Fourier Continuo

Señal
+∞
P
Transformada de Fourier
ak ejkω0 t
2π
k=−∞
+∞
P
ak δ(ω − kωo )
ak
k=−∞
ejω0 t
2πδ(ω − ω0 )
cos ω0 t
π [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]
sin ω0 t
π
j
1
2πδ(ω)
Onda cuadrada
periódica
(
1, |t| < T1
x(t) =
0, T1 < |t| ≤ T2
x(t + T ) = x(t)
+∞
P
Coef. serie de Fourier
(si es periódica)
n=−∞
(
x(t) =
[δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )]
+∞
P
k=−∞
2π
T
δ(t − nT )
1, |t| < T1
0, |t| > T1
2 sin kω0 T1
δ(ω
k
+∞
P
δ ω−
k=−∞
sin W t
πt
X(ω) =
δ(t)
u(t)
δ(t − t0 )
e−at u(t), <{a} > 0
te−at u(t), <{a} > 0
1
2πk
T
=1
= 0 k 6= 1
= a−1 = 12
= 0, con otro valor
1
= −a−1 = 2j
= 0, con otro valor
=1
= 0 k 6= 0
sin kω0 T1
kπ
ak =
1
T
=
1, |ω| < W
0, |ω| > W
-
1
a+jω
1
(a+jω)2
1
(a+jω)n
-
Tabla 1: Pares Básicos de Transformadas de Fourier
1
ω0 T1
π sinc
para todo k
-
1
jω + πδ(ω)
e−jωt0
>0
− kω0 )
2 sin ωT1
ω
(
tn−1 −at
u(t), <{a}
(n−1)! e
a1
ak
a1
ak
a1
ak
a0
ak
kω0 T1
π
Propiedad
Señal Aperiódica Transformada de Fourier
Linealidad
ax(t) + by(t)
aX(ω) + bY (ω)
Desplazamiento temporal
x(t − t0 )
e−jωt0 X(ω)
Desplazamiento en frecuencia ejω0 t x(t)
X(ω − ω0 )
∗
Conjugación
x (t)
X ∗ (−ω)
Inversión temporal
x(−t)
X(−ω) 1
ω
Escalado
x(at)
|a| X a
Convolución
x(t) ∗ y(t)
X(ω)Y (ω)
1
Multiplicación
x(t)y(t)
2π X(ω) ∗ Y (ω)
d
x(t)
jωX(ω)
Diferenciación en tiempo
Rdtt
1
Integración
−∞ x(τ )dτ
jω X(ω) + πX(0)δ(ω)
d
Diferenciación en frecuencia
tx(t)
j dω
X(ω)
Relación de Parseval
R +∞
1 R +∞
2
2
−∞ |x(t)| dt = 2π −∞ |X(ω)| dω
Tabla 2: Propiedades de la Transformada de Fourier
Propiedad
Convolución Periódica
Señal )periódica
x(t)
Periodo T (ω0 = 2π
T )
y(t)
Ax(t) + By(t)
x(t − t0 )
ejM ω0 t x(t)
x∗ (t)
x(αt), α > 0
Periódica
con periodo T /α
R
T x(τ )y(t − τ )dτ
Multiplicación
x(t)y(t)
Linealidad
Desplazamiento temporal
Desplazamiento en frecuencia
Conjugación
Escalado temporal
Coef. Serie de Fourier
ak
bk
Aak + Bbk
ak e−jkω0 t0
ak−M
a∗−k
ak
T ak bk
+∞
P
al bk−l
l=−∞
d
Diferenciación
Integración
x(t)
−∞ x(τ )dτ (Finita y periódica
sólo si a0 = 0)
x(t) real
Rdtt
Simetrı́a Conjugada
Relación de Parseval
1
T
R
T
|x(t)|2 dt =
+∞
P
−∞
jkω
0 ak
1
jkω0
ak = a∗−k
|ak |2
Tabla 3: Propiedades de la Serie Continua de Fourier
2
ak