Elementos de Geometría Plana

Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA
8. Elementos de geometría plana
1. Elementos básicos de la geometría
2. Ángulos
2.1. El sistema sexagesimal
2.1.1. Suma de ángulos
2.1.2. Resta de ángulos
2.1.3. Multiplicar por un número
2.1.4. Dividir por un número
2.2. Clasificación de ángulos
3. Figuras geométricas
3.1. Polígonos
3.1.1. Triángulos
3.1.2. Cuadriláteros
3.2. Circunferencia y círculo
4. Perímetros y áreas de figuras
geométricas
5. Soluciones a los ejercicios de la
unidad
1. Elementos básicos de la Geometría
Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posición en el espacio que se llama
extensión. La extensión admite tres direcciones: la longitud, la anchura y la altura, cada
una de las cuales se llama dimensión.
Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensión, como la línea, y otros a dos
dimensiones, como la superficie. El punto es la mínima expresión de la extensión, y,
por tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica una posición
en el espacio.
RECTA
Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Tiene una dimensión.
Ejercicio
8.1 Un rayo láser, ¿qué elemento geométrico te sugiere? ¿Y un folio?
8.2 ¿Es posible dibujar una línea recta en toda su extensión? ¿Y un plano?
SEMIRECTA
Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas, a la izquierda y derecha
del mismo.
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SEGMENTO
Un segmento rectilíneo
es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B.
Ejercicio
8.3 ¿Puedes dar ejemplos reales que te sugieran la idea de segmento rectilíneo?
2. Ángulos
Ángulo es la parte de plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un
punto común llamado vértice:
MEDIDA Y CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
El ángulo formado por dos semirrectas alineadas se
llama ángulo llano.
La mitad de un ángulo llano se llama ángulo recto.
2.1 El sistema sexagesimal
El sistema sexagesimal es el conjunto de unidades y normas para medir ángulos.
Se denomina sexagesimal porque 60 unidades de un orden forman una unidad del orden
superior.
Cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior y
sesenta veces menor que la unidad de orden inmediato superior.
La unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado ().
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Un grado es la medida del ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes
iguales, por tanto, hay 90º en un ángulo recto:
1 recto = 90º
Para medir ángulos con más precisión se utilizan unidades menores que el grado: el
minuto (‘) y el segundo (“).
Grado (º)
Minuto („)
Segundo (“)
Se tienen las siguientes equivalencias:
1º = 60‟ =3600”
1‟ = 60”
El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador de ángulos.
Ejemplos
Expresa en segundos:
-
125‟
45º
125 · 60‟ = 7.500”
45 · 60‟ = 2.700‟
2.700 · 60” = 162.000”
Expresa en grados:
-
240:60º =4º
32.400‟
32.400:60‟ =540‟
240’
540:60º = 9º
Dibuja un ángulo de 60.
Se coloca el transportador sobre una recta
haciendo coincidir el vértice del transportador con
un punto marcado en la recta. A continuación, se
hace una marca en 60º. Finalmente, utilizando
una regla, se une el vértice del ángulo con la
marca efectuada.
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Ejercicios
8.4 Dibuja los siguientes ángulos con un transportador: a) 30º; b) 45º; c) 160º; d) 180º
8.5 Expresa en segundos:
(a) 12‟ y 30”
(b) 5º y 25‟
(c) 10º y 20‟
8.6 Completa la siguiente tabla:
Grados (º)
Minutos („)
Segundos (“)
32.400
600
3.600
7.200
300
61.200
120
8.7 Dibuja con tu transportador un ángulo de 90º y expresa su medida en minutos y en
segundos.
8.8 Un ángulo llano mide 180º. Expresa su amplitud en minutos y en segundos. Haz lo
mismo con un ángulo completo de 360º.
2.1.1 Suma en el sistema sexagesimal
Para sumar medidas de ángulos se colocan los sumandos agrupados: grados con grados, minutos con
minutos y segundos con segundos.
