tema 2 – expresiones algebraicas

Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Matemáticas
Académicas - 4º de ESO
Apuntes de Área
TEMA 2 – EXPRESIONES ALGEBRAICAS
. Objetivos / Criterios de evaluación
O.2.1 Operaciones con polinomios. Suma, resta, producto y cociente.
O.2.2 Raíces de un polinomio. Factorización de polinomios.
.
1 Expresiones algebraicas, Polinomios. Generalidades (Página 34)
Def.: Expresión algebraica: es toda combinación de números y letras unidas por los signos de
las operaciones aritméticas suma, resta, multiplicación, división, potencia y radicación. Las letras
se llaman variables o incógnitas. Los números que van delante de las letras se llaman
coeficientes.
Def.: Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado de sustituir las variables de la
expresión por un valor concreto.
Def.: Expresiones algebraicas equivalentes: son aquellas que tienen el mismo valor numérico
para cualesquiera valores que tomen las variables. Normalmente son una el resultado de
simplificar o hacer operaciones en la otra.
Def.: monomio: es una expresión algebraica en la que sólo intervienen las operaciones
multiplicación y potencia de exponente natural.
Se llama parte literal del monomio a la constituida por las letras o variables con sus exponentes
respectivos.
Se llama parte numérica o coeficiente a los coeficientes del monomio.
Def.: grado del monomio es la suma de los exponentes a los que están elevadas las variables
del monomio. Hay que tener en cuenta que la ausencia de exponente significa exponente uno.
Def.: monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal.
Def.: polinomio: es una expresión algebraica constituida por la suma de varios monomios no
semejantes.
Def.: grado del polinomio es el grado del monomio de mayor grado dentro del polinomio.
2. Operaciones con monomios y polinomios (Página 36)
Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes
Para sumar o restar monomios no semejantes se unen en un polinomio que indica la
operación.
Para multiplicar monomios se multiplica por separado el signo del monomio, la parte numérica y
la parte literal.
Tema 2 – Expresiones algebraicas
Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Física y Química
Académicas - 4º de ESO
Apuntes de Área
Para multiplicar polinomios se multiplica cada monomio de uno de los polinomios por todos los
monomios del otro. Terminado esto se suman los monomios semejantes.
Para elevar un monomio o un polinomio a una potencia de exponente natural se multiplica el
monomio o el polinomio base por sí mismo tantas veces como indica el exponente.
Identidades notables
(a+b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a-b)2 = a2 – 2 a b + b2
(a+b)(a-b) = a2 – b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
(a-b)3 = a3 – 3 a2 b + 3 a b2 – b3
División entre monomios: para dividir dos monomios se dividen por separado el signo, la parte
numérica y la parte literal restando los exponentes. Si el grado de cada letra es mayor o igual en el
numerador que en el denominador, el resultado es otro monomio, en caso contrario quedarán
exponentes negativos lo que significará que el resultado no es un monomio.
División de un polinomio entre un monomio: para dividir un polinomio entre un monomio se
divide cada monomio del polinomio entre el monomio divisor.
División de un polinomio entre otro polinomio: para dividir dos polinomios entre sí se siguen
los siguientes pasos:
Paso 1 : Se coloca el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha encuadrado en el signo de
dividir, ambos deben estar debidamente ordenados por monomios de mayor a menor grado.
Paso 2: Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor y se
coloca el resultado en el cociente.
Paso 3: se multiplica el monomio colocado en el cociente por cada uno de los monomios del
divisor y se coloca el resultado debajo de los monomios del dividendo semejantes, cambiado de
signo para proceder a su resta.
Paso 4: se restan del dividendo los monomios que han ido colocándose calculándose un nuevo
dividendo.
Paso 5: se repiten los pasos 2 a 4 tantas veces como sea posible hasta que el grado del
dividendo sea menor que el grado del divisor. En este caso el dividendo resultante será el resto de
la división.
Regla de Ruffini.
Para dividir un polinomio cualquiera en x entre un binomio que tenga la forma (x-a) se puede
utilizar la regla de Ruffini.
Paso 1: se identifica “a”.
