2 - WebColegios

PERIODO I
FACTORIZACIÓN
Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores:
Ejemplo:
𝑥4 − 1 = (𝑥2 + 1) (𝑥2 − 1)
= (𝑥2 + 1) (𝑥 + 1) (𝑥 − 1)
Una expresión queda completamente factorizada cuando se la representa como el producto de la mayor cantidad posible de
factores de "primer grado" o "factores lineales".
Se llama factores lineales las que tienen grado 1.
Métodos de factorización
Factor común:
a) Se halla el M.C.D. de los coeficientes de los términos de la expresión dada.
b) Se multiplica dicho M.C.D. por los factores literales comunes a todos los términos, pero con su menor exponente. Este
producto se llama factor común.
c) Se multiplica (en forma indicada) el factor común hallado por el resultado de dividir cada término de la expresión dada
entre el factor común hallado.
Ejemplo: 24x3y2m4 + 36x4y3m - 8x2yz3
El factor común de la expresión es 4x2y
24x3y2m4 + 36x4y3m - 8x2yz3 = 4x2y (6xym4 + 9x2y2m - 2z3)
I. FACTORIZA:
1. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 + 48 m5n4
2.
17a5b2 - 51a4b3 + 85a2bz4
3.
27x3y2z - 18xyz2 + 9x2y3z
4 b (x - a) + x (x - a)
5.
7m3 (x + 8)2 - (x + 8)3
6.
m2 (5x - 3a) + 2abn (5x - 3a)
7.
3b(a + 1) + a + 1
8. (x - 1) (x - 2) (x - 3) + (x - 1) (x - 2) - (x - 1) + 3 (x - 1) (x -3)
Agrupación de términos
Ejemplo:
1.
ax + by + bx + ay
(ax + bx) + (ay + by)
x(a + b) + y (a + b)
(a + b) (x + y)
II. FACTORIZA
1. . x3 + x2 + x + 1
2. .
3a - b2 + 2b2x - 6ax
3. .
2am - 2an + 2a - m +n - 1
4. .
a3 + a2 + a + 1 + x2 + a2x2
Trinomio cuadrado perfecto:
Se siguen los pasos:
1. Ordenar el Trinomio.
2. El 1ro y 3er término deben ser positivos.
3. Los extremos deben ser cuadrados perfectos.
4. El 2do término debe ser el doble producto de las raíces de los extremos.
Recuerde que
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
III. FACTORIZA
1. x4 - 4x2 + 4
2. 1 + 49x4y2 + 14x2y
3.
– x2 + 2x – 1
4.
4a2 + 4ab + b2
5.
32a3x2 + 200y2a3 - 160xa3y
6.
4(x + 1)2 + 4(x + 1) + 1
7.
9(x - y)2 + 12 (x2 - y2) + 4 (x + y)2
Diferencia de cuadrados:
Ejemplo:
x2 – 4 =
x2 – 22 =
(x + 2) (x - 2)
IV. FACTORIZA
1.
x4 - 1
2.
(a + x)2 - (x + 2)2
3.
a2 + 2ab + b2 - x2
4.
1 -a2 - d2 + 2ad
(Los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto)
5.
(5x - 4)2 - 4 (3x + 2)2
6.
256a12 - 81b4m8
Trinomios de la forma : x2n + bxn + c
Ejemplo :
x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
*.
Para colocar los signos en los paréntesis se sigue la siguiente regla:
- en el primer paréntesis va el signo de b
- en el segundo paréntesis va el producto de los dignos de b y c.
- el mayor de los números va en el primer paréntesis.
V. FACTORIZA
1.
x2 + x - 2
2.
a2 - 11a + 28
3.
x4 - 5xb - 50b2
4.
x6 - 15x3y + 26y2
5.
x4 + 8x3 - 9
6.
x4 - 10x2 + 9
7.
x8 - 10x4 + 16
8.
x2 + 13x - 30
9.
x2 + (a + b)x + ab
10.
x5 - 40x3 + 144x
11.
x2 - 2x - 8
Trinomio de la forma ax2n + bxn + c
VI. FACTORIZA
1.
6x4 + 5x2 - 6
2.
5x6 + 4x3 - 12
3.
-11xy + 6y2 + 4x2
4.
20n2 + 44n - 15
5.
7y6 - 33y3 - 10
6.
16x8 - 17x4 + 1
POTENCIA DE UN NÚMERO
Si n  N y a  R , entonces a n , es igual al producto de n veces el número real “a” tomado como factor, es
decir a n  aaaa
...

