g - deeea - Universitat Rovira i Virgili

ESTRATEGIAS DE
CONTROL DIFUSO DEL
CONVERTIDOR BOOST
Alumno: Francisco J. Miguel Nicolau
Ponente: Enric Vidal Idiarte
ETI ELECTRÓNICA INDUSTRIAL
UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI
ESCOLA TÈCNICA SUPERIOR D’ENGINYERIA
Indice
1. OBJETIVOS ............................................................................................................ 1
2. ESTUDIO DEL CONVERTIDOR ELEVADOR BOOST ........................................... 5
1.1
Introducción ............................................................................................................................................... 7
2.1
Fuentes de alimentación reguladas ............................................................................................................. 7
2.2
Convertidores continua-continua................................................................................................................ 9
2.3
Fuentes conmutadas.................................................................................................................................... 9
2.3.1
Introducción...................................................................................................................................... 9
2.3.2
Hipótesis para el estudio del funcionamiento en régimen permanente y conducción continua....... 12
2.3.3
Topologías básicas.......................................................................................................................... 12
2.4
Convertidor elevador (Boost)................................................................................................................... 14
2.4.1
Planteamiento dinámico de las ecuaciones del sistema................................................................... 17
2.4.2
Promediación en el espacio estado. ................................................................................................ 19
2.4.3
Análisis en estado estacionario ....................................................................................................... 21
2.4.4
Análisis en pequeña señal. .............................................................................................................. 23
2.5
Calculo de la Funcion de transferencia..................................................................................................... 24
2.5.1
Función de transferencia Salida-Entrada........................................................................................ 24
2.5.2
Función de transferencia Tensión Salida-Control ........................................................................... 24
2.5.3
Funciones de transferencia.............................................................................................................. 25
2.6
Simulación del circuito............................................................................................................................. 27
2.6.1
Software de simulación ................................................................................................................... 27
2.6.2
Parámetros del sistema.................................................................................................................... 27
2.6.3
Comprobación del funcionamiento en régimen continuo................................................................ 28
2.6.4
Esquema del convertidor en Simulink®........................................................................................... 29
2.6.5
Respuesta del sistema ..................................................................................................................... 30
2.6.5.1
Influencia de la variación de la frecuencia en la señal de control .............................................. 30
2.6.5.2
Respuesta en régimen estacionario............................................................................................. 31
2.6.5.3
Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación .................................................... 32
2.6.5.4
Respuesta ante perturbaciones en la carga ................................................................................. 33
2.7
Modelo con pérdidas del convertidor elevador ........................................................................................ 35
2.7.1
Modelo con pérdidas....................................................................................................................... 35
2.7.1.1
Interruptores............................................................................................................................... 35
2.7.1.2
Condensador .............................................................................................................................. 35
2.7.1.3
Inductor ...................................................................................................................................... 35
2.7.2
Calculo de las ecuaciones del sistema............................................................................................. 36
2.7.3
Promediación de las ecuaciones de estado...................................................................................... 38
2.7.4
Análisis en estado estacionario ....................................................................................................... 39
2.8
Calculo de la Funcion de transferencia..................................................................................................... 39
2.8.1
Función de transferencia Variables de estado-Entrada. ................................................................. 39
2.8.2
Función de transferencia Variables de estado-Control.................................................................... 40
2.8.3
Función de transferencia de la Salida-Entrada................................................................................ 41
2.8.4
Función de transferencia Salida-Control......................................................................................... 42
2.8.5
Función de transferencia de la salida .............................................................................................. 43
2.9
Influencia de las pérdidas en el modelo del convertidor .......................................................................... 44
2.9.1
Influencia en la respuesta del sistema ............................................................................................. 44
2.9.2
Efecto sobre el ciclo de trabajo....................................................................................................... 45
2.10
Simulación del circuito............................................................................................................................. 46
2.10.1
Esquema del convertidor con pérdidas en Simulink® ..................................................................... 46
2.10.2
Influencia de la variación de la frecuencia en la señal de control ................................................... 47
Índice
2.10.3
Respuesta en régimen estacionario ................................................................................................. 48
2.10.4
Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación ......................................................... 49
2.10.5
Respuesta ante perturbaciones en la carga...................................................................................... 49
2.11
Conclusiones ............................................................................................................................................ 51
3. CONTROL EN MODO DESLIZAMIENTO............................................................. 53
3.1
Control del convertidor Boost .................................................................................................................. 55
3.1.1
Control por realimentación de la tensión de salida ......................................................................... 55
3.1.2
Control por realimentación de tensión con red compensadora ....................................................... 56
3.1.3
Control por linealización entrada-salida ......................................................................................... 56
3.2
control en modo deslizamiento................................................................................................................. 57
3.2.1
Fundamentos................................................................................................................................... 57
3.2.2
Bases del control en modo deslizamiento ....................................................................................... 58
3.2.3
Sistema de estructura variable ........................................................................................................ 59
3.2.4
Descripción mediante la dinámica de errores del sistema............................................................... 60
3.2.5
Descripción mediante análisis vectorial.......................................................................................... 62
3.2.5.1
Definición del gradiente de una superficie................................................................................. 62
3.2.6
Modelización matemática del sistema ............................................................................................ 63
3.2.7
Condiciones para la existencia del modo deslizamiento ................................................................. 63
3.2.8
Definición del modo de deslizamiento............................................................................................ 64
3.2.9
Condición de invarianza. Dinámica ideal de deslizamiento............................................................ 64
3.2.10
Condición de existencia .................................................................................................................. 66
3.2.11
Regiones de deslizamiento.............................................................................................................. 67
3.2.12
Punto de equilibrio.......................................................................................................................... 67
3.2.13
Estabilidad del punto de equilibrio ................................................................................................. 68
3.3
Estudio sistemático de las estrategias de control...................................................................................... 68
3.4
Modelización matemática del sistema ...................................................................................................... 69
3.5
Superficies de deslizamiento .................................................................................................................... 70
3.5.1
Superficie de una variable S(x)=v-K=0 .......................................................................................... 70
3.5.2
Superficie de una variable S(x)=i-K=0 ........................................................................................... 72
3.5.2.1
Simulación del circuito .............................................................................................................. 75
3.5.3
Superficie de dos variables S ( x ) = i − K 2 ⋅ (Vref − v ) .................................................................. 80
3.5.3.1
Estudio del circuito en el dominio de la transformada de Laplace............................................. 85
3.5.3.2
Sistemas de fase mínima y de fase no mínima ........................................................................... 87
3.5.3.3
Cálculo de la función de transferencia del convertidor .............................................................. 90
3.5.3.4
Simulación del circuito .............................................................................................................. 93
3.5.3.5
Estudio de la estabilidad del sistema con la introducción de K3 ................................................ 96
3.5.3.6
Simulación del sistema con la variable K3 ................................................................................. 97
3.5.4
Superficie de dos variables S(x)=i-K2*error-K3, usando el modelo real....................................... 101
3.5.4.1
Estudio del circuito en el dominio de la transformada de Laplace........................................... 101
3.5.4.2
Cálculo de la función de transferencia del convertidor ............................................................ 102
3.5.4.3
Simulación del sistema............................................................................................................. 105
3.6
Conclusiones .......................................................................................................................................... 110
4. CONTROL CON LÓGICA DIFUSA..................................................................... 111
4.1
Introducción ........................................................................................................................................... 113
4.2
Teoria de los grupos difusos frente a la provabilidad............................................................................. 114
4.3
Tipos de grupos...................................................................................................................................... 114
4.4
propiedades de la lógica difusa .............................................................................................................. 114
4.5
funciones de pertenencia ........................................................................................................................ 115
4.5.1
Representación de las funciones de pertenencia ........................................................................... 115
4.5.1.1
Representación mediante una relación binaria ......................................................................... 115
4.5.1.2
Representación mediante una ecuación.................................................................................... 115
4.5.1.3
Representación mediante una gráfica....................................................................................... 116
4.5.1.4
Representación mediante notación matricial............................................................................ 116
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4.5.2
Funciones de pertenencia estandarizadas...................................................................................... 116
4.6
variables lingüísticas (vl)........................................................................................................................ 118
4.6.1
Puntos notables de una Variable Lingüística ................................................................................ 119