Tema 2 – Expresiones algebraicas
Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Matemáticas
Académicas - 4º de ESO
Apuntes de Área
Paso 2: se escriben todos los coeficientes del polinomio dividendo, incluso aquellos que valgan
cero.
Paso 3: se baja el primer coeficiente.
Paso 4: se multiplica el primer coeficiente por “a” y se coloca el resultado bajo el siguiente
coeficiente.
Paso 5: se suma el resultado al coeficiente de arriba y se baja el resultado.
Paso 6: se repiten los pasos 4 y 5 mientras queden coeficientes disponibles.
Paso 7: el último número que quede debajo es el resto de la división.
Paso 8: se reconstruye el polinomio cociente añadiendo la parte literal correspondiente a cada
monomio.
http://ima.ucv.cl/mapoyo/polinomios.htm
Teorema del Resto: El resto de dividir un polinomio en x entre un binomio de la forma (x-a) puede
obtener calculando el valor numérico del polinomio para x=a.
Teorema del Factor: Si el valor numérico de un polinomio para x=a es cero, el polinomio es
divisible entre el binomio (x-a).
3. Cálculo de raíces. Factorización (Página 40)
Concepto de raíz. Cálculo de raíces.
Def. Raíz de un polinomio son los resultados de la ecuación P(x)=0. También son los valores a
tales que P(x) es divisible entre (x-a).
Teorema fundamental del álgebra: Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.
Def. Factorizar un polinomio en x es convertirlo en producto de polinomios más sencillos. Es útil
para simplificar fracciones algebraicas, resolver ecuaciones y otros problemas matemáticos.
Para factorizar un polinomio se deben buscar todas las raíces enteras posibles del mismo.
Paso 1: Se saca factor común a todos los factores posibles, tanto coeficientes como variables.
Paso 2: Cálculo del número máximo de raíces: coincide con el grado del polinomio.
Paso 3: Cálculo de las posibles raíces: que son los divisores enteros del término independiente.
Paso 4: Cálculo de las raíces: se prueban las distintas posibles raíces utilizando el método de
Ruffini y se descartan aquellas que no den como resto cero, seleccionando las que sí.
Paso 5: Factorización: se factoriza el polinomio con factores del tipo (x-a) siendo a cada una de
las raíces útiles seleccionadas. El último factor es el cociente de la última división realizada con
resto cero.
Tema 2 – Expresiones algebraicas
Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Física y Química
Académicas - 4º de ESO
Apuntes de Área
4. Fracciones algebraicas (Página 42)
Def. Fracción algebraica: es el cociente indicado entre dos polinomios. El denominador
no puede valer cero.
Def. Valor numérico: de una fracción algebraica es el resultado de sustituir las variables
de los polinomios numerador y denominador por valores determinados.
Def. Fracciones algebraicas equivalentes: son aquellas que tienen el mismo valor
numérico para cualesquiera valores por los que se sustituyan las variables.
Simplificar una fracción algebraica es encontrar otra equivalente más sencilla. Se
realiza dividiendo numerador y denominador por el mismo polinomio no nulo.
Def. Fracción Irreducible es aquella que no puede simplificarse.
Operaciones con fracciones algebraicas
Para operar con fracciones algebraicas se actúa de la misma manera que si las
fracciones fueran numéricas.
Para calcular el mínimo común múltiplo de varias expresiones algebraicas, se
factorizan las expresiones algebraicas y se toman los factores comunes y no comunes
con el mayor exponente.
Para sumar o restar fracciones algebraicas se calcula el denominador común y se
suman o restan los numeradores.
Para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican los numeradores y los
denominadores entre si.
Para dividir fracciones algebraicas se multiplica el numerador de la primera por el
denominador de la segunda y se coloca en el numerador resultado. Se multiplica también
el denominador de la primera por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en
el denominador del resultado.
Para descomponer fracciones algebraicas se factoriza el denominador y se iguala la
fracción algebraica original a la suma de una serie de fracciones algebraicas que tengan
como denominador, cada una, uno de los factores del denominador original. Como
numerador se utilizan sendas variables (A, B y C, por ejemplo) que son las que hay que
calcular igualando el numerador de la fracción original con el numerador resultante de
sumar las fracciones sumandos.
Tema 2 – Expresiones algebraicas