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Unidad de Formación No. 15
Matemática
Álgebra: Lenguaje, significado,
pensamiento y realidad
(Educación Regular)
© De la presente edición:
Colección:
CUADERNOS DE FORMACIÓN COMPLEMENTARIA
Unidad de Formación No. 15
Matemática
Álgebra: Lenguaje, significado, pensamiento y realidad
Documento de Trabajo
Coordinación:
Viceministerio de Educación Superior de Formación Profesional
Viceministerio de Educación Regular
Dirección General de Formación de Maestros
Instituto de Investigaciones Pedagógicas Plurinacional
Unidad de Políticas Intraculturales, Interculturales y Plurilingue
Redacción y Dirección:
Equipo PROFOCOM
Cómo citar este documento:
Ministerio de Educación (2016). Unidad de Formación Nro. 15 “Matemática - Álgebra: Lenguaje, significado, pensamiento y realidad”. Cuadernos
de Formación Continua. Equipo PROFOCOM. La Paz, Bolivia.
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Ín dice
Presentación ................................................................................................ 2
Introducción ................................................................................................
Objetivo Holístico ...............................................................................................
Criterios de evaluación .......................................................................................
Uso de lenguas indígena originarias ....................................................................
4
6
6
7
Momento 1
Sesión presencial ............................................................................................... 8
Momento 2
Sesiones de construcción crítica y concreción educativa ........................................
I. Actividades de autoformación ..........................................................................
Tema 1: Productos notables y su interpretación geométrica ..................................
Tema 2: La factorización en los fenómenos sociales y naturales ............................
Tema 3: Funciones lineales y ecuaciones de primer grado ....................................
II. Actividades de formación comunitaria .............................................................
III. Actividades de concreción educativa ..............................................................
21
21
21
33
48
67
68
Momento 3
Sesión presencial de socialización ....................................................................... 68
Producto de la Unidad de Formación ................................................................... 68
Lectura obligatoria de la Unidad de Formación ..................................................... 68
Documento Anexo ............................................................................................. 69
1 Presentación
El Programa de Formación Complementaria para Maestras y Maestros en Ejercicio (PROFOCOM) es un
programa que responde a la necesidad de transformar el Sistema Educativo a partir de la formación y
el aporte de las y los maestros en el marco del Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo y de la
Ley de la Educación N° 070 “Avelino Siñani - Elizardo Pérez” que define como objetivos de la formación
de maestras y maestros:
1. Formar profesionales críticos, reflexivos, autocríticos, propositivos, innovadores, investigadores;
comprometidos con la democracia, las transformaciones sociales, la inclusión plena de todas las
bolivianas y los bolivianos.
2. Desarrollar la formación integral de la maestra y el maestro con alto nivel académico, en el ámbito
de la especialidad y el ámbito pedagógico, sobre la base del conocimiento de la realidad, la
identidad cultural y el proceso socio-histórico del país. (Art. 33)
Así entendido, el PROFOCOM busca fortalecer la formación integral y holística, el compromiso social y
la vocación de servicio de maestras y maestros en ejercicio mediante la implementación de procesos
formativos orientados a la aplicación del Currículo del Sistema Educativo Plurinacional, que concretice
el Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo aportando en la consolidación del Estado
Plurinacional.
Este programa es desarrollado en todo el Estado Plurinacional como un proceso sistemático y
acreditable de formación continua. La obtención del grado de Licenciatura será equivalente al otorgado
por las Escuelas Superiores de Formación de Maestras y Maestros (ESFM), articulado a la apropiación e
implementación del Currículo Base del Sistema Educativo Plurinacional.
Son las Escuelas Superiores de Formación de Maestras y Maestros, Unidades Académicas y la
Universidad Pedagógica las instancias de la implementación y acreditación del PROFOCOM, en el marco
del currículo de formación de maestras y maestros del Sistema Educativo Plurinacional, orientando
todos los procesos formativos hacia una:
• “Formación Descolonizadora”, que busca a través del proceso formativo lidiar contra todo tipo de
discriminación étnica, racial, social, cultural, religiosa, lingüística, política y económica, para
garantizar el acceso y permanencia de las y los bolivianos en el sistema educativo, promoviendo
igualdad de oportunidades y equiparación de condiciones a través del conocimiento de la historia
de los pueblos, de los procesos liberadores de cambio y superación de estructuras mentales
coloniales, la revalorización y fortalecimiento de las identidades propias y comunitarias, para la
construcción de una nueva sociedad.
• “Formación Productiva”, orientada a la comprensión de la producción como recurso pedagógico
para poner en práctica los saberes y conocimientos como un medio para desarrollar cualidades y
capacidades articuladas a las necesidades educativas institucionales en complementariedad con
políticas estatales. La educación productiva territorial articula a las instituciones educativas con
las actividades económicas de la comunidad y el Plan Nacional de Desarrollo.
• “Formación Comunitaria”, como proceso de convivencia con pertinencia y pertenencia al contexto
histórico, social y cultural en que tiene lugar el proceso educativo. Esta forma de educación
mantiene el vínculo con la vida desde las dimensiones material, afectiva y espiritual, generando
prácticas educativas participativas e inclusivas que se internalizan en capacidades y habilidades
de acción para el beneficio comunitario. Promueve y fortalece la constitución de Comunidades de
Producción y Transformación Educativa (CPTE), donde sus miembros asumen la responsabilidad
y corresponsabilidad de los procesos y resultados formativos.
2 • “Formación Intracultural, Intercultural y Plurilingüe”, que promueve la autoafirmación, el
reconocimiento, fortalecimiento, cohesión y desarrollo de la plurinacionalidad; asimismo, la
producción de saberes y conocimientos sin distinciones jerárquicas; y el reconocimiento y
desarrollo de las lenguas originarias que aporta a la intraculturalidad como una forma de
descolonización y a la interculturalidad estableciendo relaciones dialógicas, en el marco del diseño
curricular base del Sistema Educativo Plurinacional, el Currículo Regionalizado y el Currículo
Diversificado.
Este proceso permitirá la autoformación de las y los participantes en Comunidades de Producción y
Transformación Educativa (CPTE), priorizando la reflexión, el análisis, la investigación desde la escuela
a la comunidad, entre la escuela y la comunidad, con la escuela y la comunidad, hacia el desarrollo
armónico de todas las potencialidades y capacidades, valorando y respetando sus diferencias y
semejanzas, así como garantizado el ejercicio pleno de los derechos fundamentales de las personas y
colectividades, y los derechos de la Madre Tierra en todos los ámbitos de la educación.
Se espera que esta colección de Cuadernos, que ahora presentamos, se constituyan en un apoyo tanto
para facilitadores como para participantes, y en ellos puedan encontrar:
• Los objetivos orientadores del desarrollo y la evaluación de cada Unidad de Formación.
• Los contenidos curriculares mínimos.
• Lineamientos metodológicos, concretados en sugerencias de actividades y orientaciones para la
incidencia en la realidad educativa en la que se ubica cada participante.
Si bien los Cuadernos serán referencia básica para el desarrollo de las Unidades de Formación, cada
equipo de facilitadores debe enriquecer, regionalizar y contextualizar los contenidos y las actividades
propuestas de acuerdo a su experiencia y a las necesidades específicas de las maestras y maestros.
Roberto Aguilar Gómez
MINISTRO DE EDUCACIÓN
3 Introducción
En esta Unidad de Formación se trabaja la articulación del desarrollo curricular con el Proyecto
Socioproductivo y tres temas formativos orientados a profundizar o ampliar los conocimientos del
área.
Para el ejemplo de articulación, a diferencia de las anteriores unidades de formación en esta
unidad se ha priorizado mostrar con algunos ejemplos cómo en el proceso educativo podemos
articular el desarrollo curricular con la problemática y/o las actividades del plan de acción del PSP
que estamos trabajando; para este caso se ha elegido el PSP “Mi barrio libre de violencia”.
Para el desarrollo del primer momento que se desarrolla en las ocho horas presenciales, en los
ejemplos y ejercicios planteados en los cuadernos de cada área para la articulación o relación del
desarrollo curricular y el PSP, se recurre primero a la problematización del PSP desde el sentido del
campo y el enfoque de cada área; la problematización nos ayuda a relacionar el desarrollo
curricular con el Proyecto Socioproductivo. Posteriormente se presentan ejemplos y ejercicios
de problematización de los contenidos de los programas de estudio que nos ayudan a que los
conocimientos no se aprendan de manera repetitiva o memorística, sino a partir de la comprensión
y la práctica de manera crítica.
Cerrando estas actividades, se plantean preguntas que generan actividades orientadas a la
concreción curricular pertinente al contexto donde se desarrolla el currículo. Esta manera de abordar
los saberes y conocimientos (contenidos) orienta a transformar nuestras prácticas educativas,
porque la problematización nos conecta a las diferentes situaciones y aspectos de nuestra realidad
(demandas, necesidades, problemáticas, sociales, políticas, económicas, culturales, etc.).
Para el segundo momento, de construcción crítica y concreción educativa, en las actividades
de auto- formación trabajamos tres temas o contenidos a objeto de profundizar y ampliar los
conocimientos en la especialidad o el área que se han planteado en la sesión presencial de las 8
horas, que debe ser reflexionada críticamente a partir de lecturas de textos propuestos para este
fin1.
Las actividades de formación comunitaria están orientadas a reforzar el trabajo de
sistematización que estamos realizando, para ello trabajaremos en nuestro Equipo de
Sistematización de acuerdo a las indicaciones de la presente Unidad de Formación.
En las actividades de concreción educativa, desarrollamos actividades para articular el desarrollo
curricular con el PSP y registramos en el diario de campo para fortalecer el informe de
sistematización que estamos elaborando.
Para el tercer momento deberá socializarse lo referente a la articulación de elementos
curriculares con el PSP que es una parte de nuestro primer borrador del informe de
sistematización.
Estas cuestiones deben ser aclaradas por las y los facilitadores al inicio de la sesión presencial de 8
horas, en esta sesión presencial trabajaremos organizados por Áreas de Saberes y Conocimientos; en
las Sesiones de Construcción Crítica y Concreción Educativa (138 horas) se trabajará en los Equipos
de Sistematización y en la Sesión Presencial de Socialización (4 horas), la actividad puede
organizarse también por estos Equipos, según las necesidades para un adecuado desarrollo de la
sesión.
1
Las lecturas de los textos propuestos deben ser abordadas de manera crítica y problemática; no se trata de leer de manera pasiva, repetitiva o memorística; éstas deben generar el debate y discusión. No tienen la función de dar respuestas a las preguntas realizadas, sino son un insumo o dispositivo para que maestras y maestros abran el debate y profundicen los temas del área abordados. 4 Al igual que en la anterior Unidad de Formación realizamos algunas precisiones:
• Las actividades y/o tareas que se plantean en las diferentes Unidades de Formación del
PROFOCOM en ningún caso deben significar la interrupción o alteración del normal
desarrollo de las actividades curriculares de maestras y maestros en la Unidad Educativa; al
contrario, los temas que se abordan en cada Unidad de Formación deben adecuarse y
fortalecer el desarrollo curricular en la implementación de los elementos del currículo del
Modelo Educativo Sociocomuntario Productivo.
• Las facilitadoras y facilitadores del PROFOCOM de las Escuelas Superiores de Formación de
Maestros y del Ministerio de Educación están en la obligación de aclarar oportunamente
todas las dudas de las y los maestros participantes y no desvirtuar las preguntas planteadas
por las y los participantes con acciones coercitivas. Deben orientar adecuadamente la
concreción de los elementos del currículo del MESCP, con explicaciones y ejemplos claros, de
manera que las y los participantes sientan realmente que el PROFOCOM les ayuda a mejorar
y transformar su práctica educativa.
• En los tres momentos del proceso formativo del PROFOCOM (ocho horas presenciales, 138
horas de concreción y 4 horas de socialización), deben realizarse de manera planificada las
actividades propuestas en la Unidad de Formación correspondiente.
• Los esquemas o estructuras del plan de desarrollo curricular (plan de clase) planteados en
las Unidades de Formación son sugerencias; lo fundamental es que una planificación
curricular contenga los elementos curriculares básicos para el desarrollo curricular y sean un
instrumento de apoyo para la o el maestro. Esta planificación no es para satisfacer la
exigencia institucional simplemente, sobre todo debe ser útil para el trabajo cotidiano en el
aula.
• Todo trabajo de sistematización (registro, organización de los datos, etc.), debe estar
relacionado con la experiencia educativa de la maestra y maestro. La sistematización
comprende la narración y/o descripción de todo lo que acontece diariamente en nuestras
aulas o el proceso educativo. No puede realizarse el trabajo de sistematización al margen o
aislado de nuestra experiencia y trabajo diario en aula o proceso educativo. Los materiales
para la sistematización (datos) “no caen del cielo” se generan de nuestro trabajo en aula o
proceso educativo diario y que los tenemos registrados en nuestro diario de campo, es de
ahí que tenemos que organizar los datos para elaborar nuestro informe de sistematización.
• Para orientar adecuadamente el trabajo de sistematización las y los facilitadores deben
establecer con claridad cómo se organizan los datos o información a partir del diario de
campo; cómo redactamos los diferentes apartados de nuestro informe de sistematización,
por ejemplo el RELATO Y ANÁLISIS INDIVIDUAL, LA COMPARACIÓN, ANÁLISIS E
INTERPRETACIÓN COLECTIVA, etc.
• En los productos –materiales o inmateriales– que pueden obtenerse en el desarrollo del PSP,
éstos deben ser pertinentes a la naturaleza y características de los contenidos o áreas de
saberes y conocimientos.
Otro de los aspectos que hay que recordar es en relación a los elementos curriculares que
podemos destacar en la concreción del MESCP:
• La articulación del currículo (contenidos, materiales, metodología, etc.) con la realidad
(vocación y potencialidad productiva, problemas, necesidades, proyectos, aspiraciones,
etc.); es una forma de relacionar el currículo y la realidad a través del Proyecto
Socioproductivo.
