1 MODELACIÓN DEL FLUJO EN UNIDADES DE

MODELACIÓN DEL FLUJO EN UNIDADES DE TRATAMIENTO DE AGUA POTABLE
Alejandra Martín Domínguez, Velitchko G. Tzatchkov
José R. Mercado Escalante
Instituto Mexicano de Tecnología del Agua
Paseo Cuauhnáhuac 8532, Col Progreso, C.P. 62550, Jiutepec, Morelos
Tel. (73) 19-42-99, fax (73) 19-43-81. Correo electrónico: [email protected]
RESUMEN
Se presenta un modelo de tanques en serie con varios reactores perfectamente
mezclados, con zonas muertas y cortocircuitos, sin recirculación, que permite analizar el
comportamiento hidráulico de las unidades de tratamiento de plantas potabilizadoras.
El modelo se comparó con el obtenido por Cholette y Cloutier, y ambos se aplicaron con
mediciones hechas en las plantas potabilizadoras de Nuevo Laredo, y Ciudad Reynosa,
Tam. y Piedras Negras, Coah., mostrando buena correspondencia con los datos de
campo.
La principal diferencia encontrada entre los dos modelos, es que el del IMTA en
condiciones de flujo pistón proporciona resultados aceptables cuando se utiliza en los
cálculos la sal medida o agregada como trazador, en tanto que el segundo sólo lo hace
con la sal medida. Esto puede ser importante en aquellos casos en que las curvas tiempoconcentración presentan “colas” muy largas que hacen poco práctica la medición de la
sal.
INTRODUCCIÓN
Para analizar el funcionamiento hidráulico de las unidades de tratamiento de las plantas
potabilizadoras se emplean técnicas que permiten conocer el tiempo de residencia de
cada elemento del fluido dentro de la unidad. Una de éstas es el método estímulo –
respuesta. Si se considera una unidad de volumen V alimentada por un gasto Q, existe un
tiempo de retención o residencia hidráulico
V
τ=
(1)
Q
1
y un tiempo medio de residencia real µ que se calcula cómo:
∞
µ=
∫ tC(t )dt
=
0
∞
∫ C(t )dt
∑ tC (t )
∑ C( t )
(2)
0
y que puede variar de un elemento del fluido a otro. C(t) es la respuesta del sistema al
estímulo aplicado.
Teoría de los tiempos de residencia
Se denomina E(t) a la distribución de los tiempos de residencia de una corriente de fluido
(Fogler S. H., 1992), y como tal, su representación en forma normalizada es la siguiente:
∞
∫ E (t )dt = 1
(3)
0
Ésta es la función de probabilidad estadística, y se relaciona con la probabilidad que
tienen las moléculas del fluido de salir del sistema en un intervalo de tiempo ∆t.
La técnica de trazadores
Las técnicas estímulo–respuesta (Levenspiel O., 1997), consisten en aplicar un trazador
en el flujo que entra a la unidad y medir la concentracióndel mismo a la salida con respecto
al tiempo, hasta que no se detecte ningún cambio (ausencia de trazador o concentración
constante del mismo dependiendo del tipo de inyección utilizado). Hay dos formas
comunes de aplicarlos: tipo escalón, en el cual se inyecta el trazador en forma continua
durante un periodo de tiempo ∆t, e instantánea, en ésta se introduce una cantidad
conocida w del trazador en un tiempo muy corto. Con la finalidad de caracterizar el flujo, se
hace uso de parámetros adimensionales del tiempo θ, y la distribución de los tiempos de
residencia E:
θ = t/τ
(4)
C (t )
E (t ) =
(5)
Co
donde:
C,
Concentración del trazador a la salida de la unidad en el tiempo t
Co = w/V,
Concentración inicial del trazador, considerando que éste se
reparte uniformemente en el volumen de estudio
w,
Cantidad de trazador utilizado
Cuando no se conoce la concentración inicial Co del trazador, ésta puede ser
determinada midiendo la cantidad de trazador que sale de la unidad e integrando el área
bajo la curva C vs t. Aritméticamente puede ser calculada como:
2
∞
Co =
∫ QC (t )dt
0
V
Q
1
∑ C∆t
C( t ) dt = ∫ C( t ) dt ≈
∫
V 0
τ0
τ
∞
=
∞
(6)
Por medio de mediciones se puede obtener la curva E = f(θ) real, y compararla con la de
los modelos matemáticos de flujo representados por funciones de tipo E = g(θ), y calcular
los parámetros que minimicen el error (ε) entre las dos curvas. La función de distribución
se normalizada como sigue (Fernández-Sempere, J., 1995):
E (θ ) = τE( t )
(7)
Las técnicas utilizadas para determinar el comportamiento hidráulico de las unidades de
tratamiento como floculadores, sedimentadores o tanques de mezcla, pueden variar
