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Apuntesde Ingenieria47 (1993)29-38
OBSERVACIONESSOBRE LA ACTIVIDAD MATEMATICA
Leopoldo Bertossi D. Dr. Mat. (*)
RESUMEN
Este articulo hace algunos alcancessobre la inserci6nde la
y sobrela naturalezadel
actividadmatemdticaen el contextoculturalgeneral
"universalidad".
Tambi6n
conocimientomatemdtico,en especialsobre Su
a los que se ven enfrentados
muestraciertostiposde problemasmatem6ticos
aquellosm 6s i n te re s a d o se n l o s fu n d a mentosde su 6rea de trabaj o.
y las posibilidades
discutenuevastendenciasen la matem6tica
Finalmente
con
a trav6sde su disciplina,
que hay para el matem6tico
de comunicarse,
y profesionales
de otrasdreasdel conocimiento.
cientfficos
ABSTRACT
sn the role of
T h i s a r t i c l e p r e s e n t ss o m e c o n s i d e r a t i o n o
and aboutthe natureof
activityin the generdlculturalcontext
mathematical
In addition,some
knowledge,speciallyaboutits "universality".
mathematical
in the
problemsconfronted
by thosewho are interested
kindsof mathematical
o f th e d i s c i p l i n ae re s h o w n . F i n al l y,new trendsi n mathemati cs
loundat ions
a n d t h e p o s s i b i l i t i e sf o r t h e m a t h e m a t i c i a tno c o m u n i c a t et h r o u g h
of othprareasof knowledgeare
with scientists
and profesionals
mathematics
discussed.
(*)
Depto.Cienciade la Computaci6n.P. U. Cat6licade Chile. Casilla306, Santiago'
Chile.
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el uatslxaloq { 'ece;odelancsspl 'prueuralvua 'ua6uruaogap Blancsapl
oruocsa lsv 'selancsa
ap salue etseLluo.rarlsrxa
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I soedorne'souecuetle uelloiJBsepenb ectlgulalet! el 'peprlesJa^run
eun ap ezo6 ectlguialeu e1lectst:tulel A ugt0tlate;
ap Eurol Bclls1JalceJec
'efenOua; ouloc'spllgap seqcnu uoc elselluocua 'aluBlsqooN 'salelnlnc
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'eseu uer O el rod Bprcouoc s apI orl druesgLl r o61e odnr0 u n l o d
un rod epe^rllnc'lplnllncugtcelsalrueur
epesn 'seuosradap odnrOoprcnpoJ
Eun sa EcrlgulalEuBl 'oluauJouolupopesardxaol ap resad y
'agq;sod
Bl Bu^asalpncsol ap e1:or{eu
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sol e unBsolsg allua opuaAn;cut
Bl 'selcexasercuarcseJloua selsr;egcadsa
'ecrlgualeurBl e aluar.uerdord
uecrpapas ou anb so; e alqrnbaseolsa
opol JaceqllcJllpoptsBt{ a}uauileuotctperl'Bctucglege A se}cexasetcuatc
'sepeJluocua
sel B pegllln uerOeun elserdBcrlgualeu El 'aluaulleuorcrpv
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JBproqEered seurol A ofeqerlap sopol?u satuesalalur
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ns Bue6auarpeusalencsol E 'socllgulaler!sapuel0ap sa.tquiou
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ua o6al uarnO;ee ep;d al as r s ' anb Jp cel sapal upsal al ursf
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as anb euosradBun e recr;dxallclllp sa octlgtuoleuun eJBd
Ll
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rd
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Nolcvrs3JtNvn :vclrvvlSlvul?
-'l
para descubrirlas y demostrarlasserAn aceptados por un m.atem6tico
Siemprees posibleque uno de ellos no se
americano,y reciprbcaments.
intereseporios reiultadosdel otro,o que estimeque-los m6todosempleados
no son 6s m5.shermosos(siemprehay una evaluaci6nest6ticade resultados
y'maiem6tic6
m6todos).En todo caso, la verdad matemAticaencontradapor cualquier
matem6ticos
pasar6a formarpartedel c0mulode conocimientos
universalmehtecompartidos.Esta es una caracteristicainteresantede la
actividadmatemdticd:la matem6tica,en contrastecon otras disciplinasdel
es acumulativa.
conocimiento,
o, p.orlo
Se ha llegadoa este caracteruniversalde la matemAtica,
claramente,no s6lo por la naturalezadel conocimiento
menos,a reconocerlo
ha.cambiado;
matem6ticoque, desde el puntode vista epistemol6gico,.no
y organizadorde aquelladrea de
por el pbpelclarificador
sino especialmente
la matdm{ticallam'adafJndamentosde la matemdticaque se desarrolla
desde fines del siglo pasadoy cuyos objetosde estudio
persistentemente
en'general
mismas,las estructurasmatem6ticas
bon las teorfasmatemAticas
y las demostracionesmatem6ticas.Es interesantedeslacar_aqui.que se
Esta situaci6n
los objetosy m6todosmatemdticos.
