106 cineconfdef - ETSI Caminos Canales y Puertos

Cine y matemáticas
Caro Carretero, Raquel c ([email protected])
López González, María Dolores b ([email protected])
Rodrigo Hitos, Javier c ([email protected])
b
Departamento de Matemática Aplicada de la E.T.S.I. Caminos
c
b
Departamento de Matemática Aplicada. E.T.S.I.
Universidad Politécnica de Madrid, c Universidad Pontificia Comillas
RESUMEN
En este trabajo comentamos una de las actividades llevadas a cabo
en el presente curso académico por el grupo de investigación “Matemática
Aplicada a la Ingeniería Civil” (MAIC): Las Matemáticas y el Cine. Nuestra
intención con esta actividad ha sido que los estudiantes no perciban las
matemáticas como un tema exclusivamente académico, sino que la vean
como una componente más de su vida diaria. Hemos intentado también que
integren su conocimiento matemático de una forma natural en diferentes
actividades, como pueden ser el análisis de algunas series y películas.
Palabras claves:
Metodologías de enseñanza; Didáctica de las matemáticas;
Innovación en Educación; Actividades grupales; Ciencia y cine.
ABSTRACT
In this paper we comment one of the activities carried out by the
Research Group “Matemática Aplicada a la Ingeniería Civil” (MAIC):
Mathematics through Cartoons. Our intention has been that the students
perceive the mathematics as a component of our environment and of our
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culture, not exclusively an academic issue. We have also tried that they
integrate their mathematical knowledge naturally in different activities.
Keywords
Teaching Methodologies, Didactics of the mathematics, Innovation in Education,
Group Activities, Science and cinema.
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Cine y matemáticas
1. INTRODUCCIÓN
Existe una conciencia generalizada entre los profesores de matemáticas a todos
los niveles, de la importancia de la motivación de los alumnos hacia los contenidos
matemáticos. Es sabido que la actividad matemática no resulta una realidad de abordaje
sencillo. Hoy en día, la preocupación general que se observa, por las carencias en la
formación matemática, conduce a la búsqueda de la motivación del alumno desde un
punto de vista amplio.
Existen muchas maneras de realizar el acercamiento a las matemáticas y con ello
conseguir la motivación del alumnado. Puede hacerse a través del intento directo de un
modelado de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras
matemáticas en cuestión. Se pueden acudir para ello a las otras ciencias que hacen uso de
las matemáticas, a circunstancias de la realidad cotidiana o bien a la presentación de
juegos tratables matemáticamente.
En este trabajo presentamos una de nuestras propuestas para lograr los objetivos
anteriormente comentados: motivar a nuestros alumnos hacia los temas matemáticos y
presentar esta ciencia en una versión cercana y social. La propuesta, llevada a cabo en el
curso académico 2008/09 a nivel universitario, se titula “Las Matemáticas y el Cine”. En
la siguiente sección se comenta cómo se desarrolló la actividad.
2. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Acudir al visionado de una película realizada para el público general suele ser una
actividad llamativa para la mayoría de los alumnos. Algo que se incrementa si se trata de
una serie o corto de dibujos animados que él conoce y al que en principio, se le va a dar
un significado diferente al acostumbrado. Por ello, la propuesta de aunar en una misma
actividad cine y matemáticas hace que el alumno tenga una percepción más positiva de
los contenidos matemáticos.
La metodología a seguir para la preparación de la actividad fue:
•
Localizar películas en las que las matemáticas sean algo más que una
mera anécdota. Este trabajo llevó a seleccionar entre otros, ciertos capítulos de “Los
Simpson”.
•
Proponer la participación en la actividad a un grupo de alumnos.
•
Visionar cada una de las películas. A razón de una al mes.
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•
Antes de la proyección de cada película se hace una pequeña exposición
de los conceptos matemáticos que van a aparecer en ella. Al término, se lleva a cabo una
mesa redonda donde se discuten los conceptos matemáticos tratados, el rigor con el que
han sido expuestos y la opinión que se tiene sobre el film. En algunas de las películas se
hizo incluso alguna pequeña interrupción en medio de la proyección para comentar
alguno de los acertijos matemáticos contenidos en el film.
Las películas y episodios de series que formaron parte de la actividad fueron:
-Donald en el país de las Matemáticas y Episodio “Homer al cubo” de los
Simpson (presentación de las Jornadas)
-La habitación de Fermat.
