análisis descriptivo de los errores cometidos en la resolución

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE LOS ERRORES COMETIDOS EN LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN EL CONCEPTO DE LUGAR GEOMÉTRICO.
Natalia Melisa Martínez
Facultad de Humanidades y Ciencias. Universidad Nacional del Litoral
[email protected]
Trabajo de Investigación - Investigación en Educación Matemática
Resumen: Un foco de investigación en el área de la educación matemática es el estudio de las
dificultades y errores en el aprendizaje de la matemática. Dada la importancia de la demostración en
el aula de matemática y fundamentalmente en el área de geometría resulta interesante observar las
dificultades y errores en el desarrollo de la actividad demostrativa.
En Geometría Euclídea Plana, uno de los conceptos geométricos interesantes por los razonamientos
lógicos y deductivos necesarios para su demostración es el de lugar geométrico.
En esta ponencia se realiza un breve análisis descriptivo de errores cometidos por estudiantes en la
resolución de problemas geométricos que involucran este concepto. Esteestudio tiene como objetivo
observar la adecuación de la tipología elegida para la clasificación de errores que tienen sus orígenes
en la realización de demostraciones geométricas que involucran el concepto.
FUNDAMENTACIÓN
En el currículo escolar aparece el desarrollo de la Geometría Euclideana, que debe su nombre a uno
de los más grandes matemáticos de la historia,Euclídes.
Entre las numerosas obras de este matemático, una de la que más se destaca es la denominada
Elementos. En ella, se encuentran los primeros fundamentos de la geometría euclideana con las
características propias del primer sistema axiomático. Este pensador introdujo
el primer sistema
hipotético deductivo en el cual se comienza por el listado de conceptos básicos y postulados de los
cuales se derivan luego las demás proposiciones(Moriena y Dal Maso, 2006).
Hacia finales del siglo XIX, el célebre matemático David Hilbert a través de su obra Los Fundamentos
de la geometría (1899) ratifica la importancia del sistema axiomático propuesto por Euclídes en los
Elementos (Giovannini, 2011).
En su obra, Hilbert presenta una lista completa de axiomas, a partir de los cuales es posible deducir
todos los teoremas fundamentales, es decir, mediante deducciones lógicas es posible construir la
geometría euclídea elemental (Giovannini, 2011).
Para la sistematización de resultados en un sistema deductivo de axiomas como lo es la geometría, la
demostración deductiva es una herramienta fundamental. Además de estas facultades de
axiomatización, se le atribuyen a la demostración otras funciones dentro de la matemática: la
verificación, la explicación, el descubrimiento y la comunicación (De Villiers, 1993).
Dada la importancia de la demostración deductiva dentro del desarrollo de la geometría, se parte del
supuesto deque no es una opción acertada prescindir de la actividad demostrativa en el aula durante
la formación inicial de profesores de matemática (Perry Carrasco, Camargo Uribe, Samper de Caicedo
y Rojas Morales, 2006).
Sin embargo, incorporar la demostración en el aula no es una cuestión sencilla.Para permitir su
entrada en la clase de matemática, es imperioso reconocer dos importantes aspectos propios de la
actividad demostrativa: el proceso y el producto. El aspecto proceso incluye acciones como la
visualización, la exploración, la verificación y conjeturación, realizadas con los propósitos de
comprender el contenido geométrico involucrado y de buscar cómo justificar el hecho geométrico que
da solución al enunciado planteado. El aspecto producto incluye acciones propias de la práctica de
justificar que movilizan el razonamiento argumentativo hacia la formulación de explicaciones, pruebas
o demostraciones formales (Perry Carrasco y otros, 2006).
La relación entre las actividades que caracterizan estos aspectos se da por medio del razonamiento
argumentativo, y a medida que éste progresa tomando un carácter analítico, deductivo y menos
empírico, va transformando una primera justificación en la demostración formal buscada
(Perry
Carrasco y otros, 2006).
En el área de la Geometría Euclídea Plana, uno de los conceptos geométricos interesantes por los
razonamientos lógicos y deductivos necesarios para su demostración es el delugar geométrico.
En los Elementos se encuentra la mayoría de las propiedades que caracterizan a algunas figuras
elementales como lugares geométricos, por ejemplo: la circunferencia, la mediatriz y la bisectriz. Es
decir, todos aquellos lugares geométricos que pueden construirse mediante el empleo de la regla y el
compás (Sánchez del Río, 1996).
