Kolmogorov - Página de Dibene

El Teorema de Extensión de Kolmogorov.
Resumen
Se procede a probar una versión general del Teorema de Extensión de Kolmogorov. En esta versión el conjunto
de índices es arbitrario; no se supone subconjunto de R ni con un orden total dado. Cada factor (Ωt , Ft ) satisface
que Ωt es un espacio métrico, separable y completo y que Ft = B (Ωt ) .
1.
Resultados topológicos preliminares.
Se suponen conocidos los resultados básicos de topología y espacios métricos. Aquí se darán los resultados
específicos.
( 1.1 ) Si φ : [0, ∞) → [0, ∞) es no decreciente, semiaditiva superiormente (esto es, φ(x + y) ≤ φ(x) + φ(y)),
continua, φ(0) = 0 y φ(x) > 0 para x > 0 entonces para cualquier métrica d se cumple que ρ(x, y) = φ(d(x, y)) es
una métrica uniformemente equivalente a d; esto es, si d es métrica en Ω entonces la función IΩ , la identidad
de Ω, satisface que es uniformemente continua (Ω, d) → (Ω, ρ) y (Ω, ρ) → (Ω, d).
PRUEBA: que ρ sea un métrica es un cálculo directo. Se probará que IΩ es uniformemente continua en ambas
direcciones. Dado ε > 0, la continuidad de φ muestra que δ = ı́nf{r > 0|φ(r) ≥ ε} > 0. Entonces, la continuidad
de φ permite concluir que φ(u) < ε Ñ u ∈ (0, δ]. Luego, d(x, y) < δ Ñnρ(x,y) < ε; esto es, IΩ : (Ω,
o d) → (Ω, ρ)
es uniformemente continua. Recíprocamente, dado ε > 0 define δ = sup φ(t)t ∈ φ−1 [0, ε) ∩ [0, ε) . Como φ es
continua en el orgien, φ−1 [0, ε) ∩ [0, ε) es un intervalo de la forma [0, a). De la definición de δ, ρ(x, y) < δ Ñ
d(x, y) < ε; esto es, IΩ : (Ω, ρ) → (Ω, d) es uniformemente continua.
( 1.2 ) Un espacio métrico Ω puede tener dos métricas d1 y d2 que inducen la misma topología pero de tal
forma que una de ellas hace de Ω un espacio métrico completo y la otra no. Cuando las metricas son tales que
IΩ es uniformemente continua en ambas direcciones, se cumple entonces que todas las sucesiones de Cauchy
respecto a una métrica son las mismas respecto de la otra. En este último caso se dirá que las métricas d1 y d2
son uniformemente equivalentes.
PRUEBA: si en R2 se pone la métrica euclidiana, esta induce la topología usual y es completa. Si en cambio, se hace
la proyección estereográfica de R2 y se considera a R2 como homeomorfo a la esfera unitaria sin el polo norte,
S2 \ {(0, 0, 1)} ⊂ R3 , con la topología del subespacio (la cual es métrica pues R3 es métrico) entonces esta métrica (la
«métrica cordal») no es completa pues existen sucesiones de Cauchy centradas en el polo norte que no convergirán
a ningún punto en S2 \ {(0, 0, 1)}. Que las métricas generen la mismta topología se deriva de que ambas generan las
topologías usuales y de que los espacios considerados son homeomorfos.
Sea ahora Ω un conjunto y d1 , d2 dos métricas en él de tal forma que IΩ es uniformemente continua en ambas
direcciones. Sea (ωn )n∈N una sucesión de Cauchy respecto a d1 ; se probará que también es sucesión de Cauchy
respecto a d2 . Para todo ε > 0 existe n0 (ε) ∈ N tal que n, m ≥ n0 (ε) Ñ d1 (ωn , ωm ) < ε. Para ε > 0 dado existe un
δ > 0 tal que para todo x, y ∈ Ω se cumple que d1 (x, y) < δ Ñ d2 (x, y) < ε. Luego, n, m ≥ n0 (δ) Ñ d1 (ωn , ωm ) < δ Ñ
d2 (ωn , ωm ) < ε.
t
y t 7Ï mı́n{1, t} satisfacen las hipótesis de (1.1).
1+t
ï
ò
d
t
1
PRUEBA: observa que
=
> 0 para todo t ≥ 0. Así que la primera función es creciente. Que esta
dt 1 + t
(1 + t)2
función sea semiaditiva superiormente se obtiene de que
( 1.3 ) Las funciones t 7Ï
x+y
x
y
x
y
=
+
≤
+
,
1+x+y
1+x+y
1+x+y
1+x
1+y
que era lo más difícil de verificar. El resto son cálculos elementales.
( 1.4 ) Dado un conjunto no vacío T y una función x : T → Ω, se dirá que x es una familia de elementos de Ω
cuyo conjunto de índices es T. Se denotará por x = (xt )t∈T . El axioma de elección establece que si (At )t∈T es una
familia de subconjuntos
[ no vacíos de Ω (esto es, una familia de elementos de P (Ω) \ {∅}) entonces el conjunto
Y
de funciones f : T →
At tales que, para todo t ∈ T, f(t) ∈ At es no vacío. A este conjunto se le denota por
At
t∈T
t∈T
1
y se le llama el producto cartesiano
Yde la familia (At )t∈T . Es importante notar que a diferencia de un producto
cartesiano finito (A1 × . . . × An ) en
At no importa el orden en que aparecen los factores pues es un conjunto
t∈T
de funciones.
Si (Ωt , dt )t∈C es una familia contable (esto es, o es finita o es enumerable) de espacios métricos entonces el
producto cartesiano (definido arriba) es un espacio métrico. Específicamente, si C = N entonces se pone
d ((xn )n∈N , (yn )n∈N ) =
∞
X
mı́n{dn (xn , yn ), 1}
2n
n=1
,
!
Más aún, si para cualquier t ∈ C el espacio métrico (Ωt , dt ) es completo entonces el espacio (Ω, d) =
Y
Ωt , d
t∈C
es completo.
PRUEBA: siY
C es finito se puede considerar el caso C = {1, 2} y aplicar inducción para n general. En este caso se
tiene que
Ωt = Ω1 × Ω2 y entonces d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = máx{d1 (x1 , x2 ), d2 (y1 , y2 )} satisface lo pedido; basta notar
t∈C
que la bola de centro (x, y) y radio r con respecto a d es el conjunto B1 (x; r) × B2 (y; r).
Si C es enumerable se puede poner C = N. En virtud de (1.1) y de (1.3) se puede suponer que 0 ≤ dn ≤ 1. Se
propone la métrica d de arriba; esto es,
d ((xn )n∈N , (yn )n∈N ) =
∞
X
dn (xn , yn )
2n
n=1
.
Que d sea una métrica es un cálculo elemental. Se probará que genera la topología producto. Sea V un abierto
∞
Y
básico de x = (xn )n∈N ∈ Ω. Entonces, V =
Bn (xn ; εn ) , donde εn = 1 para todo n mayor que cierto n0 . Sea ε el
n=1
εk
más pequeño de los número k para k que va desde 1 hasta n0 . Si y = (yn )n∈N ∈ Ω es tal que d(x, y) < ε entonces
2
para k = 1, . . . , n0 ,
∞
dk (xk , yk ) X dn (xn , yn )
εk
≤
= d(x, y) < ε ≤ k
2k
2n
2
n=1
y así, yk ∈ Bk (xk ; εk ) para k = 1, . . . , n0 . Como Bn (xn ; εn ) = Ωn para n > n0 , se mostró que (yn )n∈N ∈ V . Recíprocamente, sean ε > 0 y x = (xn )n∈N ∈ Ω. Se mostrará que existe un abierto básico V de x tal que y ∈ V Ñ d(x, y) < ε.
∞
X
1
ε
Esto concluiría la prueba de que d genera la topología producto. Sea n0 el mínimo natural tal que
< .
n
2
2
∞
Y
2n−1 ε
Sean εn =
para n ≤ n0 y εn = 1 para n > n0 . Entonces, si y ∈ V =
Bn (xn ; εn ) entonces
n0
n=n0 +1
n=1
d(x, y) =
∞
X
dn (xn , yn )
n=1
2n
≤
n0
X
εn
n=1
2n
+
ε
ε
ε
< n0
+ = ε.
