considerando el caso en que el número de
Luikov es igual a uno.
Ahora estudiemos en detalle la ecuación (2.33), vinculada al caso Lu = 1; esto
es decir, cuando am = a1 : De…nimos las siguientes funciones reales:
"
#
2
2
k21
e x
2"K0
e x
p x
(x) = p
+ 2"K0 x2 "K0 2 +
1 erf (x)
1 erf (x)
(2.35)
p
2 a1 q 0
x2
+
e
k1 (tv t0 )
(2.36)
(x) = 2 x
Entonces, la ecuación (2.33) puede ser expresada diciendo que
de la siguiente ecuación
(x) = (x) ;
x > 0:
debe ser la solución
Veamos las características de cada una de las funciones
ecuación (2.37).
que aparecen en la
Primero, tenemos que
(0) = 0 ;
y
(2.37)
es una función estrictamente creciente, con las propiedades:
(+1) = +1
;
0
(x) = 2 > 0; x > 0:
Antes que estudiemos la función ; de…namos las siguientes funciones reales:
p
2
Q (x) =
xe x (1 erf(x)) ;
x>0
2
e x
1
x2 = x2
1 erf (x)
Q (x)
La función Q tiene las siguientes propiedades:
x
W (x) = p
1 ;
x > 0:
Q (0+ ) = 0 ; Q (+1) = 1 ; Q0 (x) > 0; x > 0:
La función W es una función a valores positivos, con las siguientes propiedades [28]:
1
; W 0 (x) > 0
2
entonces W es una función estrictamente creciente. Ahora encarguémonos de
Teniendo en cuenta a W; podemos poner a de la siguiente forma:
p
2 a1 q 0
k
2
p21 F1 (x) [2"K0 W (x) + "K0 + 2]
(x) =
e x
k1 (tv t0 )
W (0+ ) = 0 ; W (+1) =
17
:
donde la función F1 está de…nida por
F1 (x) =
e
1
x2
(2.38)
erf(x)
la que tiene las siguientes propiedades
F1 (0+ ) = 1 ; F1 (+1) = +1 ; F10 (x) > 0; x > 0 ; F100 (x) > 0; x > 0
p
p
F1 (x)
=
=
:
lm
x!+1
x
Q (+1)
Entonces se escribe como la suma de dos funciones estrictamente decrecientes,
por lo tanto surge que es también una función estrictamente decreciente. Además,
tiene las siguientes propiedades:
p
2 a1 q 0
k
p21 ["K0 + 2] ;
(+1) = 1
(0) =
k1 (tv t0 )
p
2
4x a1 q0 x2 k21
e x
0
p
e
[2"K0 W 0 (x)] +
(x) =
k1 (tv t0 )
1 erf (x)
( k21 )
x > 0:
+ p F10 (x) [2"K0 W (x) + "K0 + 2] < 0;
Siguiendo, para asegurar que las dos funciones y tienen un punto de intersección,
necesitamos suponer que
(0) > (0) ;
p
2 a1 q0
k21
> p ["K0 + 2] ; lo que equivale a la condición
esto es decir,
k1 (tv t0 )
q0 >
k2 (tv t0 )
["K0 + 2] ;
p
2 a1
(2.39)
y podemos …nalmente dar el siguiente:
Teorema: Si el número de Luikov es igual a uno, y el coe…ciente q0 veri…ca la
condición (2.39) entonces existe una única solución > 0 de la ecuación (2.33).
Más aún, la solución del problema (2.1)-(2.10) está dada por (2.29)-(2.31), donde
es la única solución de la ecuación (2.33), esto es:
u1 (x; ) = uv ;
p
q0 a 1
erf
t1 (x; ) = 1 +
k1 (tv t0 )
0 < x < s( );
erf
x
p
2 a1
>0
;
0 < x < s( );
(2.40)
>0
(2.41)
18
1
u2 (x; ) =
1
2
1
6
"K0
6 e
(1 erf ( )) 4
t2 ( ) = p
1
+
erf
1
x
p
2 am
erf ( )
erf
x
p
2 a1
erf
erf
2
1
;
x
p
2 a1
erf ( )
;
p
>0
x
p
2 a1
x > s( );
s( ) = 2
2.6.
x > s( );
3
x2
7
e 4a1 7
5+
(2.42)
(2.43)
>0
(2.44)
a1 :
Discusión sobre la ecuación que determina a
, considerando el caso cuando el número de
Luikov es distinto a uno.
En este párrafo estudiaremos en detalle la ecuación (2.34), que determina al
desconocido para el caso Lu 6= 1; esto es decir, am 6= a1 : Para este propósito,
de…nimos las siguientes funciones:
p
a1 q0 x2
e
+ P (x)
(2.45)
(x) =
(tv t0 )
p
k1 x:
(2.46)
' (x) = k2 F1 (x) +
donde
P (x) =
Lu "K0
k2
Lu 1
1
p F1
Lu
x
p
Lu
F1 (x) ;
Entonces, la ecuación (2.34) puede ser escrita diciendo que
de la ecuación
(x) = ' (x) ;
x > 0:
x > 0:
(2.47)
debe ser la solución
Por lo tanto, podemos ver las características de cada una de estas funciones
(2.48)
y '.
Primero, veamos que ' (x) es una función estrictamente creciente con las propiedades:
' (0) = k2
; ' (+1) = +1
19
; '0 (x) > 0; x > 0:
Antes de estudiar a ; necesitamos analizar a la función P:
p
Lu "K0
Obviamente, la función P cuando x = 0+ es igual a p
k2 < 0; y cuando
Lu + 1
x tiende a +1 su comportamiento puede depender del valor de Lu : Bueno, esto no
sucede:
Tenemos
0
x
p
B F1
Lu
lm B
@
x!1
F1 (x)
p
entonces, podemos veri…car que:
i) Si Lu > 1; tenemos l m
x!1
1:
ii) Si Lu < 1; tenemos l m
x!1
1:
1
C
1
Lu C
A = pL
u
p
1 Lu
Lu = p
;
Lu
p1 F1
Lu
px
Lu
F1 (x) =
p1 F1
Lu
px
Lu
F1 (x) = +1; entonces P (+1) =
1; entonces P (+1) =
Por lo tanto no importa si Lu es mayor o menor que 1, P (x) siempre tiende a
1 cuando x ! +1. Entonces las propiedades de (x) son:
p
p
p
a 1 q0
a 1 q0
L "K
+
p u 0 k2 ; (+1) = 1
(0) =
+P 0 =
(tv t0 )
(tv t0 )
Lu + 1
0
(x) =
p
2 a 1 q0
xe
(tv t0 )
x2
+
Lu "K0
1 0
k2
F
Lu 1
Lu 1
x
p
Lu
F10 (x) < 0; x > 0:
Concluyendo, para asegurar la existencia de un punto de intersecciónpentre las
a 1 q0
dos funciones y '; imponemos la condición (0) > ' (0) ; esto es decir
(tv t0 )
p
Lu "K0
p
k2 > k2 ; lo que equivale a
Lu + 1
p
Lu "K0 tv t0
p
q0 > k 2 1 +
;
(2.49)
p
a1
1 + Lu
y podemos …nalmente dar el siguiente teorema:
20
Teorema: Si el número de Luikov es distinto de uno, y el coe…ciente q0 veri…ca
la condición ( 2.49) entonces existe una única solución > 0 de la ecuación ( 2.34).
Más aún, la solución del problema ( 2.1) - ( 2.10) está dada por ( 2.29) - ( 2.31),
donde es la solución de la ecuación ( 2.34), esto es decir: ( 2.40), ( 2.41), ( 2.42),
( 2.44) y
t2 ( ) =
2
"Ko Lu 6
6
Lu 1 4
1
erf
1
1
+
erf
x
p
2 am
1
+
p
Lu
x
erf
p
2 a1
1 erf
;
erf
1
x
p
2 a1
erf ( )
x > s( );
3
7
7+
5
(2.50)
> 0:
Nota: El lado derecho de la inecuación (2.49) se transforma en el lado derecho
de la inecuación (2.39) cuando Lu tiende a 1; esto es decir, podemos estudiar el
caso Lu = 1 considerando el límite Lu ! 1 en el caso Lu 6= 1; entonces podemos
resumir ambos resultados en el siguiente teorema:
Teorema: Consideremos que el coe…ciente q0 veri…ca la condición ( 2.49), entonces, para cualquier valor positivo de Lu ; existe una única solución > 0 de la
ecuación ( 2.33) o ( 2.34) dependiendo de qué valores tome Lu . Más aún, la solución
del problema ( 2.1) - ( 2.10) está dada por:
a) ( 2.41) - ( 2.42), ( 2.43) y ( 2.44), si Lu = 1;
b) ( 2.41) - ( 2.42), ( 2.50) y ( 2.44), si Lu 6= 1:
2.7.
Algunos resultados ilustrativos y una condición su…ciente para el número de Luikov para
obtener el valor mínimo de la distribución de
temperatura.
Vamos a mostrar algunos resultados de cálculos de muestra. En estos ejemplos
tomamos "K0 = 2; a1 = 1; k2 = 1; y (tv t0 ) = 1: La Figura 2.1 muestra el
comportamiento de como función de q0 : Las Figuras 2.2, 2.3 y 2.4 muestran el
comportamiento de la temperatura adimensional con respecto a la variable adimensional ; tomando Lu igual a 0.1, 1 y 4 respectivamente.
21
Figura 2.1: Comportamiento de
como función de q0
Mirando a las Figuras 2.2, 2.3 y 2.4, vemos que la distribución de temperatura t2
alcanza un valor mínimo que es menor que el valor límite t0 que la función alcanza
en +1, i.e. la temperatura inicial, aunque en la Figura 2.2 la función no tiene tal
valor mínimo. Debemos hallar los valores del coe…ciente Lu para el cual la función
T2 tiene un valor mínimo que es menor que su valor límite cuando ! +1:
Para Lu 6= 1, tomamos T2 ( ) para cualquier
2
0
21
@
6 2
6p
e Lu
6
"Ko Lu 6
Lu
T20 ( ) =
6
Lu 1 6
4 1 erf pL
u
A
1
)7
7
7
7
erf ( ) 7
7
5
=
"Ko Lu
+1
Lu 1
2
p e(
y tenemos que
T20
p
"Ko Lu
( )=0,
Lu 1
,
21
@
A
e Lu
0
1
erf
p
> ; y tenemos
3
2
2
p e(
Lu
es la solución de la siguiente ecuación:
22
1
)
erf
e(
1
2
2
)
erf
,
Figura 2.2: Comportamiento de la temperatura adimensional con respecto a la
variable adimensional ; tomando Lu igual a 0.1
Figura 2.3: Comportamiento de la temperatura adimensional con respecto a la
variable adimensional ; tomando Lu igual a 1
23
Figura 2.4: Comportamiento de la temperatura adimensional con respecto a la
variable adimensional ; tomando Lu igual a 4
(2.51)
S (x) = Z (x) ; x > ;
donde S y Z están de…nidas por:
p
"Ko Lu
S (x) =
Lu 1
Z (x) =
0
@
e
1
1
x2
A
Lu
p
erf
"Ko Lu
+1
Lu 1
e(
1
(2.52)
Lu
x2 )
erf
(2.53)
Obviamente, tanto S como Z son funciones estrictamente decrecientes (crecientes) para todo x > 0 cuando Lu > 1 (0 < Lu < 1) : Más aún, tenemos
24
0
@
p
S (x) = Z (x) , "Ko Lu
, e(1
1
Lu
e
1
erf
1
x2
A
Lu
p
= (("K0 + 1) Lu
1)
e(
1
x2 )
erf
,
Lu
L
)x2 = (("K0 + 1)
p u
"Ko Lu
1)
1
erf
1
p
Lu
erf
lo que implica que para resolver la ecuación (2.51), primero debemos asumir que
(("K0 + 1) Lu 1) > 0; esto es
Lu >
1
"K0 + 1
(2.54)
Segundo, si Lu > 1 debemos imponer que
1 erf p
(("K0 + 1) Lu 1)
Lu
p
>1
(2.55)
1 erf
"Ko Lu
lo que siempre se satisface teniendo en cuenta que la función error es una función
estrictamente creciente. Más aún, si Lu < 1 debemos imponer que
1 erf p
(("K0 + 1) Lu 1)
Lu
p
<1
(2.56)
1 erf
"Ko Lu
lo que se satisface para todo 0 < Lu < 1: Por lo tanto, si el número de Luikov Lu
veri…ca la condición (2.54) obtendremos que la solución de la ecuación S(x) = Z(x)
está dada por
v
0
1
u
u
p
1
erf
u
B (("K0 + 1) Lu 1)
u
Lu
Lu C
B
C
p
=u
log
(2.57)
@
A
t Lu 1
1 erf
"Ko Lu
Entonces obtuvimos el siguiente resultado:
Teorema: Si el número de Luikov Lu veri…ca la condición (2.54) la distribución
de temperatura t2 alcanza su valor mínimo que es menor que la temperatura inicial o
25
su valor límite en +1: El valor mínimo se alcanza cuando la variable adimensional
toma el valor (2.57).
Nota: Para números de Luikov grandes la distribución de temperatura t2 =
t2 ( ) tiene un valor mínimo absoluto menor que su temperatura inicial. Más aún,
el valor mínimo para el número de Luikov para tener esta propiedad está dado
1
explícitamente por el coe…ciente
; lo que no es un resultado intuitivo.
"K0 + 1
2.8.
Conclusión
Se obtuvieron soluciones exactas para el problema de secado con cambio de fase
acoplado en un medio poroso con condición de ‡ujo de calor sobre x = 0 del tipo
q
p0 ; con q0 > 0, para cualquier valor de Lu . Esta solución sólo se obtiene cuando
q0 veri…ca cierta inecuación explicita. Se obtienen las temperaturas de las dos fases y
el potencial de transferencia de masa usando el método de similaridad. Se muestran
algunos resultados ilustrativos. Finalmente, para números de Luikov grandes (más
1
) obtenemos que la distribución de temperatura t2
precisamente, Lu >
"K0 + 1
alcanza un valor mínimo absoluto que es menor que la temperatura inicial (o su
valor límite en +1), y caracterizamos las coordenadas de este punto cuando la
x
toma el valor (2.57) como función de los datos.
variable adimensional = p
2 a1
26
Capítulo 3
Determinación de coe…cientes
térmicos desconocidos de un
material poroso semi-in…nito
durante un problema de frontera
libre con ‡ujos de calor y
humedad acoplados.
3.1.
Resumen
Se considera un modelo analítico de congelamiento (desublimación) de humedad
en un medio poroso con una sobrecondición en el borde …jo para determinar los
coe…cientes térmicos desconocidos de un material semi-in…nito de cambio de fase.
Es un problema de frontera libre en el cual los ‡ujos de calor y de humedad ‡uyen
acoplados (ecuaciones de tipo Luikov) con ocho parámetros. Obtenemos fórmulas para los coe…cientes desconocidos y la condición necesaria y su…ciente para la
existencia de una solución.
27
Nomenclatura
ai = kcii
am
ci
ki
o
Ko = c2 (tru
0 tv )
Lu = aam2
(t0 tv )
uo
Pn =
q0
r
s(t)
t
Ti
t0
ts
tv
u
u0
difusividad térmica de la fase-i
difusividad de humedad
capacidad de calor especí…co de la fase-i
conductividad térmica de la fase-i
número de Kossovitch
número de Luikov
número de Posnov
coe…ciente que caracteriza el ‡ujo de calor en x = 0
calor latente
posición del frente de evaporación
tiempo
temperatura de la fase-i:
temperatura inicial
temperatura en el borde …jo x = 0
temperatura de cambio de fase (ts < tv < t0 )
potencial de transferencia de masa
potencial de transferencia de masa inicial
Símbolos griegos
1
=
3
=
5
=
Pn
1
Lu
p
1
p
c1 k1
u0
t0 tv
2
q0
(tv ts )
1
1
Lu
q02
8 = c1 k1 (tv ts )2
1
p
10 =
3 Lu
12
=
q
k1
a m c1
=
p
p
q0
c2 k2 (t0 tv )
q
c1 k 2
c2 k 1
c2 (t0 tv )
6 =
u0 h
1p
(
2e
7 = Ko
p
tv ts pc1 k1
9 = t0 tv c2 k2
q
q0
c1
11 = ru0
k1
4
=
4
)2
i
F1 ( )
1
densidad de masa
coe…ciente gradiente térmico
constante que caracteriza al frente de evaporación
Subíndices
i=1
región congelada
i=2
región en donde hay ‡ujos de calor y humedad acoplados.
28
3.2.
Introducción
La transferencia de calor y masa en problemas de cambio de fase que ocurre en
un medio poroso, tal como evaporación, condensación, congelamiento, derretimiento, sublimación y desublimación, tienen un amplio uso en procesos de separación,
tecnología alimenticia, migración de calor y mezclas en sólidos y suelos, etc. Debido a la no-linealidad del problema, las soluciones generalmente tienen di…cultades
matemáticas. Solamente algunas soluciones exactas se han encontrado para casos
ideales (véase [7],[8],[12],[13],[20],[28],[50] por ejemplo). Una gran bibliografía en
problemas de frontera libre y móvil para la ecuación de calor-difusión fue dada en
[53].
La formulación matemática de la transferencia de calor en los cuerpos de capilares porosos ha sido establecida por Luikov ([29]-[33]), y ha sido recientemente
considerada en [17], [23], [39], [41], [55], and [56]. Dos modelos diferentes fueron presentados por Mikhailov [36] para resolver el problema de evaporación de humedad
líquida de un medio poroso. Para el problema de congelamiento (desublimación) de
un semi-espacio poroso húmedo, Mikhailov también presentó una solución exacta
[37]. En [44] fue presentada una solución exacta para distribuciones de temperatura
y humedad en un semi-espacio poroso húmedo con una condición de ‡ujo de calor
sobre el borde …jo x = 0 del tipo pq0t .
En este capítulo consideraremos el modelo desarrollado en [37]-[44] con una
sobrecondición en el borde …jo. Esto nos permite considerar como desconocidos
a algunos coe…cientes térmicos y calcularlos, bajo ciertas restricciones especí…cas
sobre los datos, siguiendo la idea de [52] y [53] para una fase y [46] para dos fases.
Consideremos el ‡ujo de calor y humedad a través de un semiespacio poroso
durante el congelamiento. La posición del frente de cambio de fase al tiempo t está
dado por x = s (t). Éste divide al cuerpo poroso en dos regiones. En la región
congelada, 0 < x < s (t), no hay movimiento de humedad y la distribución de
temperatura está descripta por la ecuación del calor:
@T1
@t
2
(x; t) = a1 @@xT21 (x; t) ;
0 < x < s (t) ; t > 0;
a1 =
k1
:
c1
(3.1)
La región s (t) < x < +1 es la zona del cuerpo poroso de capilares húmedos en
donde existen ‡ujos de calor y humedad acoplados. El proceso está descripto por el
bien conocido sistema de Luikov [31] para el caso " = 0 (" es el factor de conversión
de fase de líquido en vapor) dado por
@T2
@t
2
(x; t) = a2 @@xT22 (x; t) ;
x > s (t) ; t > 0;
29
a2 =
k2
c2
(3.2)
@u
@t
2
(x; t) = am @@xu2 (x; t) ;
(3.3)
x > s (t) ; t > 0:
Las distribuciones iniciales de temperatura y humedad son uniformes
T2 (x; 0) = T2 (+1; t) = t0 ;
u (x; 0) = u (+1; t) = u0 :
(3.4)
Se supone que sobre la super…cie del semiespacio, la temperatura es constante
(3.5)
T1 (0; t) = ts
donde ts < tv :
Sobre el frente de congelamiento, existe la continuidad de las temperaturas:
T1 (s (t) ; t) = T2 (s (t) ; t) = tv ;
(3.6)
t > 0;
donde tv < t0 :El balance de calor y humedad en el frente de congelamiento nos da
lo siguiente
1
k1 @T
(s (t) ; t)
@x
@u
@x
2
k2 @T
(s (t) ; t) =
@x
(s (t) ; t) +
@T2
@x
r u (s (t) ; t) ds
(t) ;
dt
(s (t) ; t) = 0;
t > 0:
t > 0;
(3.7)
(3.8)
Además se considera una sobre-condición en el borde …jo x = 0 [4]; considerando
que el ‡ujo de calor depende del tiempo de la manera siguiente, como en [48]
1
(0; t) =
k1 @T
@x
q0
p
t
(3.9)
donde q0 > 0 es un coe…ciente que caracteriza el ‡ujo de calor en el borde …jo x = 0.
El conjunto de ecuaciones y condiciones (3.1)-(3.9) será llamado problema P:
La meta propuesta para este capítulo es hallar fórmulas para la determinación
de un coe…ciente térmico desconocido elegido entre (densidad de masa); am (difusividad de humedad); c1 (calor especí…co de la región congelada); c2 (calor especí…co
de la región húmeda); k1 (conductividad térmica de la región congelada); k2 (conductividad térmica de la región húmeda); (coe…ciente gradiente térmico); r (calor
latente) junto con la frontera libre s(t); las temperaturas T1 ; T2 y la humedad u:
30
3.3.
Coe…cientes térmicos desconocidos en un problema de frontera libre
Siguiendo [44], para el caso general Lu =
h
p
a1 q0
erf 2pxa1 t + erf
T1 (x; t) = tv
k1
T2 (x; t) = tv +
h
t0 tv
1 erf( )
u (x; t) = u0
u0
1
erf
px
2 a2 t
ferf
px
2 a2 t
am
a2
p
=
a12
a m c2
k2
i
6= 1 se tiene que
; 0 < x < s(t); t > 0
i
erf( ) ; x > s(t); t > 0
1
1)
exp(( Lu
2
)
p
x > s(t); t > 0
p
s (t) = 2
(3.11)
px
2 am t
1 erf
(3.10)
g ; (3.12)
Lu
a2 t
(3.13)
1
(3.14)
con
1
=
Pn
1
Lu
donde (el parámetro que caracteriza a la frontera libre) y el coe…ciente térmico
desconocido debe satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones trascendentales:
2
exp
(
4
)2
F1 ( ) = Ko
1
erf ( 4 ) =
p
f1
1 (1
Q( p
Lu
)
Q( )
)g
(3.15)
(3.16)
3
con
2
=
p
p
c2 k 2
q0
;
(t0 tv )
3
=
p
p
c1 k 1
q0
;
(tv ts )
4
=
donde las funciones reales F1 y Q están de…nidas por
F1 (x) =
exp( x2 )
;
(1 erf(x))
Q (x) =
p
x exp x2 (1
q
c1 k 2
;
c2 k 1
(3.17)
erf(x)) :
(3.18)
F10 (x) > 0 8x > 0:
(3.19)
con las siguientes propiedades
F1 (0) = 1;
Q (0) = 0;
F1 (+1) = +1;
Q (+1) = 1;
Q0 (x) > 0 8x > 0:
(3.20)
Ahora, se darán condiciones necesarias y su…cientes para obtener la solución del
sistema anterior (3.15)-(3.16) y además se darán fórmulas para el parámetro de
31
la interfase de cambio de fase y el coe…ciente térmico desconocido en los siguientes
ocho casos:
Caso 1: Determinación del coe…ciente desconocido
(c.f. Teorema A).
Caso 2: Determinación del coe…ciente desconocido r (c.f. Teorema B).
Caso 3: Determinación del coe…ciente desconocido am (c.f. Teorema C).
