3.6.-Eliminación de recursividad por la izquierda

Nancy
Vazquez
Rivera
Yesenia
Perez
Reyes
TEORIA DE LA COMPUTACIÓN
UNIDAD 3
LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTO
INTRODUCCIÓN
El concepto de Gramática Formal adquirió gran importancia para el desarrollo de
lenguajes de programación, consiguientemente el desarrollo de autómatas y máquinas de
Túring, creando máquinas cada vez más sofisticadas.
La flexibilidad proporcionada por las gramáticas de contexto libre es tal que es la más
usada para definir la sintaxis de los lenguajes de programación.
Una definición formal de una gramática de contexto sensitivo es la siguiente:
Es un cuádruplo G= (V, S , P, S) donde V es un conjunto finito de variables, S es un
conjunto finito de símbolos terminales, P es un conjunto finito de reglas y S es el símbolo
inicial.
3.1.- GRAMÁTICA LIBRES DE CONTEXTO.
Dramática regulares.
Las expresiones regulares y los autómatas finitos nos proporcionan dos medios para
especificar o definir lenguajes. Las expresiones regulares nos proporcionan una plantilla o
patrón para las cadenas de lenguaje. Todas las cadenas se corresponden con un patrón en
particular y dichas cadenas serán las únicas que conformaran dicho lenguaje. Un autómata
finito especifica un lenguaje como el conjunto de todas las cadenas que lo hacen pasar el
estado inicial a uno de sus estados de aceptación. También se podrá interpretar generador
de lenguaje.
1. Reconocer números enteros con signo negativo o sin signo ese mismo autómata
les va reconocer el operador más o incremento.
Frase.- Sujeto Predicado
Sujeto.- Articulo Nombre
Predicado.- Verbo Adverbio
Articulo.- El/ la.
Verbo está
Adverbio cerca
Nombre perro
El perro está cerca.
Frase
Frase
Frase
Frase
Frase
Frase
Frase
Sujeto Predicado.
Artículo Nombre Predicado
El nombre predicado.
El perro predicado
El perro verbo Adverbio
El perro está adverbio
El perro está cerca
GRAMATICA GLC
Sea G= (N, T, S, P,) una 4-tupla donde:
N= Conjunto de No terminales.
T= Conjunto de Terminales.
P= Conjunto de producciones.
S= Conjunto Inicial.
CONVENIOS PARA GLC
 Son terminales: Primeras minúsculas del abecedario.
 No terminales: Primeras mayúsculas del abecedario.
Derivaciones
La idea es considerar una producción como una regla de escritura, donde el no terminal
de la izquierda se sustituye por la cadena del lado derecho de la producción.
3.2.- ARBOLES DE DERIVACIÓN.
Existen básicamente dos formas de describir cómo en una cierta gramática una cadena
puede ser derivada desde el símbolo inicial. La forma más simple es listar las cadenas de
símbolos consecutivas, comenzando por el símbolo inicial y finalizando con la cadena y las
reglas que han sido aplicadas. Si introducimos estrategias como reemplazar siempre el no
terminal de más a la izquierda primero, entonces la lista de reglas aplicadas es suficiente.
A esto se le llama derivación por la izquierda.
Por ejemplo, si tomamos la siguiente gramática:
(1) S → S + S
(2) S → 1
y la cadena “1 + 1 + 1″, su derivación a la izquierda está en la lista [ (1), (1), (2), (2), (2) ].
Análogamente, la derivación por la derecha se define como la lista que obtenemos si
siempre reemplazamos primero el no terminal de más a la derecha. En ese caso, la lista de
reglas aplicadas para la derivación de la cadena con la gramática anterior sería la [ (1), (2),
(1), (2), (2)].
La distinción entre derivación por la izquierda y por la derecha es importante porque en la
mayoría de analizadores la transformación de la entrada es definida dando una parte de
código para cada producción que es ejecutada cuando la regla es aplicada. De modo que
es importante saber qué derivación aplica el analizador, por que determina el orden en el
que el código será ejecutado.
Una derivación también puede ser expresada mediante una estructura jerárquica sobre la
cadena que está siendo derivada. Por ejemplo, la estructura de la derivación a la izquierda
de la cadena “1 + 1 + 1″ con la gramática anterior sería:
S→S+S (1)
S→S+S+S (1)
S→1+S+S (2)
S→1+1+S (2)
S→1+1+1 (2)
{ { { 1 }<sub>S</sub> + { 1 }<sub>S</sub> }<sub>S</sub> + { 1 }<sub>S</sub>
}<sub>S</sub>
donde { … }<sub>S</sub> indica la subcadena reconocida como perteneciente a S. Esta
jerarquía también se puede representar mediante un árbol sintáctico:
S
/|
/|
/ |
S ‘+’ S
/|\
|
/|\
|
S ‘+’ S ‘1′
|
|
‘1′ ‘1′
La derivación por la derecha:
:S→ S + S (1)
:S→ 1 + S (2)
:S→ 1 + S + S (1)
:S→ 1 + 1 + S (2)
:S→ 1 + 1 + 1 (2)
define el siguiente árbol sintáctico:
S
/|
/|
/ |
S ‘+’ S
| /|
| /|
‘1′ S ‘+’ S
| |
‘1′ ‘1′
Toda derivación de las gramáticas de tipo 1, 2 ó 3 se puede representar mediante
un árbol.
