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V
MATEMÁTICA
Unidad 5
UTILICEMOS LA
INFORMACIÓN. Trabajemos
con ecuaciones.
Objetivos de la unidad:
Recolectarás, organizarás, graficarás e interpretarás la información
del entorno, a fin de ser utilizada en la toma de decisiones de
interés personal y/o social, valorando con criticidad la opinión de
los demás.
Propondrás alternativas de solución a situaciones problemáticas de
índole escolar, económica y social, utilizando ecuaciones enteras y
fraccionarias de primer grado.
55
Ecuaciones
Estadística
sus
procesos de:
Conceptos
básicos
Recopilación ,
organización y
presentación de la
información
sus
Elementos
Enteras
Medidas de
centralización
Gráficos
a través de:
Histograma
Primer grado
pueden ser:
mediante
Tablas de
distribución
de
una de ellas
Polígono de
frecuencias
Media
aritmética
Descripción del proyecto
Al finalizar la unidad podrás ayudar a resolver una situación financiera que involucra
ecuaciones de primer grado.
56 Matemática- Octavo Grado
Fraccionarias
Lección 1
Quinta Unidad
Estadística, organización de información
Motivación
Don Roberto, profesor de tercer ciclo de un centro escolar,
desea tener información relacionada con sus estudiantes, por
ejemplo cuántos son por sexo, cuántos por años cumplidos;
para ello, pregunta a 50 estudiantes, la edad, el sexo y obtiendo
la siguiente información:
Número de
Edad ( años) estudiantes
13
12
Masculino
14
15
Femenino
15
17
Total
16
06
Total
50
Ahora tú puedes contestar por ejemplo las siguientes preguntas:
¿Cuántos estudiantes en total tienen 15 años?
¿Cuántos estudiantes tienen 13 o 14 años?
¿Cuántos estudiantes son señoritas?
Sexo
Número de
estudiantes
22
28
50
Indicadores de logro:
Describirás y explicarás los términos estadísticos población,
censo, encuesta y muestra con confianza.
Diferenciarás y explicarás con seguridad las variables
discretas y las variables continuas.
Recolectarás información estadística (de campo) con respeto,
orden y aseo.
Construirás tablas de distribución de datos para variables
discretas con orden y aseo, y las explicarás con seguridad.
Estadística
Estadística es el método científico mediante el cual se
recopilan, clasifican, presentan, analizan e interpretan
datos numéricos obtenidos de hechos reales y a partir de
ellos se infieren conclusiones lógicamente aceptables.
¿Qué estudia la estadística?
Estudia las características de cantidad de datos para
conocerlos y poder tomar decisiones adecuadas
relacionadas con ellos.
¿Qué le interesa a la estadística y en que es aplicable?
Le interesan los fenómenos colectivos o de grupo, no
datos aislados. Es aplicable a una amplia variedad de
disciplinas, como Ciencias Físicas, las Ciencias Sociales,
las ciencias de la salud y otras, y es usada para la toma
de decisiones en áreas de negocios e instituciones
gubernamentales.
Octavo Grado - Matemática 57
UNIDAD 5
Conceptos básicos
Tomando la situación anterior, tienes que los estudiantes
de tercer ciclo son una parte de todos los estudiantes del
centro escolar.
Entonces tienes que todos los estudiantes del centro
escolar forma la población en estudio y los 50
estudiantes de tercer ciclo, seleccionados son una parte
de ellos y se llama muestra.
Los aspectos estudiados son el sexo y la edad, estos son
llamados variables.
Definimos:
Población: grupo o conjunto de elementos que
presentan una misma característica, que será el objeto
de estudio
Muestra: es una parte representativa de la población
total de estudio, o también se dice que es un
subconjunto o parte de la población tomado al azar;
para que la muestra tenga validez cada elemento o
unidad tomada de la población tiene que tener igual
oportunidad de ser escogido.
En este ejemplo tiene un concepto nuevo y es el
de frecuencia.
La frecuencia, es el número de veces que aparece un
determinado valor de la variable.
En este caso el estudio se ha realizado a partir de toda
la población, cuando esto sucede se dice que se ha
realizado un censo, por ejemplo el censo de población
llevado a cabo en nuestro país en el año 2007.
Entonces, tienes que censo es un método de recolección
de datos mediante el cual la información se obtiene de la
totalidad de los elementos que componen la población o
universo bajo estudio, realizándose simultáneamente en
toda la población.
Un censo es equivalente a una fotografía de la población
bajo estudio.
Variable: es la característica objeto de estudio que
puede ser el resultado de medir o contar, que toma
diferentes valores y el valor que representa es un dato.
Ejemplo 1
Reconoce los conceptos anteriores en la siguiente
situación: el profesor de octavo grado de una escuela
quiere conocer la estatura promedio de sus estudiantes.
Solución:
Toma en cuenta que:
El conjunto de todos los estudiantes de octavo grado, es
la población.
La estatura, que es la característica de estudio, es
la variable.
La estatura de cada estudiante en particular, es un dato.
Hay estaturas que se repiten varias veces, entonces el
número de veces que se repite una misma estatura, es la
frecuencia.
58 Matemática- Octavo Grado
Ejemplo 2
Analiza la siguiente situación: determina los conceptos
estudiados y la forma de recolectar la información.
Se desea investigar sobre el equipo de fútbol salvadoreño
que tiene más afición, para lo cual se consulta a 60
personas aficionadas a este deporte.
UNIDAD 5
Solución:
Para recolectar la información resulta difícil, preguntarle
a todos los aficionados al fútbol, cuál es su equipo
preferido, entonces, se toma una muestra de
60 aficionados.
Los conceptos que utilizas son:
La muestra: 60 personas consultadas.
El equipo preferido: FAS, Águila, Firpo, Alianza, etc, es
la variable.
El número de personas que elige que equipo es
preferido, es la frecuencia.
Variable discreta y continua
Con anterioridad conoces que la variable es la
característica objeto de estudio que puede ser el
resultado de medir o contar y que toma diferentes
valores.
En ejemplos presentados tienes varios casos donde se
reconocen variables que han sido estudiadas tales como:
Edad, el sexo, la estatura, los equipos de fútbol; notarás
que algunas de ellas la representas por números, otras
por una característica.
Las que representan una característica o atributo se
le llama cualitativas y la que se refieren a números,
cuantitativas. Por el momento sólo estudiarás y
trabajarás con las variables cuantitativas.
Ejemplo 3
Determina la variable en cada una de las situaciones:
a) La edad de los estudiantes de noveno grado que
realizaron las pruebas de logros en el año 2008.
b) El tiempo de duración de un televisor.
c) El peso en libras de 25 personas.
d) El número de hermanos que tienen los estudiantes de
séptimo grado.
Te das cuenta que todas las variables se refieren
a cantidades.
En este ejemplo notarás que algunas variables solamente
puedes expresarlas con números enteros, por ejemplo
el números de hermanos, mientras que otras puedes
expresarla con números decimales, tal como el peso.
A partir de esto tienes que las variables cuantitativas se
dividen en discretas y continuas.
Variables discretas
Es la que toma valores discretos o aislados por lo general
números enteros.
También podemos decir que es la variable que presenta
separaciones o interrupciones en la escala de valores que
puede tomar, son el resultado de contar.
Ejemplo 4
Determina la variable discreta en cada caso.
a) El número de hermanos y hermanas que tienen los
docentes de una institución educativa.
b) El número de obras literarias leídas durante el
tercer ciclo.
c) El número de monedas que tiene una persona.
d) La cantidad de palabras escritas en forma correcta.
Solución:
Solución:
Las variables discretas en cada caso son:
a) La edad de los estudiantes.
a) Número de hermanos y hermanas.
b) El tiempo.
b) Número de obras literarias.
c) El peso en libras.
c) Número de monedas.
d) El número de hermanos.
d) Cantidad de palabras.
Octavo Grado - Matemática 59
UNIDAD 5
Variables continuas
Son las variables que pueden adquirir o tomar cualquier
valor dentro de un intervalo especificado de valores. Se
dice también que son aquellas que resultan de medir.
Por ejemplo el peso, la altura, etc.
1
Actividad
Determina las variables discretas y continuas en las siguientes
situaciones:
a) El peso en kilogramos de los estudiantes de octavo grado.
b) La estatura en centímetros de los estudiantes de tercer ciclo.
c) El número de vehículos que lavan diariamente en un
estacionamiento.
d) Las edades en años de los docentes de un centro escolar.
Recopilación de información
Ejemplo 5
Determina la variable continua en cada caso.
a) Los cambios de temperatura que marca
El profesor de matemática asigna a sus estudiantes de
octavo grado un trabajo de investigación, para el cual los
organiza en equipos y distribuye el trabajo así:
El equipo 1 investigará las profesiones u oficios de los
padres de familia de sus compañeros y compañeras
de sección.
un termómetro.
b) El peso de los estudiantes de segundo año
de bachillerato.
c) Consumo de gasolina por cada 100 km de recorrido.
d) Los salarios de los empleados de una fábrica.
Solución:
Las variables continuas en cada caso son:
a) Cambios de temperatura.
b) Peso de los estudiantes.
c) Cantidad de gasolina consumida.
d) Salarios de los empleados.
60 Matemática- Octavo Grado
El equipo 2 investigará el número de estudiantes por
grado desde primero hasta noveno grado del año 2007
en los registros de la escuela.
El equipo 3 investigará la cantidad de alumnas y
alumnos egresados de noveno grado durante los últimos
5 años, en este centro educativo.
UNIDAD 5
Para efectuar los trabajos de investigación, los alumnos
y las alumnas realizarán una recolección o recopilación
de la información necesaria para llevar a cabo dicha
investigación.
En ambos casos puedes utilizar la entrevista, el
cuestionario y otros instrumentos que te faciliten la
recolección de la información. Debes saber que la
información puede obtenerse de forma directa o de
primera mano, pero hay situaciones que se tiene que
recurrir de forma indirecta, consultar archivos, revistas o
periódicos registros.
La recolección de la información depende en gran
medida del tipo de investigación y el problema que se
estudia.
Entonces tienes que la recolección de la información
puede realizarse en forma primaria (directa de campo) y
secundaria (bibliográfica).
Esta fase del trabajo incluye: seleccionar un instrumento
de medición válido y confiable, aplicar el instrumento y
codificar las mediciones o datos.
En la situación anterior, sobre los trabajos de
investigación asignados por el profesor de octavo grado,
los equipos 1 y 4 realizarán una investigación de campo;
mientras que la 2 y 3, tendrá que ser secundaria.
El equipo 4 investigará sobre el número de hermanas y
hermanos de sus compañeros y compañeras.
En estadística se emplean una variedad de métodos
distintos para recoger o recolectar información de lo que
se desea investigar. La recolección de datos se refiere al
uso de una gran diversidad de técnicas y herramientas
que pueden ser utilizadas por el investigador para
desarrollar los sistemas de información, los cuales
pueden ser el censo, la encuesta y otros.
Censo
Es un método de recolección de datos mediante el
cual la información se obtiene de la totalidad de los
elementos que componen la población o universo
bajo estudio.
Recopilación de información primaria o de campo
La recolección de campo o primaria es la que se obtiene
de forma directa por medio de encuesta, entrevistas,
observaciones o indagaciones etc. Éstas pueden
ser obtenidas de primera mano en forma directa de
la población.
