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AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS
Matemáticos
precoces (3ª parte)
Prof. Dr. Félix García Merayo
Vicepresidente de ACTA
Una ecuación no significa nada para mi
a no ser que exprese una idea de Dios.
S. Ramanujan
La matemática es el trabajo del espíritu humano destinado
tanto a estudiar como a conocer,
tanto a buscar la verdad como a encontrarla.
E. Galois
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1. Introducción
Traemos a estas páginas una nueva lista de nombres y sus correspondientes cortas biografías que corresponden a matemáticos cuyas
capacidades y sabiduría son, en la mayor parte de ellos, condiciones
autodidactas adquiridas a la edad en que otros niños no han aprendido ni siquiera a leer y menos a manejar los números. Hemos escogido en esta ocasión las vidas del indio Ramanujan y del francés Galois.
Como en los artículos anteriores sobre este mismo tema, y en aras de
la brevedad y la síntesis a la que nos obliga la estructura de los Manuales de ACTA, hemos tomado los rasgos más característicos de cada
personaje, los necesarios y suficientes para hacernos una idea de los
potenciales representados por cada matemático en el mundo que les
tocó vivir, sus relaciones con otros científicos de su época, en algunos
casos, de superior edad, así como la herencia de su sabiduría que nos
han legado.
à
2. Srinivasa RAMANUJAN
Srinivasa Ramanujan Aiyangar nació en el sur de la India el 22 de
diciembre de 1887, en la villa de Erode. Falleció en 1920, a los treinta y dos años de edad, un año después de su regreso a la India desde
Inglaterra. Dos fueron sus contribuciones más importantes a la matemática. Por una parte, la reconstrucción por sí mismo del edificio de
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Matemáticos precoces (3ª parte)
la teoría de números; por otro lado, las propuestas
que hizo de innumerables fórmulas y teoremas originales. Ramanujan estuvo toda su vida fascinado por
el número π, relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Provenía de una familia de
pobre condición de la casta de los Brahamanes. Su
infancia transcurrió en Kumbakonam, a 260 kilómetros de Madrás, donde su padre era contable en la
casa de un fabricante de paños; su madre, mujer de
un gran sentido común, era hija de un oficial brahaman del Tribunal en Erode. El matrimonio pasó algún
tiempo sin descendencia, hasta que en 1887 nació su
primer hijo. Ramanujan fue un auténtico autodidacta
y su precocidad para las matemáticas fue rápidamente reconocida. Por ello, a los siete años le fue concedida una beca en el instituto, Town High School, de
Kumbakonam, después de haber asistido a la escuela
desde los cinco años. Se cuenta que a esa edad, los
siete años, ya era capaz de recitar fórmulas matemáticas a sus compañeros de clase y que recordaba, gracias a su memoria asombrosa, gran cantidad de cifras
del número π y de la raíz cuadrada de 2. Era de
carácter reposado y de mente reflexiva. Su intuición
se encontraba a sus anchas en los rincones más profundos de la teoría de números; se ha escrito que los
números eran sus amigos. Sus trabajos, más de 50
años después de su muerte, están asociados a las
nuevas fórmulas aparecidas desde 1974. G. H.
Hardy, especialista en análisis y teoría de números,
fue el descubridor de Ramanujan y es también el
europeo que mejor le ha conocido.
Sello emitido en 1962 en conmemoración del 75
aniversario del nacimiento de Ramanujan.
Ramanujan forma parte de los matemáticos que
podríamos considerar como modernos. Se dice que
fue un matemático al que sólo pueden comprender
los matemáticos de primera clase y, por tanto, no es
de extrañar que despertara poca atención fuera del
campo que él dominaba. En su época se decía que es
sin discusión el más extraordinario matemático de
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nuestro tiempo. Otro punto a notar es que era un
matemático de características muy particulares. No
era versátil, como Gauss o Poincaré. Tampoco era un
geómetra y no le importaba la física matemática,
dejando las posibles aplicaciones de su trabajo matemático a otras disciplinas.
A los doce años dominaba una obra fundamental,
como era la Trigonometría plana de S. Loney y era
capaz de comprender sin dificultad algunas de las
páginas en las que se contenían las sumas y productos de series infinitas, tema que jugó un papel importante en toda su obra a lo largo de su corta vida. Tres
años más tarde, corría el año 1902, cuando contaba
los 15, estando en la sexta clase del instituto, un
amigo suyo le consiguió el préstamo de la obra de
George Shoobridge Carr, matemático de Cambridge,
titulado Sypnosis of Elementary Results in Pure and
Applied Mathematics, Sinopsis de resultados elementales de la matemática pura y aplicada. Esta obra, que
pertenecía a la biblioteca del Government College
local, había sido publicada en dos volúmenes, en
1880 y en 1886. El libro era esencialmente un compendio de las notas de Carr como profesor y constaba de una lista de 6.165 teoremas, la mayor parte
enunciados pero sin demostración. Ramanujan extrajo muchos de sus conocimientos de esos dos libros:
construyó un prominente edificio de conocimiento e
investigación analítica y se puso a demostrar sus
fórmulas inmediatamente. Y todo ello sin la ayuda de
otros libros.
En 1903 pasó el examen para poderse matricular
en el Government College de Kumbakonam, aquella
institución de cuya biblioteca provenía el libro de
Carr. Obtuvo así la beca Junior Subrahmanyan Scholarship. Pero a causa de su poco dominio del inglés
dado que su única preocupación eran las matemáticas, suspendió el examen siguiente, con lo que le
suprimieron la beca ganada el año anterior. Abandonó Kumbakonam y se fue primero a Vizagapatam y
luego a Madrás. Allí se repite una situación similar a
la anterior de hace pocos años: en diciembre de 1906
suspende el First Examination in Arts. Nunca volvería
a intentarlo. Ramanujan continuará su trabajo independiente en matemáticas pero debe abandonarlo, al
menos provisionalmente, con el fin de buscar un
empleo permanente ya que había contraído matrimonio en 1909. Durante la búsqueda de trabajo le llegó
una carta de Diwan Bahadur R. Ramachandra Rao,
recaudador en Nelore, pequeña ciudad a 129 kilómetros al norte de Madrás. Se trataba de un rico mecenas apasionado de las matemáticas al que le había
llegado alguno de los cuadernillos de apuntes con
fórmulas, teoremas y otras maravillosas ideas de
Matemáticos
precoces
(3ª parte)
Ramanujan. Ramachandra Rao le proporciona una
ayuda económica mensual, en parte gracias a las
recomendaciones que le llegan de otros matemáticos
indios que apreciaban en lo que valían los descubrimientos de Ramanujan.