Para expresar el resultado hay que tener en cuenta que:
Si los segundos sobrepasan 60, se transforman en minutos
Si los minutos sobrepasan 60, se transforman en grados u horas
Ejemplos
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Ejercicios
8.9 Efectúa las siguientes operaciones:
a) 15º 22‟ 30” + 8º 27‟ 41”
b) 1º 44‟ 11” + 5º 16‟ 9”
c) 2º 7‟ + 17º 49‟ 54”
d) 5º + 67‟
2.1.2 Resta en el sistema sexagesimal
Para restar medidas de ángulos se colocan el minuendo y el sustraendo coincidiendo grados con
grados, minutos con minutos y segundos con segundos.
Para expresar el resultado hay que tener en cuenta que:
Cuando los minutos o segundos son mayores en el sustraendo que en el minuendo,
transformamos, en el minuendo, una unidad de orden superior para poder efectuar
la resta.
Ejemplos
Ejercicios
8.10 Efectúa las siguientes operaciones:
a) 4º 11‟ 17” - 1º 16‟ 32”
b) 50º 43‟ - 3º 50‟ 9”
c) 77º - 14º 25‟ 6”
d) 35º 27‟ 42” – 7º
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2.1.3 Multiplicar por un número en el sistema sexagesimal
Para multiplicar medidas de ángulos por un número natural:
Se multiplica cada unidad por el número natural
Se efectúan las conversiones y agrupamientos necesarios
Ejemplo
Ejercicio
8.11 Efectúa las siguientes operaciones:
a) (12º 23‟ 4”) · 3
b) (41º 10‟) · 4
2.1.4 Dividir por un número en el sistema sexagesimal
Para dividir medidas de ángulos o de tiempos por un número natural:
Se dividen los grados por el número natural
El resto de grados se transforman en minutos y se añaden a los que ya hay. Después se divide el total
de minutos por el número.
El resto de minutos se pasa a segundos y se añaden a los que ya hay. Finalmente se dividen los
segundos por el número.
Ejemplo
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Ejercicio
8.12 Efectúa las siguientes operaciones:
a) (305º 75‟ 85”): 5
b) (120º 48‟): 2
2.2 Clasificación de ángulos
Según la mayor o menor abertura de un ángulo, éste puede ser recto, agudo u
obtuso.
El ángulo agudo es el que mide menos que un recto, mientras que el ángulo
obtuso mide más que un recto.
Dos ángulos son complementarios si su suma es 90º, o sea, un
recto. Cada uno es complemento del otro.
Dos ángulos son suplementarios si su suma vale 180º, o sea,
un llano. Cada uno es suplemento del otro.
Ejercicios
8.13 Calcula el complementario y el suplementario de 30º 28‟ 16”.
8.14 ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo de amplitud ¾ de un recto?
¿Cuánto mide su ángulo suplementario?
8.15 ¿Cuál es el complementario del ángulo diferencia de los de amplitud
?.
y
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo, y que
divide a éste en dos partes iguales.
El trazado de la bisectriz, mediante regla y compás
se muestra en la figura adjunta, donde el punto P se
obtiene trazando arcos de igual radio con centros en A y
en B. Al unir P con O se obtiene la bisectriz
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Ejercicios
8.16 Comprueba haciendo uso del transportador, que la recta OP es la bisectriz del
ángulo de la figura. ¿Cuánto mide el ángulo? ¿Y cada uno de los ángulos formados por la
bisectriz?
3. Figuras geométricas
Una figura geométrica es la porción del plano limitada por una línea cerrada. La
línea puede ser poligonal dando lugar a los polígonos o curva dando lugar a los cículos
sectores circulares y elipses.
3.1 Polígonos
Una línea poligonal es la que se forma cuando se unen segmentos de recta de un
plano. Las líneas poligonales puedes ser abiertas o cerradas, tal como muestran las
figuras:
Un polígono es una figura geométrica limitada por una línea poligonal cerrada.
La palabra polígono proviene del griego y esta compuesta por poli (varios) y gono
(ángulos). En la figura adjunta se observan los elementos básicos de un polígono:
vértices,
lados,
diagonales,
ángulos
interiores y exteriores:
Los lados son los segmentos que forman la
línea poligonal.
Los vértices son los puntos donde se unen
dos lados consecutivos.
Los ángulos interiores son los ángulos que
forman dos lados consecutivos.