• Otro elemento a destacar es la metodología Práctica, Teoría Valoración y Producción2;
esta propuesta metodológica es fundamental en el Modelo Educativo, por lo que en los
2
Es importante recordar que estos “momentos metodológicos” están integrados; no son estancos separados; todo los momentos metodológicos están integrados o concebidos integradamente para desarrollar una visión holística en la educación (cf. U.F. No. 5). 5 • procesos educativos (o las clases) deben desarrollarse aplicando estos “momentos
metodológicos”, lo cual no es difícil, más bien ayuda a que las y los estudiantes “aprendan”
y se desarrollen comprendiendo, produciendo, valorando la utilidad de lo que se aprende.
También destaca el desarrollo y evaluación de las dimensiones Ser, Saber, Hacer y Decidir
orientado a la formación integral y holística de las y los estudiantes; no sólo se trata de que la y el
estudiante memorice o repita contenidos, sino que debe aprender y formarse integralmente en
sus valores, sus conocimientos, uso o aplicación de sus aprendizajes, y educarse en una voluntad
comunitaria con impacto social. Otros como la autoevaluación, evaluación comunitaria, el Sentido
de los Campos de Saberes y Conocimientos (Cosmos y Pensamiento, Comunidad y Sociedad, Vida
Tierra Territorio y Ciencia Tecnología y Producción), los Ejes Articuladores (Educación en Valores
Sociocomunitarios, Educación Intra-Intercultural Plurilingüe, Convivencia con la Madre Tierra y
Salud Comunitaria y Educación para la Producción), los Enfoques (Descolonizador, Integral y
Holístico, Comunitario y Productivo).
Entonces se trata que las y los facilitadores –más allá de la presente Unidad de Formación–
orienten en la concreción de estos elementos curriculares de la manera más adecuada y didáctica,
con ejemplos y/o vivencias, aportes que pueden recuperarse de las y los mismos participantes.
Para el desarrollo de esta Unidad de Formación debemos tomar en cuenta que una o un
facilitador de la ESFM o el ME respectivamente va a trabajar con cuadernos de los tres
niveles educativos: Inicial en Familia Comunitaria, Primaria Comunitaria Vocacional y
Secundaria Comunitaria Productiva, por lo que debe organizarse de manera que las y los
facilitadores y participantes de los tres niveles desarrollen adecuadamente las actividades
propuestas.
Objetivo Holístico
Profundizamos en los saberes y conocimientos del área problematizando y reflexionando la
realidad, mediante el desarrollo de procesos metodológicos de articulación e integración de
contenidos, a través de la práctica de actitudes de trabajo cooperativo y respeto mutuo, para
desarrollar procesos educativos pertinentes vinculados a las demandas, necesidades y
problemáticas de la realidad.
Criterios de evaluación
SABER: Profundizamos en los saberes y conocimientos del área problematizando y reflexionando
la realidad.
•
•
Reconocimiento de las características de integración de saberes y conocimientos y de
articulación del currículo con el Proyecto Socioproductivo.
Comprensión de los contenidos profundizados en cada área de saberes y conocimientos.
HACER: Mediante el desarrollo de procesos metodológicos de articulación e integración de
contenidos.
•
•
Articulación pertinente del currículo con el Proyecto Socioproductivo
Integración de los saberes y conocimientos de las áreas al interior del campo y entre
campo de saberes y conocimientos con el Proyecto Socioproductivo.
6 SER: A través de la práctica de actitudes de trabajo cooperativo y respeto mutuo.
•
•
Actitud comprometida en el trabajo al interior de las CPTEs.
Respeto por la opinión de la o el otro.
DECIDIR: Para desarrollar procesos educativos pertinentes vinculados a las demandas,
necesidades y problemáticas de la realidad.
•
Transformación de la práctica educativa en función de responder a las necesidades de la
comunidad.
Uso de lenguas indígena originaria
El uso de la lengua originaria debe practicarse en los tres momentos del desarrollo de la Unidad
de Formación. De acuerdo al contexto lingüístico se realizarán conversaciones, preguntas,
intercambios de opiniones, discusiones y otras acciones lingüísticas. Asimismo, estas experiencias
desarrolladas en los proceso de formación deben ser también replicadas por las y los maestros en
el trabajo cotidiano, en los espacios educativos de su contexto.
7 Momento 1
Sesión Presencial (8horas)
Para iniciar la sesión presencial, la facilitadora o facilitador anuncia que en las 8 horas de formación se hará énfasis en el trabajo del proceso metodológico de la articulación de los contenidos de las Áreas de Saberes y Conocimientos con el Proyecto Socioproductivo. Por este motivo organiza grupos de trabajo por áreas de saberes y conocimientos aplicando alguna dinámica de grupo pertinente, y luego los grupos de trabajo inician con las actividades descritas en la presente Unidad de Formación. PROCESO METODOLÓGICO DE LA ARTICULACIÓN DE LAS ÁREAS
1. Partir de la problematización de la realidad desde el sentido de los Campos y el
enfoque de las Áreas.
Uno de los criterios centrales del Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo es vincular a la
educación con la realidad; es decir, vincular la educación a los procesos histórico políticos de
nuestras comunidades, pueblos, barrios, ciudades y el país en su conjunto; de esta manera, se
busca partir de nuestros problemas, necesidades y potencialidades para que el desarrollo de los
procesos educativos pueda convertirse en un mecanismo que coadyuve a transformar nuestra
realidad. En este sentido, el elemento central para la articulación de las Áreas de saberes y
conocimientos son justamente nuestros problemas/necesidades/potencialidades, ya que esta
realidad atraviesa a todas las Áreas sin distinción. Dentro del Currículo Base, que cumple el rol
articulador de las Áreas en el desarrollo de los procesos educativos es el Proyecto Socioproductivo,
ya que representa aquel problema/necesidad/ potencialidad de nuestro contexto que vamos a
priorizar para transformar. Por tanto las y los maestros desarrollarán los procesos de articulación
en sus Unidades Educativas a través del mismo. La problematización nos vincula con la realidad de
un modo crítico, pues es una forma de cuestionar a la misma desde un determinado lugar y
proyecto de sociedad, en nuestro caso, desde los sentidos de los Campos de Saberes y
Conocimientos que expresan la direccionalidad política que plantea la estructura curricular. La
problematización plantea preguntas y problemas irresueltos e inéditos que nos involucran en su
desarrollo y resolución, es decir, permite abrir espacios para la transformación de la realidad; por
tanto, no está dirigida sólo a explicar y/o describir fenómenos u objetos ajenos a nosotros. Bajo
este contexto, la problematización de un “acontecimiento” de la realidad para trabajar la
articulación de las Áreas de Saberes y Conocimientos se refiere a plantear preguntas sobre un
determinado hecho para cuestionarlo críticamente desde los criterios que plantean los Sentidos de
los Campos y/o el Enfoque de las Áreas y de esta forma vislumbrar las formas en las que podemos
vincular las problemáticas de la realidad con los procesos educativos. Es importante aclarar que
por fines didácticos el proceso metodológico de la articulación de las Áreas, que desarrollaremos
en la sesión presencial, se realizará a partir de la narración de un “acontecimiento” o problema de
la realidad; éste será el punto de partida para realizar el proceso metodológico de la articulación
de las Áreas. No hay que confundir, entonces, a la narración del “acontecimiento” o problema de
la realidad con la que iniciamos este ejercicio de articulación de las Áreas, como un “nuevo”
elemento dentro de la estructura curricular. Como se ha aclarado, simplemente es un recurso que
usamos con fines didácticos en el proceso de formación en el PROFOCOM.
8 Actividad 1
Organizados en comunidades (equipos o grupos) de estudio (Inicial, Primaria y en Secundaria por
Campos: Cosmos y Pensamiento, Comunidad y Sociedad, Vida Tierra Territorio y Ciencia,
Tecnología y Producción) reflexionamos sobre el PSP (Proyecto Socioproductivo) que se propone
en esta Unidad de Formación. Consideramos las problemáticas que implica,.
Presentamos un ejemplo de PSP y de él, lo necesario para el trabajo:
RESUMEN DEL PSP
Título del PSP:
Objetivo del PSP:
Actividades del Plan de Acción:
Mi Barrio libre de violencia.
Desarrollar procesos de prevención, protección y seguridad
ciudadana a través de la organización de la comunidad para
disminuir los niveles de inseguridad ciudadana.
Sensibilización e información sobre seguridad ciudadana.
Conformación de brigadas vecinales.
Implementación del sistema de seguridad.
Identificación de focos de violencia.
Reducción de los focos de violencia.
Para mejorar la comprensión del PSP propuesto como ejemplo3, ampliamos la información al
respecto. La Unidad Educativa Florinda Barba Chávez está situada en el Barrio Victoriade la
ciudadela Andrés Ibáñez, más conocida como Plan 3000 (Distrito Municipal 8). Uno de los 25
distritos municipales de la ciudad de Santa Cruz de la Sierra (22 urbanos y 3 rurales)4.
El problema de la violencia está a la orden del día. Observando los canales de televisión nacional,
vemos las múltiples formas de violencia. Santa Cruz no es obviamente una excepción.
En el Barrio “Victoria” del Plan 3000 de la ciudad de Santa Cruz, contexto de la UE Florinda Barba,
también está presente el problema de la violencia, delincuencia, criminalidad e inseguridad
ciudadana, especialmente la manifestada a través de la comisión de delitos. La violencia e
inseguridad ciudadana son parte del acelerado crecimiento urbano. Asaltos y atracos, robos al
paso, violaciones hasta homicidios y asesinatos son preocupaciones de los vecinos porque viven
junto a sus hijas e hijos esta realidad a diario.
La inseguridad ciudadana es el problema más importante, estadísticamente está delante del
consumo de drogas. Las posibles causas que originan la delincuencia son la falta de trabajo,
escasez de recursos y falta de valores. Se manifiesta que 4 de cada 100 personas se sienten
seguras el abordar un micro, 11 de cada 100 caminan seguras por el barrio, 32 de cada 100 se
sienten seguros en su propia casa. Las pandillas, el crimen organizado (robo agravado y hasta
homicidio) y el robo de “fruslerías” son preocupaciones. Por supuesto que esto cambia en los
diferentes contextos5.
El Gobierno departamental, al respecto, lanzó el plan “La Seguridad Ciudadana es nuestra
responsabilidad”. El gobierno central diseñó:
“… el Plan Nacional de Seguridad Ciudadana y Lucha Contra el Crimen 2012 – 2016 que se
basa sobre cuatro pilares fundamentales, que permitirán una efectiva lucha contra la
delincuencia en el país. La estrategia que fue elaborada por el Viceministerio de Seguridad
3
Si trabajásemos en la Unidad Educativa “Florinda Barba Ch.” desarrollaríamos el PSP “Mi Barrio libre de violencia” 4
La provincia Andrés Ibáñez del departamento de Santa Cruz está dividida en 5 municipios, uno de ellos es el municipio de Santa Cruz
de la Sierra que está divido en 22 distritos Urbanos o zonas y 3 distritos rurales. El Plan 3000 es el Distrito Municipal 8.
5
Captura Consulting (2011). En Santa Cruz sobra el miedo y falta la seguridad. Recuperado a 9:05, 19, 06, 2015 de: http://www.capturaconsulting.com/index.php/noticias/111-­‐en-­‐santa-­‐cruz-­‐sobra-­‐el-­‐miedo-­‐y-­‐falta-­‐la-­‐seguridad.html 9 Ciudadana y establece como primer pilar el fortalecimiento normativo boliviano, mediante
la aprobación de la Ley de Seguridad Ciudadana; Ley de Control al Expendio y Consumo de
Bebidas Alcohólicas; Ley de Faltas y Contravenciones; Ley de Armas y Explosivos; Ley de
Justicia Penal Juvenil y la Reforma al Código Penal y de Procedimiento Penal.
“El segundo está referido al fortalecimiento de la Policía Boliviana y la seguridad ciudadana
integral, que conlleva la capacitación y especialización de los efectivos de la entidad del
orden; infraestructura y equipamiento; mejora de la calidad de vida de los miembros de la
institución del orden, su bienestar y la aplicación de tecnología preventiva.
“La prevención, cultura e interacción ciudadana es el tercer pilar del plan nacional, y su
consolidación se dará con la inclusión de seguridad ciudadana y vial en el currículo escolar;
formación en seguridad ciudadana y seguridad vial; conformación de los consejos de
seguridad ciudadana; campañas comunicacionales gratuitas en medios de comunicación y
el Observatorio de Seguridad Ciudadana.
“El cuarto pilar fundamental tiene que ver con la lucha contra el crimen, para lo cual se
ejecutarán planes operativos integrales; reforma al Código Penal y Código de
Procedimiento Penal; la creación del Centro de Inteligencia Interinstitucional en
aeropuertos y fronteras; generación de una base de datos de delitos compartida;
aplicación de la Ley Nº 007; desconcentración policial, judicial y del Ministerio Público,
además del fortalecimiento a la Fuerza Especial de Lucha Contra el Crimen (FELCC) y la
Dirección de Prevención de Robo de Vehículos (DIPROVE).“El Sistema Nacional de
Seguridad Ciudadana está conformado en el ámbito nacional por el Ministerio de Gobierno;
Defensa; Justicia; de Salud y Deportes; Educación, y el Ministerio de Comunicación. En el
ámbito departamental están los gobiernos autónomos departamentales; organizaciones
sociales; organizaciones indígenas originarias campesinas; Comando General de la Policía;
Fuerzas Armadas; organizaciones no gubernamentales; organizaciones religiosas y
Defensoría del Pueblo. Asimismo, se establece el ámbito municipal con los gobiernos
autónomos municipales; las juntas vecinales; organizaciones sociales; organizaciones
indígenas originarias campesinas; Policía Boliviana; organizaciones no gubernamentales;
instituciones privadas, además de las organizaciones religiosas que existen en el país.
