LA CISOIDE DE DIOCLES

LA CISOIDE DE DIOCLES
Voz del Colegiado, mayo 2009
Los tres problemas irresolubles más famosos de la antigüedad fueron, por orden de
importancia, la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del
ángulo.
Hipócrates de Quíos (siglo V a.C.) intuyó que las soluciones geométricas de regla y
compás eran muy difíciles o quizá imposibles en los tres casos, pero ideó el
procedimiento denominado de las dos medias proporcionales que permitiría resolver
más tarde, aunque sólo de forma aproximada, el segundo y tercer problemas.
La duplicación del cubo fue retomada por Diocles (siglo II a.C.) utilizando el método
de las dos medias proporcionales de Hipócrates de Quíos. Ideó para ello la curva
cisoide que permitía construir fácilmente los puntos de las dos medias proporcionales.
Lo que no llegaron a saber los geómetras griegos, ni lo hemos sabido nosotros hasta
hace muy poco tiempo, fue que las soluciones exactas no las podría alcanzar nunca
nadie, porque esos problemas quedarían irresolubles por toda la eternidad. La
imposibilidad de los dos últimos la enunció en 1837 el matemático francés Lorentz
Watzel demostrando que se referían a ecuaciones cúbicas, y la del círculo, el alemán
Lindemann en 1882, constatando que π era un número trascendente. En los tres casos
la solución era imposible porque con regla y compás sólo pueden resolverse las
ecuaciones cuadráticas, pero esto no lo hemos llegado a saber nosotros hasta estas
épocas tan recientes.
Voy a referirme a la duplicación del cubo porque a pesar de haber sido resuelta sólo
por puntos y de forma, por tanto, aproximada, no deja de ser ingeniosa la solución de
Diocles. La curva cisoide deriva de la circunferencia de la siguiente manera: por un
OG hasta que corte a la recta BG ,
perpendicular en B (diametralmente opuesto a O) a la recta OB . Si se define luego el
punto M de forma que la distancia GM sea igual a OF , la cisoide quedará
punto O de la misma se traza la secante
establecida como el lugar geométrico de los puntos M. Veamos el cálculo de Diocles
a partir de las dos medias proporcionales que se relacionan finalmente con la cisoide.
Se traza la recta
Tendremos:
OH de forma que BH = OB y se dibuja una semicircunferencia BND.
OA2 = AN 2 = AB. AD
(1) (Primera media proporcional)
Se define el punto C de manera que AC = AN = OA y se traza la semicircunferencia
DMC de diámetro
DC . Tendremos ahora que:
AM 2 = AD. AC = AD.OA
(2) (Segunda media proporcional)
Y ahora, de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:
OA3 / AB = AM 2
o bien
x3 / (2r-x) = y2 (3)
Comprobemos ahora que los puntos M construidos a partir de las dos medias
proporcionales (1) y (2) pertenecen también a la cisoide.
Definimos el punto F de la recta OFG de manera que OF = MG , y entonces, si el
punto F de la recta pertenece también a la semicircunferencia, quedará demostrada
la proposición. En efecto, para la recta se cumple lo siguiente:
EF = AM .OE / OA = y (2r-x) / x
resultará que
y siendo según (3)
y=
x3
2r − x
EF = (2r − x) x lo que demuestra que el punto F pertenece también
a la semicircunferencia OFB.
Ya tenemos construida la cisoide, equivalente a la curva de las dos medias
proporcionales. Se tratará ahora de encontrar un punto P de la misma que resuelva el
problema de hallar dos magnitudes cuyos cubos estén en la proporción 1/2. Entonces
este punto se podrá lograr trazando la recta BP de pendiente PQ / QB = y/(2r-x)
2 . La intersección de esa recta con la cisoide nos dará la solución, y los dos
segmentos pedidos serán OQ y QB , ya que:
=
3
2
x 3 ( 2r − x )
y2
x3
=
=
2
=
(
)
=2
( 2r − x ) 2
( 2r − x ) 3
( 2r − x ) 2
3
OQ / QB =
Cabe decir que, una vez lograda la duplicación del cubo, de la misma manera se
podrá resolver el cubo triple, cuádruple, etc., y en general cualquier otro cuya
proporción con el primero sea cualquier número racional o irracional cuadrático.
Bastará con elegir convenientemente la pendiente de la recta BP .
Podríamos preguntarnos nosotros ahora si no habría sido preferible construir
directamente la curva cúbica y = x3. La respuesta es negativa, porque la curva x3 no se
puede construir con regla y compás, ya que, dado un valor de x, habría que construir
primero el valor de x2, y luego, a partir de éste, el valor x3, para lo cual habría que
emplear de todas formas las dos medias proporcionales. Podríamos pensar eso, al
poder calcular nosotros de una manera muy fácil los valores de x3 (cosa que no
podían hacer los griegos al no disponer del sistema decimal), pero el asunto no está en
calcular los valores de x3, sino en dibujarlos con regla y compás.
y
G
M
P
F
x
D
O
E
A
Q
B
N
H
C