desde el uso de métodos simplificados como el de Rebhun y Argaman, el análisis de la
curva experimental y de su correlación con las características hidráulicas, hasta el uso de
modelos matemáticos que describen el funcionamiento hidráulico de las unidades. Buckler
y Breitman (citados por Roy P. H. y Martinet J. P., 1974) ligan la distribución de los
tiempos de residencia de una cascada de recipientes perfectamente mezclados, todos
del mismo volumen, con la ley de Poisson. De Baun y Katz, citados por los mismos
autores, igual que Chiang y Cholette, lo hacen con la distribución Chi-cuadrada. Roy y
Cholette mostraron que la distribución normal de θ1/3 es una buena aproximación de la
distribución de los tiempos de residencia en recipientes agitados en régimen continuo. A
continuación se desarrolla un modelo matemático de tanques en serie sin recirculación.
MODELO DE VARIOS REACTORES PERFECTAMENTE MEZCLADOS EN SERIE,
CON ZONAS MUERTAS Y CORTOCIRCUITOS, SIN RECIRCULACIÓN
En general este tipo de aplicaciones matemáticas (Roustan M., 1991), proponen modelos
físicos susceptibles de ser descritos mediante ecuaciones simples, que generen una serie
de curvas lo más cercanas posibles a la distribución de tiempos de residencia observada
experimentalmente. Para ciertos modelos se utiliza el concepto de función de
transferencia, en el cual se considera el volumen de control como una caja negra con una
entrada y una salida. Si se define a x(t) como la señal a la entrada, después de atravesar
la unidad ésta se convierte en y(t). La función de transferencia G(p) se calcula como el
cociente de las transformadas de Laplace de las señales de salida y(p) y de entrada x(p):
L{ x ( t )} = x ( p )
L{ y ( t )} = y ( p )
y ( p)
G( p ) =
(8)
x( p)
Normalmente los sistemas de tratamiento son complejos y están constituidos de diferentes
tipos de flujos. Cada uno de ellos puede ser caracterizado por una función de
transferencia, que se combinan para formar la función de transferencia global G(p), como
se muestra en la Tabla No. 1.
3
Tabla 1 Representación de las funciones de transferencia para diferentes tipos de flujo
Tipo de flujo
Agitación
perfecta
Pistón
Combinación
Representación
Q
Q
G1 ( p )
En paralelo
αQ
Q
G( p ) = αG1 ( p ) + (1 − α)G2 ( p )
(1- α )Q
Pistón con
zona muerta o
cortocircuitos
Recirculación
Q
En serie
G( p ) = G1 ( p) ⋅ G2 ( p)⋅...
Zona muerta o
Corto circuito
G1 ( p )
En serie y paralelo
G( p ) = G '1 ( p ) ⋅ G2' ( p )⋅.....
Donde:
G1' = G2' =.. =
αG1 ( p ) + (1 − α) G2 ( p )
Q
α G1 ( p)
1-α
G2 ( p )
G’1
En círculo
(1+ α )Q
G1 ( p )
G( p ) =
1 + α − αG1 ( p ) ⋅ G2 ( p )
Q
G2 ( p)
G1( p)
Q
GN ( p)
Q
G2( p)
G1 ( p)
Q
G2 ( p )
G’2
G1( p)
Q
G2( p)
(α )Q
En el caso de unidades trabajando en flujo pistón, todas las moléculas del fluido
permanecen dentro del reactor el mismo tiempo. La función de distribución en este caso
es un pico de altura infinita y ancho cero, y su área es igual a uno. El pico aparece a t = τ, y
matemáticamente es representado por la función de Dirac δ:
E ( t ) = δ( t − τ )
(9)
La función de Dirac tiene las siguientes propiedades:
δ(x) = 0
cuando
x≠0
δ(x) = ∝
cuando
x=0
∞
∫ δ( x )dx = 1
(10)
−∞
∞
∫ g( x )δ( x − τ )dx = g (τ )
(11)
−∞
El modelo matemático de la respuesta a la salida del tanque es diferente para los casos
cuando el trazador se inyecta en escalón o por impulso.
4
El modelo aquí presentado (fig. 1), considera el segundo tipo de inyección debido a que
es más sencillo y práctico cuando se desea evaluar el comportamiento de las unidades de
tratamiento en plantas potabilizadoras.
1
Q
Co
nQ
2
nQ
MV1
MV2
(1-M)V1
(1-M)V2
(1-n)Q
Q
C
(1-n)Q
Fig. 1 Varios reactores en serie, con zonas muertas y cortocircuitos
La función global de trasferencia, tomando en cuenta que se trata de N reactores en serie,
ver Tabla 1, estará dada por:
G( p) = G '1 ( p) ⋅ G2' ( p)⋅.....
(12)
Cada reactor perfectamente mezclado con zonas muertas y cortocircuitos está
representado por su función de transferencia:
n
n
=
+
(
1
−
n
)
=
Mτ1
Mτ2 + (1 − n)
1+
p
1+
p
n
nN
Sustituyendo la ecuación 13 en la 12 y considerando que τi = τ / N :
G1' ( p ) = G2' ( p) =.... =
(13)
N
N
 nN 
Mτ 