La inseguridad ciudadana afecta, de manera directa o indirecta, el desarrollo de las actividades
productivas propias del barrio. Sobre esta realidad, está la protección de sus hijas e hijos, en fin
de la familia; por ello, potencialmente las vecinas y los vecinos estarían prestos a desarrollar
mecanismos de protección y autodefensa. Actividad 2
Problematización del PSP desde el sentido del Campo
Producción
de Ciencia, Tecnología y
En Secundaria Comunitaria Productiva, reunidos en comunidades de estudio de Campos de
Saberes y Conocimientos, dialogamos y reflexionamos sobre cómo desde nuestro Campo de
Saberes y Conocimientos podemos abordar las problemáticas de la realidad que hemos
encontrado en el PSP “Mi Barrio libre de violencia”.
10 PSP
• Mi barrio libre de violencia PROBLEMÁTICA
• Inseguridad ciudadana SENTIDO DE
CAMPO
• Mi\gar la dependencia económica y tecnológica Para realizar esta actividad nos guiamos por las siguientes preguntas:
1. ¿Cómo el sentido del Campo de Ciencia Tecnología y Producción, contribuye a mitigar la
problemática del PSP “Mi Barrio libre de violencia”?.
2. ¿Por qué es necesario relacionar los contenidos de las áreas del Campo de Ciencia Tecnológica
y Producción con las actividades del PSP?
3. ¿Por qué la inseguridad ciudadana afecta el normal desarrollo en la actividad socioeconómica
de la población?
11 4. El PSP “Mi barrio libre de violencia” es un fenómeno social, en este entendido ¿Cómo la
violencia se desarrolla en la concreción curricular, desde el Campo de Ciencia Tecnología y
Producción?
5. Luego del análisis y reflexión, en el siguiente cuadro registramos las ideas o conceptos
relevantes para compartirlas en plenaria.
Las reflexiones sobre el sentido del Campo orientarán en el desarrollo curricular de cada Área.
Actividad 3
Problematización del PSP “Mi Barrio libre de violencia” tomando en cuenta el enfoque de Área
PSP
• Mi barrio libre de violencia PROBLEMÁTICA
• Inseguridad ciudadana ENFOQUE DEL
ÁREA
• Aplica\vo • Transformador 12 Dando continuidad a la reflexión realizada en la anterior actividad y ahora reunidos por Áreas de
Saberes y Conocimientos, dialogamos y reflexionamos sobre cómo abordar las problemáticas de la
realidad que estamos respondiendo con el PSP “Mi Barrio libre de violencia” desde el Área de
Matemática.
Para realizar esta actividad nos guiamos por las siguientes preguntas:
1. ¿Cómo el área de matemática puede contribuir a mitigar la violencia e inseguridad ciudadana?
Describimos tres ejemplos: 2. ¿Cómo la modelación matemática ayuda a comprender el fenómeno social de la violencia e
inseguridad ciudadana?
3. ¿Cómo la matemática puede estimar el presente y el futuro del fenómeno de la violencia con
base a la información recogida en el contexto?
13 4. ¿Cuáles son las estrategias para el recojo de la información del fenómeno de la violencia y la
matematización para su mejor comprensión?
6. Luego del análisis y reflexión realizada, de manera similar a la anterior actividad, anotamos los
elementos más relevantes para compartir en plenaria.
Actividad 4 (Primera plenaria)
Para conocer cómo se interpreta la problemática planteada en el PSP “Mi Barrio libre de violencia”
desde el sentido de Campo de Saberes y Conocimientos y para tener una visión global de cómo se
está asumiendo la misma desde el enfoque de las Áreas de Saberes y Conocimientos,
desarrollamos esta plenaria donde se expondrán los resultados de las reflexiones desde:
a) Las conclusiones y aportes sobre la problematización del PSP desde el sentido del
Ciencia, Tecnología y producción.
b) Las conclusiones y/o aportes desde el enfoque de cada Área de Saberes y
Conocimientos que estén presentes.
PROBLEMATIZACION DEL PSP DESDE EL SENTIDO DEL CAMPO Y ENFOQUE DEL AREA ARTICULACION DE CONTENIDOS Y EJES ARTICULADORES DE LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO AL PSP PROBLEMATIZACION DE LOS CONTENIDOS Y EJES ARTICULADORES EN FUNCION DEL PSP Campo de
CONCRECION CURRICULAR A PARTIR DE LOS CONTENIDOS PROBLEMATIZADOS 14 Para realizar esta actividad delegamos responsables por Campos y Áreas, y procuraremos ser
sintéticos en las exposiciones.
La plenaria podrá plantear ajustes y la profundización de las reflexiones de los Campos y Áreas
que lo requieran.
Para realizar esta actividad se deberá delegar a responsables por Campos y Áreas y se procurará
ser concreto en la exposición que realicen.
La plenaria podrá plantear ajustes y la profundización de la reflexión en los Campos y Áreas que lo
requieran, todo lo cual se registrará en el cuadro que precede:
2. Articulación de contenidos6 de los Programas de Estudio al PSP
La reflexión y problematización generada en los anteriores puntos, debe permitirnos delinear
criterios comunes para todas las Áreas y darle sentido y orientación crítica a nuestra planificación
curricular y práctica educativa7. Esta problematización debe ayudarnos a una organización y
articulación de contenidos (desde cada Campo y Área) acorde a la problemática y/o Actividad del
Plan de Acción del PSP de nuestro contexto educativo planteada en el PSP.
La planificación curricular nos permitirá articular de manera pertinente la organización de nuestros
contenidos (para no caer en respuestas mecánicas, a la hora de definirlos).
Actividad 5
Tomando en cuenta la reflexión generada en las anteriores actividades organizamos los
contenidos y ejes articuladores de los programas de estudio de cada Área en función de la
problemática o actividad del Plan de Acción del PSP.
A continuación presentamos un ejemplo de articulación de contenidos de cada Área del Campo
Ciencia, Tecnología y Producción en función del PSP “Mi Barrio libre de violencia”, de acuerdo a los
siguientes criterios:
–
–
Contenidos orientados al PSP “Mi Barrio libre de violencia”.
Tomados del Programa de Estudio del Currículo Base y/o Regionalizado.
6
En adelante en algunos casos sólo se utilizará el término contenidos y en otros Contenidos y Ejes Articuladores, de acuerdo al sentido que adquiera en su redacción, sin embargo debe tomarse en cuenta que el elemento curricular como tal es Contenidos y Ejes Articuladores. Que sería el momento de reflexión política, ya que en éste se plantea la manera en cómo encaramos las problemáticas de la realidad desde los sentidos que orientan a los Campos de Saberes y Conocimientos y el enfoque de las Áreas. Aquí no se trata solamente de un uso meramente temático de un problema para transversalizarlo en las Áreas, sino se trata de plantear la transformación de los problemas de la realidad desde una orientación política de construcción de la realidad. 7
15 Organización de contenidos del Programa de Estudios para el 3ero. Año de Escolaridad de Educación Secundaria
Comunitaria Productiva
PSP “Mi Barrio libre de violencia”
CAMPO DE SABERES Y CONOCIMIENTOS: CIENCIA TECNOLOGÍA Y PRODUCCIÓN
Áreas
CONTENIDO DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS PARA 3er AÑO DE ESCOLARIDAD DE SECUNDARIA COMUNITARIA PRODUCTIVA Área Matemática
El Álgebra, Geometría y su valor en la
diversidad cultural
-
El lenguaje algebraico
Propiedades algebraicas
Operaciones algebraicos
Productos notables
Cocientes notables
La factorización
Área Técnica Tecnológica
Derecho al trabajo como forma de vida
y seguridad social.
•
•
•
•
Derecho al trabajo y al empleo
Contratos de trabajo
Inamovilidad laboral
Desahucios e indemnizaciones.
En el cuadro anterior observamos que las áreas de saberes y conocimientos se articulan al PSP a
través de los Contenidos y Ejes Articuladores, ya que éstos para el Plan Anual Bimestralizado
(PAB) se organizan desde los planes y programas del Currículo Base y del Currículo Regionalizado,
y se contextualizan en función de la actividad del plan de acción del PSP.
Como se observa, desde las respectivas áreas se puede trabajar la problemática del PSP, para ello
es necesario profundizar los conocimientos del área que nos ayuden a desarrollar los contenidos
con pertinencia. En ese sentido esta Unidad de Formación N° 15 para el campo de Comunidad y
Sociedad presenta contenidos que desde su estudio crítico nos muestran una nueva forma de ver
los conocimientos que están al interior de cada área; para la formación de maestras y maestros,
trabajaremos los siguientes contenidos:
Profundización de conocimientos de las Áreas del Campo de Ciencia, Tecnología y Producción
PSP “Mi Barrio libre de violencia”
Áreas
Contenidos para
formación de
maestros
CAMPO DE SABERES Y CONOCIMIENTOS: Ciencia Tecnología y Producción
Área Matemática
Área Técnica Tecnológica
El álgebra en situaciones concretas del
contexto
- Productos Notables y su interpretación
geométrica
- La factorización en los fenómenos sociales
y naturales
- Funciones lineales y ecuaciones de
Primera Grados
Gestión, producción y cultura tributaria
- Cultura tributaria.
- Sistemas automáticos en la optimización
de la producción.
- Elaboración y gestión de proyectos
socioproductivo.
Luego del análisis y reflexión de la articulación de contenidos al PSP, pasamos a la siguiente
actividad:
Realizamos un ejercicio similar al ejemplo y los criterios de la actividad anterior, tomando en
cuenta los Programas de Estudio del Currículo Base y Regionalizado, registrando en el siguiente
cuadro la articulación de contenidos del Área para el quinto año de escolaridad en función del PSP
presentado.
16 Organización de contenidos del Programa de Estudios
para el 5to Año de Escolaridad de Educación Secundaria Comunitaria Productiva
CAMPO DE SABERES Y CONOCIMIENTOS: COSMOS y PENSAMIENTO
AREAS
Contenidos del
Programa de
Estudio.
Área Matemática
Área Técnica Tecnológica
3. Problematización de los contenidos organizados en función del PSP “Mi Barrio libre
de violencia” o problemática de la realidad
Una de las exigencias centrales del MESCP para maestras y maestros, tiene que ver con la
necesidad de realizar un desarrollo crítico, creativo y pertinente de los contenidos Y EJES
ARTIUCLADORES para superar prácticas educativas repetitivas y memorísticas.
Por lo tanto, los contenidos y ejes articuladores propuestos en los Programas de Estudio no son
cerrados y definidos que simplemente haya que reproducir, por el contrario, se constituyen en la
base sobre la cual maestras y maestros tenemos que dotar a los procesos educativos de un
sentido pertinente a nuestra realidad, es decir desplegarlos desde nuestras necesidades,
problemas y potencialidades.
De esta manera, no se entiende al desarrollo de los contenidos como un fin en sí mismo, como
nos han acostumbrado los anteriores modelos educativos; desde el punto de vista del MESCP, los
contenidos y su desarrollo son el medio para desplegar procesos educativos vinculados a la vida y
para responder a las necesidades, problemas y potencialidades de nuestra realidad. Por tanto los
contenidos tienen que ser trabajados según las exigencias de los diversos contextos, de nuestro
país, con pertinencia.
¿Cómo articulamos los contenidos de los Programas de Estudio con nuestra realidad para darle un
sentido pertinente? Para lograr este cometido se requiere orientar los contenidos en función de las
problemáticas, necesidades y/o potencialidades de la comunidad. Esta orientación de los
contenidos a la realidad se logra a través de su problematización, es decir a partir de realizarnos
preguntas que redefinan al contenido, que sin perder su naturaleza, expresen una orientación
específica referida a nuestras necesidades, problemas y potencialidades.
En ese sentido, los contenidos de los Programas de Estudio tienen que ser problematizados en
función de la problemática identificada en el PSP o la actividad del plan de acción planteada para
desarrollar el PSP.
De esta manera la problematización de los contenidos que se desarrolle en función de una determinada
problemática de la realidad, plantean preguntas que le dotan a los contenidos de una orientación y un
sentido específico referido a las necesidades, problemas y potencialidades del contexto.
17 Es importante tomar en cuenta que la problematización está referida a las necesidades, problemas
y potencialidades de nuestro contexto inmediato, es decir nuestra comunidad, barrio, ciudad.
Así se tiene un contenido que se ha transformado en una o en varias preguntas, que se convierten
en el punto de partida para el desarrollo de los procesos educativos con las y los estudiantes.
Ejemplo:
Área de
Saberes y
Conocimientos
Contenido del Área de
Matemática
Problemática
del PSP “Mi
Barrio libre de
violencia”
Problematización del
contenido en función del
problema de la realidad
Inseguridad
ciudadana
Explicamos ¿Cómo los
productos notables, la
factorización y las funciones
lineales pueden facilitar la
comprensión del fenómeno de
la violencia?
El álgebra en situaciones
concreta del contexto
Matemática
1. Productos Notables y su
interpretación geométrica
2. La factorización en los
fenómenos sociales y
naturales
3. Funciones lineales y
ecuaciones de Primera
Grados
Actividad 6
Después de la organización de contenidos que se realiza para cada Área se procede a su
problematización a partir de los siguientes criterios:
−
−
−
Planteamos preguntas problematizadoras que permiten orientar los contenidos y Ejes
Articuladores hacia la problemática presentada en el PSP o la actividad del Plan de acción
del PSP.
Las preguntas problematizadoras expresarán toda la discusión realizada en las actividades
anteriores, es decir, deberá expresar también los sentidos de los Campos y Enfoque de las
Áreas.
Las preguntas problematizadoras plantean tareas nuevas/inéditas que posibilitan orientar
las prácticas educativas para transformar una determinada realidad. No son preguntas
cerradas, explicativas ni descriptivas; son preguntas que llevan a la acción.
Área de Saberes
y Conocimientos
Contenido de los
Programas de
Estudio
Matemática Problemática del
PSP “Mi Barrio
libre de
violencia”
Inseguridad ciudadana Problematización del contenido en
función del problema de la realidad
O Actividad del Plan de Acción del
PSP
18 4. Concreción curricular a partir de los contenidos problematizados
Llegados a este punto nos encontramos con preguntas que serán la base para la concreción
educativa. Como hemos visto en la actividad anterior, las preguntas son la forma en que los
contenidos adquieren pertinencia para desarrollar los procesos educativos en función de los
problemas de la realidad.