a
n veces
Ejemplos:
53  5  5  5  125
 15   1 1 1 1 1  1
2
 
3
4

2 2 2 2 16
   
3 3 3 3
81
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

Producto de potencias de igual base: el producto de potencias de igual base, es otra potencia de la
misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los términos factores.
Simbólicamente: am  an  am  n
Ejemplo: 3 8  310  3 2  3 8  10  2  3 20

Cociente de potencias de igual base: El cociente de dos potencias de igual base, es otra potencia de la
misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes del término dividendo menos el del
divisor.
Simbólicamente:
Ejemplo:
5 12
5

3
am
 am  n
an
con a ≠ 0 y m>n
 5 12  3  5 9
Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y de
exponente igual al producto de los exponentes que haya en la expresión
 
m
Simbólicamente: a n


Ejemplo:   2 3

 
5
2
 am n
  2 3  5  2   2 30
 Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de dichas potencias.
Simbólicamente: a  bn  an  b n
Ejemplo: 5  23  5 3  2 3

Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es igual al cociente de dichas potencias.
n
a
an
Simbólicamente:    n
b
5
4
2
Ejemplo:   
52
42
b
b≠0

Exponente cero: toda cantidad con exponente cero es igual a 1
Simbólicamente: a0  1
a≠0
La expresión 0 0 no está definida

Exponentes enteros negativos: si n es cualquier entero negativo y a un número real diferente de cero se
cumple que:

a n 
o que a n  1n
1
a
n
a
En caso que la base sea un número racional se tiene que  a 

n
b
b
 
 a
n
Ejemplos:
23 
1
23

5
 
3
1
8
3
3
 
5
3
ACTIVIDAD
VII.
Indica si el signo del resultado es positivo o negativo:
a. (6)7 
VIII.
b. (4)4 
c. (12)13 
Expresa como potencia:
a) (5)  (5)  (5)  (5)  (5) 
b) 5  5  5  5  5 
c) (3)  (3)  (3) 
IX.
Calcula:
a.
 5
3
b.  12  

4
4
X.
 2
  
 5
7
4
 5
e.    
 2
3
d.   
7
g.
c.  2  
7 
 
6 
f.
3
=
3
Aplica propiedades
a. a2 · a3 =
b. x6 : x4 =
e.23 · 27 · 215 = f. a8 · a6 · a10 =
i.
x4 y7

x 2 y11
j.
c .a7 ÷ a =
g. ((x2)3)4=
x3 y 7 z12
 

x y2 z5
d. (b3)4 =
h .a13 ÷ a6 =
  
k.   2 5
4
2
RADICALES
l. 5x 2
Un radical es una expresión de la forma
de ser impar
n
a , en la que n
ya
; con tal que cuando a sea negativo, n ha
RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO
Si a  R , b  R  , se cumple que b  a, si solo si : a 2  b , donde a es la raíz cuadrada de b
Ejemplo: 25  5
porque 5 2  25
RAÍZ CUBICA DE UN NÚMERO
Si a, b  R , entonces se cumple que 3 b  a, si solo si : a3  b , donde a es la raíz cúbica de b
Ejemplo: 3 125  5
porque 5 3  125
RAÍZ ENESIMA DE UN NÚMERO
Si a, b  R, y n  N entonces se cumple que n b  a, si solo si : an  b , donde a es la raíz enésima de b
Ejemplo: 5 32  2
porque 2 5  32
EXPONENTES RACIONALES
m
Una expresión radical puede escribirse como una potencia de exponente racional, es decir n a m  a n
2
Ejemplo: 3 5 2  5 3
PROPIEDADES DE LOS RADICALES.