Valor de pico.............................................................................................................................................. 119
Ancho izquierdo y derecho ........................................................................................................................ 119
4.6.2
Puntos de corte de las FdP ............................................................................................................ 119
4.6.2.1
Influencia del punto de corte.................................................................................................... 119
4.6.2.2
Influencia de la simetría y el ancho .......................................................................................... 120
4.6.3
Influencia del ruido ....................................................................................................................... 123
4.6.4
Influencia de los dominios discretos ............................................................................................. 124
4.7
estructura del controlador difuso ............................................................................................................ 125
4.7.1
Esquema de bloques...................................................................................................................... 125
4.7.2
Directrices..................................................................................................................................... 125
4.7.2.1
Ajuste de las reglas .................................................................................................................. 126
4.7.2.2
Comparación de los controles difusos con controles PID ........................................................ 126
4.7.2.3
Elección del conjunto de términos ........................................................................................... 127
4.7.3
Módulo de conversión a lógica difusa .......................................................................................... 128
4.7.3.1
Conversión de los datos a lógica difusa ................................................................................... 128
4.7.4
Motor de actuación ....................................................................................................................... 129
4.7.4.1
Representación de una única regla ........................................................................................... 129
4.7.4.2
Representación de un conjunto de reglas ................................................................................. 129
4.7.4.3
Representación de los valores de entrada................................................................................. 130
4.7.4.4
Representación del antecedente ............................................................................................... 130
4.7.4.5
Inferencia con el conjunto de reglas......................................................................................... 130
4.7.5
Lógica del sistema. Memoria de datos.......................................................................................... 130
4.7.5.1
Elección de las funciones de pertenencia ................................................................................. 131
4.7.5.2
Elección de los factores de escalado: ....................................................................................... 132
4.7.6
Modulo de conversión a lógica convencional ............................................................................... 133
4.7.6.1
Elección del método de conversión difuso-convencional ........................................................ 133
4.7.6.2
.Centro del área / centro de gravedad (CdG)............................................................................ 133
4.7.6.3
Centro de sumas (CdS)............................................................................................................. 134
4.7.6.4
Centro de la mayor área (CMA)............................................................................................... 135
4.7.6.5
Primero del máximo ................................................................................................................. 135
4.7.6.6
Medio del máximo ................................................................................................................... 136
4.7.6.7
Altura ....................................................................................................................................... 136
4.7.6.8
Sistemas Sugeno....................................................................................................................... 137
4.8
Diseño del control .................................................................................................................................. 138
4.8.1
Elección de las variables de entrada y salida ................................................................................ 138
4.8.2
Escalado y elección de las funciones de pertenencia .................................................................... 138
4.8.3
Ajuste de las reglas ....................................................................................................................... 140
4.9
Implementación del control difuso mediante un ordenador.................................................................... 142
4.9.1
Conversión analógico-digital y digital-analógico de las señales ................................................... 142
4.9.1.1
Muestreo de la señal................................................................................................................. 143
4.9.1.2
Filtrado de la señal ................................................................................................................... 144
4.9.1.3
Reconstrucción de la señal ....................................................................................................... 145
4.9.2
Discretización de las variables del circuito................................................................................... 146
4.10
Simulación del circuito........................................................................................................................... 148
4.10.1
Respuesta del sistema mediante un control con lógica borrosa..................................................... 150
4.10.2
Respuesta del sistema en estado estacionario ............................................................................... 150
4.10.3
Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación ....................................................... 151
4.10.4
Respuesta ante perturbaciones en la carga .................................................................................... 152
4.10.5
Respuesta ante variaciones de la señal de referencia .................................................................... 154
4.11
Simulación del convertidor con pérdidas ............................................................................................... 155
4.11.1
Respuesta del sistema con pérdidas .............................................................................................. 156
4.11.2
Respuesta del sistema en estado estacionario ............................................................................... 157
Índice
4.11.3
Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación ....................................................... 157
4.11.4
Respuesta ante perturbaciones en la carga.................................................................................... 158
4.11.5
Respuesta ante variaciones de la señal de referencia .................................................................... 160
4.12
Conclusiones .......................................................................................................................................... 161
5. CONTROL ADAPTATIVO ................................................................................... 163
5.1
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 165
5.2
CONTROLES ADAPTATIVOS CON MODELO DE REFERENCIA (MRAC) ................................. 168
5.2.1
INTRODUCCIÓN........................................................................................................................ 168
5.2.2
DISEÑO DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS ................................................................. 168
5.2.2.1
Método del Gradiente .............................................................................................................. 169
5.2.2.2
Método de Lyapunov ............................................................................................................... 170
5.2.2.3
Método de hiperestabilidad...................................................................................................... 171
5.2.3
Estructura general ......................................................................................................................... 172
5.3
REGULADORES AUTOAJUSTABLES (STR) ................................................................................... 174
5.4
. ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS............................................................. 175
5.4.1
Introducción.................................................................................................................................. 175
5.4.2
Modelo del sistema y de las perturbaciones.................................................................................. 176
5.4.2.1
Método de mínimos cuadrados ................................................................................................ 177
5.4.2.2
Método recursivo ..................................................................................................................... 179
5.4.2.3
Método de variable instrumental.............................................................................................. 180
5.4.2.4
Método de la máxima verosimilitud......................................................................................... 180
5.4.3
CONSIDERACIONES DEL ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN......................................... 180
5.4.3.1
Factor de olvido ....................................................................................................................... 181
5.4.3.2
Suma de una matriz positiva .................................................................................................... 181
5.4.3.3
Problemas y soluciones que presenta el factor de olvido ......................................................... 181
5.5
Implementación del método del gradiente.............................................................................................. 183
5.5.1
Introducción.................................................................................................................................. 183
5.5.2
Función de transferencia del sistema ............................................................................................ 183
5.5.3
Modelo de referencia .................................................................................................................... 184
5.5.4
Calculo de la función ∆K2 ............................................................................................................ 185
5.5.5
Simulación del circuito ................................................................................................................. 186
5.5.5.1
Respuesta del sistema............................................................................................................... 187
5.6
Control adaptativo con eliminación del error estacionario..................................................................... 188
5.6.1
Diseño del controlador.................................................................................................................. 188
5.6.2
Simulación del control .................................................................................................................. 189
5.6.2.1
Implementación del control...................................................................................................... 189
5.6.2.2
Respuesta del sistema............................................................................................................... 189
5.6.2.3
Respuesta del sistema en estado estacionario........................................................................... 190
5.6.2.4
Respuesta ante perturbaciones de la tensión de alimentación .................................................. 191
5.6.2.5
Respuesta del sistema ante perturbaciones de la carga ............................................................ 192
5.6.2.6
Respuesta del sistema ante variaciones de la señal de referencia............................................. 194
5.6.3
Función de transferencia del modelo con pérdidas ....................................................................... 195
5.6.4
Simulación del control utilizando el modelo con pérdidas ........................................................... 195
5.6.4.1
Respuesta del sistema............................................................................................................... 195
5.6.4.2
Respuesta del sistema en estado estacionario........................................................................... 196
5.6.4.3
Respuesta ante perturbaciones de la tensión de alimentación .................................................. 196
5.6.4.4
Respuesta ante perturbaciones de la carga ............................................................................... 198
5.6.4.5
Respuesta ante variaciones de la tensión de referencia ............................................................ 200
5.7
implementación del método de lyapunov ............................................................................................... 201
5.7.1
Introducción.................................................................................................................................. 201
5.7.2
Cálculo de la función de Lyapunov .............................................................................................. 201
5.7.3
Simulación del control .................................................................................................................. 203
5.7.3.1
Implementación del control...................................................................................................... 203
5.7.3.2
Respuesta del sistema............................................................................................................... 204
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5.8
5.7.3.3
Respuesta en régimen estacionario........................................................................................... 204
5.7.3.4
Respuesta ante una perturbación de la tensión de alimentación ............................................... 205
