SEMANA 1 ARITMETICA

SEMANA 1
⇒ B = {1; 4; 5; 6}
CONJUNTOS I
1.
Si: A = {φ;a;{a} ;{a,b} ;{φ}}
I.
Indicar las proposiciones que son
verdaderas.
I.
a⊂A
∧ {a, b} ⊂ A
II.
{φ} ∉ A
∨ {φ} ⊂ A
III.
φ⊂A
∧ φ∈A
II.
A) solo I
C) solo III
E) II y III
B) solo II
D) II y IV
(V)
III. ∃ x ∈ (A − B) / x² ∈ B
(V)
RPTA.: C
3.
III.
}
n ≤ 600
{
a⊂A
∧ {a, b} ⊂ A
F
F
{φ} ∉ A
{
Sea A = n ∈ Z+
Calcule la suma de elementos del
conjunto B; si
B = a+2 3 a ∈ A ∧ a∈ A
A = {φ;a;{a} ;{a,b} ;{φ}}
II.
∀ x ∈ (A − B)/2x + 5 < 8
(F)
RESOLUCIÓN
I.
∃ x ∈ A / x² − 5 > 4
A) 1000
D) 1424
V
φ⊂A
∧ φ∈A
V
V
B) 1296
E) 1528
C) 1312
RESOLUCIÓN
=F
{
A = n ∈ Z+
∨ {φ} ⊂ A
F
}

B = ( a + 2 )

=V
}
n ≤ 600 = {1,2,3, 4,5,...,600}
3

a ∈ A ∧ a ∈ A

a es cubo perfecto
⇒ a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³




B = (1³ + 2 ) ; (2³ + 2) ; (3³ + 2 );....; (8³ + 2 ) 


=V
2
 elementos   8 x 9 
∑
=
 + 2 (8)
 de B
  2 
I y III son verdaderas
= 1312
RPTA.: D
2.
Dados los conjuntos:
A = {x ∈ N 2x ≤ 13}
B = {x ∈ A
Nota: SN3
( x² − 2x ) ∉ A}
Indicar si es verdadero o falso, las
siguientes proposiciones.
 n (n + 1) 
=

2


2
RPTA.: C
I.
∃ x ∈ A / x² − 5 > 4
II. ∀ x ∈ (A − B) / 2x + 5 < 8
III. ∃ x ∈ (A − B) / x² ∈ B
Halle el cardinal del conjunto B e
indicar el número de subconjuntos
ternarios que tiene.
B = x ∈ Z+ ( x > 8 ) → ( x = 2 )
A) VVF
D) VFF


siendo :  p → q ≡∼ p ∨ q <> A′ ∪ B 


CONJUNTOS
LÓGICA


B) FVF
E) VVV
C) VFV
RESOLUCIÓN
A = {x ∈ N
2x ≤ 13}
B = {x ∈ A
( x² − 2x ) ∉ A}
⇒ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
x² − 2x = 0 ;−1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24
4.
{
}
´
A) 48
D) 56
B) 42
E) 45
C) 63
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
{
B = x∈Z
+
( x > 8) → ( x = 2)}
(x > 8) → (x = 2)
D = {(x² −1)∈Z / 0 < x ≤ 4}
0 < x ≤ 4 → 0 < x² ≤ 16
→ −1 <x² − 1≤ 15
∼ (x> 8) ∨ (x = 2)
D = {0; 1; 2; 3; ...;15} → n(D)= 16
⇒ x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
16
 #Subconjuntos 
16!
=

=C
2! (14!)
2
 Binarios de D 
⇒ n(B) = 8
8
 #Subconjuntos 
8!

= C =
3! 5!
3
 Ternarios de B 
=
15 x16
= 15 x 8
2
= 120
6x7x8
= 56
6
RPTA.: D
5.
=
RPTA.: E
7.
Dados los conjuntos unitarios
A = {a + b; a + 2b−3; 12} y
Si:
n [P(A)]= 128;
n [P(A∩B)] = 8
n[P(B)]= 32
y
Halle el cardinal de P(A∪B) sumado
con el cardinal de:
B = {xy ; yx ; 16};
halle el valor de (x + y + a² + b)
A) 81
D) 87
B) 92
E) 90

C = (3x + 1) ∈ Z+

C) 96
A) 521
D) 512
RESOLUCIÓN
A y B son unitarios:
*
*
B = {xy; yx; 16}
xy = yx = 24
→
x=2;y=4
Calcular
el
número
de
subconjuntos binaros del conjunto
D, si:
D = {(x² −1)∈Z / 0 < x ≤ 4}
A) 132
D) 124
B) 126
E) 120
*
C) 519
C) 105
nP(A) = 128 = 27 → n(A) = 7
nP(B) = 32 = 25 → n(B) = 5
nP(A∩B) = 8 = 23 → n(A∩B) = 3
⇒
n(A∪B) = 7 + 5 − 3 = 9
⇒
nP(A∪B) = 29 = 512
*
90
RPTA.: E
6.
B) 517
E) 520
5