Mτ  




n + 1 +
p (1 − n) 
n
+
(
1
−
n
)

1
+
p










Mτ 
nN 
n
nN 
 =
G( p) = 
+ (1 − n )  = 
=
Mτ


Mτ 
 nN  


1 + Mτ p

1+
p

 1 +
p




 Mτ  

nN

nN
nN 


N
N
N
 n 2 N  nN


 n 2 N nN

 n 2 N nN n 2 N

+

+
p

(
1
−
n
)
+
(
1
−
n
)
+
p
(
1
−
n
)
+
−
+
p
(
1
−
n
)
 Mτ  Mτ







 =  Mτ Mτ
 =  Mτ Mτ Mτ
 (14)
nN
nN
nN






+p
+p
+p






M
τ
M
τ
M
τ





N
Ordenando la ecuación 14, se obtiene la función global de transferencia de este modelo:
N
 nN

+ (1 − n) p 

G( p) =  Mτ
(15)

nN


+p

Mτ

Para poder llevar a cabo la transformada inversa de la ecuación 15, se hace la siguiente
parametrización:
nN
a=
(16)
Mτ
5
(17)
(18)
b=(1-n)
c = a /b
Sustituyendo 16, 17 y 18 en 15:
b

a

(
a
+
bp
)
+ p



 a + bp 
b
b
N
N
G( p) = 
 =  ( p + a)  = b  p + a  = b
p
+
a










cuya transformada inversa es:
N

 
N −1  p + c
E (t ) = b L  
 
  p + a  
N
N
N
 p+c
p+a


N
(19)
(20)
Como no es posible transformar de manera directa la ecuación 20, es necesario hacerlo
por fracciones múltiples, sin embargo, esto requiere que el numerador sea un polinomio
de grado menor al denominador, por lo tanto se divide por:
[ p + a ] [ p + c]
N
N
(21)
Un polinomio de grado N puede también escribirse como:
[ p + a ]N = [ p N +......+a N ]
[ p + c]
(22)
= [ p N +......+ c N ]
Sustituyendo las ecuaciones 22 y 23 en la 21 y resolviendo se obtiene:
1
N
N
N
N
p +...+c ]
p + c] − p N − [ p + a ] − p N
[
[
N
N
[ p + a ] [ p + c] = [ p N +...+ a N ] − p N +...+ a N = 1 +
[
]
[ p + a] N
Sustituyendo la ecuación 24 en la 20:
  [ p + c ]N − [ p + a ]N 
 p + c] N − [ p + a] N 
N  −1
N −1  [
 = b L 
E ( t ) = b  L 1 +