Caso 4: Determinación del coe…ciente desconocido
(c.f. Teorema D).
Caso 5: Determinación del coe…ciente desconocido k1 (c.f. Teorema E).
Caso 6: Determinación del coe…ciente desconocido k2 (c.f. Teorema F).
Caso 7: Determinación del coe…ciente desconocido c1 (c.f. Teorema G).
Caso 8: Determinación del coe…ciente desconocido c2 (c.f. Teorema H).
Primero, se tiene el siguiente lema preliminar:
Lema: Se tiene que
E (x) =
m2 1
1
Q(mx)
Q(x)
8x > 0; 8m > 0; m 6= 1:
< 0;
Demostración: Usando las propiedades (3.20) de la función Q, si se considera
m > 1, tenemos que m2 1 > 0 y Q(mx)
> 1; entonces se obtiene que E (x) < 0. Por
Q(x)
otro lado, si 0 < m < 1, sigue que m2
se obtiene que E (x) < 0.
1<0y
Q(mx)
Q(x)
< 1: Por lo tanto, también
Teorema 1: (Determinación del coe…ciente desconocido ).
Si
max
con
con
2
y
3
3
1
erf(
de…nidos en (3.17), donde
4 1)
1
1
;
2
(3.21)
< 1;
> 0 es la única solución de la ecuación
g1 (x) = g2 (x) ;
x>0
p
x;
g1 (x) = F1 (x) + Ko
g2 (x) =
(3.22)
2e
(
4 x)
2
;
(3.23)
y 2 y 4 están de…nidos en (3.17), entonces existe una única solución al problema
P que está dada por (3.10-3.13) donde y vienen dados por:
=
1
4
erf
1
1
3
32
>0
(3.24)
=
n
1
5
Q
1
p
Lu
Q( )
1p
Ko
(
2e
)2
4
F1 ( )
o
> 0:
(3.25)
con
=
5
u0
t0 tv
1
Lu
(3.26)
1
Demostración: Considerando (3.21), sigue que
1
(3.27)
< 1;
3
y fácilmente se obtiene que existe un único
> 0 solución de (3.16) dado por
(3.24). Entonces, al reemplazar en (3.15) y luego de algunos cálculos se tiene que
(3.25). En consecuencia, se tiene que mostrar que > 0. Primero, usando el Lema
preliminar, se ve que si se impone que
1p
Ko
1
2e
(
4
)2
F1 ( ) < 0
p
se tiene que > 0: Esto es decir F1 ( ) + Ko
<
esto puede escribirse como
g1 ( ) < g2 ( ) :
2e
(
4
)2
: De acuerdo a (3.23)
(3.28)
Las funciones g1 y g2 tienen las siguientes propiedades:
g1 0+ = 1;
g2 0+ =
g10 (x) > 0;
g1 (+1) = +1;
2;
g20 (x) < 0;
g2 (+1) = 0;
8x > 0:
8x > 0:
Luego se concluye que si
2
entonces existirá un único
cuando
1
(3.29)
> 1;
> 0 tal que g1 ( 1 ) = g2 ( 1 ). Entonces (3.28) es válida
0<
<
(3.30)
1:
Para …nalizar la demostración, se contempla que las hipótesis necesarias (3.27),
(3.29) y (3.30) pueden ser escritas de la siguiente manera: erf es una función creciente, así que (3.30) es equivalente a erf ( 4 ) < erf ( 4 1 ) : Entonces, (3.27) y
(3.30) pueden ser resumidas en
1
3
< erf (
(3.31)
4 1) :
Luego, gracias a (3.29) y (3.31) se tiene que
1>
3
1
erf(
4 1)
;
33
1>
1
2
;
esto es decir, (3.21) es válida.
Teorema 2: (Determinación del coe…ciente desconocido r)
Si
3
donde
2
1
erf(
4 2)
(3.32)
< 1;
> 0 es la única solución de la ecuación
F1 (x) = g2 (x) ;
(3.33)
x>0
con F1 y g2 de…nidas en (3.18) y (3.23) respectivamente, y 3 y 4 de…nidas en
(3.17), entonces existe una única solución al problema P que viene dada por (3.10)(3.13), donde está dado por (3.24) y r está dado por:
r=
p6
2
1
exp( (
0
B
1 @1
4
Q
)2 ) F 1 ( )
1 :
p
Lu
Q( )
(3.34)
C
A
con
6
c2 (t0 tv )
u0
=
(3.35)
Demostración: Surge fácilmente de la misma manera que la demostración del
Teorema A.
Teorema 3: (Determinación del coe…ciente desconocido am )
Si
y
1p
Ko
0<
h
2e
(
4
(3.36)
> 1;
3
i
F1 ( )
)2
1 < Pn;
(3.37)
donde 3 y 4 están de…nidas en (3.17), entonces existe una solución al problema
P que viene dada por (3.10-3.13), donde y am vienen dadas por:
=
donde
1
4
erf
1
1
;
3
am =
k2 1
c2 2
(3.38)
es una solución de la ecuación
Pn g3 (x) =
7;
(3.39)
x>0
con
g3 (x) = 1
Q( x)
Q( )
1
;
1 x2
7
=
1p
Ko
34
h
2e
(
4
)2
i
F1 ( )
1:
(3.40)
a
Demostración: De la misma manera en que se hace en el Teorema A, se obtiene
dado por (3.24) usando
la hipótesis (3.36). Entonces, al reemplazar en (3.15)
q
y llamar x =
p1
Lu
k2
a m c2
=
2 (0; 1) [ (1; +1) se tiene la siguiente ecuación
Pn g3 (x) =
h
1p
Ko
2e
(
i
F1 ( )
)2
4
1;
esto es (3.39), donde 7 es una constante respecto a x. La función g3 es una función
continua y diferenciable en R+ que tiene las siguientes propiedades:
g3 0+
= 1;
g30 1
= g30 1+ =
g3 (+1) = 0;
4Q( )
= g3 1+ =
g3 1
[ Q00 ( )
Q0 ( )
2Q( )
Q0 ( )] :
Entonces se puede decir que si 0 < 7 < Pn, se tiene al menos una solución de la
ecuación (3.39) y por lo tanto el coe…ciente desconocido am viene dado por (3.38).
Teorema 4: (Determinación del coe…ciente desconocido )
Para cualquier conjunto de datos, existe al menos una solución al problema P que
viene dada por (3.10-3.13), el coe…ciente viene dado por
=
con
4
8
erf 2 (
(3.41)
)
4
de…nida en (3.17) y
8
y el parámetro
2 (0;
5)
=
q02
c1 k1 (tv ts )2
es una solución de la ecuación
g4 (x) = g5 (x) ;
(3.42)
x>0
con
Q
1
g4 (x) = Pn
g5 (x) =
1p
Ko
[
9 F2
donde
F2 (x) =
9
y
5
=
tv
t0
10 x
4 x)
erf(
Q (x)
erf 2 (
(
4 x)
(3.43)
x
2
10
1
4 x)
F1 (x)]
x
exp( x2 )
erf(x)
p
ts pc1 k1
;
tv c2 k2
10
(3.45)
=
3
1
p
Lu
> 0 es la única solución de la ecuación g5 (x) = 0; x > 0.
35
(3.44)
(3.46)
Demostración: De (3.16) se tiene a
Reemplazando a en (3.15) se tiene
9 F2 (
4
)
como función de , dada por (3.41).
p
F1 ( ) = Ko
f1
Teniendo en cuenta que
p1
Lu
se tiene
1p
Ko
[
=
q
9 F2
(
k2
a m c2
)
4
Q
=
f1 + Pn
=
1
1
Q( p
Lu
Q( )
1 (1
)
)g :
10
erf(
4
)
F1 ( )] =
10
erf( 4 )
Q( )
2
2
10
erf (
4
)
g:
Esto es decir,
g4 ( ) = g5 ( ) ;
(3.47)
> 0:
La función g5 es una función estrictamente decreciente, con g5 (0+ ) = +1 y
g5 (+1) = 1, entonces g5 tiene un único cero positivo 3 : La función g4 = g4 (x)
es una función contínua y diferenciable que comienza en cero con valor 0, y cuando
x tiende a +1, tiende o bien a +1 o a un valor no negativo. Así que se tiene que
ambas funciones se cortarán en al menos un 2 (0; 5 ), y por lo tanto se halla una
solución a la ecuación (3.47) o lo que es lo mismo, a la ecuación (3.42).
Teorema 5: (Determinación del coe…ciente desconocido k1 )
Si (3.29) es veri…cada por los datos, y 6 > 0 es la solución de la ecuación
g6 (x) = 1;
con
g6 (x) =
1
2
(3.48)
x>0
p
fF1 (x) + Ko
x(1
x
Q( p )
Lu
)
Q(x)
1 (1
)g ;
(3.49)
donde 1 esta de…nida en (3.14) y 2 está de…nida en (3.17), entonces existe una
única solución al problema P que viene dada por (3.10)-(3.13), y el coe…ciente
térmico k1 está dado por
2
(3.50)
k1 = c1ck2 2
1
log
donde
2 (0;
6)
g6 ( )
es la única solución de la ecuación
g8 (g7 (x)) =
4
x; 0 < x <
3
36
6;
(3.51)
con
r
g7 (x) =
1
g6 (x)
log
;
0<x<
6
(3.52)
(3.53)
g8 (x) = x erf (x) :
Demostración: De (3.15) se tiene
exp
(
)2 = g6 ( )
4
(3.54)
y fácilmente se obtiene (3.50): Nótese que k1 > 0 si y sólo si 0 < g6 ( ) < 1: La
función g6 tiene las siguientes propiedades:
g6 0+ =
1
;
g60 (x) > 0; 8x > 0:
g6 (+1) = +1;
2
(3.55)
Por lo tanto, si primero se considera (3.29) y entonces se obtiene 6 > 0 como
la solución de (3.48) naturalmente surge que k1 > 0 si consideramos que
2
(0; 6 ) :Luego, al reemplazar k1 en (3.16) y después de algunos cálculos, surge que
debe veri…car la ecuación
!
r
r
1
g6 ( )
log
erf
1
g6 ( )
log
=
4
3
esto es decir, debe veri…car la ecuación (3.51), la que tiene una única solución
considerando las propiedades de las funciones g6 ; g7 y g8 .
Teorema 6: (Determinación del coe…ciente desconocido k2 )
Si (3.36) es veri…cada por los datos y
exp(
11
2
0
1
Ko
)
0
donde
11
=
q0
ru0
con
0
q
Pn (1
c1
;
k1
12
1
= erf
Q(
1
=
q
>0
3
12
0 ))
k1
a m c1
>1
(3.56)
(3.57)
(3.58)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (3.10-3.13), el coe…ciente térmico k2 está dado por
k2 =
k1 c2
c1
37
2
0
2
(3.59)
y el parámetro
2 ( 5 ; +1) es una solución a la ecuación
g9 (x) = g10 (x) ;
(3.60)
x>0
con
g9 (x) = 1
donde
10
Pn x2
2 x2
0
1
2
12
Q(
0)
12
Q(x)
;
exp(
g10 (x) =
11
2
0
)
0
1
KoQ(x)
(3.61)
es el único cero positivo de g10 (x) :
Demostración: Considerando (3.36), de (3.16) surge obviamente (3.59). Reemplazándolo en (3.15) se tiene
exp(
11
Luego, se tiene para
propiedades:
2
0
0
1;
1
KoQ(x)
Pn x2
2 x2
0
=1
2
12
1
Q(
0)
12
Q(x)
la ecuación (3.60). Las funciones g9 y g10 tienen las siguientes
g9 0+ = 1;
g10 0+ =
)
g9 (+1) = 1 + Pn (1
g10 (+1) =
exp(
11
2
0
)
1
;
Ko
0
Q(
12
0 ))
> 1:
0
g10
(x) > 0;
(3.62)
8x > 0:
(3.63)
exp( 20 )
1
Por lo tanto, si se considera 11
> 1 + Pn (1 Q ( 12 0 )) se puede
Ko
0
a…rmar que existirá al menos un > 0 solución de la ecuación (3.60). Es sencillo
ver que > 10 donde 10 es la única solución de
g10 (x) = 0;
Si
x > 0:
Teorema 7: (Determinación del coe…ciente desconocido c1 )
n
o
max 1 ; 2 1 6 < 1
2
3 4
(3.64)
(3.65)
y 4 de…nidos en (3.17), y 6 es la solución de la ecuación (3.48), entonces existe una única solución al problema P que viene dada por (3.10-3.13), el
coe…ciente térmico c1 está dado por
2;
3
c1 =
k 1 c2
k2
log
38
1
g6 ( )
2
(3.66)
donde
2 (0;
6)
es la única solución de la ecuación
1p
g11 (g7 (x)) =
x
3 4
; 0<x<
(3.67)
6
con g7 de…nida en (3.52), y g11 de…nida por
erf(x)
:
x
g11 (x) =
(3.68)
Demostración: Como en el Teorema F, de (3.15) se tiene (3.54), y obviamente
sigue (3.66): Nótese que c1 > 0 si y sólo si 0 < g6 ( ) < 1: Por lo tanto, si primero
se considera (3.65), la condición (3.29) es válida y entonces se obtiene 6 > 0 como
la solución de la ecuación (3.48); naturalmente surge que c1 > 0 si se toma un
2 (0; 6 ) : Reemplazando (3.66) en (3.16) se obtiene
erf
s
log
s
1
g6 ( )
!
1
log
g6 ( )
1p
=
3 4
;
esto es, debe veri…car la ecuación (3.67).Considerando (3.29) y 6 como antes, la
función g7 ; de…nida sobre el dominio [0; 6 ) ; tiene las siguientes propiedades:
p
g7 0+ = log ( 2 );
g7 6 = 0;
g70 (x) < 0; 8x > 0:
(3.69)
La función g11 tiene las siguientes propiedades:
g11 0+ =
p2
Más aún, la función g11
que si vale que
;
0
g11
(x) < 0; 8x > 0:
g11 (+1) = 0;
(3.70)
g7 es una función creciente. Entonces se puede asegurar
g11 (g7 ( 6 )) =
p2
>
1p
3 4
6
(3.71)
;
y esto está incluído en la hipótesis (3.65), entonces existe un único
que (3.67) vale.
2 (0;
6)
tal
Teorema 8: (Determinación del coe…ciente desconocido c2 )
Si
max
1
3
;
0
exp(
2
0
)
11
<1
(3.72)
donde 3 está de…nida en (3.17), 11 está de…nida en (3.57) y 0 está de…nido en
(3.58), entonces existe una solución al problema P que viene dada por (3.10-3.13),
el coe…ciente térmico c2 está dado por
c2 =
c1 k2
k1
39
2
2
0
(3.73)
y el parámetro
2 (0;
12 )
es una solución de la ecuación
g9 (x) = g12 (x) ;
con
g12 (x) =
g9 está de…nida en (3.61), y
12
exp(
11
2
0
(3.74)
x>0
)
2
4
2
0
0
Ko
p xF1
(3.75)
(x) ;
> 0 es la única solución a la ecuación
g12 (x) = 0;
(3.76)
x > 0:
Demostración: Considerando (3.72), de (3.16) se tiene a c2 como función de
dada por (3.73): Reemplazándola en (3.15), luego de alguns cálculos se tiene que
debe veri…car la ecuación (3.74):La función g12 tiene las siguientes propiedades:
exp(
g12 0+ =
11
2
0
0
)
;
g12 (+1) =
0
g12
(x) < 0:
1;
(3.77)
exp( 20 )
Entonces, teniendo en cuenta (3.62), tenemos que si 11
> 1 (lo que se
0
veri…ca gracias a (3.72)) entonces existe al menos un 2 (0; 12 ) que veri…ca la
ecuación (3.74), donde 7 > 0 es la única solución de la ecuación (3.76).
3.4.
Conclusiones
Daremos las resultados obtenidos en los Teoremas anteriores de forma resumida
en una tabla:
Caso
Restricciones
Solución
1
3 erf(
;
max
;
<1
4 1)
2
donde 1 > 0 es la única
solución de la ecuación
g1 (x) = g2 (x) ; x > 0
1
erf(
=
=
5
p
Lu
Q( )
Q
1
=
<1
donde 2 > 0 es la única
solución de la ecuación
F1 (x) = g2 (x) ; x > 0
3
;r
1
4 2)
r=
1
4
2
p6
1
=
; am
0<
2e
( 4
)2
3
p
Ko
>1
F1 ( )
erf
1 < Pn;
40
1
1
4
2e
1
3
exp( (
0
1
1
erf
n
1
4
B
1 @1
erf
4
Q
)
2
>0
3
( 4 )2
p
Ko
>0
( )
) F1 1
p
Lu
Q( )
1
1
1
C
A
3
am = kc22 12
donde es una solucion de
Pn g3 (x) = 7 ; x > 0
F1 ( )
o
> 0:
Caso Restricciones
;
; k1
; k2
; c1
___
(3.29) es veri…cada
por los datos
>
0 es la solución
6
de la ecuación
g6 (x) = 1; x > 0
(3.36) es veri…cada
por los datos
exp( 20 )
1
+
11
Ko
0
Pn (1 Q ( 12 0 )) > 1
max
n
1
2
;2
1
3 4 6
o
Solución
= 8 erf 2 ( 4 )
2 (0; 5 ) es una
solucion de la ecuacion
g4 (x) = g5 (x) ; x > 0
2
k1 = c1ck2 2
1
log
g6 ( )
2 (0; 6 ) es la unica
solucion de la ecuacion
g8 (g7 (x)) = 4 x; 0 < x <
3
k 1 c2
c1
k2 =
2 ( 5 ; +1) es una
solucion de la ecuacion
g9 (x) = g10 (x) ; x > 0
k 1 c2
k2
log
<1
3 4
2
; c2
max
1
3
;
11
2
0
)
1
g6 ( )
c1 =
2
2 (0; 6 ) es la unica
solucion de la ecuacion
1p
g11 (g7 (x)) =
; 0<x<
x
c1 k2
k1
0 exp(
6
2
0
2
c2 =
2
0
2 (0; 12 ) es una
solucion de la ecuacion
g9 (x) = g12 (x) ; x > 0
<1
41
6
42
Capítulo 4
Determinación de coe…cientes
térmicos desconocidos de un
material poroso semi-in…nito
durante un problema de frontera
móvil con ‡ujos de calor y
humedad acoplados.
4.1.
Resumen
Se considera un modelo analítico de congelamiento (desublimación) de humedad
en un medio poroso con una sobrecondición en el borde …jo para determinar los
coe…cientes térmicos desconocidos de un material semi-in…nito de cambio de fase.
Es un problema de frontera móvil en el cual los ‡ujos de calor y de humedad ‡uyen
acoplados (ecuaciones de tipo Luikov) con ocho parámetros. Obtenemos fórmulas para los coe…cientes desconocidos y la condición necesaria y su…ciente para la
existencia de una solución.
43
Nomenclatura
am
ci
ki
Ko =
Lu =
Pn =
q0
r
s(t)
t
Ti
t0
ts
tv
u
u0
difusividad de humedad
capacidad de calor especí…co de la fase-i
conductividad térmica de la fase-i
número de Kossovitch
número de Luikov
ruo
c2 (t0 tv )
am
a2
(t0 tv )
uo
número de Posnov
coe…ciente que caracteriza el ‡ujo de calor en x = 0
calor latente
posición del frente de evaporación
tiempo
temperatura de la fase-i:
temperatura inicial
temperatura en el borde …jo x = 0
temperatura de cambio de fase (ts < tv < t0 )
potencial de transferencia de masa
potencial de transferencia de masa inicial
Subíndices
i=1
región congelada
i=2
región en donde hay ‡ujos de calor y humedad acoplados.
Símbolos griegos
densidad de masa
coe…ciente gradiente térmico
constante que caracteriza a la frontera móvil
4.2.
Introducción
La transferencia de calor y masa en problemas de cambio de fase que ocurre en
un medio poroso, tal como evaporación, condensación, congelamiento, derretimiento, sublimación y desublimación, tienen un amplio uso en procesos de separación,
tecnología alimenticia, migración de calor y mezclas en sólidos y suelos, etc. Debido a la no-linealidad del problema, las soluciones generalmente tienen di…cultades
matemáticas. Solamente algunas soluciones exactas se han encontrado para casos
ideales (véase [7],[8],[12],[13],[20],[28],[50] por ejemplo). Una gran bibliografía en
problemas de frontera libre y móvil para la ecuación de calor-difusión fue dada en
[53].
44
El cálculo de la temperatura y los contenidos de humedad en medios de capilares porosos, teniendo el conocimiento de condiciones iniciales y de borde, como así
también de las propiedades termofísicas que aparecen en las fórmulas, constituye un
problema directo de transferencia de calor y masa. El enunciado matemático de tal
clase de problemas fue establecido por Luikov ([29]-[33]). Este tipo de problemas ha
sido resuelto analíticamente mediante distintas aproximaciones, y fue recientemente
considerado en [17], [23], [39], [41], [55], y [56]. Dos modelos diferentes fueron presentados por Mikhailov [36] para resolver el problema de evaporación de humedad
líquida de un medio poroso. Para el problema de congelamiento (desublimación) de
un semi-espacio poroso húmedo, Mikhailov también presentó una solución exacta
[37]. En [44] fue presentada una solución exacta para distribuciones de temperatura
y humedad en un semi-espacio poroso húmedo con una condición de ‡ujo de calor
sobre el borde …jo x = 0 del tipo pq0t .
En este capítulo consideraremos nuevamente al modelo desarrollado en [37],[44]
pero esta vez como un problema de frontera
p móvil, esto es decir que conocemos a
x = s(t) (dada por la expresión s(t) = 2 t con > 0 una constante dada), con
una sobrecondición en el borde …jo. Esto nos permite considerar como desconocidos
a dos coe…cientes térmicos y calcularlos, bajo ciertas restricciones especí…cas sobre
los datos, siguiendo la idea de [52] y [53] para una fase y [46] para dos fases en un
problema de cambio de fase.
Consideremos el ‡ujo de calor y humedad a través de un semiespacio poroso
durante el congelamiento. La posición del frente de cambio de fase al tiempo t está
dado por x = s (t). Éste divide al cuerpo poroso en dos regiones. En la región
congelada, 0 < x < s (t), no hay movimiento de humedad y la distribución de
temperatura está descripta por la ecuación del calor:
@T1
@t
(x; t) =
k1 @ 2 T1
c1 @x2
(x; t) ;
0 < x < s (t) ; t > 0:
(4.1)
La región s (t) < x < +1 es la zona del cuerpo poroso de capilares húmedos en
donde existen ‡ujos de calor y humedad acoplados. El proceso está descripto por el
bien conocido sistema de Luikov [31] para el caso " = 0 (" es el factor de conversión
de fase de líquido en vapor) dado por
@T2
@t
@u
@t
(x; t) =
k2 @ 2 T2
c2 @x2
(x; t) ;
2
(x; t) = am @@xu2 (x; t) ;
x > s (t) ; t > 0;
x > s (t) ; t > 0:
(4.2)
(4.3)
Las distribuciones iniciales de temperatura y humedad son uniformes
T2 (x; 0) = T2 (+1; t) = t0 ;
u (x; 0) = u (+1; t) = u0 :
45
(4.4)
Se supone que sobre la super…cie del semi-espacio, la temperatura es constante
(4.5)
T1 (0; t) = ts
donde ts < tv :
Sobre el frente de congelamiento, existe la continuidad de las temperaturas:
T1 (s (t) ; t) = T2 (s (t) ; t) = tv ;
(4.6)
t > 0;
donde tv < t0 : El balance de calor y humedad en el frente de congelamiento nos da:
1
k1 @T
(s (t) ; t)
@x
@u
@x
2
k2 @T
(s (t) ; t) =
@x
(s (t) ; t) +
@T2
@x
r u (s (t) ; t) ds
(t) ;
dt
(s (t) ; t) = 0;
t > 0;
t > 0:
(4.7)
(4.8)
Además vamos a considerar una sobre-condición en el borde …jo x = 0 [4];
considerando que el ‡ujo de calor depende del tiempo de la manera siguiente, como
en [48]
1
k1 @T
(0; t) = pq0t
(4.9)
@x
donde q0 > 0 es un coe…ciente que caracteriza al ‡ujo de calor sobre el borde …jo
x = 0.
