Fourier de tiempo discreto
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Señal P Transformada de Fourier ak ejk(2π/N )n 2π k=<N > +∞ P ak δ(Ω − k=−∞ 2π N k) ejΩ0 n 2πδp (Ω − Ω0 ) cos Ω0 n π [δp (Ω − Ω0 ) + δp (Ω + Ω0 )] sin Ω0 n π j 1 2πδp (Ω) Onda cuadrada periódica 1, |n| ≤ N1 x[n] = 0, N1 < |n| ≤ N2 x[n + N ] = x[n] +∞ P δ[n − kN ] k=−∞ n a u[n], |a| < 1 1, |n| ≤ N1 x[n] = 0, |n| > N1 sin W n Wn =W πn π sinc π 0<W <π δ[n] u[n] δ[n − n0 ] (n + 1)an u[n], |a| < 1 (n+r−1)! n n!(r−1)! a u[n], |a| < 1 [δp (Ω − Ω0 ) − δp (Ω + Ω0 )] 2π +∞ P ak δ(Ω − k=−∞ 2π N +∞ P δ Ω− k=−∞ 1 1−ae−jΩ Coef. serie de Fourier (si es periódica) ak (a) Ω0= 2πm N 1, k = m ± lN, l = 0, 1, ... ak = 0, otro valor Ω0 (b) 2π irracional ⇒ la señal es aperiódica (a) Ω0= 2πm N 1 , k = ±m ± lN, l = 0, 1, ... 2 ak = 0, otro valor 0 (b) Ω irracional ⇒ la señal es aperiódica 2π (a) Ω0= 2πm N 1 k = m ± lN, l = 0, 1, ... 2j , 1 , k = −m ± lN, l = 0, 1, ... − 2j ak = 0, otro valor Ω0 (b) 2π irracional ⇒ la señal es aperiódica 1 k = 0, ±N, ±2N, ... ak = 0 otro valor ak = ak = 2πk N ) 2πk N ak = sin[(2πk/N )(N1 +1/2)] , k 6= 0, ±N, ... N sin[2πk/2N ] 2N1 +1 , k = 0, ±N, ±2n, ... N 1 N para todo k - sin[Ω(N1 +1/2)] sin(Ω/2) - 1, 0 ≤ |Ω| ≤ W 0, W < |Ω| ≤ π X(Ω) periódica con periodo 2π 1 1 1−e−jΩ + πδp (Ω) −jΩn0 e X(Ω) = 1 (1−ae−jΩ )2 1 (1−ae−jΩ )r - Tabla 1: Pares Básicos de Transformadas de Fourier de Tiempo Discreto 1 Propiedad Linealidad Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia Conjugación Inversión temporal Expansión en tiempo Convolución Multiplicación Diferenciación en tiempo Señal Aperiódica ax[n] + by[n] x[n − n0 ] ejΩ0 n x[n] x∗ [n] x[−n] x(k) [n] x[n] ∗ y[n] x[n]y[n] x[n] − x[n − 1] n P x[k] Acumulación k=−∞ Diferenciación en frecuencia Relación de Parseval +∞ P n=−∞ 1 1−e−jΩ X(Ω) + πX(0)δp (Ω) j dX(Ω) dΩ nx[n] |x[n]|2 = Transformada de Fourier aX(Ω) + bY (Ω) e−jΩn0 X(Ω) X(Ω − Ω0 ) X ∗ (−Ω) X(−Ω) X(kΩ) X(Ω)Y (Ω) X(Ω) ~ Y (Ω) (1 − e−jΩ )X(Ω) 1 2π R 2π |X(Ω)|2 dΩ Tabla 2: Propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Propiedad Linealidad Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia Conjugación Inversión de tiempo Escalado temporal Convolución Periódica Señal periódica x[n] Periodo N (Ω0 = 2π N ) y[n] Ax[n] + By[n] x[n − n0 ] ejM (2π/N )n x[n] x∗ [n] x[−n] x(m) [n] (Periódica de periodo mN ) P x[r]y[n − r] r=<N > Multiplicación x[n]y[n] Diferenciación x[n] − x[n − 1] n P x[k] Acumulación (1 − e )a k ak (1−e−jk(2π/N ) ) (Finita y periódica sólo si a0 = 0) x[n] real 1 N P |x[n]|2 = n=<N > N ak b k P al bk−l l=<N > −jk(2π/N ) k=−∞ Simetrı́a Conjugada Relación de Parseval Coef. Serie de Fourier ak Periodo N bk Aak + Bbk ak e−jk(2π/N )n0 ak−M a∗−k a−k 1 m ak P ak = a∗−k |ak |2 k=<N > Tabla 3: Propiedades de la Serie Discreta de Fourier 2 1