5.7.3.5
Respuesta ante una perturbación de carga................................................................................ 206
5.7.3.6
Respuesta ante una variación de la tensión de referencia......................................................... 208
Conclusiones .......................................................................................................................................... 209
6. CONCLUSIONES ................................................................................................ 211
7. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................... 213
1. OBJETIVOS
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OBJETIVOS
La mayoría de los equipos electrónicos necesitan estar alimentados mediante tensiones
continuas. Aunque en algunos equipos portátiles y de bajo consumo, se utilizan pilas o
baterías, éstas presentan el inconveniente de su rápido agotamiento y de su elevado coste. Por
lo tanto , se impone la necesidad de utilizar fuentes primarias de energía, dependientes de la
tensión alterna de la red.
Mediante la utilización de un convertidor continua-continua se puede obtener la tensión
deseada a partir de una alimentación c.c. dada. La misión del convertidor será entregar una
señal continua ya regulada, manteniéndola constante, a pesar de variaciones de la tensión
media a la entrada o de la corriente de carga.
Uno de los convertidores más versátiles es el convertidor elevador Boost, que permite
obtener tensiones de salida superiores a la de entrada.
El objetivo del proyecto es el estudio del comportamiento del convertidor elevador
Boost, y la robustez del sistema utilizando diferentes controles. Con este fin se presentarán los
fundamentos teóricos del convertidor analizándolo en lazo abierto y se comparará con los
resultados obtenidos mediante la implementación del control. Se simulará un control en modo
deslizamiento, un control híbrido difuso deslizante y finalmente un algoritmo adaptativo.
3
2. ESTUDIO DEL
CONVERTIDOR ELEVADOR
BOOST
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1.1
INTRODUCCIÓN
La obtención de fuentes primarias de energía, dependientes de la tensión alterna de la
red se consiguen mediante sistemas electrónicos que transformen la energía alterna, de
características de tensión y de frecuencia fijas, en tensiones continuas, cuya magnitud debe
variar según la necesidad de cada aplicación.
Estos sistemas electrónicos, reciben el nombre de fuentes de alimentación y su
complejidad depende de los requisitos impuestos por el equipo al cual deben alimentar.
Actualmente, estos sistemas se dividen en dos grandes bloques:
•
Sistemas de alimentación convencionales o lineales
Son fuentes de alimentación sin control compuestas por los bloques: transformador-
rectificador-filtro-estabilizador zenner
•
Sistemas de alimentación regulados
Son aquellas que mantienen constante su tensión (o corriente) de salida, mediante la
utilización de sistemas de control de realimentación negativa. Estos sistemas, detectan de
forma instantánea las posibles variaciones de la señal de salida y efectúan su corrección de
forma automática.
2.1
FUENTES DE ALIMENTACIÓN REGULADAS
La señal de salida del sistema es muestreada y comparada con la tensión del elemento
de referencia, de forma que las diferencias existentes entre ambos elementos, una vez
amplificadas, actúan sobre el elemento del control, provocando una mayor o menor
conducción de este, que variará su tensión en Bornes hasta conseguir que la tensión de salida
alcance de nuevo su valor nominal.
Un regulador serie como el de la figura 2.1 mejora notablemente las características de
los sistemas no controlados, pero presentan el inconveniente de su bajo rendimiento, ya que en
la práctica éste no suele superar el 40%. Su mayor desventaja, es la disipación de potencia del
transistor de salida. Cuando la corriente de carga se incrementa, el transistor de salida debe
disipar más potencia, lo que implica un aumento del volumen de los componentes y de los
disipadores de los reguladores.
7
2. Estudio del convertidor Boost
Fig 3.1.- Regulador serie
Una forma de reducir la disipación de potencia del transistor de salida es utilizar un
regulador conmutado, como el de la figura 2.2. Este tipo de regulador lleva el transistor de
salida de corte a saturación alternativamente, evitando que este funcione en la zona activa o
lineal. Por ello la disipación de potencia es mucho menor que en circuito anterior. Los
reguladores conmutados pueden suministrar grandes corrientes de carga a bajas tensiones.
Fig 3.2.- Regulador conmutado
8
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2.2
CONVERTIDORES CONTINUA-CONTINUA
Un convertidor de corriente continua a corriente continua (cc-cc) cuya misión es tomar
intervalos (conducción-bloqueo) de la señal continua presente en su entrada y, una vez
eliminado su carácter pulsante, entregar a la salida otra señal continua ya regulada,
manteniéndola constante, a pesar de variaciones de la tensión media a la entrada o de la
corriente en la carga.
Sus aplicaciones son principalmente las dos siguientes:
Alimentación de motores en corriente continua, cuya regulación requiere tensiones
continuas variables según sus parámetros de funcionamiento.
Fuentes de alimentación conmutadas, en las que se consigue un importante aumento
del rendimiento y una buena respuesta dinámica. Es creciente su uso en pequeñas y grandes
potencias
2.3
FUENTES CONMUTADAS.
2.3.1 Introducción
Las fuentes conmutadas tienen un especial interés ya que nos permiten disponer de
diversas tensiones a partir de una única fuente de energía monofásica, con una única tensión
nominal fija.
El convertidor conmutado contínua-contínua es un sistema formado por dos
subestructuras principales. La primera corresponde a la lógica de conmutación compuesta por
los conmutadores, que actúa conectando y desconectando los lazos eléctricos, por
consiguiente, dictando temporalmente la dinámica del sistema. La segunda subestructura está
formada por los elementos almacenadores de energía que en estos sistemas son inductores
(acoplados o no) y condensadores que idealmente no disipan energía. Estos elementos actúan
temporalmente como intermediarios energéticos, para lograr la transferencia de energía entre la
entrada y la salida del convertidor.
9
2. Estudio del convertidor Boost
Fig 3.3.- Convertidor cc/cc con PWM
Este tipo de fuentes ofrece las siguientes ventajas respecto a las fuentes de alimentación
lineales:
a) Rendimientos entre el 60% y el 90%, que mejora considerablemente el rendimiento de las
fuentes lineales suele estar alrededor del 40%.
b) Pequeñas dimensiones; tanto menor como mayor sea la frecuencia de conmutación. En la
actualidad los componentes que existen en el mercado nos permiten un rango comprendido
entre 100 Khz. y 1 MHz.
Pero como es lógico, también aparecen ciertos inconvenientes:
a) La generación de interferencia electromagnéticas (EMI), emitidas tanto por conducción
como por radiación.
b) El aumento de las pérdidas de conmutación y en los núcleos cuando crece la frecuencia de
conmutación. Si la frecuencia de conmutación es muy alta, es difícil producir una onda
cuadrada con los lados verticales.
10
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V
Vc
Vr
Vg
t
0
DT
T
t
Fig 3.4.- Periodo de conmutación del PWM
En un convertidor cc/cc con PWM con periodo de conmutación constante, aparecen
dos modos de funcionamiento:
Modo ON durante ton y modo OFF durante toff.
t on = D ⋅ T
( 2.1 )
t off = (1 − D )⋅ T
( 2.2 )
D=
t on
T
( 2.3 )
La T es el periodo total, suma de los dos subperiodos ton y toff y D es el “duty cicle” o
ciclo de trabajo que es el tanto por uno que representa la zona de conducción del transistor. La
variable D representa la relación de tiempo que está en ON respecto al periodo completo.
Las variables que aparecen en la figura 2.3 son:
VC
Tensión de error
Vref
Tensión de referencia
ton
Tiempo en que el interruptor está en on
toff
Tiempo en que el interruptor está en off
11
2. Estudio del convertidor Boost
2.3.2 Hipótesis para el estudio del funcionamiento en régimen permanente y
conducción continua.
Los convertidores básicos están constituidos por una bobina y un condensador, siendo
las variables de estado, la tensión del condensador VC y la corriente en la bobina iL.
El rizado de corriente en la bobina, y el rizado de tensión en el condensador
condicionarán la dimensión de la bobina L y del condensador C respectivamente.
Para el cálculo de las diferentes magnitudes se utilizarán las siguientes propiedades
físicas:
La tensión media en bornes de la bobina es nula, en régimen permanente.
La corriente media en bornes de un condensador es nula, en régimen permanente.
Se considera que la potencia de entrada es igual a la potencia de salida, es decir, se
despreciarán en el análisis las pérdidas, ya que estas pérdidas son un efecto secundario.
Se suelen utilizar interruptores monodireccionales en corriente, en estos casos puede
aparecer un tercer modo de funcionamiento llamado discontinuo. Si los interruptores fueran
bidireccionales en corriente no se correría el peligro de entrar en régimen discontinuo. Este
modo de funcionamiento consiste en que la corriente iL se anula entre los dos periodos de
conducción, llegando a ser la Vc muy dependiente de iL.
2.3.3 Topologías básicas.
Las configuraciones básicas de los convertidores conmutados son tres. En primer lugar
está la versión reductora (Buck) que se observa en la figura 2.5.
Los pulsos rectangulares de la base saturan y cortan alternativamente el transistor de
salida durante cada ciclo. De este modo se produce una señal cuadrada en la entrada del filtro
LC. Este filtro bloquea la componente alterna, pero permite el paso de la componente continua
hacia la salida. A causa de la conmutación corte conducción, el valor medio es siempre menor
que la tensión continua de entrada.
12
Vc = Vg ⋅ D
( 2.4 )
Vc < Vg
( 2.5 )
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Fig 3.5.- Convertidor conmutado reductor
La figura 2.6 muestra la versión elevadora (Boost) del convertidor conmutado. De
nuevo, el transistor se satura y corta alternativamente. Cuando el transistor está saturado, la
corriente circula por la bobina. Cuando el transistor se corta de repente, el campo magnético
inducido en la bobina se colapsa e induce una gran tensión a través del núcleo con polaridad
opuesta. Esta situación mantiene circulando la corriente en la misma dirección. Por otro lado,
la tensión inductiva de realimentación es mayor que la tensión de entrada.
Vc =
Vg
1− D
Vc > Vg
( 2.6 )
( 2.7 )
Fig 3.6.- Convertidor conmutado elevador
La tercera configuración, representada por la figura 2.7, es la que corresponde al
reductor-elevador (Buck-Boost). Cuando el transistor está saturado, la corriente circula a través
de la bobina. Cuando el transistor entra en la zona de corte, el campo magnético se colapsa y
mantiene la corriente circulando en la misma dirección. Como el transistor está cortado, el
único camino posible es a través del condensador. La tensión de salida es negativa.
13
2. Estudio del convertidor Boost
Vc
D
=
Vg 1 − D
D ≥ 0.5
→
Vc > Vg
D ≤ 0.5
→
Vc < Vg
( 2.8 )
( 2.9 )
Fig 3.7.- Convertidor conmutado reductor elevador
2.4
CONVERTIDOR ELEVADOR (BOOST)
En este tipo de convertidor, la tensión de salida es mayor que la tensión de entrada y el
circuito básico es el siguiente
Fig 3.8.- Convertidor Boost
Si se excita el transistor con una señal cuadrada como la de la figura 2.9, el circuito de
este convertidor se puede descomponer en dos tipologías o modos de conducción.
Fig 3.9.- Señal de control del convertidor u(t)
14
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El primer modo empieza cuando el transistor Q está activado en t=0. La corriente a la
entrada crece y fluye a través de la inductancia L y el transistor Q; su esquema es el siguiente:
Fig 3.10.- Convertidor Boost en modo ON
Este intervalo, 0<t<D∙T , pertenece al modo TON
i S = i L1
di L V S
=
dt
L
i L = I1 +
VS
L
( 2.10 )
( 2.11 )
( 2.12 )
El segundo modo empieza cuando Q está en corte en t=t1. La corriente que estaba
pasando a través de Q, ahora pasará a través de L, C, la carga y el diodo D.
Fig 3.11.- Convertidor Boost en modo OFF
La corriente en el inductor cae hasta que el transistor Q esta activado otra vez en el
siguiente ciclo. La energía que se había almacenado en la inductancia L en este ciclo es
transferida a la carga.
15
2. Estudio del convertidor Boost
V − VS
di L
=− 0
dt
L
iL = I 2 −
( 2.13 )
V0 − V S
⋅t
L
( 2.14 )
Como la tensión media en bornes de una bobina es nula, entonces, teniendo en cuenta
la figura 2.8, se medirá la tensión en la bobina durante el modo ON y se le restará el valor de la
tensión en la bobina durante el modo OFF.
V S ⋅ D ⋅ T − (V0 − V S ) ⋅ (1 − D ) ⋅ T = 0
( 2.15 )
Vo
1
=
VS 1 − D
( 2.16 )
luego
V0 > V S ,
para
D →1
D→0
⇒
⇒
V0
→∞
VS
V0
→1
VS
( 2.17 )
( 2.18 )
y teniendo en cuenta que las pérdidas de potencia se desprecian, queda:
Pe = P0
( 2.19 )
V S I S = V0 I 0
( 2.20 )
I 0 = (1 − D ) ⋅ I S
( 2.21 )
Un regulador Boost puede aumentar la tensión de salida sin un transformador. La
corriente de entrada es continua. Sin embargo, un gran pico de corriente tiene que pasar a
través de un transistor de potencia. La tensión de salida es muy sensible a los cambios en el
ciclo de conducción D y puede ser difícil estabilizar el regulador.
16
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2.4.1 Planteamiento dinámico de las ecuaciones del sistema.
En el circuito del convertidor se define el siguiente vector de estado, el cual está
formado por el mínimo número de variables linealmente independientes (variables de estado)
que permiten describir completamente el funcionamiento del circuito:
Estas variables serán la corriente en el inductor y la tensión en el condensador tal y
como se expresa a continuación:
i 
x= 
v 
 di 
 dt 
x! =  
 dv 
 dt 
( 2.22 )
La salida del circuito corresponde a la tensión en la resistencia de carga y la entrada es
la fuente de alimentación Vg.
u = [Vg ]
y = [Vo ]
( 2.23 )
El sistema se excita con una señal cuadrada u(t), de ciclo de trabajo D (fig. 2.9).
Si en el periodo enésimo el funcionamiento se ha alcanzado el régimen estacionario, se
llamará t1n al comienzo del modo ON, τ=dt será el tiempo de duración de dicha topología y
t1n=t1n+τ el comienzo del modo OFF.
Se describe el sistema de la siguiente forma:
x! = A1 ⋅ x + B1 ⋅ u
x! = A2 ⋅ x + B2 ⋅ u
y = C1 ⋅ x + D1
para u(t)=1
y = C 2 ⋅ x + D2
para u(t)=0
( 2.24 )
Tal y como se había enunciado en el apartado anterior el circuito se puede
descomponer en dos subcircuitos, según su comportamiento para u(t)=1 y u(t)=0.
Para u(t)=1 se obtiene el siguiente circuito:
Fig 3.12.- Circuito equivalente del Boost para u(t)=1
17
2. Estudio del convertidor Boost
del que obtenemos las siguientes matrices:




−V
dv
dv iL
−V 
R
iL = C
⇒
= =
=
dt
dt C
C
R ⋅ C 
i  0
Vo = v ⇒ Vo = [0 1]   +  
v  0 
Vg = L
di
di Vg
⇒ =
dt
dt
L
x!=A1 ⋅ x+B1
y = C1 ⋅ x + D1
 di 
0   i  Vg 
 dt  0
   +  L
 dv  = 0 − 1
R ⋅ C  v   0 
  
 dt 
0 
0
A1= − 1

0
R ⋅ C 

( 2.25 )
1 
B1= L 
 0 
C1 = [0 1]
0 
D1 =  
0 
Y para u(t)=0 se obtiene el circuito siguiente:
Fig 3.13.- Circuito equivalente del Boost para u(t)=0
a partir del cual se calculan las siguientes matrices:
Vg = VL + V = L
di
di
di Vg V
+ V ⇒ L = Vg − V ⇒ =
−
dt
dt
dt
L L

iC = i − iL 

dv 
dv
V
dv i
V
iC = C  C
=i− ⇒
= −
dt 
dt
R
dt C R ⋅ C
V 
iL =
R 
18
( 2.26 )
( 2.27 )
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di Vg V 
=
−
dt
L L 

dv i
V 
= −
dt C R ⋅ C 
 0
A2 = 
 1C
 di 
 dt   0
 dv  =  1
   C
 dt 
−1

L 
−1
R ⋅ C 
C2 = [0 1]
−1

Vg 
L  i  +  L
v
−1
R ⋅ C     0 
( 2.28 )
1 
B 2=  L 
 0 
( 2.29 )
0 
D2 =  
0 
( 2.30 )
2.4.2 Promediación en el espacio estado.
Una vez descrito el funcionamiento del convertidor por medio de dos sistemas
diferentes de ecuaciones, se introducirá la técnica de promediación en el espacio estado.
Gracias a esta técnica podrá describirse el circuito en un único sistema de ecuaciones. Así se
enunciará el comportamiento de las variables de manera aproximada durante todo el periodo
de conmutación.
En un sistema de ejes de coordenadas, va a representarse gráficamente (2.31) y (2.34),
suponiendo el comportamiento lineal de las variables de estado es posible trazar un segmento
promedio que una el principio y el final de cada intervalo.
Fig 3.14.- Promediación de un periodo
19
2. Estudio del convertidor Boost
Para el cálculo de las matrices A y B se utiliza cada uno de los dos modos en el
intervalo enésimo y las siguientes aproximaciones para las derivadas x! .
(
) ( )
x t1n + τ − x t1n
= A1 ⋅ x + B1 ⋅ V g
τ
x t n + T − τ − x t1n
x! = 1
= A2 ⋅ x + B2 ⋅ V g
(T − τ )
x! =
(
) ( )
t on
( 2.31 )
t off
Promediando el intervalo completo, de manera que
(
) ( )
x t1n + T − x t1n
x! =
= A ⋅ x + B ⋅ Vg
T
( 2.32 )
Según las consideraciones (2.22) (2.23), puede escribirse (2.31) como:
x! =
(A1 ⋅ x + B1 ⋅ V g )⋅ (T − τ ) + (A2 ⋅ x + B2 ⋅ V g )⋅ τ
x t1n + T − x t1n
=
T
T
(
) ( )
( 2.33 )
Considerando τ = dT y (T − τ ) = d 'T y ordenando queda:
(
) ( )
x t1n + T − x t1n
x! =
= d ⋅ (A1 ⋅ x + B1 ⋅ V g ) + d ' (A2 ⋅ x + B2 ⋅ V g )
T
( 2.34 )
Identificando (2.33) con (2.32) las matrices A y B tienen las siguientes expresiones
A = d ⋅ A1 + d ' ⋅ A2
( 2.35 )
B = d ⋅ B1 + d ' ⋅ B2
Teniendo en cuenta las expresiones de las matrices A1, A2, B1 y B2 y operando se
obtendrán las siguientes matrices A y B:

0
A= '
d
 C
20
d' 

L 
1 
−
R ∗ C 
−
1
B = L
 
0 
( 2.36 )
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2.4.3 Análisis en estado estacionario
Para el análisis del sistema en estado estacionario, se descompondrán las funciones que
dependen del tiempo en dos partes, una transitoria y otra en estado estacionario de la forma
siguiente:
∧
Vg (t ) = Vg + Vg
∧
∧
d (t ) = D + d
∧
d ' (t ) = 1 − d (t ) = 1 − D − d = D' − d
∧
x(t ) = X SS + x
∧
*
( 2.37 )
∧
*
x(t ) = x + x = x
*
*
Las magnitudes con acento circunflejo (^) dependen de la respuesta transitoria.
∧
*
*
Si hay un régimen continuo la derivada de x será cero, x = 0
Reescribiendo la ecuación (2.33) y teniendo en cuenta la dependencia temporal.
x(t ) = d (t ) ⋅ (A1 ⋅ x(t ) + b1 ⋅ V g (t )) + d ' (t ) ⋅ (A2 ⋅ x(t ) + b2 ⋅ V g (t ))
*
( 2.38 )
Considerando (2.36) y aplicando la prop. conmutativa del producto matriz por escalar:
∧
*
x(t ) = x = A1 ⋅ d (t ) ⋅ x(t ) + A2 ⋅ d ' (t ) ⋅ x + b1 ⋅ d (t ) ⋅ V g (t ) + b2 ⋅ d ' (t ) ⋅ V g (t ) =
*
∧
∧
∧
∧
∧
∧

 


 


 

= A1 ⋅  D + d  ⋅  X SS + x  + A2 ⋅  D ' − d  ⋅  X SS + x  + b1 ⋅  D + d  ⋅ V g + V g  + ( 2.39 )

 


 


 

∧
∧

 

+ b2 ⋅  D ' − d  ⋅  V g + V g 

 

multiplicando y reagrupando, queda:
∧
*
[
]
[
]
x = A1 ⋅ D + A2 ⋅ D ' ⋅ X SS + B1 ⋅ D + B2 ⋅ D ' ⋅ V g
[
+ [(A
]
∧
[
]
∧
+ A1 ⋅ D + A2 ⋅ D ⋅ x + B1 ⋅ D + B2 ⋅ D ' ⋅ V g
1
'
]
( 2.40 )
∧
− A2 ) ⋅ X SS + (B1 − B2 ) ⋅ V g ⋅ d
∧
∧
∧
∧
+ (A1 − A2 ) ⋅ x⋅ d + (B1 − B2 ) ⋅ V g ⋅ d
21
2. Estudio del convertidor Boost
Si se suponen que los valores de las variaciones en pequeña señal son mucho menores
que los valores de la señal en régimen estacionario, se pueden despreciar los productos de
desviaciones (linealización).
En estado estacionario, idealmente no aparecerá ninguna variación.
∧
x=0
;
∧
Vg = 0 ;
∧
d =0
∧
*
; x=0
( 2.41 )
Y, por tanto, se obtiene la siguiente ecuación:
(
)
(
)
0 = A1 ⋅ D + A2 ⋅ D ' ⋅ X SS + B1 ⋅ D + B2 ⋅ D ' ⋅ V g
( 2.42 )
se reescribe teniendo en cuenta
Ass = D ⋅ A1 + D ' ⋅ A2
0 = Ass ⋅ X SS + B ss ⋅ V g
B ss = D ⋅ B1 + D ' ⋅ B2
( 2.43 )
donde en este caso, las matrices Ass y Bss son:

 0
Ass =  '
D
 C
D' 
−

L 
1 
−
R ∗ C 
1
B ss =  L 
 
0 
( 2.44 )
Las expresiones de las variables en régimen estacionario serán:
X SS = − Ass
−1
⋅ B ss ⋅ u
( 2.45 )
Yss = −Css ⋅ Ass −1 Bss ⋅ u + Dss
Para resolver estas ecuaciones se necesita calcular A-1, aplicando:
Ass
22
−1
1
=
det Ass
ϕ 11 ϕ 12  L ⋅ C − 1 R ⋅ C
⋅
 = ′2  − D′
ϕ
ϕ
D 
22 
 21
C

D ′  − L
L = 
R ⋅ D′2
0   −L
 
D
C

D ′
0 

( 2.46 )
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por tanto
X SS
 Vg
'2
I  
=   = R ⋅ D
V   V g

 D'