Esto no implica que lo que sabemos sobre el contenido se niega o se deja de lado, el
conocimiento acumulado de maestras y maestros sobre un contenido específico será el
fundamento sobre el cual realizaremos cualquier adaptación o búsqueda de respuestas a
preguntas inéditas producto de la problematización. De lo que se trata, es de darle sentido a los
contenidos, por tanto no se trata de un desarrollo enciclopédico y temático de los mismos.
Entonces, los contenidos trabajados a partir de la formulación de preguntas nos plantea buscar su
resolución en el mismo proceso educativo, donde con la participación de las y los estudiantes,
maestras y maestros y comunidad educativa producimos conocimiento al responder las preguntas
planteadas, esto involucra transformar nuestra práctica en varios sentidos.
Partir de una pregunta en el quehacer educativo, es partir sabiendo que como maestras y
maestros no tenemos el “CONTROL” de todo el proceso educativo y sus resultados, es decir que,
como la pregunta es inédita, nosotros como maestras y maestros al igual que las y los estudiantes
no conocemos las respuestas a priori y tampoco las encontraremos en referencias bibliográficas o
en el internet como un contenido definido. Partir de la pregunta nos lleva a la búsqueda de
respuestas, es decir, que en el proceso educativo que promovemos, también nos corresponde
aprender. En un proceso de estas características también las relaciones establecidas con las y los
estudiantes se reconfiguran, ya que como estamos partiendo de la realidad del contexto, es decir
de los problemas, necesidades y potencialidades de la comunidad, barrio, ciudad, hay que tomar
en cuenta que las y los estudiantes tienen saberes y conocimientos profundos de la realidad
donde viven y por tanto, a nosotras como maestras y maestros nos tocará también aperturarnos a
escuchar y aprender de las y los estudiantes, de la misma manera con madres, padres de familia y
la comunidad en general.
Partir de preguntas de la realidad, implica desarrollar procesos educativos creativos, es decir que
es un proceso que involucra la producción de conocimiento y la producción de una nueva realidad,
esto implica superar una reproducción acrítica de los contenidos y perfilar su desarrollo pertinente
y útil para la vida.
Actividad 7
A partir de las preguntas que problematizan los contenidos, realizadas en la actividad anterior,
planteamos las orientaciones metodológicas pertinentes.
Las orientaciones metodológicas que planteamos deben tomar en cuenta que este proceso de
búsqueda de respuestas a las preguntas que estamos formulando, tendrán que ser resueltas con
la participación de las y los estudiantes y si fuera necesario/viable con la comunidad en un
proceso educativo, por lo tanto debemos proponer orientaciones metodológicas que permitan
trabajar los cuatro momentos metodológicos: Práctica, Teoría, Valoración y Producción.
19 Como ejemplo consideramos lo siguiente:
Área de
Saberes y
Conocimie
ntos
Matemátic
a
Contenido de
los Programas
de Estudio
El álgebra en
situaciones
concreta del
contexto
Problemáti
ca del PSP
“Mi Barrio
libre de
violencia”
Problematizació
n del contenido
en función del
problema de la
realidad
Inseguridad
ciudadana
Explicamos
¿Cómo los
productos
notables, la
factorización y las
funciones lineales
pueden facilitar la
comprensión del
fenómeno de la
violencia?
- Productos
Notables y su
interpretación
geométrica
- La factorización
en los
fenómenos
sociales y
naturales
- Funciones
lineales y
ecuaciones de
Primera Grados
Orientaciones Metodológicas
que permiten lograr plantear
respuestas pertinentes
- Luego se elabora un cuestionario
para realizar el trabajo de campo
en
la
zona
para
recoger
información sobre el número de
casos de violencia y, en función
del tiempo x, en semanas que
sucedieron
expresados
y
representados a través de las
funciones lineales y ecuaciones de
primer grado en las coordenadas
rectangulares (considerando que
la relación sea lineal).
- Identificamos
los
puntos
vulnerables a la violencia en la
zona, representando las formas y
los espacios de viabilidad en el
plano cartesiano con base en la
información recogida.
- En grupos se hace un diálogo de
reflexión crítica sobre la necesidad
de comprender y aplicar las
propiedades y procedimientos de
la geometría plana y las funciones
lineales.
- Se elaboran planos a escala en los
que se ubiquen de forma precisa
las zonas vulnerables a la
violencia, a través del cálculo de
distancias y áreas, además de la
incidencia de este fenómeno
expresado como funciones lineales
o ecuaciones de Primer grado.
A continuación planteamos Orientaciones metodológicas que dinamicen los contenidos y Ejes
Articuladores problematizados en la anterior actividad:
Área de
Saberes y
Conocimiento
s
Matemática
Contenido de
los Programas
de Estudio
Problemática del
PSP “Mi Barrio
libre de violencia”
Inseguridad
ciudadana
Problematización del
contenido en función
del problema de la
realidad
Orientaciones Metodológicas que permiten lograr
plantear respuestas
pertinentes
20 Actividad 8 (Segunda Plenaria)
Después de trabajar los puntos 2, 3 y 4, se expondrán los resultados, conclusiones y dudas de las
actividades a la plenaria.
Momento 2
Sesiones de construcción crítica y concreción educativa
(138 horas)
En este momento de formación, es importante trabajar en las Comunidades de Producción y
Transformación Educativa CPTEs. A él corresponden las actividades de Autoformación, Formación
Comunitaria y las de Concreción educativa.
I. Actividades de autoformación
En la autoformación cada maestra o maestro desarrolla procesos de reflexión sobre su formación,
por lo que debe realizar acciones que vayan en favor de ese cometido. Para ello, se proponen las
siguientes actividades:
1. Preguntas problematizadoras por tema.
2. Lecturas de trabajo de nuestra Área de Saberes y Conocimientos.
3. Actividades de análisis y reflexión de la problematización de las lecturas de trabajo y otros.
En las unidades educativas donde haya la posibilidad de hacer un trabajo entre varios
docentes de la misma área, estas actividades deberán ser desarrolladas de forma colectiva.
Tema 1. Productos Notables y su interpretación geométrica
Actividad 1. Organizamos grupos y respondemos las siguientes preguntas problematizadoras
¿Qué utilidad tienen los productos notables en nuestra vida cotidiana?
21 ¿Cómo se puede abordar el contenido de los Productos Notables en el álgebra, sabiendo que el
PSP es “Mi barrio libre de violencia” donde sus dos primeras acciones son: a) la Sensibilización e
información sobre seguridad ciudadana y b) La conformación de brigadas vecinales.
¿Cómo los productos notables se pueden articular a las acciones del PSP “Mi Barrio libre de
violencia”.
¿Cómo podemos mostrar la integración del algebra y la geometría, al mismo tiempo representar,
demostrar y expresar simbólicamente el fenómeno de la violencia en nuestro contexto?
22 Lectura de trabajo para el tema 1
Lecturas 1
El laberinto del significado: la comunicación en el aula de matemática
David Mora y Wladimir Serranog.
Lenguaje, comunicación y significado en educación matemática
Ed. 2006, Editorial “Campo Iris” s.r.l. La Paz – Bolivia
Orígenes del lenguaje matemático
El hombre sintió desde tiempos muy remotos la necesidad de comunicarse con sus semejantes, en
sus inicios predominaron seguramente el lenguaje gestual y los gruñidos; pero, más pronto que
tarde, éste fue creando los primeros rudimentos del lenguaje. Este incipiente lenguaje contenía
componentes claramente identificables con la transmisión de ideas matemáticas (lenguaje
matemático), habiéndose encontrado que “el documento matemático más antiguo es un conjunto
de 55 incisiones o tarjas, en grupos de cinco, hechas en un hueso de lobo de 30.000 años de
antigüedad encontrado por Barrow (1997). Por otra parte, “la evidencia más temprana de un
artificio para hacer registros numéricos lo constituye un peroné de un mandril, el cual posee 29
muescas claramente visibles, que data cerca de 35.000 a. C., hallado en una cueva en las
montañas de Lebembo en las fronteras de Swazilandia en el África meridional” (Wells, 1997, p.
224). Este descubrimiento, también ews señalado por Barrow, (1997, pp. 31-32). Otro hito
importante en este aspecto en este aspecto lo constituye un hueso desenterrado en la década del
50 en un poblado llamado Ishango, situado a las orillas del lago Eduardo, en Zaire, el cual fue
datado entre 9.000 y 6.500 años a. C. (Barrow, 1997; Gheverghese, 1996). También, Campiglio y
Eugeni (1992) mencionan un fragmento de hueso de águila tallado,. El cual se remonta al
Magdaleniense medio. Compartimos la afirmación de que “hacer marcas es la forma más antigua
conocida dl sentido del número en el hombre” (Barrow, 1997, P.31).
Mención aparte merecen los diversos vestigios dejados por las culturas precolombinas.
Encontramos aquí los famosos petroglifos, los cuales constituyen un rico material sobre cuyo
significado aún no se han puesto de acuerdo los estudiosos. Dentro de la producción de estas
culturas están los quipus incas, los cuales constituyen un ingenioso instrumento de recopilación y
transmisión de información numérica basada en nudos hechos en cuerdas de diversos colores,
además, no podemos dejar de mencionar el prodigioso sistema de numeración especial para
rellenar los lugares vacíos, creación esta anterior en 500 años a la realizada por los hindúes con la
misma finalidad.
¿Qué es el lenguaje?
Responder a esta interrogante es un asunto controvertido, más aún por cuanto la definición de
lenguajes (en su concepción general) no está exenta de polémica entre semiólogos, psicólogos,
educadores, filósofos y lingüistas.
Para tener una definición de referencia a los efectos de este trabajo, se asumirá como definición –
en general- la siguiente: el lenguaje es un sistema de signos, sujetos a una serie de reglas
sintácticas (gramática) así como reglas de uso presentes en una cultura, los cuales dentro de un
campo significativo permiten la comunicación entre un emisor y un receptor en el ámbito de un
sistema comunicacional.
Aclaremos que ésta es una de las posibles maneras de definir lenguaje. En ella hemos considerado
tanto aspectos de corte sintáctico como de tipo pragmático. Estos últimos van a tener una amplia
y profunda relación en la adquisición del significado, en gran medida por el papel que juegan los
textos.
23 El signo lingüístico: su papel en el lenguaje matemático
Cualquier proceso de comunicación está centrado en el signo, elemento este que desde Saussure
(1857 – 1913) se ha convertido en la unidad básica de análisis de lingüística y semiología.
El Signo. De acuerdo con el punto de vista sausuriano, está conformado por dos elementos
indisolublemente ligado: El significante y el significado.
En relación con el signo, se afirma que “un signo se explica en su propio significado solamente
remitiéndole a un interpretante, el cual se refiere a otro interpretante y así sucesivamente hasta lo
infinito, estableciendo un proceso de semiosis ilimitada, en el curso del cual el destinatario
descodifica el signo originario sólo en aquello que le sirve para fines de la comunicación
emprendida, o de los usos de referencia a los que se pretende aplicarlos. “Eco, 1988, p. 174).
Se dice que “el significado es una relación entre el interpretante del emisor y el interpretante del
receptor (Pignatari, 1977, p. 26).
Así, hemos de recalcar que cualquier código o lenguaje está basado en un conjunto de signos
elementales o atómicos, los cuales constituyen su alfabeto, mediante el cual se constituyen
nuevos signos de mayor de complejidad (supersímbolos), los cuales frecuentemente son llamados
palabras.
Proporciones tres ejemplos (dos de ellos de tipos matemático) para ilustrar lo entes dicho.
Ejemplo 1.
Consideremos como alfabeto como alfabeto el conjunto A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el sistema de
numeración posicional de base diez que comúnmente usamos. Este sistema de numeración
constituye un lenguaje cuyo alfabeto es el conjunto A. Los símbolos 45 y 478242 son palabras
dentro de este lenguaje.
Algunas características específicas de este lenguaje son:
-
Cualquier palabra construida con este alfabeto está bien formada; esto es, posee
“significado”
Por cuanto podemos crear cadenas del tamaño que queramos concatenando elementos d
nuestros alfabeto A, se pueden crear infinitas palabras en este lenguaje. Cada palabra es
un número natural.
No existe sinonimia. Es decir, no existen dos representaciones distintas (dentro del mismo
lenguaje) las cuales posean el mismo significado.
Tampoco existe polisemia. Esto es, no ocurre que una misma representación posea más de
un significado.
Ejemplo 2.
Note que en contraposición, si consideramos el idioma español, y tomamos como alfabeto el
abecedario latino, B= {a,b,….., z}, no toda concatenación de elementos del alfabeto B posee
significado.
24 Ejemplo 3.
Consideremos el lenguaje algebraico. Éste tiene un alfabeto mucho más complejo que el de los
ejemplos anteriores. Son elementos de este alfabeto el abecedario latino, el abecedario griego, los
numerales (actuando éstos de agrupación con diferentes “significados”: coeficientes, exponentes,
subíndices), los signos de agrupación como los paréntesis, signos de mayor y menor, signo de
igualdad, etc. Es común llamar fórmulas a los elementos de este lenguaje. Así, por ejemplo, “3x2x+5=0” y “(a-b)3 son palabras de este lenguaje. Por su parte, “x.(23y) y x+-35” no tienen
significado de acuerdo con las “reglas” de construcción de las expresiones algebraicas.
Existe aquí la presencia de sinonimia. Por ejemplo, las expresiones “(sen(x))2 y “sen2(x)” poseen el
mismo significado.
A la hora de enfrentar la actividad en el aula, el proceso de comunicación empieza a ser muy
complejo. Esto puede reflejarse en los anteriores ejemplos, y la diferencia sustancial entre las
situaciones presentadas en los ejemplos 1 y 3, podrían darnos pistas para estudiar las dificultades
con las que tropiezan los estudiantes en el paso de la aritmética al álgebra.
Como se podrá notar, la noción de signo lingüístico es una poderosa herramienta para el estudio,
desde el punto de vista de la Didáctica de la Matemática, de las interrelaciones comunicacionales
que se producen en el sistema didáctico, en las cuales también se producen fenómenos como la
sinonimia y la polisemia.
Actividad 2
¿Cómo el lenguaje algebraico ayuda a la comprensión de la problemática de la “violencia escolar y
familiar”? Registramos tres ejemplos.