6studiamatematicamente
los
aparentementeparad6jicase iesuelvedistinguiendocuidadosamente
nivelesde lenguaje.
PRINCIPIOSDISCUTIBLES
precisamenteel 6rea de los fundamentosde la matem6tica,es un
ejemplo para ilustraralgunasde las aseveracioneshechas m6s arriba,
aiguriosiipos de problehas a los que siempre.se estd enfrentandoun
mitemAticb,y la fdrmaen que los definey aborda. Adem6s,este.ejemplo
muestra que ta aludida universalidaddel conocimientomatem6ticono
siempres6 na dado o, por lo menos,ha.parecidono existir,al formarse
con distintasfilosofiasde la
grup6sfuertementeanta!6nicosde matem6ticos
ir aiem 6t ic a. E l e j e m p l o p ro v i e n ed e l a teori a de conj untos,.campo
nuevo,de unos cien afios de antiguedad,y sus
matem6ticorelativamenie
sin ser los
objetosson susceptiblesde ser estudiadosmatemdticamente
como los n0merosenteroso las figurasgeom6tricas.
tipicamenteexhibid'os,
abstractoscomo para que
Adem6s,los conjuntosson objetossuficientemente
algunosles nieluen la calidhdde objetosreales.. No obstante,para los
realesy, de hecho,susceptiblesde ser
mitem6ticosson completamente
abordadoscon la intuici6n.
un 6mbitode objetos,como
Cuandose estudiamatemAticamente
las relacionesentreellos
el de los coniuntos,se desiacansus propiedades.y
que son de inter6s. En seguida,con apoyoen la.intuici6ny/o experiencia
soOreestos objetos,se estdblecenlos liamadosaxiomaso postulados,que
que se dan en e! univerScde
ion las verdadesbAsicas,fundamentales,
posible
en la elecci6nde estos
lo
mes
austero
ser
intenta
Se
objetos.
ariomas.Y esto no s6lo porquees mAseleganteprocederde este modo,sino
tambi6n porque es dedeabletener un sistema de verdadeso. hip6tesis
sometera revisi6n.Una
bAsicasq'uedea f6cil de maneiary, eventualmente,
se intentaobtenerlas demAs
uei etegidoslos principiostuhddmentales,
verdadei a partir de l6s axiomas. Otras afirmacionessobre los obietos,
aunquetengin una validezevidente,son aceptadascomo verdaderasen la
meOiCaqud se encuentrepara ellas demostracionesmatem6ticascuyas
hip6tesisse encuentranenire los axiomas.Entonces,estas afirmaciones
ze
sounqe eJed
uaqrlH,rod
sEppp
BzarE.rnlBu
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e
s
s
s
s
nuevosteoremas,algunosmatemdticosexpresabanque aquelloeso no era
m at em dt ic as i n o te o l g g i ao q u e d e c i a n q ue el mbtodo' erami steri oso,
siniestro(unheimlich)
(Reid,1970).
En cuantoal principiode elecci6n,en algunasdemostraciones
fue
posibleeliminarsu uso, en otras,no fue posiblehacerlo.Esta imposibilidad
se ilustramedianteun ejemplo.Al aceptarel principiode elecci6n,se puede
demostrarel llamadoprincipiode buenaordenaci6n(pBo) que afirmaque
cualquierconjuntopuedeser bien ordenado,es decir,los elementosde un
conjuntoarbitrarioA, puedenser dispuestosordenadamente
en una linea
orientada,(de menora mayor)de modotal, que cada subconjuntono vaclo
de A, digamosS, tieneun elementomenorque todossus otroselementos.
a
s
A
o a
a
'
b
0
0
A
el menor elemento de S
FIGU R A2
E l P ri n c i p i o d e Buena Ordenaci 6n
Entonces,
ZF y PE
===> PBO
(implican)
(1)
A h o ra ,ta m b i 6 ns e p u e d ed e m o s trarque ZF y pB O i mpl i can
pE es
P E , es dec i r,s i PB O e s v e rd a d e ro ,e n tonces,necesari amente,
verdadero.En consecuencia,
con respectoa los axiomasZF de la teorlaoe
c onjunt ose, l p ri n c i p i od e e l e c c i 6 ny e l p ri n ci pi ode buenaordenaci on
son
equivalentes.