3
RESOLUCIÓN
A = {a + b; a + 2b − 3; 12}
a+b
= 12
a + 2b − 3 = 12
a + 2b
= 15
como: a + b
= 12
b
=3 →a=9
∴ x + y + a² + b =
x<
5

C = (3x + 1) ∈ Z+ x < 
3

5
x<
3
5
x i 3 +1 < i 3+1
3
(3x + 1) < 6
C = {1; 2; 3; 4; 5}
n(C) = 5
∴ nP(A∪B) + n(C) = 517
RPTA.: B
10.
8.
Oscar compra 9 baldes de
pinturas de diferentes colores. Los
mezcla
en
igual
proporción.
¿Cuántos nuevos matices se
pueden obtener?
A) 512
D) 503
B) 246
E) 502
n(A) = 4P + 2
C) 247
Halle n(A∆B)
A) 14
D) 17
# de colores
=9
# de nuevos matices= 29 − 1 − 9
= 512 − 10
= 502
C) 18
n(C) = P + 1


 # subconjuntos 

 = 2P + 3
propios de C 




P+1
El
conjunto
A
tiene
200
subconjuntos
no
ternarios.
¿Cuántos subconjuntos quinarios
tendrá?
B) 56
E) 35
B) 16
E) 20
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
A) 64
D) 21
; n(B) = 3P + 6 y
n(A∩B) = 2P − 2
RESOLUCIÓN
9.
Si el conjunto “C” tiene (P + 1)
elementos
y
(2P
+
3)
subconjuntos propios; además:
2P + 1 − 1 = 2P + 3
P=2
Luego:
n(A) = 4(2) + 2 = 10
n(B) = 3(2) + 6 = 12
n(A∩B) = 2
C) 48
B = 12
A = 10
RESOLUCIÓN
Sea n(A)
=x
 Subconjuntos 
x
x

 = 2 − C3 = 200
 no ternarios 
8
n
x!
2 −
= 200
3! ( x − 3 )
(A∆B)
2
10
= 18
RPTA.: C
x
11.
2x −
( x − 2) ( x − 1) x
6
= 200
x=8
E = {x ∈Z+ / x < 10}
A = {x ∈ E x < 7}
Luego :
8
 #Subconjuntos 
8!

= C =
5 5! x 3!
 Quinarios

=
Sean los conjuntos A ⊂ E ; B ⊂ E
y C ⊂ E; E conjunto universal, tal
que:
8x7x6
= 56
6
RPTA.: B
´
A∪B
B∩C
B∪C
A∩C
=
=
=
=
{x ∈ E / x ≤ 9 ∧ x > 2}
{3}
{x ∈ E / x ≤ 7}
A ∩B ∩C = φ
´ ´ ´
Determinar n(A) + n(B) + n(C)
A) 9
D) 13
B) 12
E) 11
C) 10
RESOLUCIÓN
E={x∈Z+/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
13.
A = {x ∈ E / x < 7} = {1,2,3, 4,5,6}
´
*
*
*
⇒ A = {7, 8, 9}
De:
A ∩ C = A′ ∩ B′ ∩ C′ = ( A ∪ B ∪ C )′ = φ
A
B
C
´
A) 28−1
D) 212−1
B) 210−1
E) 213−1
C) 211−1
A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
RESOLUCIÓN
n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11
 # subconjuntos   # subconjuntos 

−
 = 993
de B

  propios de A 
Sean n(A) = x → n(B) = 2x
RPTA.: E
12.
A∩B=φ
n(B) = 2 . n(A)
B′ tiene 128 subconjuntos.
El número de subconjuntos de B
excede al número de subconjuntos
propios de A en 993.
¿Cuántos subconjuntos propios
tiene A ′ ?
.4
.1
.5
.7
.3 .2
.6
.8
.9
Sean A y B dos conjuntos finitos
tales que:
22x − (2x−1) = 993
Sean A, B y C tres conjuntos no
vacíos
que
cumplen
las
condiciones:
*
A⊂B∧B⊄A
*
si x ∈ C → x ∉ B
2x(2x−1) = 992 = 25 x 31
x=5
Luego:
Determinar el valor de verdad de
las siguientes proposiciones.
I)
A y B son disjuntos
II)
(A ∪ B) ⊂ C
III) C ⊂ (A ∆ B)
IV)
C ∉ (A ∪ B)
A) FVVF
D) VFVF
B) FFVV
E) FFFV
A=5
B = 10
10
5
2
C) FFFF
# subconjuntos de B ′ = 128 = 27
∴ # subconjuntos propios de A ′ = 212 − 1
RESOLUCIÓN
A⊂B∧B⊄A
x∈C→x∉B
Graficando las dos condiciones:
RPTA.: D
B
A
U
14.
C
Dados los conjuntos:
3x + 5


A = x ∈ N /
∈ N
4


x
x + 1

B=
∈ N / ∈ N
2
 2

C = {x ∈ N / 2x > 25}
I)
II)
III)
IV)
A y B son disjuntos
(A ⊂ B) ⊂ C
C ⊂ (A ∆ B)
C ∉ (A ∪ B)
(F)
(F)
(F)
(V)
RPTA.: E
´
Halle: n[(A∆B)∩ C ]
A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4
16.
3x + 5
4N − 5
=N→x =
4
3
Si A y B son dos conjuntos finitos,
tal
que,
el
número
de
subconjuntos de A y de B suman
320, los conjuntos A y B tienen 2
elementos comunes; determine
n(A∆B)
N = 2; 5; 8 ......
A) 14
D) 11
RESOLUCIÓN
*
3x + 5