Una gramática es ambigua si el lenguaje que define contiene alguna cadena que
tenga más de un árbol de análisis sintáctico. (No ambigua implica un único árbol)
 No es posible construir analizadores eficientes para gramáticas ambiguas.
 Con ciertas restricciones a la gramática se podrá afirmar que no es ambigua.
3.3.- FORMA NORMAL DE CHOMSKY.
El hecho de no restringir la forma de las reglas de tipo 2 tiene interés en los casos en que
se desea diseñar una gramática para un lenguaje dado. Sin embargo, cuando se desea
desarrollar demostraciones de ciertas propiedades de los lenguajes incontextuales o se
desea desarrollar algoritmos eficientes que operen sobre gramáticas incontextuales,
interesa imponer ciertas restricciones en las formas de las reglas de la gramática. Para ello
se introducen las definiciones y los algoritmos de obtención de las formas normales para
las gramáticas incontextuales. En concreto, vamos a estudiar la conocida como Forma
Normal de Chomsky (FNC).
El objetivo principal de esta práctica es el estudio e implementación de los algoritmos que
permiten obtener una gramática incontextual en FNC a partir de una gramática
incontextual sin λ-reglas ni reglas simples.
Diremos que una gramática incontextual G=(N,T,P,S) que no genera la cadena
vacía, está en FNC cuando todas sus reglas son de la forma:
A → BC con A,B,C ∈ N
A → a, con A,B ∈ N y a ∈T
Teorema. Todo lenguaje incontextual L que no incluye la cadena vacía, es generado
por una gramática en FNC.
Ejemplo:
Sea la gramática incontextual G definida por las siguientes reglas:
S → bA | aB
A → bAA | aS | a
B → aBB | bS | b
Tras la aplicación del PASO 1 se obtiene la gramática en FNC intermedia G':
S → CbA | CaB
A → CbAA | CaS | a
B → CaBB | CbS | b
Ca → a
Cb → b
A partir de G', tras el PASO 2 se obtiene la gramática en FNC G'':
S → CbA | CaB
A → CbD1 | CaS | a
D1 → AA
B → CaD2 | CbS | b
D2 → BB
Ca → a
Cb → b
3.4.-FORMA NORMAL DE GREIBACH.
Veremos otra posible normalización de gramáticas que nos sirve más adelante para
construir cierto tipo de autómatas.
Una gramática es en forma normal de Greibach (FNG) si


(es decir, su
) solamente contiene variables útiles
todas las producciones de (es decir, en su ) son de la forma
donde
y
, es decir, todas las reglas tienen como primer
símbolo en sus partes derechas un símbolo terminal que es seguido por una
palabra de variables.

(porque así no se podría derivar ) si (es decir, el símbolo inicial de ) no
aparece al lado derecho de una producción, también está permitido que
Obviamente cualquier gramática en forma normal de Greibach es una gramática libre de
contexto que se verifica directamente analizando la forma de producciones permitidas.
Una interesante propiedad es: para cualquier lenguaje libre de contexto existe una
gramática en forma normal de Greibach, que genera el lenguaje.
La comprobación de este hecho detallamos con la siguiente construcción, donde a partir
de una gramática libre de contexto dada elaboramos una nueva gramática en forma
normal de Greibach.
Sea
un lenguaje libre de contexto y
decir
una gramática que genere
(es
).
La construcción sigue 4 pasos (asumimos que
, eso remediamos al final):
1. construimos una gramática equivalente en forma normal de Chomsky
2. sustituimos las reglas recursivas a la izquierda, es decir, reglas de tipo
3. establecemos un orden en las variables, es decir
de tal manera que
todas las reglas serán de tipo
con
,
4. sustituimos las reglas que no tengan un símbolo terminal como primer símbolo en
su parte derecha.
Las gramáticas después de cada paso llamamos
respectivamente.