 Vg 
Yss = [v ] =  
 D′ 
( 2.47 )
Calculada la variables en régimen estacionario, se puede comprobar el carácter
elevador de este tipo de convertidor,
Vo =
Vg
D'
≥ Vg
( 2.48 )
2.4.4 Análisis en pequeña señal.
Usando el método de promediación en el espacio de estado y linealizando, se puede
obtener un modelo dinámico de pequeña señal de la forma:
 î 
Vˆg 
iˆ 
 =A⋅  + B⋅ ˆ
vˆ 
d 
 v̂ 
( 2.49 )
siendo las entradas del sistema las perturbaciones de la tensión de alimentación y del
ciclo de trabajo.
Considerando (2.40), (2.41) y despreciando los términos bilineales, queda la siguiente
ecuación:
∧
*
(
)
∧
(
)
∧
x = A1 ⋅ D + A2 ⋅ D ' ⋅ x + B1 ⋅ D + B 2 ⋅ D ' ⋅ V g +
+ ((A1 − A2 ) ⋅ X SS + (B1 − B2 ) ∗ V g )⋅ d = A ⋅ x + B ⋅ V g + k ⋅ d
∧
∧
∧
∧
( 2.50 )
En el último término de esta expresión se pone de manifiesto la influencia del control a
través del vector k, el cual depende del punto de trabajo, ya que viene dado por el valor de las
variables en estado estacionario. Esto es un problema ya que el margen de validez del análisis
estará reducido a un intervalo alrededor del punto de trabajo.
23
2. Estudio del convertidor Boost
2.5
CALCULO DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
2.5.1 Función de transferencia Salida-Entrada.
Analizando la ecuación (2.50) en el dominio de la transformada de Laplace con
condiciones iniciales nulas se obtiene:
 ∧* 
∧
∧
∧
∧
 
L  x  = S ⋅ x(S ) = A ⋅ x(S ) + B ⋅ V g (S ) + k ⋅ d (S )
 
( 2.51 )
para el cálculo de la función de transferencia salida-entrada va a ser aplicado el teorema
de superposición, anulando el término que procede del control:
 ∧* 
∧
∧
∧
 
L  x  = S ⋅ x(S ) = A ⋅ x(S ) + B ⋅ V g (S )
 
dˆ ( S ) = 0
( 2.52 )
Agrupando términos y despejando
∧
∧
(S ⋅ I − A) ⋅ x(S ) = B ⋅ V g (S )
∧
∧
x(S ) = (S ⋅ I − A) ⋅ B ⋅ V g (S )
−1
( 2.53 )
Sustituyendo en (2.53)

1 
D' 
∧
S
+
−




 1 ∧
∧
I (S ) 1 
R
C
L
⋅


x(S ) = ∧
= ⋅
 ⋅  L  ⋅ V g (S )
 
D'
V (S ) ∆ 


S   0 
 + C

( 2.54 )
2.5.2 Función de transferencia Tensión Salida-Control
Considerando (2.51) y aplicando el principio de superposición:
∧
V g (S ) = 0
24
⇒
 ∧* 
∧
∧
 
L  x  = A ⋅ x(S ) + k ⋅ d (S )
 
( 2.55 )
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operando y despejando
∧
∧
(S ⋅ I − A) ⋅ x(S ) = k ⋅ d (S )
∧
∧
x(S ) = (S ⋅ I − A) ⋅ k ⋅ d (S )
−1
( 2.56 )
El vector k según (2.50) es
k = (A1 − A2 ) ⋅ X SS + (B1 − B2 ) ⋅ V g
( 2.57 )
Se ha calculado que B1=B2, por tanto
k = (A1 − A2 ) ⋅ X SS

 0
=
1
−
 C
Vg

1   Vg  




'
2
L ⋅ R ⋅ D'  =  L ⋅ D


Vg
Vg  


0
−
  D '   R ⋅ C ⋅ D ' 2 
( 2.58 )
sustituyendo (2.56) y (2.58)
Vg


1 
D'  
S
+
−


 1 

 ∧

∧
'
I (S )
R⋅C 
L ⋅
L∗D
 ⋅ d (S )
x(S ) =  ∧  = ⋅ 
Vg
D'
V (S ) ∆ 
−




S  
'2 
 + C
  R ∗C ∗ D 
∧
( 2.59 )
2.5.3 Funciones de transferencia
Agrupando los resultados obtenidos en (2.54) y (2.59) se consigue la ecuación que
define el funcionamiento total del sistema:
25
2. Estudio del convertidor Boost
Vg
 ∧

D'   1
1 
S
+
−





 V g (S )


∧
'
1
(
)
I
S
L
⋅
R
C
L
L
D
⋅
 ( 2.60)


⋅
x(S ) =  ∧  =

⋅
'
2
V
∧


g
′
D
S
D 
V (S )