La primera entrevista de Ramachandra con
Ramanujan ha quedado muy bien descrita con las
propias palabras de aquél. Extraemos algunos párrafos.
Hace algunos años, un sobrino mío, ignorante
por completo de todo conocimiento matemático, me dijo: “Tío, tengo un visitante que habla
de matemáticas y no lo comprendo. ¿Podría
mirar si hay algo de interés en su charla?”. [....]
Entonces, condescendí a que Ramanujan hablara en mi presencia. [...] Era una pequeña figura
rústica, vigorosa, sin afeitar, desaliñada, con un
rostro conspicuo, que entró con un gastado libro
de notas bajo el brazo. Era extremadamente
pobre. [...] Jamás pidió ninguna distinción.
Necesitaba desahogo, en otras palabras, que se
le suministrara el mínimo vital.
Abrió el libro y empezó a explicar algunos de
sus descubrimientos. Al punto vi claramente que
era algo fuera de lo conocido. [...] Apreció debidamente mi ignorancia y me demostró algunos
de sus hallazgos más simples. Éstos iban más
allá de los libros existentes y ya no tuve duda de
que era un hombre notable. [...] Me inició en las
integrales elípticas y en las series hipergeométricas; finalmente, su teoría de las series divergentes, no divulgada todavía, me convenció. [...]
Dijo que él quería una pequeña pensión para
vivir y así proseguir sus estudios.
Ramachandra Rao se comprometió por tanto a
pagar los gastos de Ramanujan. Pero poco más tarde,
y porque éste no deseaba en absoluto ser mantenido
por otra persona, aceptó un trabajo en 1912 en el
despacho del Port Trust, una agencia portuaria, de
Madrás, cuyo presidente era el británico Sir Francis
Spring y el administrador, V. Ramaswami Aiyar, fundador de la Sociedad Matemática de la India, Indian
Mathematical Society. En cualquier caso, nunca
había renunciado a sus estudios de matemáticas. Así,
en 1911, cuando contaba 23 años, sus primeros trabajos fueron publicados en el Journal de la Sociedad
Matemática aludida. Su primer artículo (1911) trataba sobre algunas propiedades de los números de Bernouilli. Al año siguiente colaboró con la misma revista con dos notas y algunos problemas.
Aconsejado por Mr Griffith, del Madras Engineering College, y por el propio Sir Francis Spring,
Ramanujan envió sus investigaciones a tres eminentes matemáticos británicos. Parece que uno sólo le
respondió: fue Godfrey Harold Hardy (1877-1947).
Hardy era un matemático puro, lo que para él significaba que para clasificar como tal una cuestión de las
matemáticas, tenía que ser inservible; si era inservible
era, no sólo pura, sino además hermosa; si era útil,
era fea, y cuanto más útil más fea, más impura. Estas
opiniones sobre la matemática pura no fueron siempre bien acogidas.
El matemático británico G. H. Hardy.
Cuando Ramanujan comenzó a cartearse con
Hardy, éste era miembro del Trinity College de Cambridge. Transcribimos algunos párrafos de la carta
enviada a Hardy por Ramanujan el 16 de enero de
1913 y que sus amigos le ayudaron a redactar en
inglés.
Me permito presentarme a usted como un contable del Accounts Department en la Port Office
de Madrás, con un salario de 20 £ (indias) anuales solamente. Tengo 23 años de edad [acababa
de cumplir los 25]. No he recibido educación
universitaria. [...] dejada la escuela he empleado
el tiempo libre de que disponía en estudiar
matemáticas. [...] estoy siguiendo una trayectoria propia. He hecho un estudio detallado de las
series divergentes en general y los resultados a
que he llegado son calificados como “sorprendentes” por los matemáticos locales ....
Yo querría pedirle que repasara los trabajos aquí
incluidos. Si usted se convence de que hay alguna cosa de valor, me gustaría publicar mis teoremas, ya que soy pobre. [...] Pido que me excuse por las molestias que le ocasiono.
Quedo, apreciado señor, a su entera disposición.
S. Ramanujan
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Matemáticos precoces (3ª parte)
Hardy, como matemático reconocido, solía recibir,
entre otras, cartas de locos y de ingenuos; por eso
estuvo tentado de no leer la de Ramanujan. Pero lo
hizo en compañía de su eminente amigo John Littlewood: revisaron la lista de los 120 teoremas, y sus
correspondientes fórmulas, contenidos en la carta.
Después de esta revisión el número de puntos adjudicados a Ramanujan era de 100, puntos medidos de
acuerdo con la escala que el propio Hardy utilizaba
para calificar a otras personas, a él mismo y a su
amigo. En esa escala, Hardy era acreedor a 25 puntos y Littlewood, a 30. El matemático alemán Hilbert
había alcanzado los 80 puntos. Hardy seleccionó 15
de esos teoremas como “claramente representativos”
e hizo comentarios sobre los mismos como que él
había demostrado algo semejante o que alguna de las
fórmulas había sido ya descubierta por Lagrange y
demostrada por Jacobi, cosa que ignoraba Ramanujan, o que otras eran de un nivel distinto y, desde
luego, tan difícil como profundo. Y otro comentario
de Hardy: una ojeada es suficiente para comprender
que solamente podían [las fórmulas] ser escritas por
un matemático de la más alta categoría. Deben ser
ciertas, porque, si no lo fueran, nadie habría tenido
suficiente imaginación para inventarlas. Y este último:
Es ya bastante maravilloso que tan sólo soñara en
problemas como éstos; problemas que han requerido
cien años para ser resueltos por los más sutiles matemáticos europeos y cuya solución no está completa
todavía ...
ALGUNAS DE LAS FÓRMULAS ENVIADAS A HARDY POR RAMANUJAN
1)
2)
3) El coeficiente de xn en la serie (1 - 2x + 2x4 - 2x9 + ···)-1 es el número entero más próximo a
4) El total de números comprendidos entre A y x que son cuadrados o suma de cuadrados es
siendo K=0,764 ... y θ (x) muy pequeño comparado con el valor de la integral.