Problemática
“Violencia escolar”
Ejemplo
Lecturas de trabajo para el tema 2
Lecturas 2
PRODUCTOS NOTABLES
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos
conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla
cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de
productos notables.
25 Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.
Algunos de ellos son los siguientes:
Cuadrado del Binomio
Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. El
producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo
de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado
el binomio “a+b”, multiplicando término a término, se obtendría:
(a + b )2 = (a + b )⋅ (a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
2
pero si comparamos la expresión “ (a + b ) ” con el resultado de su expansión “ a 2 + 2ab + b 2 ”
podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Donde
representa al primer término del binomio y
al segundo.
Si tomamos como ejemplo al binomio “a-b”, ocurre lo mismo que para a+b sólo que en la
reducción de términos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:
En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir
de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del
binomio:
“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del
producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”
La estructura que representa esta fórmula es:
Algunos ejemplos:
i.
( p + 2b)2 = p 2 + 2 ⋅ p ⋅ 2b + (2b )2 = p 2 + 4 pb + 4b 2
ii.
(3m + 4n)2 = (3m)2 + 2 ⋅ 3m ⋅ 4n + (4n)2 = 9m 2 + 24mn + 16n 2
iii.
(5 x − y )
2
2
2
2
= (5 x ) + 2 ⋅ 5 x ⋅ y + ( y ) = 25 x + 10 xy + y
2
26 Representación Geométrica del Cuadrado del Binomio
El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representación geométrica en
el plano.
Consiste en considerar el área de un cuadrado de lado “a+b“ y las regiones que estas medidas
generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos “a” y “b” :
a
b
Con ellos se construye un trazo de longitud “a+ b“:
a+b
y con él un cuadrado de la misma longitud:
Si se extienden los extremos de los trazos “a” y “b“ éstos dividen al cuadrado en cuatro áreas
menores: dos cuadrados, uno de lado “a” y otro menor de lado “b“, y dos rectángulos de largo “a”
y ancho “b“.
27 La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado
a+ b, es decir:
Suma por Diferencia
Consideremos el producto de la suma de dos términos “ a + b ” por su diferencia “ a − b ”. Al
desarrollar el producto:
(a + b)(a − b) = a ⋅ a − a ⋅ b + b ⋅ a − b ⋅ b = a 2 − b 2
Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los
cuadrados de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia
como sigue:
“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo”
Algunos ejemplos son:
I.
( x + 5)( x − 5) = x 2 − 25
II.
( a − 3)( a + 3) = a − 9
( 2 p + 6q )( 2 p + 6q ) = 4 p
III.
2
2
5
4
4
5
4
10
− 36q 8
Representación Geométrica de la Suma por Diferencia
Para representar la suma por diferencia, utilizaremos un rectángulo de largo “a+b“ y ancho “a-b”.
Considere dos trazos “a” y “b“cualesquiera:
a
b
28 Con el trazo a se construye el siguiente cuadrado:
A este cuadrado se le agrega un rectángulo de lados “a“ y “b”:
De este rectángulo (de lados “a“ y “a+b”) se le recorta un rectángulo de lados “a“ y “b“ (el
achurado en la figura):
29 Quedando:
El área buscada es la del rectángulo de lados “a+b“ y “a-b“, para lo que debemos recortarle a la
figura anterior el cuadrado de lado “b”,
Finalmente, la representación geométrica de la suma por diferencia se puede resumir por el
siguiente esquema:
30 Multiplicación de Binomios con un Término Común
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ a + b ” por “ a + c
”. Al desarrollar el producto
(a + b)⋅ (a + c) = a 2 + (b + c)a + bc
Se observa que la estructura es la siguiente:
La fórmula para el producto de BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN se enuncia como
sigue:
“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término
común y más el producto de los términos distintos”
Ejemplos:
§
(x + 3)⋅ (x + 2) = x 2 + (3 + 2)x + 3 ⋅ 2 = x 2 + 5x + 6,
§
(a + 8)⋅ (a − 7) = a 2 + (8 − 7)a + 8 ⋅ − 7 = a 2 + a − 56 ,
§
( p − 9)⋅ ( p −12) = p 2 + ( − 9 + − 12)⋅ p + − 9 ⋅ − 12 = p 2 + − 21 p + 108,
Representación Geométrica de la Multiplicación de Binomios con un Término Común
Se consideran tres trazos “a”, “b“ y “c“ de medidas distintas, por ejemplo:
a
b
c
Con ellos se construyen dos trazos de longitudes “a+b“ y “a+c”:
31 Y a partir de estos se construye un rectángulo de lados “a+b“ y “a+c”:
De aquí podemos establecer la siguiente igualdad entre áreas:
(a + b)⋅ (a + c) = a 2 + ab + ac + bc
El siguiente esquema muestra este producto:
(a + b)⋅ (a + c )
=
a2
+
ab
+
ac
+
bc
A continuación presentamos otros productos notables con sus respectivas fórmulas:
§
§
Cubo de un binomio
3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3
= a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
i.
(a + b)
ii.
(a − b)
Cuadrado de un trinomio
2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
2
= a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc
i.
(a + b + c)
ii.
(a − b − c)
32 §
Suma y resta de cubos
i.
( a + b) ( a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
ii.
( a − b) ( a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
Actividad 3.
Con base a la anterior lectura presentamos a la anterior lectura proponemos otros productos
notables que se expresen de la geometría. Mencionemos tres ejemplos.
Tema 2: La factorización en los fenómenos sociales y naturales
Actividad 1. Organizados en grupo, respondemos a las preguntas problematizadoras en los
espacios asignados:
Haciendo un análisis crítico ¿Cuál es la utilidad o importancia de la factorización en el contexto
social? Mencionemos tres criterios
33 ¿De qué manera contribuyen las operaciones, propiedades y conceptos de la Factorización en el
fenómeno de la inseguridad ciudadana? Mencionemos tres criterios.
¿Cómo podemos articular el área de matemática con las áreas de otros campos de saberes y
conocimientos con la problemática de “inseguridad ciudadana”?
Lecturas de trabajo para el tema 2
Lectura 1
Guía didáctica para la aplicación del material Puzzle algebraico
Juan Jesús Larrubia Martínez
1. Representación geométrica de expresiones algebraicas con Puzzle algebraico.
El material didáctico Puzzle algebraico es una colección de piezas con la que se puede representar
geométricamente una expresión algebraica. Está inspirado en una versión simplificada (compuesta
por placas, tiras y unidades) de los Bloques Multibase de Dienes, utilizada por Bruner y el propio
Dienes para la construcción de cuadrados, como representación geométrica de trinomios de
términos positivos de segundo grado que son cuadrados perfectos, en el contexto de una
investigación con escolares sobre etapas de desarrollo cognitivo.
34 Puzzle algebraico es una versión ampliada y original, en cuanto a la metodología de combinación
de las piezas, en cuanto a los trinomios que pueden representarse, y en cuanto a su campo de
aplicación a la resolución de todo tipo de ecuaciones, del modelo de Dienes y de otros modelos
también inspirados en la versión simplificada de los Bloques Multibase, denominados algebra tiles2
(utilizados en Estados Unidos) y orientados entre otras aplicaciones (como son el producto de
monomios y de binomios, el cuadrado de un binomio de 1er grado, etc.) a la factorización de
trinomios de segundo grado.
Su aplicación a la resolución de ecuaciones, constituye un método mixto (geométrico y algebraico)
de resolución que tiene entre sus antecedentes la factorización geométrica de trinomios de
segundo grado y el método de completar cuadrados desarrollado por Mohammed Ibn Musa AlKhwarizmi (780-850), matemático árabe considerado padre del álgebra por su obra “Hisab al-yabr
wa´l muqqabala”, por lo que puede ser considerado un método de resolución con raíces
interculturales que contempla el desarrollo histórico de las matemáticas.
El método de resolución de ecuaciones con Puzzle algebraico está basado en la trasformación
algebraica de la expresión general de la ecuación que se quiere resolver, en una ecuación
equivalente más sencilla con expresión factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin
término independiente, obtenida de la medida de las dimensiones de un rectángulo o un
cuadrado, construido a partir de la colección de piezas del puzzle algebraico que representa la
expresión algebraica de la ecuación de segundo grado inicial. Las soluciones de la ecuación, si las
hubiese, se obtienen aplicando a la ecuación equivalente procedimientos algebraicos “directos” de
resolución (como el del producto de dos factores cuyo resultado es cero o el criterio de la raíz).
1.1. Descripción del material didáctico Puzzle algebraico.
Llamamos Puzzle algebraico a una colección de figuras geométricas planas, formada por
cuadrados y rectángulos que representan:
•
•
•
El cuadrado de área 1 de dimensiones 1 x 1, que denominaremos unidad positiva.
El rectángulo de área X de dimensiones 1 x X, que denominaremos tira positiva.
El cuadrado de área X2 de dimensiones X x X, que denominaremos placa positiva.
Rectángulo de área X
Cuadrado de área 1
Cuadrado de área X
2
1
1
X
1
X
1
Unidad positiva
X
2
X
Tira positiva
X
Placa positiva
-
Está colección está inspirada, como hemos comentado en la introducción, en una
versión simplificada de los Bloques Multibase de Dienes (Dienes [1964]), de las que
las piezas del P uzzle toman el nombre, y con las que sólo se pueden representar
trinomios de segundo grado de términos positivos.
En consecuencia, sí queremos representar cualquier trinomio de segundo grado (con
términos positivos y/o negativos), debemos completar la colección inicial con las
versiones negativas de las piezas anteriores. 35 2
Rectángulo d área x Cuadrado de área 1 Cuadrado de área X -­‐X -­‐1 -­‐ X2 Tira negativa
Unidad negativa
Placa negativa
Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser negativas, en el
modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área
negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados.
Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser
negativas, en el modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas,
representan figuras con área negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno
de sus lados.
-
1.2.
Representación geométrica de expresiones algebraicas mediante un conjunto de
piezas.
-
2
2
Toda expresión de 2º grado en forma general completa (ax + bx + c ) o incompleta (ax
2
+ bx o ax + c ) puede ser representada geométricamente por un conjunto de piezas del
Puzzle algebraico.
Esta representación geométrica se realiza término a término.
-
En concreto:
1) El término cuadrático (ax2) se representa mediante:
a) Una placa o conjunto de placas X2 cuando ax2 es positivo
Ejemplos:
X2
X2
X2
X2
X2
X2
x
2
2x
2
3x
2
-X 2
- 2x
X2
···
2
4x
Ejemplos:
-x
X 2, cuando ax 2 es negativo.
Una placa o conjunto de placas
-X 2
X2
2
X2
X
b)
2
-X 2
2
-X 2
-X 2
- 3x
2
-X 2
-X 2
-X 2
- 4x
36 -X 2
-X 2
2
...
2)
El término en X (bx ) puede ser representado mediante:
a) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos conjuntos de tiras X,
cuando bx es positivo.
Ejemplos:
x
x x
x x x x x
x x x x
2x
3x
4x
···
x x x
x
x
5x -x -x b) Una tira conjunto de tiras o las combinación d dos grupos –X,
cunado bx es negativo
-x -x -x
-x -x -x -­‐x -x
-­‐3x -­‐2x -x
-­‐4x c) La combinación de dos grupos o conjunto de tiras X y ­− X Como se indica en las figuras, siempre
que la suma algebraica de los dos grupos coincida con el término bx que queremos representar. Aquí
se aplica el principio: “pares de valores opuestos se anulan”
Ejemplos:
x x x x
-x -x
-x -x -x -x
x
2x
- 3x
(4 x ­− 2 x = 2x ) x
x
x
x
(x ­− 4 x = ­−3x ) -x -x -x -x -x
...
-x
(4x ­− 5 x = ­−x ) 3) El término independiente (c) se representa mediante:
a) Una unidad o conjunto de unidades positivas (1) cuando el término
independiente es positivo.
37 Ejemplos:
1
1 1
1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
4
4
b) Una unidad o conjunto de unidades negativas (
es negativo.
Ejemplos:
-1
1) cuando el término independiente
-1
-1
-1 -1 -1 -1
- 4 -1
-1
-1
-1
-1 -1 -1
-1 -1 -1
-1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1
-1 -1 -1
-1 -1 -1 -1
-7
- 9 -1
-1
- 12 -1 -1 -1 -1
...
-1 -1 -1 -1 -1
- 12
8
-1
...
5
1 1 1 1
1 1 1 1
Ejemplo: La expresión de 2º grado completa
2 x 2 + 5 x + 3 se puede representar por las piezas:
X2
X2
X
X
X
X
X
1
1
1
2x 2
5x
3
38 1.3. Expresión algebraica asociada a una representación geométrica con puzzle
algebraico.
Hemos visto que toda expresión de 2º grado puede ser representada geométricamente mediante un
conjunto de piezas del puzzle. A la inversa también ocurre: Todo conjunto de piezas que incluya al
menos una placa (X2) representa una expresión de 2º grado.
Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de piezas.
X2
x
-x
-x
-x
-1
-1
-1
• Escribiendo la suma de todos los valores, tenemos la expresión:
x 2 + x ­− x ­− x ­− x ­− 1 ­− 1 ­− 1
• Agrupando términos y operando obtenemos la expresión de 2º grado asociada:
x 2 ­− 2 x ­− 3
1.4.
Utilidad del Puzzle algebraico: Construcción de rectángulos y cuadrados para
obtener expresiones equivalentes más simples.
A partir del conjunto de piezas del Puzzle que representa una expresión de 2º grado podemos
construir rectángulos y/o cuadrados. El cálculo del área de estas figuras nos permitirá obtener
expresiones más sencillas (en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado) equivalentes
(idénticas) a la expresión general de 2º grado inicial representada.