-Una mente maravillosa.
-Moëbius.
-Cube.
A continuación se comentan dos de estas proyecciones, analizándose el trabajo de
preparación que se realizó para ellas.
2.1. Homer al cubo
Los episodios Treehouse of horror (la casa del terror en la versión española) son
episodios especiales de los Simpson con motivo de la noche de Halloween. La versión
sexta corresponde al año 1997, séptima temporada (los especiales de Halloween
empezaron en la segunda temporada). Esta versión y las anteriores se caracterizan por
estar segmentadas en pequeños capítulos.
Debido a la fiesta que conmemoran, estos capítulos suelen ser cortos de terror y
algunos de ellos tienen referencias a la ciencia ficción, con lo que surgen algunos temas
correspondientes a la Física, como el de los agujeros negros.
Este es el caso de Homer3, donde hay muchas componentes físicas de juegos
entre dimensiones y además velados homenajes a ecuaciones clásicas de las Matemáticas.
El argumento del capítulo es el siguiente: Homer, huyendo de sus cuñadas, trata
de esconderse y, haciéndolo detrás de un armario, encuentra una especie de puerta hacia
otra dimensión. Entra así en la tercera dimensión (la broma central del capítulo es que los
personajes de los Simpson son bidimensionales, al estar en la pantalla, por lo que para
ellos la tercera dimensión tiene un efecto de novedad como la cuarta dimensión para
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nosotros). Primero entra en un mallado 3D parecido al de la película Tron, de la que se
habla con ironía en el capítulo, para terminar aterrizando en nuestra realidad.
En el decorado, estilo película de ciencia ficción de los 80 en que Homer entra al
principio (Figura 1), aparecen fugazmente algunas ecuaciones matemáticas que
comentamos a continuación. Así mismo se hacen ciertas alusiones a conceptos científicos
que nos sirven para introducir a los alumnos en ellos:
A.
P=NP
Esta ecuación alude a un problema abierto en el área de la Ingeniería Informática.
Trata del número de operaciones que tiene que realizar un ordenador para resolver un
problema, cuando el computador tiene implementado un procedimiento para resolverlo:
El conjunto P que aparece en la ecuación es la clase de problemas que el
ordenador puede resolver realizando un número de operaciones polinomial, es decir, no
empleando demasiado tiempo, siendo el conjunto NP la clase de problemas para los que
el ordenador puede comprobar una solución (no hallarla, sino comprobar una dada), no
empleando demasiado tiempo. La ecuación entonces conjetura que esos conjuntos de
problemas son el mismo, es decir que todo problema para el que se pueda comprobar una
solución en tiempo razonable, se debería poder resolver en un tiempo razonable.
Aunque hay muchos científicos a la búsqueda de una solución para este problema
(hay incluso una recompensa económica para el que lo consiga), todavía no se ha
conseguido probar ó refutar esta conjetura.
Aportaciones didácticas de este contenido:
Con este enunciado, aparecido de soslayo en el capítulo, puede introducirse a los
alumnos entre otros en:
•
El concepto de un problema abierto en la ciencia.
•
Temas relativos a la computación, a la construcción de algoritmos o a la
complejidad de los procesos computacionales
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Figura 1: Escena del capítulo Homer3 con contenidos matemáticos
B.
e π i = −1
Esta ecuación, ó su expresión equivalente e π i + 1 = 0 es considerada por muchos
como la ecuación más bella de las matemáticas, ya que relaciona dos números
irracionales distinguidos como e, π (la base del logaritmo neperiano y la razón entre la
longitud de una circunferencia y su diámetro, respectivamente), el número i (la unidad
imaginaria: i =
− 1 ), y las unidades aditiva y multiplicativa: 0 y 1. Los relaciona
además utilizando dos operaciones básicas: +, =. En ella se aúnan conceptos de la
aritmética, el cálculo, la trigonometría, el análisis complejo y los números.
Esta identidad fue demostrada por Euler utilizando desarrollos en series de
potencias, luego no es una conjetura como la anterior, es una ecuación cierta.
Aportaciones didácticas de este contenido. Con este enunciado puede introducirse
a los alumnos entre otros en:
•
El concepto de número irracional.
•
Matemáticos relevantes como Euler.
•
Unidad imaginaria, números complejos. Tema éste cada vez menos
tratado en la enseñanza secundaria, lo que representa un vacío conceptual para los
alumnos de las escuelas técnicas cuando se enfrentan a las asignaturas técnicas y
matemáticas de la carrera.