2
2n0
2
Ahora se probará que si cada dn es completa
d es completa. Para esto es importante recordar que en
Ä
ä entonces
(n)
el producto topológico Ω una sucesión ωp
convergirá a un punto (ωp )p∈N si y solo si para todo p ∈ N
p∈N n∈N
Ä (n) ä
Ä (n) ä
se cumple que ωp
converge a ωp . Luego, si ωp
es una sucesión de Cauchy en Ω entonces dados
n∈N
p∈N n∈N
q ∈ N y ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que
n, m ≥ n0 Ñ d
Ä
ä
ωp(n)
p∈N
Ä
ä
, ωp(m)
p∈N
<
Luego,
n, m ≥ n0 Ñ
Ä (n) (m) ä
dq ωq , ωq
2q
2
<
ε
.
2q
ε
.
2q
Ä (n) ä
Esto muestra que la sucesión ωq
n∈N
para Ωq se obtiene que lı́m
n→∞
ωq(n)
es de Cauchy en Ωq . Como Ωq es completo y dq es una métrica completa
= ωq ∈ Ωq . Luego, la sucesión original converge a (ωq )q∈N en la topología producto,
por lo tanto, en la métrica d y esto concluye la prueba.
( 1.5 ) Un espacio topológico Ω se llama separable si existe una sucesión (ωn )n∈N la cual es densa en Ω; esto es,
el rango de la sucesión es un subconjunto de Ω cuya cerradura es Ω. También se dice que Ω es (N2) si satisface
el «segundo axioma de numerabilidad»; esto es, si satisface que existe una sucesión (Un )n∈N abiertos de Ω tal
que todo ω ∈ Ω y todo abierto U de ω existe un Un tal que ω ∈ Un ⊂ U. Entonces, para que el espacio métrico
(Ω, d) sea separable es condición necesaria y suficiente que sea (N2).
PRUEBA: para probar la suficiencia se escoge una función de elección u ∈
∞
Y
Un . Entonces u = (un )n∈N con un ∈ Un
n=1
para cada n ∈ N. Se afirma que u es denso en Ω. Si ω ∈ Ω es cualquiera y U es una vecindad de Ω entonces existe
un n ∈ N tal que un ∈ Bn ⊂ U, lo cual prueba la suficiencia. Para probar la necesidad se supone que (ωn )n∈N es una
1
. Esa familia
sucesión densa en Ω. Define la familia (Bn,m )n∈N,m∈N tal que Bn,m es la bola de centro ωn y radio
m
satisface el segundo axioma de numerabilidad para Ω. En efecto, si ω ∈ Ω y U es un abierto tal que ω ∈ U entonces
1
existe ε > 0 tal que B (ω; ε) ⊂ U. Sea m tal que
< ε. Como (ωn )n∈N es densa en Ω, existe un n tal que ωn y ω
m
ã
Å
1
1
⊂ B (ω; ε) ⊂ U.
. Entonces, ω ∈ B ωn ;
distan menos que
2m
2m
2.
Resultados sobre σ-álgebras preliminares.
La intención de esta sección es construir un espacio «producto medible»; esto es, dada una familia (Ωt , Ft )t∈T !
de
Y
O
espacios medibles, construir, de manera análoga a la contrucción de (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 ), el espacio
Ωt ,
Ft .
t∈T
t∈T
Así, es necesario recordar propiedades sobre σ-álgebras.
( 2.1 ) Se dice que S ⊂ Ω es una clase generadora de la σ-álgebra F si Σ(S ) = F . Sea S es clase generadora
de F y φ(A) es una propiedad de A ⊂ Ω. Entonces, si el conjunto H de los A ⊂ Ω tales que φ(A) es verdadera
satisface que
1. S ⊂ H y,
2. H es σ-álgebra,
entonces F ⊂ H .
PRUEBA: esto es inmediato de la definición de F la cual dice que F es la intersección de todas las σ-álgebras que
contienen a S .
Se recuerda que una sucesión (An )n∈N de subconjuntos de Ω es monótona si se cumple alguna de las siguientes
condiciones,
1. ∀n ∈ N, An ⊂ An+1 , en cuyo caso se dirá que es creciente;
2. ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An , en cuyo caso se dirá que es decreciente.
( 2.2 ) Un conjunto M de subconjuntos de Ω es una clase monótona si para cualquier sucesión monótona
(An )n∈N en M se cumple que lı́m An ∈ M . Si F0 es un álgebra sobre Ω y M es una clase monótona tal que
F0 ⊂ M entonces Σ(F0 ) ⊂ M .
n→∞
PRUEBA: sea M0 la intersección de todas las clases monótonas que contienen a F0 . Entonces M0 es clase monótona.
Se probará que M0 = Σ(F0 ). Sean A ∈ M0 y M0A el conjunto de los B ∈ M0 tales que A∩B, A∩{B y {A∩B pertenecen
a M0 . Es elemental verificar que M0A es una clase monótona. Si A ∈ F0 entonces F0 ⊂ M0A y consecuentemente
M0A = M0 . ESto muestra que si B ∈ M0 entonces A ∩ B, A ∩ {B y {A ∩ B pertenecen a M0 siempre que A ∈ F0 ; esto
es, F0 es subconjunto de M0B y, por minimalidad, M0B = M0 . Se comprueba que M0 es un álgebra. Si A, B ∈ M0
entonces A ∈ M0B por lo que A ∩ B, A ∩ {B y {A ∩ B son elementos de M0 . Así, M0 es un álgebra que es clase
monótona. Por lo tanto, es una σ-álgebra.
3
( 2.3 ) Un conjunto D de subconjuntos de Ω es una clase dynkiniana si satisface las siguientes tres propiedades,
1. Ω ∈ D,
2. A, B ∈ D, A ⊂ B Ñ B \ A ∈ D,
3. si (An )n∈N es una sucesión creciente en D entonces lı́m An ∈ D.
n→∞
Sea S un conjunto de subconjuntos de Ω tal que A, B ∈ S Ñ A ∩ B ∈ S . Entonces, si D es una clase dynkiniana
que contiene a S , Σ(S ) ⊂ D.
PRUEBA: sea D(S ) la intersección de todos las clases dynkinianas que contienen a S . Se cumple que D(S ) es una
clase dynkiniana. Como Σ(S ) es una clase dynkiniana, D(S ) ⊂ Σ(S ).
Sea C el conjunto de los A ∈ D(S ) tales que B ∈ S Ñ A ∩ B ∈ D(S ). Se cumple que S ⊂ C pues S es cerrado
ante intersecciones finitas. Asimismo, C es una clase dynkiniana, lo que se verifica fácilmente. Por minimalidad,
C = D(S ). Sea ahora A el conjunto de los A ∈ D(S ) tales que B ∈ D(S ) Ñ A ∩ B ∈ D(S ). Como C = D(S )
entonces S ⊂ A . Es fácil comprobar que A es una clase dynkiniana, con lo que A = D(S ). Como D(S ) es una
clase dynkinianan cerrada ante intersecciones finitas, es una σ-álgebra.
( 2.4 ) Sean (Ω1 , F1 ), . . . , (Ωn , Fn ) espacio medibles. Se dirá que R ⊂ Ω1 × . . . × Ω = Ω es un rectángulo medible
si existen Ri ∈ Fi para i = 1, . . . , n tales que R = R1 × . . . × Rn . Sea F0 el conjunto de las uniones de un número
finito de rectángulos medibles de Ω. Entonces F0 es un álgebra. A Σ(F0 ) = F1 ⊗ . . . ⊗ Fn se le llamará σ-álgebra
producto de F1 , . . . , Fn .