• Para fundamentar y describir este proceso
equivalentes desarrollaremos dos ejemplos.
de
obtención
de
expresiones
2
Ejemplo 1: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a x
+ 3 x + 2 en forma
factorizada a partir de la construcción de un rectángulo, con el conjunto de piezas del P uzzle que la
representa.
a)
x 2 + 3x + 2
Seleccionamos las piezas que representan la expresión
x
X2
x
1
x
1
b) Construimos un rectángulo, eligiendo entre varias combinaciones posibles el siguiente:
X2
x
x
1
39 x
1
c) Calculamos el área del rectángulo construido mediante dos procedimientos diferentes:
• • Cálculo del área a partir de sus componentes:
­− El área del rectángulo es igual a la suma
de las áreas de las piezas que lo forman:
Cálculo del área a partir de sus dimensiones:
­− El área del rectángulo es el producto de
las dimensiones de su base por su altura:
Área rectángulo = Suma área de las piezas
Área rectángulo = Base . Altura
X
X2
x
+ x + x +
1
+
+
1
1
1
X
X+1
Área rectángulo = x
2
+ x + x + x + 1 + 1
­− Agrupando términos, tenemos:
Área rectángulo =
1
X+2
Área rectángulo = (x + 2 ) . (x + 1) x 2 + 3x + 2
Área = x +3x+2
=
Área = (x+ 2).( x+1)
x2+3x+2 = (x+2).(x+1)
Conclusión: Cómo el rectángulo es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son
iguales.
Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una
expresión equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo.
Ejemplo 2: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a
x ­− 2 x + 1 en forma de
binomio al cuadrado a partir de la construcción de un cuadrado, con el conjunto de piezas del P uzzle
que la representa.
2
a) Seleccionamos las piezas que
2
representan la expresión x
2x +1
b) Construimos un cuadrado, eligiendo entre
varias combinaciones el siguiente:
X­−1
X
2
-x
-x
1
X
X­−1
2
-x
40 -x
1
c)
Calculamos el área de este cuadrado mediante los dos procedimientos vistos anteriormente:
• Cálculo del área a partir de sus componentes:
• ­− El área del cuadrado como suma de las áreas
de las piezas que lo forman es:
Cálculo del área a partir de sus dimensiones:
­− El área del cuadrado como producto de sus
dimensiones o como el cuadrado del lado es:
Área cuadrado= ( x ­− 1). ( x ­− 1) = ( x ­− 1) Área cuadrado= x 2 ­− 2 x + 1
2
ƒƒConclusión: Cómo el cuadrado es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son
iguales.
Área = x2-2 x+1
=
Área =
)2
x 2 ­− 2 x + 1 = ( x ­− 1)
2
Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una
expresión equivalente en forma de binomio al cuadrado (sin término independiente), mediante la
construcción de un cuadrado.
2. Construcción de rectángulos y cuadrados con Puzzle algebraico: Características y
condiciones.
-
La construcción de rectángulos y cuadrados sirve para obtener expresiones equivalentes
más sencillas de expresiones de 2º grado en forma general.
-
Estas construcciones no son únicas, un mismo conjunto de piezas puede combinarse de
diferentes formas, dando lugar a rectángulos y/o cuadrados distintos.
Pero no todos los rectángulos o cuadrados que pueden construirse son válidos, sólo algunos de
ellos nos permiten obtener expresiones equivalentes más sencillas.
En consecuencia, será necesario establecer condiciones y reglas que nos faciliten la construcción
de rectángulos y cuadrados válidos.
-
Ejemplo: Construye un rectángulo a partir de la siguiente colección de piezas del Puzzle que representa
a la expresión algebraica de 2º grado:
x 2 + x ­− 6
X
2
x
x
x
-x
-x
-1
-1
-1
-1
-1
-1
41 • Un posible rectángulo que se podría construir con esta colección de piezas, sería:
X2 X -­‐1 -­‐1 -­‐1 -­‐1 X -­‐x X -­‐1 -­‐X -
-­‐1 En este rectángulo es posible determinar las dimensiones (medidas de la base y de la altura).
Debido a la combinación de piezas realizada, las medidas de los lados paralelos son distintas
cuando deberían ser iguales.
Por tanto, no es posible calcular el área a partir de sus dimensiones y en consecuencia: no es
posible obtener una expresión equivalente.
2.1. Tablero para la construcción de rectángulo y cuadrado con “Puzzle algebraico”
- La construcción de rectángulos o cuadrados, con objeto de unificar criterios y evitar errores en la
determinación de las dimensiones, se realizará sobre el tablero de construcción o “esquina” en
cualquier de sus dos versiones: superior o inferior.
••
Esquina superior Esquina inferior •
a) El vértice del tablero constituye el punto de partida para colocar las placas x2 y para determinar
las dimensiones de las construcciones.
b) En las barras horizontales y vértices, independientes del tablero adoptado, anotaremos las
medidas, respectivamente de la base y de la altura del rectángulo o cuadrado construido.
•
Esquina inferior Esquina superior 42 Punto de partida
- Para colocar las piezas X2
- Para determinar las
dimensiones de la
construcción
•
Punto de partida
- Para colocar las piezas X2
- Para determinar las
dimensiones de la
construcción
Actividad 2
A partir de la anterior presentación, planteamos un resumen de reglas básicas para la agrupación,
combinación de piezas y reglas de construcción.
Lecturas de trabajo para el tema 2
Lectura 2
Geometría y factorización
JOSÉ ANTONIO ARDILA AMEZQUITA
Universidad Surcolombiana
Con la intención de contribuir en la comprensión del lenguaje algebraico, presentaré en esta ponencia
cuatro ejemplos, los cuales se apoyan fundamentalmente en modelos geométricos, y estos a su vez,
deberán ser tomados por los estudiantes para que se den la oportunidad de reconstruir y reencontrarse
con algunos conceptos del álgebra.
El manejo y la comprensión del lenguaje algebraico deben apoyarse en otros lenguajes (el geométrico,
el aritmético y el lenguaje común, ver (2) y (3).
De acuerdo a lo anteriormente señalado, se deben proponer actividades que incorporen una situación
en la que se presenten los diferentes lenguajes, de otra manera sería difícil llegar a generalizaciones,
simbolización y manejo de destrezas algebraicas.
Los temas a tratar son: Factorizar la suma y la diferencia de cubos, el cubo de una suma y el cubo de
una diferencia.
Contenido
Son varios los elementos que se han tenido en cuenta para la estructuración de esta ponencia y en
43 general para los procesos de enseñanza y aprendizaje del algebra en el nivel secundario, aunque no
necesariamente aparecerán todos, pero si deberían tenerse en cuenta por el lector en futuros análisis.
Diversos son los problemas que ocurren con frecuencia al iniciar el estudio del algebra, más
exactamente al encontrarse con el lenguaje algebraico, son muchos los fracasos escolares (por lo
menos en el departamento del Huila) que se generan al estudiar el Algebra, por cuanto el paso de la
Aritmética al Algebra es presentado de una manera trivial en el sentido de que es lo mismo, basta solo
con cambiar los números por las letras, agregándole a ello que, casi la totalidad de los conceptos se
miran de una manera demasiado formal y acompañados de algoritmos que se repiten sin sentido
alguno.
1. LA GENERALIZACION: es considerada como uno de los procesos que se realizan en la actividad
matemática y esta a su vez es un generador de procesos de abstracción de una mayor dificultad
y de un orden más elevado. Para este proceso se requieren tres cosas: ver, describir y escribir,
ver (2).
2. EL RAZONAMIENTO VISUAL – ESPACIAL: Visto como aquel que liga la percepción visual con
características, propiedades o relaciones geométricas.
3. EL MODELO GEOMETRICO: La geometría se convierte en una fuente de experiencias de diversa
índole. Por un lado, dado su origen empírico, permite una estrecha relación con el mundo físico
y por el otro provee de modelos para interpretar el mundo y resolver problemas.
Los griegos, aunque se cree conocían los métodos de los babilonios para la resolución de ecuaciones,
desarrollaron métodos geométricos para la solución y comprobación de diversas propiedades, para
problemas algebraicos (los cuales, utilizando nuestra algebra simbólica, se resolverían rápidamente),
ver (4).
“Si una de dos rectas dadas se divide en un numero cualquiera de partes, el rectángulo comprendido
por dichas rectas equivale a los rectángulos comprendidos por la no dividida y por cada una de las
parciales”. Esto es:
Esto corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
Y la proposición No. 4 también de los elementos de Euclides:”Si se divide de un modo cualquiera una
recta por un punto, el cuadrado de la recta entera equivale a los cuadrados de las partes más el doble
del rectángulo comprendido por las partes”.Lo anterior nos permite verificar la expresión (x+ y)2 = x2 44 + y2 + 2xy
LOS LENGUAJES. La Matemática es un lenguaje creado por el hombre y se constituye en una poderosa
herramienta para la comunicación, la expresión y la compresión de diferentes temas de esta ciencia,
ver (1).
La enseñanza y el aprendizaje del algebra es un núcleo esencial en la comunicación y expresión de la
Matemática. Se propone un acercamiento al algebra en términos de traducción entre varios lenguajes:
lenguaje común, lenguaje algebraico, lenguaje aritmético y el lenguaje geométrico. Esta traducción
consiste básicamente en pasar de un lenguaje a otro y viceversa, aunque en los ejemplos que voy a
mencionar solo haré referencia a uno pocos detalles.
Del lenguaje geométrico pasar al lenguaje algebraico: Hallar una expresión algebraica que represente el
área de la siguiente figura.
Del lenguaje algebraico, al lenguaje aritmético: calcular el área de la figura anterior si x = 3, y = 5, z =
4 unidades de longitud.
Del lenguaje algebraico, al lenguaje geométrico: dibuje una figura plana que represente cada una de
las siguientes expresiones: XY; 2X + 2Y; XY+Y
Del lenguaje común, al lenguaje algebraico: sea x la edad de Diana, como representaría el número que
excede al duplo de x en 2?(aquí podríamos colocar un valor determinado para la edad de Diana) y
viceversa, enuncie una situación similar a la anterior que represente la expresión: 4X – 5Y Finalmente
los ejemplos que a continuación se van a presentar recogen en parte todos y cada uno de los tópicos
anteriores. Las actividades que se sugieren para el desarrollo del pensamiento visual y espacial son las
siguientes:
1. Construir en cubo de madera con el objeto de que cada estudiante tenga un ejemplar.
2. Armar y desarmar el cubo.
3. Observar los objetos geométricos y clasificarlos de acuerdo a su forma.
4. Formación de diferentes sólidos o equivalencias entre los objetos que se pueden armar, con las
piezas que integran el cubo.
Con respecto a pasar de un lenguaje a otro y a los procesos de generalización, se evidenciara así:
Asignar variables a cada uno de las aristas de los sólidos.
Para cada una de sus aristas, determinar longitudes y sus respectivas diferencias. Encontrar el área de
las caras y el volumen de cada sólido.
Manejo de destrezas algebraicas (términos semejantes y distributividad, entre otras) Cálculo del
volumen utilizando valores numéricos o expresiones algebraicas más complejas.
45 1. Factorizar: X3 + Y3
El modelo grafico muestra un cubo dividido en varias regiones (2 cubos, uno de lado x y el otro de lado
Y, 6 paralelepípedos rectos rectangulares de dimensiones, X, Y tres tiene de base un cuadrado de lado
“X” y altura “y” y los otros tres tiene un cuadrado de lado “y” y altura “x”)
X3 + Y3 por un lado corresponde a la suma de los volúmenes de los dos cubos antes mencionados y por
otro lado X3 + Y3, representa el volumen del cubo de avista (x +y) al cual se le quitan los volúmenes de
los seis paralelepípedos.
2. Factorizar: x3 – y3:
X3 + Y3
Aquí se parte de 2 cubos uno de lado “X” y el otro de lado “y” (además X >Y)
La actividad se realizará durante la ponencia y de igual manera se procederá con las expresiones
(X + Y)3 y (X - Y)3 para los cuales se utilizará las mismas figuras del ejemplo.
Bibliografía
1.
2.
3.
4.
Iniciación al Algebra. Martín Manuel Socas y Otros. Ed. Síntesis. pp. 9-41-42
Ideas y actividades para enseñar Algebra. Grupo Azarquiel. Ed. Síntesis. p.11
El Algebra desde una perspectiva geométrica. María Cristina Pérez. U. Nacional. P.1
Científicos griegos. Francisco Vera. Editorial Aguilar. pp. 733-736
Actividad 3
Desde tu experiencia describimos ¿Cuál fue la utilidad de la factorización de polinomios en contextos
sociales, económicos y otros? Anotamos en el siguiente recuadro:
46 Actividad 4
¿Cómo la geometría nos permite comprender y aplicar la factorización en situaciones concretas?
Describimos tres ejempos.
47 TEMA 3. Funciones lineales y ecuaciones de Primer Grado
Preguntas problematizadoras
¿Cómo las funciones lineales y las ecuaciones nos permiten reapretar los fenómenos
sociales? Indicamos tres ejemplos:
¿Qué variables tomaríamos de la problemática “inseguridad ciudadana” y expresarte en el
lenguaje de la matemática, como en las funciones lineales Explicamos un solo ejemplos. co
¿Cuál es la relación y diferencia de las funciones lineales y ecuaciones de primer grado, y su
aplicación en el fenómeno de la inseguridad ciudadana? Puede tomarse ciertas condiciones,
número de casos, tiempo, edad y otros). Elaboramos un ejemplo
48 ¿Cuál es el beneficio pedagógico cuando se aborda las Funciones lineales y Ecuaciones de
Primer Grado articulado al PSP que en su Unidad Educativa se está desarrollando?
Planteamos un ejercicio de articulación
¿Será posible realizar otras aplicaciones de las funciones lineales y Ecuaciones de Primer
Grado, en otras situaciones? Mocionemos tres ejemplos:
Lecturas de trabajo para el tema 3
Lectura 1
Concepto de función matemática y su representación grafica
El origen del concepto de función ha estado siempre unido al estudio de los fenómenos
sujetos a cambios. Las referencias más antiguas al concepto de función se encuentran en
algunos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el estudio de funciones
aparece ligado al concepto de movimiento, siendo uno de los primeros en realizarlo Nicolás
de Oresme (1323-1392), el cual representó en unos ejes coordenados gráficos relacionados
con el cambio de la velocidad respecto al tiempo.