La frontera móvil x = s(t) de…nida para t > 0 con s(0) = 0, está dada por
p
(4.10)
s (t) = 2 t
donde
> 0 es una constante dada (que puede ser determinada experimentalmente).
El conjunto de ecuaciones y condiciones (4.1)-(4.10) se llama problema P:
La meta propuesta para este capítulo es hallar fórmulas para la determinación
de dos coe…cientes térmicos desconocidos elegidos entre (densidad de masa); am
(difusividad de humedad); c1 (calor especí…co de la región congelada); c2 (calor especí…co de la región húmeda); k1 (conductividad térmica de la región congelada);
k2 (conductividad térmica de la región húmeda); (coe…ciente gradiente térmico);
r (calor latente) junto con las temperaturas T1 ; T2 de las dos fases y la humedad u
como función de los restantes coe…cientes térmicos y los datos del problema. Obtendremos las condiciones necesarias y/o su…cientes que deben veri…car los datos para
encontrar las expresiones explícitas para los dos coe…cientes térmicos desconocidos
en 28 casos diferentes.
46
4.3.
Coe…cientes térmicos desconocidos en un
problema de frontera móvil.
Siguiendo [37] y [44], para el caso general Lu =
h
p
q0
p
c1 k1
T1 (x; t) = tv
T2 (x; t) = tv +
x
p
erf
t0 rtv
Lu
1 erf(
)
am
h
02 t
exp
con
0
=
1
( Lu
q
q
erf
1 ferf
u (x; t) = u0
+ erf (
1)
q
0
am
a2
=
a m c2
k2
6= 1 se tiene que
i
) ; 0 < x < s(t); t > 0
q
i
Lu
erf( am ) ; x > s(t); t > 0 (4.12)
x
Lu p
am 2 t
Lu p
x
am 2 t
Lu
am
2
c1
;
k1
(4.13)
px
2 am t
1 erf
p
1
g ; x > s(t); t > 0
Lu
=
(4.11)
am c2 (t0 tv )
k 2 a m c2
=
Pn
1
Lu
1
(4.14)
;
donde los dos coe…cientes térmicos desconocidos deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones trascendentales:
q
Q( pa )
2
Lu
m !
r
= 3 f1
exp
(
)
F
)g (4.15)
1
1 (1
2
0
am
Q
erf (
0
Lu
am
1
) =
(4.16)
4
con
2
=
p
4
=
p
p
c2 k2
p
q0
;
(t0 tv )
3
=
q0
c1 k1 (tv ts )
q
r u0
c2 k2 (t0 tv )
=
q
Lu
Ko;
am
(4.17)
donde las funciones reales F1 y Q están de…nidas por
exp ( x2 )
F1 (x) =
;
(1 erf(x))
Q (x) =
p
x exp x2 (1
erf(x))
(4.18)
con las siguientes propiedades
F1 (0) = 1;
F1 (+1) = +1;
47
F10 (x) > 0 8x > 0
(4.19)
Q (0) = 0;
Q0 (x) > 0 8x > 0:
Q (+1) = 1;
(4.20)
Ahora daremos la prueba para los 28 casos posibles y diferentes para el Problema
P: Estos resultados aparecen resumidos en el Apéndice C, en donde se muestran
las condiciones necesarias y su…cientes que deben veri…car los datos para la existencia de solución del problema y los correspondientes coe…cientes desconocidos. Hay
varios casos en donde el problema de frontera móvil tiene una única solución si y
solamente si algunas condiciones se veri…can. Las constantes y funciones usadas en
este capítulo también se resumen en los Apéndices A y B respectivamente.
Teorema 1: (Determinación de los coe…cientes desconocidos c1 y k1 )
Si los datos del problema veri…can
5
=
1
2
q
n
Lu
F1
am
+
3
(1
Q( p
)
am
!)
r
Lu
Q
am
1 (1
)g < 1
(4.21)
con 1 ; 2 y 3 de…nidos en (4.14) y (4.17), y F1 y Q de…nidos en (4.18) , entonces
existe una única solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), y los
coe…cientes térmicos k1 y c1 vienen dados por las siguientes expresiones:
1
0
s
p
1
A
k1 = (tv qt0s ) F2 @
(4.22)
1
log
5
c1 =
p
q0
F
(tv ts ) 3
0
@
s
1
log
1
5
1
A
(4.23)
donde las funciones reales F2 y F3 están de…nidas por
F2 (x) =
erf (x)
;
x
(4.24)
F3 (x) = x erf (x) :
Demostración: Considerando que x =
q
c1
k1
e y =
p
c1 k1 (tv ts )
p
;el
q0
sistema
(4.15-4.16) puede ser escrito de la manera siguiente:
x2 = 5
(4.25)
erf (x) = y
(4.26)
p
De (4.25) surge fácilmente que x =
log ( 5 ): Notemos que x > 0 únicamente
si 0 < 5 < 1: 5 siempre es un número positivo, teniendo en cuenta el resultado
exp
48
del Lema del Capítulo anterior sobre el signo de
m2 1
1
Q(mx)
Q(x)
, por lo tanto sólo debemos
imponer que 5 sea menor que uno, vale decir la condición (4.21). Entonces, de
p
log ( 5 ) : Finalmente, luego de algunos cálculos
(4.26) surge que y = erf
obtenemos (4.22) y (4.23).
Teorema 2: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si los datos del problema veri…can
6
k1 (tv
p
=
ts )
q0
y am )
2
<p
(4.27)
y
8
=
1
Pn
1
h
i
2
1
c1 q0 exp (F2 ( 6 ))
2
k1 ru0
(F2 1 ( 6 ))
+
F ( )
p1 7
K0 7
2 ( 1; 1) [ [0; +1)
q
con 7 = cc12 kk21 F 11( ) ; entonces la solución del problema P viene dada por (4.116
2
4.13), y los coe…cientes térmicos y am están dados por:
=
k1
F2 1 ( 6 )
2c
1
2
(4.28)
2
am =
donde
(4.29)
2
es la única solución de
F4 (x) = F5 (x) ;
(4.30)
x>0
donde
F4 (x) =
8
c1 k 2
x2
c2 k1 [F 1 ( )]2
6
2
F5 (x) = 1
Q
q
1 ;
Q (x)
c1 k 2
1
c 2 k 1 [F 1 (
2
:
6)
]
Demostración: De (4.16) e imponiendo (4.27), tenemos que (4.28) es válida.
Luego, de (4.15) tenemos que
1
Pn
1
h
i
2
1
c1 q0 exp (F2 ( 6 ))
2
k1 ru0
(F2 1 ( 6 ))
+
F ( )
p1 7
K0 7
49
c1 k 2
x2
c2 k1 [F 1 ( )]2
6
2
Q
1
=1
p
am
Q ( 7)
donde
7
=
r
c1 k2
1
;
1
c2 k1 F2 ( 6 )
esto es decir, tenemos (4.30). La solución de esta ecuación dependerá del signo
de 8 . Es sencillo observar que si 8
0 siempre existirá una única solución de
(4.30), pero si 8 < 0 sólo existirá una única solución de nuestra ecuación cuando
8 < ( 1). En cualquiera de estos casos am viene dado por la expresión (4.29)
Teorema 3: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
10
=
i
h
2
1
c1 q0 exp (F2 ( 6 ))
2
k1 ru0
(F2 1 ( 6 ))
y c2 )
(4.31)
>1
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
el coe…ciente está dado por (4.28) y el coe…ciente c2 está dado por la expresión
2
c1 k2
c2 =
k1 F2 1 ( 6 )
donde
(4.32)
es una solución de
F6 (x) = F7 (x) ;
(4.33)
x>0
considerando que
F6 (x) =
11
=
11 P
10
(t0 tv )
p c1 k 2
;
ru0 k1 [F 1 ( )]2
6
2
(x) ;
P (x) = xF1 (x);
F7 (x) = 1
am Pn x2 Q( pam )
2
am x2 Q(x)
Demostración: De la misma manera en que fue hecho en el Teorema 2, de
(4.16) e imponiendo (4.27),
q sigue que (4.28) es válida. Entonces, de (4.15) y considerando aquí que x =
1
c1 k2
1
c 2 k 1 [F 1 (
2
i
h
2
1
c1 q0 exp (F2 ( 6 ))
2
k1 ru0
(F2 1 ( 6 ))
+
6)
]
tenemos que
(t0 tv )
p c1 k2
xF1 (x)
ru0 k1 [F 1 ( )]2
6
2
=
am Pnx2
2 a x2
m
1
Q( p
am
Q(x)
)
esto es decir, tenemos la ecuación (4.33). La función F7 tiene las siguientes
propiedades:
F7 0+ = 1;
F7 (+1) = 1 + Pn 1
50
Q( pam ) > 1
(4.34)
Así que podemos decir que tendremos al menos una solución de la ecuación
(4.33) si imponemos que 10 > 1. Es evidente que (4.32) se desprende de la de…nición
de x:
Teorema 4: (Determinación de los coe…cientes desconocidos r y am )
Si los datos del problema veri…can
12
t0 tv
tv ts
=
q
F1
c2 k2
c1 k1
r
c2
k2
F2 ( 0 )
<1
(4.35)
entonces la solución al problema P viene dada por (4.11-4.13), donde el coe…ciente
r está dado por:
r
c2
2
13
2 exp( ( 0 ) ) F1
k2
0
1
(4.36)
r=
Pn
k2
a m c2
1
para cada am 2 R+ ; donde
13
=
(t0 tv )
u0
1
B
B1
@
q
Q( p
) C
a
C
r m
A
c2
Q
k2
c2 k2
:
Demostración: Si la ecuación (4.16) es veri…cada por los datos del problema,
primero …jamos un am 2 R+ y luego de realizar algunos cálculos con (4.15) obtenemos que (4.36) vale. Entonces restaría probar que r > 0. Es sencillo veri…car que
si imponemos que
q
c2
< 2 exp
( 0 )2
F1
k2
tendremos a r > 0; teniendo en cuenta el resultado del Lema del capítulo anterior
2 1
: Considerando nuevamente a (4.16) obtenemos
que hablaba sobre el signo de mQ(mx)
1
que hay que imponer que
t0 tv
tv ts
Q(x)
q
c2 k2
c1 k1
F1
F2
r
c2
k2
r
c1
k1
< 1; esto es decir que la condición
(4.35) sea válida para tener r > 0:Este análisis puede ser realizado para cualquier
am > 0 dado
Teorema 5: (Determinación de los coe…cientes desconocidos c2 y k2 )
Si los datos del problema veri…can
q
c1 k1
tv ts
F8 ( 0 ) < 1
14 = ru0
(4.37)
donde la función F8 está de…nida por
F8 (x) =
exp ( x2 )
;
erf (x)
51
(4.38)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), el coe…ciente c2 viene dado por
k2
c2 = 2 2
(4.39)
donde
es una solución de la ecuación
F7 (x) = F9 (x) ;
para cada k2 2 R+ ; con
q0
ru0
F9 (x) =
exp
(
0
(4.40)
x>0
)2 +
k (t t )
p2 02 v P
ru0
(x) :
(4.41)
Demostración: Primero, como en el Teorema Anterior, los datos del problema
deben
satisfacer la ecuación (4.16). Entonces, de (4.15) y considerando aquí a x =
q
c2
tenemos que
k2
q0
ru0
exp
(
2
)
0
+
k (t t )
p2 02 v xF1
ru0
am Pnx2 Q( pam )
;
2
am x2 Q(x)
(x) = 1
esto es decir, tenemos (4.40). La función F9 tiene las siguientes propiedades:
F9 0+ =
q0
ru0
)2 ;
F90 (x) < 0 8x > 0:
(4.42)
Entonces, teniendo en cuenta las propiedades de F7 ; ya enumeradas en (4.34), tenemos que ambas funciones se encontrarán en al menos un x > 0 si se veri…ca que
q0 exp[ ( 0 )2 ]
> 1: Luego, teniendo en cuenta a (4.16) hallamos una solución para la
ru0
ecuación (4.40) si (4.37) es válida. Como antes, es evidente que (4.39) se desprende
de la de…nición de x: Este análisis puede ser realizado para cualquier k2 > 0 dado
exp
(
0
F9 (+1) =
1;
Teorema 6: (Determinación de los coe…cientes desconocidos r y )
Si los datos del problema veri…can
15
=
(t0
(tv
r
Lu
tv ) q c2 k2 F1 ( am )
<1
ts ) c1 k1 F5 ( 0 )
(4.43)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), el coe…ciente r viene dado por
13
r=
2 exp( (
2
0 ) ) F1
0
r
Lu
am
!!
1
Q( p
) C
am
(t0 tv ) B
B
!C
r
1
1
B
C
1
A
Lu
u0
1 @
Q
Lu
am
52
(4.44)
2 R+ :
para cada
Demostración: También aquí, si los datos del problema satisfacen la ecuación
(4.16) tenemos que, …jando un 2 R+ ; se obtiene de (4.15) luego de simples cálculos
a (4.44). Entonces restaría probar que r > 0. Es sencillo veri…car que si imponemos
que
q
F1
Lu
am
<
2
exp
(
)2
0
tendremos a r > 0; teniendo nuevamente en cuenta el resultado del Lema del
2 1
: Considerando nuevamente
capítulo anterior que hablaba sobre el signo de mQ(mx)
1
Q(x)
a (4.16) obtenemos que hay que imponer que (4.43) sea válida para tener r > 0:
Este análisis puede ser realizado para cualquier > 0 dado
Teorema 7: (Determinación de los coe…cientes desconocidos y k1 )
Siempre existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), los
coe…cientes k1 y vienen dados por
2
k1 =
log
c1
1
F10 (x)
(4.45)
;
=
donde
es una solución de
A
F10
(x) =
c1 (tv ts )
p
x;
q0
(4.46)
x > 0;
con
F10 (x) =
y
q
p
c2 k2 (t0 tv )
x
q0
F1
q
c2
k2
p
A
F10
(x) = F3
x +
r
p
log
c Ko
p2
k2
1
F10 (x)
1
am c2 Pnx
k2 a m c2 x
1
!
Demostración: Trabajando en la ecuación (4.15) obtenemos que
q
0
2
c1
q0 exp
q
q
p
k1
ru
c2
@1
= F1
+ pc2 k2 (t00 tv ) 41 ka2m ca2mPn
c 2 k2
k2
c2
(t0 tv )
53
Q( p
)
a
q c mp
2
Q
x
k2
Q( p
)
a
r m
c2
Q
k2
13
A5
de donde surge (4.45) habiendo considerado que = x: Para que suceda que k1 > 0,
sólo deberíamos tener que 0 < F10 (x) < 1:Luego, de (4.16) tenemos
!
r
erf
1
F10 (x)
log
=
p
c (t t )
s1 v s
1
q0 log
F10 (x)
x
lo que puede escribirse como (4.46). La función F10 tiene las siguientes propiedades:
F10 0+ = 0;
0
F10
(x) > 0; 8x > 0
F10 (+1) = +1;
Luego existirá un b tal que F10 (b) = 1; y entonces 0 < F10 (x) < 1 para todo
A
tiene las siguientes propiedades:
x 2 (0; b) : Por lo tanto, la función F10
A
F10
0+ = +1;
A
F10
(b) = 0;
A0
F10
(x) < 0; 8x 2 (0; b) :
Resulta evidente que (4.46) tendrá una única solución.que pertenecerá al intervalo
(0; b), y para esa solución encontrada se cumple que 0 < F10 (x) < 1:
Teorema 8: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
17
=
(t0
10
tv ) h c2
+
u0
r
1
Q( pam )
i
>1
y k2 )
(4.47)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
el coe…ciente está dado por (4.28) y el coe…ciente k2 está dado por
k2 =
donde
1
(4.48)
2
es una solución de
F11 (x) = 1;
(4.49)
x>0
considerando que
F11 (x) =
1
16
am c2 Pnx2
1
am c2 x2
donde
16
=1
Q( p
)
am
p
Q( c2 x)
1
q0
exp
ru0
54
(
1
p
KoQ( c2 x)
0
)2
(4.50)
(4.51)
Demostración: De la ecuación (4.16) e imponiendo (4.27), tenemos que
q (4.28)
es válida. Independientemente, de (4.15) tenemos que si llamamos x =
queda que
q0
exp
ru0
1
(
0
)2 =
am c2 Pnx2
1
am c 2 x 2
Q( p
)
am
p
Q( c2 x)
1
1
;
k2
nos
1
;
p
KoQ( c2 x)
lo que puede escribirse como (4.49) teniendo en cuenta (4.50) y (4.51). La función
F11 tiene las siguientes propiedades:
o
1 n
+
1
p
F11 0 = 1;
F11 (+1) =
Pn 1 Q( am )
Ko
16
Por lo tanto, para que exista solución de (4.50) debe suceder que
1 n
Pn 1
16
Q( p
am
1
Ko
)
o
> 1:
Reemplazando en esta desigualdad el valor de obtenido y trabajando algebraicamente, obtenemos que para que exista solución debe ser válida (4.47).
Teorema 9: (Determinación de los coe…cientes desconocidos y r)
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
q
h
i
2
1
1
c2 k 1
1
=
F
(
F
(
))
exp
F
(
)
<1
1
21
6
6
2
c1 k 2 2
19
(4.52)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
el coe…ciente está dado por (4.28) y el coe…ciente r está dado por
18
19 exp
r=
1
considerando que
q
(t0 tv )
c1 c2 k2
18 =
2u F 1(
k1
0 2
q
q0
c1
19 =
c2 k1 k2 F 1 ( )
20
=
(F2 1 (
0
B
Pn B
B1
1
@
20
2
6 ))
Q
6)
6
2
1 k2
2
a m c2 k1 F 2 1 ( 6 )
2c
[
]
55
r
F1
Q( p
r
am
c2 k 1
F 1(
c1 k 2 2
1
)
c2 k1
F 1(
c1 k2 2
6)
C
!C
C
A
6)
!!
(4.53)
Demostración: Como antes, de (4.16) e imponiendo (4.27), tenemos que (4.28)
es válida. Independientemente, despejando de (4.15) surge (4.53). Entonces restaría
probar que r es positivo. Es sencillo veri…car que si imponemos que
q
2
1
c2 k 1
F1
F 1 ( 6) > 1
F2 ( 6 )
19 exp
c1 k 2 2
o lo que es equivalente, a (4.52), tendremos que r > 0, teniendo en cuenta el
2 1
resultado del Lema del capítulo anterior que hablaba sobre el signo de mQ(mx)
:
1
Teorema 10: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
22
Pn 1 Q( p
=
)
am
c2 (t0 tv )
1) 1+
ru0
2
(
am
Q(x)
y c1 )
(4.54)
<1
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
el coe…ciente c1 está dado por
c1 =
y el coe…ciente
k1
F2 1 ( 6 )
2
(4.55)
está dado por
k2
2c
2
=
donde
2
2
(4.56)
es una solución de
F7 (x) = F12 (x) ;
(4.57)
x>0
considerando que
F12 (x) =
c2 q 0 1
k2 ru0 x2
n
h
exp
F2 1 ( 6 )
2
i
o
k2 (t0 tv )
p
P (x)
q0
Demostración: De manera similar a lo hecho anteriormente, de (4.16) e imponiendo (4.27), obtenemos
que (4.55) es válida. Reemplazando en (4.15) y conq
c2
; obtenemos a (4.57). La función F12 tiene las siguientes
siderando a x =
k2
propiedades:
F12 0+ = +1;
F12 (+1) =
c2 (t0 tv )
;
ru0
0
F12
(x) < 0; 8x > 0
2
Considerando las propiedades de F7 ya vistas en (4.34) se desprende que si am 1 < 0
2
siempre habrá única solución a (4.57), pero en cambio si am 1 > 0; sólo habrá
56
única solución en el caso en que valga (4.54). Para …nalizar, notemos que si
2
1 < 0 también se veri…ca (4.54).
am
Teorema 11: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
2
1+
=
23
r
18 F1 (
r
c2 k 1
F 1(
c1 k 2 2
6 ))
y )
(4.58)
<1
10
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
los coe…cientes y están dados por (4.28) y
1
10 +
=
2
r
18 F1
0
(t0 tv ) B
B
1
u0 ( 20 1) B
@
Q
r
r
c2 k1
F 1(
c1 k2 2
Q( p
am
6)
(4.59)
1
)
c2 k1
F 1(
c1 k2 2
!
6)
C
!C
C
A
Demostración: De manera similar a lo hecho anteriormente, de (4.16) e imponiendo (4.27), tenemos que (4.28) es válida. Reemplazando en (4.15) y despejando
surge que
h
i
2
1
c1 q0 exp (F2 ( 6 ))
2
k1 ru0
(F2 1 ( 6 ))
q
=1
q
c1 c2 k2 (t0 tv )
F(
k1 ru0 F2 1 ( 6 ) 1
(t0 tv )
u0 ( 20 1)
0
B
@1
Q
r
c2 k 1
F 1
c1 k 2 2
Q( p
am
)
c2 k 1
F 1(
c1 k 2 2
( 6 )) =
1
6)
C
!A
de donde obtenemos a (4.59). Teniendo en cuenta el resultado del Lema del capítulo
2 1
; tenemos que > 0 cuando 1
anterior que hablaba sobre el signo de mQ(mx)
10 +
1 Q(x)
q
2
c2 k1
F
F 1 ( 6 ) > 0; vale decir cuando vale (4.58).
r 18 1
c1 k2 2
Teorema 12: (Determinación de los coe…cientes desconocidos am y k1 )
Si los datos del problema veri…can
8
9
r
h
i
2 =
c2
1
<
F1 (
) 2 exp (F3 ( 24 ))
k2
1
1+
2 ( 1; 1) [ [0; +1)
(4.60)
25 = Pn
3
:
;
con
24
=
c1 (tv ts )
p
q0
57
(4.61)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), el
coe…ciente k1 está dado por
2
c1
k1 =
(4.62)
2
1
F3 ( 24 )
y el coe…ciente am está dado por
1
am =
donde
(4.63)
2
es la única solución de
F13 (x) = F14 (x) ;
(4.64)
x>0
considerando que
Q( x)
r
c2
Q
k2
F13 (x) = 1
F14 (x) =
(4.65)
k2 2
x
c2
25
Demostración: De (4.16) surge que
r
c1
F3
k1
=
(4.66)
1
24
de donde obtenemos a (4.62). Reemplazando en (4.15) y despejando surge que
1
Considerando a x =
propiedades:
F13 0+ = 1;
p1 ;
am
Q( pa )
r m
c2
Q
k2
=
k2
am c2
25
1 :
obtenemos a (4.64). La función F13 tiene las siguientes
F13 (+1) = 1
Q
r1
< 1;
c2
k2
0
(x) < 0; 8x > 0:
F13
La función F14 tiene las siguientes propiedades:
F14 0+ =
25 ;
F14 (+1) = sgn (
25 )
1;
0
(x) =
F14
2k2 25
x:
c2
Por lo tanto, el comportamiento de F14 depende del signo de 25 : Si 25 > 0;siempre
existe una única solución de (4.64), pero si 25 < 0 tenemos que solamente
58
podemos asegurar la existencia de una única solución si 25 < ( 1) : Luego,
uniendo estas dos condiciones tenemos que para asegurar la existencia de una única
solución debemos pedir que (4.60) sea válida.