En la situación anterior, sobre los trabajos de
investigación asignados por el profesor de octavo grado,
los equipos 1 y 4 realizarán una investigación de campo,
porque tendrán que preguntar a sus compañeros
de manera directa sobre la información que les
correspondió investigar.
Ejemplos de este tipo de recopilación pueden ser:
a) Los pesos de los estudiantes de octavo grado de un
centro de estudio.
b) Las edades de los estudiantes de sexto grado de un
centro educativo.
c) El número de hijos de los trabajadores de
Encuesta
Es un método de recolección mediante el cual la
información se obtiene relevando sólo un subconjunto
o muestra de elementos del universo en estudio, que
permite obtener información sobre el mismo.
una empresa.
d) El número de hermanos de los estudiantes de
octavo grado.
Octavo Grado - Matemática 61
UNIDAD 5
Recopilación de información de archivo o secundaria
Esta recopilación de información es la que se extrae de
libros, periódicos, revistas, registros, etc.
Tomado los trabajos de investigación asignados a los
grupos 2 y 3, es secundaria, ya que para recolectar la
información tendrán que consultar los archivos que
lleva el centro educativo.
Tienes entonces:
Número de hermanos o hermanos de los estudiantes de
octavo grado del centro escolar.
Números de hermanas
y hermanos
Recuento
No. de alumnos y
alumnas (frecuencia)
0
1
2
3
4
5
Total
IIII
5
8
10
8
7
2
40
IIII III
IIII IIII
IIII III
IIII II
II
Observa que los datos se organizaron en la tabla.
Ejemplos de recopilación de información secundaria:
a) El número de estudiantes egresados de bachillerato
en un Instituto Nacional del departamento de
La Libertad.
b) El número de fallecidos durante un año en
determinada ciudad del país.
c) El número de niños y niñas nacidos en el hospital
de maternidad.
Organización de la Información
Ejemplo 6
Recordarás que al equipo 4 le correspondió investigar
sobre el número de hermanos y hermanas de sus
compañeros, y recolectaron la siguiente información:
3, 4, 0, 1, 3, 2, 4, 5, 2, 1, 0, 2, 4, 3, 1, 4, 2, 3, 0, 1, 2, 4, 1, 3, 0,
5, 2, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 0, 2, y 3.
Solución:
Primero organiza los datos en una tabla, ordenados
de menor a mayor, realiza el recuento y luego obtienes
el número de veces que se repite cada número de
hermanos/hermanas a esto le llamamos frecuencia.
62 Matemática- Octavo Grado
La organización de la información se hace por medio
de tablas de fácil interpretación, que faciliten el
análisis estadístico.
Por ejemplo, en este caso, en forma fácilmente puedes
observar que el mayor número de compañeros y
compañeras tiene sola 2 hermanos o hermanas, 5
hermanos o hermanas tienen 2 de sus compañeros.
2
Actividad
De los siguientes enunciados identifica cuáles son información
primaria o secundaria
a) El porcentaje de personas que ven los noticieros matutinos en
San Salvador.
b) El número de damnificados que hubieron para la erupción
reciente del volcán de Santa Ana.
c) El tiempo de servicio de los docentes de tu centro escolar.
d) La cantidad de egresados por carrera durante los últimos 3
años de una universidad privada del país.
e) El número de habitantes de los países centroamericanos.
f) El número de hermanos y hermanas de tus compañeros
de grado.
UNIDAD 5
En esta sección estudias la organización de variables
discretas.
Tienes entonces:
Ejemplo 7
En octavo grado se le pidió a un estudiante que sacará
las monedas de la alcancía del aula y recolectaron las
siguientes: 10, 5, 1, 25, 5, 10, 1, 5, 10, 25, 1, 10, 5, 10, 1, 25,
10, 5, 1, 5, 10, 5, 25, 10, 1, 5, 10, 1, 25, y 10.
Solución:
Primero organiza los datos en una tabla, ordenados
de menor a mayor, realiza el recuento y luego obtienes
el número de veces que se repite cada denominación
(frecuencia).
Monedas
Recuento
Número de monedas
(frecuencia)
1
5
10
25
Total
IIII II
7
8
10
5
30
IIII III
IIII IIII
IIII
¿Qué puedes interpretar de esta información?
El mayor número de monedas corresponde a las de 10 ctvs.
El menor número de monedas corresponde a las de 25 ctvs.
Actividad
3
Organiza en una tabla de datos la siguiente información:
Número de hijos o hijas que tiene 40 familias: 3, 5, 4, 2, 1, 2, 0, 2, 3, 1, 2, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, 0, 2, 0, 4, 3, 1,
2, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 4, 3, 1, 3, 2, 5, 1, 3, y 6.
Luego responde:
a) ¿Cuántas familias tienen más hijos o hijas?
b) ¿Cuántos hijos o hijas tiene la mayoría de las familias?
Resumen
Conceptos
Población
Variable
Dato
Frecuencia
Muestra
Descripción
Conjunto de elementos que presentan una misma
característica, que será el objeto de estudio.
Característica que puede tomar diferentes valores.
Valor o característica que asume una variable en un elemento
particular.
Número de veces que aparece un determinado valor de la
variable.
Parte de una población.
Octavo Grado - Matemática 63
UNIDAD 5
Autocomprobación
El peso de una persona.
b) La estatura de los alumnos.
c) Número de empleados de una empresa.
d) Tiempo de duración de un televisor.
a)
Conjunto de personas u objetos que poseen una misma
característica, representa:
Variable.
b) Población.
a)
4
De los siguientes ejemplos, el que involucra una
variable continua es:
El número de billetes de $5.00 que
circula en el país.
b) El tiempo que tarda en resolver un
examen de matemáticas.
c) El número de estudiantes graduados
por sexo.
d) El número de casas construidas en
una colonia.
c) Muestra.
d) Dato.
Un ejemplo de recopilación de información
secundaria es:
El número de estudiantes de noveno grado
que realizaron la prueba de logros en 2008.
b) Las estaturas de los estudiantes de octavo
grado de un centro de estudio.
c) El número de maestros y maestras por sexo
del centro escolar donde tú asistes.
d) La cantidad de monedas que tienen diez de
tus compañeros.
a)
a)
1. c.
2
3
El dato que representa una variable discreta es:
Soluciones
1
2. b.
3. b.
4. a.
UNO DE LOS COMIENZOS DE LA ESTADÍSTICA
Los comienzos de la estadística pueden ser
hallados en el antiguo Egipto, cuyos faraones
lograron recopilar, hacia el año 3050 antes de
Cristo, prolijos datos relativos a la población y la
riqueza del país. De acuerdo al historiador griego
Heródoto, dicho registro de riqueza y población
se hizo con el objetivo de preparar la construcción
de las pirámides. En el mismo Egipto, Ramsés
II hizo un censo de las tierras con el objeto de
verificar un nuevo reparto.
En el antiguo Israel la Biblia da referencias, en el
libro de los Números, de los datos estadísticos
obtenidos en dos recuentos de la
población hebrea.
Heródoto
64 Matemática- Octavo Grado
Lección 2
Quinta Unidad
Gráficas y medidas
Motivación
E
n un proyecto de salud, el director de un centro escolar, recolectó el
peso en libras de 60 alumnosy alumnas de tercer ciclo; desea presentar esta
información en una tabla de frecuencia y forma gráfica en un histograma.
Además quiere conocer la media aritmética de dichos pesos.
¿Puedes tú ayudarle?
Indicadores de logro:
Determinarás y explicarás con confianza los límites inferior
y superior de una clase en una tabla de distribución de
frecuencias.
Determinarás y explicarás con seguridad el rango de una
distribución de frecuencias.
Determinarás y explicarás el número de clases y el ancho de
clase (en una tabla de datos) con confianza.
Obtendrás y explicarás con precisión la frecuencia absoluta
(en una tabla de datos).
Determinarás y explicarás con seguridad, la marca de clase
o punto medio, frecuencia relativa y frecuencia acumulada,
utilizando la fórmula.
Resolverás problemas utilizando la información de la tabla de
distribución de datos para variable continua.
Resolverás problemas interpretando gráficas estadísticas:
histograma y polígono de frecuencias.
Determinarás y explicarás con confianza la media aritmética
y sus características para variables discretas y continuas.
Resolverás problemas aplicando la media aritmética.
Tablas de distribución de frecuencias
Retomando la situación anterior, ¿qué debe hacer el
director del centro escolar? Después de recolectar
la información pedida; presentarla en una tabla de
frecuencia. Los datos son:
120, 105, 130, 112, 108, 100, 118, 122, 110, 119, 128, 135,
123, 115, 118, 140, 136, 115, 150, 114, 120, 110, 118, 120,
125, 118, 160, 148, 122, 138, 155, 139, 125, 118, 108, 125,
110, 134, 148, 133, 128, 112, 124, 146, 138, 123, 115, 128,
105, 112, 126, 138, 142, 106, 111, 121, 131, 142, 130, 120.
de datos en una tabla de distribución de frecuencias
formada por grupos de datos.
Primero debes ordenar los datos ya sea en forma
creciente o decreciente, en este caso lo harás de forma
creciente.
Solución:
100, 105, 105, 106, 108, 108, 110, 110, 110, 111, 112, 112,
112, 114, 115, 115, 115, 115, 118, 118, 118, 118, 118, 119,
120, 120, 120, 120, 121, 122, 122, 123, 123, 124, 125, 125,
125, 126, 128, 128, 128, 130, 130, 131, 133, 134, 135, 138,
138, 138, 139, 140, 142, 142, 146, 148, 148, 150, 155, 160
Con anterioridad elaboraste tablas de datos para
conocer con facilidad la frecuencia de cada dato. Ahora,
verás como organizar o resumir una cantidad grande
Ahora, tienes que decidir cuántos grupos quieres formar,
estos pueden ser entre cinco y alrededor de doce.
En este caso puedes formar siete grupos.
Octavo Grado - Matemática 65
UNIDAD 5
Luego, para formar los grupos, tienes que encontrar
la diferencia entre el mayor y el menor de los datos
recolectados, es decir:
Valor mayor – valor menor que corresponde a
160 – 100 = 60
A esta diferencia se le llama amplitud o rango de
los datos.
Como ya conoces la amplitud o rango y ya tienes
definido el número de grupos a formar, entonces,
divides el rango entre el número de grupos.
160 – 100 60
Es decir:
= = 8.75 como el resultado
7
7
posee parte decimal, y es más conveniente trabajar con
enteros, entonces en este caso puedes aproximar al
inmediato superior, o sea que 8.57 ≈ 9
Procedes ahora, a formar los 7 grupos o clases, iniciarás
con el menor de los datos, que en este caso es 100, y se
consideran los números de manera continua aunque no
estén representados en la serie.
Considera los pesos entre 100 y 108
99.5 100
Límite
inferior
real
Límite
inferior
aparente (li)
108 108.5
Límite
superior
aparente (ls)
Límite
superior
real
Observa que el ancho entre 100 y 108 es de 9, que
coincide con el que encontraste en la fórmula anterior.
Trabajas con los límites aparentes y observas que el
ancho es 8.
En general se cumple: ls – li = c – 1. Luego, al menor
valor le sumas c − 1. Es decir 100 + 8 = 108 y así la
primera clase es 100 – 108 . La segunda clase la formas
así: le sumas c = 9 a 100 y a éste el valor 8. La segunda
clase es 109 − 117. Continúa este procedimiento.
