Partial Differential Equation PDE Toolbox

Partial Differential Equation
PDE Toolbox
Por:
Henry Copete
QUE ES PDE TOOLBOX?
• Es una herramienta de MATLAB® que
facilita la resolución de problemas de
ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
• La solución presentada se obtiene
haciendo uso el método de elementos
finitos para problemas definidos sobre
dominios limitados y continuos en el plano
ALCANCE
• Análisis de ecuaciones (sistemas) de
ecuaciones de derivadas parciales.
• Modelación de geometrías
bidemencionales.
• Generación automatica de mallas(mesh)
• Refinamiento de mallas en modo
adaptativo.
• Utilización de las librerias de MATLAB.
• Permite la interacción con otros toolbox de
MATLAB.
ÁREAS DE APLICACIÓN
• Transferencia de calor en tanto en estado
estable como en transitorio.
• Flujos en medios porosos y problemas de
difusión.
• Propagación de ondas transitorias y armonicas.
• Movimientos transversales en membranas.
• Determinación de estados de vibración natural
de menbranas y problemas de estructuras
mecánicas.
VENTAJAS
• Permite la operación en modo gráfico
(GUI).
• Permite la operación en modo de
comandos.
• Ambiente flexible y abierto .
LIMITANTES
• Solo para análisis bidimensionales.
• No permite importar datos de geometría
desde sistemas CAD.
• Interfaz gráfica limitada.
• No presenta documentación completa
para uso avanzado.
QUE PODEMOS HACER?
• Especificar problemas de EDP.
Definir regiones 2D, sus condiciones de
frontera los coeficientes de la EDP.
• Resolver numéricamente problemas de
EDP.
Generación de mallas, discretizar
ecuaciones y producir una solución
aproximada.
• Visualizar los resultados.
TIPOS DE EDP´S
• Elípticas
• Parabólicas
• Hiperbólicas
• Valores Propios
− ∇ ⋅ (c∇φ ) + aφ = f
∂φ
d
− ∇ ⋅ (c∇φ ) + aφ = f
∂τ
∂ 2φ
d 2 − ∇ ⋅ (c∇φ ) + aφ = f
∂τ
− ∇ ⋅ (c∇φ ) + aφ = λdφ
• Ecuaciones no lineales − ∇ ⋅ (c( φ )∇φ ) + a ( φ ) φ = f ( φ )
• Sistemas de ecuaciones
− ∇ ⋅ (c11∇φ1 ) − ∇ ⋅ (c12∇φ2 ) + a11φ1 + a12φ2 = f1
− ∇ ⋅ (c21∇φ1 ) − ∇ ⋅ (c22∇φ2 ) + a21φ1 + a22φ2 = f 2
METODOLOGÍA OPERATIVA
Desiganción
del dominio
Visualización
y análisis
PDETOOL
Generación
de la malla
Condiciones
de frontera
Asignación de
Coeficientes
COMO SE DEFINE UN
PROBLEMA DE EDP?
• Por medio de la interfaz gráfica de usuario
(GUI) a la cual se accede mediante el
comando pdetool, se dispone de tres
modos que corresponden a diferentes
etapas en la definición del problema de
EDP:
– Draw mode
– Boundary mode
– PDE mode
DRAW MODE
• En este modo se crea la geometría de
problema, por medio de un conjunto de objetos
sólidos, los cuales pueden ser combinados para
obtener geometrías mas complejas.
BOUNDARY MODE
• En este modo se especifican las diferentes
condiciones de frontera (Dirichlet o Neumann),
las cuales pueden ser aplicadas a diferentes
segmentos de las fronteras.
CONDICIONES DE FRONTERA
• Dirichlet
hu = r
• Neumann
r (
n ⋅ c∇u ) + qu = g
En problemas no lineales, los coeficientes g, q,
h, and r pueden depender de u, y para PDE´s
parabólicas e hiperbólicas, estos coeficientes
pueden depender del tiempo.
PDE MODE
• En este modo se especifica el tipo de ecuación a
resolver y sus respectivos coeficientes c, a, f y d.
Se pueden especificar coeficientes para cada
subdominio independientemente.
COMO RESOLVER UN
PROBLEMA DE EDP
• Para la solución de un problema de EDP
hay dos modos que ayudan a resolver el
problema:
– Mesh mode
– Solve mode
MESH MODE
• En este modo
podemos generar
e imprimir mallas,
permitiéndonos
controlar
los
parámetros
del
generador
automático
SOLVE MODE
• En solve mode, permite
invocar y controlar los
parámetros
para
solucionar problemas
elípticos de tipo no
lineal y adaptativos
SOLVE MODE
• En problemas de tipo
parabólico e hiperbólico
se deben especificar
los valores iniciales y el
rango de tiempo para el
que se desea obtener
la solución
SOLVE MODE
• Para problemas de valores propios se puede
especificar el intervalo en el cual se pretende
encontrar los resultados.
APLICACIONES
IMPLEMENTADAS
• El toolbox PDE es facil usar en la areas mas
comunes debido a sus interfaces de aplicación.
• Ocho interfaces de aplicación están disponibles
además de los modo genéricos.
PLACA CALENTADA CON UN
EXTREMO AISLADO
100°C
75°C
y
2
50°C
2
∂ T
∂ T
+
=
0
2
2
∂x
∂y
= Elíptica
Ecuación
Borde aislado ↑ ∂ T / ∂ y = 0
Condiciones Dirichlet:75ºC, 100ºC y 50ºC
x
Placa de 40 x 40 cm
Condiciones Neumann: ∂ T / ∂ y = 0
PLACA CALENTADA CON UN
EXTREMO AISLADO
DISTRIBUCIÓN DE CALOR EN
UNA BARRA RADIOACTIVA
Considere una barra cilíndrica radioactiva, que se le añade calor continuamente
en el extremo izquierdo, el extremo derecho se mantiene a una temperatura
constante, existe transferencia de calor con el ambiente y al mismo tiempo hay
una fuente radiactiva de generación de calor.
Q = 5000 W / m 2
o
Q = 20000 W / m 3
DISTRIBUCIÓN DE CALOR EN
UNA BARRA RADIOACTIVA
Ecuación de transporte de energía térmica:
Usando coordenadas cilíndricas:
DISTRIBUCIÓN DE CALOR EN
UNA BARRA RADIOACTIVA
Condiciones tipo Dirichlet:
• u=100 en el extremo derecho de la barra.
Condiciones tipo Neumann:
r
• n.(c∇u ) = 5000r
en el extremo izquierdo.
r
• n .( c ∇ u ) + 50 ru = 5000 r en la periferia
El valor inicial u (t 0 ) = 0
ECUACIÓN DE ONDAS
La ecuación de ondas:
∂u
− ∇u = 0
2
∂t
2
• Resolver la ecuación de ondas para las vibraciones transversales
de una membrana de un cuadrado de esquinas (-1,-1), (-1,1), (1,-1)
y (1,1). La membrana está anclada (u = 0) en los lados izquierdo y
derecho, y se encuentra libre (∂u/∂n = 0) en los lados superior e
inferior.
• Para este ejemplo emplearemos como condiciones
iniciales:

 π 
u (0 ) = arctan  cos  x  
 2 

π
∂u (0 )
∂t
• Las condiciones iniciales son escogidas para satisfacer
las condiciones de frontera propuestas.
sen ( y )
= 3sen(π x)e 2
• Las funciones arctangente y exponencial se usan
solamente para hacer la solución un poco más atractiva.
SOLUCIÓN EN PDETOOL
• Dibujar la geometría en la que estamos interesados, es
decir, el cuadrado con esquinas en (-1,-1), (-1, 1), (1,-1)
y (1, 1).
• Imponer las condiciones de frontera con el comando
Para las frontera izquierda y derecha introducir la
condición Dirichlet u = 0 y para las superior e inferior
condiciones Neumann homogéneas ∂u/∂n = 0.
• Introducir los coeficientes
presionando el botón
que
definen
la
EDP
PLACA CALENTADA CON
FRONTERAS IRREGULARES
2
Ecuación de Laplace
∂ T
2
∂ x
2
+
∂ T
2
∂ y
=0
Resolver la ecuación de Laplace para una placa de 10 x
10 cm con las esquinas redondeadas y la cual
mantiene condiciones de temperatura a niveles
constantes.
PROBLEMA NO LINEAL
• Considerese la siguiente ecuación definida
sobre un circulo centrado en el origen de radio
unitario
∂ u ∂ u  ∂u ∂u 
2
+ 2 + 1 − − u = 2u
2
∂x ∂y  ∂x ∂y 
2
2
u ( x, y ) = 1 ∀( x, y ) ∈ ∂B (0,1)
MODOS DE VIBRACIÓN
(EIGENVALUES)
• Encontrar
los
autovalores
y
las
correspondientes
autofunciones
de
una
membrana con forma de L, con condiciones de
frontera Dirichlet homogéneas (u = 0).
∂u ∂u
− 2 − 2 = λu
∂x ∂y
2
2