Función y Función Lineal

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología
Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013
Prof. María Elena Ruiz
Apunte Teórico
Funciones y Función lineal
Analicemos los siguientes ejemplos:
1) El gráfico que figura más abajo muestra la evolución de la presión arterial de un paciente con el
correr de las horas, desde que fue internado:
2) La siguiente tabla representa la variación del área de un cuadrado en función de la medida del
lado:
Área del cuadrado ( cm2)
4
12,25
16
27,04
30
Medida del lado ( cm)
2
3,5
4
5,2
30
3) En una finca, la producción de arroz se calcula mediante la fórmula:
, que
permite obtener la producción P en toneladas, en función de la densidad x expresada en cantidad
de plantas sembradas por m2 .
Estos tres ejemplos, muestran una relación entre dos magnitudes. El valor que adopta una de ellas
depende del valor asignado a la otra. Así, en el 1° ejemplo el valor de la presión arterial depende de
la hora a la que se tome la presión, en el 2° ejemplo el valor del área del cuadrado depende de la
medida del lado de dicho cuadrado y en el 3° ejemplo la producción de arroz, depende de la cantidad
de plantas sembradas por m2. Por esta razón, decimos que hay una relación de dependencia entre
dos variables, una variable que es la dependiente, la simbolizamos con la letra y, otra variable que es
la independiente y la simbolizamos con la letra x.
La noción de correspondencia y la necesidad de establecer relaciones y dependencias se presenta con
frecuencia en nuestro quehacer diario, por ejemplo: el costo de un estacionamiento depende del
tiempo que el auto está estacionado, el aumento de peso de un animal depende de la ración de
comida consumida, el área de un cuadrado depende de la longitud de su lado, etc.
Las funciones pueden utilizarse para modelizar problemas del mundo real. Así, por ejemplo, un
biólogo se interesa por el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo y a
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un químico le interesa la relación entre la velocidad inicial de una reacción química y la cantidad de
sustrato utilizado. La pregunta que se hacen es ¿Cómo depende una cantidad de otra? Para ello un
modelo matemático, que se crea a partir de la búsqueda de regularidades presentes en una situación,
es el que permite aplicar reglas y procedimientos matemáticos y es aquí donde las funciones
adquieren un rol muy importante.
Para que una relación entre dos variables numéricas pueda ser considerada una función, es necesario
que a cada valor de la variable independiente le corresponda un único valor de la variable
dependiente. Lo simbolizamos y = f(x), lo que indica que el valor y es obtenido a partir del valor x
mediante la aplicación de la función f. En símbolos:
Decimos que f es una función de un conjunto A en otro conjunto B, y escribimos f : A  B , si y
sólo si para todo x en A existe un único valor y en B tal que y = f(x).
Esta definición de función, expresa que la relación entre A y B satisface las condiciones de:
 existencia: cuando explicita que cada valor de A le corresponde un valor de B
 unicidad: cuando indica que el valor que le corresponde es único, un solo valor.
Consideremos una función f : A  B . Diremos que:
 el conjunto A de los valores a los cuales está permitido aplicar f es el dominio de la función; en
símbolos: A = Dom( f ).

