Axiomática ZERMELO

Axiomática ZERMELO - FRAENKEL (ZFC)
Los 7 primeros axiomas fueron propuestos por Zermelo en 1.908.
Axioma 1 (de extensión)
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si sus elementos coinciden. Es decir,
A = B w (¼x : x c A w x c B)
Axioma - esquema 2 (de especificación)
Dado un conjunto A y una fórmula proposicional f(x), existe un conjunto B cuyos elementos
son aquellos de A que verifican f(x). Es decir, ½B : x c B w x c A . f(x)
Axioma 3 (de apareamiento)
Dados dos conjuntos A y B, existe un conjunto C al que pertenecen A y B. Es decir,
¼A, B : ½C : A, B c C
Axioma 4 (de la unión)
Dada una colección de conjuntos A, existe un conjunto formado por todos los elementos
que pertenecen a los conjuntos que pertenecen a A. Es decir,
¼A : ½B :(x c B w ½y c A :x c y)
Axioma 5 (del conjunto de partes)
Dado un conjunto A, existe un conjunto formado por los subconjuntos de A. Es decir,
¼A : ½B :(x c B w x _ A)
Axioma 6 (del infinito)
Existe un conjunto z que contiene al 0 y que para todo x que le pertenezca, contiene a su
sucesor. Es decir, ½z : Û c z . (¼x c z : x 4 {x} c z)
Axioma 7 (de elección)
Dada un colección de conjuntos A, existe una función de elección en A que asigna a cada
elemento no vacio x de A, un elemento y que pertenece a x. Es decir,
¼A : ½f :¼x c A : x ! Û u f(x) c x
Axioma -esquema 8 (de sustitución). Introducido por Fraenkel en 1.922.
Si f(x,y) es una fórmula proposicional tal que para cada x, existe un único y que verifique
f(x,y), entonces para todo conjunto A existe un conjunto B, tal que y pertenece a B si y sólo si
existe x en A tal que f(x,y). Es decir,
(¼x, y, z :F(x, y) . F(x, z) u y = z) u (¼A : ½B : y c B w (½x c A . F(x, y)))
Axioma 9 (de regularidad). Posterior a Zermelo y Fraenkel.
Dado un conjunto A no vacio, existe un elemento x del conjunto A que es disjunto con el
propio A. Es decir, ¼A : x ! Û u ½x c A : A 3 x = Û