5) Teorema Hardy-Ramanujan. Estimación del número de particiones p(n) de un número natural n en
sumandos enteros. Por ejemplo, p(5)=7, puesto que, 5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=
=1+1+1+1+1.
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Algunas de las fórmulas de Ramanujan desconcertaron a Hardy, dado que éste no sabía cómo
demostrarlas.
En mayo de 1913, debido a la ayuda de muchos
amigos, Ramanujan fue relevado de su cargo de
empleado en el Port Trust, y le concedieron una beca
especial. Al mismo tiempo, desde que Hardy descubriera las fórmulas de Ramanujan, aquél se esforzó
por traerlo a Cambridge lo antes posible. Pero debido
a las fuertes reticencias de su madre y a un prejuicio
de casta, el viaje se retrasa. Definitivamente, Ramanujan supera sus propias dudas y se embarca para
Inglaterra en marzo de 1914. Durante los cinco años
que siguieron a su llegada, Hardy y el autodidacta y
genial hindú Ramanujan trabajaron juntos en el Trinity College. Su asociación, aunque por desgracia
breve, fue de lo más brillante. Se ha dicho que es difícil imaginar dos hombres de educación y ambiente
más dispares y, sin embargo, fue Hardy uno de los primeros en discernir la que él denominó “profunda e
invencible originalidad de Ramanujan”. Éste fue “proclamado igual a Hardy, pero con facultades del todo
diferentes”. Hardy dejó dicho, [...] mi asociación con
él es el único incidente romántico de mi vida. Hardy
fue consciente de que toda su mejor obra fue una
consecuencia de su colaboración con Littlewood y
Ramanujan.
Al respecto de los impedimentos que la madre de
Ramanujan había puesto a su hijo, Hardy escribió:
Al fin el consentimiento llegó, fácilmente, de
una manera inesperada. Una mañana, su madre
declaró que la noche anterior había tenido un
sueño, en el que había visto a su hijo, en una
gran sala, rodeado de un grupo de europeos y
que la diosa Namagiri le había ordenado que no
se interpusiera en el camino de su hijo y que
colaborara al objeto de su vida.
Cuando Ramanujan llegó al fin a Cambridge,
tenía dos becas: una de 250 £ de Madrás, 50 de las
cuales estaban destinadas al sustento de su familia en
la India, y otra de 60 £ del Trinity College.
Los conocimientos técnicos de Hardy se orientaron hacia el brillante, pero tosco, genio que Ramanujan poseía, resultando de esta colaboración mutua
una serie de trabajos sobre las propiedades de ciertas
entidades de la teoría de números, como la obtención
del total probable de divisores de un número entero.
Ramanujan estudió también las funciones de partición que permiten evaluar todas las maneras posibles
de expresar un entero mediante la suma de enteros
positivos.
En cualquier caso, Hardy se planteó inmediatamente la cuestión de qué método seguir para enseñarle las matemáticas modernas. Las ausencias de su
conocimiento sobre la matemática en general, eran
tan asombrosas como lo era su profundidad. Era un
hombre capaz de trabajar, con medios desconocidos
para la época, con ecuaciones modulares y sobre
variable compleja, aunque no tenía ni remota idea de
lo que era una función de variable compleja y lo
hacía con toda sencillez y familiaridad. Lo mismo
ocurría con las fracciones continuas, para las que
poseía un dominio que superaba a cualquier matemático del mundo de aquel entonces; conocía por sus
propios medios la función Zeta y las técnicas usuales
de los más famosos problemas de la teoría de números. Todo lo dicho hasta aquí son conclusiones que
nos ha dejado escritas el propio Hardy. ¿Cómo había
llegado Ramanujan a sus conclusiones? Hardy
advierte que Ramanujan había obtenido todos sus
resultados, nuevos o viejos, verdaderos o falsos, por
un proceso de prueba mixta, intuición e inducción, de
la cual era completamente incapaz de dar cualquier
razón coherente. Era imposible pedir a este hombre
que se sometiera a una instrucción sistemática para
intentar aprender de nuevo matemáticas desde el
principio. Temía además (son palabras del propio
Hardy) que, si yo insistía indebidamente en materias
que Ramanujan consideraba tediosas, podía destrozar
su confianza o romper el encanto de su inspiración.
[...] En cualquier caso, yo aprendí de él mucho más
de lo que él aprendió de mí.
También sabemos por Hardy cuáles eran las aficiones de Ramanujan aparte de las matemáticas. Le
interesaban muy poco la literatura y el arte, pero distinguía la buena literatura de la mala. Era un filósofo
sutil y un ardiente político, pacifista y ultrarradical.
Tenía una memoria prodigiosa, tanto que podía
recordar la naturaleza de los números de una manera casi pavorosa, de tal forma que Littlewood señalaba a este respecto que, “cada número entero positivo
era uno de sus amigos personales”. Se ajustaba a las
normas religiosas de su casta con una severidad muy
poco corriente en los indios residentes en Inglaterra,
pero su religión era más bien ritual y no de convicción
intelectual; todas las religiones le parecían por igual
más o menos verdaderas. Era vegetariano en el sentido más estricto, lo que le procuró serias dificultades
ante la enfermedad que más tarde padeció; sus necesidades alimentarias eran difíciles de satisfacer en una
Inglaterra racionada por la guerra. Poseía una asombrosa perspicacia para las fórmulas algebraicas, transformaciones de series infinitas y demás. Sentía una
auténtica pasión por lo inesperado, extraño y estrambótico. Sobre su prodigiosa memoria y su amor por
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los números, cuenta Hardy que cuando iba a visitarle estando enfermo, viajó en el taxi de matrícula
1.729, [...] y observé que el número me parecía más
bien insípido y que esperaba que no le fuera de mal
agüero. “No – replicó – es un número muy interesante; es el número más pequeño expresable como suma
de dos cubos de dos maneras diferentes.” Ramanujan
se estaba refiriendo a estas relaciones: 1.729 =
13+123 = 93+103.
En 1917, Ramanujan es elegido miembro de la
Royal Society de Londres así como del Trinity College; será el primer indio que ostentará esta doble distinción. Pero, al mismo tiempo que su persona es
cada vez más famosa, su salud comienza a deteriorarse a ritmo rápido en la primavera de ese mismo año.