 0 −

 S2 +
(
)
d
S
S
+

2


 
C
R ⋅ C L ⋅ C 
R ⋅ C ⋅ D ' 
∧
yˆ ( S ) = Vˆo( S ) = Vˆ ( S )
( 2.61 )
de donde se pueden obtener las funciones de transferencia salida-entrada/control:
D′
v( S )
L⋅C
G(S ) =
=
Vg ( S )
S
D′2
S2 +
+
R⋅C L⋅C
( 2.62 )
1
1
S+
i(S )
R⋅C ⋅ L
G(S ) =
= L
Vg ( S )
S
D′2
S2 +
+
R⋅C L⋅C
( 2.63 )
Vg
Vg
+
S
v( S )
′2
L ⋅C
Gv( s ) =
= C ⋅ R ⋅D
d (S )
1
D′2
2
S +
S +
R ⋅C
L ⋅C
( 2.64 )
2 ⋅Vg
Vg
S+
i(S ) L ⋅ D ′
L ⋅ R ⋅ C ⋅ D′
Gi( s ) =
=
d (S )
1
D′2
2
S +
S +
R ⋅C
L ⋅C
( 2.65 )
−
26
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2.6
SIMULACIÓN DEL CIRCUITO
2.6.1 Software de simulación
Actualmente, gracias al continuo aumento de la potencia de cálculo que presentan los
ordenadores, antes de implementar cualquier circuito se realiza una simulación previa de la
respuesta del sistema.
El análisis de circuitos por computadora tiene principalmente las siguientes ventajas:
Estudiar y observar el funcionamiento de un circuito antes de ensamblarlo o fabricarlo.
Usar componentes ideales para aislar efectos limitantes en el diseño
Realizar mediciones de prueba que son:
- Difíciles, debido al ruido eléctrico
- No factibles, por carecer de equipo adecuado
- No apropiados, ya que el circuito de prueba podría dañarse
Simular un circuito muchas veces con variaciones en los componentes o en los factores
externos
La simulación del circuito se realizará mediante el programa de cálculo MATLAB®
(Matrix Laboratory) y su paquete de software SIMULINK®, utilizado para modelado y
simulación y análisis de sistemas dinámicos. Este programa permite simular sistemas lineales
o no lineales modelados en tiempo continuo o discreto, proporcionando un entorno gráfico que
permite construir, de una manera sencilla, los bloques y diagramas que modelan el circuito,
utilizando el programa Matlab® para realizar los cálculos.
2.6.2 Parámetros del sistema
Los valores de los componentes utilizados en la simulación se corresponden con los de
la planta existente en la universidad. A continuación se presentan los valores de los
componentes, de las pérdidas de cada elemento y de las condiciones prefijadas de
funcionamiento.
27
2. Estudio del convertidor Boost
Parámetro
Símbolo
Valor
Tensión Alimentación
Vg
12V
Tensión de salida
Vo
24V
Inductancia de la bobina
L
216µHn
Capacidad del condensador
C
220µF
Resistencia de carga
R
44Ω
Resistencia de la bobina
rl
0.33Ω
Resistencia del condensador
rc
0.03Ω
Tabla 1. Valores de los componentes
2.6.3 Comprobación del funcionamiento en régimen continuo
El valor mínimo de la inductancia y del condensador para garantizar la conducción
continua es:
∆I =
VS
∗ DT
L
IL⟩
∆I
2
( 2.66 )
( 2.67 )
Se observa que la Is en este caso es la misma que la IL, sustituyendo en (2.21) queda:
I 0 = I S ∗ (1 − D ) = I L ∗ (1 − D )
( 2.68 )
despejando:
IL =
I0
(1 − D )
( 2.69 )
Se igualarán las dos expresiones obtenidas de la IL (2.63) y (2.65) respectivamente
I0
∆I
⟩
(1 − D ) 2
28
⇒
I0
V
⟩ S ∗ DT
(1 − D ) 2 L
( 2.70 )
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Se despeja la L y se obtendrá el valor mínimo de la bobina que garantice la conducción
continua:
RTD ∗ (1 − D )
2
2
L⟩
( 2.71 )
A partir de los valores descritos en la tabla 1 y sustituyendo en la ecuación (2.71), se
desprende que el convertidor entrará en régimen discontinuo cuando sea excitado con una
señal de control de f<1231.48Hz.
Para el cálculo del condensador se ha de tener en cuenta que entre 0>t>D*T el
condensador se descarga con Io
∆Q = I 0 DT
∆V0 =
V DT
1
1
∗ ∆Q = ∗ I 0 DT = 0
C
C
RC
∆V0 DT
=
V0
RC
( 2.72 )
( 2.73 )
( 2.74 )
Tabulando el rizado máximo en un 3‰, ∆Vo <72mV, y sustituyendo valores en la
ecuación (2.74), se obtiene el valor mínimo de frecuencia f > 17.2KHz necesario para asegurar
el rizado menor al indicado.
2.6.4 Esquema del convertidor en Simulink®
Se implementa las matrices que representan el funcionamiento del circuito promediado
en espacio de estado.
El circuito se excita con una señal cuadrada de 1V de amplitud y de frecuencia fija con
un ciclo de trabajo de 0.5 y se recogen los valores que van tomando las variables D, Vo e I,
para su posterior representación.
29
2. Estudio del convertidor Boost
i1
0
1 /L
1
i
s
i
T o W o rksp a c e 1
a11
P ro d u c t
Sum
b1
P u l se
-1 / L
G e n e ra t o r
12
1 /L
Vg
S ig m a
a12
1 /C
1
a21
-1 / C
D1
T o W o rksp a c e 3
s
Sum 1
P ro d u c t 1
b2
Vo
v
-1 / (R * C )
Vo
a22
D
T o W o rksp a c e 2
t
Clo ck
0
T o W o rksp a c e
t1
Fig 3.15.- Convertidor Boost en Simulink®
2.6.5 Respuesta del sistema
2.6.5.1 Influencia de la variación de la frecuencia en la señal de control
En primer lugar se representará la respuesta de tensión en el condensador del
convertidor boost para diferentes frecuencias de entrada
En la figura 2.16 se puede comprobar como a medida que se aumenta la frecuencia de
conmutación, las variaciones en la tensión van disminuyendo paulatinamente, tendiendo a ser
una señal sin rizado para una frecuencia infinita. Además la duración del régimen transitorio
también disminuye con el aumento de la frecuencia en la señal de excitación.
El aumento de la frecuencia de conmutación de los componentes, comporta también un
incremento económico , por los que se debe llegar a un compromiso entre ambos factores.
Se escoge una frecuencia de conmutación de 20KHz, suficientemente alta para la
obtención de una respuesta del sistema aceptable, y el control se puede realizar con
componentes comunes , sin tener que recurrir a componente de altas prestaciones. Con esta
frecuencia de conmutación, el sistema llega al régimen estacionario en t=0.23seg.
30
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Fig 3.16.- Respuesta del convertidor para diferentes frecuencias de entrada
2.6.5.2 Respuesta en régimen estacionario
En la figura 2.17 se ha ampliado la tensión en el condensador en estado estacionario,
comprobando así que existe un rizado de frecuencia igual a la frecuencia de conmutación,
debido a la carga y descarga del condensador cuando el conmutador está en off y en on.
Fig 3.17.- Tensión en el condensador en régimen estacionario
31
2. Estudio del convertidor Boost
Tal y como se había calculado anteriormente, se consigue evitar el funcionamiento en
régimen
discontinuo
del
convertidor.
Además
el
rizado
es
∆Vo = 24.0181 − 23.9559 = 62.2mV , con lo que se obtiene un rizada inferior al 3‰ tal y como
se había calculado.
2.6.5.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación
Para comprobar la respuesta del sistema ante perturbaciones de la tensión de
alimentación se le sumará una señal cuadrada cuya amplitud será un 25% de Vg, una vez el
circuito ha llegado a su funcionamiento en régimen permanente, ya así se podrá estudiar el
efecto del incremento y del decremento de la tensión de alimentación.
Su implementación en el programa de simulación Simulink®, se consigue medieante el
siguiente sistema:
Fig 3.18.- Implementación de la perturbación en la tensión de alimentación
Al incrementarse la señal de alimentación, se crea un régimen transitorio, en donde la
tensión en el condensador produce una oscilación decreciente, que acabará estabilizándose en
unos 13 ms a una tensión de
Vo =
Vg 15
=
= 30V
D 0.5
Cuando la perturbación desaparece la tensión de salida vuelve a sufrir una oscilación
que lleva el sistema al punto de funcionamiento inicial en unos 12 ms, estabilizándose
32
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nuevamente a una tensión de 24V
Fig 3.19.- Respuesta del sistema ante una perturbación en la Vg
2.6.5.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga
En este caso se implementarán dos perturbaciones en la carga, una de un 20% y otra de
un 50%. Para conseguirlo se multiplica el término a22, que es el único que depende del valor de
R, por una señal cuadrada, que simulará el efecto de la introducción de una perturbación y
como actua la salida cuando éstadesaparece.
33
2. Estudio del convertidor Boost
Fig 3.20.- Implementación de una perturbación en la carga
Fig 3.21.- Respuesta del sistema ante una perturbación de un 20% en la carga
Esta perturbación provoca una oscilación de 0.4V de amplitud que decrece rápidamente
y desaparece en unos 160ms, el mismo que tarda en desaparecer la fluctuación producida al
desaparecer el efecto de la perturbación. En el caso de una perturbación del 50% el tiempo que
dura la inestabilidad es de unos 210ms, y el rizado mientras dura la perturbación se reduce
hasta 45mV.
34
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Fig 3.22.- Respuesta del sistema ante una perturbación de un 50% en la carga
2.7
MODELO CON PÉRDIDAS DEL CONVERTIDOR ELEVADOR
2.7.1 Modelo con pérdidas
Hasta ahora se ha considerado el modelo sin pérdidas con los componentes ideales.
Cuando el sistema se implementa físicamente, se utilizan componentes reales, por lo que para
conocer su efecto sobre los resultados se realizará el estudio del modelo con pérdidas.
2.7.1.1 Interruptores
El diodo se comporta como un circuito abierto cuando está polarizado inversamente, y
como una fuente de tensión en serie con una resistencia en el estado de conducción.
El transistor se comporta como un circuito abierto en la zona de corte y como una
resistencia en la zona de saturación.
Estas pérdidas no se tendrán en cuenta en el estudio del circuito real del convertidor.
2.7.1.2 Condensador
Puede ser modelado como un condensador ideal (C) en serie con una resistencia (rc).
Fig 3.23.- Modelo del condensador real
2.7.1.3 Inductor
Puede epresentarse como una bobina ideal (L) en serie con una resistencia parásita (rl).
35
2. Estudio del convertidor Boost
Fig 3.24.- Modelo del inductor real
2.7.2 Calculo de las ecuaciones del sistema
Fig 3.25.- Convertidor Boost con pérdidas
Análogamente al estudio del circuito ideal se descompone en dos subcircuitos según su
comportamiento para u(t)=1 y u(t)=0.
Para u(t)=1 se obtiene el siguiente circuito:
Fig 3.26.- Modelo del convertidor para u(t)=1
del que se desprenden las siguientes matrices:
di
di
rl
Vg

⇒ =− i+

dt
dt
L
L

v

−

dv
dv iL
−v
R
rc
+
iL = C
⇒
= =
=
(R + rc ) ⋅ C 
dt
dt C
C
Vg = rl ⋅ i + L
Vo = v ⋅
36
R
R + rc
( 2.75 )
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 di  − rl
 dt   L
 dv  = 
   0
 dt  

  i  Vg 
 + L
−1
 v   0 
(R + rc )⋅ C 
0
 rl
− L
A1 = 
 0


C1 =  0

R  i 

Vo = 0
   + [0][Vg ]
 R + rc  v 



−1

(R + rc )⋅ C 
1
B1 =  L 
0
 
0
R 
R + rc 
D1 = [0]
( 2.76 )
( 2.77 )
( 2.78 )
Y el circuito para u(t)=0 es:
Fig 3.27.- Modelo del convertidor para u(t)=0
a partir del cual se calculan las siguientes matrices:
Vg = Vrl + VL + v + Vrc = rl ⋅ i + L
di
dv
+ v + rc ⋅ C
dt
dt
( 2.79 )
iC = i − iL
dv
iC = C
dt
v + Vrc
iL =
R




v
dv
R
1
 R + rc  dv
i−
v
=i− ⇒
=

 C 
(R + rc ) ⋅ C
R
dt C (R + rc )
 R  dt


dv 
Vrc = ic ⋅ rc = C
rc

dt
37
2. Estudio del convertidor Boost
Combinando las dos ecuaciones anteriores:
di
R ⋅ rl + rl ⋅ rc − R ⋅ rc
R + 2 ⋅ rc
Vg
i−
v+
=−
dt
L (R + rc )
L (R + rc )
L
 di  − R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc
 dt  
L (R + rc )
 dv  = 
R
  
C (R + rc )
 dt  
R

L (R + rc )   i  Vg 
   +  L
1
  v   0 
−
C (R + rc )
( 2.80 )
−
( 2.81 )
La ecuación de salida será
dv 
R ⋅ rc
R

Vo = io ⋅ R = (i − ic ) ⋅ R =  i − C  ⋅ R =
i+
v
dt 
R + rc
R + rc

R  i 
 R ⋅ rc
Vo = 
   + [0][Vg ]
 R + rc R + rc  v 
( 2.82 )
Con lo que las matrices que definen el funcionamiento del sistema serán:
 R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc
−
L (R + rc )
A2 = 
R


C (R + rc )
R

L (R + rc ) 

1

−
C (R + rc )
−
R 
 R ⋅ rc
C2 = 

 R + rc R + rc 
Vg 
B2 =  L 
 0 
D1 = [0]
( 2.83 )
( 2.84 )
2.7.3 Promediación de las ecuaciones de estado
Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación (2.35) obtenemos las siguientes matrices
promediadas:
 R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ d ′
−
L (R + rc )
A=
R

d'

C (R + rc )
38
R

d '
L (R + rc )

1

−
C (R + rc ) 
−
1
 
B= L 
 
 0 
( 2.85 )
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 R ⋅ rc
C=
⋅ d′
 R + rc
R 
R + rc 
D = [0]
( 2.86 )
2.7.4 Análisis en estado estacionario
Sustituyendo las matrices calculadas en la ecuación (2.45) se obtendrán las siguientes
matrices en estado estacionario
( R + rc)


2
2


I
 
Xss = − Ass −1 ⋅ Bss ⋅ u =   =  R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R D ′ 
− R ( R + rc) ⋅ D ′
V  

 R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 D ′ 2 
R ⋅ D ′ ⋅ ( R + rc)


Yss = − Ass −1 ⋅ Bss ⋅ Css = 
2
2 
 R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R D ′ 
( 2 87 )
( 2 88 )
Ya que en el caso del convertidor con pérdidas, la tensión de salida es la misma que la
tensión en el condensador, se seguirá un estudio análogo al del estado estacionario realizado en
el apartado 2.5.3.
A partir de la ecuación de salida
Y =C ⋅ x + D⋅u
( 2 89 )
Operando y sustituyendo valores
∧
*
[
]
[
]
y = C1 ⋅ D + C 2 ⋅ D ' ⋅ X SS + D1 ⋅ D + D2 ⋅ D ' ⋅ V g
[
+ [(C
]
∧
[
]
∧
+ C1 ⋅ D + C 2 ⋅ D ⋅ x + D1 ⋅ D + D2 ⋅ D ' ⋅ V g
'
1
]
( 2.90 )
∧
− C 2 ) ⋅ X SS + (D1 − D2 ) ⋅ V g ⋅ d
∧
∧
∧
∧
+ (C1 − C 2 ) ⋅ x⋅ d + (D1 − D2 ) ⋅ V g ⋅ d
2.8
CALCULO DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
2.8.1 Función de transferencia Variables de estado-Entrada.
Analizando el sistema en el dominio de la transformada de Laplace con condiciones
39
2. Estudio del convertidor Boost
iniciales nulas se obtiene la siguiente expresión de la salida respecto a la tensión de
alimentación:
 ∧* 
∧
∧
∧
 