Raíz enésima de un número real elevado a la potencia n: para cualquier n  Z  , se cumple que:
n
 
an  an
1/n
n
 an  a

Raíz enésima de un producto: la raíz enésima de un producto es igual al producto de ls raíces enésimas
de los factores. Para cualquier n  Z  , se cumple que n a  b  n a  n b

Raíz enésima de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas
del dividendo y del divisor. Para todo n, a, b ,  Z  , se cumple que:

n
a

b
n
a
n
b
Raíz enésima de una raíz: la raíz enésima de una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el producto de los
índices. Para todo m, n, b ,  Z  , se cumple que:
nm
b  m n b

Propiedad fundamental de los radicales: Se puede multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente
del radicando por un mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto
kn
b km  b km / kn  b m / n 
n
b n , donde k  N
Se debe tener en cuenta que si n es par, entonces el radicando debe ser positivo para que exista una raíz
real.
ACTIVIDAD
XI. Calcula
a. 36 
b.
e. 216 
4
c. 100 
d. 121 
4
g. 125 
h.
243
f. 16 
j. 10 1 =
3
i.
5
2401 =
3
4
81 
XII. Escribe en forma de radical las siguientes expresiones
3
1
a.
52
b.
24
1
1
c.
72
d.
x3
c.
4
d.
2
XIII. Escribe en forma de potencia
a.
11
b.
3
5
7
XIV. Aplica las propiedades de la radicación y comprueba
a. 100  4
b.
144
9
c.
3
2
d.
4 5
3
e.
5
35
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base
(subradical o radicando). Ejemplo:
En muchos casos cuando se nos presentan operaciones combinadas de suma y resta con raíces la primera
impresión es que no se pueden ejecutar.
Pero en casi todos los casos es posible darle a esas operaciones una presentación distinta que sí se puede
manejar, pero depende de nosotros que sepamos hacerlo, para darle la forma correcta al ejercicio.
Tomemos un ejemplo:
Tal como está, no podemos resolverla, ya que todos los radicales son diferentes, tienen distinto índice y distinta
base, pero si utilizamos las propiedades de la multiplicación podríamos darle una configuración que nos
permita hacerlo.
XV.
XVI.
Así,
podemos expresarla como
porque 52= 25 y 25 x 2 = 50
La secuencia completa es:
¿Qué hicimos? Resolvimos la parte que tiene raíz cuadrada exacta:
Aquella parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual:
Lo mismo hacemos para
Ahora, reemplazamos los valores obtenidos y ejecutamos la operación combinada:
3√2 + 5√2 − 7√2 = (3 + 5 − 7)√2 = 1 √2 = √2
El número "1" que pusimos puede estar o no, aquí lo colocamos para mayor comprensión.
ACTIVIDAD
Realiza las sumas:
a.
b.
c.
d.
Halla las sumas:
a.
b.
c.
d.
PERIODO II
1. Encontrar el área de los siguientes
4. Encuentra la solución de los sistemas de
rectángulos: Recuerde que 𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ×
ecuaciones lineales utilizando el método
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
gráfico