Las diagonales don los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Los ángulos exteriores son los ángulos formados por un lado y la prolongación de
otro contiguo hacia la región exterior.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Según el número de lados, los polígonos pueden ser: triángulos, cuadriláteros,
pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, …
El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un
polígono regular. En éstos, aparecen dos nuevos elementos:
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

el centro, que es el punto interior que se halla a
igual distancia de los vértices
el apotema, que es el segmento perpendicular desde
el centro a uno cualquiera de los lados, o bien, el
segmento que une el centro con el punto medio de
uno cualquiera de los lados...
La amplitud de cada ángulo de un polígono regular de
es:
lados
Ejercicio
8.17 Calcula la suma de todos los ángulos, la amplitud de uno de sus ángulos y la
amplitud del ángulo central de un decágono regular.
3.1.1 Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados y, por tanto, es el polígono más sencillo que
se puede construir.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Atendiendo a la longitud de sus lados,
los triángulos pueden ser equiláteros
(tienen los tres lados iguales), isósceles
(tienen dos lados iguales y uno desigual)
escalenos
(sus
tres
lados
son
desiguales).
Por otra parte, atendiendo a la
amplitud de sus ángulos, los triángulos
pueden ser rectángulos (tienen un
ángulo recto), obtusángulos (tienen un
ángulo obtuso) o acutángulos (los tres
ángulos son agudos).
En los triángulos rectángulos los lados
que determinan el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto,
hipotenusa.
Suma de los ángulos de un triángulo
La suma de los ángulos de un triángulo
es igual a 180.
Disponiendo los ángulos del triángulo
en forma consecutiva se obtiene un
ángulo llano.
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Ejercicio
8.18 Calcula la medida del ángulo sin valor en las figuras:
Rectas y puntos notables
Ejercicios
8.19 Dibuja las alturas del triángulo de la derecha. Señala cuál
es el ortocentro.
8.20 Dibuja las medianas y señala
el baricentro del triángulo del
margen izquierdo.
8.21 Dibuja un triángulo de lados 8cm, 10 cm y 6cm. Traza
sus mediatrices, halla su circuncentro y dibuja la circunferencia circunstrita.
8.22 Halla, dibujando sus alturas, el ortocentro de un triángulo acutángulo, de uno
obtusángulo y de uno rectángulo. Comprobarás que en el primero está dentro del
triángulo, en el segundo, fuera, y en el tercero, en el vértice del ángulo recto.
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Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa.
Ejercicios
8.23 Calcula el valor de hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 24
cm.
8.24 Halla la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.
3.1.2 Cuadriláteros
Son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores es de 360º. Se
clasifican, según sus lados y ángulos de la siguiente manera:
Cuadrado: Tiene 4 lados iguales y 4 ángulos rectos.
Rectángulo: Tiene 4 ángulos rectos; sus lados opuestos son
iguales y paralelos; sus diagonales son iguales y se cortan en sus
puntos medios.
Rombo: Tiene los 4 lados iguales; sus lados opuestos son
paralelos y sus ángulos opuestos son iguales. Sus diagonales
son perpendiculares en sus puntos medios.
Romboide: Tiene los lados y ángulos iguales 2 a 2.
Trapecios: Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos y dos lados no
paralelos. Los lados paralelos se llaman bases y la distancia entre ellos, altura:
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Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
Trapezoides Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo:
Ejercicios
8.25 Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 30 cm. Halla la longitud de su lado.
8.26 La altura de un trapecio isósceles mide 16 cm y sus bases, 5 dm y 3 dm. Halla la
longitud de los dos lados iguales, aproximando hasta los milímetros.
3.2 Circunferencia y círculo
Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto
fijo O que se llama centro de la circunferencia. El conjunto de puntos del plano
interiores a la circunferencia es una figura plana que le llama círculo.
En la circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:
Radio: es el segmento que une el centro con un punto cualquiera a de la
circunferencia.
Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el
centro.
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Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el
centro.
Arco: es el conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos cualesquiera de la
circunferencia.
Flecha o Sagita: Segmento comprendido entre el punto medio de una cuerda y el
punto medio del arco comprendido menor.
En el círculo se pueden considerar los siguientes elementos:
Sector circular: es el conjunto de puntos del
círculo comprendidos entre dos radios de la
circunferencia.