L  x  = S ⋅ x(S ) = A ⋅ x(S ) + B ⋅ V g (S )
 
dˆ ( S ) = 0
( 2.91 )
Agrupando términos y despejando
∧
∧
(∆I − A) ⋅ x(S ) = B ⋅ V g (S )
∧
∧
x(S ) = (S ⋅ I − A) ⋅ B ⋅ V g (S )
−1
( 2.92 )
Despejando y sustituyendo por las matrices (2.84) y (2.85)
1
R ⋅ D′


∧ 
S+
−
∧

 1 ∧
1
I
S
C (R + rc )
L (R + rc )
 ( )
x (S ) = 
= ⋅
 ⋅   ⋅ V (S ) ( 2.93 )
∧  ∆ 
R ⋅ D′
R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′   L  g
S+
0
V (S )
 C (R + rc )
  
L (R + rc )
donde:
∆ = S2 +
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D ′
R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 ⋅ D ′ 2
S+
( 2.94 )
2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
2.8.2 Función de transferencia Variables de estado-Control
Considerando (2.51) y aplicando el principio de superposición:
∧
V g (S ) = 0
⇒
 ∧* 
∧
∧
 
L  x  = A ⋅ x(S ) + k ⋅ d (S )
 
( 2.95 )
operando y despejando
∧
∧
(S ⋅ I − A) ⋅ x(S ) = k ⋅ d (S )
∧
∧
x(S ) = (S ⋅ I − A) ⋅ k ⋅ d (S )
El vector k según (2.50) es
40
−1
( 2.96 )
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k = (A1 − A2 ) ⋅ X SS + (b1 − b2 ) ⋅ V g
( 2.97 )
Se ha calculado que B1=B2, por tanto
k = (A1 − A2 )⋅ X SS
(
)

R ⋅ rc + R 2 ⋅ D ′ ⋅ V g

2
′
′2
=  L ⋅ R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D + R ⋅ D
R ⋅V g

−
2
2
 C ⋅ R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R ⋅ D ′
(
)
(






( 2.98 )
)
sustituyendo en (2.95)
1
R ⋅ D′


∧ 
S
+
−
∧


C (R + rc )
L (R + rc )
 I (S ) 1
x (S ) = 
=
⋅

⋅
∧  ∆ 
R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ 
R ⋅ D′
S
+
V (S )
 C (R + rc )

L (R + rc )
(
)
( 2.99 )

R ⋅ rc + R 2 ⋅ D ′ ⋅V g

2
′
′2
⋅  L ⋅ R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D + R ⋅ D
R ⋅V g

−
2
2
 C ⋅ R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R ⋅ D ′
(
(
)

 ∧
 ⋅ d (S )



)
2.8.3 Función de transferencia de la Salida-Entrada
Considerando dˆ ( s ) = 0 , la función de salida se calculará mediante la ecuación:
∧
d (S ) = 0
⇒
 ∧* 
∧
∧


L Y ( s ) = C ⋅ x(S ) + D ⋅ Vg (S )


(
)
−1
Yˆ ( s ) = C ⋅ (S ⋅ I − A) ⋅ B + D ⋅ u
( 2.100 )
( 2.101 )
Sustituyendo los valores de cada matriz:
41
2. Estudio del convertidor Boost
∧
Vo S =
()
 R ⋅ C ⋅ rc ⋅ D′ ⋅ S + R ⋅ D′

C ⋅ (R + rc)

S
2
+
(
(
)
)
L + C ⋅ rl ⋅ R + rc + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
(
(
)
R ⋅ L ⋅ R + rc ⋅ S + R ⋅ rl ⋅ R + rc + R
2
L ⋅ ( R + rc )
L ⋅ C ⋅ R + rc
)
2
2
⋅ rc ⋅ ( D − D ) 
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R
S +
2
L ⋅ C ⋅ R + rc
(
2
⋅ D′
2
)
 1
  L  ˆ (2.102)
 Vg ( s )
0
 
2.8.4 Función de transferencia Salida-Control
∧
V g (S ) = 0
 ∧* 
∧
∧


L Y ( s ) = C ⋅ x(S ) + T ⋅ d (S )


⇒
(
( 2.103 )
)
−1
Yˆ ( s ) = C ⋅ (S ⋅ I − A) ⋅ k + T ⋅ dˆ ( s )
( 2.104 )
El vector T, según la ecuación (2.90) es
T = (C1 − C 2) ⋅ Xss =
(
 R ⋅ C ⋅ rc ⋅ D′ ⋅ S + R ⋅ D′

∧
C ⋅ (R + rc)
Vo(S ) = 
S
(
2
+
(
R ⋅ rc ⋅ Vg
rl ⋅ ( R + rc) + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 ⋅ D ′ 2
)
L + C ⋅ rl ⋅ R + rc + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
(
L ⋅ C ⋅ R + rc
)
)
(
42
(
)
S +
2
2
⋅ rc ⋅ ( D − D ) 


rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R
2
L ⋅ C ⋅ R + rc
(
2
⋅ D′
2
)
( 2.106 )
2

R ⋅ rc + R ⋅ D′ ⋅ V g

2
2
 L ⋅ R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′

R ⋅ Vg
−
2
2
 C ⋅ R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′
(
)
R ⋅ L ⋅ R + rc ⋅ S + R ⋅ rl ⋅ R + rc + R
2
L ⋅ ( R + rc )
( 2.105 )
)


 dˆ ( s ) +



)
R ⋅ rc ⋅ Vg
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R
2
⋅ D′
2
dˆ ( s )
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2.8.5 Función de transferencia de la salida
Agrupando las funciones de transferencia respecto a la entrada y respecto al control se
obtienen las ecuaciones que definen el funcionamiento total del sistema:
1
R ⋅ D′


∧ 
S
+
−
∧


1
C (R + rc )
L (R + rc )
 I (S )
x (S ) = 
=
⋅

⋅
∧  ∆ 
R ⋅ D′
R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ 
S+
V (S )
 C (R + rc )

L (R + rc )
1

L
⋅

0

(R ⋅ rc + R
2
+
)


L ⋅ R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 ⋅ D ′ 2  ⋅ Vˆg ( s )


R ⋅ Vg
  dˆ ( s ) 
−

C ⋅ R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 ⋅ D ′ 2 
(
2
⋅ D′ ⋅ Vg
)
(
)
(
 R ⋅ C ⋅ rc ⋅ D′ ⋅ S + R ⋅ D′

∧
C ⋅ (R + rc)
Vo(S ) = 
S
( 2.107 )
(
)
(
)
R ⋅ L ⋅ R + rc ⋅ S + R ⋅ rl ⋅ R + rc + R
2
L ⋅ ( R + rc )
)
L + C ⋅ rl ⋅ R + rc + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
(
L ⋅ C ⋅ R + rc
)
S+
2
2
⋅ rc ⋅ ( D − D ) 


rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R
2
L ⋅ C ⋅ R + rc
(
2
⋅ D′
2
)
( 2.108 )

1
L


0






0

 
2
2
 Vˆg ( s ) 
L ⋅  R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′  Vˆg ( s )  
 

+
  dˆ ( s ) 
ˆ
R
rc
Vg
⋅
⋅


d
s
(
)

R ⋅V

 

g
2 ⋅ D′ 2

−
′
⋅
+
+
⋅
⋅
+
rl
R
rc
R
rc
D
R
(
)




C ⋅  R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2  




 R ⋅ rc + R 2 ⋅ D′  ⋅ V

 g
de donde se pueden obtener las siguientes funciones de transferencia de la salida y de
las variables de estado respecto a la entrada y al control:
1
i(S )
Vg ( S )
L
=
2
S +
S+
1
L ⋅ C ⋅ ( R + rc )
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′
2
S+
2
( 2.109 )
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
2
43
2. Estudio del convertidor Boost
R ⋅ D′
v(S )
Vg ( S )
L ⋅ C ⋅ ( R + rc )
=
S +
2
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
R ⋅ rc ⋅ D ′
Vo ( S )
Vg ( S )
L ⋅ ( R + rc )
=
S +
2
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
R ⋅ Vg ( R ⋅ D′ + rc )
i(S )
=
d (S )


L  rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2 


S
2
+
S+
S+
2
S+
( 2.110 )
2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
2
R ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ ( R + rc )
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′
2
S+
( 2.111 )
2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
2
R ⋅ Vg ( 2 ⋅ R ⋅ D′ + rc )