PRUEBA: que F0 tenga por elemento a Ω se obtiene de que Ω es un rectángulo medible. Es claro que F0 es cerrado
ante uniones finitas. Lo único que hay que verificar es que F0 es cerrado ante complementos. Si A ∈ F0 entonces
k
[
A=
Ri , donde Ri = R1,i × . . . × Rn,i es un rectángulo medible. Dado C ∈ Fj se define Ωj (C) = U1 × . . . × Un , donde
i=1
Up = Ωp para todo p 6= j y Uj = C. Entonces, Ri =
n
\
Ωj (Rj,i ) y de aquí se sigue que
j=1
{A =
k
\
i=1
Para cada i = 1, . . . , k se cumple que
n
[
{Ri =
k [
n
\
{Ωj (Rj,i ) =
i=1 j=1
k [
n
\
Ωj {Rj,i .
i=1 j=1
Ωj {Rj,i ∈ F0 por ser una unión de un número finito de rectángulos. Por
j=1
ende, para concluir que {A ∈ F0 se debe demostrar que F0 es cerrado ante intersecciones finitas. Basta ver el caso
de dos intersecciones. Sean pues R1 y R2 como arriba. Entonces R1 ∩ R2 = (R1,1 ∩ R1,2 ) × . . . × (Rn,1 ∩ Rn,2 ) es un
rectángulo medible y F0 es un álgebra.
En lo que sigue de este texto se se supondrá que T es un conjunto no vacío. Asimismo se supone que está dada
una familia (Ωt , Ft )t∈T de espacios medibles.
( 2.5 ) Se pone I (T) =
∞
[
{(t1 , . . . , tn ) ∈ T n |1 ≤ i < j ≤ n Ñ ti 6= tj }; a los elementos de I (T) se les llamará
n=1
multiíndices de elementos de T. Si µ = (t1 , . . . , tn ) ∈ I (T) entonces se escribirá Ωµ para denotar al espacio
n
Y
Ωti , que consta de los vectores (ξ1 , . . . , ξn ) tales que ξi ∈ Ωti , para i = 1, . . . , n. Del mismo modo, se escribirá
i=1
Fµ para denotar a la σ-álgebra Ft1 ⊗ . . . ⊗ Ftn , la cual es generada por los rectángulos R = R1 × . . . × Rn , donde
Ri ∈ F , para i = 1, . . . , n. Es
Yimportante notar que Ωµ es un espacio de vectores y no de funciones.
Al producto cartesiano
Ωt se le denotará por Ω. Se dirá que el conjunto C ⊂ Ω es un cilindro medible si
t∈T
existe un multiíndice µ ∈ I (T) y, con ello, un conjunto B ∈ Fµ tal que
C = B(µ) := {ω ∈ Ω|ωµ := (ω(t1 ), . . . , ω(tn )) ∈ Fµ }.
Al conjunto B se le llamará una base del cilindro y a µ se le llamará el orden de la base. Si un cilindro tiene
por base un rectángulo entonces se llamará rectángulo.
4
OBSERVACIÓN: oviamente pueden existir muchas bases y muchos órdenes para un cilindro. También se destaca que
un cilindro es un conjunto de funciones y no de vectores. Por ejemplo, si T = [0, 1] y Ωt = R entonces la base
B1 = {(x, y) ∈ R2 |x < 5, y > 3} y el orden µ = ( 41 , 21 ) generan al cilindro de las funciones de [0, 1] a R tales que
1
1
están por debajo de 5 y que en
están por encima de 3. Si ahora B2 = {(x, y, z) ∈ R3 |x > 3, y ∈ R, z < 5}
en
4
2
y ν = ( 21 , 34 , 41 ) entonces B2 (ν) es el mismo cilindro que B2 (µ). Observa que B1 = R1 × R2 y que B2 = R2 × R × R1 .
Lo mismo sucede con los multiíndices; esto es, µ = (s, t) y ν = (t, r, s), y la coordenada r en B2 recorre libremente
todo el espacio Ωr = R. Es necesario introducir la noción de permutabilidad de multiíndices, conjuntos, σ-álgebras
y probabilidades.
( 2.6 ) Una permutación de n elementos es una función σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} tal que σ es biyectiva. Al
conjunto de las permutaciones de n elementos se le denotará por Sn .
Se dirá que dos multiíndices µ, ν ∈ I (T) son «permutación uno del otro» si existe σ ∈ Sn tal que µ = (t1 , . . . , tn )
y ν = tσ(1) , . . . , tσ(n) . En este caso se escribirá µ = σν.
Si µ = σν entonces
dos conjuntos A ∈ Ωµ y B ∈ Ων se llamarán permutación uno del otro si (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ A ⇔
ξσ(1) , . . . , ξσ(n) ∈ B; esto se denotará como B = σA. Además, dado (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Ωµ se denotará por σ(ξ1 , . . . , ξn )
al vector ξσ(1) , . . . , ξσ(n) de Ων . Con esta notación, B = σA si y solo si ∀ω ∈ A, σω ∈ B. Se obtiene la agradable
fórmula, σω ∈ σA ⇔ ω ∈ A; esto es σA = σB ⇔ A = B.
( 2.7 ) Sean µ, ν ∈ I (T) dos multiíndices de T tales que µ = (t1 , . . . , tn ) y ν = tσ(1) , . . . , tσ(n) ; esto es, µ = σν
para cierto σ ∈ Sn . Entonces Fµ = σFν ; esto es, para todo A ∈ Fµ existe uno y solo un B ∈ Fν tal que A = σB.
Si Pµ y Pν son sendas probabilidades en Fµ y Fν entonces para que, para cualquier A ∈ Fµ , se cumpla que
Pµ (A) = Pν (B) , para el único B tal que A = σB, es condición necesaria y suficiente que, para todo rectángulo
R1 × . . . × Rn ∈ Fν , se cumpla que Pµ (σR) = Pν (R) . En este caso se dirá que las σ-álgebras Fµ y Fν son
permutables, mismo convenio para las probabilidades.
PRUEBA: sea S el conjunto de los A ∈ Fµ tales que existe un B ∈ Fν tal que A = σB; esto prueba automáticamente
la unicidad de B.
Se afirma que S contiene a los rectángulos medibles. En efecto, si R1 × . . . × Rn ∈ Ft1 × . . . × Ftn es un rectángulo
medible entonces σ(R1 × . . . × Rn ) = Rσ(1) × . . . × Rσ(n) ∈ Ftσ(1) × . . . × Ftσ(n) . Por lo tanto, la permutación un rectángulo
medible es un rectángulo medible. Como Ωµ es un rectángulo medible, Ωµ ∈ S .
Se afirma que S es cerrado ante uniones numerables. Si (An )n∈N es una sucesión en S entonces se considera
la sucesión (Bn )n∈N en Fν tal que An = σB. Entonces
ω∈
∞
[
An ⇔ ∃n ∈ N, ω ∈ An = σBn ⇔ ∃n ∈ N, σ −1 ω ∈ Bn ⇔ σ −1 ω ∈
n=1
∞
[
Bn ⇔ ω ∈ σ
n=1
esto es, se demostró que
∞
[
σBn = σ
n=1
∞
[
∞
[
Bn ;
n=1
Bn .
n=1
Se afirma que S es cerrado ante complementos. Esto probaría que S es una σ-álgebra que contiene a los
rectángulos y, con ello (ve (2.1)), Σ(S ) = Fµ . Sea A = σB ∈ S . Entonces,
ω ∈/ A = σB ⇔ σ −1 ω ∈/ B ⇔ σ −1 ω ∈ {B ⇔ ω ∈ σ{B;
esto es, {σB = σ{B.
Para que las probabilidades Pµ y Pν sean permutables es necesaria la condición expuesta (esto es obvio). Se
probará la suficiencia. Sea M el conjunto de los B ∈ Fν tales que Pν (B) = Pµ (σB) . Por hipótesis, los rectángulos
de Fν es subconjunto de M . De hecho, M contiene a F0 (ν), el álgebra de uniones finitas de rectángulos medibles
de Ω. Si R = R1 × . . . × Rn y S = S1 × . . . × Sn son dos rectángulos medibles de de Ων entonces
Pν (R ∪ S) = Pν (R) + Pν (S) − Pν (R ∩ S) = Pµ (σR) + Pµ (σS) − Pµ (σ(R ∩ S)) .
Se afirma que σ
∞
\
n=1
An =
∞
\
σAn ; en efecto,
n=1
ω∈σ
∞
\
An ⇔ ∀n ∈ N, σ −1 ω ∈ An ⇔ ∀n ∈ N, ω ∈ σAn ⇔ ω ∈
n=1
∞
\
n=1
5
σAn .