Segmento circular: es el conjunto de puntos del
círculo comprendidos entre una cuerda de la
circunferencia.
Corona circular: es el conjunto de puntos
comprendidos entre dos circunferencias concéntricas.
Zona circular: es la porción de círculo limitada por
dos cuerdas.
zona
ZONA CIRCULAR
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo central: Es la amplitud comprendida entre dos radios, es decir, un ángulo
con vértice en el centro de la circunferencia. Varía entre 0º y 360º. La medida del arco
es la del ángulo central
.
Ángulo inscrito: es aquél que tiene su vértice en la circunferencia. El ángulo inscrito
mide la mitad del arco del sector que abarca.
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Ángulo interior: tiene su centro en el interior de la circunferencia. Su medida es la
semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.
Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la
circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. Su medida es
la semidiferencia de los arcos que abarca.
CIRCUNFERENCIA Y RECTAS
Una recta y una circunferencia situadas en el mismo plano pueden ser:
Secantes, si la recta corta a la circunferencia en dos puntos distintos.
Tangentes, si la recta toca a la circunferencia, es decir, la recta tiene un
punto de tangencia con la circunferencia (2 puntos de corte coincidentes).
Exteriores, si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común.
SECANTES
TANGENTES
EXTERIORES
Ejercicios
8.27 una circunferencia tiene un radio de 26 cm. Trazamos una recta a 10 centímetros
de su centro. Halla la longitud de la cuerda que determina la recta en la circunferencia.
8.28 Halla el valor de los ángulos centrales de una circunferencia dividida en: a) 3 partes
iguales; b) 4 partes iguales; c) 5 partes iguales.
8.29 Traza una circunferencia de 5 cm de radio y señala en ella un punto P. A) ¿Cuántas
cuerdas puedes trazar que tengan un extremo en P? ¿Cuánto mide la longitud máxima?
B) ¿Cuántas cuerdas hay que midan 5 cm y que tengan un extremo en P? Halla la
distancia de una de esas cuerdas al centro de la circunferencia.
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8.30 En una circunferencia de 15 cm de radio traza una cuerda AB a 12 cm del centro.
A) ¿Cuál es la longitud de AB? B) ¿Cuántas cuerdas de la misma longitud que AB hay en
esa circunferencia? ¿Cuántas hay que sean paralelas a AB? ¿Cuántas hay paralelas y de
la misma longitud que AB?
8.31 A) Desde un punto O que dista 29 cm del centro de una circunferencia de radio 20
cm se traza una tangente. Calcula la distancia de P al centro de tangencia. B) Trazamos
otra tangente desde otro punto Q, y al medir la distancia de Q al punto de tangencia
obtenemos 30 cm. ¿Cuál es la distancia de Q al centro de la circunferencia?
8.32 ¿Cuánto miden los ángulos P, Q y R si AOB es un ángulo recto?
8.33 El triángulo ABC es isósceles, AB=AC ¿Cuánto miden los ángulos de ese triángulo?
4. Perímetros y áreas de figuras geométricas
El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de todos sus lados.
La longitud de una circunferencia es la medida de su contorno.
El área de un polígono, es la superficie limitada por sus lados.
El área de un círculo es la superficie limitada por el contorno de la circunferencia.
En la tabla siguiente aparecen los perímetros y las áreas de las figuras geométricas
más utilizadas.
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PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Figura Geométrica
Perímetro
Triángulo
Área
P= a + b + c
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
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Figura Geométrica
Perímetro
Trapecio
Área
P=a+b+c+d
Circunferencia
r
Círculo
Sector Circular
Corona circular
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Ejercicios
8.34 Halla el área de las figuras coloreadas:
8.35 Halla el área de un segmento circular de 60º de amplitud en un círculo de 12 cm de
radio.
8.36 El área de una corona circular es 20  cm2, y la circunferencia interna mide 8 cm.
Calcula el radio de la circunferencia externa.
8.37 Una antena está sujeta por 4 tirantes de cable. El extremo superior de cada tirante
se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior está amarrado al suelo a
una distancia de 30 m de la base. ¿Cuántos metros de cable se han utilizado?