a. {
4𝑥 + 5𝑦 = 23
−𝑥 − 3𝑦 = −11
b. {
−𝑥 − 2𝑦 = −1
8𝑥 − 𝑦 = −43
c. {
𝑥−𝑦 =3
3𝑥– 2𝑦 = 5
a.
√3
2√15 − 3√10
b.
√5
5. Encuentra la solución del sistema de
ecuaciones lineales utilizando el método de
3√6 − 3√10
eliminación
2. Encuentre el resultado de:
a. {
𝑥−𝑦 =3
3𝑥– 2𝑦 = 5
b. {
8𝑥 − 𝑦 = −11
4𝑥 + 5𝑦 = −33
c. {
𝑥−𝑦 =6
−𝑥 − 3𝑦 = 10
3
a. √18𝑎𝑏 2 × √15𝑎𝑏𝑐
3
b. √12𝑎2 𝑏 × √18𝑎𝑏𝑐
3. Racionaliza las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
d.
3
√6−√12
3
√15𝑎𝑏
2
6. Encuentra la solución del sistema de
ecuaciones lineales utilizando el método de
igualación
√6+√10
2
a. {
−𝑥 − 2𝑦 = −1
8𝑥 − 𝑦 = −43
b. {
−𝑥 − 2𝑦 = −1
3𝑥– 2𝑦 = 11
c. {
8𝑥 − 𝑦 = −11
4𝑥 + 5𝑦 = −33
√14𝑎𝑏
“Calidad Humana y Excelencia Educativa”
PERIODO III
I.
Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de
SUSTITUCIÓN
10𝑥 − 7𝑦 = −26
4𝑥 − 6𝑦 = 18
a. {
c. {
−3𝑥 + 11𝑦 = −10
−𝑥 + 10𝑦 = −47
b. {
12𝑥 − 5𝑦 = −4
−13𝑥 + 8𝑦 = −6
d. {
2𝑥 − 9𝑦 = 17
−3𝑥 + 4𝑦 = 3
II.
Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de
DETERMINANTES
10𝑥 − 7𝑦 = −26
4𝑥 − 6𝑦 = 18
a. {
c. {
−3𝑥 + 11𝑦 = −10
−𝑥 + 10𝑦 = −47
b. {
12𝑥 − 5𝑦 = −4
−13𝑥 + 8𝑦 = −6
d. {
2𝑥 − 9𝑦 = 17
−3𝑥 + 4𝑦 = 3
SOLUCIONA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
III.
La suma de las cifras de las unidades y la cifra de las decenas de un número es 6; si
al número se le restan 18, las cifras se invierten. Hallar el número
IV. La suma de las cifras de las unidades y la cifra de las decenas de un número es 10;
si al número se le restan 54, las cifras se invierten. Hallar el número
V.
La diferencia de dos números es 1032. El cociente de estos números es 13 y el
residuo de su división 48. ¿Cuáles son estos números?
VI.
La suma de dos números es 324. Añadiendo 26 a cada uno de ellos, uno llegó a ser
el triple que el otro. ¿Cuáles son estos dos números?
VII. Dos ángulos suplementarios son tales que la medida del primero equivale al doble
del segundo aumentado en 30º. ¿Cuál es la medida de cada ángulo?
VIII. Dos ángulos complementarios son tales que la medida del primero equivale al triple
del segundo aumentado en 6º. ¿Cuál es la medida de cada ángulo?
IX. He comprado papas fritas y gaseosas, ambas suman 10, si la cantidad de
gaseosas excede al doble de papas fritas en 1. ¿Cuántas papas fritas y gaseosas
compré?
1
X.
El doble de la edad de Pedro excede en 6 años a la de Juan y de la edad de Juan es
6
XI.
9 años menos que la edad de Pedro. Hallar ambas edades
1
de la edad de Juan es 9 años menos que la edad de Pedro y el doble de la edad de
6
Pedro excede en 6 años a la de Juan. Hallar ambas edades
“Calidad Humana y Excelencia Educativa”
𝑷𝑬𝑹𝑰𝑶𝑫𝑶 𝑰𝑽
A CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRATICAS:
I.
REALIZA LA GRÁFICA CORRESPONDIENTE
II.
SOLUCIONALA POR FACTORIZACION
III.
POR FORMULA GENERAL
a.
b.
c.
d.
2𝑥 2 + 10𝑥 + 12 = 0
𝑥 2 + 10𝑥 + 24 = 0
9𝑥 2 − 12𝑥 + 60 = 0
4𝑥 2 + 62𝑥 + 30 = 0