Entonces, σ(R ∩ S) = σR ∩ σS y sustituyendo arriba,
Pν (R ∪ S) = Pµ (σR ∪ σS) = Pµ (σ(R ∪ S)) ,
pues ya se había probado antes que permutar conjuntos mantiene la operación de unión. Así, en virtud de (2.2), resta
ver que M es una clase monótona para concluir lo afirmado. Sea (An )n∈N una sucesión monótona en Fν . Se puede
suponer que la sucesión es decreciente pues el caso creciente es más fácil. Entonces, como Pν (Ων ) = 1 < ∞,
!
∞
\
Pν
An = lı́m Pν (An ) = lı́m Pµ (σAn ) .
n→∞
n=1
Es claro que la sucesión (σAn )n∈N decrece a σ
∞
\
n→∞
An , por lo que, usando que Pµ es medida finita,
n=1
lı́m Pµ (σAn ) = Pµ
n→∞
σ
∞
\
!
An
.
n=1
Luego, M es clase monótona y esto concluye el teorema.
( 2.8 ) Sean µ, ν ∈ I (T), dos multiíndices de T, y B1 ∈ Fµ y B2 ∈ Fν , dos bases de cilindro. Se supone que
B1 (µ) = B2 (ν). Entonces, existe un τ ∈ I (T) y un B ∈ Fτ tal que B(τ) = B1 (µ) = B2 (ν). Más aún, se puede suponer
que µ = (t1 , . . . , tn ), que τ = (t1 , . . . , tn , r1 , . . . , rk ) y que B = B1 × Ωs1 × . . . × Ωsm .
PRUEBA: sean µ = (t1 , . . . , tn ) y ν = (s1 , . . . , sm ). Entonces,
B1 (µ) = {ω ∈ Ω|ωµ ∈ B1 } = {ω ∈ Ω|ων ∈ B2 } = B2 (ν).
Sea {p1 , . . . , pl } = {t1 , . . . , tn } ∪ {s1 , . . . , sm }. Entonces l ≥ máx{n, m}. Se puede suponer que µ = (pi1 , . . . , pin ) y que
ν = (pj1 , . . . , pjm ). Sea τ = (p1 , . . . , pl ) ∈ I (T). Se define
B = M(B1 , B2 ) := {(ξ1 , . . . , ξl ) ∈ Ωp1 × . . . × Ωpl |(ξi1 , . . . , ξin ) ∈ B1 , (ξj1 , . . . , ξjm ) ∈ B2 }.
Se cumple que B ∈ Fτ . Se demostrará esto en 3 pasos.
1. Si B1 y B2 son sendos rectángulos medibles de Fµ y Fν entonces B es rectángulo medible de Fτ . Esto es
obvio.
2. Se fija el rectángulo medible B1 y se considera el conjunto MB1 = {B2 ∈ Fν |M(B1 , B2 ) ∈ Fτ }. Usando que MB1
0
0
contiene a todos
los rectángulos medibles de Fν (esto fue el paso 1), que M(B1 , B2 ∪B2 ) = M(B1 , B2 )∪M(B1 , B2 ) y
que M B1 , {B2 = {M(B1 , B2 ) entonces se puede concluir que MB1 contiene a F0 (ν), el álgebra de las uniones
finitas de rectángulos medibles de Fν . Si An es monótona con límite A entonces M(B1 , An ) es monótona y
converge a M(B1 , A). Luego, de la definición de SB1 , esta es una clase monótona y por (2.2), MB1 = Fν .
3. Se considera ahora a M = {B1 ∈ Fµ |MB1 = Fν }. Se cumple que M contiene a los rectángulos de Fν (esto fue
el paso 2) y que es una clase monótona. Así, otra vez (2.2) muestra que M = Fµ .
Ahora se demostrará que B(τ) = B1 (µ) = B2 (ν). Entonces,
ω ∈ B1 (µ) ⇔ ω ∈ B1 (µ), ω ∈ B2 (ν) ⇔ ωµ ∈ B1 , ων ∈ B2 ⇔ ωτ ∈ B ⇔ ω ∈ B(τ).
Si C es un cilindro en Ω entonces para toda representación B(µ) de C se cumple que C = B(µ) = σB(σµ), lo que
es obvio. Así, se puede aplicar un σ conveneinete a τ para transformarlo a la forma τ = (t1 , . . . , tn , s1 , . . . , sm ). Es
claro que B(τ) = B1 (µ) = (B1 × Ωs1 × . . . × Ωsm )(τ). De este modo, resta ver que B1 (τ) = B(τ) Ñ B1 = B. Se supone que
B1 6= B. Entonces, existe un (ξ1 , . . . , ξn+m ) ∈ B1 4B = (B1 \ B) ∪ (B \ B1 ). Se supondrá sin pérdida de generalidad que
(ξ1 , . . . , ξn+m ) ∈ B \ B1 . Para t ∈ T define At = Ωt si t 6= t1 , . . . , tn , s1 , . . . , sm , Ati = {ξi } y Asj = {ξn+j }. Entonces para
Y
Y
todo t ∈ T se cumple que At 6= ∅. Por el axioma de elección existe una función ω ∈
At ⊂
Ωt . Este ω satisface
t∈T
t∈T
que ωti ∈ Ati = {ξi } y que ωsj ∈ Asj = {ξn+j }. Por lo tanto, ωτ = (ξ1 , . . . , ξn+m ) ∈ B \ B1 ; esto es, ω ∈ B(τ) \ B1 (τ) = ∅, lo
cual es absurdo. Así, B(τ) = B1 (τ) Ñ B = B1 . Como B(τ) = (B1 × Ωs1 × . . . × Ωsm )(τ) entonces B = B1 × Ωs1 × . . . × Ωsm ,
tal como se quería demostrar.
O
Con las propiedades previas ya se está en condiciones de dar una buena definición de lo que debería ser
Ft .
t∈T
6
( 2.9 ) Sea FC el conjunto de cilindros medibles de Ω y F0 el conjunto formado por uniones finitasO
de rectángulos
medibles. Entonces, ambas son álgebras y generan la misma σ-álgebra F . Se escribirá F =
Ft y se dirá
t∈T
que F es la σ-álgebra producto de la familia (Ft )t∈T . Al espacio medible (Ω, F ) se le llamará producto medible
de la familia (Ωt , Ft )t∈T .
PRUEBA: como T no es vacío existe un t ∈ T. Entonces, Ωt (t) = Ω y al ser este un rectángulo medible, Ω ∈ FC ∩ F0 .
Es claro que F0 es cerrado ante uniones finitas. Se probará que lo mismo lo satisface FC . Sean C1 y C2 dos cilindors
medibles de Ω. Se supone que C1 = B1 (µ) y C2 = B2 (ν). Entonces, supón que µ = (t1 , . . . , tn ) y que ν = (s1 , . . . , sm ).
Sean {p1 , . . . , pk } = {t1 , . . . , tn } ∪ {s1 , . . . , sm } y τ = (p1 , . . . , pk ). Considera los conjuntos
A1 = {ξ ∈ Ωτ |ξµ ∈ B1 }
A2 = {ξ ∈ Ωp1 × . . . × Ωpk |ξν ∈ B2 }.
y
Tanto A1 como A2 son elementos de Fτ . Para verificar esto procede como en (2.8); esto es, por ejemplo, para probar
que A1 es medible define S = {B ∈ Fµ |{ξ ∈ Ωτ |ξµ ∈ B} ∈ Fτ }, se verifica que S es un álgebra que contiene a los
rectángulos de Fµ y una clase monótona, por lo que coincide con Fµ . Entonces, Ci = Ai (τ) para i = 1, 2. Luego,
C1 ∪ C2 = A1 (τ) ∪ A2 (τ) = (A1 ∪ A2 )(τ) es un cilindro medible.
Ahora se debe probar que tanto FC y F0 son cerrados ante complementos. Si C = B(µ) ∈ FC entonces
{C = {ω ∈ Ω|ωµ ∈ {B} = {B (µ) ∈ FC .
Si A ∈ F0 entonces A =
k
[
Rn (µn ). Al igual que se hizo arriba (en la construcción de τ), se puede suponer que
n=1
τ1 = . . . = τn . De este modo,
ω ∈ {A ⇔ ∀1 ≤ i ≤ n, ω ∈ {Rn (µ) ⇔ ωµ ∈
n
\
{Rn ⇔ ω ∈
i=1
n
\
!