 
[ p + a] N
[ p + a] N
Aplicando fracciones múltiples al término entre corchetes, se tiene:
N
(
[ p + c] − [ p + a ]
[ p + a]
N
) (
(23)
)
(24)
(25)
N
a1
a2
a3
aN
+
2 +
3 +.....
( p + a) ( p + a ) ( p + a)
( p + a) N
Derivando se pueden encontrar los valores de las constantes de la siguiente forma:
1
d N − k Ba ( p)
[ p + a]N [ p + c ]N − [ p + a]N
ak =
Lim p → − a
cuando
B
(
p
)
=
a
( N − k )!
dp N − k
[ p + a ]N
y
a N = Lim p → − a Ba ( p )
=
N
(
(
d N −k [ p + c] − [ p + a]
1
ak =
Lim p → − a
( N − k )!
dp N − k
N
N
)=
d N − k [ p + c]
1
Lim p → − a
( N − k )!
dp N − k
(26)
)
(27)
N
(28)
6
Desarrollando algunos términos se obtiene:
a N = (c − a) N
1
a N −1 = Lim p → − a
N ( p + c ) N −1 ] = N (c − a) N −1
[ N − ( N − 1)]![
a N −2 = Lim p →− a
1
N ( N − 1)( c − a ) N −2
N −2
N
(
N
−
1
)(
p
+
c
)
=
]
2!
[ N − ( N − 2)]![
1
N ( N − 1)( N − 2)( c − a ) N −3
N −3
a N −3 = Lim p → − a
N ( N − 1)( N − 2)( p + c ) ] =
3!
[ N − ( N − 3)]! [
........
Utilizando coeficientes binomiales lo anterior puede ser expresado como:
N!
a N −k =
(c − a ) N − k
k !( N − k )!
haciendo: N − k = i y k = N − i , se obtiene:
N!
ai =
(c − a ) i
( N − i )! i !
Sustituyendo en la ecuación 26 y obteniendo la transformada inversa:
[
] [
[ ]
 p+c N − p+a
−1 
L 
N
p +a

]
N
(29)
(30)
N!
N!
N!
 N!

2
(c − a ) 3
(c − a ) N 

 ( N − 1)! ( c − a ) ( N − 2 )! 2 ! ( c − a)
(
N
−
3
)!
3
!
(
N
−
N
)!
N
!

−1
+
+
+.....
= L 
=
2
3
N
( p + a)
( p + a)
( p + a)
( p + a)





2 −1 − at
3−1 − at
N!
N!
e
N!
e
(c − a) N t N −1e −at
−at
2 t
3 t
( c − a)e +
(c − a)
+
(c − a)
+.....+
(31)
( N − 1)!
( N − 2)!2!
(2 − 1)! ( N − 3)!3!
(3 − 1)!
( N − 1)!
La cual puede ser expresada como:
N
N ! e − at ( c − a ) i t i −1
(29)
∑
i =1 ( N − i )! i !( i − 1)!
Por lo tanto, la ecuación 25 toma la forma:
N
E (t ) = b N ∑
i =1
N ! e − at ( c − a ) i t i −1
( N − i )!i !(i − 1)!
(32)
Sustituyendo en 30, las ecuaciones 16, 17, 18 y 4:
i
E (t ) = (1 − n )
N
N
∑
i =1
N !e
− at
i
−nNθ

nN
nN  i −1
 nN − nN (1 − n )  i −1
N
−
N !e M 

 t
 t (1 − n )
N
 M τ (1 − n ) M τ 
 Mτ (1 − n) 
=∑
(34)
( N − i )!i !(i − 1)!
( N − i )!i !(i − 1)!
i =1
Haciendo:
 nN − nN (1 − n )  i −1
 nN − nN + n 2 N  i −1
n 2 i N i t i t −1 (1 − n) N − i N n M τ
 t (1 − n) N =
=

 t (1 − n) N = 
 Mτ (1 − n) 
 Mτ(1 − n) 
( Mτ ) i
Nn Mτ
i
i
ni ni −1 nN i −1 Nt i t −1 (1 − n) N − i
N i −1 n i −1θ i −1 Nn i
=
n (1 − n ) N − i
Mτ
M i −1 Mτ i τ −1τ
M i −1
(35)
7
Reacomodando 35 y sustituyendo en ella la ecuación 7, se obtiene la función que describe
este caso:
i −1
− nNθ
 Nnθ 
M
N
!
e
(1 − n) N −i n i