8.38 Halla el área de una fuente hexagonal cuyo lado mide 2 m y su apotema mide 3m.
8.39 Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares:
8.40 Halla el área de las siguientes figuras geométricas:
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Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA
8.41 Hala el perímetro y el área de las siguientes figuras:
8.42 Halla el área de las zonas sombreadas:
8.43 Observa las circunferencias y nombra los diferentes tipos de ángulos que hay en
cada caso.
8.44 ¿Qué longitud de arco le corresponde a un ángulo central de 45º en una
circunferencia de 12 cm de diámetro? Realiza el dibujo correspondiente.
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5 Soluciones de los ejercicios de la unidad
8.1 Un rayo láser, ¿qué elemento geométrico te sugiere? ¿Y un folio?
Una línea recta. Un plano.
8.2 ¿Es posible dibujar una línea recta en toda su extensión? ¿Y un plano?
No.
8.3 ¿Puedes dar ejemplos reales que te sugieran la idea de segmento rectilíneo?
Se trata de una pregunta con respuesta abierta y, por tanto, no se ofrece aquí su solución.
8.4 Dibuja los siguientes ángulos con un transportador: a) 30º; b) 45º; c) 160º; d) 180º
Para trazar ángulos con el transportador debemos seguir los siguientes pasos:
1º Se dibuja con la regla una semirrecta con origen en un punto O. Después
coloca el transportador de manera que su centro coincida con el punto O y la
semirrecta pase por 0. Busca con el transportador la medida del ángulo que
se quiere dibujar (30, 45, 160 y 180) y marca una rayita.
2º Dibuja una semirrecta con origen en el punto O que pase por la rayita
marcada.
8.5 Expresa en segundos:
(a) 12‟ y 30”=12·60+30=750‟‟
(b) 5º y 25‟=5·3600+25·60=19500‟‟
(c) 10º y 20‟ = 10·3600+20·60=37200‟‟
8.6 Completa la siguiente tabla:
Grados (º)
Minutos („)
Segundos (“)
32400:3600=9
32400:60=540
32.400
600:60=10
600
600·60=36000
3600:3600=1
3600:60=60
3.600
7200:3600=2
7200:60=120
7.200
300:60=5
300
300·60=18000
61200:3600=167
61200:60=1020
61.200
120:60=2
120
120·60=7200
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8.7 Dibuja con tu transportador un ángulo de 90º y expresa su medida en minutos y en
segundos.
90=90·60’=5.400’
90=90·3600’’=324.000’’
8.8 Un ángulo llano mide 180º. Expresa su amplitud en minutos y en segundos. Haz lo
mismo con un ángulo completo de 360º.
180=180·60’=10.800’
180=180·3600’’=648.000’’
360=360·60’=21.600’
360=360·3600’’=1.296.000’’
8.9 Efectúa las siguientes operaciones:
a) 15º 22‟ 30” + 8º 27‟ 41” = 23º 50‟ 11”
b) 1º 44‟ 11” + 5º 16‟ 9” = 7º 0‟ 20”
c) 2º 7‟ + 17º 49‟ 54” =19º 56‟ 54”
d) 5º + 67‟ = 5º +1º 7‟ =6º 7‟
8.10 Efectúa las siguientes operaciones:
a) 4º 11‟ 17” - 1º 16‟ 32” = 2º 55‟
b) 50º 43‟ - 3º 50‟ 9” = 46º 52‟ 51”
c) 77º - 14º 25‟ 6” = 62º 34‟ 54”
d) 35º 27‟ 42” – 7º = 28º 27‟ 42”
8.11 Efectúa las siguientes operaciones:
a) (12º 23‟ 4”) · 3 = 37º 9‟ 12”
b) (41º 10‟) · 4 = 164º 40‟
8.12 Efectúa las siguientes operaciones:
a) (305º 75‟ 85”): 5 = 61º 15‟ 17”
b) (120º 48‟): 2 = 60º 24‟
8.13 Calcula el complementario y el suplementario de 30º 28‟ 16”.
Complementario: 90 - 30º 28‟ 16”= 59º 31‟ 44”
Suplementario: 180 - 30º 28‟ 16”= 149º 31‟ 44”
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Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA
8.14 ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo de amplitud ¾ de un recto?
¿Cuánto mide su ángulo suplementario?