66 Matemática- Octavo Grado
Formas con los grupos una tabla como la siguiente:
Peso (en libras)
100 − 108
109 − 117
118 − 126
127 − 135
136 − 144
145 − 153
154 − 162
Total
Frecuencia
(alunmos/as)
6
12
20
9
7
4
2
60
A la par de cada grupo colocas el número de datos que
corresponde, de acuerdo a la serie ya ordenada.
Es decir, cuentas el número de datos que cae dentro de
cada grupo, incluyendo los extremos a la cantidad de
datos encontrado se le llama frecuencia.
Luego la tabla de datos formada se le llama tabla de
distribución de frecuencias para datos agrupados.
Clase, límites de clase, ancho de clase,
marca de clase
Observa la tabla de distribución de frecuencias
construida anteriormente. Cada uno de los grupos
formados, se les llama clase, por ejemplo:
100 − 108, 109 − 117, 118 − 126, son alguna clases
formadas.
Cada clase tiene dos extremos, llamados límites así: En
la clase 100 − 108, 100 es el límite inferior (li) y 108, el
límite superior (Is) Tiene entonces que en toda clase
el menor dato es el límite inferior y el dato mayor es
el límite superior. A estos límites se les llama límites
aparentes. Tal como se aprecia en la recta numérica
anterior para la primera clase.
Pero también tienes límites reales que se obtienen
restando 0.5 al límite inferior y sumando 0.5 al límite
superior.
UNIDAD 5
Solución:
Observa como aparecen en la tabla:
Clases
Peso (en libra)
100 − 108
109 − 117
118 − 126
127 − 135
136 − 144
145 − 153
154 − 162
Total
Clases
Límites reales
99.5 − 108.5
108.5 − 117.5
117.5 − 126.5
126.5 − 135.5
135.5 − 144.5
144.5 − 153.5
153.5 − 162.5
Frecuencia
(alumnos/as)
6
12
20
9
7
4
2
60
El ancho de clase o intervalos de clase, es igual a la
diferencia del límite real superior menos el límite real
inferior: i = ls − li
Para su cálculo puedes tomar cualquiera de las clases de
la tabla, por ejemplo si tomas la tercera clase y efectúas
la resta tienes: i = 126.5 – 117.5 = 9; puedes tomar otra
clase y el resultado siempre será el mismo, esto indica
que el ancho de clase es 9, o sea i = 9
Ejemplo 1
Los resultados de una prueba de suficiencia presentada
por 50 alumnos y alumnas en el programa EDÚCAME
para octavo grado fue:
47 58 50 59 51 42 45 53 33 31 48 50 66 63 48 28
55 40 55 33 39 37 47 49 51 39 67 45 35 60 54 49
50 59 43 44 45 47 53 51 34 33 50 36 35 48 40 46
42 39.
Organiza la información en una tabla de distribución de
frecuencias agrupadas en 8 clases, determina:
a) Los límites reales.
b) El ancho de clase.
c) Las marcas de clase o puntos medios.
Primero ordenas de menor a mayor:
28 31 33 33 33 34 35 35 36 37 39 39 39 40 40 42
42 43 44 45 45 45 46 47 47 47 48 48 48 49 49 50
50 50 50 51 51 51 53 53 54 55 55 58 59 59 60 63
66 67
Luego encuentras la amplitud o rango, en este caso
67 – 28 = 39.
Formarás 8 clases, entonces calculas el ancho de
Amplitud o rango 67 − 28
clase i =
=
Número de clases
8
39
4. 875 ≈ 5, tienes que cada clase incluye 5
=
8
datos, incluyendo los extremos.
La tabla de distribución de clases y frecuencias te
queda así:
Resultados
(clases)
28 − 32
33 − 37
38 − 42
43 − 47
48 − 52
53 − 57
58 − 62
63 − 67
Total
No. de alumnos/as
(frecuencia)
2
8
7
9
12
5
4
3
50
Luego de organizar las clases con sus respectivas
frecuencias, procedes a resolver:
a) Recordarás que los límites reales los obtienes
restando 0.5 al límite aparente inferior y sumando
0.5 al limite aparente superior.
b) Encuentra el ancho de clase:
i = ls − li tomas cualquier clase y efectúas la resta
47.5 − 52.5 = 5
Octavo Grado - Matemática 67
UNIDAD 5
c) Ahora calcularás los puntos medios o marcas de
clase: Pm
Resultados
(clases)
28 − 32
33 − 37
38 − 42
43 − 47
48 − 52
53 − 57
58 − 62
63 − 67
Total
Límites
reales
27.5 − 32.5
32.5 − 37.5
37.5 − 42.5
42.5 − 47.5
47.5 − 52.5
52.5 − 57.5
57.5 − 62.5
62.5 − 67.5
No. de alumnos/as
(frecuencia)
2
8
7
9
12
5
4
3
n = 50
Estos se obtienen sumando el límite inferior y superior
de cada clase, luego dividiendo este resultado entre 2
Pm = li + ls = 28 + 32 = 60 = 30 = 30
2
2
2
Este corresponde para la primera clase, para la
segunda es:
li + ls 33 + 37 70
=
= = 35
2
2
2
El resultado es el mismo con límites aparentes o si
trabajas con límites reales.
Continúa tú haciendo los siguientes cálculos, entonces
la tabla tiene una columna más, así:
Resultados
(clases)
Límites
reales
No.
de alumnos/as
(frecuencia)
28 − 32
33 − 37
38 − 42
43 − 47
48 − 52
53 − 57
58 − 62
63 − 67
Total
27.5 − 32.5
32.5 − 37.5
37.5 − 42.5
42.5 − 47.5
47.5 − 52.5
52.5 − 57.5
57.5 − 62.5
62.5 − 67.5
2
8
7
9
12
5
4
3
n = 50
68 Matemática- Octavo Grado
Pm =
li + ls
2
30
35
40
45
50
55
60
65
1
Actividad
a)Los siguientes datos que corresponde
a las estaturas de 50
estudiantes de II ciclo de educación básica; organiza una tabla
de distribución de frecuencias de 7 clases, calcula los límites
reales y el punto medio o marca de clase.
124 131 140 157 124 131 134 113 158 124 131 142 150
117 130 132 145 110 160 127 133 148 158 120 125 163
160 134 146 117 125 135 145 161 128 136 162 114 120
162 148 128 138 152 115 120 150 138 158 y 156.
Frecuencia absoluta, relativa, y acumulada
Observa los ejemplos anteriores. Recordarás que
cuando formaste la tabla de distribución de frecuencia, a
cada clase le colocaste el número de veces que aparecen
los datos entre los límites de dicha clase. Este número
se le llama frecuencia absoluta de una clase. Dicha
frecuencia se representa con la letra “fi”. La suma de
todas las frecuencias da como resultado el total de datos
recolectados.
Ejemplo 2
Encuentra la frecuencia relativa y la frecuencia
acumulada con los datos organizados en la tabla de
frecuencias que corresponde a los resultados obtenidos
por un grupo de estudiantes en la prueba de suficiencia
en el programa EDÚCAME.
Solución:
La frecuencia relativa se calcula mediante el cociente de
la frecuencia absoluta entre y el total de datos observado
f
fr. = , es decir divide cada frecuencia absoluta entre el
n
f 2
total de datos así: fr. = = = 0.04
n 50
f 8
fr. = = = 0.16
n 50
f 7
fr. = = = 0.14
n 50
UNIDAD 5
Continúa haciendo los cálculos y ubícalos en la columna
correspondiente en la tabla.
Resultados
(clases)
28 − 32
33 − 37
39 − 42
43 − 47
48 − 52
53 − 57
58 − 62
63 − 67
Total
fi
(frecuencia)
2
8
7
9
12
5
4
3
50
0.04
0.16
0.14
0.18
0.24
0.1
0.08
0.06
Ahora, trabajarás con la frecuencia acumulada (fa)
correspondiente a una clase es la suma de las frecuencias
absolutas de esa clase con las frecuencias de todas las
clases anteriores a él, que aparecen en la tabla.
Resultados
(clases)
fi
(frecuencia)
fa
28 − 32
33 − 37
39 − 42
43 − 47
48 − 52
53 − 57
58 − 62
63 − 67
Total
2
8
7
9
12
5
4
3
50
0.04
0.16
0.14
0.18
0.24
0.1
0.08
0.06
2
10
17
26
38
43
47
50
Actividad
2
Calcula la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada en las
situaciones siguientes:
a)Prueba de admisión, 60 estudiantes.
Puntajes
42 − 49
50 − 57
58 − 65
66 − 73
74 − 81
82 − 89
90 − 97
Total
fi
2
8
9
15
7
11
8
60
b)Pesos en libras, de 40 estudiantes:
Pesos
118 − 123
124 − 129
130 − 135
136 − 141
142 − 147
148 − 153
154 − 159
Total
fi
1
10
8
4
9
4
4
40
Observa, la primera frecuencia acumulada coincide con
la primera frecuencia absoluta y la última con el total
de datos.
Octavo Grado - Matemática 69
UNIDAD 5
Histograma
Polígono de frecuencia
Ejemplo 3
Representa por medio de un histograma la información
de la tabla de distribución de frecuencia que representa
los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en una prueba
de logros.
Solución:
Puntajes
(clases)
28 − 32
33 − 37
39 − 42
43 − 47
48 − 52
53 − 57
58 − 62
63 − 67
Total
fi
2
8
7
9
12
5
4
3
50
Un histograma es una representación gráfica de una
variable en forma de barras unidas, en el eje vertical
se representan las frecuencias, y en el eje horizontal
los valores de las variables, que están dados en clases,
entonces se colocan los límites reales de cada clase.
Gráfica lineal que une los puntos medios de cada
clase en un conjunto de datos con su correspondiente
frecuencia.
El polígono de frecuencias se construye fácilmente si
tienes representado previamente el histograma, ya que
consiste en unir mediante líneas rectas los puntos del
histograma que corresponden a las marcas de clase.
Para representar el polígono de frecuencias en el primer
y último intervalo, supones que adyacentes a ellos
existen otros intervalos de la misma amplitud, con
frecuencia cero para unir el polígono al eje horizontal.
3
Actividad
Construye el histograma y el polígono de frecuencias con la
siguiente información:
a)
Este tipo de gráfico, se utiliza cuando se estudia
una variable continua, como edades, altura, peso,
calificaciones, etc.
En el eje de las abscisas “x” se ubican las clases, tomas
una regla y mides a escala de igual tamaño tantas clase
tenga la información. Y en el eje vertical “y” ubicas
las frecuencias.
Esta gráfica te proporciona una información de forma
sintetizada donde puedes observar cuales fueron los
menores puntajes, así como el mayor puntaje obtenido.
70 Matemática- Octavo Grado
Medidas
17.5 − 21.5
21.5 − 25.5
25.5 − 29.5
29.5 − 33.5
33.5 − 37.5
37.5 − 41.5
Total
fi
10
6
10
8
9
7
50
b)
Puntajes
50 − 57
58 − 65
66 − 73
74 − 81
82 − 89
90 − 97
Total
fi
6
8
11
15
7
3
50
Media aritmética
Ejemplo 4
Milton desea encontrar la media aritmética de sus notas
obtenidas en el segundo trimestre: Matemática 7,
Ingles 7, Sociales 8, Ciencia Salud y Medio Ambiente 9,
Lenguaje y literatura 8.