 M 
Nn N
E (θ ) =
(36)
∑
M i =1
( N − i )! i !( i − 1)!
De acuerdo a Cholette y Cloutier (citados por Roustan M. 1991), la media y la varianza
para modelos de este tipo tienen las siguientes características:
µ = Mτ
(37)
M 2 ( 2 − n)
(38)
nN
Cuando el flujo en el proceso se aproxima al flujo pistón, y el trazador se aplica como un
impulso, el tiempo medio de residencia es igual al tiempo en que aparece la
concentración más alta del trazador a la salida de la unidad y se denomina tp. Cuando la
media es igual al tiempo de retención hidráulico τ, indica que no hay zonas muertas ni
cortocircuitos en la unidad. Si es menor, indica que el flujo pasa a través de canalizaciones
y existen zonas estancadas. Un tiempo medio de residencia mayor al de retención
hidráulica sugiere error en la medida del caudal o en el volumen disponible, o que el
trazador no es inerte y es adsorbido sobre las superficies del tanque.
σ2
También se tiene que 0 ≤ 2 ≤ 1 . El valor de cero indica que el reactor trabaja como flujo
µ
pistón, y la unidad señala que lo hace como mezcla completa. En el intervalo de 0 a 1 la
unidad trabaja como varios reactores en serie. Para determinar los parámetros, M, n y N,
que caracterizan este modelo, se hace uso de mediciones experimentales y de algún
método numérico iterativo que haga variar los mismos hasta que exista el menor error
posible entre los valores reales y teóricos. Para esto es necesario calcular el error ε,
definido como:
σr2 =
ε=
 C 

 C
∑  Co  calculado −  Co  teórico 
( Número de
mediciones - 1
)
2
(39)
Una buena aproximación para determinar el número de tanques en serie que representan
el comportamiento de la unidad, se obtiene utilizando el coeficiente de variación, o
varianza relativa:
σ2
1
=
(40)
2
µ
N
Donde:
8
∞
σ =
2
∫ (t − µ)
0
2
∑t
C( t ) dt
=
∞
∫ C(t )dt
2
C( t )
∑ C( t )
− µ2
(41)
0
Esta relación es válida en la medida que se conozca toda la curva experimental. La
fracción de zonas muertas (1-M), se determina considerando que ésta es una medida de
la desviación que existe entre los tiempos teórico de residencia y medio de residencia,
ecuación 37.
MODELO DE CHOLETTE Y CLOUTIER
Cholette y Cloutier (citados por Roustan M., 1991) propusieron un modelo para varios
reactores perfectamente mezclados en serie, con zonas muertas y cortocircuitos, sin
recirculación, es decir en condiciones similares al aquí desarrollado, como se describe a
continuación, pero que no satisface la noción de normalización de la ecuación 3:
Nn N
E (θ ) =
∑
M i =1
i! e
M
i −1
 Nnθ 