67º 30‟
Su suplementario: 180º-67º 30‟=112º 30‟
8.15 ¿Cuál es el complementario del ángulo diferencia de los de amplitud
?.
y
El complementario de un ángulo es lo que le falta para medir 90:
8.16 Comprueba haciendo uso del transportador, que la recta OP es la bisectriz del
ángulo de la figura. ¿Cuánto mide el ángulo? ¿Y cada uno de los ángulos formados por la
bisectriz?
El ángulo mide aproximadamente 51 . Cada uno de los ángulos formados por la
visectriz miden 21  aproximadamente.
8.17 Calcula la suma de todos los ángulos, la amplitud de uno de sus ángulos y la
amplitud del ángulo central de un decágono regular.
Un decágono regular tiene 10 lados iguales. Por tanto cada ángulo central vale:
En todo polígono regular, cada ángulo interior mide:
En nuestro caso n=10:
La suma de todos los ángulos será: 144·10= 1440
8.18 Calcula la medida del ángulo sin valor en las figuras:
Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180 :
a)
b)
c)
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CEPA de COSLADA: Fernando Moya
Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA
8.19 Dibuja las alturas del triángulo y señala cuál es el
ortocentro.
La altura de un triángulo es la perpendicular trazada desde un vértice hasta el
lado opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado
ortocentro.
8.20 Dibuja las medianas y señala el baricentro del triángulo.
Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del
lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto
llamado baricentro.
8.21 Dibuja un triángulo de lados 8 cm, 10 cm y 6 cm. Traza sus mediatrices, halla su
circuncentro y dibuja la circunferencia circunscrita.
Una mediatriz es la perpendicular trazada en el punto medio de un lado de un triángulo. Las tres mediatrices
de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. El circuncentro es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
El triángulo a dibujar es un triángulo rectángulo siendo 10 la medida de la hipotenusa (diámetro de la
circunferencia) y 8 y 6 centímetros respectivamente las medidas de los catetos.
8.22 Halla, dibujando sus alturas, el ortocentro de un triángulo acutángulo, de uno
obtusángulo y de uno rectángulo. Comprobarás que en el primero está dentro del
triángulo, en el segundo, fuera, y en el tercero, en el vértice del ángulo recto.
El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. Si el triángulo es acutángulo el
ortocentro está dentro del triángulo:
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Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA
Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro está fuera del triángulo:
Si el triángulo es rectángulo el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto:
8.23 Calcula el valor de hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 24
cm.
Por el teorema de Pitágoras la hipotesusa es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos:
8.24 Halla la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.
Para calcular la altura consideramos el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es uno de
los lados l del triángulo equilátero y sus catetos son, respectivamente, la mitad de otro
de los lados, l/2 y su altura h. Siendo, por tanto la altura uno de los catetos:
24
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8.25 Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 30 cm. Halla la longitud de su lado.
l
Para calcular la longitud de su lado, consideramos el triángulo rectángulo cuya hipotenusa
es uno de los lados l del rombo y sus catetos son, respectivamente, la mitad de sus
diagonales:
8.26 La altura de un trapecio isósceles mide 16 cm y sus bases, 5 dm y 3 dm. Halla la
longitud de los dos lados iguales, aproximando hasta los milímetros.
5 dm =50 cm
3 dm= 30 cm
Para calcular la longitud de los dos lados iguales, consideramos el
triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el lado a calcular l, y los
catetos son respectivamente, la altura (16 cm) y la mitad de la
diferencia entre sus bases: (50-30):2 = 10 cm:
8.27 una circunferencia tiene un radio
de 26 cm. Trazamos una recta a 10
centímetros de su centro. Halla la
longitud de la cuerda que determina
la recta en la circunferencia.
Consideramos el triángulo rectángulo formado
por la mitad de la cuerda x, la distancia del
centro a la cuerda (10 cm) y el radio (26 cm)
como se indica en la figura. La mitad de la
cuerda se puede calcular por el teorema de
Pitágoras:
Por tanto, la longitud de la cuerda es de
8.28 Halla el valor de los ángulos centrales de una circunferencia dividida en: a) 3 partes
iguales; b) 4 partes iguales; c) 5 partes iguales.