Luego,en la formulaci6n(o la demostraci6n)
del principiode
buenaordenaci6n
est6 esencialmente
contenidoel principiode eleccion.
Actualmente
la mayorlade los matemAticos
aceptael principiode
elec c i6nc omo v e rd a d e ro a
, rg u m e n ta n dque,
o
si bi en este pri nci pi ono
ent r ega una ma n e ra g e n e ra l , u n i fo rm e ,de hacer l as el ecci onesde
elementos,en cada caso concreto,por muy arbitrarioque sea, se puede
te
t",rfi
ta rod es'd anb
et B etetp/ed,elcarBunalsrxa,elcar";T:B
:f?:-lrg
'aluaurlbrcuds5
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opuerued
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Er.-oi1o:res'ap
,t'etrierube6
;r-; ,lrrJr-r'r'rrro,
'sopernrsod
o 'seuorxeza^
braurud
i6o qrr-ir"rJ'-llJrr"r"tr olucsaosourp,
ns ua 'saprrcnf 'olsrJcap salui sog'
.SeAAnU
soruarcaJl
UOSOU,Oqcaq
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sollenby 'o;drcu;rd;e ese.rdxeerib ol'opol se enb ,ugrccalasei raceLl
F IG U R A3
E l Pri n c l p l o d e l as P aral el as
A trav6s de los siglos se intento demostrar el quinto postulado
partiendode los otros postuladosde la geometria. Sin embargo, reci6n en el
s i g l o p a s a d o s e d e m o s t r o q u e e s t e p o s t u l a d o n o e s c o n s e c u e n c i ad e l o s
ctros.
aHay alg0n metodo para demostrarque un determinadoaxioma de
una teoria no se deduce de los otros axiomas de la teoria? Por ejemplo,
volviendo al universo de los conjuntos, lcomo demostrar que PE no es
c o n s e c u e n c i a d e Z F ? L a s i m p l e o b s e r v a c i o nd e n u e s t r o u n i v e r s o d e
c o n j u n t o sn o b a s t a ,p u e s , e n e l , t a n t o a l o s a x i o m a sd e Z F c o m o a P E s e v e n
como verdaderos,pero nada mds. Se ven solo los hechos y no las relaciones
d e i m p l i c a c i o ne n t r e e l l o s .E s t e n o e s u n p r o b l e m ar e l a t i v oa u n s o l o d o m i n i o ,
e n e s t e c a s o , e l d e l o s c o n j u n t o s ,s i n o q u e e s u n p r o b l e m al o g i c o . S e d i c e
q u e P E e s c o n s e c u e n c i ad e l o s a x i o m a s d e Z F s i e m p r e y c u a n d o e n t o d o
d o m i n i o d o n d e s o n v d l i d o s l o s a x i o m a s d e Z F , n e c e s a r i a m e n t et a m b i e n e s
v d l i d o P E . L u e g o , s e g f n e s t a d e f i n i c i o n ,p a r a d e m o s l r a r q u e P E n o e s
c o n s e c u e n c i ad e Z F , b a s t a c o n d e m o s t r a rq u e e x r s t eu n d o m i n i o d o n d e l o s
a x i o m a s d e 7 F s o n v e r d a d e r o sy P E n o l o e s . E s n e c e s a r i oe x p l i c a rq u e , a l
v e r i f i c a rl a v a l i d e z d e l o s a x i o m a s e n u n d o m i n i o d i s t i n t od e a q u e l q u e l o s
motivo, los objetos, propiedades y relacionessobre los que hablan los
axiomas, deben ser reinterpretadosadecuadamente como objetos,
p r o p i e d a d e sy r e l a c i o n e se n e s t e n u e v o d o m i n i o .