 (1 − n) N − i n i
 M 
( N − i )! N !( i − 1)!
− nNθ
(42)
MEDICIONES EXPERIMENTALES
Para comparar los resultados de los modelos antes citados se realizaron mediciones en
varias plantas potabilizadoras de la frontera norte del país (Martín-Domínguez A. y col.,
1998). En los experimentos se utilizó sal común como trazador, la cual fue previamente
disuelta en un recipiente de tamaño adecuado para ser manipulado fácilmente al
momento de verter la solución salina a la entrada de la unidad en estudio.
La cantidad de sal empleada dependió en cada caso del volumen de la unidad, se
estableció una concentración inicial entre 20 y 30 mg/l, considerando que se mezclara
totalmente con el volumen de estudio.
El trazador se aplicó de manera instantánea en lugares donde se tuviera la mayor certeza
de una mezcla homogénea y antes de que el flujo entrara a la unidad. Para analizar los
floculadores se aplicó el trazador en los tanques de mezcla rápida o en los canales de
llegada; en el caso de los sedimentadores, los canales de comunicación con los
floculadores fueron los lugares más adecuados.
Siempre se analizó por separado cada uno de los procesos, iniciando primero con los
tanques de sedimentación y después los floculadores, con la finalidad de evitar la
interferencia por la presencia de sal remanente en el volumen del floculador al estudiar el
sedimentador.
9
Al momento de arrojar la solución salina, se comenzó la lectura de la concentración de
sólidos disueltos totales, SDT, en la salida de la unidad utilizando un conductímetro. En los
floculadores se monitorearon los SDT a la salida de cada cámara, y en los
sedimentadores en puntos diferentes del tanque. Las lecturas se llevaron a cabo en
intervalos de tiempo que variaron entre 1 y 3 minutos, dependiendo del tiempo de
residencia de la unidad.
ANÁLISIS DE RESULTADOS Y COMPARACIÓN DE MODELOS
Los modelos presentados (en adelante se denominarán IMTA, y C.C., iniciales de Cholette
y Cloutier), se aplicaron a unidades de plantas potabilizadoras con comportamiento
hidráulico de mezcla completa, flujo pistón, con zonas muertas y cortocircuitos (Tabla 2).
Es importante señalar que para el cálculo de la concentración inicial del trazador Co,
puede utilizarse la cantidad de sal agregada w y el volumen de la unidad V (Co = w/V), o
bien la determinada mediante la ecuación 6. Si la medición se lleva a cabo hasta que no
se detecta más sal a la salida de la unidad, los resultados obtenidos en los dos casos son
muy similares. Sin embargo, muchas veces las curvas reales presentan “colas” muy
largas que hacen poco práctico el continuar la medición (sobre todo cuando el tiempo de
residencia es muy largo) y no se logra determinar la cantidad total de sal a la salida.
Tabla 2. Características de las unidades estudiadas
Ciudad
Piedras Negras
Gasto
l/s
117.5
Reynosa
Nuevo Laredo
181
158
Floculadores
Tipo
Volumen
Lugar de medición
m3
Hidráulico vertical
299
3ª cámara
Mecánico
115.2
2ª cámara
Sedimentadores
Tipo
Volumen
m3
Alta tasa
-
459.6
-
La fracción de zonas muertas (1-M) se calculó con las ecuaciónes 37 y 41. En la Tabla 3, 4
y 5 se presentan los resultados obtenidos con los dos modelos, tomando para el cálculo la
cantidad de sal medida (área bajo la curva experimental) o la agregada y haciendo variar
n y N hasta obtener el mínimo error entre los datos teóricos y experimentales.
Tabla 3. Unidad con predominancia de mezcla completa. Planta potabilizadora de Nuevo
Laredo, Tam.
Sal
Medida
Agregada
1-M
0.082
0.082
Modelo IMTA
N
1-n
2
0
2
0
ε
0.0122
0.0120
1-M
0.082
0.082
Modelo C.C.
N
1-n
2
0
2
0.018
ε
0.0122
0.011
10
Para el caso de la sal medida, el mejor ajuste se obtiene con N = 2 y cero cortocircuitos.
La forma de la curva (fig. 2) y el número de reactores obtenidos indican que la segunda
cámara del floculador tiene un comportamiento hidráulico de mezcla completa, lo que es
lógico si se considera que se trata de un floculador mecánico con paletas.
Cuando se considera la cantidad de sal agregada (fig. 3), en la misma Tabla 3, se