Teorema 13: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si los datos del problema veri…can
(4.67)
<1
4
y
26
=
2
exp
1
4
1
erf
y am )
2
F1 (
r
c2
)
k2
3
(4.68)
>1
entonces la solución al problema P viene dada por (4.11-4.13), donde el coe…ciente
está dado por:
1 0 26
1
(4.69)
=
u0
para cada am 2 R+ :
) C
Q( p
B
a
(t0 tv )
B1
C
r m
@
A
k2
c2
1
Q
a m c2
k2
Demostración: Si la ecuación (4.16) es veri…cada por los datos del problema,
podemos decir que 0 = erf 1 1 , con lo que tenemos que 4 > 1; vale decir que
4
(4.16) es válida. Entonces …jando am 2 R+ y realizando algunos cálculos con (4.15)
obtenemos a (4.69). Por lo tanto restaría probar que > 0. Es sencillo veri…car que
si imponemos que (4.68) sea válida tendremos que es positivo, teniendo en cuenta
2 1
:
el resultado del Lema del capítulo anterior que hablaba sobre el signo de mQ(mx)
1
Q(x)
Este análisis puede ser realizado para cualquier am > 0 dado
Teorema 14: (Determinación de los coe…cientes desconocidos r y k1 )
Si los datos del problema veri…can
27
=
2
exp
h
(F3 1 (
F1 (
r
24 )
Lu
)
am
2
)
i
(4.70)
>1
entonces existe una única solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13),
y los coe…cientes térmicos k1 y r vienen dados por (4.62) y
13
r=
"
2 exp
1
(F3 1 (
0
2
24 ))
F1
r
1
Q( p
) C
B
am
B
!C
r
1
B
C
1
@
A
Lu
Q
am
59
Lu
am
!#
(4.71)
respectivamente.
Demostración: De forma idéntica a lo hecho en el Teorema 12 obtenemos
(4.62). Luego, yendo a (4.15) mediante simples cálculos obtenemos a (4.71). Por lo
tanto restaría probar que r > 0. Es sencillo veri…car que si imponemos que (4.70)
sea válida tendremos que r es positivo, teniendo en cuenta el resultado del Lema
2 1
del capítulo anterior que hablaba sobre el signo de mQ(mx)
:
1
Q(x)
Teorema 15: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si los datos del problema veri…can
28
=
2
exp
h
(F3 1 (
24 )
2
)
3
i
F1 (
r
Lu
)
am
y k1 )
(4.72)
>1
entonces existe una única solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13),
y los coe…cientes térmicos k1 y r vienen dados por (4.62) y
01
=
(4.73)
1
28
Q( p
) C
am
!C
r
C
A
Lu
Q
am
(t0 tv ) B
B
B1
1
u0 ( Lu
1) @
respectivamente.
Demostración: De forma idéntica a lo hecho en el Teorema 12 obtenemos
(4.62). Luego, yendo a (4.15) mediante simples cálculos obtenemos a (4.73). Por lo
tanto restaría probar que > 0. Es sencillo veri…car que si imponemos que (4.72)
sea válida tendremos que es positivo, teniendo en cuenta el resultado del Lema
2 1
:
del capítulo anterior que hablaba sobre el signo de mQ(mx)
1
Q(x)
Teorema 16: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
29
=
2 exp
h
(F2 1 (
2
6 ))
3
i
F1 (
r
Lu
)
am
>1
y c1 )
(4.74)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
los coe…cientes c1 y están dados por (4.55) y
=
01
(t0 tv ) B
B
B1
1
u0 ( Lu
1) @
60
29
1
Q( p
) C
am
!C
r
C
A
Lu
Q
am
(4.75)
respectivamente.
Demostración: De manera similar a lo hecho anteriormente, de (4.16) e imponiendo (4.27), obtenemos que (4.55) es válida. Luego de (4.15), mediante simples
cálculos, obtenemos a (4.73). Por lo tanto restaría probar que > 0. Es sencillo
veri…car que si imponemos que (4.74) sea válida tendremos que es positivo, teniendo en cuenta el resultado del Lema del capítulo anterior que hablaba sobre el
2 1
signo de mQ(mx)
:
1
Q(x)
Teorema 17: (Determinación de los coe…cientes desconocidos r y c1 )
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
30
2
=
exp
h
(F2 1 (
F1 (
r
6)
Lu
)
am
2
)
i
(4.76)
>1
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
los coe…cientes c1 y r están dados por (4.55) y
13
2 exp
r=
1
respectivamente.
(F2 1 (
0
2
6 ))
F1
r
1
p
Q(
) C
B
am
B
!C
r
C
1 B1
@
A
Lu
Q
am
Lu
am
!!
(4.77)
Demostración: De manera similar a lo hecho anteriormente, de (4.16) e imponiendo (4.27), obtenemos que (4.55) es válida. Luego de (4.15), mediante simples
cálculos, obtenemos a (4.77). Por lo tanto restaría probar que r > 0. Es sencillo
veri…car que si imponemos que (4.76) sea válida tendremos que r es positivo, teniendo en cuenta el resultado del Lema del capítulo anterior que hablaba sobre el
2 1
:
signo de mQ(mx)
1
Q(x)
Teorema 18: (Determinación de los coe…cientes desconocidos c1 y am )
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
8
9
r
h
i
2
c2
<
F1 (
) 2 exp (F2 1 ( 6 )) =
k2
1
r
1+
2 ( 1; 1) [ [0; +1)
(4.78)
31 = Pn
c2
;
:
Ko
k2
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
el coe…ciente c1 está dado por (4.55) y el coe…ciente am está dado por
1
am = 2
(4.79)
61
donde
es la única solución de
F13 (x) = F15 (x) ;
x>0
(4.80)
1 :
(4.81)
considerando que
F15 (x) =
k2 2
x
c2
31
Demostración: De manera similar a lo hecho anteriormente, de (4.16) e imponiendo (4.27), obtenemos que (4.55) es válida. Luego de (4.15), mediante simples cálculos, se obtiene que
1
Q( pa )
r m
c2
Q
k2
=
31
k2
am c2
1 :
De manera similar a lo hecho en el Teorema 12, considerando a x =
a (4.80). La función F15 tiene las siguientes propiedades:
F15 0+ =
31 ;
F15 (+1) = sgn (
31 )
p1 ;
am
0
F15
(x) =
1;
obtenemos
2k2 31
x:
c2
Por lo tanto, el comportamiento de F15 depende del signo de 31 : Si 31 > 0;siempre
existe una única solución de (4.80), pero si 31 < 0 tenemos que solamente
podemos asegurar la existencia de una única solución si 31 < ( 1) : Luego,
uniendo estas dos condiciones tenemos que para asegurar la existencia de una única
solución debemos pedir que (4.78) sea válida.
Teorema 19: (Determinación de los coe…cientes desconocidos c1 y c2 )
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
32
=
q0
ru0
F2 1 ( 6 )
exp
2
>1
(4.82)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
el coe…ciente c1 está dado por (4.55) y el coe…ciente c2 está dado por (4.39) donde
es una solución de
F7 (x) = F16 (x) ;
x>0
(4.83)
considerando que
F16 (x) =
32
k2 (t0 tv )
p
P (x) :
2
ru0
62
(4.84)
Demostración: De manera similar a lo hecho anteriormente, de (4.16) e imponiendo (4.27),
obtenemos que (4.55) es válida. Luego de (4.15), y considerando
q
c2
aquí a x =
tenemos que
k2
q0
ru0
exp
h
1
F2 ( 6 )
2
i
+
k (t t )
p2 02 v xF1
ru0
am Pnx2 Q( pam )
;
2
am x2 Q(x)
(x) = 1
esto es decir, tenemos (4.83). La función F16 tiene las siguientes propiedades:
h
i
2
1
0
0
exp
F
(
)
;
F16 (+1) = 1;
F16
(x) < 0 8x > 0:
F16 0+ = qru
6
2
0
Entonces, teniendo en cuenta las propiedades de F7 ; ya enumeradas en (4.34), tenemos que ambas funciones se encontrarán en al menos un > 0 si (4.82) es válida.
Como antes, es evidente que (4.39) se desprende de la de…nición de x:
Teorema 20: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si los datos del problema veri…can
p
14 >
y c2 )
(4.85)
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), el coe…ciente viene dado por
=
para cada c2 2 0;
k2
2
P
1
(
r
r
c2
c2 k2 (t0 tv )
F1
r u0
k2
0
Q( p
)
a
am c2 (t0 tv ) B
B1
r m
u0 (k2 am c2 ) @
c2
Q
k2
16 +
33 )
1
(4.86)
C
C
A
, con
33
=
2
p
ru0
k2 (t0 tv )
(4.87)
16 :
Demostración: De (4.15), mediante unos simples cálculos obtenemos (4.86), vale
decir, tenemos a en función de c2 : Para tener que > 0; habría que asegurarse
que
q
q
16
c2 k2 (t0 tv )
F1
r u0
>
o lo que es lo mismo, que
P
q
c2
k2
63
<
c2
k2
33
(4.88)
q
c2
Considerando aquí a x =
tenemos que existirá tal x que veri…que (4.88) si
k2
pedimos que 33 > 0; o lo que es equivalente, que
16
(4.89)
> 1:
Como la q
ecuación (4.16) es veri…cada por los datos del problema, podemos decir
c1 k1 tv ts
que q0 =
; y al considerar este resultado junto a (4.89) obtenemos que
erf( 0 )
p1
14 > 1; vale decir que (4.85) debe ser válida. Por lo tanto x 2 (0; 33 ) ; de lo
k2
que sencillamente se desprende que c2 2 0;
2
P
1
(
33 )
Teorema 21: (Determinación de los coe…cientes desconocidos r y c2 )
Existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde el coe…ciente r viene dado por
c2 (t0 tv )
r
c2
u0 Q
k2
0
)
Q( p
a
am c2 Pn B
B1
r m
1
k 2 a m c2 @
c2
Q
k2
1
r=
para cada c2 2 0;
k2
2
P
1
(
34 F8
(
34
16
0
=
(4.90)
1
C
C
A
)) , con
(tv ts )
k2 (t0 tv )
p
(4.91)
c 1 k1 :
Demostración: Razonando de manera similar al Teorema 20, mediante unos
simples cálculos de (4.15) obtenemos (4.90), vale decir, tenemos a r en función de
c2 (t0 tv )
r
; o lo que
c2 : Para tener que r > 0; habría que asegurarse que 1
16 >
c2
u0 Q
es lo mismo, que
P
q
c2
k2
<
p
q0
k2 (t0 tv )
exp
(
0
)2
k2
(4.92)
q
c2
Considerando aquí a x =
tenemos que existirá tal x que veri…que (4.92) si
k2
pedimos que el lado derecho de la desigualdad sea positivo, cosa que siempre es
cierta. Como laqecuación (4.16) es veri…cada por los datos del problema, podemos
decir que q0 =
que
c1 k1 tv ts
;
erf( 0 )
y al considerar este resultado junto a (4.92) obtenemos
P
q
c2
k2
<
64
34 F8
(
0
);
de lo que sencillamente se desprende que c2 2 0;
k2
2
P
1
(
33 )
Teorema 22: (Determinación de los coe…cientes desconocidos am y k2 )
Si los datos del problema veri…can
14
(4.93)
>1
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), el coe…ciente k2 viene dado por
2
c2
(4.94)
k2 =
2
donde
es una solución de (4.40) para cada am 2 R+ :
Demostración: Con idéntico razonamiento al Teorema 5, obtenemos los resultados enunciados.
Teorema 23: (Determinación de los coe…cientes desconocidos c2 y k1 )
Si (4.27) y (4.82) son válidas, entonces existe una solución al problema P que viene
dada por (4.11-4.13), donde el coe…ciente k1 está dado por
2
k1 =
c1
F2 1 ( 6 )
y el coe…ciente c2 está dado por (4.39) donde
2
(4.95)
es una solución de (4.83).
Demostración: De manera similar a lo hecho anteriormente, de (4.16) e imponiendo (4.27), obtenemos que (4.95) es válida. Luego de (4.15), y razonando de
manera idéntica a lo expuesto en el Teorema 19, tenemos a (4.39).
Teorema 24: (Determinación de los coe…cientes desconocidos k1 y k2 )
Si los datos del problema veri…can
q
2
q0
1
1
exp
F
(
)
>
1
+
1
Q(
(4.96)
=
Pn
)
24
35
3
ru0
Ko
am
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
el coe…ciente k1 está dado por (4.62) y el coe…ciente k2 está dado por (4.94) donde
es una solución de
F7 (x) = F17 (x) ;
x>0
(4.97)
considerando que
F17 (x) =
35
65
1
:
KoQ(x)
(4.98)
Demostración: De manera similar a lo hecho antes en el Teorema
12 obtenemos
q
c2
(4.62). Luego reemplazando en (4.15) y considerando a x =
,
surge
que
k2
q0
ru0
exp
F3 1 (
24 )
2
1
KoQ(x)
=1
am Pnx2
2 a x2
m
Q( p
am
Q(x)
)
;
vale decir, tenemos (4.97). La función F17 tiene las siguientes propiedades:
F17 0+ =
1;
F17 (+1) =
1
;
Ko
35
0
F17
(x) > 0 8x > 0:
Entonces, teniendo en cuenta las propiedades de F7 ; ya enumeradas en (4.34),
tenemos que ambas funciones se encontrarán en al menos un > 0 si
35
1
Ko
> 1 + Pn 1
Q( pam )
o lo que es lo mismo, si vale (4.96). Como antes, es evidente que (4.94) se desprende
de la de…nición de x:
Teorema 25: (Determinación de los coe…cientes desconocidos c1 y k2 )
Si (4.27) es válida, y además los datos del problema veri…can
q
1
Pn
1
Q(
)
(4.99)
>
1
+
32
Ko
am
entonces existe una solución al problema P que viene dada por (4.11-4.13), donde
el coe…ciente c1 está dado por (4.55) y el coe…ciente k2 está dado por (4.94) donde
es una solución de
F7 (x) = F18 (x) ;
x>0
(4.100)
considerando que
F18 (x) =
32
1
:
KoQ(x)
(4.101)
Demostración: De manera similar a lo hecho anteriormente, de (4.16) e imponiendo (4.27), obtenemos que (4.55) es válida.
q Luego, como en el Teorema 24,
c2
reemplazando en (4.15) y considerando a x =
, surge que
k2
q0
ru0
exp
F2 1 ( 6 )
2
1
KoQ(x)
=1
am Pnx2
2 a x2
m
Q( p
am
Q(x)
)
;
vale decir, tenemos (4.100). La función F18 tiene las siguientes propiedades:
F17 0+ =
1;
F17 (+1) =
32
66
1
;
Ko
0
F17
(x) > 0 8x > 0:
Entonces, teniendo en cuenta las propiedades de F7 ; ya enumeradas en (4.34),
tenemos que ambas funciones se encontrarán en al menos un > 0 si
1
Ko
32
> 1 + Pn 1
Q( pam )
o lo que es lo mismo, si vale (4.99). Como antes, es evidente que (4.94) se desprende
de la de…nición de x:
Teorema 26: (Determinación de los coe…cientes desconocidos r y k2 )
Si los datos del problema veri…can
14
>
p
(4.102)
Ko
entonces la solución al problema P viene dada por (4.11-4.13), donde el coe…ciente
r está dado por:
1
16
KoQ
0
r=
am c2 Pn B
B1
1
k 2 a m c2 @
0
para cada k2 2 @0;
2c
2
2
Q
p
1
Ko
14
1
1
r
c2
k2
(4.103)
1
Q( p
) C
am
C
r
A
c2
Q
k2
A:
Demostración: De (4.15), mediante unos simples cálculos obtenemos (4.103),
vale decir, tenemos a r en función de k2 : Para tener que r > 0; habría que asegurarse
que
1
r
1
16 >
c2
KoQ
o lo que es lo mismo, que
Q
q
c2
k2
>
c2 (t0 tv )
q0
k2
exp (
0
)2
(4.104)
Como la q
ecuación (4.16) es veri…cada por los datos del problema, podemos decir
c1 k1 tv ts
; y al sustituir este resultado en (4.104) obtenemos que
que q0 =
erf( 0 )
q
c2
Q
> p Ko
(4.105)
k2
14
Por lo tanto, para que exista algún valor de k2 que veri…que (4.105) hay que
pedir que p Ko < 1; vale decir que (4.102) debe ser válida. Por lo tanto, te14
niendo
en
cuenta
las propiedades
de Q mencionadas en (4.20), concluimos que
0
1
k2 2 @0;
2c
2
2
Q
1
p
Ko
14
A
67
Teorema 27: (Determinación de los coe…cientes desconocidos
Si los datos del problema veri…can
p
1
1 + Ko
14 >
y k2 )
(4.106)
entonces la solución al problema P viene dada por (4.11-4.13), donde el coe…ciente
está dado por:
16 +
KoQ
0
=
0
B
para cada k2 2 B
@0; 2
4Q
0
1@
c2
k2
1
p
Q(
)
C
a
am c2 (t0 tv ) B
B1
C
r m
A
u0 (k2 am c2 ) @
c2
Q
k2
2c
(4.107)
1
p14
C
A
132 C :
2
1
Ko
1
r
A5
1
Demostración: De (4.15), mediante unos simples cálculos obtenemos (4.107),
vale decir, tenemos a en función de k2 : Para tener que > 0; como el denominador
es de signo negativo (por lo visto en el Lema del capítulo anterior) habría que
asegurarse que
1
r
<0
16 +
c2
KoQ
k2
o lo que es lo mismo, que
Q
q
c2
k2
>
1
q0
exp( (
ru0
Ko
0
)2 ) 1
(4.108)
Como la q
ecuación (4.16) es veri…cada por los datos del problema, podemos decir
c1 k1 tv ts
que q0 =
; y al sustituir este resultado en (4.108) obtenemos que
erf(
)
0
Q
q
c2
k2
>
1
Ko
p14
1
(4.109)
Por lo tanto, para que exista algún valor de k2 que veri…que (4.109) hay que pedir
1
que 0 <
< 1; lo que equivale a decir que (4.106) sea válida. Por lo tanto,
14
Ko
p
1
teniendo
de Q mencionadas en (4.20), concluimos que
0 en cuenta las propiedades
1
B
k2 2 B
@0; 2
4Q
0
1@
2c
2
1
Ko
p14
1
C
A
132 C
A5
68
Teorema 28: (Determinación de los coe…cientes desconocidos c2 y am )
Si (4.93) es válida, entonces existe una solución al problema P que viene dada por
(4.11-4.13), donde el coe…ciente c2 está dado por (4.39) donde es una solución
de
F7 (x) = F9 (x) ;
x>0
(4.110)
para cada am 2 R+ :
Demostración: Si la ecuación (4.16) es veri…cada
q por los datos del problema,
c2
, luego de realizar algunos
primero …jamos un am 2 R+ y considerando a x =
k2
cálculos con (4.15) obtenemos (4.110). Las propiedades de las funciones F7 y F9
fueron vistas en (4.34) y (4.42) respectivamente. Por lo tanto, para asegurarse que
tendremos al menos un que satisfaga (4.110) hay que tener que
1<
q0
ru0
exp
(
0
)2 :
(4.111)
Como
(4.16) es veri…cada por los datos del problema, podemos decir que q0 =
q
c1 k1 tv ts
; y al sustituir este resultado en (4.111) obtenemos que si vale (4.93)
erf( 0 )
entonces habrá al menos un que satisfaga (4.110). Como antes, es evidente que
(4.39) se desprende de la de…nición de x: Este análisis puede ser realizado para
cualquier am > 0 dado
4.4.
Conclusiones
Daremos las resultados obtenidos en los Teoremas anteriores de forma resumida
en una tabla:
69
Caso
Restricciones
Solución
0
r
q0
@
F
3
(tv ts )
p
c1 =
c1 ; k1
5
<1
k1 =
p
q0
F
(tv ts ) 2
k1
2c
1
=
am ;
6
8
c2 ;
am ; r
c2 ; k2
< p2
2 ( 1; 1) [ [0; +1)
< p2
10 > 1
14
<1
1
>1
13
15
r
1
log
log
5
1
1
5
2
1
A
1
A
Pn
k2
a m c2
1
B
B1
@
) C
Q( p
a
C
r m
A
c2
Q
k2
+
am 2 R
c2 = k22 2
donde es una solucion de
F7 (x) = F9 (x)
k2 2 R+
r=
r;
@
1
F2 ( 6 )
2
am = 2
donde es la unica solucion de
F4 (x) = F5 (x)
2
= k21c1 F2 1 ( 6 )
2
c2 = c1kk12 F 1 ( )
[ 2 6]
donde es una solucion de
F6 (x) = F7 (x)
r
c2
2
13
2 exp( ( 0 ) ) F1
k2
0
1
r=
6
12
0
1
<1
2 exp( (
2
0 ) ) F1
0
r
Lu
am
1
p
Q(
) C
am
(t0 tv ) B
B
!C
r
1
B1
C
1
@
A
Lu
u0
1
Q
Lu
am
+
k1 =
2R
2c
log
1
1
F10 ( )
=
donde es una solucion de
A
F10
(x) = c1p(tvq0 ts ) x
k1 ;
70
!!
Caso
k2 ;
Restricciones
Solución
=
< p2
17 > 1
6
donde
18
r;
r=
p2
6 <
21 < 1
B
Pn B
B1
20 1 @
2
10 +
2
r
=
p2
<
23 < 1
; am
25
18 F1
0
(t0 tv ) B
B
1
u0 ( 20 1) B
@
2 ( 1; 1) [ [0; +1)
<1
26 > 1
4
27
F1
Q( p
am
Q
r
r
2c
)
c2 k 1
F 1(
c1 k 2 2
c2 k1
F 1(
c1 k2 2
Q( p
c2 k1
F 1(
c1 k2 2
1
am
6)
!
1
)
c2 k1
F 1(
c1 k2 2
6)
C
!C
C
A
6)
1
C
!C
C
A
2
1
[F3 ( 24 )]
am = 12
donde es la unica solucion de
F13 (x) = F14 (x)
1 0 26
1
=
Q( p
) C
B
a
(t0 tv )
B1
C
r m
@
A
k2
c2
u0
1
Q
a m c2
k2
am 2 R +
2c
1
k1 =
2
1
F
(
)]
[
24
3
"
r
13
r; k1
2
F2 1 ( 6 )
k1
k1 =
k1 ; am
Q
r
2
r
= c2k2 2 2
donde es una solucion de
F7 (x) = F12 (x)
2
= k21c1 F2 1 ( 6 )
p2
6 <
22 < 1
6
6 ))
0
1
1
;
2
(F2 1 (
19 exp
c1 =
c1 ;
2
F2 1 ( 6 )
k2 = 12
es una solucion de
F11 (x) = 1
= k21c1 F2 1 ( 6 )
k1
2c
1
>1
r=
2
exp
1
71
(F3 1 (
0
B
B
1 B1
@
24 )
2
)
F1
1
) C
Q( p
am
!C
r
C
A
Lu
Q
am
Lu
am
!#
6)
!!