Tres siglos más tarde, Galileo, en 1630, estudió el movimiento desde un punto de vista
cuantitativo, justificándolo experimentalmente y estableciendo, a partir de ello, leyes y
relaciones entre magnitudes.
49 A partir de Galileo, el concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos del
siglo XIX, en 1837, Dirichlet formuló la definición de función como relación entre dos
variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos.
Vamos a comenzar el estudio de las funciones dando su definición contextual actualmente
aceptada, relativamente moderna para la importancia del concepto.
Didáctica de la Matemática
Funciones:
Análisis de las representaciones gráficas Precio de las llamadas “Llamadas telefónicas” •Víctor •Amalia
María •Guido •Magali •Boris Duración de las llamadas En el gráfico se plantean los casos de 5 personas que realizan llamadas a diferentes
ciudades del país y del exterior. El precio y la duración de la llamada de cada uno aparecen
representados en la gráfica de puntos. Analiza y determina conclusiones imaginarias.
“La variación de la velocidad”
La trayectoria de la bola de golf, luego de ser golpeada, muestra una “variación de
velocidad”. Identifiquemos la gráfica que corresponde al cambio de velocidad de la bola en
el aire luego de ser golpeada por el jugador de golf.
b)
Velocida
d Velocida
d a)
Tiempo d)
50 Velocida
d Velocida
d c)
Tiempo Tiempo (d) es la correcta.
Tiempo ¿Qué es una función?
El responsable de la construcción de la piscina
tiene una duda: ¿podríamos llenar dos piscinas
cúbicas de iguales dimensiones con distinto
volumen de agua?
La respuesta es que no, ya que si las
dimensiones son las mismas el volumen que
pueden contener es el mismo.
La relación entre la longitud del lado de la
piscina y su volumen es una función porque a
cada valor del lado le corresponde un único
valor del volumen.
A las magnitudes que intervienen en la relación se las llama variables. Una de ellas será la
variable independiente y la otra será la variable dependiente.
Una función es una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la
primera le corresponde un único valor de la segunda, llamado imagen.
A las magnitudes que intervienen en una función se las llama variables:
•
•
Variable independiente. Es la que se fija primero. Se le suele asignar la letra x.
Variable dependiente. Es la que se deduce de la variable independiente. Se suele
designar con la letra y, o como f(x).
Así, por ejemplo:
“Crecimiento de una planta”
Los seres vivos crecen de manera progresiva en el tiempo; las plantas, por ejemplo,
requieren para su crecimiento no sólo del tiempo sino de otros factores propios de la
naturaleza, tales como el aire, la luz, el agua y otros. Este ciclo de crecimiento es
representado matemáticamente mediante gráficas y funciones algebraicas.
La siguiente tabla nos informa sobre el crecimiento de una planta a medida que transcurre el
tiempo.
51 Tiempo (Días)
5
10
15
20
25
30
35
Altura (cm)
6
10
14
17
18
19
19
Altura h = f ( t ) La altura está en función del tiempo Ciclo de crecimiento Por tanto:
f = [(5,6), (10,10), (15,14), (20,17), (25,18), (30,19), (35,19)]
Observa que los primeros elementos no se repiten.
“Una función es un conjunto de pares ordenados (x, y) tales
que no hay dos pares ordenados diferentes que tengan el
mismo primer componente”.
Una función también puede compararse con una computadora. Un número “x” es la entrada
a la máquina y el valor funcional “f(x)” correspondiente es el resultado obtenido (o salida),
después que la máquina ha operado sobre “x”.
Entrada Ciclo de crecimiento O bien, podemos comparar una función f(x) con una máquina a la cual se le introduce un
valor x y después de una serie de cálculos ésta devuelve el valor de f(x):
52 El concepto de función se define como un caso particular de relación: “una relación es una
función sí y sólo sí todo elemento de A se relaciona con un solo elemento del conjunto B”.
Definición de función
Una función "f" de X en Y, denotada por f: X → Y es una relación entre dos conjuntos;
llamados dominio (X) y el condominio (Y) de la función, tales que a cada elemento del
dominio le corresponde uno y solamente un elemento del rango.
f:X→Y
( f es una función de X en Y) Función Real de Variable Real:
Si el dominio de una función es el conjunto o subconjunto de los números reales, lo mismo
que el condominio, entonces se trata de una función real de variable real:
f = {(x, y ) / x ∈ R ∧ y ∈ R; y = f (x)}
Dónde: x= variable independiente y= variable dependiente o función El concepto de función se presenta de una manera descontextualizada y las situaciones
problemas, o bien son ejemplos que sirven para ilustrar la definición o bien son problemas
descontextualizados propuestos al final de la unidad con el objetivo de que los alumnos
apliquen la definición de función. Es decir, las situaciones problemas tienen la función de
concretar el concepto de función, pero en ningún caso sirven para que se construya dicho
concepto a partir de ellas.
53 Por ejemplo:
•
•
•
•
Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a
cada número en el dominio R le asigna su cubo en el condominio R.
Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces
la función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R \ {0} y con
condominio R.
Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos
ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su condominio es R.
En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una
función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se
muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre
ellos.
Representación gráfica de una función lineal
De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un enunciado, una
tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que nos permite ver de un
solo vistazo su comportamiento global, de ahí su importancia. En este tema aprenderás a
reconocer e interpretar sus características principales.
Es el cumpleaños de Carlos y ha decidido que de cada Bs que reciba de regalo de sus
familiares, donará una tercera parte a una fundación para la conservación del medio
ambiente.
54 Hemos representado los pares de valores dinero recibido - dinero donado:
(15, 5), (30,10), (45,15), (60, 20)
Estos pares son las coordenadas cartesianas de puntos del plano.
Para representar gráficamente una función:
1. Se identifica la variable independiente y la variable dependiente.
2. Se hace una tabla de valores.
3. Se dividen los ejes de coordenadas en partes iguales que sean acordes con los
resultados de la tabla.
4. Se representan los pares de valores y se obtiene un conjunto de puntos
aislados.
5. Si tiene sentido, se unen los puntos, obteniéndose una línea que constituye la
gráfica de la función.
Domino y recorrido
Así, al teclear 25 y pulsar la tecla de la raíz cuadrada, aparece
en la pantalla 5.
Pero, al teclear – 4 y pulsar la tecla de la raíz cuadrada,
aparece en la pantalla ERROR (no hay ningún número que al
elevarlo al cuadrado sea igual a – 4).
Por tanto, – 4 no es un valor válido de la variable
independiente.
El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente es el
dominio de la función.
Después de teclear muchos números, Laura ha observado que ponga el número que ponga,
después de pulsar la tecla de la raíz cuadrada, siempre aparece en pantalla un número
positivo. Por tanto, los valores de la variable dependiente siempre son números positivos.
El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente es el
recorrido de la función.
Dominio y Rango de una Función
Sea f: X → Y, llamaremos dominio de la función f al conjunto de todas sus primeras
componentes, al cual denotaremos por Df, es decir:
D f = {x ∈ X / ∃y ∈ Y ∧ (x, y ) ∈ f } ⊆ X
55 Y llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de X,
mediante f al cual denotaremos por Rf, es decir:
R f = {y ∈ Y / ∃x ∈ X ∧ (x, y ) ∈ f } ⊆ Y
Tipos de funciones lineales
Las funciones cuyas gráficas son rectas se llaman funciones lineales.
Funciones del tipo y = mx Pedro ha acompañado a su padre al mercado y ha visto que 1 kilogramo de lechuga cuesta Bs 2. Las
magnitudes "número de kilogramos" y "precio" son directamente proporcionales. Si llamamos x al
número de kilogramos y y al precio en bolivianos, la relación y = 2x es la ecuación asociada a la
proporcionalidad anterior.
Tabla de valores Gráfica Kilogramos Precio (Bs) 1 2 2 4 3 6 4 8 Las gráficas de las funciones de la forma y = mx son rectas que pasan por el origen de
coordenadas.
Funciones del tipo y = mx + n En España la temperatura se mide en grados Celsius (ºC), mientras que en Estados Unidos se utiliza
la escala Fahrenheit (ºF). La fórmula que permite obtener la temperatura en ºF conociendo la
temperatura en ºC es y = 1,8x + 32, donde x es la temperatura en grados Celsius y y la
temperatura en grados Fahrenheit.
Tabla de valores Gráfica Celsius (ºC) Fahrenheit (ºF) 0 32 1 33,8 2 35,6 3 37,4 Las gráficas de las funciones de la forma y = mx + n son rectas que no pasan por el origen de
coordenadas.
56 Lecturas de trabajo para el tema 3
Lectura 2
LA FUNCIÓN LINEAL Y SUS APLICACIONES EN LA ECONOMÍA.
1
2
MSc. Adriana Delgado Landa , Lic. Ana María González Moreno , MSc. Teresa
3
4
Pérez Sosa , Manuel Domínguez Alejo
1. Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”, Vía Blanca
Km.3, Matanzas, Cuba.
2. Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”, Vía Blanca
Km.3, Matanzas, Cuba.
3. Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”, Vía Blanca
Km.3, Matanzas, Cuba.
4. Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”, Vía Blanca
Km.3, Matanzas, Cuba.
CD de Monografías 2012
(c) 2012, Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”
Resumen
Son muchas las situaciones relacionadas con fenómenos económicos que requieren ser
expresados a través de una relación funcional entre dos variables. En particular la función
lineal posee un elevado número de aplicaciones económicas que deben ser explicadas en
su mayoría en las clases de matemáticas. Las carreras de Licenciatura en Economía,
Contabilidad y Turismo tienen dentro de la asignatura Matemática Superior un tema
relacionado con funciones y sus aplicaciones a la economía. Es por ello que este
trabajo tiene como objetivo presentar 10 problemas económicos que requieren para su
solución la utilización de la función lineal y de conceptos como ganancia, costo, ingreso,
oferta, demanda, precio, equilibrio de mercado.
Introducción
La enseñanza de la matemática en carreras de Ciencias Económicas debe estar sujeta a la
utilización en las clases de ejemplos de aplicaciones económicas concretos. De esta
manera los contenidos impartidos estimulan y propician la motivación y la independencia
en el pensamiento creador del estudiante. (Delgado y Marrero, 2008)
En particular el tema de funciones, pues constituye una herramienta fundamental para
el análisis, la cuantificación y la modelización de fenómenos económicos y sociales.
Esta ponencia tiene como objetivo general mostrar diversos ejemplos de aplicaciones
económicas de la función lineal. Se trabajan fundamentalmente funciones de demanda,
oferta, costo, ingreso, ganancia. Se hacen análisis del punto de equilibrio de mercado
(intersección entre dos funciones), interpretación de la pendiente, obtención de la
ecuación de demanda (ecuación de la recta), representación y análisis de gráficos.
57 DESARROLLO
Las carreras de Ciencias Económicas, tales como Licenciatura en Economía, Licenciatura
en Contabilidad y Finanzas y Licenciatura en Turismo contemplan dentro de la asignatura
Matemática Superior un tema sobre funciones y sus aplicaciones económicas. No es un
secreto que los estudiantes terminan la enseñanza media sin apropiarse adecuadamente
del concepto d e función. Es por ello que cuando inician sus estudios universitarios
presentan serias dificultades al respecto.
Tal y como plantea Álvarez (2011), la comprensión del concepto función no se reduce a la
reproducción de su definición ni tampoco a la realización de una serie de procedimientos
para calcular el valor de una función para un argumento dado, para determinar sus ceros
o la monotonía de la función. Este reduccionismo puede llevar a que los estudiantes no
comprendan que el objeto función ha sido construido de manera expresa para el estudio
de los fenómenos sujetos a cambio y que en lugar de trabajar con variables,
lo
hagan con incógnitas.
El concepto función es uno de los más básicos en matemáticas y resulta esencial para
el estudio del cálculo. Por ello se debe insistir en la importancia de las funciones en la
Economía. En especial el estudio de la función lineal dado su gran aplicación a situaciones
económicas.
La función lineal debe analizarse, dándole interpretación económica a la pendiente y la
intersección, en las distintas funciones lineales económicas que se utilizan, tales como
oferta, demanda, costos, ingreso, ganancia y producción. (Haeussler, 1997; Pindyck y
Rubinfeld, 1997)
Para el buen desarrollo de las clases es importante una selección adecuada de los
métodos a utilizar. Como es conocido, en cualquier contenido matemático que sea objeto
de estudio, cuando se introducen problemas de aplicación, aumenta la dificultad en cuanto
a la comprensión por parte de los estudiantes. Por esa razón, en las conferencias se utiliza,
preferentemente, la exposición problémica y la conversación heurística, en dependencia
de la complejidad del problema que se esté resolviendo. Si el problema es de difícil
comprensión se utiliza la exposición problémica, en los otros casos se emplea la
conversación heurística. (Delgado y Hernández, 2009).
Se debe tener en cuenta que la habilidad para resolver problemas matemáticos vinculados
con situaciones económicas de aplicación de la función lineal, no se forma a partir de
la repetición de acciones ya elaboradas previamente, sin atender a cómo se han asimilado
y el nivel de significación que éstas tienen para los estudiantes atendiendo a sus
experiencias, su disposición hacia la actividad; de ahí la necesidad de enfocar como
parte de la formación de habilidades el sistema de conocimientos (conceptos, teoremas y
procedimientos matemáticos) a partir de situaciones problémicas.
Esta habilidad implica también las habilidades docentes, lógicas o intelectuales; que
guían el proceso de búsqueda y planteamiento de la solución. Así se destacan habilidades
como identificar, observar, describir, denotar, interpretar, analizar, modelar, calcular,
fundamentar, valorar, etc. que están presentes en la comprensión y búsqueda de vías de
solución, en su descripción y en la valoración de los resultados.
58 Ejemplos de aplicación de la función lineal a situaciones económicas
Para aplicar la función lineal a fenómenos económicos, el estudiante tiene que ser capaz
de manejar conceptos como demanda y oferta, precio por unidad, relación entre precio y
cantidad de producto, entender el significado de costo, ingreso ganancia, producción,
consumo, entre otros. El profesor debe hacer un resumen de los principales
aspectos teóricos necesarios para la enseñanza de la función lineal aplicada a la economía.