{Rn
(µ),
i=1
que por (2.4) este base es una unión finita de rectángulos medibles. Así que {A ∈ F0 . Esto concluye que ambas son
álgebras.
Ahora se probará que Σ(FC ) = Σ(F0 ). Como F0 ⊂ FC entonces se cumple que F0 ⊂ Σ(FC ). Por minimalidad
de Σ(F0 ) se obtiene la primera contenencia; esto es, Σ(F0 ) ⊂ Σ(FC ). Ahora se probará la otra. Bastará mostrar que
FC ⊂ Σ(F0 ). Sea B(µ) ∈ FC . Con este B se define
Sµ = {A ∈ Fµ |A(µ) ∈ Σ(F0 }}.
Es fácil ver que los rectángulos de Fµ pertenecen a Sµ y que Sµ es un álgebra. Por ende, Sµ = Fµ . De este modo,
B(µ) ∈ Σ(F0 ), que es lo que se quería demostrar.
3.
Otros resultados preliminares.
Aquí se sigue pensando que se tiene dado un
Yconjunto no vacío T y una familia (Ωt , Ft )t∈T de espacios medibles.
(v)
Para un subconjunto v ⊂ T se pondrá Ω(v) =
Ωt y F (v) como la σ-álgebra generada por los cilindros FC que
t∈v
coincide con la σ-álgebra generada por el álgebra de uniones finitas de rectángulos medibles F0 . En lo que sigue,
paraa evitar confusiones, a los elementos de Ω(v) se les denotará por ω(v) y a los elementos cilindros de F (v) se les
denotará por B(v) (µ). De este modo,
o
n
B(v) (µ) = ω(v) ∈ Ω(v) ωµ(v) ∈ B .
(v)
Observa que si ω ∈ Ω entonces se puede definir ω(v) ∈ Ω(v) como la restricción de ω a v. Así, se tiene una función
π (v) : Ω → Ω(v) dada por π (v) (ω) = ω(v) , la restricción de ω a v. Esta construcción se puede «anidar» en el siguiente
sentido. Si u ⊂ v ⊂ T entonces existen los espacios Ω(u) y Ω(v) . No es cierto que Ω(u) ⊂ Ω(v) pues las funciones de
Ω(u) tienen por dominio a u y no a v. Pero, dado ω(v) ∈ Ω(v) se puede considerar la restricción de ω(v) a u y así
(u)
(u)
obtener un elemento ω(u) ∈ Ω(u) . Esto es, dados u ⊂ v ⊂ T se puede definir π(v) : Ω(v) → Ω(u) por π(v) ω(v) = ω(u) , la
(u)
reestricción de ω(v) a u. Se verifica fácilmente que π(v) ◦ π (v) = π (u) , por lo que la notación expresada es consistente.
7
(u)
También es sencillo verificar que π(v) en F (v) , F (u) -medible; en efecto, si µ ∈ I (u) ⊂ I (v) ⊂ I (T) y B ∈ Fµ
entonces
o
î (u) ó−1 Ä
ä
ä n
Ä
(u)
π(v)
B(u) (µ) = ω(v) ∈ Ω(v) ωµ(v) = π(v) ω(v) = ωµ(u) ∈ B = B(v) (µ).
µ
Esto es, se demostró que la preimagen de todo cilindro es un cilindro. Esto demuestra la medibilidad de la función.
( 3.1 ) . Sea (Ωn )n∈N una sucesión de espacios métricos y separables. Se supone que Fn = B (Ωn ) . Entonces, si
(Ω, F ) es el producto medible de (Ωn , Fn )n∈N , F = B (Ω) .
PRUEBA: sea i ∈ N fijo. Considera Si = {B ∈ Fi |{ω ∈ Ω|ωi ∈ B} ∈ B (Ω)}. Entonces los abiertos de Ωi pertenecen
a Si y Si es una σ-álgebra. Por lo tanto, Si = Fi . Si R ⊂ Ω es un rectángulo medible entonces R es intersección
de un número finito de Bi ∈ Ci , para i = n1 , . . . , nk . Luego, todo rectángulo medible de Ω pertenece a B (Ω) . Con
esto, F ⊂ B (Ω) . Recíprocamente, en virtud de (1.4) y de (1.5) existe una base (An,m )m∈N para la topología de Ωn .
Los conjuntos
{ω ∈ Ω|ω1 ∈ A1,m1 , . . . , ωn ∈ An,mn
son base de vecindades de Ω, donde n recorre N y para i = 1, . . . , n, los mi recorren N también. De este modo,
los rectángulos abiertos básicos de Ω pertenecen a F . Como hay una cantidad enumerable de tales rectángulos, los
abiertos de Ω pertenecen a F y, por tanto, B (Ω) ⊂ F .
( 3.2 ) Si f : (X, X ) → (Y , Y ) es una función medible y µ es una medida sobre X entonces la «medida imagen»
de µ por f, denotada como fµ es una medida sobre Y la cual se define por fµ(A) = µ(f −1 (A)).
PRUEBA: esto es obvio pues la preimagen preserva las operaciones de unión, intersección y complemento.
( 3.3 ) Sean (Ω, d) un espacio métrico y A ⊂ Ω. Define la función µA : Ω → R dada por
µA (ω) = ı́nf{d(ω, ξ)|ξ ∈ A}.
Entonces, µA es uniformemente continua y µA (ω) = 0 si y solo si ω ∈ A. Más aun, si A ⊂ Ω es un abierto entonces
A es una unión numerable de cerrados y, del mismo modo, todo cerrado es intersección numerable de abiertos.
PRUEBA: sean ω1 y ω2 dos elementos de Ω y ξ un elemento de A. Entonces, de la desigualdad triangular para d,
µA (ω1 ) ≤ d(ω1 , ξ) ≤ d(ω1 , ω2 ) + d(ω2 , ξ);
esto es, para todo ξ ∈ A,
µA (ω1 ) ≤ d(ω1 , ω2 ) + d(ω2 , ξ).
Luego, tomando el ínfimo sobre tales ξ, se encuentra que
µA (ω1 ) ≤ d(ω1 , ω2 ) + µA (ω2 ).
Cambiando los papeles de ω1 y ω2 y usando que d es simétrica, se encuentra que
|µA (ω1 ) − µA (ω2 )| ≤ d(ω1 , ω2 );
lo cual prueba la continuidad uniforme.
Ahora se demostrará que µA (ω) = 0 ⇔ ω ∈ A. Si ω ∈ A entonces existe una sucesión (ωn )n∈N definida en A que
converge a ω. Luego,
µA (ω) ≤ lı́m d(ω, ωn ) = 0.
n→∞
1
. Entonces, (ωn )n∈N es
n
ÅÅ
òã
1
muestra que conjuntos como Cn = µ{A
−∞,
n
Recíprocamente, si µA (ω) = 0 entonces para todo n ∈ N existe un ωn ∈ A tal que d(ω, ωn ) <
una sucesión en A que converge a ω, por lo que ω ∈ A.
Si A es un subconjunto abierto de Ω, la continuidad de µ{A
son cerrados. Es claro que A =
∞
[
Cn ; en efecto, como A es abiero, lo demostrado arriba muestra que A = {ω ∈
n=1
Ω|µ{A (ω) > 0}, y de aquí lo afirmado. Si A es cerrado entonces {A es abierto, así que {A es unión numerable de
cerrados lo cual prueba lo afirmado.
8
( 3.4 ) Sean Ω un espacio métrico y P una probabilidad sobre (Ω, B (Ω)). Entonces, para cualquier A ∈ B (Ω) ,
P (A) = ı́nf{P (U) |A ⊂ U, U es abierto},
y
P (A) = sup{P (C) |C ⊂ A, C es cerrado}.
Esta condición suele expresarse diciendo que P es «regular».
PRUEBA: sea S el conjunto de los A ∈ B (Ω) que satisfacen lo afirmado. Se probará que los abiertos de Ω pertenecen
a S y que S es una σ-álgebra; esto probaría que S = B (Ω) en virtud de (2.1).
Se probará primero que si A ⊂ Ω es abierto entonces A ∈ S . Si A es cualquier boreliano, de la monotonía de P,
se deriva que
P (A) ≤ ı́nf{P (U) |A ⊂ U, U es abierto},
y
P (A) ≥ sup{P (C) |C ⊂ A, C es cerrado}.