observa que el error obtenido en el punto de mejor ajuste (N = 2), es prácticamente el
mismo que en el caso de utilizar la sal medida, esto se debe principalmente a que la
experimentación se prolongó hasta que casi ya no se detectó sal a la salida de la unidad,
por lo tanto los resultados obtenidos difieren muy poco.
Nvo. Laredo
Floculador (salida 2ª cámara)
E = C/Co
Nvo. Laredo
Floculador (salida 2ª cámara)
E = C/Co
0.900
0.800
0.800
0.700
0.700
0.600
0.600
0.500
0.500
0.400
0.400
0.300
0.300
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
0.200
0.100
0.000
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
θθ=t
= // ττ
Fig. 2 Ajuste obtenido con el modelo IMTA
utilizando la sal medida y N = 2
0.200
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
0.100
0.000
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
θθ=t
= // ττ
Fig. 3 Ajuste obtenido con el modelo IMTA,
utilizando la sal agregada y N = 2
Aplicando el modelo C.C. con los mismos datos, se observa en la Tabla 2, que el mejor
ajuste se obtiene para N = 2 y cero cortocircuitos, ver figs. 4 y 5.
Nvo. Laredo
Floculador (salida 2ª cámara)
E = C/Co
Nvo. Laredo
Floculador (salida 2ª cámara)
E = C/Co
0.900
0.800
0.800
0.700
0.700
0.600
0.600
0.500
0.500
0.400
0.400
0.300
0.300
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
0.200
0.100
0.000
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
θθ=t
= // ττ
Fig. 4 Ajuste obtenido con el modelo C.C
utilizando la sal agregada y N = 2.
0.200
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
0.100
0.000
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
θθ =t
= // ττ
Fig. 5 Ajuste obtenido con el modelo C.C.
utilizando la sal medida y N = 2
Para este caso en particular los dos modelos llegan a los mismos resultados, es decir,
dos reactores en serie y cero cortos circuitos como mejor ajuste.
11
Tabla 4. Unidad con predominancia de flujo pistón. Planta potabilizadora de Piedras
Negras, Coah.
Modelo IMTA
N
1-n
87
0.0042
102
0
Sal
1-M
Medida -0.029
Agregada -0.029
ε
0.018
0.035
1-M
-0.029
-0.029
Modelo C.C.
N
1-n
88
0.02
*
*
ε
0.017
*
Existen zonas muertas negativas, lo que indica que hay errores en la determinación del
gasto o el volumen. En la Tabla 4, puede observarse que aplicando el modelo IMTA, el
número de reactores en serie varía, N = 87 y 102 para la sal medida y agregada
respectivamente. La unidad se comporta como un flujo pistón y tiene cero cortocircuitos,
sin embargo, el ajuste es mejor con la sal medida, ver figs. 6 y 7.
Piedras Negras
Floculador Sur (salida 3ª camara)
E = C/Co
Piedras Negras
Floculador Sur (salida 3ª camara)
E = C/Co
4.000
4.500
3.500
4.000
3.000
3.500
3.000
2.500
2.500
2.000
2.000
1.500
1.500
1.000
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
0.500
0.000
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
0.500
0.000
0.000
1.600
θθ=t
= // ττ
Fig. 6 Ajuste obtenido con el modelo IMTA
utilizando la sal medida y N = 87
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
1.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
θθ=t
= // ττ
Fig. 7 Ajuste obtenido con el modelo IMTA
utilizando la sal agregada y N = 102
Por otro lado, aplicando el modelo C.C., con los datos de la sal medida se obtienen
resultados similares a los obtenidos con el modelo IMTA, N = 88 y N = 87
respectivamente, y cero cortocircuitos (Tabla 4), y en consecuencia el ajuste es bueno, ver
fig.8. Sin embargo si se aplica al caso de la sal agregada, el modelo C.C. no converge.
Piedras Negras
Floculador Sur (salida 3ª camara)
E = C/Co
4.000
3.500
3.000
2.500
2.000
1.500
1.000
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
0.500
0.000
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
θθ ==t// ττ
Fig.8 Ajuste obtenido con el modelo C.C. utilizando la sal medida y N = 88
12
Tabla 5. Unidad con alto porcentaje de zonas muertas y cortocircuitos. Planta
potabilizadora de Reynosa, Tam.
Modelo IMTA
Modelo C.C.
Sal
1-M
N
1-n
ε
1-M
N
1-n
ε
Medida
