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Integrales
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1
x
+
, se pide:
x+1 x+4
a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas.
b) Calcular f'(x) y determinar los extremos relativos de f(x).
1. [2014] [EXT-A] Dada la función f(x) =
1
c) Calcular
f(x)dx
0
2. [2014] [EXT-B] Dada la función f(x) =
5senx 1
+
si x < 0
2x
2
, se pide:
a
si x = 0
xex + 3 si x > 0
a) Hallar, si existe, el valor de a para que f(x) sea continua.
b) Decidir si la función es derivable en x = 0 para algún valor de a.
ln5
c) Calcular la integral:
f(x)dx , donde ln denota logaritmo neperiano.
1
3. [2014] [JUN-A] a) Sea f:    una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa x = -2 es un punto de
inflexión de la gráfica de f(x) y que la recta de ecuación y = 16x+16 es tangente a la gráfica de f(x) en dicho punto, determinar:
f(-2), f'(-2) y f''(-2).
b) Determinaer el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función g(x) = x4+4x3 y el eje OX.
x
, se pide:
x +1
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.
4. [2013] [EXT-B] Dada la función f(x) =
2
1
b) Calcular
xf(x)dx
0
2
5. [2013] [JUN-A] Calcular las siguientes integrales:
a)
x-3
x2+9
dx
;
3-x2+x4
b)
x3
dx .
1
6. [2013] [JUN-B] Dada la función f(x) = 2cos2x, se pide:
- 
a) Determinar los extremos absolutos de f(x) en
, .
2 2
- 
b) Determinar los puntos de inflexión de f(x) en
, .
2 2
/2
c) Calcular
f(x)dx .
0
7. [2012] [EXT-B] Dada la funcion f(x) = x2sen x, se pide:
a) Determinar, justicando la respuesta, si la ecuacion f(x) = 0 tiene alguna solucion en el intervalo abierto (/2,).
b) Calcular la integral de f en el intervalo [0,].
c) Obtener la ecuacion de la recta normal a la graca de y = f(x) en el punto (,f()). Recuerdese que la recta normal es la recta
perpendicular a la recta tangente en dicho punto.
8. [2012] [JUN-A] Calcular razonadamente las siguientes integrales denidas:
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/2

1.
e2xcosxdx
sen2x
2.
0
1+cos22x
dx
0
9. [2011] [EXT-A] a) Calcular los límites:
2
lim
-(x+1)
x+ 4+e
y
2
lim
x- 4+e-(x+1)
.
1
b) Calcular la integral
x
1+3x2
dx .
0
c) Hallar el dominio de definición de la función f(x) =
derivada.
x2-9x+14. Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene
10. [2011] [EXT-B] a) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = -senx y el eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2.
b) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f(x) = -senx alrededor del eje OX entre
las abscisas x = 0 y x = 2.
3
11. [2011] [JUN-A] a) Calcular la integral
x 4+5x2 dx .
1
b) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f(x) =
1
12. [2010] [EXT-A] Calcular:
x
a)
4-x2
12-3x2 .