Se trasladó a un sanatorio de Cambridge a principios
del verano de 1917; estuvo también en los sanatorios
de Wells, de Matlock y Londres pero no mejoró, al
menos en apariencia, hasta el otoño de 1918, fecha
en la que se aprestó a renovar sus esfuerzos en el trabajo activo y sus mejores teoremas fueron descubiertos en ese momento.
A principios de 1919, cuando la paz le permite
viajar, Ramanujan regresa a su India natal y muere el
26 de abril de 1920 de lo que fue diagnosticado en la
época como una tuberculosis, sin duda contraída
durante su estancia en la húmeda Inglaterra que se
agravó, como hemos dicho, por la estricta observancia de ciertas reglas de alimentación vegetariana que
se imponía, debido a una promesa que había hecho
a sus padres. También se dice que la enfermedad que
le llevó a la muerte consistió en una grave carencia de
ciertas vitaminas.
CONCEPTO Y FÓRMULAS MANEJADOS
POR RAMANUJAN
1. Ecuación modular.
Una ecuación modular es una relación algebraica entre el valor de una función f(x) y la
propia función en la que su variable independiente x se reemplaza por una potencia entera
de la misma, como f(xp), siendo p el orden de
la ecuación modular. Por ejemplo, sería una
ecuación modular de segundo orden,
No todas las funciones modulares verifican
una ecuación modular.
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2. Aproximación de π. Ramanujan hacia
1910, publicada en 1914.
3. Radicales infinitamente repetidos. Ramanujan en sus años de escuela.
Esta expresión se deduce por aplicación sucesiva de la función recursiva,
y haciendo al final, n=1.
Al regreso a su patria fue el ídolo de los jóvenes
intelectuales indios y, a pesar de sus sufrimientos, no
detuvo sus investigaciones en ningún momento obteniendo notables resultados que se conocen como su
libro de notas perdido.
Para finalizar, añadiremos que sus trabajos sobre
el número π provienen en gran parte de sus investigaciones sobre las ecuaciones modulares tratadas
exhaustivamente en sus libritos de notas. Sobre este
tema publica con su firma en 1914, Ecuaciones
modulares y aproximaciones de π. Las tentativas de
Ramanujan por calcular el valor de π con el mayor
número de cifras posible, se inscriben en una tradición secular: Arquímedes, Antiphon, Ludolph van
Ceulen, Newton, Wallis, Gregory, Leibniz, John
Machin, entre otros, sin olvidar a los buscadores
modernos que se han ayudado del ordenador.
Referencias
n Newmann, J. R., SIGMA, El Mundo de las
Matemáticas, Ediciones Grijalbo, 1968.
n Borwein, J. y Borwein, P., Srinivasa Ramanujan,
Les Mathématiciens, BELIN, Pour le Science,
1996.
n Dictionary of Scientific Biography, Nueva York,
1970-1990.
n Gindikin, S., Tales of mathematicians and physicists, Springer, 2007.
n http://mathworld.wolfram.com/RamanujanConstant.html.
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precoces
(3ª parte)
à
3. Évariste GALOIS
El filósofo, crítico y ensayista francés Émile Chartier, conocido con el seudónimo de Alain (18681951), escribió el 10 de agosto de 1909 estas frases
consagradas exclusivamente a Galois aparecidas en
Dépêche de Rouen et de Normandie: Hace poco más
de dos meses, se inauguraba en Bourg-la-Reine una
placa de mármol a la memoria de Évariste Galois.
Este hombre, que murió a los veinte años, ha dejado
sobre la matemática pura memorias que fueron publicadas más tarde y que han aclarado uno de los caminos más difíciles que se hayan trazado a través de las
ideas puras. Es poco más o menos lo que yo puedo
decir sobre él. Dejo su biografía a los moralistas y a
los fabricantes de imágenes edificantes.
Vamos entonces a tratar de dar algunos rasgos de
la biografía de Galois así como la descripción somera
de la obra matemática que nos ha legado.
Nicolas-Gabriel Galois, padre de Évariste.
Más tarde, Nicolas-Gabriel Galois contrae matrimonio con Adélaïde-Marie Demante, hija de Thomas-François Demante, doctor agregado en la Facultad de Derecho de la antigua Universidad de París y
después Presidente del Tribunal de Louviers; latinista
apasionado, trasmite a su hija una sólida cultura clásica y religiosa. Durante los doce primeros años, Évariste Galois estuvo recibiendo formación de su madre,
consistente en unas fuertes bases de griego y latín;
también le trasmitió su escepticismo religioso: en la
familia Galois no existía la devoción, si acaso, el estudio crítico de la religión comparando los textos sagrados con Cicerón o Séneca. Las matemáticas tampoco tuvieron demasiada cabida en ese programa: éste
consistió probablemente en las clásicas lecciones de
aritmética, ya que las matemáticas no estaban consideradas como una materia importante. Ninguno de
sus ascendientes se distinguió en ellas.
Galois a los 15 años. Dibujo a lápiz realizado
por un compañero de su clase.
Galois fue un genio incomprendido y oprimido
por profesores estúpidos e ignorado por los grandes
matemáticos de su tiempo. Los acontecimientos de la
época le empujaron hacia actividades políticas en las
que despilfarró su energía y que, finalmente, le conducirían a la muerte. Galois nació el 25 de octubre de
1811 en Bourg-la-Reine, en las cercanías de París. Su
padre, Nicolas-Gabriel Galois, era un admirador de
Napoleón y representaba en esa villa al partido liberal. Fue elegido alcalde de Bourg-la-Reine en el período de los Cien Días en los que Napoleón volvió al
poder, entre el 20 de marzo y el 18 de junio de 1815.
Su abuelo paterno dirigía una institución escolar que
más tarde heredó su hijo Nicolas-Gabriel.
La Route d’Orleans, calle de Bourg-la-Reine
donde nació Évariste Galois.