Restan ver las otras desigualdades. Si A ⊂ Ω es abierto entonces en la primera fórmula se sustituye U por A, por lo
que se obtiene la igualdad. Ahora, como Ω es un espacio métrico, todo abierto es Fσ ; esto es, todo abierto es union
∞
[
enumerable de cerrados. Así, se puede suponer que A =
Cn , donde cada Cn es cerrado. Reemplazando Cn por
n=1
Dn = C1 ∪ . . . ∪ Cn , se puede suponer que los Cn son crecientes. Luego, como P es una probabilidad,
P (A) = lı́m P (Cn )
n→∞
y entonces, P (A) = sup{P (C) |C ⊂ A, C es cerrado}.
Ahora se demostrará que S es una σ-álgebra. Para empezar, es necesario notar que
S = {A ∈ B (Ω) |∀ε > 0, ∃C cerrado y U abierto, tales que C ⊂ A ⊂ U y P (U \ C) < ε};
se demostrará la doble contenencia. Primero, si A ∈ B (Ω) satisface la propiedad afirmada entonces sup{P (C) |C ⊂
A, C es cerrado} = ı́nf{P (U) |A ⊂ U, U es abierto}, y como P (A) es un número en medio, coincide con ambos.
Ahora, si A ∈ S entonces para todo ε > 0 existen C ⊂ A que es cerrado y A ⊂ U el cual es abierto tales que
ε
P (A \ C) , P (U \ A) < . Luego, P (U \ C) = P U ∩ {C = P U ∩ {A ∪ A ∩ {C < ε. Ahora, se deberá probar
2
que S satisface los axiomas de σ-álgebra.
1. Ω ∈ S , pues Ω es abierto.
2. S es cerrado ante complementos. Si A ∈ S entonces para todo ε > 0 existen C ⊂ A y A ⊂ U tales que C es
cerrado y U es abierto
para los cuales P (U \ C) < ε. Entonces, {U ⊂ {A ⊂ {C, siendo {U cerrado y {C abierto.
Además, P {C \ {U < ε pues {C \ {U = {C ∩ U = U \ C.
3. S es cerrada ante uniones de familias numerables de sus elementos. Sea (An )n∈N una sucesión en S . Dado
ε > 0 se pueden elegir (Cn )n∈N y (Un )n∈N sendas familias de cerrados y abiertos tales que, para cualquier
ε
n ∈ N, Cn ⊂ An ⊂ Un y P (Un \ Cn ) < n . Entonces, si C es la unión de los (Cn )n∈N y U aquella de los (Un )n∈N
2
∞
X
entonces P (U \ C) ≤
P (Un \ Cn ) < ε. Se observa que U es abierto, pero C no tiene porque ser cerrado.
n=1
Sin embargo, de la monotonía,
P (U \ C) = lı́m P U \
n→∞
Así que existe un N grande tal que P U \
N
[
n
[
!
Ck
< ε.
k=1
!
Ck
< ε. Se reemplaza a C por
k=1
N
[
Ck , el cual es cerrado.
k=1
Finalmente, se probó que S contiene a los abiertos y es σ-álgebra, por lo que S = B (Ω) .
9
( 3.5 ) Sea Ω un espacio métrico, separable y completo. Si P es cualquier medida de probabilidad sobre B (Ω)
entonces, para cualquier A ∈ B (Ω) , se cumple que
P (A) = sup{P (K) |K ⊂ A es compacto}
PRUEBA: la propiedad vale si envez de compacto aparece cerrado. Así, basta ver que para todo ε > 0 existe un
compacto Kε ⊂ Ω tal que P {Kε ≤ ε. En efecto, si tal fuera cierto entonces, para cualquier cerrado C ⊂ Ω, C ∩ Kε
es compacto y
P (C) − P (C ∩ ε) = P (C \ ε) ≤ ε.
Se construirá a Kε . De la separabilidad de Ω se obtiene que existe una sucesión (ωn )n∈N la cual es densa en Ω.
Sea Bn (r) la bola cerrada de centro ωn y radio r > 0; esto es, Bn (r) = {ω ∈ Ω|d(ω, ωn ) ≤ r}. Para cualquier r > 0 se
cumple que
∞
[
Ω=
Bn (r).
n=1
m
[
Por lo tanto, para cualquier n ∈ N, la sucesión
k=1
Å ã!
1
Bk
n
existe m(n) el mínimo natural i tal que
P
crece a todo Ω. Por lo tanto, dado ε > 0 y n ∈ N
m∈N
Å ã!
i
[
1
ε
Bk
≥ 1− n.
n
2
k=1
De la monotonía de P se puede concluir que
P
m
[
k=1
Sea Kε =
∞ m(n)
\
[
n=1 k=1
Bk
Å ã!
1
ε
Bk
≥1− n
n
2
∀m ≥ m(n).
Å ã
1
, el cual es cerrado por ser una intersección de conjunto cerrados. Además.
n
P {Kε ≤
∞
X
n=1
é
Ñ 
Å ã
∞
m(n)
X
[
ε
1
≤
P {
Bk
= ε.

n 
2n
n=1
k=1
Se probará que Kε es compacto. Así, basta ver que toda sucesión (xp )p∈N en Kε posee una subsucesión convergiente. Sea pues (xp )p∈N una sucesión en Kε . Se cumple que
∀p ∈ N,
xp ∈
∞ m(n)
\
[
Bk
n=1 k=1
Å ã
1
,
n
por ende,
m(1)
∀p ∈ N,
xp ∈
[
Bk (1).
k=1
Así que existe k1 el número natural más pequeño tal que para infinitos p ∈ N, xp ∈ Bk1 (1). Sea T1 = {p ∈ N|xp ∈
Bk1 (1)}. Se definen inductivamente (kn )n∈N , la cual es creciente, y (Tn )n∈N , la cual es decreciente y tal que cada Tn
es infinito, de modo que
Å ã
i
\
1
.
∀p ∈ Ti , xp ∈
B kj
j
j=1
Ya se probó el caso n = 1. Se supone que todo se ha definido hasta cierto n. El hecho que xp ∈ Kε muestra que
m(n+1)
∀p ∈ Tn ,
xp ∈
[
k=1
10
Bk
Å
ã
1
.
n+1
ã
1
Entonces, existe kn+1 el mínimo natural i entre 1 y m(n + 1) tal que hay infinitos p ∈ Tn tales que xp ∈ Bi
.
ã
Å ãn + 1
Å
1
1
⊂ Bkn+1
tendría
Se cumple que kn+1 ≥ kn pues de lo contrario, esto es, si kn+1 < kn entonces Bkn+1
n+1
n
como elemento a xp paraßinfinitos p ∈ Tn , loÅcual contradiría
la definición inductiva de kn . De este modo se encontró
ã™
1
a kn+1 . Se pone Tn+1 = p ∈ Tn |xp ∈ Bkn+1
⊂ Tn . Define p1 = mı́n T1 e, inductivamente, pn+1 = mı́n{i ∈
n+1
Tn+1 |i > pn }. Entonces (pn )n∈N es creciente y si j < i,
Å ã
1
xpj , xpi ∈ Bkj
.
j
Å
2
De este modo, d xpi , xpj < . Así que xpn n∈N es una sucesión de Cauchy en Ω. Como Ω es completo, esta sucesión
j
converge. El punto de convergencia pertenece a Kε puesto que este es cerrado. Luego, de toda sucesión de Kε se
puede extraer una subsucesión convergente; esto es, Kε es compacto.
( 3.6 ) Sea (Ω, F ) un espacio medible y P1 y P2 dos probabilidades en él. Se supone que la colección S de
subconjuntos de F es cerrada ante intersecciones finitas y es un sistema generador. Entonces, para que P1 = P2
es necesario y suficiente que sus restricciones a S coincidan.
PRUEBA: el conjunto D = {A ∈ F |P1 (A) = P2 (A)} es una clase dynkiniana que contiene a S , por lo que, en virtud
de (2.3), P1 = P2 .
( 3.7 ) Sean T 6= ∅ y (Ωt , Ft , Pt )t∈T una familia de espacios de probabilidad y (Ω, F ) su producto medible.