Caso
Restricciones
; k1
28
; c1
6
Solución
k1 =
=
>1
2c
=
13
p2
k1
2
exp
(F2
1
0
c1 =
< p2
31 2 ( 1; 1) [ [0; +1)
6
c 1 ; c2
6
< p2
32 > 1
14
>
k1
p
r=
(
6)
2
)
2
r
F1
1
) C
Q( p
am
!C
r
C
A
Lu
Q
am
2
F2 1 ( 6 )
1
r
c2
c2 k2 (t0 tv )
F1
r u0
k2
0
Q( p
)
a
am c2 (t0 tv ) B
B1
r m
u0 (k2 am c2 ) @
c2
Q
k2
16 +
k2
k2
2
P
2
1
P
1
33 )
c2 (t0 tv )
r
1 16
c2
u0 Q
k2
0
Q( p
)
a
am c2 Pn B
B1
r m
1
k2 a m c2 @
c2
Q
k2
c2 2 0;
72
1
B
B
1 B1
@
2
c2 2 0;
c2 ; r
F2 1 ( 6 )
Lu
am
am = 2
donde es la unica solucion de
F13 (x) = F15 (x)
2
c1 = k21 F2 1 ( 6 )
c2 = k21 2
donde es una solucion de
F7 r
(x) = F16 (x)
=
c2 ;
2
r=
<
30 > 1
am ; c 1
1
) C
Q( p
am
!C
r
C
A
Lu
Q
am
2
c1 = k21 F2 1 ( 6 )
1
01 29
Q( p
) C
B
am
(t0 tv ) B
!C
r
C
B1
1
A
u0 ( Lu
1) @
Lu
Q
am
(t0 tv ) B
B
B1
1
u0 ( Lu
1) @
< p2
29 > 1
6
2
[F3 ( 24 )]
01 28
c1 =
r; c1
1
1
(
(
34 F8
(
0
1
C
C
A
1
C
C
A
))
!!
Caso
Restricciones
Solución
2
am ; k2
14
>1
< p2
32 > 1
c2 ; k1
6
k1 ; k2
35
c1 ; k2
6
>1+
<
32
1
Ko
Pn 1
p2
>1+
1
Ko
Pn 1
p
Q( am )
p
Q( am )
k2 = 2c2
donde es una solucion de
F7 (x) = F9 (x)
am 2 R +
2c
1
k1 =
2
1
[F2 ( 6 )]
c2 = k22 2
donde es la unica solucion de
F7 (x) = F16 (x)
2 c
1
k1 =
2
1
[F3 ( 24 )]
2
k2 = 2c2
donde es una solucion de
F7 (x) = F17 (x)
2
c1 = k21 F2 1 ( 6 )
2
k2 = 2c2
donde es una solucion de
F7 (x) = F18 (x)
1
r=
r; k2
14
>
p
Ko
KoQ
0
2c
>
p
1+
Q
16 +
0
B
k2 2 B
@0; 2
4Q
am ; c 2
14
p
1
KoQ
0
Ko
1
r
am c2 (t0 tv ) B
B1
u0 (k2 am c2 ) @
1
Ko
2
2
=
14
c2
k2
1
p
Q(
)
C
a
am c2 Pn B
B1
C
r m
1
A
k 2 a m c2 @
c2
Q
k
2
1
0
k2 2 @0;
k2 ;
1
r
16
0
1@
Ko
k2 2
14
c2
k2
A
1
Q( p
) C
a
C
r m
A
c2
Q
k2
1
2c
2
1
p14
1
A5
c2 = 2
donde es una solucion de
F7 (x) = F9 (x)
am 2 R +
>1
73
C
A
132 C
Las constantes complementarias utilizadas en este Capítulo son las siguientes:
0
=
r
3
=
q
5
6
8
9
c1
k1
;
r u0
c2 k2 (t0 tv )
1
=
k1 (tv ts )
p
q0
=
1
Pn
=
1
Q( p
)
am
12
=
=
q
8
>
<
q
Lu
F1
am
>
:
=
2
1
=
+
;
;
(t0 tv )
(tv ts )
q
(tv ts )
ru0
q
7
c2 k2
c1 k1
c1 k1
16
=1
q0
exp
ru0
17
=
(t0 tv )
u0
18
=
20
=
c1 c2 k2
k1
h
c2
r
1 k2
2
a m c2 k1 F 2 1 ( 6 )
]
;
+
q
B
@1
2
p
p
q0
c2 k2 (t0 tv )
q0
c1 k1 (tv ts )
139
>
) C7=
Q( p
am
! A5
r
Lu
>
;
Q
am
F2 1 (
13
15
F1 (
p1
Ko
(F2 1 (
;
2
)
;
6)
=
=
6)
7)
7
(t0 tv )
u0
(t0 tv )
(tv ts )
q
q
11
=
p
c1 k2 (t0 tv )
k1 ru0 (F2 1 (
6)
2
)
c2 k2
c2 k 2
c1 k 1
r
Lu
)
am
F5 ( 0 )
F1 (
)2
0
+
(t0 tv )
2u F 1(
0 2
6)
2c
[
(
0
1
=
2
) ;
0
=
;
6)
)
c1 q0 exp
k1 ru0
r
F8 (
=
1
6)
c2
)
k2
F5 ( 0 )
F1 (
6)
1
Lu
4
c1 k2
1
c2 k1 F 2 1 (
F2 1 (
=
;
6
41
(F2 1 (
Pn
=
2
3
q
=
10
14
q
Lu
Ko
am
c1 q0 exp
k1 ru0
1
10
am c2 (t0 tv )
k 2 a m c2
1
;
Q( pam )
19
21
=
=
1
19
q
i
q0
c1
c2 k 1 k2 F 2 1 ( 6 )
q
h
i
2
1
1
c2 k1
F1 ( c1 k2 F2 ( 6 )) exp F2 ( 6 )
74
22
24
26
28
Pn 1 Q( p
=
am
c1 (tv ts )
p
q0
=
=
=
1+
am
c2 (t0 tv )
1) 1+
ru0
2
(
2
)
2 exp
;
1
erf
;
25
2
1
4
23
=
r
F1 (
2
(F3 1 (
2
24 ))
3
h
2
1
=
32
=
33
=
k2 (t0
35
=
q0
ru0
q0
ru0
p
ru0
tv )
exp
i
F1 (
i
r
c2
)
k2
Lu
)
am
;
31
2
F2 1 ( 6 )
exp
16
;
r
c2
)
k2
34
F3 1 (
=
;
;
27
29
2
exp
2
=
=
8
<
1
1+
= Pn
:
h
(F3 1 (
exp
2 exp
F1 (
r
h
9
=
24 ))
;
(F3
r
1
(
24 )
2
6 ))
3
2 exp
r
h
c2
Ko
k2
i
i
2
)
Lu
)
am
(F2 1 (
c2
)
k2
2
;
(tv ts ) p
k2 (t0 tv )
24 )
6 ))
h
F1 (
(F2 ( 6 ))
r
Lu
)
F1 (
am
exp
30
2
h
c2 k 1
F 1(
c1 k 2 2
3
3
2 exp
r
r
10
8
<
1
= Pn 1 +
:
F1 (
18 F1 (
i
F1 (
(F2 1 (
r
Lu
)
am
2
6 ))
i
9
=
;
c 1 k1
2
Las funciones reales utilizadas en este Capítulo, de…nidas para x > 0; son las
siguientes:
erf(x) =
Q (x) =
p2
p
Rx
0
exp ( u2 ) du
x exp (x2 ) (1
erf(x)) ; F1 (x) =
P (x) = xF1 (x) ; F2 (x) =
erf (x)
x
75
exp ( x2 )
1 erf(x)
; F3 (x) = x erf(x)
F4 (x) =
8
F6 (x) =
(
2
7
x2
10
exp ( x2 )
erf (x)
F10 (x) =
q
(x) = F3
F11 (x) =
F12 (x) =
1
16
r
log
1
F10 (x)
am c2 Pnx2
1 a m c2 x2
n
h
exp
31
F17 (x) =
35
k2
c2
x2
1
KoQ(x)
q
F1
c2
k2
;
am
Q(x)
)2
0
c Ko
p2
k2
)
k2 (t0 tv )
p
P (x)
2
ru0
am c2 Pnx
k 2 a m c2 x
1
2
i
1
p
KoQ( c2 x)
o
k2 (t0 tv )
p
P (x)
q0
F14 (x) =
;
p
Q( p
1
0 < F10 (x) < 1
F2 ( 6 )
;
(
x +
)
Q( p
am
p
Q( c2 x)
1
1
p
;
1
Q( x)
r
c2
Q
k2
F15 (x) =
am Pnx2
2 a x2
m
q0
exp
ru0
; F9 (x) =
c2 k2 (t0 tv ) p
x
q0
c2 q 0 1
k2 ru0 x2
F13 (x) = 1
9 Q (x)
11 P (x) ; F7 (x) = 1
F8 (x) =
A
F10
1) ; F5 (x) = 1
25
F16 (x) =
F18 (x) =
76
32
k2
c2
32
x2
1
k2 (t0 tv )
p
P
2
ru0
1
KoQ(x)
(x)
1
Q( p
)
a
q c mp
2
Q
x
k2
Capítulo 5
El efecto de la convección de calor
durante el secado de un espacio
poroso semi-in…nito con una
condición de ‡ujo en el borde …jo
x = 0.
5.1.
Resumen
Se presenta un proceso analítico para un cambio de fase en una sustancia
porosa
p semi-in…nita expuesta a una condición de ‡ujo de calor en x = 0 del tipo
q0 = t; q0 > 0. Teniendo en cuenta una desigualdad para la temperatura en la
interfase x = s(t); Ts , se obtiene una desigualdad para el coe…ciente q0 para obtener una solución exacta. También se obtiene una equivalencia entre este problema
y el análogo correspondiente a un problema de cambio de fase con condición de
temperatura en el borde …jo x = 0.
77
Nomenclatura
Ak ; k = 1; 2; 3; 4
Ck ; k = 1; 2
Kk ; k = 1; 2
L
P0
PG
q0
R
s(t)
t
Tk (x; t); k = 1; 2
Ti
Ts
tk ; k = 1; 2
UG
w
x
k; k
= 1; 2
"
0
G
k;
5.2.
k = 1; 2
constantes de integración
calor especí…co en la región k; k = 1; 2
conductividad térmica de la región k
calor latente
presión del ambiente
presión local
coe…ciente que caracteriza al ‡ujo de calor en x = 0
coe…ciente de la ley de los gases ideales
posición del frente de evaporación
tiempo
temperatura en la región k
temperatura inicial
temperatura en la interfase x = s(t)
temperatura adimensional
velocidad aparente
fracción del volumen inicial del líquido
coordenada de longitud
difusividad térmica de la región k
porosidad de la región 2
variable adimensional
viscosidad del gas
densidad del gas del ambiente
densidad del gas
densidad en la región k; k = 1; 2
permeabilidad de la matriz
Introducción
Puntos de ebullición móviles que se ubican dentro de un medio poroso han sido
descriptos por varios autores en el pasado ([11],[20],[29]-[33],[36]-[37],[44]). Este tipo
de problemas tienen gran aplicación en procesos de separación, tecnología de alimentos, migraciones de calor y mezclas en suelos y terrenos. Debido a la no-linearidad
del problema, las soluciones usualmente involucran di…cultades matemáticas. Una
amplia bibliografía sobre problemas de frontera libre y móvil para la ecuación del
calor-difusión fue dada por [53]. La formulación matemática de la transferencia de
calor y masa en cuerpos de capilares porosos fue establecida por Luikov ([29]-[33]).
78
Haber et al [21] predijeron la tasa de evaporación de agua y presión esperada para
varios parámetros termofísicos adimensionales del medio poroso considerando el
efecto de la convección del calor por el vapor, tanto como la conducción del calor.
Su análisis yacía sobre las siguientes suposiciones básicas: (a) existen dos regiones
distintas que están separadas por una interfase móvil donde ocurre el cambio de
fase; (b) Una región mantiene su concentración inicial de agua mientras que la
otra carece de ella; (c) el proceso ocurre a una tasa cinética in…nita; (d) el vapor es compresible y obedece la ley del gas ideal; (e) La ecuación de Clapeyron
relaciona presiones y temperaturas de interfase; (f) el mecanismo de evaporaciónrecondensación descripto en [7] es despreciado; (g) Los ‡ujos de difusión de masa
debido a gradientes de concentración y los efectos de Dufour y Soret no serán tomados en cuenta.
En lo siguiente consideraremos estas mismas suposiciones, y se estudiará un
medio poroso semi-in…nito, inicialmente a temperatura
Ti expuesto a una condición
p
de ‡ujo de calor en x = 0 del tipo
q0 = t ; con q0 > 0. El liquido comienza a
ebullir dentro de los poros cuando la temperatura alcanza condiciones de ebullición
locales. Dos regiones existen, las cuales están separadas por una interfase móvil
distinta s (t) ; donde sucede la ebullición. La región 1 tiene el contenido de líquido
original, mientras que la región 2 carece de liquido. El gas, generado en la interfase,
‡uye a través del material poroso y el calor se trans…ere por convección en una
dirección opuesta a la conducción del ‡ujo de calor. La tasa de ‡ujo de calor es
determinada, por un lado, a través de la Ley de Darcy (afectada por el gradiente de
presión, la permeabilidad del material poroso en la región 2 y la viscosidad del gas),
y por otro lado, a través del ‡ujo de calor que alcanza la interfase y el coe…ciente
de calor latente del líquido en ebullición. Estos dos mecanismos gobiernan la tasa
buscada de evaporacion y la presión esperada.
Un modelo analítico del proceso se de…ne y se obtienen soluciones exactas para
distribuciones de temperatura. Teniendo en cuenta una desigualdad para la temperatura en la interfase x = s(t); Ts , una desigualdad para el coe…ciente q0 es necesaria
y su…ciente para obtener la solución explícita correspondiente. Finalmente, también
se obtiene una equivalencia entre un problema de cambio de fase con condición de
temperatura
p y un problema de cambio de fase con condición de ‡ujo de calor del
tipo
q0 = t sobre la super…cie.
79
5.3.
Presentación matemática
Presentamos aquí la ecuaciones para las dos regiones incluyendo la convección
de calor por gas. Para la región 1, donde no hay ‡ujo de masa, el ‡ujo de calor sólo
se determina por conducción
1 C1
@T1
@ 2 T1
(x; t) = K1 2 (x; t) ;
@t
@x
x > s (t) ;
t>0
(5.1)
donde 1 ; C1 y K1 son la densidad, el calor especí…co y la conductividad termal,
respectivamente.
Para la región 2, el calor se conduce desde el borde hacia adentro del material
poroso donde el calor se convecta en una dirección opuesta al gas que ‡uye. Así que
la ecuación de transferencia de calor es
2 C2
@T2
(x; t) +
@t
G CG UG
@T2
@ 2 T2
(x; t) = K2 2 (x; t) ;
@x
@x
0 < x < s (t) ;
t>0
(5.2)
para gas en equilibrio local con la matriz.
La conservación de masa del gas en la región 2 está dado por
"
@ G @ ( G UG )
+
= 0;
@t
@x
0 < x < s (t) ;
t>0
(5.3)
donde "; G y UG son la porosidad de la región 2, la densidad del gas y la velocidad
aparente, respectivamente.
La ecuación del momentum del ‡ujo de gas dentro del medio poroso está dado
por la ley de Darcy, o sea
@PG
(5.4)
UG =
@x
donde PG ; y son la presión local, la viscosidad del gas y la permeabilidad de
la matriz, respectivamente.
Para completar este conjunto de ecuaciones, suponemos que el gas se comporta
idealmente
PG
(5.5)
G =
RT2
Inicialmente, el contenido de temperatura y contenido liquido son uniformes en
todo el semiespacio, i.e.
T1 (x; 0) = Ti
(5.6)
w1 (x; 0) w
80
donde Ti es la temperatura inicial y w es la fracción de volumen inicial del líquido.
Esta fracción de volumen se supone que queda constante en la región 1 durante el
proceso de secado mientras que la región 2 carece completamente de líquido.
Se asume que en la super…cie del semi-espacio el ‡ujo de calor depende del
tiempo de la manera siguiente, como en [48]:
k2
@T2
(0; ) =
@x
q0
p
(5.7)
t
donde q0 > 0 es un coe…ciente que caracteriza el ‡ujo de calor en la cara …ja x = 0:
El per…l de temperatura a lo largo de la interfase x = s (t) es continuo:
T1 (s (t) ; t) = T2 (s (t) ; t) = Ts ;
t>0
(5.8)
mientras que los ‡ujos de calor debidos a la conducción di…eren a lo largo de la
interfase
K1
@T1
(s (t) ; t) =
@x
K2
@T2
(s (t) ; t) +
@x
L wL
ds
(t) ;
dt
(5.9)
t>0
debido al calor latente de evaporación.
La conservación de masa en x = s(t) nos da
(
Lw
G ")
@s
=
@t
G UG
(5.10)
Una condición de frontera tácita para la región 1 es que la temperatura retiene
su valor lejos de la frontera
T1 (1; t) = Ti ;
8 >0
(5.11)
Dos condiciones de frontera existen para el campo de presión. En la frontera del
medio poroso, la presión es constante
PG (0; t) = P0 ;
8 >0
(5.12)
En la interfase móvil la presión está relacionada con la temperatura por la
ecuación de Clapeyron.
El conjunto de ecuaciones y condiciones (5.1)-(5.12) se llama problema P .
81
En la Sección 5.4 obtenemos una solución exacta para el problema P bajo ciertas condiciones cuando vale una desigualdad para q0 . Luego en la Sección 5.5 introduciremos el Problema Pe; que es el problema P cambiando la condición (5.7)
por una condición de temperatura en x = 0. En la Sección 5.6 estableceremos una
relación entre el problema P (condición de ‡ujo de calor en x = 0 ) y Pe (condición
de temperatura en x = 0 ), y obtendremos una desigualdad que veri…ca el coe…ciente que caracteriza la frontera libre. Finalmente en la Sección 5.7 damos algunos
resultados ilustrativos en orden de estudiar los efectos del parámetro q0 en nuestro
proceso de cambio de fase.
5.4.
Solución del problema
Las ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones (5.1) y (5.2), pueden ser fácilmente transformadas en ecuaciones diferenciales ordinarias, ya que puede hallarse
una coordenada de similaridad adimensional :
p
(5.13)
= x 2 1 t;
donde
1
es la difusividad termal de la región 1.
De…namos las siguientes variables adimensionales
t1 ( ) = T1 Ti ;
(5.14)
t2 ( ) = T2 Ti ;
(5.15)
p ( ) = PG P 0 ;
(5.16)
( ) = G 0;
p
p
UG t ( w
(5.17)
u( ) =
1 L
0)
(5.18)
y parámetros
C2 ) w;
(5.19)
H = 2 1 w L ( P0 0 ) ;
p
Q=
wL L ( 1 C1 Ti ) ;
p
=
1
2;
(5.20)
=(
L
2 ) (CG
K = K1 K 2
donde
0
(5.21)
(5.22)
(5.23)
y P0 son la densidad del gas ambiental y la presión, respectivamente.
82
El movimiento de la interfase se toma proporcional a
p
s (t) = 2
1t
p
1 t,
nominalmente
(5.24)
La forma funcional, para la tasa de propagación, se mostrará luego para que esté
de acuerdo tanto con las ecuaciones de campo como con las condiciones de borde.
Por lo tanto, esta forma constituye una solución aceptable. El parámetro ; llamado
el loclizador de interfase, debe ser resuelto junto con los campos de temperatura y
presión. También se lo introduce en la ecuación (5.18) para simpli…car las siguientes
ecuaciones adimensionales.
Sustituyendo las ecuaciones (5.14)-(5.24) en las ecuaciones (5.1)-(5.12), obtenemos el siguiente conjunto equivalente de ecuaciones diferenciales ordinarias y sus
correspondientes condiciones de frontera
t001 ( ) + 2 t01 ( ) = 0;
t002 ( ) + 2
0
2
( ) u ( )) t02 ( ) = 0;
( +
0
>
( ) + ( ( ) u ( ))0 = 0;
0<
(5.25)
0<
< ;
< ;
(5.26)
(5.27)
L
t1 (+1) = 1
(5.28)
p0 ( ) = Hu ( )
(5.29)
p( ) = R
(5.30)
( ) t2 ( )
(5.31)
p (0) = 1
t1 ( ) = t2 ( ) = Ts Ti ;
=
p
[K2 Ti ]
t02 (0) = 2q0
1
1
Q
t01 ( ) = t02 ( ) 2 p ;
=
K
1
0
( ) = ( )u( );
=
(5.32)
(5.33)
(5.34)
(5.35)
L
donde los primas notan derivación con respecto a ; y
R = RTi
Ya que
0
es del orden de 10
3
0
(5.36)
P0
para un amplio rango de temperaturas y pre-
L
siones ambiente, ecuaciones (5.27) y (5.35) pueden ser simpli…cadas como
[ u]0 = 0
en 0 <
83
<
(5.37)
[ u]
=
(5.38)
=1
La solución general de la ecuación (5.37) junto a la ecuación (5.38) nos da
u = 1 para todo 0 <
(5.39)
<
Por lo tanto, la ecuación no-lineal (5.26) se simpli…ca en la forma
t002 ( ) + 2
2
( +
) t02 ( ) = 0;
0<
< ;
(5.40)
Debería notarse que todo el efecto del término de convección de calor puede ser
atribuido al parámetro de…nido en la ecuación (5.19). Por supuesto, la convección
del calor por vapor es despreciable sólo para valores pequeños de : También es
obvio de la ecuación (5.40) que, de ninguna manera, la contribución de la convección
puede ser convertida en un tipo de coe…ciente de convectividad .efectivo".
La solución general para el campo de temperatura en la región 1 es
t1 ( ) = 1 +
Ts
Ti
1
1
1
erf ( )
erf ( )
La solución general para el campo de temperatura en la región 2 es
p
Ts q0
2
+
exp (
)2 [erf ( ( + 1) ) erf ( ( + ))]
t2 ( ) =
Ti
K2 Ti
(5.41)
(5.42)
Teniendo en cuenta (5.39), (5.29) y (5.30) tenemos:
p ( ) p0 ( ) = R Ht2 ( )
(5.43)
Integrando la ecuación (5.43) y usando (5.31) obtenemos el campo de presión
en la región 2:
p ( ) = [2R H (A1 + A2 ( + ) erf ( ( + 1) )
1
A2
+ p exp
( ( + ))2
+2C] 2
donde
p
Ts q0
2
A1 =
+
exp (
)2 erf ( ( + 1) ) ;
Ti
K2 Ti
p
q0
2
A2 =
exp (
)2
K2 Ti
84
(5.44)
(5.45)
(5.46)
C=
1
2
R HA2
1
) + p exp
erf (
(
)2
(5.47)
Finalmente, podemos obtener la densidad adimensional y la velocidad aparente
adimensional del gas de las ecuaciones (5.30) y (5.39)
( )=
1
p( )
=
R t2 ( )
u( )
(5.48)
Las tres funciones t1 ; t2 y p quedan en función del parámetro ; el que debe ser
determinado con la condición (5.34) lo que nos da la siguiente ecuación trascendental:
f( ) = 0
(5.49)
donde
f (x) =
Ts
Ti
1 F1 (x)
p
(
1 q0
2
K1 Ti ) exp
(1 + 2 ) x2
Qx
(5.50)
teniendo en cuenta que
F1 (x) = exp
x2 : (1
erf x)
1
(5.51)
es una función real de…nida para x > 0:
Podemos enunciar y demostrar la siguiente propiedad:
Teorema: Si
Ts > Ti + ( wL
L
2C1 1 ) ;
(5.52)
entonces obtendremos lo siguiente:
a) Si
q0 > K1 (Ts
Ti )
p
1
(5.53)
entonces existe una única solución > 0 de la ecuación (5.49), esto es decir,
existe una única solución al problema P .
p
b) Si q0 = K1 (Ts Ti )
1 , entonces no hay solución al problema P como
problema de cambio de fase; es sólo un problema de conducción del calor para la
fase inicial.
p
c) Si q0 < K1 (Ts Ti )
1 , entonces no hay solución a la ecuación (5.49);
esto es decir que el problema P no admite una solución.