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Galois fue un alumno precoz y crítico. En 1823,
con doce años, fue inscrito en el Collège Louis-leGrand, una escuela preparatoria parisina a la que
también acudieron Robespierre y Víctor Hugo. Con
ello pasa de una atmósfera familiar tranquila a otra
confinada, se trataba de un internado, y violenta. Allí
comenzó su educación política, de tal forma que las
simpatías liberales y antirrealistas que había heredado
de sus padres estuvieron en perfecta armonía con las
opiniones de la mayor parte de los alumnos que acudían a esa escuela. Ese mismo año, el conde de
Artois, futuro Carlos X, a la cabeza de los ultrarrealistas, pasa a tomar el poder. En el liceo, y durante el
primer trimestre, las relaciones entre los alumnos, la
mayor parte herederos de la Revolución Francesa, y
el nuevo director Berthot fueron muy difíciles, ya que
aquellos sospechaban que se quería entregar a los
jesuitas la dirección del colegio. Hay que señalar que
los jesuitas eran la punta de lanza de la reacción de la
derecha que siguió a la era napoleónica. Los alumnos
organizaron una pequeña rebelión al rehusar cantar
durante el oficio en la capilla, recitar en clase y brindar por Luis XVIII en la celebración de una fiesta en
el colegio. Como reacción, el director expulsó a varios
alumnos. Aunque Galois no siguió esa suerte (se desconoce si participó o no en la revuelta) la decisión
autoritaria del director contribuyó, sin duda alguna, a
acrecentar la desconfianza de Galois hacia la autoridad: había crecido entre libros en el entorno familiar
y ahora descubriría las primeras luchas sociales.
ningún profesor desearía tener: obtuvo un insuficiente en retórica, de forma que tuvo que repetir. Los
boletines escolares de 1826 y 1827 manifiestan una
degradación sensible. Eric Temple Bell, cuyo libro
Men of Mathematics, publicado en 1937, recoge la
mayor parte de las biografías de matemáticos célebres, asegura que el escaso interés que Galois sentía
por la retórica era debido a sus preocupaciones por el
álgebra: se había inscrito en esa época, tenía 15 años,
en un curso de matemáticas impartido por Hippolyte
Jean Vernier, curso que despierta el genio de Galois
por esa ciencia. Los cursos de matemáticas eran
suplementarios a los de formación clásica. En muy
poco tiempo, el joven escolar asimila los manuales
clásicos y más tarde los grandes autores de la época,
como Legendre (1752-1833), Éléments de géométrie, Elementos de geometría, y Lagrange (17361813), Résolution des équations algébriques, Resolución de las ecuaciones algebraicas, la Théorie des
Fonctions analytiques, Teoría de las funciones analíticas, y las Leçons sur le calcul des Fonctions, Lecciones sobre cálculo de funciones. Trabajando casi exclusivamente las matemáticas, el joven adolescente
obtiene el primer premio en el Concurso general.
Estas serán las notas que Vernier hace constar en su
boletín: Celo y progreso, muy notables; inteligencia,
progreso notable; método, insuficiente; disposición,
éxito, que será tanto más grande cuanto más metódico sea su trabajo.
EL SIGLO DE GALOIS
Patio de la casa donde vivió Galois en Bourg-la-Reine.
Pintura de N. Markovitch.
Refiriéndonos al aprovechamiento escolar de
Galois, los primeros años en Louis-le-Grand fueron
positivos y no tuvo ningún problema: obtuvo varios
primeros premios en latín y griego, así como media
docena de accésits. Sin embargo, en Segundo las
cosas cambian y pasa a convertirse en el alumno que
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1804-1814: Primer imperio. Grandeza y decadencia del Emperador Napoleón I.
1814: Vuelta de Luis XVIII.
1815: Retorno del Emperador: los Cien Días.
1815-1830: Segunda Restauración. Luis XVIII
(1815-1824); Carlos X (1824-1830).
1830-1848: Monarquía de Julio. Luis Felipe.
1848-1851: Segunda República. Luis Napoleón
Bonaparte.
1852-1870: Segundo Imperio. Napoleón III.
1871: Comuna de París.
1873: Tercera República.
1885-1899: Tiempos de crisis: Panamá, Dreyfus,
atentados anarquistas, etc.
Galois comienza a despreciar las materias que no
sean las matemáticas, lo que le acarreará la hostilidad
del resto de profesores de letras que dejan constancia
en sus boletines del alumno, notas tales como disipa-
Matemáticos
precoces
(3ª parte)
do, criticón, extravagante, charlatán... Sin hacer caso
de ellas, ni tampoco de Vernier, Galois decide por su
cuenta presentarse al concurso de entrada en la École
Polytechnique un año antes del que le correspondía
por edad y sin haber seguido el curso preparatorio en
matemáticas que se impartía en la propia escuela. Al
faltarle la base necesaria, Galois suspende. En aquella época no era necesario haber finalizado el bachillerato para presentarse al ingreso en la Escuela Politécnica. Además, considerando que su suspenso era
una injusticia, endurece su oposición hacia la autoridad. Afectado por esta situación (deseaba ardientemente integrarse en la escuela más importante de la
época) Galois se resigna a regresar al liceo Louis-leGrand y comenzar allí una clase de matemáticas
especiales con el eminente profesor Louis-Paul-Émile
Richard (1795-1849), quien advierte rápidamente
sus cualidades excepcionales: “Este alumno posee
una superioridad marcada sobre todos sus condiscípulos” o “Este alumno sólo trabaja para las matemáticas superiores”. Sin embargo, su profesor de física y
química dice de él que, “es distraído y trabaja flojo” o
“conducta pasable y trabajo nulo”. Visto lo cual,
Richard pide para Galois su admisión, sin examen, en
la Politécnica y, aunque tal petición fue rechazada, los
estímulos de Richard sobre Galois fueron espectaculares: en marzo de 1829, siendo todavía un estudiante, Galois publica su primer artículo en los Annales de
Mathématiques Pures et Appliquées de Joseph Diaz
Gergonne con el título Démostration d’un théorème
sur les fractions continúes périodiques, Demostración
de un teorema sobre las fracciones continuas periódicas. No obstante, ese artículo sería algo marginal en
la obra de Galois; lo que verdaderamente le interesaba era la teoría de ecuaciones, tema que había descubierto en la obra de Lagrange.
A los 17 años, se compromete con uno de los problemas más difíciles sobre el que se habían roto la
cabeza los matemáticos durante más de un siglo. En
esa época (1829), el problema crucial de la teoría de
ecuaciones era llegar a conocer las condiciones bajo
las que se podía resolver una ecuación. Concretamente, se investigaba sobre un método para resolver
las ecuaciones algebraicas con una sola incógnita x,
con coeficientes racionales y de grado n en x, xn. El
método debería ser lo suficientemente general como
para poder aplicarlo a todas las ecuaciones del tipo
anterior apoyándose únicamente en las cuatro operaciones aritméticas y en la extracción de raíces. En la
época de Galois, habían trascurrido ya 300 años de
esfuerzos y no se había encontrado el método para
solucionar las ecuaciones de grado quinto o superior.