Como la medida del ángulo central es igual a la del arco y una circunferencia conmpleta mide 360, el valor de
los ángulos pedidos se obtienen dividiendo 360 entre 3, 4 y 5 respectivamente:
a) 360 : 3 = 120
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b) 360 : 4 = 90
c) 360 : 5 = 72
25
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8.29 Traza una circunferencia de 5 cm de radio y señala en ella un punto P.
A) ¿Cuántas cuerdas puedes trazar que tengan un extremo en P? ¿Cuánto mide la
longitud máxima?
Infinitas. La cuerda de longitud máxima corresponde al diámetro y mide 10 cm.
B) ¿Cuántas cuerdas hay que midan 5 cm y que
tengan un extremo en P? Halla la distancia de una
de esas cuerdas al centro de la circunferencia.
Dos, como se ve en el dibujo:
y
. Para calcular la
distancia d de una de ellas al centro de la circunferencia
utilizamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo
cuya hipotenusa es el radio (5 cm) y cuyos catetos son la
mitad de la cuerda (2,5 cm) y la distancia d qu8e
queremos calcular:
8.30 En una circunferencia de 15 cm de radio traza
una cuerda AB a 12 cm del centro.
A) ¿Cuál es la longitud de AB?
La longitud de
se calcula como en el problema
anterior, considerando el triángulo rectángulo cuya
hipotenusa es el radio, uin cateto es la mitad de la
cuerda que queremos calcular, y el otro cateto es la
distancia de la cuerda al centro:
Por tanto, la cuerda mide:
B) ¿Cuántas cuerdas de la misma longitud que AB
hay en esa circunferencia? ¿Cuántas hay que sean
paralelas a AB? ¿Cuántas hay paralelas y de la misma longitud que AB?
Se pueden trazar infinitas cuerdas tomando como A uno cualquiera de los infinitos puntos de la
circunferencia. Tambien hay infinitas paralelas de cualquier longitud. Sin embargo, paralelas de la misma
longitud solo hay una que será simétrica respecto del centro de la cilrcunferencia.
8.31 A) Desde un punto O que dista 29 cm del centro de una circunferencia de radio 20
cm se traza una tangente. Calcula la
distancia de P al centro de tangencia.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
B) Trazamos otra tangente desde otro
punto Q, y al medir la distancia de Q al
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Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA
punto de tangencia obtenemos 30 cm. ¿Cuál es la distancia de Q al centro de la
circunferencia?
Procedemos de la misma forma que en el apartado anterior solo que ahora el dato desconocido es la
distancia de Q al centro, es decir, la hipotenusa:
8.32 ¿Cuánto miden los ángulos
,
y
si
es un ángulo recto?
Se trata de ángulos inscritos y, por tanto, miden la mitad del arco
que abarcan. Tanto como y abarcan el mismo arco que
y
éste mide 90. Por tanto, , y miden:
8.33 El triángulo ABC es isósceles, AB=AC ¿Cuánto miden los ángulos de ese triángulo?
El ángulo
es inscrito y, por tanto, mide la mitad del arco que abarca:
Teniendo en cuenta que el triángulo es isósceles, los otros dos ángulos y
son iguales. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180 y
,
. Entonces:
8.34 Halla el área de las figuras coloreadas:
El área de un rombo es:
La diagonal menor es de 8 cm. La diagonal mayuor la calculamos utilizando el
teorema de Pitágoras:
Por tanto,
El área de un cuadrado es:
Pitágoras:
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. El lado lo calculamos utilizando el teorema de
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El área del trapecio:
. La altura la calculamos utilizando el teorema de
Pitágoras:
El área:
Se trata de un trapecio. Su altura se puede obtener mediante el teorema de
Pitágoras:
Esta figura se puede descomponer en dos triángulos con la base común
El área del triángulo superior:
El área del triángulo inferior:
El área de la figura:
Los dos triángulos blancos son iguales. El área de uno de ellos es:
El áre de los dos triángulos será el doble:
El área del cuadrado es:
El área de la figura sombreada en amarillo será la resta:
8.35 Halla el área de un segmento circular de 60º de amplitud en un
círculo de 12 cm de radio.