dx
;
b)
xcosxdx .
0
0
x
13. [2009] [JUN-A] Calcular la integral: F(x) =
t2e-tdt .
0
14. [2009] [JUN-B] Si la derivada de la función f(x) es: f'(x) = (x-1)3(x-5), obtener:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
b) Los valores de x en los cuales f tiene máximos relativos, mínimos relativos o puntos de inflexión.
c) La función f, sabiendo que f(0) = 0.
15. [2008] [EXT-A] Dada la función f(x) = e-x x2+1 , se pide:
a) Dibujar la gráfica de f, estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas.
1
b) Calcular
f(x)dx .
0
16. [2008] [EXT-B] a) Calcular x3ln(x)dx, donde ln(x) es el logaritmo neperiano de x.
b) Utilizar el cambio de variable x = et-e-t para calcular
1
4+x2
Indicación: Para deshacer el cambio de variable, utilizar: t = ln
dx.
x+ x2+4
2
17. [2008] [JUN-B] (a) Para cada valor de c > 0, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función
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f(x) = cx4+ x2+1, el eje OX y las rectas x = 0, x = 1.
c
(b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado (a) es mínima.
18. [2007] [EXT-A] a) Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x) =
3x2+x+3
x2+1
.
b) Determinar una función F(x) tal que su derivada sea f(x) y además F(0) = 4.
19. [2007] [EXT-B] Sea g(x) una función continua y derivable para todo valor de x, de la que se conoce la siguiente información:
i) g'(x) > 0, para todo x -,0  2,+ , mientras que g'(x) < 0 para todo x 0,2 .
ii) g''(x) > 0, para todo x  1,3 y g''(x) < 0 para todo x -,1  3,+ .
iii) g(-1) = 0, g(0) = 2, g(2) = 1.
iv) lim g(x) = - y lim g(x) = 3.
x-
x+
Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide:
a) Analizar razonadamente la posible o no existencia de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
b) Dibujar de manera esquemática la grafica de g(x).
x
c) Si G(x) =
g(t)dt , encontrar un valor x0 tal que su derivada G' x0 = 0.
0
20. [2007] [JUN-B] Dada la función f(x) =
x2-12
x2+4
, calcular el área de la región acotada encerrada por su gráfica y el eje OX.
2
dx
21. [2006] [EXT-A] Calcular
2
x +2x
1
22. [2006] [EXT-B] Dada la función f(x) = xe2x, se pide:
a) Dibujar su gráfica, indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos,
intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.
b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f(x) entre -1  x  1.
23. [2006] [JUN-B] a) Estudiar y representar gráficamente la función f(x) =
1
(x-2)2
.
b) Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función anterior y las rectas y = 1, x =
5
.
2
ex
24. [2005] [EXT-B] Se considera la función f(x) =
.
2
1+ex
a) Calcular los extremos locales y/o globales de la función f(x).
a
b) Determinar el valor del parámetro a tal que
f(x)dx =
0
1
.
4
1
25. [2005] [JUN-A] Sea f una función derivable en (0,1) y continua en [0,1] tal que f(1) = 0 y
2xf'(x)dx = 1 . Utilizar la fórmula de
0
1
integración por partes para hallar
f(x)dx .
0
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26. [2005] [JUN-A] Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax3+bx2+cx+d sabiendo que verifica:
i) Tiene un máximo relativo en x = 1.
ii) Tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (01,).
1
iii)
p(x)dx =
0
5
.
4
27. [2004] [EXT-B] Sea la función f(x) =
2x+1
.
2
x +x+1
a) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.
b) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f
-1- 3
1
-1+ 3
tiene exactamente tres puntos de inflexión, cuyas abscisas son: x1 =
, x 2 = - y x3 =
respectivamente.
2
2
2
c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje OX, la recta x = 0 y la recta x = 2.
2
(2x-1)2
.
4x2+1
a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo de la función f(x).
28. [2004] [JUN-A] Se considera la función f(x) =
1
b) Calcular
f(x)dx .
0
sen x
definida en el intervalo cerrrado y acotado [-2,2]. Se pide:
2 - cos x
a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos.
b) Dibujar la gráfica de f en el intervalo dado.
29. [2003] [EXT-A] Sea la función f(x) =
/3
c) Calcular
f(x)dx .
0
30. [2003] [EXT-B] Sea la función f(x) = 2x|4-x|.
a) Estudiar su continuidad y derivabilidad.
b) Dibujar su gráfica.
c) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica y = f(x), las rectas x = 0, x = 5, y el eje OX.
31. [2002] [EXT-A] Se considera la función real de variable real definida por f(x) =
x
2
x +1
.
a) Determinar sus máximos y mínimos relativos.
a
b) Calcular el valor de a > 0 para el cual se verifica la igualdad
f(x)dx = 1.
0
1
.
x2+3
a) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de inflexión de abscisa positiva de la gráfica de f.
b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f, la recta anterior y el eje x = 0.
32. [2002] [JUN-A] Se considera la función real de variable real definida por f(x) =
33. [2002] [JUN-B] Se considera la función f(x) =
x2+3x+1
si x  -1
x
2x
si x < -1
x-1
Se pide:
a) Estudiar el dominio y la continuidad de f.
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b) Hallar las asíntotas de la gráfica de f.
c) Hallar el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y las rectas y = 0, x = 1, x = 2.
34. [2001] [EXT-A] Se consideran las funciones f(x) = x2-3x+3, g(x) = ax2+b.
a) Calcular a y b para que la gráficas de f y g sean tangentes en el punto de abscisa x = 2.
b) Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibujar las gráficas de ambas funciones y hallar la ecuación de la
recta tangente común.
c) Para los mismos valores de a y b, hallar el área limitada por las gráficas de las funciones y el eje vertical.
35. [2001] [EXT-B] Sea la función f(t) =
1
1+et
.
a) Calcular f(t)dt.
x
b) Se define g(x) =
g(x)
.
x0 x
d(t)dt . Calcular lim
0
36. [2001] [JUN-A] Sea la función f(x) = senx.
a) Calcular a > 0 tal que el área encerrada por la gráfica de f, el eje y = 0 y la recta x = a sea
b) Calcular la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =
1
.
2