el conjunto B es el codominio de la función; en símbolos B = Cod( f ).
En general, vamos a trabajar con funciones f : A  B donde A y B (dominio y codominio) son
conjuntos numéricos.
Cuando se da una expresión de una función, como por ejemplo f ( x)  x 2 , y no se dice cuál es el
dominio de f, se entiende que el dominio de f es el mayor conjunto numérico donde tenga
sentido la expresión de la función. En este ejemplo, el dominio de f es el conjunto R de los
números reales, porque a todos los números reales se los puede elevar al cuadrado.
Pero si consideramos la función f ( x)  x , para hallar el dominio tenemos que preguntarnos: ¿a
qué números le podemos aplicar la expresión de f ?
En este caso, la pregunta es ¿a qué números les podemos calcular la raíz cuadrada? Sabemos que
éstos son los números mayores o iguales a 0. Por lo tanto, decimos que el dominio de f son los
números mayores o iguales a 0. En símbolos: Dom( f )  [0,  )
Representación gráfica de una función
Las funciones se pueden representar mediante una gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas,
sobre unos ejes llamados ejes coordenados. Al eje horizontal se lo suele llamar eje x o eje de abscisas;
sobre él se sitúa la variable independiente. Al eje vertical se lo suele llamar eje y o eje de ordenadas; sobre
él se sitúa la variable dependiente. Para situar las variables sobre los ejes, hay que dar una escala en
cada uno de ellos.
Si P es un punto del plano, trazando por P la paralela al eje y, obtenemos un punto x0 sobre el eje x
al que llamamos abscisa de P. Trazando por P la paralela al eje x, obtenemos un punto y0 sobre el eje y
al que llamamos ordenada de P. Diremos que x0 e y0 son las coordenadas de P y escribiremos
P = (x0, y0). Gráficamente:
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y
P=(x0, y0)
y0
x0
x
f
y
donde f(x)= y
f(x)
●
(x, y)
x
x
Definición: Se llama “gráfica de f ” al conjunto de puntos (x, y) del plano donde x pertenece al
dominio de la función e y = f(x).
De modo que dada una función, hay una gráfica en el plano que la representa. Ahora, nos
preguntamos si toda gráfica del plano representa a una función. Por ejemplo:
Aquí, x se relaciona con dos
valores, a y b, de manera que hay un
valor de x que tiene dos imágenes,
por lo tanto no se verifica la unicidad
de la definición de función. Es
decir, esta curva no representa una
función.
y
b
.
(x, b)
a
.
(x, a)
x
x
Una curva en el plano es la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical interseca a la
curva más de una vez.
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Crecimiento y decrecimiento de funciones
Definición: Sea f: A R, diremos que f es una función creciente en el intervalo abierto I  A si
para todo x1 , x2  I se cumple que si x1 < x2, entonces f (x1 ) < f (x2).
Gráficamente:
y
f(x2)
x1
x2
x
f(x1)
Definición: Sea f: A R, diremos que f es una función decreciente en el intervalo abierto I  A si
 x1 , x2  I se cumple que si x1 < x2, entonces f(x1 ) > f(x2).
Gráficamente
y
f(x1)
f(x2)
x1
x2
x
Puede suceder que una función no sea siempre creciente o decreciente. Es muy frecuente que una
función sea creciente o decreciente en un cierto intervalo y, luego, cambie de comportamiento, por
ejemplo:
y
a
x
En (-, a) la función es creciente y en (a, +) la función es
decreciente.
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FUNCIÓN LINEAL
Definición: una función lineal es una función f : R → R de la forma f(x)=ax+b con a∊R y b∊R
Gráficamente, se representa mediante una recta del plano.
y
x
Dada la ecuación de una recta y = ax + b, el coeficiente a es la pendiente de dicha recta.
Consideremos la recta y = 2x + 1 y sean los siguientes pares de puntos, pertenecientes a dicha recta:
(1, 3) y (2, 5)
(0, 1) y (–1, –1)
(–8, –15) y (6, 13)
Si efectuamos el cociente entre la diferencia de las segundas componentes y la diferencia de las
primeras componentes de los pares de puntos dados, vemos que obtenemos una constante, en este
caso 2:
53
1  1
13  (15)
 2;
 2;
2
2 1
1  0
6  (8)
Observemos que, dada una recta no vertical (no paralela al eje y), ésta tiene la propiedad de que
y  y
a
cualesquiera sean los puntos P = (x, y) y P’ = (x’, y’) pertenecientes a la recta, el cociente
x  x
no cambia, o sea, es constante. Llamaremos a dicha constante a la pendiente de la recta.
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Analicemos el siguiente gráfico:
y
Q  ( x1 , y1 )
y1
y0
P  ( x0 , y 0 )
x0
x1
x
Consideremos los puntos marcados en el gráfico: P = (x0, y0) y Q = (x1, y1), la pendiente de dicha
y y
recta está dada por a  1 0 .
x1  x0
Ordenada al origen de una recta: Si consideramos la ecuación genérica de una recta: y = ax + b, y
calculamos el valor de y para x = 0, obtenemos y = a.0 + b = b. Por lo tanto, el punto (0, b)
pertenece a la recta.
Gráficamente, (0, b) es la intersección de la recta con el eje y. Por esta razón, a b se lo denomina
ordenada al origen.
Ejemplo: El gráfico de la función y = -2 x +3 es
y
3
1
x
y= -2x+3
Veamos los siguientes casos particulares de rectas:
 Si a = 0, resulta y = b, que es una recta paralela al eje x (función constante).
 Si b = 0 la recta y = a x pasa por el origen de coordenadas.
Son las llamadas Funciones de proporcionalidad directa:
y
 a es la relación entre x e y, que es constante,
x
es decir x e y son proporcionales y "a" es la constante de proporcionalidad.
En ellas se observa que si y = a x, entonces,
 La ecuación x = a (no es función) representa una recta vertical.
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Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Dadas dos rectas paralelas, como se puede ver en el siguiente gráfico:
y
y = ax+ b
y = a’ x+ b’
x
podemos observar que las mismas tienen igual inclinación, es decir tienen la misma pendiente.
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
En el caso de rectas perpendiculares como las que se observan en el siguiente gráfico:
y
y = ax + b
y = a’ x + b’
x
No es tan fácil encontrar una relación entre sus pendientes. Sin embargo, se puede demostrar que
1
para que sean perpendiculares se debe cumplir la siguiente relación entre sus pendientes: a 
.
a
Dos rectas con pendiente distinta de 0 son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una es la
inversa de la otra cambiada de signo.
Intersección de una recta con los ejes coordenados:
Dada la recta y = ax + b, si queremos hallar la intersección de ésta con el eje y debemos darle a x el
valor 0 (porque los puntos del eje y tienen abscisa igual a 0). Haciendo esto resulta:
y = a.0 + b = b.
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Luego el punto de intersección está dado por P = (0, b).
Dada la recta y = ax + b, si queremos hallar la intersección de ésta con el eje x debemos darle a y el
valor 0 (porque los puntos del eje x tienen ordenada igual a 0). Haciendo esto resulta:
b
a
 b 
Luego, el punto de intersección con el eje x es  , 0  .
 a 
b
Al número
se lo conoce como raíz de la recta.
a
0  ax  b  ax  b  x  
Ejemplo: En el caso de la recta y = -2x + 3
 Para hallar la intersección con el eje y, hacemos x =0, luego y = -2.0 + 3, entonces y = 3.
Luego, el punto de intersección es P = (0, 3).
3
 Para hallar la intersección con el eje x, hacemos y =0, luego 0 = -2.x + 3, entonces x  .
2
3

Luego, el punto de intersección es P   , 0  .
2

y
(0,3)
●
●
(3/2, 0)
x
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