UNIDAD 5
Solución:
Como se trata de una serie de datos simple, entonces,
recordarás que se obtiene sumando todos los datos,
luego divides este resultado entre el número de datos:
Esto nos indica que X = 123.32 es decir, que la media
aritmética del peso de los estudiantes es igual a
123.32 libras
X 1 + ,… , + X n
donde X1 +,…+ Xn son los datos y n
n
es el número total de datos, aplicas la fórmula y calculas
la media aritmética, así:
7 + 7 + 8 + 9 + 8 39
X=
= = 7.8 por lo tanto su
5
5
promedio (media aritmética) es igual a X = 7.8
X=
Ahora observa para una serie de datos agrupados:
Ejemplo 5
Encuentra la media
aritmética del peso de
los estudiantes dado
en la siguiente tabla de
frecuencia.
(Peso en libras)
100 − 109
110 − 119
120 − 129
130 − 139
140 − 149
150 − 159
160 − 169
Total
Solución:
En este caso lo primero
que tienes que hacer, es
fi
6
17
18
1
6
2
1
51
calcular el punto medio de cada intervalo de clase, el
cual después tienes que multiplicarlo por su respectiva
frecuencia.
Pmf
La fórmula que utilizarás es X = ∑
n
Como n = 51 y ∑ Pmf = 6289.5 entonces sustituyes
los datos en la fórmula X = ∑
(Peso en libras)
f
100 − 109
110 − 119
120 − 129
130 − 139
140 − 149
150 − 159
160 − 169
Total
6
17
18
1
6
2
1
51
Pmf 6289.5
=
= 123.32
n
51
Pm
Pmf
104.5 627
114.5 1946.5
124.5 2241
134.5 134.5
144.5 867
154.5 309
164.5 164.5
6289.5
4
Actividad
Encuentra la media aritmética en las situaciones siguientes:
a) Puntajes obtenido en una
b) Pesos en libras de 40
Prueba
personas
Puntajes
41 − 47
48 − 54
55 − 61
62 − 68
69 − 75
76 − 82
83 − 89
Total
fi
2
8
10
13
7
11
9
60
Pesos
118 − 123
124 − 129
130 − 135
136 − 141
142 − 147
148 − 153
154 − 159
Total
fi
1
10
8
4
9
4
4
40
Resumen
Una tabla de distribución de frecuencias para datos
agrupados, está formada por grupos de datos llamadas
clases, cuyos extremos se les llama límites de clase; a cada
una le corresponde una frecuencia, llamada frecuencia
absoluta, pero también se puede calcular frecuencia
relativa: fr =
f
y la frecuencia acumulada (fa) que es
n
igual a la suma de las frecuencias absolutas de esa clase con
las frecuencias de todas las anteriores a ella.
Con estos datos agrupados se realizan representaciones
gráficas como el histograma que está formado por una
serie de barras unidas y la gráfica lineal que une los puntos
medios de cada clase en un conjunto de datos con su
correspondiente frecuencia, se construye fácilmente si
tienes representado previamente el histograma.
Octavo Grado - Matemática 71
UNIDAD 5
Autocomprobación
1
2
Representa el punto medio de la
quinta clase:
77
b) 77.5
c) 74.5
d) 81.5
a)
65
b) 57.5
c) 58
d) 65.5
La media aritmética de los
puntajes corresponde a:
4
Corresponde a la mayor frecuencia
relativa:
0.033
b) 0.15
c) 0.25
d) 0.12
a)
72.43
b) 8.57
c) 69.5
d) 8.1
a)
2. a.
3. b.
fi
2
8
9
15
7
11
8
60
3
a)
obtenidos por 60
estudiantes de noveno
grados en la prueba
de logros:
Puntajes
42 − 49
50 − 57
58 − 65
66 − 73
74 − 81
82 − 89
90 − 97
Total
El límite real superior de la tercera
clase es:
1. d.
Utiliza la información
presentada en la
siguiente tabla y
responde puntajes
Soluciones
4. c.
LOS BABILONIOS Y LA ESTADÍSTICA
Desde los comienzos de la civilización han
existido formas sencillas de estadística, pues ya
se utilizaban representaciones gráficas y otros
símbolos en pieles, rocas, palos de madera y
paredes de cuevas para contar el número de
personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año
3000 a. de C. los babilonios usaban ya pequeñas
tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas
sobre la producción agrícola y de los géneros
vendidos o cambiados mediante trueque.
72 Matemática- Octavo Grado
Lección 3
Quinta Unidad
Ecuaciones
Motivación
P
iensa un número cualquiera.
Multiplica el número pensado por cuatro.
Suma seis al resultado.
A este nuevo resultado réstale dos.
Divide entre cuatro el resultado anterior.
¿Cuánto obtuviste?
Si tu resultado fue seis, es porque pensaste
en cinco, si fue cuatro, pensaste en tres,…
¿Podrías expresar en símbolos lo anterior?
Indicadores de logro:
Interpretarás y explicarás con seguridad la ecuación
algebraica a partir de operaciones con números reales.
Interpretarás y explicarás con interés los elementos que
forman una ecuación algebraica: variables, grado de la
ecuación, raíz y conjunto solución.
En matemática aparecen constantemente relaciones que
son llamadas igualdades. Son expresiones numéricas o
algebraicas unidas por el signo igual.
Observa algunas:
6 + 4 = 10; 7 + 8 = 15; 3 + 10 – 6 = 2 + 3; (2)2 + 3(2) – 10 = 0
x + 5 = 6; x2 – 2 = 7; x + 2y = − 4; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Si retomamos la situación anterior y pensó en 3:
(3 × 4 + 6 − 2) ÷ 4 = 4
(18 − 2) ÷ 4 = 4
16 ÷ 4 = 4
4=4
Una igualdad puede ser cierta o falsa.
Explicarás la relación y uso del lenguaje común con el
algebraico valorando su importancia, en la construcción de
ecuaciones de primer grado.
Por ejemplo:
6 + 4 = 10 es cierta porque al efectuar la suma obtienes el
resultado indicado.
3 + 10 – 6 = 2 + 3 es falsa porque al efectuar las
operaciones los resultados son diferentes.
Ahora, cuando compras 3 cuadernos por un total de $6,
¿cuál es el costo de cada cuaderno? Algebraicamente
puedes expresarlo así: 3x = 6
En este caso la igualdad
puede ser cierta o falsa
según los valores que le
asignes a la variable x:
para x = 2, es cierta, para
los demás valores es falsa.
Octavo Grado - Matemática 73
UNIDAD 5
Términos
En el conjunto de igualdades se distinguen tres tipos:
Identidad numérica, es una igualdad cierta
entre números.
Identidad literal, es una igualdad que es cierta para
cualquier valor que se asigna a la variable. Recordarás
que (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 en este caso puedes dar
cualquier valor a las variables “x” , “y” y siempre
obtendrás una igualdad. Si asignas x = 3 y = 2, al
sustituir estos valores en la igualdad obtienes:
(3 + 2)2 = 32 + 2(3)(2)+22
Son cada una de las cantidades que posee cada miembro
conectadas tanto por los signos + ó - , los términos
pueden ser algebraicos o aritméticos.
Para el caso de la ecuación anterior:
2x + 10 – 5x = 2x – 4
El primer miembro 2x + 10 – 5x en total posee
3 términos, 2x, − 5x son algebraicos y 10 es
un termino aritmético.
52 = 9 + 12 + 4; 25 = 25
lo cual es verdadero. Prueba en tu cuaderno para otros
valores y te darás cuenta que siempre es verdadero.
El segundo miembro 2x – 4 pose en total dos términos
28 es algebraico y − 4 aritmético en total la ecuación
tiene 5 términos: 3 algebraicos y 2 aritméticos.
Ecuación, es una proposición que señala la igualdad
de dos expresiones algebraicas. Las ecuaciones surgen
de situaciones cotidianas.
La ecuaciones pueden tener una o varias incógnitas
y sus exponentes pueden ser 1, 2, 3, etc. En este caso
solamente estudiarás aquellas que tienen una incógnita
(variable).
Son ejemplos de ecuaciones:
x + 3 = 2x – 5; 4x + 18 = x + 2 ¿Puedes dar otros
ejemplos? Escríbelos en tu cuaderno.
Elementos de una ecuación
Observa las siguientes ecuaciones:
C = 2πr
x + 12 = 28
x2 + 2x = 3
En cada uno de los ejemplos anteriores notarás que hay
valores conocidos y valores desconocidos, estos últimos
se conocen como incógnitas.
Las incógnitas se representan por letras y expresan los
valores desconocidos de la ecuación.
Una ecuación posee miembros y términos.
Miembros
Se le llama primer miembro de una ecuación a la
expresión que esta a la izquierda del signo igual y
segundo miembro, a la expresión que esta a la derecha.
2× + 10 - 5×
=
2× - 4
Miembro izquierdo
74 Matemática- Octavo Grado
Miembro derecho
Recordarás que en una expresión algebraica, la parte
literal puede estar elevada a cualquier exponente, lo
mismo sucede con las ecuaciones.
Por ejemplo:
La ecuación 5x – 2 = 8, tiene sólo una variable x y
está elevada al exponente 1, se dice entonces que esta
ecuación es de primer grado.
En la ecuación x2 – 3x + 2 = 1, tiene una incógnita, pero
está elevada al exponente 2, es una ecuación de segundo
grado.
En 5x3 + x2 – 4x + 6 = 15, es una ecuación de tercer
grado porque el mayor exponente de la incógnita es 3.
El grado de una ecuación esta dado por el mayor
exponente que presente la incógnita.
Ecuaciones de primer grado, se les conoce como
ecuaciones lineales.
UNIDAD 5
Actividad
1
En cada una de las siguientes ecuaciones identifica los miembros y determina su grado:
a) 4x3 + 2x2 = 20
c) 7y4 – 5y2 = y + 1
e) 5x2 + 2 = 3
3
= 0
4
d) x = 5
f) x5 + 4 = x3 − 3
b) 4x +
Raíz y conjunto solución
Ejemplo 1
Encuentra el valor que puede asignársele a la variable en 6x – 3 = 15 para que la
igualdad sea cierta.
Solución:
Observa la ecuación: 6x – 3 = 15
Para que esta igualdad sea cierta, tienes que buscar un número que al multiplicarlo por
6 y luego restar 3, obtengas 15.
Punto de apoyo
Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la incógnita que hacen
verdadera la igualdad.
Para x = 1
6x – 3 = 15
6(1) – 3 = 15
6 – 3 ≠ 15
3 ≠ 15
La igualdad no
se cumple
Para x = 3
6x – 3 = 15
6(3) – 3 = 15
18 – 3 = 15
15 = 15
La igualdad si
se cumple
Para x = 5
6x – 3 = 15
6(5) – 3 = 15
30 – 3 ≠ 15
27 ≠ 15
La igualdad no
se cumple
Entonces la variable x debe tomar el valor de tres para que la igualdad sea verdadera.
Es decir: x = 3.
Al valor de la variable que hace que la igualdad se cumpla se llama raíz de la ecuación.
En este caso la raíz de la ecuación es 3.
El conjunto solución, es el conjunto de todas las raíces o soluciones de una ecuación, las
ecuaciones de primer grado o lineales, solamente tiene una raíz.
Octavo Grado - Matemática 75
UNIDAD 5
Ejemplo 2
Ejemplo 3
¿Puedes encontrar los valores que cumplen con la
ecuación y2 – 4 = (y + 2) (y – 2)?
Encuentra el conjunto solución de la ecuación 2x + 3 = 7
Solución:
Recordarás que y2 – 4 es una diferencia de cuadrados y
que siempre es igual a:
y2 – 4 = (y + 2)(y – 2) Esta igualdad siempre será cierta
no importa los valores que se le asignen la variable.