A continuación se exponen 10 ejemplos de aplicación de la función lineal a situaciones
económicas. Estos problemas resultan de mucha utilidad para los estudiantes de las
Licenciaturas en Economía, Contabilidad y Turismo. Este es el momento en que los
estudiantes aplican sus conocimientos precedentes a situaciones nuevas para ellos, pero
sin dudas interesantes pues están vinculadas con sus especialidades.
1. Determinación de la ecuación de demanda
Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el
precio es de $ 58,00 por unidad y de 200 unidades si son a $ 51,00 cada uno. Determinar
la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.
Solución:
A partir de esta situación el estudiante para darle solución debe combinar elementos de
economía con matemática. Tiene que percibir que la cantidad q y el precio p están
relacionados linealmente de modo que p═58 cuando q═100, y p═51 cuando q═200. Estos
datos pueden ser representados en un plano de coordenadas q, p por los puntos (100, 58)
y (200, 51). Con estos puntos se puede encontrar una ecuación de la recta, que sería la
-7
ecuación de demanda: P (q) ═
q + 65 .
100
2. Determinación de la ecuación de oferta y del tipo de relación entre el precio
p y la cantidad q
Suponga que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 pares cuando el precio
es de $35,00 (pesos por par) y 35 pares cuando el precio es de $30,00.
a) Determinar la ecuación de oferta suponiendo que el precio p y la cantidad q
están relacionados linealmente.
b) Cuando se incrementa el precio ¿qué le ocurre a las cantidades ofrecidas?
Solución:
a) Para determinar la ecuación de oferta, el algoritmo es similar al del ejercicio anterior.
b) A medida que el precio se incrementa las cantidades ofrecidas también aumentan,
pues tienen una relación directamente proporcional.
59 3.
Determinación de la ecuación de costo y determinación del valor del costo
total (variable dependiente) dada una cantidad específicas de unidades
(variable independiente)
Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es de $40 pesos y el de
20 unidades es $70. Si el costo C está relacionado linealmente con el producto q,
determine una ecuación lineal que relacione p con q. Encuentre el costo de producir 35
unidades.
Solución:
(10; 40) y (20; 70) m =
p 2 − p1
q 2 − q1
=
70 − 40 30
=
=3
20 − 10
p − p1 = m(q − q1 )
p − 40 = 3(q − 10)
P = 3q − 30 + 40
C (35) = 3(35) + 10
C (35) = 115
60 C(35) = 3(35) + 10
C(35) = 115
El costo de producir 35 unidades es de
$115,00.
4. Determinación
del punto de equilibrio entre el ingreso y el costo.
Representación gráfica
Cuando en una industria se producen x toneladas de producto al día, 0≤x≤16, el costo
total de producción y el ingreso total en cientos de pesos están dados respectivamente
por las ecuaciones C(x)= 3x+12 y I(x)=5x.
a)
Halle
Interprete.
el
punto
de
equilibrio.
b) Represente gráficamente las dos funciones anteriores en un mismo
gráfico.
c) ¿Para qué valores de x se producen ganancias y para qué valores de x se
producen pérdidas?
Solución:
El estudiante debe percibir que el punto de equilibrio se determina igualando las dos
funciones.
a)
I(x) = C(x)
5x = 3x+12
x=6
C (6) = 3(6) +12
C (6) = 18+12
C (6) = 30
El punto de equilibrio es (6; 30), significa que cuando se produce y vende la tonelada
número 6, el costo y el ingreso son exactamente iguales ($30,00). En este momento la
ganancia es cero.
b) Para representar en un mismo gráfico ambas funciones lineales muchos
estudiantes determinan los ceros, sin embargo el cero de la función de costo es negativo.
Este gráfico solo tiene sentido para las x≥0, por lo que los estudiantes representa solo en
el primer cuadrante. Dándole valores a las x pueden determinar al menos dos pares
ordenados, suficiente para representar una línea recta.
61 c) El estudiante debe relacionar estas dos funciones con la ganancia de manera que: G(x)
= I(x)-C(x), es fácil concluir a través de una inecuación: I(x) - C(x) > o, que se producen
ganancias cuando la producción del producto es mayor que 6 toneladas (x>6) y se
producen pérdidas cuando es menor que 6. El análisis gráfico también lo demuestra pues
la recta que representa el ingreso (la de color azul) se encuentra por encima de la de costo
(la de color rojo) a partir del nivel de producción igual a 6 toneladas
5. Determinación de valores en el punto de equilibrio y de la ganancia dado
una cantidad específica de unidades
Un fabricante vende un producto a $8 por unidad, vendiendo todo lo que produce. La
función de costo total es: C (q)= (22/9) q+5000.
a) Encuentre la producción y el ingreso total en el punto de
equilibrio. b) Encuentre la ganancia cuando son producidas 1800
unidades. Solución:
a) Es necesario determinar el ingreso total que sería: I=p×q, donde p: precio unitario,
q: cantidad de unidades del producto. Sustituyendo quedaría: I (q)=8q. Luego se
igualan las
62 funciones de ingreso y costo, resultando:
8q =
22
q +5000, desarrollando la ecuación
se
9
obtiene el valor de q=900 y evaluando en la función de
ingreso:
I (900) = 8 · 900 = 7200
Se concluye que en el punto de equilibrio la producción es de 900 productos y el ingreso
total es de $7200,00. En este momento el fabricante no obtiene ni ganancias ni perdidas
(la ganancia es cero).
b) Es necesario determinar la función de ganancia total para luego evaluar en el valor de q
dado. Donde GT: Ganancia total, IT: Ingreso total, CT: Costo total.
GT = I T − C T
22
G = 8q −
q − 5000
T
9
50
G =
q − 5000
T
9
50
G (1800) = 1800 − 5000 = 5000
T
9
Cuando son producidas 1800 unidades la ganancia es de $5000,00
6.
Equilibrio de mercado
Suponga que para un producto “A” las ecuaciones de demanda y oferta son las
siguientes:
1 1 q + 12 y p =
q + 8 . Determina gráfica y analíticamente el equilibrio de
300
180
mercado e interprete.
p=−
Solución:
El equilibrio de mercado ocurre cuando la demanda y la oferta son iguales.
63 (450; 9,5)
Oferta
Demanda
El punto de equilibrio es (450; 9,5), significa que cuando el precio del producto A es de
$9,50 las cantidades ofrecidas y las demandadas son exactamente iguales, o sea 450
unidades del producto A. Esta cantidad vacía el mercado. Pues todo lo que
los consumidores están dispuestos a comprar es exactamente igual a las cantidades de
producto que los vendedores están dispuesto a ofrecer.
7. Determinación del precio de mercado de un producto
Se conocen las curvas de oferta y de demanda de trigo: Q O= 1800+240p, QD= 3550226p, donde el precio se expresa en pesos por paquete y las cantidades en millones de
paquetes al año. ¿Cuál es el precio del paquete de trigo que vacía el mercado?
Solución:
Para determinar el precio del paquete de trigo que vacía el mercado, el estudiante debe
recordar que el mercado se vacía cuando la demanda es igual a la oferta o sea cuando
todo lo que los consumidores están dispuestos a comprar es exactamente igual a las
cantidades de producto que los vendedores están dispuestos a ofrecer. Luego de igualar
ambas funciones, se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de p, que es precisamente
el precio del producto.
QO= QD → 1800+240p= 3550-226p
240p+266p= 3550-1800
506p= 1750
1750
p=
= 3,46
506
El precio por paquete de trigo que vacía el mercado es de $3,46.
8. Modelación de función de costo y determinación de la cantidad de
unidades producidas dado un valor del costo
En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un troquel es
de $850,00 y todos los otros costos adicionales son de $3,00 por unidad producida.
a) Exprese el Costo Total C como una función lineal del número q de unidades producidas.
64 b) ¿Cuántas unidades son producidas si el costo total es $1600?
Solución:
El estudiante debe modelar, definiendo primeramente la variable independiente q como
la cantidad de unidades producidas.
a) CT (q)= 850+3q
b) Fijan el costo total y piden las cantidades producidas por tanto es necesario sustituir
en la función anterior para obtener el valor de q.
CT (q)= 850+3q
1600= 850+3q
600 − 850
=q
3
q = 250
El Costo total es de $1600,00 cuando son producidas 250
unidades.
9. Interpretación de la pendiente
La recta muestra la relación entre el precio p de un artículo (en pesos) y la cantidad q de
artículos (en miles) que los consumidores comprarán a ese precio. Determina e interprete la
pendiente.
P
4
(2; 4)
1
(1; 8)
2
8
Solución:
Q
cambiov ertical
cambioenp
=
cambioenq cambiohorizontal
p − p1 1 − 4
1
m= 2
=
=−
q2 − q1 8 − 2
2
pendiente =
La recta desciende de izquierda a derecha. La pendiente es negativa. Significa que por cada
unidad que aumenta la cantidad de artículos (miles de artículos) habrá una disminución en
el precio de $0,50 (1/2) por artículo.
65 10. La pendiente como tasa de cambio
Suponga que un fabricante utiliza 100 lbs de materiales para hacer los productos A y B, que
requieren de 4 y 2 lbs de materiales por unidad respectivamente, entonces todos los
niveles de producción están dados por las combinaciones de x e y que satisfacen la
ecuación 4x+2y= 100, donde x, y≥ 0. Determine la tasa de cambio del nivel de
producción B con respecto al de A y represente mediante un gráfico.
Solución:
Se necesita despejar a y → 4x+2y= 100
2y= 100-4x
100 − 4x
2
y = 50 − 2x
y=
La pendiente es -2. Refleja la tasa de cambio del nivel de producción B con respecto al de
A.
Ejemplo: Si se produce una unidad adicional de A, se requerirán 4 lbs más de
material, resultando 4/2= 2 unidades menos de B.
Para graficar y = 50 − 2x se puede utilizar la intersección (0; 50) y el hecho de que cuando
x=10, y=30, también se debe determinar el cero o sea el intersecto con el eje x.
0= -2x+50
2x= 50
x= 25
U de B
50
30
10
25
U de A
Los niveles de producción están relacionados linealmente.
Conclusiones.
La enseñanza de la matemática en las licenciaturas en Economía, Contabilidad y Turismo
debe estar enfocada fundamentalmente a la resolución de problemas económicos.
Muchas
situaciones
relacionadas
con
fenómenos
económicos
tienen
un
comportamiento lineal, de ahí que existan diversas aplicaciones económicas de la función
lineal.
66 La función lineal puede ser aplicada para:
· Determinar ecuaciones de demanda, oferta y costo que tengan un comportamiento lineal.
· Determinar el punto de equilibrio entre el ingreso y el costo y entre la oferta y la
demanda, así como el precio de mercado.
· Determinar la tasa de cambio del nivel de producción de dos productos.
· Analizar gráficamente el comportamiento de funciones de ingreso, costo, ganancia,
producción, oferta y demanda.
Bibliografía.
Álvarez, (2011). El desarrollo de la comprensión matemática: el caso del concepto
función. Conferencia impartida en el marco del XIII Evento Científico Internacional, La
enseñanza de la matemática, la estadística y la computación, MATECOMPU 2011 y III
congreso internacional ALAMMI 2011.
Delgado y Hernández, (2011). Las Diferencias Finitas como herramienta para la
resolución de problemas. Convención Internacional de la Universidad de Matanzas Camilo
Cienfuegos. Taller COMAT ISBN978-959-16-1399-8
Delgado y Marrero, (2008). La enseñanza de la matemática I en carreras de ciencias
económicas. Evento Científico Internacional “La enseñanza de la Matemática y la
computación” MATECOMPU 2008. Edición Especial de la Revista Atenas. ISBN 978959-18-0406-8
Haeussler, (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.
8va.ed.
Pindyck y Rubinfeld, (1998). Microeconomía I. Cuarta Edición. Editorial Félix Varela. La
Habana, Cuba.
II. Actividades de formación comunitaria
La propuesta es que estas actividades fortalezcan la elaboración del primer borrador del
documento de sistematización de experiencias sobre la implementación del Modelo Educativo
Sociocomunitario Productivo.
En este sentido, en los equipos de sistematización verificamos si en nuestro documento hemos
tomado en cuenta la articulación del desarrollo curricular con el Proyecto Socioproductivo;
recordemos que esta articulación puede darse a través de la problemática de fondo o con las
actividades del plan de acción de nuestro PSP.
67 III. Actividades de concreción educativa
En estas actividades, es importante que en nuestra práctica educativa profundicemos la
articulación del desarrollo de los elementos curriculares y la problemática y/o actividades del
plan de acción de nuestro PSP. Esto nos permitirá –como se ha mencionado varias veces–
relacionar el currículo con la realidad o vincular la escuela y la comunidad; para que de este
modo, las y los estudiantes se formen de manera adecuada y no –como en el pasado–
memorizando conocimientos que no comprenden ni aplican.
Estas actividades deben desarrollarse en el marco del desarrollo de nuestro Plan de Desarrollo
Curricular (plan de clase); no necesitamos empezar de cero o realizar otra planificación
adicional.
Estas experiencias tienen que permitirnos seguir reflexionando y enriquecer nuestro trabajo de
sistematización.
Momento 3
Sesión presencial de socialización (4 horas)
En esta sesión cada Equipo de Sistematización presenta el producto de la UF 15; compartiendo
las dificultades atravesadas en la elaboración del Trabajo de Sistematización; las dificultades
expresadas deben ser aclaradas con ejemplos por las y los facilitadores o por las y los propios
participantes.
Producto de la Unidad de Formación
Presentación de documento: 1er. Borrador del acápite “Productos y resultados del proceso de
sistematización de experiencias Transformadoras”.
Lectura obligatoria de la Unidad de Formación
ü Talavera Simoni, María Luisa. Formaciones y transformaciones. Educación Pública y
culturas magisteriles en Bolivia. 1899 - 2010 (Tesis doctoral) La Paz: SIDES-UMSA; PIEB,
2011.
Esta lectura obligatoria es un insumo más para realizar y profundizar en mayor medida, el
apartado del análisis, comparación e interpretación colectiva de la experiencia de
transformación de las prácticas educativas.
68