En 1964, P.J. Cohen demostro,usando este m6todo, que el
principiode eleccion no se puede deducir de los axiomas de ZF. Este
r e s u l t a d o ,d e e n o r m e i m p o r t a n c i a ,r e s o l v i ou n p r o b l e m a a b i e r t o p o r m u c h o
l i e m p o , q u e s e r e f i e r ea u n p r i n c i p i ot a n d e t e r m i n a n t ee n l a f o r m a d e h a c e r
matem6tica,como el principiode eleccion,e rntrodujoconceptos relevantesy
t 6 c n i c a si n g e n i o s a sp a r a c o n s t r u i rm o d e l o sq u e e s t a b l e c e nl a i n d e p e n d e n c i a
d e a x i o m a s ( C o h e n ,1 9 6 6 ) .
P r e g u n t a sd e e s t e t i p o s o n i n t e r e s a n t e se n s l m t s m a s y , a v e c e s ,
tanto ellas como sus respueslas pueden tener consecuencias
i n s o s p e c h a d a s .P o r e j e m p l o , p a r a r e s p o n d e r n e g a t i v a m e n t ea l a p r e g u n t a
cldsica sobre la posibilidadde deducir el quinto postuladode Euclides sobre
l a b a s e d e l o s o t r o s p o s t u l a d o sd e l a g e o m e t r i a , h u b o q u e d e m o s t r a r l a
existenciade un espacio geom6tricodonde son v6lidos todos los axiomas de
Euclides excepto el de las paralelas.Hay espacios, entonces,donde, dados
una recta y un punto fuera de ella, no hay rectas que pasen por el punto que
sean paralelas a la recta. Tambi6n hay espacios donde se pueden lrazar
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Un alto porcentajede las conferenciasplenariasdel congreso
de
Berkeleytuvo que ver con aspectosmatem6ticos
d6 la computacion.
Algunas tendenciasactuales en la actividad matem6ticason
discutidas
en mayordetalle
por Bertossi(19g9).
v.-
CO NC L USIO N ES
A la luz.de los aspectosde la actividadmatemdticaque se han
mostrado,se.puede intentaridentificaralgunosde los factoresque influyen
en el aislamientode esta actividadcon respectoa otras maniiestaciones
culturalesy aun con respectoa otras cienciaexactas.Con seguridad,un
factor que obstaculizaesta comunicaci6n
es el hecho que el iratemdtico
descubreverdadessobre.objetos
que, con frecuencia,son abstractos,pero a
los c ual e s 6 1 ,e n s u tra b a j o ,n o a tri b uyeuna exi stenci adi sti ntaa' l a de
cualquierobjeto material. Por otro lado, el car6cteracumulativode la
matemdticahace, por la gran cantidadde conceptosy resultadosque 6sta
ha or igi n a d o .,
q u e a u me n tee l n i v e rd e compi ej i daddel l enguaj ' e.
E ste
lenguajees.de p9r en.extremo
precisoy carentede relievesjubjetivos,y
li:
puede ayudara facilitarla comunicacion,
por lo menosen el seniidomal
masivoque se echade menos.
A p e s a r d e l o s fa c to re sq u e i nfl uyenen l a di fi cul tadde l a
c o m u n i c a c i 6dne l a m a t e m d t i c ae, s t a c o m u n i c a c i oens p o s i b l e ,y e l l a
dependefuertementedel inter6sdel matem6ticopor establ6certa.Si este
tieneconocimientos
ampliosy profundos,
y es capazde evitaruna abstrusa
teminologiay notacionmatem6ticas,
entoncesgran partede los obstdculos
se superan.
Finalmente,
otro elementoesencialpara mejorarla comunicacion
ent r e el m a te m 6 ti c oy e l re s to d e l a comuni dad,es l a busquedade l a
interaccion
interdisciplinaria.
En el 0ltimotiempopodemosobservaravances
importantes
en ese terreno:disciplinas
del conocimiento,
como la economia,
la ps ic o l o g fal ,a s o c i o l o g i al,a b i o l o g i a,y l a mi smacomputaci 6n,
ti enden
sostenidamente
a un mayorgradode matematizaci6n.
El 6reade fundamentos
de la matemdtica
es vastae interesante
y
solo se ha tocado en este articulounos pocos ascpectos. otros temas
r elac ion a d o sc o n l o s fu n d a me n to sd e l a matem6ti cay l a acti vi dad
puedenser encontrados
matem6tica
en los excelentes
libros(Crossleyet al.,
1972;Davisy Hersh,1981; Nidditch,1983y Wilder,1965)
REFERENCIAS
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1.
r€e.
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