Sustituye algunos valores asignados a la variable y:
a) para y = 3
y2 – 4 = (y + 2)(y – 2)
32 – 4 = (3 + 2)(3 – 2)
9 – 4 = (5) ( 1)
5 = 5
b) para y = – 2
y2 – 4 = (y + 2)(y – 2)
(– 2)2 – 4 = (– 2 + 2)( (– 2 – 2)
4–4
= (0) (– 4)
0 = 0
Observa siempre se cumple la igualdad, verifícalo con
otros valores.
Ecuaciones como la de éste ejemplo, se llaman ecuación
identidad, porque la igualdad se cumple para cualquier
valor que se asigne a la variable.
Su conjunto solución son todos los elementos de los
números reales.
Solución:
Resuelve para los siguientes valores de x:
a) para x = 3
2x + 3 = 7
2(3) + 3 = 7
6 +3 ≠7
9 ≠ 7 no se cumple la igualdad
b) para x = 2
2x + 3 = 7
2(2) + 3 = 7
4+3 =7
7 = 7 se cumple la igualdad
c) para x = 4
2x + 3 = 7
2(4) + 3 = 7
8 +3 ≠7
11 ≠ 7 no se cumple la igualdad
El conjunto solución de esta ecuación es {2}
Ecuaciones como esta, donde la igualdad se cumple
sólo para ciertos valores, reciben el nombre de ecuación
condicionada.
Ejemplo 4
Encuentra la raíz de la ecuación 2x – 2x = 1
Solución:
Asigna valores a x y sustitúyelos en la ecuación para
encontrar el que cumpla la igualdad.
Con seguridad no encontraste, ya que para cualquier
valor que asignes a x siempre tendrás la resta de dos
números iguales cuyo resultado es cero y no uno, por lo
tanto no tiene solución.
Este tipo de ecuaciones recibe el nombre de ecuación
imposible; porque no tiene solución.
76 Matemática- Octavo Grado
UNIDAD 5
Ejemplo 5
¿Cuánto obtuviste?
Encuentra el conjunto solución de las ecuaciones
3x + 2 = 8; 6x + 4 = 16
Si tu resultado fue seis, es porque pensaste en cinco, si
fue cuatro, pensaste en tres,…
Solución:
Muchas situaciones del entorno, como el anterior,
pueden expresarse en lenguaje matemático, es decir
como una ecuación.
Asigna valores a “x”, y sustitúyelos en cada una de
las ecuaciones.
Con seguridad encontraste que para 3x + 2 = 8, el
valor que cumple la igualdad es para x = 2, entonces su
conjunto solución es {2}
Para hacerlo, es necesario que aprendas a traducir frases
de un lenguaje natural a expresiones algebraicas.
Ejemplo 6
Ahora, en 6x + 4 = 16, cuando x = 2 la igualdad se
cumple, entonces el conjunto solución es {2}.
En un almacén aparecen los siguientes anuncios,
represéntalos en una expresión algebraica.
Notarás que ambas ecuaciones tienen el mismo
conjunto solución.
a) Sólo hoy, llévate el segundo par de zapatos a mitad
de precio.
Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo
conjunto solución se dice que son equivalentes.
Actividad
2
Asigna valores a x” para hacer cierta la igualdad.
a) 5x = 16 – 3x d) 7 + 2x = 5
b) 9x = 3 – 9x e) 5 – 5x = – 7
c) 3x = 5x – 6 f) 9x – 5 = 85
b) Paga la camisa y llévate la corbata por la cuarta del
precio de la camisa.
Relación del lenguaje común con el
lenguaje algebraico
Expresa en símbolos el número que pensaste en el
acertijo presentado al inicio de la lección.
Piensa un número cualquiera.
x
Multiplica el número pensado por cuatro 4x
Suma seis al resultado.
4x + 6
Ha este nuevo resultado réstale dos.
(4x + 6) – 2
( 4x + 6 ) – 2
Divide entre cuatro el resultado anterior
4
Solución:
Al expresar algebraicamente cada situación tienes:
a) No aparece el precio del par de zapatos, entonces lo
representas por x, el segundo par a la mitad de éste, es
x
decir,
2
x
b) El precio de la camisa es x y el precio de la corbata
4
Octavo Grado - Matemática 77
UNIDAD 5
Ejemplo 7
Solución:
Expresa en lenguaje algebraico la siguiente situación:
Primero determina a quién representa x.
Alicia, compra un litro de leche, una bolsa de cereal y
una bolsa de azúcar. Por la leche paga la mitad del costo
de la bolsa de cereal, y por el azúcar la cuarta parte del
valor de la bolsa cereal.
La edad de Héctor es x.
Julio tiene 5 años menos que Héctor, entonces, su edad
es x – 5.
Solución:
El precio de la leche y del azúcar, se relacionan con el
precio del cereal, entonces:
El precio del cereal es:
Lenguaje algebraico:
x
2
x
Precio de la bolsa de azúcar:
4
Precio de la leche:
x
+5
2
c) (a + b)2
b)
Expresa la siguiente situación en lenguaje algebraico:
Héctor es el mayor de tres hermanos, Julio es menor 5
años que Héctor y Carlos tiene la mitad de la edad
de Julio.
(a + b)2
x3 −
x
3
2x + (2x + 2)
x
x + = 45
2
x = 22
78 Matemática- Octavo Grado
x
g) x = 22
x3 − 3
e) 2x + (2x + 2)
x
f) x + = 45
2
a) x, x + 1, x + 2 d)
Ejemplo 8
x
+5
2
Ejemplo 9
Completa con lenguaje común.
x
x, x + 1, x + 2
La edad de Carlos es la mitad de la de Julio, es decir:
x –5 2
Solución:
Siempre debes relacionar los datos con respecto a la
incógnita, es decir a la variable x.
Tres números naturales consecutivos.
La mitad de un número aumentado en cinco.
El cuadrado de la suma de dos números.
El cubo de un número disminuido en su tercera parte.
La suma de dos números pares consecutivos.
La suma de un número con su mitad es igual a cuarenta y cinco.
La raíz cuadrada de un número es igual a dos al cuadrado.
UNIDAD 5
3
Actividad
a)Traslada del lenguaje común al lenguaje algebraico:
Lenguaje común
Un número
El doble de un número
Un número que aumentado
Un número que disminuido
La mitad de un número
La tercera parte de un número
Un número aumentado en su tercera parte
Un número aumentado en dos es igual a 150
La cuarta parte de un número disminuido en
su mitad.
Expresa en lenguaje algebraico lo que se te pide en los siguientes enunciados.
b) La tercera parte del dinero que tiene María es: $50.00.
3 para obtener 5 .
5
6
d) Una manzana, una pera y una naranja cuestan lo que vale una libra de uva.
c) Agrega un número al numerador y denominador de la fracción
e) Dos pares de zapatos por el precio de uno y medio.
f) El lado de un triángulo mide dos quintas partes del perímetro.
g) Si el lado de un cuadrado se aumenta en 3 cm, su área se incrementará en 39 cm 2
Resumen
En el conjunto de igualdades se distinguen tres tipos:
Identidad numérica, es una igualdad cierta entre números.
Identidad literal es una igualdad que es cierta para cualquier valor que se asigna a
la variable.
Ecuación es una proposición que señala la igualdad de dos expresiones algebraicas.
El grado de una ecuación esta dado por el mayor exponente que presente la incógnita.
Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la incógnita que hacen verdadera
la igualdad.
Octavo Grado - Matemática 79
UNIDAD 5
Autocomprobación
3
Grado 1
b) Grado 3
c) Grado 2
d) Grado 5
b) Identidad
Igualdad
d) Término algebraico
c)
a)
Término
b) Variable
c) Miembro
d) Signo de igualdad
4
La mitad de un número aumentado en seis es
igual el doble de dicho número, se expresa así:
a)
x +6
2
b)
2x + 6 = x + 2
2. c.
Son los elementos que se encuentran a uno y
otro lado de la ecuación:
El grado de la ecuación x3 – 3x5 + 5 = 2x2 es:
a)
a) Ecuación
2
x +6
= 2x
2
x
d) + 6 = 2x
2
c) 1. a.
Igualdad en la que hay una o varias cantidades
desconocidas llamadas incógnitas, y que sólo es cierta
para determinado valor numérico:
Soluciones
1
3. d.
4. d.
LOS ÁRABES Y LAS ECUACIONES
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer
grado fueron los árabes, en un libro llamado
Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo:
Álgebra (del ár. algabru walmuqabalah, reducción
y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera
traducción fue hecha al latín en España, y como
la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la
X española medieval. Los matemáticos españoles
llamaron a la cosa X.
80 Matemática- Octavo Grado
Lección 4
Quinta Unidad
Ecuaciones enteras
Motivación
En la vida cotidiana constantemente te encuentras
con situaciones que para resolverlas se hace uso de ecuaciones.
En un almacén aparece la siguiente oferta:
Combo, llévate estos productos por el precio de $200
El vendedor explica a un cliente que el microondas tiene un precio
de $65 más que la licuadora, y $ 32 más que la grabadora.
Ayúdale tú a encontrar el precio de cada artículo.
Indicadores de logro:
Construirás y explicarás con interés, ecuaciones enteras de
primer grado con una incógnita.
Solucionarás con seguridad ecuaciones de primer grado con
una incógnita, con y sin productos indicados.
Resolverás problemas utilizando ecuaciones enteras de
primer grado con una incógnita.
Para ayudarle a encontrar el precio de cada artículo
planteas:
Si x es el precio del microondas, entonces x − 65 es el de
la licuadora.
x − 32 es el de la grabadora.
El combo tiene el precio de $ 200.
Entonces: x + (x − 65) + (x − 32) = 200
Una ecuación algebraica puede compararse con una
balanza en equilibrio.
Si agregas algo en uno de los platillos de la balanza, ya
no hay equilibrio, entonces, para conservar el equilibrio
debes agregar algo en el platillo que está en el otro lado.
De la misma manera si quitas en un lado, también tienes
que quitar en el otro.
Octavo Grado - Matemática 81
UNIDAD 5
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Ejemplo 1
Solución:
Encuentra el conjunto solución de:
8x – 12x + 9 = 4x – 5x – 13 Ordenas los términos
algebraicos y aritméticos en
cada miembro.
9x + 14 = 86
Solución:
Para encontrar la raíz de esta ecuación, puedes facilitar
el proceso convirtiéndola en otra ecuación equivalente.
Aplicas las propiedades de la igualdad de números
reales, así:
a) Si a los dos miembros de una ecuación sumas o
8x – 12x + 9 = 4x – 5x – 13 Reduces los términos
semejantes.
–4x + 9 = – x – 13
–4x + 9 – 9 = –x – 13 – 9 Ecuación equivalente.
restas un mismo número o una misma expresión
algebraica, la ecuación resultante es equivalente a
la dada.
–4x = –x – 22
–3x = – 22
−3 x −22
=
−3
−3
ecuación por un mismo número distinto de cero, la
ecuación resultante es equivalente.
x=
−22
−3
Toma la ecuación equivalente anterior 9x = 72, entonces
divides ambos miembros entre 9 y obtienes:
x=
22
3
b) Si multiplicas o divides los dos miembros de una
9 x 72
=
es decir x = 8
9
9
El conjunto solución de la ecuación 9x + 14 = 86 es {8} o
simplemente x = 8
Comprueba que la solución es correcta sustituyendo en
la ecuación original.