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C.
178212 + 184112 = 192212
Esta identidad es en cambio errónea, aunque la calculadora la da por correcta
debido a los errores de truncamiento (ésta es otra de las bromas ocultas en el episodio).
No puede ser correcta porque contradeciría el teorema de Fermat, que dice que la
ecuación x n + y n = z n no tiene soluciones enteras no nulas ( x, y , z ) si n > 2 (para
n = 2 la ecuación sí tiene soluciones enteras no nulas, las conocidas como ternas
pitagóricas).
Este enunciado fue conjeturado por Pierre de Fermat, matemático y abogado del
siglo XVII. A pesar de que decía tener una prueba sencilla de la afirmación, nunca la
publicó, por lo que se cree que nunca existió esa prueba sencilla. De hecho no se llegó a
demostrar la conjetura hasta finales del siglo XX, a pesar de que en su día también hubo
una recompensa económica para el que consiguiera demostrarla. En concreto fue el
matemático británico Andrew Wiles el que dio una demostración de la conjetura en 1995,
completando una demostración parcial que él mismo publicó en 1993. Esta prueba no es,
en absoluto, sencilla y breve, como la que afirmaba poseer Fermat. Es en cualquier caso
correcta, por lo que la conjetura es ya un teorema, y entonces no es posible la identidad
del episodio. Este “contraejemplo” fue obtenido con un programa escrito por el propio
David Cohen, guionista de la serie.
Aportaciones didácticas de este contenido. Con este enunciado, puede
introducirse a los alumnos entre otros en:
•
El Teorema de Fermat. Historia de las matemáticas.
•
Idea de contraejemplo y demostración de un resultado.
•
El concepto de truncamiento y redondeo y los problemas de usar las
herramientas de cálculo (calculadoras, programas,...) sin interpretar sus resultados.
En este ejemplo presentado en el capítulo el problema es el siguiente:
178212+184112=2541210258614589176288669958142428526657
192212=2541210259314801410819278649643651567616
Como puede observarse, las dos cantidades coinciden en las nueve primeras
cifras. Si se redondea con ese número de cifras de precisión las cantidades parecen
iguales. Hacer hincapié en este tipo de problemas resulta altamente didáctico para
estudiantes de ciencias donde la tendencia actual a utilizar herramientas de cálculo es
cada vez mayor, no haciéndose en ningún momento una reflexión sobre los resultados
que arrojan.
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2.2. Una mente maravillosa (A beautiful mind)
FICHA TÉCNICA
Dirección: Ron Howard.
País: USA.
Año: 2001.
Duración: 134 min.
Interpretación: Russell Crowe (John Nash), Ed Harris (Parcher), Jennifer
Connelly (Alicia Nash), Christopher Plummer (Dr. Rosen), Paul Bettany (Charles), Adam
Goldberg (Sol), Josh Lucas (Hansen), Vivien Cardone (Marcee), Anthony Rapp (Bender),
Jason Gray-Stanford (Aisnely), Judd Hirsch (Helinger), Austin Pendleton (Thomas King).
Guión: Akiva Goldsman; basado en el libro de Sylvia Nasar.
Producción: Ron Howard y Brian Grazer.
Música: James Horner.
Fotografía: Roger Deakins.
Montaje: Daniel P. Hanley y Mike Hill.
Diseño de producción: Wynn Thomas.
Dirección artística: Robert Guerra.
Vestuario: Rita Ryack.
Decorados: Leslie E. Rollins
(Galardonada con 4 estatuillas en la 74 entrega de los premios Óscar)
RESUMEN
Una mente maravillosa está inspirada en la vida de John Forbes Nash Jr., un
matemático brillante que, a mediados del siglo XX, ingresa en la prestigiosa Universidad
de Princeton para realizar un postgrado, a través de una afamada beca. Princeton era en
ese momento la mejor institución para el estudio de la matemática avanzada, una
universidad en cuyas aulas dictaba cátedra el mismo Albert Einstein, y en la que
destacaban científicos como Von Neumann. Esto hace aumentar el ansia de Nash por
destacar, por superarse a sí mismo y a los demás y por obtener reconocimiento.