85
Demostración: Para resolver la ecuación (5.49) debemos estudiar el comportamiento de la función f: En [18] fueron estudiadas las propiedades de F1 (x). Sabemos que
F1 (0) = 1; F1 (+1) = +1;
2
2xF1 (x) + p F12 (x) > 0; 8x > 0;
F10 (x) =
F100 (x) > 0; 8x > 0:
Luego, veamos las propiedades de la función f (x) :
f (0) = R1
f 0 (x) = R1
R2
;
2xF1 (x) +
f (+1) = +1
p2
F12 (x) + 2mR2 x exp ( mx2 )
Q>
Q
2xF1 (x) + p2 F12 (x)
Q
Ts
p
0
0
donde R1 =
1; R2 = q0
1 K1 Ti : Entonces f (x) > 0 () F1 (x) >
Ti
R1
Q
2
2
Para (5.52) tenemos
< p . Más aún, sabemos que F10 (0) = p < F10 (x)
R1
2
Q
para todo x > 0 (porque F100 (x) > 0), entonces F10 (x) > p >
:
R1
> R1
Luego, obtenemos una única solución de la ecuación (5.49) en el caso
p
R1 < R2 (f (0) < 0) ; esto es, q0 satisface q0 > K1 (Ts Ti )
1:
p
En el caso R1 = R2 (f (0) = 0) ; o sea, q0 = K1 (Ts Ti )
= 0 es la
1;
única solución de la ecuación (5.49) y por lo tanto no hay solución al problema P
como problema de cambio de fase. Entonces, en este caso existe sólo un problema
de conducción de calor para la fase inicial. Finalmente, si R1 > R2 (f (0) > 0) ;
p
esto es decir, q0 < K1 (Ts Ti )
1 ; no hay solución de la ecuación (5.49), en
este caso el problema P no admite una solución.
5.5.
Enunciado del problema Pe
Ahora, si reemplazamos la condición de ‡ujo de calor (5.7) por una condición
de temperatura constante en el borde …jo x = 0 como
T2 (0; t) = T0
86
(5.54)
donde Ts > T0 ; de…nimos al problema Pe dado por las condiciones (5.1)-(5.6), (5.54),
(5.8)-(5.12); fue estudiado en [33], y tenemos que la solución está dada por:
Ts
Ti
e
t1 ( ) = 1 +
e
t2 ( ) =
(Ts T0 ) erf(
p( ) =
h
1
1
1
( +1))+T0 erf ( ( +1)e) Ts erf (
Ti [erf ( ( +1)e) erf ( e)]
e3 + A
e4
2R eH A
e4
A
+ p exp
donde
e3 =
A
Ti
e4
R eH A
erf
;
e
erf
1
( + 1) e
erf
1
e + p
exp
e erf
(5.55)
<e
0<
Ts erf
( + 1) e
T0
e)
>e
(5.56)
+ e erf
( + 1) e
!
i 12
2
e
e
+
+2C
( + 1) e
T0 erf
h
Ti erf
e4 = Ts
A
e=1
C
2
erf ( )
;
erf e
(5.57)
e
i;
e
(5.58)
(5.59)
e
2
(5.60)
Las tres funciones e
t1 ; e
t2 y pe quedan en función del parámetro e el cual debe ser determinado por la condición (5.49) la que nos da la siguiente ecuación trascendental:
h1 (e) = h2 (e)
donde
h1 (x) =
(5.61)
2
exp
(1 + )2 x2
(T0 Ts )
K
erf ( ( + 1) x) erf ( x)
h2 (x) = (Ts
Ti ) F1 (x)
(5.62)
(5.63)
QTi x
La función h1 (x) es continua y decreciente, con las siguientes propiedades:
h1 (0) = +1; y h1 (+1) = 0: Acerca de h1 0 (x) ; tenemos que
h1 0 (x) =
e
(
2 (erf( x) erf( ( +1)x))
x)2 (erf( ( +1)x) erf(
x))2
exp( ( ( +1)x)2 )
p
exp
2
( + 1)2 x (erf ( ( + 1) x)
(2 + 1) x2
87
1
1
:
erf (
x))
Notemos que
2
( + 1) x (erf ( ( + 1) x)
erf (
x))
e
( ( +1)x)2
p
e
2 (2
+1)x2
1
1 >0
es equivalente a decir que
"
#
( ( +1)x)2
erf ( ( + 1) x)
(
+
1)
e
e (
( + 1)2 x + p
> ( + 1)2 x+ p
erf ( x)
erf ( ( + 1) x)
erf (
x)2
x)
y esto es válido para todo x > 0, puesto que erf (x) es una función continua y
creciente.
Ahora, podemos obtener las propiedades de la función h2 (x):
h2 (0) = Ts Ti y h2 (+1) = +1 puesto que Ts > Ti + (wL L C1 1 ) : Acerca de
h2 0 (x) ; podemos decir que h2 0 (x) > 0 si y sólo si
2
( 2x) F1 (x) + p F12 (x) >
Si consideramos Ts > Ti + ( wL
x > 0.
L
QTi
Ts Ti
(5.64)
2C1 1 ) ; entonces (5.64) es válida para todo
Por lo tanto, en este caso, demostramos que hay una única solución de la
ecuación (5.61). Así entonces podemos enunciar el siguiente
Teorema: Si Ts > Ti + ( wL L 2C1 1 ) ; entonces existe una única solución
e > 0 de la ecuación (5.61), esto es decir, existe una única solución al problema Pe:
5.6.
Relación entre los problemas de transferencia de calor con temperatura y ‡ujo de calor
en el borde …jo
Ahora, volvemos al problema inicial P con condición de ‡ujo de calor, conp
siderando el caso Ts > Ti +( wL L 2C1 1 ) y q0 > K1 (Ts Ti )
1 : Evaluando
T2 en x = 0; obtenemos:
T2 (0; t) = Ts +
p
2 q0
K2
exp (
)2 [erf ( ( + 1) )
Luego podemos considerar al problema Pe poniendo
T0 = Ts +
p
2 q0
K2
exp (
)2 [erf ( ( + 1) )
88
erf (
erf (
)] > Ts :
)] > Ts :
(5.65)
(5.66)
La solución de este problema está dada por (5.55)-(5.57) donde e es solución de
la ecuación (5.61): Sabemos que para este problema existe un único e > 0 tal que
h1 e = h2 e : Ahora queremos demostrar que e = ; para eso debemos probar
que e es también solución de la ecuación (5.49). Tenemos que:
h1 e = h2 e , (Ts
=
p
K
()
2 q0
K2
Ts
Ti
exp
1 F1 e
e
Ti ) F1 e
2
Qe
QTi e =
erf ( ( +1)e) erf (
erf ( ( +1)e) erf (
p
q
= K1 T1i 0 exp
e)
e)
2
exp
(1 + 2 ) e
2
( + 1) e
2
,
, f e = 0;
(5.67)
o sea, e es una solución de la ecuación (5.49), la que tiene una única solución
; entonces e = .
Además, en este caso e
t2 tiene la siguiente forma:
Ts p q
e
t2 ( ) = + K2 T2i 0 exp (
Ti
)2
erf
( + 1) e
erf (
( + 1)) ;
0<
(5.68)
e3 ; A
e4 y C;
e que son parte de la solución pe ( ) (5.57) son
las constantes A
p
exp (
)2 erf ( ( + 1) )
2 q0
e3 = Ts +
A
K2
Ti
Ti
p
q
2
2
0
e4 =
exp (
)
A
K2 Ti
e = 1+
C
2
p
2 q0 R
K2 Ti
H
exp (
)2
< e;
erf (
(5.69)
(5.70)
)+
y A1 ; A2 ; están de…nidas en (5.45) y (5.46). Es obvio que si
exp( (
p
)2 )
(5.71)
= e; entonces s = se:
Por lo tanto, obtenemos que las soluciones al problem Pe son las mismas que
las del problema inicial, esto es, t1 = e
t1 ; t2 = e
t2 ; p = pe; s = se: Esto implica
inmediatamente que T1 = Te1 ; T2 = Te2 ; p = pe y s = se: Luego, podemos enunciar la
siguiente propiedad:
Teorema: Un problema de cambio de fase para distribuciones de temperatura
y humedad en un semiespacio poroso con una condición de ‡ujo de calor sobre la
super…cie x = 0 que veri…ca la condición (5.7), es equivalente aun problema de
cambio de fase con condición de temperatura considerando
Te2 (0; t) = T0 > Ts ;
89
(5.72)
donde es el coe…ciente que caracteriza la frontera libre. Mas aún, la relación entre
q0 ; tv y ts está dada por
p
T0 = Ts + [
)] > Ts ; (5.73)
)2 [erf ( ( + 1) ) erf (
2 q0 K2 ] exp (
donde
es el coe…ciente que caracteriza la frontera libre.
Como consecuencia del Teorema 4, podemos traducir la desigualdad (5.53) para
q0 para el problema P como una desigualdad para para el problema Pe; esto es,
q0 > K1 (Ts
Ti )
p
, h4 ( ) >
1
(Ts
(T0
Ti ) K
Ti )
donde
h4 (x) = exp
(
x)2
[erf ( ( + 1) x)
erf (
(5.74)
x)]
La función h4 (x) es continua y decreciente, con las siguientes propiedades:
h4 (0) = +1; h4 (+1) = 0; h4 0 (x) < 0; 8x > 0
(5.75)
Por lo tanto, obtenemos lo siguiente
Corolario: El coe…ciente
desigualdad
<
de la frontera libre se (t) = 2e
= h4
1
(Ts
(T0
Ti ) K
Ti )
:
p
1t
satisface la
(5.76)
donde h4 está de…nida por (5.74).
5.7.
Algunos resultados ilustrativos
Para estudiar los efectos del parámetro q0 (coe…ciente que caracteriza el ‡ujo
de calor sobre el borde …jo x = 0 ) sobre nuestro proceso vamos a dar primero
las grá…cas de la función
vs. q0 ; donde
es el coe…ciente adimensional que
caracteriza la frontera libre (5.24), variando los otros parámetros relacionados.
p
Sea q0 = q0
(K1 (Ts Ti )) el coe…ciente adimensional correspondiente. Sin
1
perder generalidad, …jamos Ts = 100o C y Ti = 50o C en cada una de las …guras
presentadas aquí. Para un tiempo positivo dado, la …gura 5.1 muestra el comportamiento de como función de q0 variando el parámetro ; presentado en (5.19)
y considerando todos los otros parámetros …jos. Ponemos Q = = 1: Si q0 > 1;
crece si q0 lo hace. Si q0
1; = 0; y por lo tanto no hay cambio de fase.
Podemos observar que un crecimiento en causa un decrecimiento en . Para un
90
Figura 5.1: Comportamiento de
como función de q0 variando el parámetro
tiempo positivo dado, la …gura 5.2 muestra el comportamiento de como función
de q0 variando el parámetro ; presentado en (5.22), y considerando a todos los
otros parámetros …jos. Ponemos Q = = 1: Si q0 > 1; crece mientras q0 lo hace.
Si q0 1; = 0; y por lo tanto no hay cambio de fase. Podemos observar que un
crecimiento en causa un decrecimiento en también. Finalmente, para un tiempo
positivo dado, la …gura 5.3 muestra el comportamiento de como función de q0
variando el parámetro Q; presentado en (5.21), y considerando a todos los otros
parámetros …jos. Ponemos = = 1: Como en los casos anteriores, si q0 > 1;
1; = 0; y por lo tanto no hay cambio de fase. Pero
crece si q0 lo hace. Si q0
aquí podemos observar que un crecimiento en Q causa un crecimiento en .
Ahora daremos los grá…cos de la función vs. ; variando los otros parámetros
relacionados. La …gura 5.4 muestra el comportamiento de como función de variando el parámetro q0 ; y considerando a todos los otros parámetros …jos. Ponemos
Q =
= 1: Podemos observar que un crecimiento en q0 causa un crecimiento
en . La …gura 5.5 muestra el comportamiento de como función de variando
el parámetro ; y considerando a todos los otros parámetros …jos. Ponemos Q =
1; q0 = 2: Podemos observar que un crecimiento en
causa un decrecimiento
en . La …gura 5.6 muestra el comportamiento de como función de variando
91
Figura 5.2: Comportamiento de
como función de q0 variando el parámetro
Figura 5.3: Comportamiento de
como función de q0 variando el parámetro Q
92
Figura 5.4: Comportamiento de
como función de
variando el parámetro q0
Figura 5.5: Comportamiento de
como función de
variando el parámetro
93
Figura 5.6: Comportamiento de
como función de
variando el parámetro Q
el parámetro Q; y considerando a todos los otros parámetros …jos. Ponemos =
1; q0 = 2: Podemos observar que un crecimiento en Q causa un decrecimiento en
también.
Finalmente daremos las grá…cas de la función p ( ) vs. ; variando los otros
parámetros relacionados. La …gura 5.7 muestra el comportamiento de p( ) como
función de variando el parámetro ; y considerando a todos los otros parámetros
…jos. Ponemos Q = H = K = = R = 1: Podemos observar que un crecimiento
en causa un crecimiento en p( ). La …gura 5.8 muestra el comportamiento de
p( ) como función de variando el parámetro ; y considerando a todos los otros
parámetros …jos. Ponemos Q = H = K = = R = 1: Podemos observar que un
crecimiento en causa un crecimiento en p( ). La …gura 5.9 muestra el comportamiento de p( ) como función de variando el parámetro Q; y considerando a
todos los otros parámetros …jos. Ponemos H = K = = = R = 1: Podemos observar que un crecimiento en Q causa un decrecimiento en p( ). La …gura 5.10 muestra el comportamiento de p( ) como función de variando el parámetro K; y considerando a todos los otros parámetros …jos. Ponemos Q = H = = = R = 1:
Podemos observar aquí que un crecimiento en K causa un crecimiento en p( ).
Finalmente, la …gura 5.11 muestra el comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro H; y considerando a todos los otros parámetros …jos.
94
Figura 5.7: Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro
Ponemos Q = K = = = R = 1: Podemos observar que un crecimiento en
H causa un crecimiento en p( ). En las …guras 5.7 - 5.11, podemos observar que
crece mientras p( ) lo hace. Si 0 p( ) 1; = 0 y por lo tanto no hay cambio
de fase.
Con todas estas …guras hemos veri…cado numéricamente los resultados teóricos
obtenidos anteriormente de forma analítica. Los resultados aquí presentados pueden
ser usados como un caso límite para chequear códigos numéricos de la ecuación de
secado que tiene en cuenta propiedades de temperatura variantes.
5.8.
Conclusión
Se obtienen soluciones exactas para distribuciones de temperatura
p y humedad en
un semiespacio poroso con condición de ‡ujo en x = 0 del tipo q0 = t . Una desigualdad para el coe…ciente q0 es necesaria y su…ciente para obtener esa solución explícita.
Luego, introducimos al Problema Pe; el cual es el problema P cambiando la condición de ‡ujo de calor por una condición de temperatura sobre el borde …jo x = 0; y
obtenemos existencia y unicidad de la solución si Ts > Ti + ( wL L 2C1 1 ). Finalmente establecemos una equivalencia entre los dos problemas anteriores de cambio
95
Figura 5.8: Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro
Figura 5.9: Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro Q
96
Figura 5.10: Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro K
Figura 5.11: Comportamiento de p( ) como función de
variando el parámetro H
97
de fase hallando una desigualdad para el coe…ciente que caracteriza la frontera libre.
Los resultados presentados aquí pueden ser usados como caso límite para veri…car
códigos numéricos de la ecuación de secado que tiene en cuenta propiedades de
temperatura variables.
98
Capítulo 6
Sobre el congelamiento de un
medio poroso húmedo …nito con
una condición de ‡ujo de calor.
Introducción
Los problemas de transferencia de calor y masa que suceden en medios porosos,
tales como evaporación, condensación, congelamiento, derretimiento, sublimación
y desublimación, tienen una gran aplicación en procesos de separación, tecnología
de alimentos, migración de calor y mezclas en suelos, etc. En [36], [37] se mostró
experimentalmente que el congelamiento de suelos está acompañado de un conjunto
de fenómenos interconectados entre los cuales la migración de humedad hacia el
frente congelado cumple un rol importante. Debido a la no-linearidad del problema,
las soluciones usualmente involucran di…cultades matemáticas. Sólo unas pocas
soluciones exactas fueron halladas para casos ideales (ver [4], [5], [24], [36], [37], [48]
por ejemplo). Una amplia bibliografía sobre problemas de frontera libre y móvil
para la ecuación del calor-difusión está dada en [53].
La formulación matemática de la transferencia de calor y masa en cuerpos de
capilares porosos fue establecida por Luikov [29],[30],[31],[32],[33]. Dos modelos
diferentes fueron presentados por Mikhailov [36] para resolver el problema de la
evaporación de humedad líquida de un medio poroso. Para el problema de congelamiento (o desublimación) de un semiespacio húmedo poroso, Mikhailov también
presentó una solución exacta [37]. Otros problemas en esta dirección son [12], [14],
[18], [44].
99
Este capítulo versa sobre un análisis matemático teórico del congelamiento
(desublimación) de humedad en un medio poroso …nito con una condición de ‡ujo
de calor en x = 0; siguiendo lo hecho por [36] y [44]. En la Sección 6.1 damos las
ecuaciones que modelan esto como un problema de frontera libre. La meta de este
capítulo es probar la existencia local y la unicidad en el tiempo de la solución de
este problema. En la Sección 6.2, probaremos que el problema P es equivalente al
sistema de ecuaciones integrales de Volterra (6.48)-(6.51) siguiendo el método de
Friedman-Rubinstein dado en [16], [43] (ver también [2], [3], [9], [19], [38], [45]).
Luego, en la Sección 6.3 probaremos que el problema (6.48)-(6.51) tiene una única
solución local en el tiempo usando el Teorema de Contracción de Banach.
6.1.
Enunciado del problema
Consideremos el ‡ujo de calor y humedad a través de un semiespacio poroso
…nito durante el congelamiento. La posición del frente de cambio de fase al tiempo
t está dado por x = s (t) : Este divide al cuerpo poroso en dos regiones. Notemos por
u = u(x; t); v = v(x; t); y w = w(x; t) la distribución de temperatura en la región de
congelamiento, la distribución de temperatura y la distribución de humedad en la
región donde el calor y la humedad ‡uyen acoplados respectivamente. Consideremos
en nuestro modelo que a2 6= am : Consideremos los conjuntos
1
T
= f(x; t) /0 < x < s (t) ; 0 < t < T g
(6.1)
2
T
= f(x; t) /s (t) < x < 1; 0 < t < T g :
(6.2)
y
En la región de congelamiento 1T no hay movimiento de humedad y la distribución de temperatura está descripta por la ecuación del calor
@2u
@u
(x; t) = a1 2 (x; t) ;
@t
@x
donde a1 es la difusividad termal en
0 < x < s (t) ; 0 < t < T
(6.3)
1
T.
La región 2T es donde en el cuerpo poroso de capilares húmedos ‡uyen acoplados
calor y humedad. El proceso está descripto por el bien conocido sistema de Luikov
[29] para el caso " = 0 (" es el factor de conversión de fase de líquido a vapor):
@v
@2v
(x; t) = a2 2 (x; t) ;
@t
@x
s (t) < x < 1; 0 < t < T
100
(6.4)
@w
@2w
@2v
(6.5)
(x; t) = am 2 (x; t) + am
(x; t) ;
s (t) < x < 1; 0 < t < T
@t
@x
@x2
donde a2 es la difusividad termal y am es la difusividad de humedad en 2T , y
es el coe…ciente del gradiente termal. Las distribuciones iniciales de temperatura y
humedad están dadas por:
u(x; 0) = (x)
0 ;
0 < x < s (t)
(6.6)
v (x; 0) =
(x)
0 ;
s (t) < x < 1
(6.7)
w (x; 0) =
(x) > 0 ;
s (t) < x < 1
(6.8)
En x = 1; las distribuciones de temperatura y humedad satisface:
v (1; t) = h (t) > 0 ;
0<t<T
(6.9)
w (1; t) = w0 > 0 ;
0<t<T
(6.10)
Se supone que en x = 0 el ‡ujo de calor depende del tiempo de la siguiente manera:
k1
@u
(0; t) = j(t) ;
@x
(6.11)
0<t<T
Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temperaturas:
u (s (t) ; t) = v (s (t) ; t) = 0;
0<t<T
(6.12)
Allí, el balance de calor y humedad nos da que
k1
@u
(s (t) ; t)
@x
k2
@v
(s (t) ; t) = w (s ( ) ; )
@x
2r
ds
(t) ;
dt
0<t<T
(6.13)
@v
@w
(6.14)
(s (t) ; t) +
(s (t) ; t) = 0;
0<t<T
@x
@x
donde ki ; i = 1; 2 son las conductividades termales en iT ; 2 es la densidad del
cuerpo poroso en 2T , y r es el calor latente de congelamiento.
Entonces, el esquema matemático correspondiente puede ser formulado como
sigue: Hallar las funciones u = u(x; t); v = v(x; t); w = w(x; t) de la variable espacial
x y la variable temporal t; y la frontera libre s = s(t) de modo que satisfagan las
ecuaciones y condiciones (6.3)-(6.14). El conjunto de ecuaciones y condiciones (6.3)(6.14) se llama problema P .
101
Por conveniencia en la resolución del problema, al igual que en [44], introducimos
ahora una nueva función desconocida, que acopla v y w; esta es:
z (x; t) = v (x; t) +
1
1
a2
am
w (x; t) ;
s (t) < x < 1; 0 < t < T
(6.15)
Nota: En [37] fue mencionado que puede verse que la humedad es mayor en el
frente de congelamiento . Entonces, w (s ( ) ; )
w (1; t) = w0 > 0: Luego para
z = z (x; t) tenemos que
z(s(t); t) =
1
a2
am
1
w(s(t); t)
(6.16)
y
1
jz(s(t); t)j
Si de…nimos
1
(t) = h(t) +
(x) =
(x) +
1
1
a2
am
w0
(6.17)
1
a2
am
w0 ;
(6.18)
1
a2
am
(x) ;
(6.19)
2 ram
;
(6.20)
am a2
luego de unos cálculos elementales, las ecuaciones y condiciones (6.5), (6.8), (6.10),
(6.13) y (6.14) se transforman en:
=
@2z
@z
(x; t) = am 2 (x; t) ;
@t
@x
z (x; 0) = (x) ;
s (t) < x < 1; 0 < t < T
s (t) < x < 1; 0 < t < T
(6.21)
(6.22)
z (1; t) = (t) ; s (t) < x < 1; 0 < t < T
(6.23)
@u
ds
@v
(6.24)
k1
(s (t) ; t) k2
(s (t) ; t) = z (s ( ) ; )
(t) ;
0<t<T
@x
@x
dt
@z
a2 @v
(6.25)
(s (t) ; t) +
(s (t) ; t) = 0;
0<t<T
@x
am @x
El conjunto de ecuaciones y condiciones (6.3), (6.4), (6.6), (6.7), (6.9), (6.11), (6.12),
(6.21)-(6.25) se llama problema Pe; y es equivalente al problema P .