9x + 14 = 86
9(8) + 14 = 86
72 + 14 = 86
86 = 86 se cumple la igualdad.
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación 8x + 9 − 12x = 4x – 13 −5x
82 Matemática- Octavo Grado
Sumas x a ambos
miembros.
– 4x + x = –x – 22 + x
9x + 14 = 86 si restas 14 a ambos miembros tienes
una ecuación equivalente.
9x + 14 – 14 = 86 – 14, o sea 9x = 72
Restas 9 a ambos miembros
de la ecuación.
Divides ambos miembros
entre –3.
Efectúas las operaciones.
Aplicas ley de los signos.
UNIDAD 5
Ejemplo 3
Utiliza la forma abreviada:
Resuelve la ecuación 12x + 6 = 104 – 2x
6x – 5 = x + 30
Solución:
6x – x = 35
5x = 35
35
x=
5
En este caso observarás que los pasos que aplicaste en
los ejercicios anteriores los puedes abreviar, así:
Forma no abreviada
12x + 6 = 104 – 2x
12x + 6 – 6 = 104 – 2x – 6
12x = 98 – 2x
12x + 2x = 98 – 2x + 2x
14x = 98
14 x 98
=
14 14
x=7
Forma abreviada
12x + 6 = 104 – 2x
12x + 2x = 104 – 6
14x = 98
98
x=
14
x =7
Observa la forma abreviada y notarás lo siguiente:
El término + 6 del miembro de la izquierda pasó
como – 6 al miembro derecho.
¿Cómo resuelves la ecuación 4x + 17 – 2x = 2 – 3x + 6?
Solución:
Resuélvela en tu cuaderno y compárala con la siguiente:
4x + 17 – 2x = 2 – 3x + 6
2x + 17 = –3x + 8 Reduces términos semejantes.
2x + 3x = 8 – 17 Realizas transposición de términos.
14 es el coeficiente de x, es un factor en el miembro
izquierdo, pasó a dividir al miembro derecho.
Encuentra un número que multiplicado por 6
y disminuido en 5 unidades es igual al número
aumentado en 30.
Verifícalo en la ecuación original.
Ejemplo 5
Ejemplo 4
Luego 5 pasa a dividir porque
en el otro miembro estaba
como factor.
x=7
El término – 2x del miembro izquierdo pasó como
+ 2x al miembro derecho.
El proceso anterior se conoce como una transposición
de términos, que consiste en pasar los términos de un
miembro de la ecuación al otro, haciéndoles cambio de
signo, y pasando a dividir si está como factor.
Ahora tienes que x pasa a
restar al otro miembro, porque
sumaba.
5x = –9
−9
x=
5
x= −
Reduces de términos semejantes.
Inviertes el factor, lo pasas a dividir.
9
5
Aplicas ley de signos.
La solución de 4x + 17 – 2x = 2 – 3x + 6 es x = −
Actividad
9
5
1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 21 – 6x = 27 – 8x
b) 65x – 36 + 1 = 11x + 5x
Solución:
c) 5n + 6n + 102 = −65n + 7n
Sea x: el número buscado 6x – 5: 6 veces el número
disminuido en 5x + 30: el número aumentado en 30.
Luego la ecuación a resolver es: 6x – 5 = x + 30
d) 7x + 16 + x – 5 = 1 – x + 11x – 3
e) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x − 100
f) – 12x + 39x + 14 = 18x + 256 – 60x – 657x
Octavo Grado - Matemática 83
UNIDAD 5
Las ecuaciones de primer grado pueden estar planteadas con signos de agrupación.
Ejemplo 6
Resuelve 7y – (3 − 5y) + (− y + 24) = 3y − (2y – 1)
Solución:
Primero suprimes los signos de agrupación.
7y – 3 + 5y – y + 24 = 3y – 2y + 1 Para suprimir los paréntesis tienes que aplicar la ley
de los signos de la multiplicación.
7y + 5y – y − 3 + 24 = 3y – 2y + 1 Ordenas los términos algebraicos y aritméticos en
cada miembro.
11y + 21 = y + 1
Reduces términos semejantes.
11y – y
Transpones términos.
10y
= 1 – 21
= − 20
−20
y=
10
y=–2
Reduces términos semejantes.
Aplicas la ley de los signos para la división.
Verifica esta respuesta.
Ejemplo 7
Resuelve 16x – [3x – (6 – 9x)] = 30x + [–(3x + 2) – (x + 3)]
Solución:
16x − [3x – (6 – 9x)] = 30x + [−(3x +2) – (x + 3) Suprimes los paréntesis.
16x − [3x − 6 + 9x] = 30x + [− 3x − 2 – x − 3] Suprimes los corchetes.
16x − 3x + 6 – 9x = 30x − 3x − 2 –x − 3
Ordenas los términos.
16x − 3x − 9x + 6 = 30x – 3x – x − 2 − 3
Reduces términos semejantes.
4x + 6 Transpones términos.
4x − 26x = −5 −6
− 22x = 26x – 5
= − 11
11
x=
22
1
que es igual a x =
2
Comprueba la respuesta.
84 Matemática- Octavo Grado
Reduciendo.
Punto de apoyo
a) Suprimes primero los signos de agrupación
que están más internos.
b) Recuerda la propiedad distributiva:
a (b + c) = ab + ac
UNIDAD 5
Ejemplo 8
Punto de apoyo
Resuelve 5(1 +2x) + 2(4x – 1) = 10 (x − 9) – 9(5 – 6x)
Solución:
Primero efectúas los productos indicados:
5(1 + 2x) + 2(4x – 1) = 10 (x – 9) – 9(5 – 6x)
Puedes cambiar los signos de
todos los términos de ambos
miembros de la ecuación así:
− 46x = − 138 equivale a:
46x = 138
Aplicas la ley distributiva del
producto sobre la suma.
5 + 10x + 8x – 2 = 10x – 90 – 45 + 54x
10x + 8x + 5 – 2 = 10x + 54x – 90 – 45
18x + 3
= 64x – 135
18x – 64x = –135 – 3
–46x = –138
−138
x =
−46
x =3
Ordenas términos semejantes.
Haces transposición de términos.
Reduces términos semejante.
El factor lo pasas a dividir y operas.
Verifica la respuesta.
Resuelve los siguientes ecuaciones:
Actividad
a) – (3x + 3 ) + 8 = x – ( 2x + 1)
e) 5(x – 1) + 16(2x + 3) = 3(2x – 7) –x
b) 6x – (x + 2) + ( − x + 3) = − 10 + 15x
f) 2(x + 3) – 4(5x – 3)= –2(x + 5)
c) –(5x + 6) + (− 8+ 3x) = (− 5x + 4) + 30x –(− x + 6)
g) 7(18 – x) − 6(3 − 5x) + (7x + 9) + 3(2x + 5) = − 12
d) 3x +
[ −5x − ( x + 3 )] = 30 x + ( −5x − 9 )
2
h) 15x + (− 6x + 5) − 2 – (− x + 3) = − x + (3 – 2x) – (7x + 23)
Construcción de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
Analiza la siguiente situación:
La edad de Eva y Marta suman 64 años, y Eva tiene 10
años más que Marta. Encuentra ambas edades.
Para resolver este problema debes pasar el lenguaje
común al lenguaje algebraico.
Primero tienes que reconocer quien representa la
incógnita y quien está en función de ésta.
En este caso tienes:
x: edad de Marta.
x + 10: edad de Eva, ya que tiene 10 años más que Marta.
La suma de ambas edades es de 64 años.
Al expresarse en lenguaje algebraico tienes la ecuación
siguiente:
x + 10 + x = 64
x + (x + 10) = 64
Aplicas la forma
x + x + 10 = 64
abreviada
2x
= 64 − 10
2x = 54
54
x=
2
x = 27
Significa que la edad de Marta es 27 años y como Eva
tiene 10 años más, entonces la edad de Eva es
27 + 10 = 37
Si sumas ambas edades tienes 27 + 37 = 64
R: La edad de Marta es 27 años y la de Eva 37 años.
Octavo Grado - Matemática 85
UNIDAD 5
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Resuelve la siguiente ecuación que se te presentó al
inicio de esta lección:
Un lazo mide 27 m, se corta en dos pedazos de manera
que uno mida 3 m menos que el otro. Encuentra la
longitud de los dos pedazos.
x + (x − 65) + (x − 32) = 200
Solución:
Solución:
x + (x – 65) + (x – 32)
x + x + x – 65 – 32
3x – 97
3x
3x
= 200
= 200
= 200
= 200 + 97
= 297
297
x =
3
x = 99
Entonces tienes que el precio del microondas es
de $99.00
El precio de la licuadora es x – 65; sustituyes los datos:
99 – 65 = 34
El precio de la grabadora es x – 32; 99 – 32 = 67
Comprueba: Licuadora 99 – 32 = $ 67.00
Grabadora 99 – 65 = $ 34.00
Microonda 99
= $ 99.00
$200.00
R: Licuadora $ 67.00
Grabadora $ 34.00
Microonda $ 99.00
86 Matemática- Octavo Grado
Selecciona x para representar la medida en metros del
pedazo más largo. El otro pedazo tiene 3 m menos que x,
entonces lo representas por x – 3.
Ahora, planteas la ecuación:
x + (x – 3) = 27
27 m
x
x−3
Eliminas paréntesis:
x + x – 3 = 27
2x – 3 = 27
2x = 27 + 3
2x = 30
30
x=
2
x = 15
Significa que el pedazo más largo mide 15 m.
Entonces el otro pedazo mide 15 m – 3 m = 12 m.
Verifica: 15 m + 12 m = 27 m.
UNIDAD 5
Ejemplo 11
En la actualidad la edad de Elena es el triple de la edad de Roxana. Dentro de 4
años será solo el doble. ¿Qué edad tiene cada una?
Solución:
x: edad de Roxana en la actualidad; x + 4 edad dentro de 4 años.
3x: edad de Elena en la actualidad;3x + 4 edad dentro de 4 años.
Como dentro de 4 años la edad de Elena será el doble que la de Roxana.
Entonces: la edad de Elena = 2 veces la edad de Roxana.
Planteas la ecuación y resuelves:
3x + 4 = 2 (x + 4)
3x + 4 = 2x + 8
3x = 2x + 8 – 4
3x = 2x + 4
3x – 2x = 4
x = 4
La edad de Elena es el triple de la edad de Roxana,
es decir: 3(4) = 12
R: Edad de Roxana 4 años.
Edad de Elena 12 años.
Actividad
Resuelve los siguientes problemas:
a) El perímetro de un rectángulo mide 72 cm, si su largo es el
doble de su ancho, encuentra las dimensiones.
b) Encuentra un número que aumentado en 5 equivale a su
triplo disminuido en 13.
3
c) En una sección de octavo grado hay 4 hombres menos que el
doble del número de señoritas. Si se sabe que en esa sección hay
22 hombres; ¿cuántos estudiantes hay en total?
d) Pedro invitó a Berta al estadio a ver un juego de fútbol; durante el
cual compraron dos bolsas de palomitas de maíz de $2.00 cada
una y 5 latas de jugo (todas del mismo precio). Si Pedro gasta en
total $10.00, ¿cuánto pago por cada lata de jugo?
Resumen
Para resolver ecuaciones, se trasladan a un solo miembro
de la ecuación los términos que contienen a la incógnita y
en el otro todos los valores numéricos.
Se efectúan las operaciones aritméticas indicadas y se
despeja la variable para determinar la raíz de la ecuación.