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Nash no va mucho a clase ya que está obsesionado con encontrar una idea que sea
absolutamente original, ya que piensa que es la única manera de llegar a ser alguien. Una
noche mientras está en un bar se le ocurre la teoría del juego que contradice las ideas de
Adam Smith, el padre de la economía moderna. A partir de aquí, Nash gana una
codiciada plaza de investigador y docente en el MIT y, además, de forma secreta, el
departamento de defensa de EEUU le recluta para descifrar los códigos del enemigo en
plena guerra fría.
Pero luego desapareció durante los largos años (30) en que se sumió en una lucha
contra la esquizofrenia que distorsionó su vida. Desarrolla un proceso de delirio
alucinante, obsesionado con la idea de que es perseguido por una conspiración
internacional, del que lucha por recuperarse con la ayuda de su devota esposa Alicia,
consiguiendo recuperar el control de su vida y volver a la actividad académica. Tras un
alto grado de recuperación, en 1994 se le reconoció su aporte teórico con el premio Nobel
(a los 70 años de edad), junto a John C. Harsanyi y Richard Selten, por su "pionero
análisis de los equilibrios en los juegos no cooperativos".
LOS ACTORES
Todo el elenco de actores dota de credibilidad a sus personajes, demostrando su
valía y lo acertado de este magnífico trabajo coral.
Para aumentar la sensación de realismo y fomentar la verdad emocional de “una
mente maravillosa”, los responsables de la película decidieron rodar el guión en
continuidad. Rodar las escenas de una película en el mismo orden que siguen en la
historia es todo un lujo en el cine actual. Plantea todo tipo de dificultades logísticas pero
resulta muy útil para los actores.
Toda la película descansa en la interpretación de Crowe. A través de los torpes
movimientos de su cuerpo, de su mirada perdida y de su ceño fruncido nos muestra su
mundo interior, sus dramas y pesadillas, con momentos de gran dramatismo y otros de
emotividad.
Jennifer Connelly (Réquiem por un Sueño) interpreta encantadoramente a Alicia,
inicialmente alumna y posteriormente esposa de Nash; ella se convierte no sólo en su
pareja, sino en su ángel, su musa y su heroína; es la única que lo entiende, lo admira, lo
cuida y ama.
Para completar esta ecuación histriónica está el siempre enigmático Ed Harris
quien logra también un nivel sensacional.
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EL TRASFONDO MATEMÁTICO
La disciplina matemática a la que mayor referencia hace la película es la teoría de
juegos.
La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para
estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y
llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así
como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de
interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructuras de
incentivos similares y, por lo tanto, representar conjuntamente un mismo juego.
Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el
comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos
campos, desde la biología a la filosofía. Experimentó un crecimiento sustancial y se
formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar
Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la
estrategia militar; en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada.
Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría de
juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras palabras,
estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los beneficios de cada
opción no están fijados de antemano, sino que dependen de las elecciones de otros
individuos. Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real
es el dilema del prisionero, popularizado por el matemático Albert W. Tucker, el cual
tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación humana.
Los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática, en
particular las probabilidades, las estadísticas y la programación lineal, en conjunto con la
teoría de juegos. Además de su interés académico, la teoría de juegos ha recibido la
atención de la cultura popular.
En teoría de juegos, se define el equilibrio de Nash como un modo de obtener una
estrategia óptima para juegos que involucren a dos o más jugadores. Si hay un conjunto
de estrategias tal que ningún jugador se beneficia cambiando su estrategia mientras los
otros no cambien la suya, entonces ese conjunto de estrategias y las ganancias
correspondientes constituyen un equilibrio de Nash.
El concepto de equilibrio de Nash apareció por primera vez en su disertación
Non-cooperative games (1950). John Forbes Nash demostró que las distintas soluciones
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que habían sido propuestas anteriormente para juegos tienen la propiedad de producir un
equilibrio de Nash.
Un juego puede no tener equilibrio de Nash, o tener más de uno. Nash fue capaz
de demostrar que si permitimos estrategias mixtas (en las que los jugadores pueden
escoger estrategias al azar con una probabilidad predefinida), entonces todos los juegos
de n jugadores en los que cada jugador puede escoger entre un número finito de
estrategias tienen al menos un equilibrio de Nash con estrategias mixtas.
Si un juego tiene un único equilibrio de Nash y los jugadores son completamente
racionales, los jugadores escogerán las estrategias que forman el equilibrio.