Incluso se dudaba que existiera una solución general
para un grado cualquiera. Sólo estaban resueltas las
de grado dos, tres y cuatro. Fue Galois quien establecería criterios precisos para poder determinar si las
soluciones de una ecuación dada podían expresarse
o no mediante radicales. Pero lo más notable de
Galois no fue quizá el descubrimiento de esos criterios sino el método, al que dio nacimiento, para
lograrlo. Sus investigaciones le llevan a establecer una
teoría que se aplica a otros dominios de la matemática alejados de la teoría de ecuaciones, como fue la
teoría de grupos.
Galois envió a la Academia de Ciencias sus primeros trabajos, su Memoria, sobre lo que se convertiría
más tarde en la teoría de grupos, el 25 de mayo y el
1 de junio de 1829, poco tiempo antes de finalizar sus
estudios en Louis-le-Grand. Apenas dos meses más
tarde, Galois se presentaría por segunda vez, y ésta
sería la última, al concurso de entrada en la Escuela
Politécnica. No lo consigue. La fatalidad se había
ensañado con él: el 2 de julio de 1829, algunas semanas antes del concurso, su padre Nicolas-Gabriel se
suicidaba en su apartamento de París, calle Jean-deBeauvais, cercano al liceo Louis-le-Grand. Como
consecuencia, el concurso de acceso tuvo lugar en
condiciones psicológicas muy adversas para Galois;
también se dice que rehusó seguir las recomendaciones que el examinador le impuso para su exposición.
Estos dos infortunios acrecentarán aún más su odio
hacia la jerarquía conservadora que reinaba entonces
en Francia. Después de ello, tuvo que contentarse con
entrar el 25 de octubre de 1829 en la Escuela Normal,
École Normal, llamada entonces École Préparatoire,
de menos prestigio que la Politécnica. Gracias a una
nota excepcional alcanzada en matemáticas en el
bachillerato (noviembre de 1829), diploma exigido
para el ingreso, fue admitido en aquella institución,
poco más o menos cuando sus primeros artículos
sobre la teoría de grupos debían presentarse en la
Académie des Sciences, artículos que, por otra parte,
nunca fueron presentados. Dichos trabajos habían
sido recibidos por uno de los matemáticos franceses
más eminentes de la época y ferviente realista partidario de la restauración, Augustin Louis Cauchy,
sobre el que había recaído la responsabilidad de
informar sobre los escritos de Galois. Parece que
Cauchy ya conocía algo sobre la teoría de las permutaciones en la que descansaba, a su vez, su teoría de
grupos. No está clara la verdadera causa por la que
Cauchy no presentó los artículos de Galois: bien porque perdiera, olvidara o rechazara los manuscritos o
porque reconociera su importancia y decidiera tratarlos con sumo cuidado. En unas notas encontradas en
los archivos de la Academia de Ciencias descubiertas
en 1971 por René Taton, Cauchy escribe: “Me proponía presentar hoy en la Academia [...] el informe
49
ACTA
Matemáticos precoces (3ª parte)
sobre los trabajos del joven Galois. [...] Retenido en
casa por una indisposición, siento no poder asistir a la
sesión de este día y os ruego inscribir mi nombre en
el orden del día de la siguiente sesión para los [...]
objetivos que acabo de indicar.” Sin embargo,
Cauchy presenta en la Academia, una semana más
tarde, uno de sus propios artículos y no los trabajos
de Galois. Se desconoce este cambio de actitud y de
opinión de Cauchy.
LAS ESCUELAS EN TIEMPO DE GALOIS
La École Polytechnique fue creada en 1794
con el nombre de École central des travaux
publics. Hacia 1830 se convierte en el centro francés más importante de la enseñanza de las matemáticas y, en ella, un gran número de politécnicos
se dedicaron a la investigación. Los alumnos
ingresaban en edad comprendida entre los 16 y
20 años. Debían consagrar su entrega al rey y llevar una buena conducta.
La École Normal fue fundada en 1794. Entre sus
profesores se cuentan los prestigiosos Lagrange,
Laplace y Monge. Fue cerrada en 1795 y reabierta
en 1808. En 1815, la escolaridad pasa de dos a tres
años. Fue disuelta durante la Restauración y volvió
a abrir sus puertas en 1826 con el nombre de
École Préparatoire. Para ser admitido era necesaria una prueba de bon esprit, es decir, de conformismo político. En 1830 la escuela vuelve a llamarse normal y la escolaridad era de tres años,
finalizando en el nivel de Agrégation.
Galois insiste y se decide a presentar al Grand Prix
de matemáticas de la Academia un artículo un mes
antes de la fecha límite. El dosier fue enviado a JeanBaptiste Joseph Fourier, inventor del análisis que
lleva su nombre, entonces secretario perpetuo de la
Academia. Eso ocurría en febrero de 1830 y Fourier
falleció en mayo, no encontrándose el manuscrito de
Galois entre sus papeles. Galois atribuye esta mala
fortuna a una intención perversa por parte de la Academia y acusa a ésta de rechazar a priori su trabajo
por ser aún un joven estudiante. No obstante, Galois
continúa publicando en revistas tales como el Bulletin
des Sciences Mathématiques, Astronomiques, Physiques et Chimiques del barón de Férussac, tribuna
mucho menos vistosa que las sesiones de la Academia. Estos artículos demuestran que Galois era en
1830 con diez y nueve años uno de los matemáticos
más avanzados en la investigación de las condiciones
para la resolución de ecuaciones algebraicas de cualquier grado.