(u)
Sean π(v) , para u ⊂ v ⊂ T, la proyección canónica de Ω(v) a Ω(u) y π (v) aquella de Ω a Ω(v) . Define, dado
µ = (t1 , . . . , tn ) ∈ I (T), la probabilidad Pµ : Fµ → [0, 1] por Pµ = Pt1 ⊗ . . . ⊗ Ptn ; esto es, Pµ es la probabilidad
producto de las probabilidades Pt1 , . . . , Ptn , en ese orden. Entonces, supón que P es la «probabilidad producto»
de la familia (Pt )t∈T ; esto es, la definición de P sobre los cilindros B(µ) ∈ F es tal que
P (B(µ)) = Pµ (B) .
Sea P(v) = π (v) P la «proyección» de P a F (v) , siendo v ⊂ T. Entonces, se cumple que
∀u ⊂ v ⊂ T,
(u)
π(v) P(v) = P(u) .
Esto se expresa diciendo que la familia P(v) v∈P(T)\{∅} es un «sistema proyectivo».
Más aún, la familia (Pµ )µ∈I (T) satisface ser «consistente»; esto es, dado cualquier µ = (t1 , . . . , tn ) ∈ I (T) y
t ∈ T \ {t1 , . . . , tn } cualquiera,
1. ∀B = B1 × . . . × Bn ∈ Fµ y ∀σ ∈ Sn ,
Pµ (B) = Pσµ (σB) .
2. ∀A ∈ Fµ ,
Pµ (A) = P(µ,t) (A × Ωt ) ,
siendo (µ, t) = (t1 , . . . , tn , t).
PRUEBA: dado B(u) (µ) ∈ F (u) se cumple que
Åî
î (u)
óÄ
ä
ó Ä
äã
(u) −1
π(v) P(v) B(u) (µ)
= P(v) π(v)
B(u) (µ) , definición de la medida imágen (3.2)
Ä
ä
= P(v) B(v) (µ) , esto se probó justo antes de (3.1)
ä
Ä
= π (v) P B(v) (µ) , definición de P(v)
Ä
−1 Ä (v) ää
= P π (v)
B (µ) , definición de la medida imágen (3.2)
=
P (B(µ)) , esto se probó justo antes de (3.1)
=
Pµ (B) , hipótesis de que P sea la probabilidad producto.
11
Por otro lado, de manera análoga,
Ä
ä î
óÄ
ä
P(u) B(u) (µ) = π (u) P B(u) (µ) = P (B(µ)) = Pµ (B) .
(u)
Como las probabilidades π(v) P(v) y P(u) coinciden en los cilindros, de (3.6), coinciden en todos lados.
Ahora se demostrará que la familia (Pµ )µ∈I (T) tiene que ser consistente. Sean µ, t, B y A como en el enunciado.
Entonces,
1. Pµ (B) = P (B(µ)) = P (σB(σµ)) = Pσµ (σB) , y
2. Pµ (A) = Pµ (A) Pt (Ωt ) = (Pµ ⊗ Pt )(A × Ωt ) = P(µ,t) (A × Ωt ) .
Esto concluye la prueba.
En un diagrama se demostró lo siguiente:
Existe la probabilidad producto P Ñ
Ñ
Existe el sistema proyectivo
ä
Ä
P(v)
v⊂T
La familia (Pµ )µ∈I (T) es consistente
El Teorema de Extensión de Kolmogorov invierte las flechas previas.
4.
El Teorema de Extensión de Kolmogorov.
( 4.1 ) Sean T 6= ∅ y (Ωt , Ft )t∈T una familia de espacios medibles en la que, para cualquier t ∈ T, Ωt es un
espacio métrico, separable y completo y Ft = B (Ωt ) . Se supone que (Ω, F ) es su producto medible. Asismismo,
se supone que está dada una familia «consistente» de medidas de probabilidad (Pµ )µ∈I (T) , siendo el dominio
de Pµ la σ-álgebra Fµ ; esto es, se supone dada una familia Pµ : Fµ → [0, 1], para µ ∈ I (T), tal que dados
cualesquier µ = (t1 , . . . , tn ) ∈ I (T) y t ∈ T \ {t1 , . . . , tn },
1. ∀B = B1 × . . . × Bn ∈ Fµ
y
∀σ ∈ Sn ,
Pµ (B) = Pσµ (σB) .
2. ∀A ∈ Fµ ,
Pµ (A) = P(µ,t) (A × Ωt ) ,
siendo (µ, t) = (t1 , . . . , tn , t).
Entonces, para cualquier v ⊂ T, que sea finito, existe una única probabilidad P(v) : F (v) → [0, 1] la cual es
«generada» por la familia (Pµ )µ∈I (v) en el sentido de que si C (v) es un cilindro de F (v) entonces para cualquier
representación B(v) (µ) de C (v) se cumple que
Ä
ä
P(v) B(v) (µ) = Pµ (B) .
Más aún, la familia P(v)
v⊂T es finito y no vacío
es un sistema proyectivo. Luego, existe una única «probabilidad
producto» P sobre (Ω, F ) tal que para todo v ⊂ T que sea finito, π (v) P = P(v) . Este resultado se conoce como el
«Teorema de Extensión de Kolmogorov».
PRUEBA: primeramente se definirá a P(v) , para v ⊂ T que sea finito. Si v ⊂ T es finito, como FC es un álgebra (2.9),
(v)
(v)
por (3.6) bastará definir a P(v) sobre FC . Si C ∈ FC entonces existe un µ ∈ I (v) ⊂ I (T) y, con ello, un B ∈ Fµ
(v)
tales que C = B (µ). Se propone
P(v) (C) = Pµ (B) .
(v)
Esta definición es correcta, pues si C = B1 (µ) = B2 (ν), en virtud de (2.8), se puede suponer que µ = (t1 , . . . , tn ), que
ν = σ(t1 , . . . , tn , s1 , . . . , sm ) y que B2 = σ(B1 × Ωs1 × . . . × Ωsm ). De este modo,
Pµ (B1 )
=
P(µ,s1 ,...,sm ) (B1 × Ωs1 × . . . × Ωsm ) , por la segunda hipótesis de consistencia
=
Pσ(µ,s1 ,...,sm ) (σ (B1 × Ωs1 × . . . × Ωsm )) , por la primera hipótesis de consistencia
=
Pν (B2 ) , por la suposición sobre ν y B2 .
12
De este modo,
C = B1 (µ) = B2 (ν) Ñ Pµ (B1 ) = Pν (B2 ) ,
lo cual demuestra que P está bien definida en todo F (v) .
Ahora se probará que P(v) v⊂T es finito y no vacío es un sistema proyectivo. Sean u ⊂ v ⊂ T dos subconjuntos finitos
(v)
(u)
de T y π(v) la proyección canónica de Ω(v) a Ω(u) . De nuevo, en virtud de (3.6), bastará demostrar que
∀C ∈ FC ,
(u)
î
ó
(u)
π(v) P(v) (C) = P(u) (C) .
Si C ∈ FC entonces existe un multiíndice µ de u y una base B en Fµ tales que C = B(u) (µ). Entonces,
Åî
ã
î (u)
ó
ó
Ä
Ä
ä
ä
(u) −1
(v)
(v)
π(v) P
(C) = P
π(v)
(C) = P(v) B(v) (µ) = Pµ (B) = P(u) B(u) (µ) .