En la película, Nash dice que Adam Smith se equivocó y que no es suficiente
decir que el mayor bien común viene de las acciones egoístas de cada individuo (la
búsqueda para satisfacer el propio interés beneficiaría a toda la sociedad). Para esto, usa
de ejemplo a 5 mujeres en un bar, de las cuales la más importante es la rubia. Nash dice
que si todos siguen su interés egoísta y tratan de conquistar a la rubia, ninguno lo
conseguirá, y las 4 amigas restantes no se interesarán en ellos después. Entonces, según
Nash, lo que tienen que hacer es ir directamente a las 4 amigas, ignorando a la rubia. Así,
dejarían de lado su interés personal, y conseguirían el bien mayor para todo el grupo.
APORTACIONES DIDÁCTICAS DE LA PELÍCULA.
Con la proyección de la película se puede introducir a los alumnos en:
•
La teoría de juegos, disciplina importante en licenciaturas de Economía y
en diversas Ingenierías.
•
La importancia del trabajo en equipo (utilizando el concepto de juegos
cooperativos)
3. CONCLUSIONES
El trabajo que se presenta trata de exponer una de las propuestas que están
llevando a cabo miembros del grupo de investigación MAIC de la Universidad
Politécnica de Madrid, en su mayoría con los alumnos de los primeros cursos de la E.T.S.
de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, con la finalidad de mejorar la enseñanza y
el rendimiento de los alumnos en las asignaturas relacionadas con las Matemáticas.
El objetivo de estas actividades es presentar las matemáticas como un
instrumento adecuado e innovador en el sistema educativo y dar una imagen de ellas
positiva y entretenida. En concreto, la propuesta de unir matemáticas con cine, además de
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Cine y matemáticas
permitir esa visión más lúdica de las matemáticas, facilita la conexión entre los alumnos
universitarios y el acercamiento de los estudiantes de secundaria al mundo universitario.
Anotamos las siguientes líneas de actuación para mejorar esta actividad en futuras
ediciones:
- “Acertar” con las películas que pueden gustar a los estudiantes universitarios
hoy en día: no basta con buscar material con contenido matemático, sino que se pretende
que este material resulte atractivo. Es importante entonces buscar matemáticas en las
películas de mayor calado entre el público “universitario” (de 18 a 25 años). A este
respecto, sería bueno hacer también un acercamiento a los medios de difusión más
modernos, a los que los estudiantes universitarios están muy acostumbrados, como
cortometrajes y vídeos accesibles desde Internet.
- Una mayor difusión y promoción de la actividad: anuncios en las pantallas del
hall de la Escuela de Caminos ó en gacetas universitarias. También se puede hacer
promoción en otras Escuelas y Universidades.
- Fomentar una mayor participación por parte de los alumnos en el coloquio al
final de la película.
- Una actuación final de mejora más ambiciosa sería invitar a algún actor ó
director de cine conocido a la jornada de presentación de la actividad. También se podría
promover un concurso de cortos con contenido matemático entre los asistentes a las
jornadas, ya que la nueva tecnología de cámaras digitales hace accesible el rodaje de cine
a la gente no especializada.
4.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
Howson, A.G. and Kahane, J.-P. (1990). The Popularization of
Mathematics (ICMI Study Series) (Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[2]
Lantarón, S. y López, M.D. (2008). Metodologías activas de innovación
educativa para el acercamiento de los estudiantes a las matemáticas.
Segundo Congreso Internacional de Matemáticas en Ingeniería y
Arquitectura. pp. 231-244. Madrid.
[3]
López M.D., Rodrigo, J., Salvador, A. (2008). Actividades de
acercamiento a las matemáticas del alumnado de las escuelas técnicas. V
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Jornadas Internacionales de Didáctica de las Matemáticas en Ingeniería
Cine y matemáticas
Congreso Iberoamericano de Docencia Universitaria. (pp. 179-181).
Valencia.
[4]
Población A.J. (2006). Las matemáticas en el cine. Proyecto sur.
[5]
Página web del grupo de Matemática Aplicada a la In. Civil de la UPM:
http://www.caminos.upm.es/matematicas/Fdistancia/MAIC/Investigacio.
htm
[6]
Sobre referencias de matemáticas en la serie de dibujos animados “Los
Simpson”:
http://homepage.smc.edu/nestler_andrew/SimpsonsMath.htmReference 2
Jornadas Internacionales de Didáctica de las Matemáticas en Ingeniería
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