50
El 17 de enero de 1831, Galois, que había llegado a ciertas conclusiones, sometió a la Academia una
nueva memoria redactada a petición del matemático
Siméon Denis Poisson: Sur les conditions de résolubilité des équatios par radicaux, Sobre las condiciones
de resolubilidad de las ecuaciones por medio de radicales. Se trata, sin duda, del artículo más importante
de la obra de Galois y su existencia, un año antes del
duelo que sería la causa de su muerte, desmonta la
leyenda según la cual Galois habría escrito su artículo sobre la teoría de grupos en una sola noche. Poisson (1781-1840) y Silvestre Lacroix (1765-1843)
estudian profundamente el artículo y finalmente, después de varios meses en los que Galois no cesa en su
impaciencia, Poisson y Lacroix recomiendan a la Academia que lo rechace, al mismo tiempo que invitan a
Galois a detallar y clarificar su contenido ya que consideraban que una de las demostraciones era insuficiente y que al resultado obtenido podía también llegarse con la ayuda de uno de los teoremas de
Lagrange. Según Peter Newman, de la Universidad
de Oxford, la crítica estaba bien fundamentada. Los
planteamientos de Galois eran tan concisos que resultaba extremadamente difícil seguirlos; además, tampoco estaban exentos de error. Un siglo y medio después, las cosas resultan claras y es posible
actualmente presentar lo esencial de su teoría de una
forma accesible. Galois fue un incomprendido e
incluso acusado de plagio al encontrarse ciertos trabajos póstumos del matemático noruego Niels Henrik
Abel (1802-1829) sobre el mismo tema de resolución
de las ecuaciones algebraicas, asunto del que Galois
se defenderá más tarde en un escrito redactado en
prisión a finales de 1831.
Coincidiendo con la finalización de su trabajo
sobre la teoría de grupos, la vida de Galois toma un
giro político. En julio de 1830, los republicanos que se
oponían a la Restauración, se echaron a la calle y
después de tres jornadas tumultuosas de reacción
popular, los días 27, 28 y 29, conocidas como las
Trois Glorieuses, el rey Carlos X debe abdicar y salir
para el exilio, lo que representó una gran victoria para
los republicanos. El 28 de julio, los estudiantes de
izquierdas de la École Polytechnique tomaron un
papel activo en este movimiento; Galois y sus camaradas fueron encerrados en su escuela por el director
de la misma, M. Guigniault, para evitar tumultos. No
obstante, Galois termina el curso con éxito y, curiosamente, con mejores notas en física que en matemáticas. A la vuelta de vacaciones, en octubre de 1830,
Galois se convierte en un republicano activo. El 10 de
noviembre se adhiere a la Societé des Amis du Peuple que formaba parte de la artillería de la Garde
National, rama republicana de la milicia constituida
Matemáticos
precoces
(3ª parte)
prácticamente por republicanos. Cuenta entre sus
amigos con estudiantes republicanos como Raspail
(1794-1878), Blanqui (1805-1881), Napoléon
Lebon, etc. Galois critica al director de la escuela y al
filósofo Victor Cousin por sus posiciones políticas, primero fieles a Carlos X, después a Louis-Philippe. Su
oposición a la escuela se hace oficial en el mes de
diciembre de aquel año y, como era previsible, fue
expulsado de ella el 4 de enero de 1831. Galois colabora en la revista Gazette des Écoles exponiendo su
manifiesto para llevar a cabo una reforma de la enseñanza. Incluso crea su propia escuela el 13 de enero
de 1831 impartiendo un curso público de álgebra
superior en la librería Caillot, en el número 5 de la rue
de la Sorbonne. La Gazette precisa: [...] este curso
tendrá lugar todos los jueves, una hora y cuarto. Asistieron entre 30 y 40 alumnos, pero el curso fue clausurado a las pocas semanas. Durante este mismo
período de tiempo, asiste también regularmente a las
sesiones de la Academia motivado por una carta que
recibe de la matemática francesa Sophie Germain. Se
dice que había adoptado la deplorable actitud de
insultar a los oradores.
Notas marginales en uno de los manuscritos dejados
por Galois donde escribe: “Falta algo en esta
demostración; pero no tengo tiempo”.
La primavera de 1831 fue caliente y alcanzó su
paroxismo el 9 de mayo durante un banquete en Vendanges de Bourgogne, un restaurante de Belleville, en
el que los republicanos celebraban la absolución de
19 oficiales de artillería que habían sido acusados de
complot contra el gobierno y cuyo proceso, proceso
de los 19, se había celebrado en abril de 1831. Según
cuenta Alejandro Dumas padre en sus memorias,
Galois, que tenía veinte años (aún no los había cumplido), se levantó y, sosteniendo en la misma mano su
vaso y un cuchillo abierto, dijo: Por Luis-Felipe. Este
acto de provocación le valió el arresto en casa de su
madre al día siguiente siendo llevado a la prisión de
Sainte-Pélagie, donde estuvo más de un mes. En el
proceso que se siguió, el abogado defensor de Galois
sostuvo que las palabras que éste había pronunciado
en el brindis habían sido, Por Luis-Felipe si traiciona,
pero que la última parte de la frase no se había escuchado debido al ruido dentro del restaurante. Además, el banquete no había sido una reunión pública
sino privada. No se sabe si debido a esta argumentación o a la corta edad del acusado, lo cierto es que
fue puesto en libertad inmediatamente.
Enlazando con el plano matemático de la vida de
Galois, y como ya se ha dicho, el 4 de julio de 1831,
a las pocas fechas de su arresto y liberación, la Academia resuelve no admitir su informe en un texto firmado por Poisson y Lacroix. Constituyó para él el
golpe más duro. Pocos días después, el 14 de julio,
Galois fue de nuevo arrestado en el Pont Neuf de
París, esta vez por vestir ilegalmente el uniforme de
Artillería de la Guardia que había sido disuelta. Condenado el 23 de octubre de 1831, en esta ocasión
pasará un total de ocho meses en la prisión de Sainte-Pélagie. Durante este período, Galois pasaría alternativamente de la depresión al furor. Raspail, que
también redimía una pena en la misma cárcel, contará más tarde que Galois estuvo pensando en el suicidio. Galois tuvo una premonición que confió a Raspail: Moriré en un duelo por los ojos bonitos de
alguna coqueta de baja condición. ¿Por qué? Porque
ella me pedirá vengar su honor comprometido por
otro. Galois también se puso a favor de uno de sus
compañeros prisioneros muerto de bala, acusando a
un guardián e incluso al director de la prisión como
instigadores del hecho. Como resultado, Galois fue
metido en el calabozo.
En el prefacio mordaz de sus memorias escritas en
la prisión, se puede leer: Yo no digo a nadie que yo
deba a sus consejos o a sus estímulos todo lo que hay
de bueno en mi obra. No lo digo, pues sería mentir.