(u)
Ahora se probará construirá P sobre FC . Usando el teorema de Extensión de Carathéodory, esto es suficiente
para definir una función σ-aditiva sobre F . Se define P sobre FC mediante la fórmula
P (C) = P(v) (B(µ)) ,
para cualquier representación B(µ) de C, siendo µ un multiíndice de v; al igual que antes, P está bienÄ definida. ä
(i)
(i)
Se mostrará que P es aditiva. Sean C1 , . . . , Cn n cilindros ajenos en F . Si Ci = Bi (µi ), µi = t1 , . . . , tni y
¶ (i)
©
(i)
ui = t1 , . . . , tni entonces define u = u1 ∪ . . . ∪ un = {p1 , . . . , pk }, µ = (p1 , . . . , pk ) y
n
o
Mi = (ξp1 , . . . , ξpk ) ∈ Ωµ ξt (i) , . . . , ξt (i) ∈ Bi .
ni
1
Se mostrará que cualquiera de los Mi es medible; esto es, se mostrará que M1 , . . . , Mn ∈ Fµ . Se observa primeramente que
Mi = pr−1
(i)
(i) (Bi ),
t1 ,...,tni
en donde prt (i) ,...,t (i) : Ωµ → Ωµi es la función
1
ni
prt (i) ,...,t (i) (ξp1 , . . . , ξpk ) = ξt (i) , . . . , ξt (i) ,
ni
1
1
ni
la cual es continua respecto a las topologías producto de Ωµ y Ωµi . Así, Mi es la preimagen continua de un conjunto
medible. En virtud de (3.1), la σ-álgebra producto de Ωµi es la σ-álgebra de borel y misma situación para Ωµ . Luego,
toda función continua es medible. Esto demuestra la medibilidad de Mi . Es importante destacar que Ci = Mi (µi ), lo
cual es obvio. La ventaja de las bases M1 , . . . , Mn sobre las bases B1 , . . . , Bn es que las primeras están todas en Fµ .
De hecho, se cumple que Ci = Mi (µ); en efecto,
ω ∈ Mi (µ) ⇔ ωµ ) ∈ Mi ⇔ ωµi ∈ Bi ⇔ ω ∈ Bi (µi ).
De este modo,
P
n
[
!
Ci
= Pµ
k=1
n
[
!
Mk
, definición de P
k=1
=
=
n
X
k=1
n
X
Pµ (Mk ) , pues Pµ es medida
P (Ci ) , definición de P.
k=1
Así pues, se probó que P es aditiva.
Ahora se demostrará que P es continua en el vacío; esto es, si (An )n∈N es una sucesión en FC tal que An ↓ ∅
entonces P (An ) ↓ 0. Esto se hará en varios pasos u observaciones.
a) Como P es aditiva, la sucesión (P (An ))n∈N es decreciente. Por lo que existe el límite de esta sucesión. Se
procederá por contradicción, por lo que P (An ) ≥ ε > 0, para cierto ε fijo y todo n ∈ N.
13
b) También se puede suponer que Ak = Bk (µk ) para algunos Bk ∈ Fµk , donde µk+1 = µk , ti(k) , . . . , ti(k) ; el hecho
nk
1
de que esto sea posible se deduce de una construcción idéntica a la de las Mi anteriores, de que Ak+1 ⊂ Ak y
de (2.8).
(µk )
c) En virtud de (1.4)
y Ωµk son espacios métricos, separables y completos y, de hecho,
y de (3.1), cada
Ω
(µk )
(µk )
F
=B Ω
y Fµk = B Ωµk . En virtud de (3.5), se puede encontrar conjuntos compactos Ck ⊂ Bk tales
que
ε
Pµk (Bk \ Ck ) < k+1 .
2
Se define Ak0 = Ck (µk ) ⊂ Bk (µk ) = Ak . Entonces,
ε
P Ak \ Ak0 = Pµk (Bk \ Ck ) < k+1 .
2
Así, se aproximó a los cilindros dados con otros de base compacta.
d) Se define ahora Dk = A10 ∩ . . . ∩ Ak0 ⊂ A1 ∩ . . . ∩ Ak = Ak . Entonces,
P (Ak \ Dk ) ≤
k
X
j=1
k
k
X
X
ε
ε
P Ak \ Aj0 ≤
P Aj \ Aj0 <
< .
j+1
2
2
j=1
j=1
Como Dk ⊂ Ak0 ⊂ Ak , P (Ak \ Dk ) = P (Ak ) − P (Dk ) y, en consecuencia, P (Dk ) >
ε
> 0. En particular, Dk 6= ∅.
2
e) Se escoge,
para cada k ∈ N, ωk ∈ Dk . Se cumple que, para cualquier k ∈ N, Dk ⊂ A10 . Considera la sucesión
k
ωµ1 k∈N , la cual está definida en C1 . Como C1 es compacto de Ωµ1 , existe φ1 : N → N, estrictamente creciente,
φ (k)
tal que ωµ11 converge en C1 a cierto límite ξ 1 . Del mismo modo, como Dk ∈ A20 para todo k ≥ 2, se cumple que
φ (k)
ωµk2 ∈ C2 para todo k ≥ 2 y, consecuentemente, ωµ21 ∈ C2 para todo k ≥ 2. Como C2 ⊂ Ωµ2 es compacto, existe
Ä φ ◦φ (k) ä
Ä φ ◦φ (k) ä
φ2 : N → N, estrictamente creciente, tal que ωµ22 1
converge a ξ 2 ∈ C2 . Como la sucesión ωµ12 1
k∈N
k∈N
Ä φ (k) ä
es subsucesión de ωµ11
, convergirá a ξ 1 ; esto es, ξµ21 = ξ 1 .
k∈N
f) Se continúa el proceso del paso previo en el que se expusieron las primeras dos contrucciones. Aquí se supone
que se está en la etapa i del proceso. Entonces, si tienen funciones φ1 , . . . , φi : N → N, estrictamente crecientes
tales que
lı́m ωµφii ◦...◦φ1 (k) = ξ i ∈ Ci .
k→∞
ξµi j
φ ◦...◦φ (k)
j
i
1
= ξ para todo i ≤ j. Como Dk ∈ Ai+1 para todo k ≥ i entonces ωµi+1
∈ Ci+1
De esto es claro que
para todo k ≥ i. De este modo, existe una subsucesión convergiente en Ci+1 (otra vez porque Ci+1 ⊂ Ωµi+1 es
compacto); esto es, existe φi+1 : N → N estrictamente creciente tal que
i+1 ◦...◦φ1 (k)
lı́m ωµφi+1
= ξ i+1 ∈ Ci+1 .
k→∞
De nuevo, se cumple que ξµi+1
= ξ j para todo j ≤ i + 1.
j
g) Como las (µk )k∈N están anidadas, se puede suponer que existe una sucesión no decreciente (nk )k∈N , de números
naturales, e índices distintos (sk )k∈N de tal forma que µk = (s1 , . . . , snk ) . Por la etapa previa, para cualquier k ∈ N,
∞
[
existe un ξµk ∈ Ck de tal modo que si i ≥ k entonces ξµi k = ξµk . Dado k ∈ N define Xsk = {ξsk }. Si t ∈ T \ {sk },
k=1
define Xt = Ωt . Así, para todo t ∈ T se cumple que Xt 6= ∅. De este modo, existe
Y
Y
ξ∈
Xt ⊂
Ωt
t∈T
t∈T
de tal modo que ξ(sk ) ∈ Xsk = {ξsk }.
Ä
ä
h) Este ξ genera la contradicción. En efecto, si k ∈ N entonces (ξ(s1 ), . . . , ξ(snk )) = ξs1 , . . . , ξsnk = ξµk ∈ Ck .
Luego,
∞
∞
\
\
ξ∈
Ak0 ⊂
Ak = ∅.
k=1
k=1
14
Así pues, esta contradicción mostró que P es continua en el vacío.
Ahora, es fácil ver que una probabilidad aditiva y continua en el vacío es σ-aditiva. En efecto, si (An )n∈FC es una
∞
[
sucesión de eventos ajenos a pares entonces la sucesión Bn =
decrece al vacío. De este modo, por la continuidad
k=n
en el vacío y la aditividad
P
∞
[
!
Ak
= P (A1 ∪ . . . ∪ An−1 ∪ Bn ) =
k=1
n−1
X
k=1
n→∞
P (Ak ) + P (Bn ) −−−Ï
∞
X
P (Ak ) .
k=1
Como el lado izquierdo de arriba es indpendiente de n, de hecho, son iguales; esto es,
!
∞
∞
[
X
P
Ak =
P (Ak ) .
k=1
k=1
El teorema de Extensión de Carathéodory, el cual establece que si P es una probabilidad σ-aditiva sobre un
álgebra, como lo es FC , se puede extender de manera única a una probabilidad σ-aditiva sobre toda la σ-álgebra
generada por el álgebra, en este caso, a todo F . Así pues, existe P sobre todo F . La unicidad de P es inmediata del
teorema de Extensión de Carathéodory. Esto concluye la demostración.
15