Es importante tener en cuenta que en matemática, el concepto de lugar geométrico permite
caracterizar tanto curvas de diversas propiedades (parábolas, elipses, espirales, etc) como también,
figuras geométricas. Desde la antigüedad los griegos clasificaban los lugares geométricos en tres
grupos: los lugares planos, que abarcaban rectas y circunferencias; los lugares sólidos, que incluyen
las cónicas; y los lugares lineales, que contienen otras curvas como las espirales (Sánchez del Río,
1996).
Esta clasificación surge en respuesta a la resolución de problemas, es así que los problemas resueltos
mediante el empleo de rectas y circunferencias eran denominados problemas planos, los problemas
sólidos eran resolubles mediante el uso de las curvas cónicas y los problemas lineales mediante otro
tipo de curvas (Sánchez del Río, 1996).
Para Euclídes estas dos últimas categorías pertenecían a la matemática superior; por lo cual en los
Elementos, sólo
desarrolla el tratamiento de aquellos lugares geométricos denominados planos
(Sánchez del Río, 1996).
Según Puig Adam (1980), un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen con cierta
propiedad y que determinan una figura. Por tanto, ante el análisis de un problema en el cual se afirma
que una figura es el conjunto de puntos que cumple determinada propiedad, es decir es un lugar
geométrico, se debe probar que:
a) Todo punto que cumple con dicha propiedad pertenece a la figura, denominado Teorema Directo.
b) Todo punto de la figura tiene la propiedad indicada, denominado Teorema Recíproco.
Los pasos anteriores no son fáciles de llevar a cabo, por tanto en materia de educación matemática,
es interesante analizar aquellos errores que se comenten en la resolución de problemas que
involucran el concepto de lugar geométrico y requieren de la realización de la demostración de
existencia del mismo.
Así, en coincidencia con Socas (2007), en la actualidad un foco de investigación que presenta
cuestiones no resueltas es el estudio de las dificultades y errores en el aprendizaje.
Siguiendo el recorrido histórico que realiza este autor sobre las diversas concepciones de los errores a
lo largo del tiempo, es importante destacar que actualmente resulta muy significativo delimitar las
causas de los errores y no las frecuencias de su ocurrencia. Sugiere entonces ser conscientes de las
dificultades que se generan como producto de la interacción de las diversas variables que intervienen
en el proceso educativo y de cómo estas variables se convierten en dificultades u obstáculos para el
aprendizaje dando lugar al error (Socas, 2007).Las dificultades se interconectan en entramados
complejos que se presentan en la práctica como obstáculos y se muestran en los alumnos mediante
errores (Socas, 1997).
Desde esta perspectiva, se propone considerar al error como la presencia de un esquema cognitivo
inadecuado y no solamente como la falta de conocimiento. De esta forma, conocer los errores permite
a un profesor recabar información acerca de la forma en que sus alumnos interpretan problemas y
utilizan diversos procedimientos para alcanzar las metas de resolución (Socas, 1997).
Franchi y Rincón (2004a) defienden la idea de que el docente debe ser capaz de diseñar situaciones
didácticas que guíen al alumno a sustituir conocimientos errados por verdaderos identificando,
clasificando y conociendo los orígenes de los errores.
Realizan una investigación en la que diseñan una tipología de errores en geometría observados en
participaciones en clases, en exámenes, en consultas, en interrogatorios y en interacciones entre
alumnos.Las categorías consideradas son: Errores de Pre-requisitos, Errores Propios del lenguaje
Geométrico, Errores Gráficos, Errores De razonamiento, Errores de transferencia, Errores de técnica,
Errores de tecnología y Errores Azarosos. Recomiendan esta tipología como una herramienta útil para
seleccionar estrategias adecuadas para la superación de errores en el área de geometría.
Otro autor interesado en los errores en el área de geometría es Dubnov (1993), quien expone
problemas matemáticos geométricos demostrados erróneamente y además,incluyelas resoluciones
correctas y un análisis descriptivo de los errores cometidos. Algunas de las categorías a las que hace
referencia son: errores de razonamiento lógico, de incomprensión de lo que se está demostrando, de
uso de de propiedades sin fundamento y de omisión de todos los casos posibles.
Según lo expuesto anteriormente, se llevará a cabo un estudio de la actividad demostrativaen torno al
concepto de lugar geométrico en la cátedra Geometría Euclídea Plana del Profesorado de Matemática
de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la UNL.
Se espera que la observación, el análisis y la clasificación de los errores de los estudiantes,
permitaindagar en los orígenes de los mismos como un aporte
fundamental para repensar las
propuestas de la asignatura.