El área del segmento circular se obtiene restando el área del sector menos el
área del triángulo. El área del sector:
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La altura del triángulo, que es equilátero:
El área:
. El área del segmento circular es la resta de las dos áreas:
8.36 El área de una corona circular es 20  cm2, y la circunferencia interna mide 8 cm.
Calcula el radio de la circunferencia externa.
El área de una corona circular es:
Sustituyendo los datos:
. Efectuamos las operaciones indicadas:
8.37 Una antena está sujeta por 4 tirantes de cable. El extremo superior de cada tirante
se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior está amarrado al suelo a
una distancia de 30 m de la base. ¿Cuántos metros de cable se
han utilizado?
La longitud de uno de los cables se puede obtener mediante el teorema de
Pitágoras:
Como hay 4 tirantes de cable, se han utilizado
de cable.
8.38 Halla el área de una fuente hexagonal cuyo lado mide 2 m y su apotema mide 3m.
La superficie de un polígono regular es:
2m
El perímetro es igual a la longitud de un lado por el número de lados:
3m
El área será:
8.39 Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares:
El perímetro de un polígono regular es igual a la longitud de un lado por el número de lados:
a) 5·5 = 25 cm;
b) 7·3 = 21 cm;
c) 4·6 = 24 cm;
d) 8·4 = 32 cm
8.40 Halla el área de las siguientes figuras geométricas:
La figura está formada por tres rectángulos cuyas superficies son:
;
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;
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El área de la figura es la suma de las tres anteriores:
b) Esta figura se puede considerar que está formada por un
rombo, un paralelogramo, un cuadrado y un rectángulo.
Rombo:
;
Paralelogramo:
Cuadrado:
;
;
Rectángulo:
Área: 40 + 60 +40,96 +19,2 = 160,16 cm
2
c) Esta figura está formada por dos triángulos, dos
trapecios y un cuadrado:
Triángulo grade:
;
Triángulo pequeño:
Cuadrado:
;
;
Trapecio grande:
; Trapecio pequeño:
Área: 40 + 8 +16 +38 + 18 = 120 cm
2
8.41 Hala el perímetro y el área de las siguientes figuras:
a) Perímetro = 5 · 8 = 40 cm;
Área=
b) Perímetro = 12 · 8 = 96 cm; Área =
c) La altura del triángulo isósceles blanco inferior se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:
La altura de la figura es 7 + 7,1 = 14,1 cm. El perímetro es la suma de los lados: 10 + 10 + 14,1 + 14,1 + 14 =
62,2 cm
La figura está formada por dos trapecios rectángulos iguales cuya base mayor es 14,1 cm, la base menor es
de 7 cm y la altura es de 7 cm. Su área:
2
El área de la figura será el doble: S= 98,4 · 2 = 196,7 cm .
30
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8.42 Halla el área de las zonas sombreadas:
a) El área sombreada es igual al área del cuadrado menos la del círculo:
2
2
Área del cuadrado: 14 = 196 m ;
Área del círculo =
Área sombreada: 196 – 153,9 = 42,1 m
2
b) El área sombreada es igual al área del cuadrado menos la de la corona circular:
2
2
Área del cuadrado: 12 = 144 m ;
Área de la corona circular =
Área sombreada: 144 – 84,8 = 59,2 m
2
b) El área sombreada es igual al área del círculo menos la del cuadrado:
Área del círculo =
;
2
Área del cuadrado: Para calcular el lado utilizamos el teorema de Pitágoras: 2·l =9 l=
2
Por tanto, el área del cuadrado es: (2,1) = 4,5 cm
2
2
Área sombreada: 28,3 – 4,5 = 23,8 cm
8.43 Observa las circunferencias y nombra los diferentes tipos de ángulos que hay en
cada caso.
a)
ángulo exterior;
ángulo circunscrito;
b)
ángulo inscrito;
ángulo central;
ángulo interior
ángulo seminscrito
8.44 ¿Qué longitud de arco le corresponde a un ángulo central de 45º en una
circunferencia de 12 cm de diámetro? Realiza el dibujo correspondiente.
Como 45 es la cuarta parte de 360, la longitud de arco que le corresponde será la cuarta parte de la longitud
de la circunferencia.
Longitud de la circunferencia = 2πr = 12π
Por tanto, la longitud de arco correspondiente es de 12π : 4 = 3 π = 9,42 cm
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