¿Cuál es la cardinalidad del infinito?

¿Cuál es la cardinalidad del infinito?
¿Habrá manera de medir qué tan grande es el infinito
matemático? Y si es así, ¿qué vamos a medir: qué tan
grande es el conjunto de los números naturales, o qué tan
grande es el conjunto de todas las fracciones, o qué tan
grande es el conjunto de todos los números reales, o el
tamaño del conjunto de todos los números complejos?
Al "tamaño" de un conjunto se le llama su cardinalidad. La
cardinalidad de un conjunto se denota por , una
notación similar a la valor absoluto de un número. Por el
“tamaño” de un conjunto queremos decir cuántos
elementos tiene un conjunto. Algunos conjuntos son
mayores que otros: el conjunto de todos los números
naturales de tres dígitos <100 es mayor que el conjunto
de todos los números naturales de dos dígitos <100. La
cardinalidad de es 900 y la cardinalidad de es 90 (no
contando con 0 como número natural). Entonces
.
Dado que usamos la recta numérica para colocar todo tipo de
número real positivo, negativo, fraccional, irracional, etc., es
natural que nos preguntemos: ¿qué tan larga es la recta
numérica?
La recta numérica es una línea geométrica idealizada de la
cual pensamos que podemos colocar cualquier número
imaginable. Pero eso solo sucede en nuestra imaginación. No
hay forma de de asignar un lugar definitiva a Pi (
), ni a la raíz cuadrada de 2 (
una csaantidad infinita de otros números.
La cardinalidad del continuo suele denotarse por el
símbolo (la minúscula del tipo fraktur script). Georg
Cantor –el padre de la teoría de los conjuntos–
demostró que
.
Por supuesto, la igualdad
es solamente un
atrecho. Lo que transcendental aquí es que
.
La interpretación de esta última desigualdad es que
dentro de la recta numérica al menos hay dos infinitos.
El primer infinito, , es la cardinalidad del conjunto
de los enteros positivos :
.
El segundo infinito,
), ni a
Sin embargo, a pesar de la dificultad un punto matemático
abstracto con un punto físico único, mentalmente
aceptamos que todo número real tiene un lugar definitivo
en la recta numérica. Así que, podemos pensar en la recta
numérica como el conjunto de todos los números reales.
El conjunto de los reales se denota por ℝ y también se le llama el
continuo porque los números reales parecen estar
continuadamente uno detrás de otro sin huecos entre ellos. La
cardinalidad de ℝ, simbolizada por ℝ , es un número cardinal
infinito, sin embargo, el conjunto de los números naturales ℕ
también tiene cardinalidad infinita. Esta cardinalidad se denota
por ℕ
. El conjunto ℕ es infinito, pero no es continuo
porque para dos enteros cualquiera y pertenecientes a ℕ no
siempre encontramos otro entero entre ellos.
, es la cardinalidad del continuo
.
¿No es inusual y maravilloso como dos diferentes
infinitos coexisten en la misma recta numérica?
Tenemos que decir que
y son diferentes
infinitos porque no hay forma de establecer
correspondencia uno-a-uno (1-1) entre ellos.
Por lo tanto, no hace sentido hablar de
cardinalidad del infinito en general; solamente
podemos hablar de la cardinalidad de algunos
infinitos –y eso con mucho cuidado– porque la
escalera de la cardinalidad , ,
sigue
creciendo más y más hasta que ya no cabe en
nuestras mentes el significado del infinito.
Aristóteles (384 BC-322 BC). Filósofo
griego que fue de los primeros en
discutir el infinito (apeiron, lo
ilimitado),y el infinito por adición
versus el infinito por división.
Argumentaba en contra del infinito
actual en cualquier forma. Solamente
aceptaba el infinito potencial.
Ref. Cantor, G. (1915). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Cosimo, Inc. New
York.
© E. Pérez http://4DLab.info