En una ecuación, puedes pasar un término de un
miembro al otro, cambiándolo de signo. Un factor de un
miembro puede pasar a dividir a todo el otro miembro.
Además puedes cambiar los signos de todos los términos
de ambos miembros de la ecuación.
Octavo Grado - Matemática 87
UNIDAD 5
Autocomprobación
La edad de Oscar y Juan suman 64 años,
pero Oscar es mayor 32 años que Juan la
edad de ambos es:
3
a)
Oscar 48 años y Juan 16 años.
b) Oscar 32 años y Juan 16 años.
c) Oscar 40 años y Juan 24 años.
d) Oscar 40 años y Juan 8 años.
4
Al resolver la ecuación
15x – 9 = 13 – 18x, obtienes:
2
2
c) x =
3
9
3
1
b) x = d) x =
2
2
x=
12
c) 58
b)
14
d) 16
En un condominio de dos pisos hay un total de 48 apartamentos
si los apartamentos del primer piso son el doble del segundo piso,
¿cuántos apartamentos hay en cada piso?
1er. Piso 32 y en el 2do. Piso 16
b) 1er. Piso 24 y en el 2do. Piso 24
c) 1er. Piso 16 y en el 2do. Piso 32
d) 1er. Piso 30 y en el 2do. Piso 15
a)
2. c.
3. d.
a)
a)
1. a.
2
Eduardo y Daniel venden suscripciones a la revista ECA, y durante
el mes de enero, Eduardo vendió tres suscripciones menos que
el cuádruplo de las que vendió Daniel. Si se sabe que Eduardo
vendió 61 suscripciones, ¿cuántas vendió Daniel?
Soluciones
1
4. a.
UN EJEMPLO ANTIGUO
La matemática desarrollada en la India entre
los años 400 a 1,400 de nuestra era tiene un
aspecto interesante que es la presentación de
problemas matemáticos, mediante el lenguaje
poético y metafórico. Un ejemplo de esto es el
libro de astronomía Liláwari (La Hermosa) escrito
por Bháskara del cual se presenta la siguiente
situación: “A una dama se le quebró un collar,
un tercio de las perlas cayó al suelo, un quinto
quedó en el lecho, la joven encontró un sexto y
su amiga recuperó un décimo de las perlas;
en el hilo sólo quedaron seis perlas.
¿Cuántas perlas había en el collar?
88 Matemática- Octavo Grado
Lección 5
Quinta Unidad
Ecuaciones Fraccionarias
Motivación
R esuelve el siguiente acertijo:
Cierto día un gavilán posaba en lo alto de un árbol y de repente
ve pasar a unas palomas y les dice “adiós mis cien palomas” y ellas
le contestan “no somos cien señor gavilán, somos; nosotras, más
nosotras, más la mitad de nosotras, más un cuarto de nosotras y
usted, si somos cien señor gavilán”.
Indicadores de logro:
Construirás y explicarás con interés ecuaciones primer grado
con una incógnita con denominadores monomios.
Solucionarás con interés ecuaciones fraccionarias con
denominadores monomios de primer grado con una
incógnita.
Solucionarás con seguridad y orden ecuaciones fraccionarias
de primer grado con una incógnita con denominadores
compuestos.
Resolverás problemas en colaboración con sus compañeros y
utilizando ecuaciones fraccionarias de primer grado con una
incógnita.
Graficarás con precisión ecuaciones lineales.
Retoma la situación del acertijo plantea la ecuación:
Resuelves la ecuación equivalente.
x: el número de palomas
Plantea la ecuación:
Nosotras + nosotras + la mitad de nosotras + un cuarto de
nosotras y usted somos = 100
x
x
+
+ 1 = 100
x + x +
2
4
x
x
2x + + + 1 = 100
2 4
Encuentras el mcm de los denominadores.
El mcm de 2 y 4 es 4.
Multiplicas cada término por 4
x
x
( 4 )( 2 x ) + ( 4 )   + ( 4 )   + ( 4 )(1) = ( 4 )(100 )
 2
 4
4x 4x
+
+ 4 = 400
8x +
2
4
la ecuación equivalente es 8x + 2x + x + 4 = 400.
8x + 2x + x + 4 = 400
11x + 4
= 400
11x = 400 – 4
11x = 396
396
x=
11
x = 36
R: Las palomas que ve el gavilán son 36.
Verificas en la ecuación original:
x
x
+
+ 1 = 100
x + x +
2
4
36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100
Octavo Grado - Matemática 89
UNIDAD 5
Observa las siguientes ecuaciones:
anterioridad.
2
6
a) x + = 2 x
3
5
3
7
2
+
= 2
x −3 x +3 x −9
1
1
1
c) x + x = −
3
4
5
b)
d)
d) Resuelves aplicando los pasos estudiados con
2 3
+ =6
x 2x
9x – 10x = − 3
−x=−3
x=3
Aplicas ley de signos para el cociente de enteros:
x=3
Entonces la solución de
3x 2x
1
− = − es x = 3
5 3
5
Te has dado cuenta que a) y c) unas tienen como
coeficiente números fraccionarios, b) y d) tienen como
denominador expresiones algebraicas, el proceso para
resolverlas es el mismo.
Una ecuación es fraccionaria cuando por lo menos
involucra un término fraccionario.
Ejemplo 1
Resuelve
3x 2x
1
− =−
5 3
5
Solución:
Primero tienes que eliminar los denominadores,
para eso:
a) Encuentras el mínimo común múltiplo de ellos, en
Ecuaciones fraccionarias de primer
grado con denominadores monomios
b) Multiplicas el mcm encontrado por cada término de
Éstas se resuelven como los casos anteriores:
este caso el mcm de 5, 3, 5 es 15.
la ecuación:
 3x 
 2x 
 1
15   − 15   = 15  − 
 5
 3
 5
c) Simplificas cada término de la ecuación para obtener
una ecuación equivalente:
15
45 x 30 x
−
=−
3
5
5
La ecuación equivalente que obtienes es 9x – 10x = – 3.
90 Matemática- Octavo Grado
Ejemplo 2
Resuelve:
2 5 7 3
− = − +1
3 x x 10 2 x
Punto de apoyo
Cuando resuelvas una ecuación de otros tipos, que
se reducen a ecuaciones lineales; siempre tienes
que probar la solución en la ecuación original.
UNIDAD 5
Solución:
Encuentras el mcm de los denominadores 3x, x, 10, 2x, éste es 30x.
Multiplicas cada término por el mcm encontrado:
 2
 5
 7
 3
30 x   − 30 x   = 30 x   − 30 x   + 30 x (1)
x
 10 
 2x 
 3x 
60 x 150 x
−
3x
x
20 – 150
– 130
– 51x
210 x 90 x
−
+ 30x Efectúas las operaciones y simplificas.
2x
10
= 21x – 45 + 30x
Reduces términos semejantes.
= 51x – 45
= − 45 + 130
85
x=
Aplicas ley de signos para el cociente.
−51
85
Simplificas el resultado dividiendo entre 17.
x =−
51
5
x =−
3
Ahora en tu cuaderno verifica si satisface la ecuación original.
=
Ejemplo 3
Una llave puede llenar un tanque de agua en 4 minutos y otra la puede llenar en 5
minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si se abren ambas llaves?
Solución:
1
x: Es el número de minutos que tardan ambas llaves en llenar el tanque. del tanque
x
es lo que llenarían ambas llaves.
1
La primera llave en 4 minutos llenaría del tanque. La segunda llave en 5 minutos
4
1
llenaría del tanque.
5
1 1 1
Entonces tienes + =
4 5 x
Encuentras el mcm de los denominadores, en este caso es 20x
Multiplicas cada término por el mcm:
 1
1
1
20x   + 20x   = 20x   Efectúas las operaciones indicadas y simplificas.
x
 4
 5
20 x
20 x 20 x
+
=
5
x
4
5x + 4x = 20
Reduces términos semejantes
9x = 20
20
x=
9
20
Ambas llaves llenarían el tanque en
minutos, aproximadamente en 2.2 minutos.
9
Octavo Grado - Matemática 91
UNIDAD 5
Ecuaciones fraccionarias de primer grado
con denominadores compuestos
Ejemplo 4
Resuelve:
Solución:
2 3
=1
+
3x 2x
Ejemplo 5
Encuentras el mcm de 3x, 2x, en este caso es 6x.
Multiplicas cada término por el mcm encontrado y
simplificas:
3
2
+ (6x)
= (6x)1
(6x)
2x
3x
12 x 18 x
+
= 6x
3x 2x
4 + 9 = 6x
1
13 = 6x
13
13
=x ó x=
6
6
Actividad
Resuelve las siguientes ecuaciones:
6 12 144
a) −
+
=4
n 2n 3n
1 1
5
7
+ 2=
b) +
x 2x 3x 3x
65
7
1
5
= 3− 2+ 2
c)
2
8y
y 8y 4y
3 5 6
d) + 2 =
x x
x
e) Juan puede hacer un trabajo en 4 horas, mientras que pedro
puede hacer el mismo trabajo en 3 horas. ¿Cuánto tiempo
se tardan en hacer el trabajo si lo hacen juntos?
92 Matemática- Octavo Grado
1
3
3
=
+ 2
a +1 a − 2 a − a − 2
¿Qué diferencias encuentras con los ejemplos
anteriores?
Resuelve:
Solución:
Estas ecuaciones poseen como denominador,
polinomios.
Al igual que en los ejemplos anteriores encuentras el
mcm de denominadores aplicando la factorización de
polinomios.
a+1
Está completamente factorizado.
a−2
Está completamente factorizado.
a2 – a – 2
Es un trinomio de la forma x2 + bx + c
a2 – a – 2 = (a − 2) (a + 1); luego el mcm es (a + 1) (a − 2)
UNIDAD 5
Escribes la ecuación con sus denominadores factorizados.
1
3
3
=
+
a +1 a − 2 ( a − 2 )( a +1)
Multiplicas cada término por el mcm y simplificas:
1
3
3
( a − 2 )( a + 1)
= ( a − 2 )( a + 1)
+ ( a − 2 )( a + 1)
a +1
a −2
( a − 2 )( a +1)
(a − 2)(1) = (a + 1)(3) + 3 Efectúas los productos indicados.
a – 2 = 3a + 3 + 3
a – 3a = 6 + 2
Reduces los términos semejantes
– 2a = 8
8
a=
−2
a=–4
El conjunto solución de:
1
3
3
es – 4
=
+ 2
a +1 a − 2 a − a − 2
Ejemplo 6
Resuelve:
Solución:
1
3
5
+ 2
=
2x − 3 2x − 3x x
1
3
5
+ 2
= 2x − 3 2x − 3x x
2x – 3
2x2 – 3x = x (2x – 3)
x
Encuentras el mcm de los denominadores.
Está completamente factorizado.
Aplicas factor común.
Está completamente factorizado.
El mcm es x (2x − 3). Escribes la ecuación con los denominadores
factorizados.
Multiplicas cada término de la ecuación por el mcm y simplificas:
x (2 x − 3)
1
3
5
+ x (2 x − 3)
= x (2 x − 3)
2x − 3
x (2 x − 3)
x
x (1) + (3) = (2x – 3)( 5 ) Resuelves los productos indicados.
x + 3 = 10x – 15
Transpones términos.
x – 10x = – 15 – 3
Reduces términos semejantes.
– 9x = – 18
−18
x=
−9
x = 2.