A = x ∈ N /
∈ N
4


B) 13
E) 10
C) 12
X = 1; 5; 9 ......
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}
*
RESOLUCIÓN
320 = n(PA) + n (PB)
320 = 2n(A) + 2n(B)
320 = 26 + 28
Luego:
n(A) = 6
n(B) = 8
x
x + 1

B=
∈ N / ∈ N
2
 2

x +1
=
2
x
2
+
1
= No existe natural
2
⇒B=φ
*
4 22 6
C = {x ∈ N / 2x > 25}
C = {13, 14, 15, 16, 17, .....}
n(A∆B) ∩ C′ ⇒ A ∆ B (DIFERENCIA SIMÉTRICA)
n (A ∩ C′ ) = n(A − C)
= n {1, 5, 9}
=3
I.
II.
Para los conjuntos A, B
afirmamos:
y
C
´
´ ´
´( ´ )
IV.
Si A ⊂ B → B ⊂ A
V.
A ∪ B∩A =B∪A
´
´ ´
´
´
[B∩(C − A)] ∩ [A ∪ (B − C)] se
obtiene:
A) A
D) A ∪ C
´
A) todas
B) solo II y III
C) todas excepto V
D) solo II, III, IV y V
E) solo I, II y V
RESOLUCIÓN
Si A ⊂ B ⊂ C → C ′ ⊂ B′ ⊂ A ′
A ∩ A′ = φ
´
´ ´
´( ´ )
´ ´ ´
III.
( A − B)
IV.
Si A ⊂ B → B ⊂ A
V.
A ∪ B∩A =B∪A
´
B ⊂ A ; C∩B = φ
A ∩C =φ
= A ∪B
Son verdaderas:
I.
II.
Sean A, B y C conjuntos no vacíos
Al simplificar:
´ ´ ´
( A − B)
RPTA.: E
diferentes dos a dos, tales que:
Si A ⊂ B ⊂ C → C ⊂ B ⊂ A
A∩ A =φ
III.
⇒ n(A∆B) = 10
17.
RPTA.: B
15.
B
A
NATURAL
= A ∪B
(V)
(V)
(V)
(V)
´
(V)
RPTA.: A
B) B
E) φ
C) A ∪ B
19.
RESOLUCIÓN
B ⊂ A ; C ∩B = φ ; A ∩ C = φ
´
´ ´
´
En
el
gráfico,
las
zonas
sombreadas están representadas
por:
A
A ⊂ B ; C − B = φ; A − C = φ
B
C
Graficando
regiones:
y
enumerando
D
las
B
C
A
I)
II)
III)
1
2
3
A) solo I
C) solo I y II
E) todos
B ∩ ( C − A )  ∩  A ∪ (B − C ) 
∩
[2]
[A−(B−C)] ∪ [C ∩ D]
(A ∪ B) − (B − C)
[(A ∪ D) − C] ∩ [A − (B−C)]
B) solo II
D) solo II y III
RESOLUCIÓN
[1; 3] = φ
RPTA.: E
18.
A
Sean A y B dos conjuntos
cualesquiera, simplificar:
( A ∪ B ) ∩ {( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B )}
C
´ ´ ´
´)´
(
A) A ∩ B
C) A ∩ B
1
B) A ∩ B
D) A ∩ B
´
E) φ
Graficando los conjuntos A y B
B
2
1
2
3
47
D
5
6
RESOLUCIÓN
A
B
I)
[A−(B−C)] ∪ [C ∩ D]
[{1,2,3} − {2,6,5}] ∪ {7}
= {1,3,7}: si
II)
(A ∪ B) − (B − C)
{1,2,3,4,5,6,7} − {2,5,6} =
{1,3,4,7} no
III)
[(A ∪ D) − C] ∩ [A − (B−C)]
{1,2,5} ∩ {1,3} = {1} no
3
4


( A ∪ B ) ∩ ( A ∩ B′ ) ∪ ( A′ ∩ B ) 




(A − B)
´
(B−A)
{1,2,3} ∩ {2,3}
{1,2,3} ∩ {1, 4} = {1} = A ∩ B
´
RPTA.: A
RPTA.: A
20.
Dado 3 conjuntos A; B y C:
Si n(A) = m ; n(B) = m + r
n(C) = m + 2r ; además:
n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896
Se sabe además que A, B y C son
disjuntos.
Calcule n(A ∪ B ∪ C)
A) 16
D) 32
B) 22
E) 48
C) 24
RESOLUCIÓN
n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r
nP( A ) + nP(B) + nP(C ) = 896
2m + 2m+r + 2m+2r = 896
2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7
m=7
r=1
⇒
A
B
C
7
8
9
n(A ∪ B ∪ C) = 24
RPTA.: C