.
4
c) Calcular el área de la superficie encerrada por la tangente anterior, la gráfica de la función f y las rectas x =
3

,x=
.
4
4
(2-x)3 si x  1
37. [2001] [JUN-B] Sea la función real de variable real definida por f(x) =
x2
si x > 1
a) Razonar si la función es continua en toda la recta real.
b) Razonar si f es derivable en toda la recta real.
d) Determinar el área encerrada por la gráfica de f y por las tres rectas y = 8, x = 0, x = 2.
38. [2000] [EXT-B] Sea la función f(x) = x4-4x3+x2+6x.
a) Determinar los puntos de corte de su gráfica con los ejes y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Esbozar la gráfica de la función.
c) Calcular el área determinada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas x = -1, x = 2.
39. [2000] [JUN-B] Sean las funciones f(x) = x2 y g(x) = x3. Determinar el área encerrada por ambas funciones y la recta x = 2.
Soluciones
7. a) no b) -x2cosx+2xsenx+2cosx+c c) y =
1
2
x-
1

8.1.
-2e2-2
5
8.2.

4
9. a)
1
ln2
316
, 0 b)
c) Dom. (-,2][7,+); Der: (-,2)(7,+) 10. a) 4 b) 2 11. a)
b)
2
3
15
Y
max: 0; min: -2, 2
12. 2- 3; -2
13. 2-x2e-x-2xe-x-2e-x
14. a) crec: (-,1)(5,+) b) max: 1; min: 5; p.i: 4 c)
x5
-2x4+6x3-8x2+5x
5
2
15. a)
1
-1
3e-6
e
16. a)
x4(4lnx-1)
x+ x2+4
+c b) ln
+c
16
2
1
F(x) = 3x+ ln x2+1 +4
2
17. (a)
3c2+15c+5
(b)
15c
19. a) A. horizontal a la derecha: y = 3 b)
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15
3
18. a) Mínimo: -1,
c) -1
5
7
12- 3
. Máximo: 1, . P. inflexión: 0,3 , - 3,
,
4
2
2
20.
16-12 3
3
21.
1 3
ln
2 2
X
b)
1 2 3 4
3,
12+ 3
. b)
4
1
3
22. a) Dom: . Crec: - ,+ . Conv: - ,+ .
2
2
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2 Y
3
P.infl: - . Graf:
2
1
X
-2
Y
b)
e-2+e2+2
23. a) Dom: -{2}. Asint: x = 2, y = 0. Crec: -,2 .
4
3
b)
1
-1
-1
-1
X
1
2
24. a) max: 0,
1
4
-1
2
b) ln3 25.
26. p(x) =
1 2 3 4 5
Y
-
1 3 3
x + x+1 27. a) max: (0,1); min: (-1,-1); asint: y = 0 b)
5
5
-2
1
-1
X c) 6
1
2
7
-1
1
,2 ; min: ,0
2
2
28. a) y = 1; max:
b) 1-
ln5
2
5 3
 3
,
, ,
;
3 3
3 3
29. a) max:
-1
Y
min: -
3

,,
3
3
5
3
,3
3
Y
2
b)
X
-6
-4
-2
2
4
6
c) ln
3
2
6
30. a) ; -{4} b)
-2
2
-2
X
c) 25 31. a) min: -1,-
1
1
; max: 1,
2
2
b)
e2-1
32. a= y =
2 4 6 8
Y
-
3
1
x+
8
8
b)
45-8 3
144
33. a) Dom: -{0}; Cont: -{0} b) x = 0; y = 2; y = x+3 c)
9+2ln2
2
34. a)
2
1
, 0 b)
4
1
-1
X
y = x-1 c) 2 35. a) t-ln et+1 +c b)
1
2
1 2 3 4
Y
36. a)

b) 4 2x-8y+(4-) 2 = 0 c)
3
98
17
39.
15
12
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2+4-16
16
2
37. a)  b) -{1} c)
119
12
38. a) (-1,0), (0,0), (2,0), (3,0); crec:
2- 10
2+ 10
,-1 
,+
2
2
3
b)
1
-1
-2
X
c)
1 2 3 4
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