Usamos la misma gramática inicial como en el apartado anterior
donde
contenga las siguientes producciones:
3.5.- ELIMINACION DE FACTORES COMUNES IZQUIERDOS
Un autómata finito o máquina de estado finito es un modelo matemático de un sistema
que recibe una cadena constituida por símbolos de un alfabeto y determina si esa cadena
pertenece al lenguaje que el autómata reconoce. Definición formal formalmente, un
autómata finito (af) puede ser descrito como una 5-tupla (s,w,t,s,a) donde: w es un
alfabeto; s un conjunto de estados; t es la función de transición: ; es el estado inicial; es un
conjunto de estados de aceptación o finales. ejemplo 1 w= {0,1}, s = {s1, s2}, t =
{(s1,0,{s2});(s1,1,{s1});(s2,0,{s1});(s2,1,{s2})} s = s1 a = {s1}. } Formas de representar un
autómata finito además de notar un af a través de su definición formal es posible
representarlo a través de otras notaciones que resultan más cómodas. Factorización de
términos comunes izquierdos inmediatos. existen gramáticas que tiene producciones de
la forma a ¡ å ß1 å ß2 como por ejemplo: s ¡ i e t s e s i e t s donde å es el término común
en las producciones de a. sin embargo para poder llevar a cabo el análisis sintáctico de las
mismas mediante algunas técnicas se debe eliminar los términos comunes izquierdos
llevando a cabo el proceso de factorización siguiente: las producciones a ¡ å ß1 å ß2 se
transforman en las siguientes a ¡ å a´ a´¡ ß ß2 las cuales nos generan el mismo lenguaje.
Existe un nuevo símbolo no terminal a´ en la gramática, el cual no altera la gramática del
lenguaje.
3.6.-Eliminación de recursividad por la izquierda
Es posible modificar la gramática para eliminar la recursión por la izquierda. La
generalización al caso de recursión por la izquierda no-directa se reduce a la iteración de
la solución propuesta para el caso directo.
Consideremos una variable con dos producciones: Estas dos producciones pueden ser
sustituidas por: eliminando así la recursión por la izquierda.
En este caso el procedimiento de eliminación de la recursión por la izquierda lo conduce a:
Valor --> E=
E --> T E'
E' --> +TE'
E' --> -TE'
E' -->
/* vacío, es decir puede ser reemplazado por un espacio o saltado sin
problema.*/
T --> FT'
T' --> *FT'
T' -->
F --> (E)
F --> número
3.7.- ELIMINACIÓN DE AMBIGÜEDAD
Una gramática es ambigua si permite construir dos o más árboles de derivación distintos
para la misma cadena. Por lo tanto, para demostrar que una gramática es ambigua lo
único que se necesita es encontrar una cadena que tenga más de un árbol de derivación.
Una gramática en la cual, para toda cadena generada w, todas las derivaciones de w
tienen el mismo árbol de derivación es no ambigua. En algunos casos, dada una gramática
ambigua, se puede encontrar otra gramática que produzca el mismo lenguaje pero que no
sea ambigua. Si todas las gramáticas independientes del contexto para un lenguaje son
ambiguas, se dice que el lenguaje es un lenguaje independiente del contexto
inherentemente ambiguo.
AMBIGÜEDAD:
Sea G = { N , T , P , S } una gramática libre de contexto y sea L(G) el lenguaje generado por
esa gramática.
Si existe un string w (donde w oe L(G) ) para el cual existen dos ó más formas de realizar la
derivación de más a la izquierda (S ˘ w) ó existen dos ó más formas de realizar la
derivación de más a la derecha (S ¿ w), entonces se dice que: G es una gramática ambigua.
TIPOS DE AMBIGÜEDAD:
Dentro del estudio de gramáticas existen dos tipos fundamentales de ambigüedad, los
cuales son:
Ambigüedad Inherente: Las gramáticas que presentan este tipo de ambigüedad no
pueden utilizarse para lenguajes de programación, ya que por más transformaciones
que se realicen sobre ellas, NUNCA se podrá eliminar completamente la ambigüedad
que presentan.
Ambigüedad Transitoria: Este tipo de ambigüedad puede llegar a ser eliminada
realizando una serie de transformaciones sobre la gramática original. Una vez que se
logra lo anterior, la gramática queda lista para ser reconocida por la mayor parte de
los analizadores sintácticos. (Se le considera "ambigüedad" porque existen métodos
para realizar análisis sintáctico que no aceptan gramáticas con estas características).
3.8- AUTOMATAS PUSH-DOWN
Un autómata de pila o Push-Down es un autómata que cuenta con un mecanismo que
permita almacenamiento ilimitado y opera como una pila.
El autómata de pila (se abrevia PDA de sus siglas en inglés Push-Down Autómata) tiene
una cinta de entrada, un control finito y una pila.
La pila es una cadena de símbolos de algún alfabeto. El símbolo que se encuentra más a la
izquierda se considera como que está en la “cima”. El dispositivo será no determinístico y
tendrá un número finito de alternativas de movimiento en cada situación.
3.9.- Lenguajes No Regulares
•Existen lenguajes que no son regulares y técnicas para demostrarlo: “El lema de
bombeo”
Ejemplo:L ={ 0n1n: n ≥0} no es regular Idea de la demostración:
•Si L es regular, existe M = (Q, Σ, δ, q0, F) un AFDt que lo reconoce. Además, M tiene un
nofinito de estados.
•Deben existir 0iy 0jcon i ≠j tales que δ*(q0, 0i) = δ*(q0, 0j)
•Esto significa que δ*(q0, 0i1i) = δ*(q0, 0j1i), pero por un lado 0i1i ∈L y por otro 0j1i ∉L.
Llegamos a un contradicción.