Los detalles de la estancia de Galois en prisión nos
han llegado a través de Lettres sur les prisions de
Paris, publicadas por Raspail en 1839.
El final de la vida de Galois ha ejercido siempre
una particular fascinación sobre los teóricos. Sus biógrafos no quieren nunca tomar al pie de la letra las
51
ACTA
Matemáticos precoces (3ª parte)
propias palabras de Galois, en el sentido de que el
duelo fue simplemente el resultado de una querella
personal. Al contrario; quieren explicar su muerte por
la intervención de prostitutas, de agentes provocadores u opositores políticos. No existen pruebas, sin
embargo, que soporten estas hipótesis.
El 16 de marzo de 1832, Galois, de salud frágil,
fue trasladado desde la prisión a la pensión del Señor
Faultrier debido a la epidemia de cólera declarada en
toda Europa y llegada al París de Los Miserables de
Victor Hugo. Se piensa que fue allí donde hizo amistad, una relación breve y efímera, con la infâme
coquette. Pero, según se encuentra en las referencias
actuales, parece absurdo pretender que esta joven
fuera una prostituta o una conspiradora que ayudara
a organizar el asesinato de Galois. Es posible que
todo ello provenga de la similitud existente entre el
epíteto infâme coquette y las palabras ya citadas,
cualquier coqueta de baja condición, puestas por Raspail en boca de Galois, deduciéndose de ahí la hipótesis de que se tratara de una prostituta. Por otra
parte, el 25 de mayo de 1832, seis días antes de su
muerte, Galois en carta a su amigo Auguste Chavalier alude a un desencanto sentimental: Cómo consolarse de haber aniquilado en un mes la fuente más
bella de felicidad que un hombre haya tenido, de
haberla aniquilado sin dicha, sin esperanza, [...]. Pero
¿quién era esta mujer? Se han encontrado fragmentos de dos cartas escritas a Galois en las semanas que
precedieron al duelo; parece que se trataba de una
querella personal en la que Galois se vio envuelto y
que no quería admitir. Así comienza la primera carta:
Os ruego que cortemos esta cuestión. No tengo suficiente espíritu para continuar una correspondencia de
esta clase [...]. Y concluye escribiendo [...] no pensar
en cosas que no existirán ni han existido nunca. La
segunda carta está redactada en el mismo tono, pero,
a diferencia de la primera, está firmada por Stéphanie
D. El padre Carlos Alberto Infantozzi, de la Facultad
de Humanidades y Ciencias de la Universidad de
Montevideo, ha logrado descifrar en los manuscritos
de Galois un nombre que éste había borrado: Stéphanie Dumotel. Realmente se trataba de Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hermana de un internista de la
pensión Faultrier, Jean-Baptiste Poterin du Motel.
La joven aludida estaba prometida quizá con Pescheux d’Herbinville, joven evocado por Alejandro
Dumas en sus Memorias, y uno de los 19 héroes aclamados en el restaurante de Belleville. La joven y su
tío provocan a Galois en duelo, encontrando allí la
muerte. Las circunstancias exactas de ese duelo nos
son desconocidas: Galois podría haber sido víctima
de los duelos estúpidos tan frecuentes en la época o
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bien de un golpe montado como consecuencia de sus
ideas republicanas. Su hermano Alfred Galois defenderá esta segunda tesis.
El 30 de mayo, al alba, el matemático prodigio
Galois, que contaba entonces 20 años, escribía a sus
amigos Napoléon Lebon y Delauney [...] he sido provocado por dos patriotas y me ha sido imposible
rehusar. Os pido perdón por no haberos advertido.
Pero mis adversarios me habían pedido bajo el honor
no prevenir a ningún patriota. [...]. Guardad mi
recuerdo pues la suerte no me ha dado suficiente vida
para que la patria conozca mi nombre. Vuestro amigo
que va a morir, É. Galois. La misma noche, escribe
también a su amigo Auguste Chavalier: He hecho en
análisis varias cosas nuevas [...] unas conciernen a la
teoría de ecuaciones; otras a las funciones integrales
[...]. Se podrán hacer con todo ello tres memorias ...
Pide públicamente a Jacobi o a Gauss su dictamen,
no sobre la veracidad sino sobre la importancia de los
teoremas. Después de esto, espero que haya gentes
que encuentren beneficio al descifrar todo este berenjenal.
Los acontecimientos de la mañana siguiente justifican plenamente la desesperanza que se trasluce en
estas líneas. Al alba, deja su habitación en la pensión
del Señor Faultrier para afrontar un duelo a la orilla
de un estanque próximo. Galois recibe una bala en el
abdomen y es abandonado a su suerte en el lugar del
duelo. Su cuerpo herido será descubierto por un campesino que lo lleva al hospital Cochin donde morirá
en la mañana del 31 de mayo de 1832. Surgen estas
preguntas: ¿Galois fue abandonado por los testigos
del duelo? ¿Los testigos fueron a buscar ayuda?
Litografía de un duelo en la época de Galois.
Matemáticos
precoces
(3ª parte)
En sus últimos momentos están presentes su
primo Gabriel Demante y su hermano Alfred. A los
llantos fraternales, Galois responde: No llores, tengo
necesidad de todo mi valor para morir a los 20 años.
Sabemos por el hermano de Gabriel, el abad Demante, que Galois, todavía con pleno conocimiento,
rechazó la extremaunción.
Catorce años más tarde, en 1846, los manuscritos
que Galois había dejado a Chevalier fueron hechos
públicos por el matemático francés Joseph Liouville,
quien los había presentado a la Academia en 1843.
Ese ha sido el camino por el que la fecunda rama de
la matemática, como es la teoría de grupos, ha llegado a nuestros días.
Referencias
n
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n
n
Temple Bell, Eric, Men of Mathematics, 1937.
Rothman, T., Évariste Galois, Les Mathématiciens, BELIN, Pour la Science, 1996.
Corbalán, F., Galois. Revolución y matemáticas, Nivola, 2004, 2ª edición.
http://perso.wanadoo.fr/frederic.gales/Index.htm.
Dedicatoria
Me honro en tener pocos pero buenos amigos y donde la muestra es más
reciente es en la universidad.
Me consta que siempre le he tenido a mi lado, apoyándome en mis
muchos años dedicado a la docencia y a la investigación.
Al catedrático Luis Maté, que es un ilustrado en la historia científica.
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