En esta ponencia se ofrece una indagación preliminar, que consiste en estudiar la pertinencia y
utilidad de la tipología de errores en geometría propuesta por Franchi y Rincón (2004b), para el
análisis de dos demostraciones que involucran el concepto de lugar geométrico.
CATEGORÍAS DE ANÁLISIS
Las categorías propuestas por Franchi y Rincón (2004b) se describen a continuación:
Errores de pre-requisitos: Son errores que tienen su origen en aprendizajes erróneos o deficientes de
conceptos geométricos que el alumno adquirió antes de estudiar geometría en la Universidad. Son
ejemplos de esta categoría: errores algebraicos de notación, resolución errónea de operaciones,
utilización inadecuada de los instrumentos de dibujos.
Errores propios del lenguaje geométrico: En esta clasificación se encuentran los errores que derivan
de la expresión oral y escrita de los términos y notaciones de la geometría y las interpretaciones
erróneas de éstos. Algunos ejemplos son: uso inadecuado de las notaciones que refieren a figuras y
elementos geométricos, demostración de proposiciones no pedidas, no responde a lo que se le pide
en el problema geométrico, plantea una resolución contraria al enunciado, utiliza erróneamente los
términos geométricos y describe incorrectamente la construcción de las figuras.
Errores gráficos: En esta categoría se incluirán aquellos errores asociados al trazado incorrecto del
gráfico utilizado para la resolución del problema. Se incluirán aquí todos los errores asociados con el
trazado de figuras y lugares geométricos así como con su interpretación.
Errores de razonamiento: Se considerarán los errores que provienen
del
uso incorrecto de las
implicaciones y equivalencias lógicas, que trae como consecuencia
el manejo erróneo de las
definiciones, teoremas y axiomas propios de la geometría. Son ejemplos de esta categoría: errores
originados por la no utilización de algún dato relevante dado en el enunciado, el uso de teoremas,
corolarios, propiedades sin que se cumplan las condiciones
de las hipótesis, la interpretación y
utilización errónea de definiciones y recíprocos de teoremas e implicaciones no válidas.
Errores de transferencia: Esta clase de errores surge por la falta de destreza de los estudiantes para
integrar los conocimientos de otras materias y representar problemas reales en términos matemáticos
y geométricos.
Errores de técnica: Estos errores nacen en la aplicación incorrecta de procedimientos en la resolución
de problemas de geometría o en la realización de de demostraciones geométricas. Son ejemplos:
enunciación incorrecta
de proposiciones o propiedades geométricas, utilización de proposiciones
ciertas sin justificación o mal justificadas, el uso de algoritmos acertados para la resolución del
problema o la realización de una demostración sin alcanzar su finalización.
Errores de tecnología: Son errores que se producen
cuando el alumno selecciona un algoritmo
inadecuado para resolver el problema geométrico o utiliza una estrategia incorrecta para efectuar una
demostración geométrica. En una demostración, este tipo de error puede observarse cuando el
alumno intenta demostrar utilizando el método directo y no encadena correctamente las proposiciones
y teoremas que la integran.
Errores azarosos: son errores de poca importancia, dado que surgen de un descuido o al azar. Se
observan cuando el alumno transcribe mal un dato o valor, manipula de forma inadecuada los signos
algebraicos o realiza mal las operaciones que plantea.
PRESENTACIÓN DE LOS CASOS SELECCIONADOS
Con el fin de estudiar la utilidad de la categorización para el análisis de demostraciones sobre lugares
geométricos, se ha seleccionado un problema tomado en un examen final de la materia Geometría
Euclídea Plana del Profesorado de Matemática de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la UNL.
Enunciado: Sean A y B dos puntos fijos, distintos. Determina el lugar geométrico de los simétricos de
B respecto de una recta variable r que pasa por A. Demuestra.
Teniendo en cuenta lo indicado anteriormente para las demostraciones de lugares geométricos, debe
probarse que, para A y B fijos:
a) Todo punto del plano simétrico de B respecto de una recta variable r que pasa por A, pertenece a la
circunferencia de centro A y radio AB, y
b) Todo punto de la circunferencia de centro A y radio AB es simétrico de B respecto de una recta r
que pasa por A.
A continuación se incluyen dos resoluciones del problema. En cada una se señalan y enumeran las
afirmaciones y/o construcciones erróneas con color verde.
RESOLUCIÓN 1
2
1
5
3
4
Descripción de los errores observados:
1-Traza defectuosamente el lugar geométrico pedido.
El alumno utiliza adecuadamente los elementos geométricos para representar la situación. Toma una
posición inicial de la recta r (perpendicular a BA) y a partir de ella considera la variación de r que
permite obtener los simétricos de B en un solo semiplano de los determinados por la recta BA (lo que
constituye un error).