0.31
5
0.10
0.035
0.31
Agregada 0.31
5
0.10
0.035
0.31
3
0
0.036
Agregada 0.45
5
0.20
0.55
8
0.04
Para este caso el mínimo error se obtiene con cinco reactores en serie y 10% de
cortocircuitos, ver Tabla 5. Sin embargo, se observa que las curvas obtenidas, ver figs. 9 y
10, no describen adecuadamente el comportamiento inicial de los datos experimentales.
En este caso en particular el 50% del trazador sale cuando θ < 0.6, esto implica que la
parte de la curva que más interesa es la que corresponde a 0<θ<1, y por el contrario, el
modelo ajusta mejor los datos precisamente arriba de este rango.
E = C/Co
Reynosa
Sedimentador Norte (punto 3)
1.800
1.800
1.600
1.600
1.400
1.400
1.200
1.200
1.000
1.000
0.800
0.800
0.600
0.600
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
0.400
0.200
Reynosa
Sedimentador Norte (punto 3)
E = C/Co
E (datos)
0.400
E (modelo)
0.200
"Tiempo de ret. hco."
0.000
0.000
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800 1.000
1.200 1.400
θθ==t//ττ
1.600
1.800
θθ==t//ττ
Fig. 9 Ajuste obtenido con el modelo IMTA, Fig. 10 Ajuste obtenido con el modelo IMTA,
utilizando la sal agregada y N = 5
utilizando la sal medida y N = 5
Ajustando los parámetros del modelo, e incluyendo el valor de M que hasta aquí se había
calculado con ecuación 37, se logró obtener un ajuste que siguiera el comportamiento del
pico de la curva experimental, ver fig. 11.
Reynosa
Sedimentador Norte (punto 3)
E = C/Co
1.800
1.600
1.400
1.200
1.000
0.800
0.600
E (datos)
E (modelo)
0.400
0.200
"Tiempo de ret. hco."
0.000
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
θθ == t // ττ
Fig. 11 Ajuste obtenido con el modelo IMTA, con la sal agregada, N = 5, 45% de zonas muertas y
20% de cortocircuitos
13
Se aplicó el modelo C.C., considerando para el cálculo la cantidad de sal agregada y el
porcentaje de zonas muertas obtenido con la media y el tiempo de residencia hidráulico.
Igual que el modelo IMTA, éste tiene problemas de ajuste con los datos medidos, ver fig.
12, por lo que se hizo variar el porcentaje de zonas muertas hasta adecuar la curva teórica
lo más posible a los datos, ver fig 13.
Reynosa
Sedimentador Norte (punto 3)
E = C/Co
Reynosa
Sedimentador Norte (punto 3)
E = C/Co
1.800
2.000
1.600
1.800
1.600
1.400
1.400
1.200
1.200
1.000
1.000
0.800
0.800
0.600
0.600
E (datos)
E (modelo)
"Tiempo de ret. hco."
0.400
0.200
0.000
0.000
E (datos)
0.400
E (modelo)
0.200
"Tiempo de ret. hco."
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0.000
0.200
θθ==t //ττ
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
θθ ==t //ττ
Fig. 12 Ajuste obtenido con el modelo C.C y N Fig. 13 Ajuste obtenido con el modelo C.C N =
=3
8, 55% de zonas muertas y 4% de
cortocircuitos.
CONCLUSIONES
Las técnicas estímulo-respuesta con aplicación de trazadores en forma instantánea, son
adecuadas para obtener las funciones de los tiempos de residencia, en unidades de
tratamiento de plantas potabilizadoras.
Se desarrolló un modelo de tanques en serie, sin recirculación, que permite analizar el
comportamiento hidráulico de las unidades de tratamiento.
El modelo funciona adecuadamente para unidades con comportamiento hidráulico de flujo
pistón y mezcla completa. La correspondencia con las mediciones experimentales
decrece conforme aumentan las zonas muertas y cortocircuitos.
El modelo puede alimentarse con la concentración inicial de trazador inyectado a la
unidad, o haciendo la medición del mismo a la salida de la unidad e integrando la curva
concentración-tiempo.
La principal diferencia encontrada al comparar el modelo aquí presentado con el
desarrollado por Chalotte y Cloutier, consiste en que el primero proporciona resultados
aceptables con el trazador medido o agregado en condiciones de flujo pistón, en tanto que
el segundo, sólo lo hace con el medido. Esto puede ser importante en aquellos casos en
que las curvas tiempo-concentración presenten “colas” muy largas.
14
BIBLIOGRAFÍA
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15