Octavo Grado - Matemática 93
UNIDAD 5
Ejemplo 7
10 n 2 − 5n + 8
=2
5n 2 + 9n − 19
En este caso puedes despejar el denominador de la fracción.
Resuelve:
10n2 – 5n + 8 = 2(5n2 + 9n – 19) El denominador del primer miembro pasa a multiplicar al segundo miembro.
10n2 – 5n + 8 = 10n2 + 18n – 38
10n2 − 10n2 − 5n − 18n = − 38 − 8
− 23n = − 46
−46
n=
−23
n=2
2
Transpones términos.
Reduces términos semejantes.
Simplificas la fracción.
Actividad
Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias:
x −3 x − 4
=
x +1 x − 2
y + 4 2 y +3
b) 2
+
= 2 y −1 y −1
5
1
c) 2
=
x −1 x −1
a)
2
3
6
−
= 2
x − 1 x + 3 x + 2x − 3
1
1
10
e)
+
= 2
x +3 x −3 x −9
3
5
6
f)
−
= 2
x − 2 x + 4 x + 2x − 8
d)
Gráfica de una ecuación lineal
Recordarás que las ecuaciones de primer grado también
se les llama ecuaciones lineales, y son aquellas en las
que la variable está elevada al exponente 1, además su
conjunto solución es solamente una raíz.
Para representar a una ecuación lineal en el plano
cartesiano basta conocer solamente dos puntos, ya que
éstos son suficientes para trazar una línea recta.
Ejemplo 8
Estas ecuaciones se pueden representar en el plano
cartesiano por medio de una línea recta. Y se expresan
de la forma y = ax + b.
¿Cómo será la gráfica de la ecuación 2x = 4 + y?
Por ejemplo:
¿Cómo la encuentras?
a) 4x + 5 = 2,
Despejas de la ecuación a y, así y = 2x – 4
b) 5x + 2 = 2x + 4
Luego asignas valores a “x” para obtener los
correspondientes valores de “y”, los puedes colocar en
una tabla.
realizas transposición de términos e igualas a y
y = 4x + 5 – 2, es decir y = 4x + 3
haces la transposición de términos e igualas a y
y = 5x + 2 – 2x – 4, entonces y = 3x – 2
94 Matemática- Octavo Grado
Solución:
UNIDAD 5
Para x = 1
y = 2x – 4
y = 2(1) – 4
y = 2 – 4
y = – 2
x
y
Para x = 2
y = 2x – 4
y = 2(2) – 4
y = 4 – 4
y = 0
1
−2
2
0
Para x = 3
y = 2x – 4
y = 2(3) – 4
y = 6 – 4
y = 2
3
2
Para x = 4
y = 2x – 4
y = 2(4) – 4
y = 8 – 4
y=4
4
4
Para x = 0
y = 2(0)− 4
y=0−4
y=−4
y
4
0
−4
2
Ahora representa estos puntos en el plano cartesiano y
únelos entre sí por medio de una línea recta y obtienes
así la gráfica correspondiente a la ecuación 2x = 4.
0
-2
1 2 34 x
-4
Ejemplo 9
Construye la gráfica de la ecuación y = x + 3
Solución:
Asignas valores a “x” para obtener los correspondientes valores de “y”, los puedes
colocar en una tabla:
Para x = – 1
y = – 1 + 3
y = 2
x
y
para x = 0
y = 0 + 3
y = 3
−1
2
para x = 1
y = 1 + 3
y = 4
0
3
1
4
para x = 2
y=2+3
y=5
2
5
Ahora representa estos puntos en el plano cartesiano
y los unes por medio de una línea recta y obtienes la
gráfica correspondiente a la ecuación y = x + 3
y
5
4
3
2
1
-1
1 2 3 4
x
Resumen
Actividad
3
Graficar las siguientes ecuaciones de primer grado o lineales:
a) y = 3 – 2x
c) y = 3x + 1
b) y = 1 + 2x
d) y = x – 3
Una ecuación fraccionaria es una ecuación que involucra
un cociente de expresiones algebraicas.
Para resolver ecuaciones fraccionarias, primero
encuentras el mínimo común múltiplo de los
denominadores, luego este valor encontrado lo
multiplicas por cada término de la ecuación, simplificas
y obtienes una ecuación entera y la resuelves.
Octavo Grado - Matemática 95
UNIDAD 5
Autocomprobación
3
La raíz de la ecuación:
5
3
6
es:
+
= 2
x + 3 x − 1 x + 2x − 3
3
a) − c) x = 1
4
1
1
b) − d)
4
4
Al resolver
4
7 5 4 2
obtienes:
+ = −
x2 x x x2
a)
x = – 9
c)
x=–4
b)
x = 6
d)
x=1
3 b.
3
5
1
2x 7 x 3x
− = c) x − x = x
4
8
2
5
2
4
8x 2 − 5x + 2 3 + x
6 4
5
d)
b)
=
+
=
x 7x x
15
4
a)
x x
es:
3 6
3
c)
2
4
d)
3
2
3
El valor de la variable en = +
3
4
1
b) x = 2
a)
x=
2 a.
2
Un ejemplo de ecuación fraccionaria es:
1 d.
Soluciones
1
4 d.
OTRA CLASE DE ECUACIONES
Un contemporáneo de Descartes, el también
francés Pierre de Fermat, interesado en la
representación gráfica de las soluciones de las
ecuaciones, trabajó en su libro Introducción
a los lugares geométricos planos y sólidos lo
relacionado con el tema. Concentró su atención
en la representación de la ecuación lineal y
eligió un sistema de coordenadas arbitrario para
graficarlas. En primer lugar trabajó la ecuación
de la forma Dx = By, cuya gráfica es una recta
que pasa por el origen de coordenadas, como
una semirrecta con origen en el origen de
las coordenadas, ya que Fermat, al igual que
Descartes, no utilizaban abscisas negativas.
Pierre de Fermat
96 Matemática- Octavo Grado
Solucionario
Actividad 1
Actividad 2
a) variable continua
c) variable discreta
b) variable continua
d) variable discreta
a) Prueba de admisión, 60 estudiantes.
Puntajes
42-49
50-57
58-65
66-73
74-81
82-89
90-97
Total
Actividad 2
a) primaria
d) secundaria
b) secundaria
e) secundaria
c) primaria
f) primaria
Actividad 3
hijos/hijas
Recuento
0
1
2
3
4
5
6
Total
IIII
IIII IIII
IIII IIII
IIII III
IIII
III
II
No. de familias
(frecuencia )
4
9
10
8
4
3
2
40
b) La mayoría de familias tienen dos hijos/hijas.
Pesos
118 – 123
124 – 129
130 – 135
136 – 141
142 – 147
148 – 153
154 − 159
Total
f
1
10
8
4
9
4
4
40
fr
0.025
0.25
0.2
0.1
0.225
0.1
0.1
1.00
fa
1
11
19
23
32
36
40
a)
10
8
6
4
2
Actividad 1
Pm
113.5
121.5
129.5
137.5
145.5
153.5
161.5
17.5
21.5
25.5
29.5
33.5
41.5
a)
Límites reales
99.5 – 117.5
117.5 – 125.5
125.5 – 133.5
133.5 – 141.5
141.5 – 149.5
149.5 – 157.5
157.5 – 165.5
fa
2
10
19
34
41
52
60
b) Pesos en libras, de 40 estudiantes
Lección 2
f
6
8
9
7
6
5
9
50
fr
0.033333
0.133333
0.15
0.25
0.116667
0.183333
0.133333
Actividad 3
a) Sólo dos familias tiene seis hijos/hijas.
Clases
110 – 117
118 – 125
126 – 133
134 – 141
142 – 149
150 – 157
158 – 165
Total
f
2
8
9
15
7
11
8
60
b)
18
15
12
9
6
3
50
58
66
74
82
90
50 57 65 73 81 89 97
Octavo Grado - Matemática 97
- 57
- 65
- 73 1
- 81 1
- 89
- 97
Solucionario
Actividad 4
a)
b)
X = 67.8 b)
X =138.2
1
e) 2x = 1 x 2
Actividad 1
c) Grado 4 e) Grado 2
b) Grado 1
d) Grado 1
f) Grado 5
Actividad 2
a) x = 2
6
c)
f) l=
Lección 4
a) Grado 3 b) x =
3
= 50
e) x =
d) x = –1
f) x = 10
5
a) x = 3
b) x =
5
7
Actividad 2
5
6
La tercera parte de un
número
Un número aumentado en
su tercera parte
Un número aumentado en
dos es 150
La cuarta parte de un
numero disminuido en su
mitad
98 Matemática- Octavo Grado
c) x = −
3
7
Actividad 3
Lección 5
2
Actividad 1
x
3
x + 2 = 150
x x
4 2
e) x = − 4
f )x=
x=
a) n = 12
3
x+
n=−
b) x = 2
1
3
g) x = − 4
h) x = − 1
a) largo 24 cm y ancho 12 cm
c) 35 estudiantes
x
x
5
g) l2 + 39 cm 2 = (l + 3)2
p
3
14
e) x = − 2
7
f) x =
4
d)
b) x = 1
a)
Lenguaje algebraico
x
2x
x+
x−
2
34
23
13
d) x =
2
c)
a) x = 3
Actividad 3
Un número
El doble de un número
Un número que aumentado
Un número que disminuido
La mitad de un número
5+ x
=
Actividad 1
12
c) x = 3
Lenguaje común
3+ x
d) manzana + pera + naranja = 1lb de uvas
Lección 3
1
x
b) 9
d) $1.20
c) y = 1
d) x =
e) Tardarian 1.71 hrs.
5
3
Actividad 2
a) x = 5
c) x = 4
e) x = 5
b)
d) x = 3
f) x = 8
3
y =− 2
Solucionario
Actividad 3
a)
c)
y
y
3
3
2
2
1
1
-2 -1
0
-1
1
3
2
2
3 4
1
2
x
1
2
x
2
3
-2
b)
d)
y
y
2
1
(0.1)
1
3
-2
x
-1
-1
1
4 x
-2
-3
-4
Proyecto
Teresa es una señora que tiene una venta de cereales en el mercado. Ella tiene cierta
cantidad de frijoles en su negocio. El lunes en la mañana llegó un proveedor a ofrecerle
frijoles y ella le compró otra cantidad igual a la que ya tenía. En el transcurso del día
vendió la mitad de los frijoles que compró por la mañana. El martes vendió la tercera
parte de dicha cantidad, el miércoles la cuarta parte, el jueves la sexta parte, el viernes la
octava parte y el sábado vendió la doceava parte. Además ella tomó dos libras para su
consumo. Si todavía le quedan 50 libras para la venta, ¿Cuál era la cantidad original de
libras de frijoles que tenía al principio en su negocio?
Octavo Grado - Matemática 99
Recursos
Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. . Talleres Gráficos UCA,
San Salvador, El Salvador, 2007, 219p
Ángel Allen R., Álgebra elemental. Editorial Prentice Hall, 4ª Edición,
México 1997, 600p.
Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial
Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p.
Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra,
Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.
Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial
McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p
Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA
Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p.
Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición.
México 1991, 626p.
Internet
Enciclopedia libre Wikipedia: Estadística
es.wikipedia.org/wiki/Estadística marzo 2008
ponce.inter.edu/cai/reserva/lvera/CONCEPTOS_BASICOS
100 Matemática- Octavo Grado
UNIDAD 5
COLOFON
Octavo Grado - Matemática 101
UNIDAD 5
102 Matemática- Octavo Grado