102
6.2.
Formulación integral
Ahora vamos a obtener una formulación integral equivalente para el problema
Pe: Esta formulación será usada en la próxima sección, donde se prueba el resultado
principal del problema de frontera móvil.
Sean G1 = G1 (x; t; ; ) ; N1 = N1 (x; t; ; ) las funciones de Green y Neumann
para 1T ; y G2 = G2 (x; t; ; ) ; N2 = N2 (x; t; ; ) ; Gm = Gm (x; t; ; ) ; y Nm =
Nm (x; t; ; ) las funciones de Green y Neumann para 2T ; de…nidas por:
G1 (x; t; ; ) = K1 (x; t; ; ) K1 ( x; t; ; )
N1 (x; t; ; ) = K1 (x; t; ; ) + K1 ( x; t; ; )
G2 (x; t; ; ) = K2 (x
N2 (x; t; ; ) = K2 (x
1; t;
1; t;
1; ) K2 (1
1; ) + K2 (1
x; t;
x; t;
Gm (x; t; ; ) = Km (x
Nm (x; t; ; ) = Km (x
1; t;
1; t;
1; ) Km (1
1; ) + Km (1
x; t;
x; t;
(6.26)
1; )
1; )
1; )
1; )
(6.27)
(6.28)
donde
Ki (x; t; ; ) =
con i = 1; 2; m.
8
>
<
1
p
2
ai (t
>
:
0
)
(x
)2
4ai (t
)
exp
!
x; > 0; t >
(6.29)
x; > 0; t
Si consideramos al problema Pe; es bien sabido que si integramos la identidad
a1
@
(N1 u
@
N1 u) =
@
(N1 u)
@
(6.30)
sobre el dominio 0 < < s ( ) ; 0 < " < < t "; y calculamos el límite " ! 0+ ;
entonces se obtiene la siguiente representación para la función u = u (x; t):
Z b
Z t
u(x; t) =
N1 (x; t; ; 0) ( )d +
a1 N1 (x; t; s( ); )u (s ( ) ; )d
0
0
Z t
a1
j( )N1 (x; t; 0; )d
(6.31)
0 k1
De manera similar, integrando las identidades
a2
@
(G2 v
@
G2 v) =
103
@
(G2 v)
@
(6.32)
@
@
(Gm z
Gm z) =
(Gm z)
(6.33)
@
@
sobre el dominio s ( ) < < 1; 0 < " < < t "; y calculando el límite " ! 0+ ; se
obtienen las siguientes representaciones para las funciones v = v (x; t) y z = z (x; t):
Z t
Z 1
a2 G2 (x; t; 1; )h( )d
G2 (x; t; ; 0)'( )d
v(x; t) =
0
b
Z t
a2 G2 (x; t; s( ); )v (s ( ) ; )d
(6.34)
am
0
z(x; t) =
Z
b
+
1
Gm (x; t; ; 0) ( )d
Z
t
am Gm (x; t; 1; ) ( )d
0
Z
t
k2
a2 Gm (x; t; s( ); )v (s ( ) ; )d
(6.35)
0
+
Z
t
am Gm (x; t; 1; )z(s ( ) ; )d
0
Z
t
k1
Gm (x; t; s( ); )u (s ( ) ; )d
0
Puesto que N2x = G2 y Nmx = Gm ; notamos que 6.34 y 6.35 pueden ser
escritas de la siguiente manera
Z 1
Z t
v(x; t) =
G2 (x; t; ; 0)'( )d +
a2 N2x (x; t; 1; )h( )d
b
0
Z t
a2 G2 (x; t; s( ); )v (s ( ) ; )d
(6.36)
0
z(x; t) =
Z
b
+
1
Gm (x; t; ; 0) ( )d +
Z
t
am Nmx (x; t; 1; ) ( )d
0
Z
t
k2
a2 Gm (x; t; s( ); )v (s ( ) ; )d
(6.37)
0
Z
t
am Nmx (x; t; 1; )z(s ( ) ; )d
0
Z
t
k1
Gm (x; t; s( ); )u (s ( ) ; )d
0
Consideremos las siguientes funciones desconocidas:
X (t) = ux (s (t) ; t) ; Y (t) = vx (s (t) ; t) ; Z (t) = z (s (t) ; t)
104
(6.38)
Entonces podemos escribir a (6.31), (6.36) y (6.37) de la manera siguiente:
Z t
Z b
a1 N1 (x; t; s( ); )X( )d
N1 (x; t; ; 0) ( )d +
u(x; t) =
0
0
Z t
a1
j( )N1 (x; t; 0; )d
(6.39)
0 k1
Z
v(x; t) =
1
G2 (x; t; ; 0)'( )d +
b
Z
Z
t
a2 N2x (x; t; 1; )h( )d
0
t
(6.40)
a2 G2 (x; t; s( ); )Y ( )d
0
z(x; t) =
Z
b
+
1
Gm (x; t; ; 0) ( )d +
Z
t
am Nmx (x; t; 1; ) ( )d
0
Z
t
k2
a2 Gm (x; t; s( ); )Y ( )d
(6.41)
Z t
Z t
k1
am Nmx (x; t; 1; )Z( )d
Gm (x; t; s( ); )X( )d
0
0
0
Estas son las representaciones integrales para u(x; t); v(x; t) y z(x; t).
Nota: Remarcamos que en nuestro caso, valen las siguientes fórmulas
ciones de salto (ver [16], [45]):
Z t
u(x; t)
lm
u ( ; ) G1x (x; t; s( ); ) d =
x!s(t)
2a1
0
Z t
v(x; t)
l m+
v ( ; ) N2x (x; t; s( ); ) d =
x!s(t)
2a2
0
Z t
z(x; t)
l m+
z ( ; ) Nmx (x; t; s( ); ) d =
x!s(t)
2am
0
Z s(t ")
l m+
u ( ; t ") N1 (x; t; ; t ") d = u(x; t)
"!0
l m+
"!0
l m+
"!0
y rela-
(6.42)
(6.43)
(6.44)
(6.45)
0
Z
Z
1
v( ;t
") G2 (x; t; ; t
") d = v(x; t)
(6.46)
z( ;t
") Gm (x; t; ; t
") d = z(x; t)
(6.47)
s(t ")
1
s(t ")
105
Para el problema Pe; considerando (6.45)-(6.47), obtenemos el siguiente sistema
de ecuaciones integrales de Volterra para las funciones desconocidas X (t) ; Y (t) ; Z (t) :
Z b
Z t
0
X(t) = 2
G1 (s(t); t; ; 0) ( )d + 2
a1 N1x (s(t); t; s( ); )X( )d
0
0
Z t
a1
2
N1x (s(t); t; 0; )j( )d
(6.48)
0 k1
Y (t) = 2
Z
1
0
N2 (s(t); t; ; 0) ' ( )d + 2
b
2
Z
Z
t
N2 (s(t); t; 1; ) h0 ( )d
0
t
(6.49)
a2 G2x (s(t); t; s( ); )Y ( )d
0
Z(t) = 2
Z
1
Gm (s(t); t; ; 0) ( )d + 2
b
+2
Z
t
am Nmx (s(t); t; 1; ) ( )d
0
Z
t
k2
(6.50)
a2 Gm (s(t); t; s( ); )Y ( )d
0
2
Z
t
am Nmx (s(t); t; 1; )Z( )d
0
2
Z
t
k1
Gm (s(t); t; s( ); )X( )d
0
Más aún, de (6.24) tenemos que
s(t) = b +
Z
t
0
k1 X( ) k2 Y ( )
d
Z( )
(6.51)
Entonces, trataremos de resolver el sistema de ecuaciones integrales de Volterra
(6.48)-(6.50) para resolver el problema Pe:
Tenemos el siguiente lema:
Lema: Sean las funciones
X = X(t); Y = Y (t); Z = Z(t) 2 C 0 [0; ] ;
(6.52)
tales que
max jX(t)j
t2[0; ]
M0 ; max jY (t)j
t2[0; ]
106
M0 ; max jZ(t)j
t2[0; ]
M0 ;
(6.53)
con
2C 1
2
3
b
(6.54)
entonces s(t) de…nido por (6.51) satisface las siguientes desigualdades
js(t)
C1 jt
s( )j
js(t)
bj
s(t)
(2
(s(t) + )
3b)2
4
(2
3b)2
4
(2
s(t)
(1
2
(6.55)
(6.56)
8t 2 [0; ]
C1 ;
(s(t) + )2 ;
2
8t; 2 [0; ]
8t 2 [0; ]
(6.57)
8t; 2 [0; ]
2
3b
2
3b
2
b
;
2
(s(t) + s( ))2 ;
b2
1
j;
8 tal que b
3b
;
2
)2 ;
(6.58)
(6.59)
1
8 tal que b
8 tal que b
s(t))2 ;
1
1
8t 2 [0; ]
(6.60)
(6.61)
(6.62)
donde C1 es una constante que depende de los datos y está de…nida en el
Apéndice 1.
Demostración: Es fácil de verlo, considerando (6.17) y que s(t) 2 [0; 1].
Teorema: Hallar la solución del problema Pe equivale a hallar la solución del
sistema de ecuaciones integrales (6.48)-(6.50).
Demostración: Podemos ver que el sistema de ecuaciones integrales (6.48)(6.50) es una condición necesaria para hallar la solución del problema Pe (recordando
que t 2 [0; ] ; y 2 (0; 1)):
i) Primero, consideraremos a
I11 (t) = 2
Z
b
0
( ) [G1 (s2 (t); t; ; 0)
0
107
G1 (s1 (t); t; ; 0)] d
(6.63)
Usando el Teorema del Valor Medio existe un (t) entre s1 (t) y s2 (t) tal que
Z b
j 0 ( )j jG1 (s2 (t); t; ; 0) G1 (s1 (t); t; ; 0)j d
2
0
Z b
0
js2 (t) s1 (t)j jG1x ( (t); t; ; 0)j d
2k k
0
Z b
0
!
!
jG1x ( (t); t; ; 0)j d
(6.64)
2 k k C3 k! 2 (t) ! 1 (t)k t
0
Teniendo en cuenta que
jG1x ( (t); t; ; 0)j
1
3
p
4
(a1 t) 2
n
j (t)
+ j (t) + j exp
tenemos
Z
b
0
p
jG1x ( (t); t; ; 0)j d
j exp
( (t)+ )2
4a1 t
( (t) )2
4a1 t
o
2
a1 t
(6.65)
entonces surge que
jI11 (t)j
4 k 0 k C2 !
k! 2 (t)
p
a1
! (t)k p = C k!
! (t)
!
1
14
2
De manera similar, tenemos
Z 1
jI21 (t)j = 2
'0 ( ) [N2 (s2 (t); t; ; 0)
b
8 k'0 kC2 !
p
k! 2 (t)
3 a2
jI22 (t)j =
2
Z
(6.66)
N2 (s1 (t); t; ; 0)] d
! (t)k p = C k!
! (t)
!
1
15
2
! (t)k p (6.67)
!
1
t
h0 ( ) [N2 (s2 (t); t; 1; )
N2 (s1 (t); t; 1; )] d
0
kh0 k C2 !
k! 2 (t)
a2
jI31 (t)j =
! (t)k p
!
1
2
Z
! (t)k p = C k!
! (t)
!
1
16
2
! (t)k p (6.68)
!
1
1
( ) [Gm (s2 (t); t; ; 0)
Gm (s1 (t); t; ; 0)] d
b
4 k k C2 !
k! 2 (t)
p
am
! (t)k p = C k!
! (t)
!
1
17
2
108
! (t)k p (6.69)
!
1
ii) Ahora consideramos
Z t
a1 [N1x (s2 (t); t; s2 ( ); )X2 ( )
I12 (t) = 2
N1x (s1 (t); t; s1 ( ); )X1 ( )] d
0
(6.70)
Escribamos
K1
i
N1xi = N1x (si (t); t; si ( ); )
(6.71)
K1 i = K1 (si (t); t; si ( ); ) ; K1xi = K1x (si (t); t; si ( ); )
(6.72)
= K1 ( si (t); t; si ( ); ) ; K1x i = K1x ( si (t); t; si ( ); )
(6.73)
Entonces,
I12 (t) = 2
= 2
Z
t
Z0 t
a1 N1x2 X2 ( )
a1 N1x2 [X2 ( )
0
N1x1 X1 ( ) d =
Z t
a1 X1 ( ) N1x2
X1 ( )] d + 2
N1x1 d =
0
= I12A (t) + I12B (t)
(6.74)
Luego, primero tenemos que
Z t
A
I12 (t) = 2
a1 N1x2 [X2 ( )
0
! (t)
2a1 k!
2
! (t)
2a1 k!
2
X1 ( )] d
Z t
!
! 1 (t)k
N1x2 d
0
! (t)k
!
1
!
p
p
9 6
M0 (k1 + k2 )
(6.75)
+ p 3
3
p
2
2 b2
2
e
2
rw
a
0
2
1
Considerando ahora la segunda parte tenemos
Z t
B
2a1 M0
I12 (t)
N1x2 N1x1 d
Z0 t
Z
2
1
2a1 M0
K1x K1x d + 2a1 M0
0
t
K1x 1
K1x 2 d (6.76)
0
Teniendo en cuenta
K1x2
K1x1 =
1
K1 2 [(s2 (t) s2 ( ))
2a1 (t
)
2
+ K1
K1 1 (s1 (t) s1 ( ))
109
(s1 (t)
s1 ( ))]
(6.77)
y
K1 2
K1 1 = K1 2
(
1
exp
de…nimos
f1 (t; ) =
s2 ( ))2 (s1 (t)
4a1 (t
)
(s2 (t)
(s2 (t)
s2 ( ))2 (s1 (t)
4a1 (t
)
s1 ( ))2
s1 ( ))2
!)
(6.78)
(6.79)
:
Por lo tanto tenemos
M0 (k1 + k2 ) C3 !
k! 2 (t)
2 rw0 a1
! (t) !
! (t)k t
= 1 k!
2
1
6M0 1
jf1 (t; )j
Si consideramos que 6M0
j1
i
1;
(6.80)
i = 1; 2; 3, sigue que
2 jf1 (t; )j
exp [f1 (t; )]j
! (t)k t
!
1
2
1
! (t)
k!
2
! (t)k t
!
1
(6.81)
y entonces tenemos
K1x2
1
4a1 (t
+ K1 2
K1x1
K1 2 js2 (t) s2 ( ) s1 (t) + s1 ( )j
)
K1 1 js1 (t) s1 ( )j
!
C3
C18
! (t) !
! (t)k t (6.82)
k!
2
1
3 + p
p
t
2
(a1 (t
)) 2
Luego,
2a1 M0
Z
2M0 C3 !
! (t)k p
k! 2 (t) !
p
1
a1
! (t) !
! (t)k
+4a M C k!
t
K1x2
K1x1 d
0
1
0
18
2
1
3
2
(6.83)
Entonces, podemos considerar que usando el Teorema del Valor Medio hay un
(t; ) entre (s1 (t) + s1 ( )) y (s2 (t) + s2 ( )) tal que
K1x 1
K1x 2 = [(s2 (t) + s2 ( ))
(t; )
2a1 (t )
2
110
(s1 (t) + s1 ( ))]
1
2a1 (t
)
K1 ( (t; ) ; t; 0; )
(6.84)
Luego
!
p
p
3C
10
75
3
! (t)
K1x 2
+ 6 k!
p 3 3
2
e
2
e b
! (t) !
! (t)k t
= C19 k!
2
1
K1x 1
! (t)k t
!
1
(6.85)
así pues
2a1 M0
Z
t
K1x 1
! (t)
a1 M0 C19 k!
2
K1x 2 d
0
! (t)k t2
!
1
(6.86)
Finalmente tenemos
jI12 (t)j
2C3
! (t)
+ (4C18 + C19 ) a1 M0 k!
p
2
a1
! (t) !
! (t)k p
= C20 k!
2
1
! (t)k p
!
1
(6.87)
De manera similar, tenemos
jI23 (t)j = 2
Z
t
a2 [G2x (s1 (t); t; s1 ( ); )Y1 ( )
0
G2x (s2 (t); t; s2 ( ); )Y2 ( )] d j
! (t) !
! (t)k p
(C21 + C22 ) k!
2
1
jI33 (t)j =
2
Z
t
k2
(6.88)
a2 [Gm (s2 (t); t; s2 ( ); )Y2 ( )
0
Gm (s1 (t); t; s1 ( ); )Y1 ( )d ] j
! (t) !
! (t)k p
C k!
23
jI34 (t)j = 2
2
Z
1
t
am [Nmx (s1 (t); t; 1; )Z1 ( )
0
Nmx (s2 (t); t; 1; )Z2 ( )] d j
! (t) !
! (t)k p
C k!
24
jI35 (t)j = 2
(6.89)
Z
2
1
(6.90)
t
am [Nmx (s1 (t); t; 1; )Z1 ( )
0
Nmx (s2 (t); t; 1; )Z2 ( )] d j
! (t) !
! (t)k p
C k!
25
2
111
1
(6.91)
iii) Ahora consideremos
Z t
a1
I13 (t) = 2
[N1x (s1 (t); t; 0; )
0 k1
(6.92)
N1x (s2 (t); t; 0; )] j( )d
Usando nuevamente el Teorema del Valor Medio hay un & (t) entre s1 (t) y s2 (t) tal
que
N1x (s1 (t); t; 0; )
N1x (s2 (t); t; 0; ) = N1xx (& (t) ; t; 0; ) [s2 (t)
s1 (t)]
(6.93)
Ahora, notemos que
1
2a1 (t
N1xx (x; t; 0; ) =
y ya que
b
2
& (t)
3
b;
2
x2
) 2a1 (t
)
1 N1 (x; t; 0; )
(6.94)
y sabiendo que
exp
(t
x2
(t
)
n
)2
n
2ex2
n
2
(6.95)
tenemos que
& 2 (t)
jN1xx (& (t) ; t; 0; )j
p 5
4 a12 (t
1
+ p 3
2 a12 (t
5
exp
)2
& 2 (t)
4a1 (t
)
& 2 (t)
3
4a1 (t
)
)2
#
" p
24
75 10 p
+ 6 = C26
p 3 3
e
e2 b
exp
(6.96)
y entonces podemos decir
Z t
a1
[N1x (s1 (t); t; 0; ) N1x (s2 (t); t; 0; )] j( )d
jI13 (t)j = 2
0 k1
Zt
a1
! (t) !
! (t)k td
2 kjk C27 k!
2
1
k1
0
! (t)
C28 k!
2
! (t)k
!
1
112
2
(6.97)
De manera similar, tenemos que
Z t
am ( ) [Nmx (s2 (t); t; 1; )
jI32 (t)j = 2
0
! (t)
C29 k!
2
! (t)k
!
1
Nmx (s1 (t); t; 1; )] d
2
(6.98)
Recíprocamente, supongamos que para algún > 0 (e.g.,
T ) las funciones
X = X (t) ; Y = Y (t) ; Z = Z (t) satisfacen el sistema de ecuaciones (6.48)-(6.50)
para 2 (0; T ] : Luego, podemos de…nir las funciones u = u (x; t) ; v = v (x; t) y
z = z (x; t) como en (6.39), (6.40) y (6.41) respectivamente. Es fácil ver que ellas
satisfacen (6.3), (6.4), (6.6), (6.7), (6.9), (6.11), (6.21), (6.22), y (6.23), gracias a
las propiedades básicas de las funciones Gi y Ni (i = 1; 2; m) (y sus derivadas) y al
hecho que
Nixt (x; t; ; ) ai Nixxx (x; t; ; ) = 0
i = 2; m
(6.99)
Zt
l m ai f1 ( ) Nix (x; t; 1; ) d = f1 (t) ;
i = 2; m
(6.100)
x!1
0
lm
t!0+
Z1
f2 ( ) Gi (x; t; ; 0) d = f2 (x) ;
i = 2; m
(6.101)
b
Ahora queda probar que (6.12) y (6.25) se satisfacen. Como antes, integramos (6.30)
sobre el dominio 0 < < s ( ) ; 0 < " < < t "; y calculamos el límite " ! 0+ :
Así tenemos que
Z b
Z t
0 =
N1 (x; t; ; 0) ( )d +
a1 N1 (x; t; s( ); )u (s ( ) ; )d
0
0
Z t
a1 N1 (x; t; s( ); )u(s ( ) ; )d
0
Z t
+
N1 (x; t; s( ); )u(s ( ) ; )s ( )d
0
Z t
a1
j( )N1 (x; t; 0; )d
(6.102)
u (x; t)
0 k1
Consideramos la diferencias entre (6.39) y (6.102). Consideremos la función
2
3
Z t
s( )
M1 (x; t) =
a1 u(s ( ) ; ) 4N1 (x; t; s( ); )
N1 (s(t); t; s( ); )5 d
a1
0
(6.103)
113
y teniendo en cuenta la relación de salto (6.45), haciendo el límite x ! s (t) en
(6.103) obtenemos que
Z t
h
a1 u(s ( ) ; ) N1 (s(t); t; s( ); )
(6.104)
u(s (t) ; t) =
2
0
3
s( )
N1 (s(t); t; s( ); )5 d
a1
De (6.95) y las propiedades básicas de la función N1 ; deducimos que
Z t
ju(s ( ) ; )j
p
ju(s (t) ; t)j C2
d
C2R
t
0
(6.105)
donde C2 es una constante que depende de los datos y está de…nida en el Apéndice 1.
Finalmente, considerando la desigualdad de Gronwall, obtenemos que u(s (t) ; t) =
0:
Trabajando de manera similar, pero ahora integrando (6.32) y (6.33) sobre el dominio s ( ) < < 1; 0 < " < < t "; deducimos que v(s (t) ; t) = 0 y (6.25).
6.3.
Resultados principales
Ahora, usaremos el Teorema del Punto Fijo de Banach para probar la existencia y unicidad local de la solución X; Y; Z 2 C 0 [0; ] al sistema de ecuaciones
integrales de Volterra (6.48)-(6.50) donde es un número positivo pequeño. Sea
X
;M0
= !
! (t) = (X (t) ; Y (t) ; Z (t)) X; Y; Z 2 C 0 [0; ] ; k!
!k
M0
(6.106)
el espacio de Banach de…nido para cualesquiera sean las constantes positivas y
M0 ; con
k!
! k = max jX (t)j + max jY (t)j + max jZ (t)j
(6.107)
t2[0; ]
t2[0; ]
t2[0; ]
De…nimos
F :X
tal que
;M0
!X
0
;M0
1
F1 (!
! (t))
!
! (t)) A = !
F (!
! (t)) = @ F2 (!
e (t)
!
F3 ( ! (t))
114
(6.108)
donde
F1 (!