2- Interpreta y utiliza erróneamente la definición de giro.
Indica la existencia de un giro sin especificar el centro y el ángulo.Cabe destacar que aparentemente
no se percata de que los giros que parece considerar son diferentes: la recta r gira con centro en A y
ángulo α, y el simétrico B´ gira con centro en A y ángulo 2α.
3- Utiliza erróneamente el lenguaje geométrico
No es posible interpretar el significado de la expresión “al variar r, α varía
α”, dado que no se
corresponde con la notación propia de la geometría.
4- Encuentra un lugar geométrico que no corresponde al resultado del enunciado planteado.
Se observa que el estudiante se guía sólo por el gráfico realizado sin pensar qué sucedería con los
simétricos de B en otras posiciones de r y en el semiplano de borde BA opuesto al considerado.
5- Aplica defectuosamente conocimientos geométricos para llegar a una solución del problema.
El estudiante ha elegido justificaciones incorrectas para hallar un lugar geométrico. No tiene en cuenta
que en una demostración de lugar geométrico deben enunciarse y probarse los dos teoremas (directo
y recíproco).
RESOLUCIÓN 2
6
7
Descripción de los errores observados:
6- Utiliza incorrectamente el lenguaje geométrico.
Se debe indicar a quien es perpendicular la recta y no de quien (se debe reemplazar “de” por “a”).
7- Utiliza estrategia adecuada para la resolución del problema pero no llega a su demostración
El estudiante utiliza una estrategia adecuada para demostrar el teorema directo pero no el recíproco.
CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES SEGÚN LAS CATEGORÍAS
Categorías
Errores
Errores de Pre- requisitos
Errores propios del lenguaje geométrico
3, 6
Errores gráficos
1,4
Errores de razonamiento
2
Errores de transferencia
Errores de técnica
5, 7
Errores de tecnología
Errores azarosos
ANÁLISIS DESCRIPTIVO
El error “1” se incluye en la categoría errores gráficos porque el alumno traza mal el lugar geométrico
pedido. Además, en esta clasificación encontramos el error “4”dado que el estudiante interpreta mal lo
que grafica sin pensar qué puede suceder si amplíalas posibilidades de dibujo.
El error “2” puede ser considerado como error de pre-requisito dado que los movimientos del plano
es un conocimiento que se dicta en la misma cátedra. Sin embargo, si nos remitimos a la definición de
esa categoríaobservamos que no hay lugar para conocimientos previos de la misma cátedra
universitaria, por tanto ha sido clasificado como un error de razonamiento dado que en esta categoría
se encuentran aquellos errores relacionados con el mal uso de las definiciones geométricas.
Los errores “3” y “6” son categorizados como errores propios del lenguaje geométrico porque se
derivan“de la expresión oral y escrita de la terminología y notaciones propias de la geometría y de su
interpretación” (Franchi y Rincón, 2004b, 198).
Los errores “5” y “7” son considerados errores de técnica porque surgen por la aplicación inadecuada
del procedimiento que debe seguirse en la demostración de la existencia de un lugar geométrico.
REFLEXIONES FINALES
Es posible que
debido a la reducida muestra escogida, las categorías errores de pre-requisitos,
errores de transferencia, errores de tecnología y errores azarosos quedaron vacías, puesto que los
errores que las mismas incluyen no se presentaron en las resoluciones estudiadas.
Se observa que las categorías errores propios del lenguaje geométrico, errores gráficosy errores de
técnica son las másfrecuentes.
En las dos resoluciones se evidencia un desconocimiento de los pasos a considerar en la
demostración de problemas de lugar geométrico. Una causa posible es que los mismos no quedan
explícitos en el enunciado.
Considerando que esteestudio es preliminar al desarrollo futuro de unatesis sobre errores en las
demostraciones geométricas que involucran el concepto de lugar geométrico, es válido avanzar en
algunas modificaciones a la categorización utilizada:
* Incorporar en la categoría pre-requisitos los conocimientos que el alumno tenga hasta el momento
de la presentación del problema, pudiendo ser esto todo lo dado en la asignatura.
*Desglosar detalladamente la categoría errores de razonamiento, incluyendo por ejemplo: errores en
uso definiciones, errores en uso de teoremas, corolarios y propiedades, errores lógicos, entre otras.
Referencias Bibliográficas
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Dubnov, Ya. S. (1993). Errores en las demostraciones geométricas. Ed: Rubiños-1860 S. A. Madrid,
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