! (t)) = 2
Z
b
0
G1 (s(t); t; ; 0)
( )d
0
+2
Z
t
a1 N1x (s(t); t; s( ); )X( )d
(6.109)
0
2
Z
t
0
F2 (!
! (t)) = 2
Z
a1
N1x (s(t); t; 0; )j( )d
k1
1
0
N2 (s(t); t; ; 0) ' ( )d + 2
b
2
Z
Z
t
N2 (s(t); t; 1; ) h0 ( )d
0
t
(6.110)
a2 G2x (s(t); t; s( ); )Y ( )d
0
F3
!
! (t)
= 2
Z
1
Gm (s(t); t; ; 0) ( )d
b
+2
Z
t
am Nmx (s(t); t; 1; ) ( )d
0
2
+2
Z
Z
t
k1
Gm (s(t); t; s( ); )X( )d
(6.111)
0
t
k2
a2 Gm (s(t); t; s( ); )Y ( )d
0
2
Z
t
am Nmx (s(t); t; 1; )Z( )d
0
Notemos que podemos asociar una función s = s (t) de…nida como en (6.51) a cada
!
! (t) 2 X ;M0 : Luego, tenemos los siguientes resultados:
! (t) y
Lema: Sean s1 = s1 (t) y s2 = s2 (t) las funciones correspondientes a !
1
! (t) en X
!
; (considerando !
! (t) = (X (t) ; Y (t) ; Z (t)) ; i = 1; 2) respectiva2
;M0
i
i
i
i
mente. Entonces tenemos
js2 (t)
s1 (t)j
jsi (t)
si ( )j
s2 (t)
s1 (t)
! (t)
C3 k!
2
C1 jt
! (t)k t
!
1
j ; i = 1; 2
! (t)
C3 k!
2
115
! (t)k
!
1
(6.112)
(6.113)
(6.114)
donde Ci ; i = 1; 2 son constantes que dependen de los datos y están de…nidas en el
Apéndice 1.
Lema: Si estamos bajo las hipótesis del Lema 5 tenemos las siguientes propiedades:
Z
0
N2 (s(t); t; 1; 0)
jG1 (s(t); t; ; 0)j d
Z
0
Z
0
C4
;
1
Nmx (s(t); t; 1; )
Z
b
;
jN2 (s(t); t; ; 0)j d
b
t
jN2 (s(t); t; 1; )j d
(6.116)
(6.117)
t
0
t
1
p
C6 t + C7 t
jN1x (s(t); t; s ( ) ; )j d
Z
(6.115)
C5
1
jN1x (s(t); t; 0; )j d
p
C9 t
Z
;
(6.118)
C8 t
t
jGm (s(t); t; s ( ) ; )j d
0
Rt
jG (s(t); t; s ( ) ; )j d
R0t 2x
jNmx (s(t); t; s ( ) ; )j d
0
p
C10 t
(6.119)
p
C11 t + C12 t ;
p
C12 t + C13 t
(6.120)
donde Ci ; i = 4; 5; :::; 13 son constantes que dependen de los datos y están de…nidas
en el Apéndice 1.
Demostración: Para probar que (6.115)-(6.120) usamos (6.95) y (6.58)-(6.62).
Primero, tenemos que
!
(1 s (t))2
exp
4a2 t
p
N2 (s(t); t; 1; 0) =
a2 t
!
(2 3b)2
exp
r
16a2 t
8
1
p
= C4
e (2 3b)
a2 t
y
exp
Nmx (s(t); t; 1; )
j1
s (t)j
p 32
2 am
r
6 12 (2
3
2
e (2
116
(1 s (t))2
4am (t
)
(t
b)
3b)3
= C5
3
)2
!
entonces (6.115) queda probado. Considerando que
jGi (s(t); t; ; 0)j
y
Z
Ni (s(t); t; ; 0);
i = 1; 2:
+1
Ni (s(t); t; ; 0)d = 1;
i = 1; 2:
0
tenemos que (6.116). Para probar que (6.117) tenemos que
1
jN1x (s(t); t; s ( ) ; )j
p 3
4 a12 (t
3
)2
n
js (t)
+ js (t) + s ( )j exp
s ( )j
(s (t) s ( ))2
4a1 (t
)
3b
+ p
4
M0 (k1 + k2 )
1
p 23 2pt
2 2 rw0 a1
1
C6 p
+ C7
2 t
6
eb2
!)
3
2
Luego
Z
p
C6 t + C7 t
t
jN1x (s(t); t; s ( ) ; )j d
0
Para probar (6.118) tenemos que
jN1x (s(t); t; 0; )j
1
p 3
2 a12 (t
3b
p 32
4 a1
r
36
6
3
b2 e 2
b2
16a1 (t
(t
= C8
Entonces
Z
0
t
jN1x (s(t); t; 0; )j d
js (t)j exp
3
)2
exp
C8 t
117
(s (t))2
4a1 (t
)
)
3
2
)
!
Para probar (6.119), tenemos que
jN2 (s(t); t; 1; )j
entonces
Z
t
0
1
p
a2 (t
)
p
C8 t
jN2 (s(t); t; 1; )j d
y obtenemos la segunda desigualdad de la misma manera.
Finalmente, para probar (6.120) tenemos
jG2x (s(t); t; s ( ) ; )j
1
p 32
4 a2 (t
M0 (k1 + k2 )
(t
)
2 rw0
)
!)
(2 b)
(2 3b)2
+
exp
2
4a2 (t
)
r
1
M0 (k1 + k2 )
3
6 2 b
+ 3
p 23 2pt
(2 3b)3
2e 2
2 rw0 a
2
2
1
= C11 p
2 t
Entonces
Z t
jG2x (s(t); t; s ( ) ; )j d
3
2
+ C12
p
C11 t + C12 t
0
Para concluir, probaremos la segunda desigualdad en la misma forma.
Lema: Sea X ;M0 el espacio de Banach de…nido por 6.106. Supongamos que
valen (6.52)-(6.54). Si
2 R; es tal que 0 <
< 1; = (x) ; = (x) 2
C 1 [0; 1] ; h = h (t) 2 C 1 [0; ] tal que h (0) = (1) ;
= (x) 2 C 0 [0; 1] ; j =
j (t) 2 C 0 [0; ] ; y la desigualdad
p
2
1
(6.121)
1 M0 + 2 M 0 + 3
vale considerando
M0 = 1 + 2 k 0 k + k'0 k + k k +
1
2
3
r
6 12am (2
(k1 + k2 )
1
1
1
p
p +p +p
a1
a2
am
2 rw0
n
= 2 C7 a1 + C12 (a2 + am ) + C10
=
= 2
a1
kjk C7 + kh0 k C9 ;
k1
118
(2
b)
3
3b)3 e 2
!
k k ;
(6.122)
(6.123)
;
jk2 am a2 (k2 +am
am 2 r
2 r)j+k1
o
; (6.124)
(6.125)
con C7; C8; C9 ; C10 y C12 constantes que dependen de los datos y están de…nidas
en el Apéndice 1; entonces tenemos que F mapea a X ;M0 en si mismo. En otras
palabras, decimos que el mapeo F : X ;M0 ! X ;M0 está bien de…nido.
Demostración: Para demostrar que F mapea a X
ver que
;M0
en si mismo, necesitamos
kF (!
! (t))k = max jX (t)j + max jY (t)j + max jZ (t)j
t2[o; ]
t2[o; ]
t2[o; ]
M0
Teniendo en cuenta el Lema 7, tenemos que
Z b
!
jF1 ( ! (t))j
2
jG1 (s(t); t; ; 0)j j 0 ( )j d
0
Z t
+2
a1 jN1x (s(t); t; s( ); )j jX( )j d
0
Z t
a1
+2
jN1x (s(t); t; 0; )j jj( )j d
0 k1
p
a1
2 k 0 k + 2a1 M0 C6
+ C7 + 2 kjk C8
k1
jF2 (!
! (t))j
2
Z
Z
jN2 (s(t); t; ; 0)j j'0 ( )j d
t
Z0 t
jN2 (s(t); t; 1; )j jh0 ( )j d
a2 jG2x (s(t); t; s( ); )j jY ( )j d
p
p
2 k'0 k + 2 kh0 k C9
+ 2a2 M0 C11
+ C12
+2
(6.127)
1
b
+2
(6.126)
0
119
(6.128)
jF3 (!
! (t))j
2
Z
1
b
+2
Z
jGm (s(t); t; ; 0)j j ( )j d
t
am jNmx (s(t); t; 1; )j j ( )j d
0
+2
Z
t
k1
0
+2
Z
t
k2
0
+2
Z
jGm (s(t); t; s( ); )j jX( )j d
a2 jGm (s(t); t; s( ); )j jY ( )j d
t
am jNmx (s(t); t; 1; )j jZ( )j d
0
2 k k + 2am k k C5 + 2
+2
k2
a2 M0 C10
p
p
k1
M0 C10
j j
+ 2am M0 C12 + C13
Entonces, teniendo en cuenta (6.107) y al hecho que
kF (!
! (t))k
(6.129)
p
2 [0; 1] ; tenemos
2 (k 0 k + k'0 k + k k + am k k C4 )
p
+ 1 M02 + 2 M0 + 3
donde i ; i = 1; :::; 3 están de…nidas como en (6.123)-(6.125). Entonces, si elegimos M0 como (6.122) y elegimos a tal que vale la desigualdad (6.121), entonces
obtenemos (6.126).
Teorema: El mapeo F : X ;M0 ! X ;M0 es una contracción si estamos bajo la
hipótesis del Lema 8, y el elemento 2 (0; 1) veri…ca las siguientes desigualdades
6M0
4
1;
pi
(6.130)
i = 1; 2; 3
(6.131)
1
donde i ; i = 1; :::; 4 son constantes que dependen de los datos y están de…nidas
b (t) ; Yb (t) ; Zb (t) sobre
en el Apéndice 1. Más aún, existe una única solución X
X ;M0 al sistema de ecuaciones integrales ( 6.48)-(6.50).
Demostración: Debemos probar que
! (t))
kF (!
2
! (t))k
F (!
1
4
p
! (t)
k!
2
! (t)k
!
1
(6.132)
donde !
! i (t) = (Xi (t) ; Yi (t) ; Zi (t)) 2 X ;M0 ; i = 1; 2. Entonces si elegimos tal
que valen (6.130)-(6.131), entonces F es una contracción sobre X ;M0 y por lo tanto
120
tiene un único punto …jo. Para probar esta aseveración, consideramos
0
1
F1 (!
! 2 (t)) F1 (!
! 1 (t))
! (t)) F (!
! (t)) = @ F (!
F2 (!
! 1 (t)) A
F (!
2 ! 2 (t))
2
1
!
!
F3 ( ! 2 (t)) F3 ( ! 1 (t))
(6.133)
donde
Z b
0
!
!
( ) [G1 (s2 (t); t; ; 0) G1 (s1 (t); t; ; 0)] d
F1 ( ! 2 (t)) F1 ( ! 1 (t)) = 2
0
Z t
+2
a1 [N1x (s2 (t); t; s2 ( ); )X2 ( ) N1x (s1 (t); t; s1 ( ); )X1 ( )] d
(6.134)
0
Z t
a1
[N1x (s1 (t); t; 0; ) N1x (s2 (t); t; 0; )] j( )d
+2
0 k1
= I11 (t) + I12 (t) + I13 (t)
Z 1
!
F2 ( ! 1 (t)) = 2
'0 ( ) [N2 (s2 (t); t; ; 0) N2 (s1 (t); t; ; 0)] d
b
Z t
h0 ( ) [N2 (s2 (t); t; 1; ) N2 (s1 (t); t; 1; )] d
(6.135)
+2
F2 (!
! 2 (t))
+2
0
Z
t
a2 [G2x (s1 (t); t; s1 ( ); )Y1 ( )
G2x (s2 (t); t; s2 ( ); )Y2 ( )] d
0
= I21 (t) + I22 (t) + I23 (t)
Z 1
!
( ) [Gm (s2 (t); t; ; 0) Gm (s1 (t); t; ; 0)] d
F3 ( ! 1 (t)) = 2
b
Z t
am ( ) [Nmx (s2 (t); t; 1; ) Nmx (s1 (t); t; 1; )] d
+2
F3 (!
! 2 (t))
+2
+2
Z t
Z
0
t
k1
[Gm (s1 (t); t; s1 ( ); )X1 ( )
Gm (s2 (t); t; s2 ( ); )X2 ( )] d
0
k2
a2 [Gm (s2 (t); t; s2 ( ); )Y2 ( )
Gm (s1 (t); t; s1 ( ); )Y1 ( )] d
0
+2
Z
(6.136)
t
am [Nmx (s1 (t); t; 1; )Z1 ( )
Nmx (s2 (t); t; 1; )Z2 ( )] d
0
= I31 (t) + I32 (t) + I33 (t) + I34 (t) + I35 (t)
121
Teniendo en cuenta (6.130) y el Apéndice 1 tenemos
jF1 (!
! 2 (t))
jF2 (!
! 2 (t))
F1 (!
! 1 (t))j
F2 (!
! 1 (t))j
jF3 (!
! 2 (t))
p !
(C14 + C20 + C28 )
k! 2 (t)
p !
!
= C30
k! 2 (t) ! 1 (t)k
(C15 + C16 + C21 + C22 )
p !
! (t)k
= C31
k! 2 (t) !
1
F3 (!
! 1 (t))j
p
! (t)k
!
1
(6.137)
! (t)
k!
2
! (t)k
!
1
(C17 + C23 + C24 + C25
p !
! (t)k
+C29 )
k! 2 (t) !
1
p !
!
k! 2 (t) ! 1 (t)k
= C32
(6.138)
(6.139)
Entonces tenemos que
! (t))
kF (!
2
! (t))k
F (!
1
p !
k! 2 (t)
(C30 + C31 + C32 )
p !
! (t)k
= 4
k! 2 (t) !
1
! (t)k
!
1
(6.140)
Luego, por la hipótesis (6.131) resulta que F es una contracción. Es fácil ver que
b (t) ; Yb (t) ; Zb (t) es la única solución del
el único punto …jo de esta aplicación X
sistema (6.48)-(6.50).
Finalmente, podemos enunciar el siguiente teorema:
Teorema: Sea 2 R tal que 0 < < 1; = (x) ; = (x) 2 C 1 [0; 1] ; h =
h (t) 2 C 1 [0; ] tal que h (0) = (1) ; = (x) 2 C 0 [0; 1] ; j = j (t) 2 C 0 [0; ] ;
y valen 6.54, 6.121-6.122, 6.130-6.131, entonces existe una y sólo una solución del
problema P :
Z b
Z t
b )d
u(x; t) =
N1 (x; t; ; 0) ( )d +
a1 N1 (x; t; s( ); )X(
0
0
Z t
a1
j( )N1 (x; t; 0; )d
(6.141)
0 k1
v(x; t) =
Z
b
1
G2 (x; t; ; 0)'( )d +
Z
0
Z
t
a2 N2x (x; t; 1; )h( )d
0
t
a2 G2 (x; t; s( ); )Yb ( )d
122
(6.142)
w (x; t) =
Z
am
(am a2 )
+
Z
1
[Gm (x; t; ; 0) ( )
G2 (x; t; ; 0)'( )] d
b
t
[am Nmx (x; t; 1; ) ( )
a2 N2x (x; t; 1; )h( )] d
0
Z
+
t
k1
Z0 t
b )d
Gm (x; t; s( ); )X(
a2 Gm (x; t; s( ); ) + a2 G2 (x; t; s( ); ) Yb ( )d
k2
Z0 t
b )d
am Nmx (x; t; 1; )Z(
0
s(t) = b +
Z
0
t
(6.143)
b ) k2 Yb ( )
k1 X(
d
b )
Z(
(6.144)
b (t) ; Yb (t) ; Zb (t) es la única solución del sistema de ecuaciones integrales
donde X
de Volterra (6.48)-(6.50).
Nota: Las constantes utilizadas en este Capítulo son las siguientes:
M0 (k1 + k2 )
C1 =
2 rw0
2 am M0 max (k1 ; k2 )
C3 =
2
a2 j
2 rw0 jam
C5 =
r
6 12 (2
9
C7 =
2
3
2
C9 = p
C11
3
e (2
r
b)
3b)
6 1
3
2
e b2
2
a2
M0 (k1 + k2 )
= p
3
2
2
rw
a
0
2
2
;
5M0 (k1 + k2 )
C2 = p
+
2 a1 2 rw0
;
r
C4 =
8
e
r
1
2
3b
;
M0 (k1 + k2 )
C6 = p
3
2
2
rw
a
0 1
2
;
C8 =
r
;
C10 = p
;
C12
123
3
=
2
r
a1 24
eb
6 36
3
e 2 b2
2
am
(2
6
3
2
e (2
b)
3b)3
C15 =
C17
M0 (k1 + k2 )
C13 = p
3
2
2
2 rw0 am
;
C14 =
8am k 0 k M0 max (k1 ; k2 )
p
a1 2 rw02 jam a2 j
16am k'0 k M0 max (k1 ; k2 )
p
3 a2 2 rw02 jam a2 j
;
C16 =
2am kh0 k M0 max (k1 ; k2 )
a2 2 rw02 jam a2 j
p
8 am k k M0 max (k1 ; k2 )
am M0 3 (k1 + k2 )2 max (k1 ; k2 )
p
=
;
C
=
18
5
2
p
a2 j
2 rw0 jam
( 2 r)3 a12 w04 jam a2 j
p
p
75 10
1 ;k2 )
C19 = p6am3 3M0 max(k
+ 6
e
2
e2 b
C20 =
C21 =
4 am M0 2 max(k1 ;k2 )
p
2
2 rw0 jam a2 j
4
am
2(
jam a2 j
1
p + a1
a1
M0 2 (k1 +k2 )2
4 am M0 2 max(k1 ;k2 )
p
2
2 rw0 jam a2 j
C23 = p
2 rw0
+
3
2 2
2 rw0 ) a1
M0 2 (k1 +k2 )2
(
p1
a2
5
2 2
2 rw0 ) a1
+
+
3a2
3
e 2 (2
3b)
5
3
3
2e 2 b3
p
75 10
e
p
75 10b2
e
+
+
p
p
6
6 (2
3b)2
b)
!)
r
M0 (k1 + k2 )
6 3a2 (2 b)
C22 = p
+
3
a2 2 rw0
e 2 (2 3b)3
(
p
k2
M0 (k1 + k2 ) 3 6am (2
+ p
a2 1 + C3
3
e 2 (2
2 rw0 am
3b)3
"
!
1
C3 M0 2 (k1 + k2 )2
1+ p 3 + p
C24 = 2am M0
+
5
2
2 am
( 2 rw0 )2 a12
!#)
p
1
3
75 10b2 p
+ 6 (2 3b)2
+ 3 + 3
5
e
2
e 2 (2 3b)
am
(
!)
p
1
M0 (k1 + k2 )
3 6 (2 b)
4k1
C25 = p
+ M0 C3
+ 3
p
3
am
j j
2
2e 2 (2 3b)3
2 rw0 am
!
p
24
75 10 p
C26 = p 3
+ 6
e
e 2 b3
(
(k1 + k2 )
2 rw0
C27 = C26 :C3
C29
8am k k C3
=p 3
e 2 (2 3b)5
;
C28 = 2
p
100 10 (2
e
124
b)
a1 kjk
C27
k1
p
+ 6 6 (2
2
3b)
!
C30 = C14 + C20 + C28
;
C32 = C17 + C23 + C24 + C25 + C29
;
1
=
M0 (k1 + k2 )
C3
2 rw0 a1
;
3
=
M0 (k1 + k2 )
C3
2 rw0 am
2
=
M0 (k1 + k2 )
C3
2 rw0 a2
4
C31 = C15 + C16 + C21 + C22
= C30 + C31 + C32
125
126
Apéndice A
Aleksey Vassillevich Luikov:
Biografía
A.V. Luikov fue uno de los cientí…cos más excepcionales dentro del área de la
termofísica y de la transferencia de calor. Nació el 20 de septiembre de 1910 en la
ciudad de Kostroma, Rusia. A los 21 años recibió su primer certi…cado de inventor
por su creación del "Secador de Presión Alternada"hecho en un trabajo sobre la
deshidratación de materiales porosos húmedos a presión de vapor alternada. Es en la
Universidad de Moscú en donde despertó su interés en los procesos de transferencia
en cuerpos de capilares porosos, en medios coloidales y en polimeros. Él descubrió
el efecto de aumentar la profundidad de la evaporación super…cial durante el secado
de sólidos, y el fenómeno de la difusión termal de la humedad en los cuerpos de
capilares porosos (el llamado efecto de Luikov). Ambos descubrimientos ayudaron
a que Luikov ganase renombre en todo el mundo desde su juventud. Se doctoró a
los 29 años, y dirigió el Departamento de Física dentro del sector alimenticio del
Instituto Tecnológico de Moscú. Allí, y en el Instituto de la Energía de la Academia
de Ciencias de la URSS, Luikov creó las bien conocidas Escuelas de Termofísica en
Procesos de Transferencia de Calor y Masa Molecular, y publicó sus primeras dos
monografías: "Cinética y dinámica del secado"(1938), y "Conducción y difusión del
calor" (1941).
El mayor legado cientí…co de A.V. Luikov llegó después de su elección como
Miembro de la Academia de Ciencias de la Bielorrusia. Él fundó el Instituto de
Transferencia de Calor y Masa - que hoy lleva su nombre - que se convirtió en uno
de los centros más conocidos y aclamados de procesos acoplados de transferencia de
calor en capilares porosos y medios reológicamente complejos con cambios de fase
y transiciones químicas.
127
A.V. Luikov fundó, y editó hasta su muerte en 1974, la revista Journal of Engineering Physics y estuvo íntimamente relacionado con la fundación de la revista
International Journal of Heat and Mass Transfer. Durante los más de 40 años de su
labor de desarrollo cientí…co, A. V. Luikov publicó alrededor de 250 trabajos cientí…cos y 18 monografías, entre las que se incluyen "Teoría del Secado", "Fenómenos
de Transferencia en Cuerpos de Capilares Porosos", "La Teoría de la Conducción
del Calor", "La Teoría de la Transferencia de Energía y Material", "El Manual
de Transferencia de Calor y Masa", etc, además de enseñar en establecimientos
educativos superiores y supervisar el trabajo de estudiantes graduados. Él preparó
a 130 candidatos (que consiguieron su grado de PhD), y 27 de sus discípulos fueron
nombrados Doctores en Ciencias.
Sus monografías fueron traducidas y publicadas en Inglaterra, Alemania, Francia, Hungría, Estados Unidos, entre otros países. Luikov y su Instituto recibieron
numerosa cantidad de premios por su labor desarrollada, dentro y fuera de su país.
Él le daba gran importancia a la cooperación internacional entre cientí…cos y buscaba constantemente lograr su consolidación. Esto le fue reconocido en muchos países
del mundo. En su Instituto inició las Conferencias sobre Transferencia de Calor y
Masa, que desde 1988 incluyeron Foros Internacionales a los que concurren centenares de cientí…cos de diversos países. En estos días, el Instituto de Transferencia
de Calor y Masa de la Academia de Ciencias de BSSR lleva el nombre de "A. V.
Luikov", un centro de investigación ampliamente reconocido por su trabajo.
Por su talento original, su dedicación a la ciencia, su respecto y amor por la
gente, su integridad cientí…ca, además del amplio reconocimiento ganado como …gura pública en su país, Aleksei Vasillevich Luikov es uno de los principales cientí…cos
dentro del área de la Física Térmica.
128
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