L ⋅ C ( R + rc ) rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 ⋅ D′2 


L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
− R ⋅ Vg
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′
2
2
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′
S+
2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
R ⋅ Vg ⋅ ( − rl ( R + rc ) + R 2 ⋅ D′2 )
C (rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D )
L ⋅ C ( R + rc ) (R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2 )
v( S )
=
2
2
d (S )
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′
2
S +
S+
2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
2
Vo( S )
=K
d (S )
K=
2.9
S2 +
S2 +
′2
( 2.112 )
S+
( 2.113 )
− L( R + rc) + R 2 ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′2 + rl ⋅ R ⋅ rc( R + rc)
− rl ( R + rc) + R 2 D′2
S+
L ⋅ C ⋅ rc ⋅ ( R + rc )
L ⋅ C ⋅ rc ⋅ ( R + rc)
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
S+
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′ 2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
2
( 2.114 )
R ⋅ rc ⋅ Vg
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2
INFLUENCIA DE LAS PÉRDIDAS EN EL MODELO DEL CONVERTIDOR
2.9.1 Influencia en la respuesta del sistema
Para comprobar la influencia de las pérdidas en la respuesta del convertidor se tomará
la ecuación característica del sistema
S
44
2
+
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′
2
S+
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
2
2
( 2.115 )
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Si se compara con la ecuación característica de un sistema de segundo orden
S 2 + 2 ⋅ξ ⋅ωo + ωo
2
( 2.116 )
y se representa la influencia sobre los factores ξ yωo
ξ
rl
rc
0
0
0.0225
0.33
0
0.3503 1557% 2327.8 1.5%
0
0.03 0.0376
wo
0%
67%
2293.7
2293.7
0%
0%
0.33 0.03 0.3652 1622% 2327.8 1.5%
Fig 3.28.- Influencia de las pérdidas sobre ξ y ωo
Se puede comprobar como el efecto total de las pérdidas es el ligero incremento de la
frecuencia natural del sistema, lo que aumentará la velocidad de respuesta del sistema y
disminuye el tiempo de subida (Tr) y el tiempo de establecimiento (Ts).
El factor de amortiguamiento aumenta considerablemente, lo que disminuirá el
sobrepico y aumentará la estabilidad del sistema y por consiguiente hará la respuesta del
sistema más lenta.
Ambos factores son contrarios, aunque el aumento del factor de amortiguamiento es
mayor que el de la frecuencia natural, por lo que se impondrá el efecto del aumento de ξ.
2.9.2 Efecto sobre el ciclo de trabajo
Para evaluar el efecto de las pérdidas en el ciclo de trabajo se aplicará el teorema del
valor final a la función de transferencia del convertidor.
Vo ( s ) = lim S →0 S ⋅ H ( s) ⋅ Vg ( s ) =
R ⋅ D ′ ⋅ ( R + rc)
Vg ( s ) = Yss ( 2.117 )
rl ⋅ ( R + rc) + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 ⋅ D ′ 2
45
2. Estudio del convertidor Boost
Para un ciclo de trabajo (D=0.5), utilizado en el caso ideal, se consigue una tensión de
salida Vo=23.2856V, por lo que se habrá de aumentar el ciclo de trabajo para conseguir la
salida de 24V deseada. Sustituyendo valores en la ecuación anterior se obtiene que el ciclo de
trabajo necesario será D=0.516.
Fig 3.29.- Ganancia del sistema en función del ciclo de trabajo
2.10 SIMULACIÓN DEL CIRCUITO
2.10.1 Esquema del convertidor con pérdidas en Simulink®
Fig 3.30.- Implementación en Simulink del convertidor elevador
El circuito se excita con una señal cuadrada de 1V de amplitud y de frecuencia fija con
46
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un ciclo de trabajo de 0.516
Se implementa las matrices A, B y C que definen el funcionamiento del circuito, y
mediante unos conmutadores se cambia de las ecuaciones del convertidor de modo ON a OFF.
1
D
-rl / L
a 1 1 1
2
1 /L
S u m 2
1
V g
b x1 1
S w itc h 1
1
s
i
I
-K -K a 2 1 1
S u m
c1 1 2
-K -
3
-K S w itc h 2
a 2 1 2
V o
c2 1 1
-K -
S u m 3
-K c2 1 2
a 1 2 2
1
S w itc h
-K -
s
v
2
V
a 2 2 1
-K -
S u m 1
b 2 2 2
Fig 3.31.- Implementación de las matrices de estado en Simulink®
2.10.2 Influencia de la variación de la frecuencia en la señal de control
En la figura 2.32 se representa la respuesta de tensión en la salida del convertidor para
diferentes frecuencias de entrada.
Al igual que en el caso real, una frecuencia de conmutación de 20KHz proporciona un
adecuado equilibrio entre un error suficientemente pequeño y una frecuencia de trabajo que
nos permite implementar el circuito con componentes de mercado.
47
2. Estudio del convertidor Boost
Fig 3.32.- Respuesta del convertidor para diferentes frecuencias de entrada
Con una frecuencia de 20KHz en la señal de control, el sistema llega al régimen
estacionario aproximadamente en t=17ms. Este valor es mucho menor que en el caso ideal ya
que el aumento del factor de amortiguamiento del sistema elimina la oscilación inicial de la
tensión, que se produce en el sistema ideal y por lo tanto se llega más rápidamente al punto de
funcionamiento del sistema.
2.10.3 Respuesta en régimen estacionario
Ampliando la señal en régimen estacionario se observa el rizado típico de la
conmutación de on a off.
En el rizado de tensión se observan saltos en el valor de la tensión debido a la
resistencia parásita (rc), ya que durante la carga del condensador, la tensión de salida es igual a
la tensión del condensador sumada a la tensión de la resistencia parásita, mientras que en la
descarga la tensión de salida es igual al divisor de tensión formado por la resistencia parásita y
la de carga.
La amplitud del rizado es ∆Vo = 24.0368 − 23.9657 = 71.1mV , con lo que se obtiene
un rizado inferior al 3‰, muy parecido al obtenido en el caso ideal.
48
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Fig 3.33.- Tensión en el condensador en régimen estacionario
2.10.4 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación
La perturbación produce un régimen transitorio, que acabará estabilizándose en 25ms.
Sustituyendo valores en la ecuación (2.117) se obtiene que el sistema se estabilizará a una
tensión Vo ≅ 30.008V . El valor de estabilización real es de 29.99V.
Fig 3.34.- Respuesta del sistema ante una perturbación en la Vg
2.10.5 Respuesta ante perturbaciones en la carga
La introducción de una perturbación en la carga provoca una pequeña variación en la
tensión de salida que se estabilizará rápidamente en unos 10ms. El efecto de la perturbación es
que la nueva tensión de estabilización del sistema es ligeramente mayor a la deseada,
unos0.1V para una perturbación del 20% y de unos 0.25V para la perturbación del 50%.
Una vez eliminada la perturbación el sistema vuelve exactamente al funcionamiento en
49
2. Estudio del convertidor Boost
régimen estacionario descrito anteriormente.
Fig 3.35.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 20% en la carga
Fig 3.36.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 50% en la carga
50
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2.11 CONCLUSIONES
Arranque E. Estacionario Pertur. 25% Vg
tr
ms
ts
ms
Vm
V
∆V
o
F
ts
Vm
KHz
ms
V
mV
Ideal ⇑
⇓
Real ⇑
⇓
•
230 23.97 62
0.8
18
23.97 71
Pertur. 20% R
∆V
ts
Vm
o
ms
V
mV
20 20
20
20 25
25
29.99 80 16
23.98 60 16
29.98 120 10
23.98 70 10
Perturb. 50% R
∆V
ts
Vm
o
ms
V
mV
23.99
23.99
24.11
23.98
∆V
o
mV
55 210 23.99 45
60 180 23.99 60
70 10 24.25 65
70 10 23.98 70
El convertidor elevador Boost permite obtener una tensión de salida superior a la tensión
de entrada. Para ello se deberá elegir un valor adecuado para la frecuencia de conmutación
y del ciclo de trabajo.
•
La influencia de las pérdidas, hace el sistema más lento, pero le proporciona mayor
estabilidad, eliminando las oscilaciones que presenta el sistema ideal en los transitorios y
además provoca saltos en la señal de salida.
•
La introducción de perturbaciones afectan al punto de funcionamiento del sistema, y
consecuentemente variando notablemente la tensión de salida del sistema.
•
Debe diseñarse un control que proporcione mayor robustez al sistema y minimice el efecto
de las posibles perturbaciones en la señal de alimentación y en la corriente de carga.
51
3. CONTROL EN MODO
DESLIZAMIENTO.
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3.1
CONTROL DEL CONVERTIDOR BOOST
Al diseñar un convertidor elevador continua-continua, se desea obtener una tensión de
salida continua, mayor que la tensión continua de entrada, lo más estable posible. No obstante,
pueden producirse situaciones desfavorables, como variación de la carga, superposición de
señales alternas en la entrada (porque provenga de un puente rectificador), los cuales pueden
llegar a dificultar el correcto funcionamiento del circuito. Para minimizar los efectos derivados
de estas perturbaciones, añadimos al convertidor un lazo de control.
3.1.1 Control por realimentación de la tensión de salida
Este control consiste en establecer una realimentación de una muestra de la tensión de
salida. Una señal proporcional a la tensión de salida se compara con una señal de consigna,
debidamente estabilizada. En el proceso de comparación se genera una señal de error, la cual
pasa por una etapa de amplificación y adecuación para después convertirla, por medio de un
circuito convertidor de tensión –ciclo de trabajo (a frecuencia constante), en una señal que
actúa sobre el circuito de conmutación.
Así, los efectos de una variación del control sobre la tensión de salida alrededor de un
punto de trabajo estable, pueden ser evaluados a partir de la función de transferencia salidacontrol. De la misma manera, se pueden estudiar los efectos del rizado de alterna en la entrada
mediante la relación salida-entrada en pequeña señal.
Fig 3.37.- Diagrama de bloques de un convertidor con lazo de tensión
55
3. Control en modo deslizamiento
3.1.2 Control por realimentación de tensión con red compensadora
Este método de control es una variación del expuesto anteriormente. Se añade una red
compensadora en la estructura expuesta en la figura 3.1. Con esta modificación se aumenta la
ganancia de lazo sin hacer el sistema inestable, y así, se proporciona una mejora en la
regulación de línea del convertidor. La red compensadora que se implementa en el sistema de
control, está formada básicamente, por un filtro activo o pasivo, según las especificaciones del
circuito.
3.1.3 Control por linealización entrada-salida
Al aplicar las anteriores técnicas lineales, se limita el funcionamiento del convertidor a
un margen de pequeña señal alrededor de un punto de trabajo determinado. Esto hace que
dichas técnicas de control sean inadecuadas a la hora de trabajar en gran señal. Además, al
utilizar un control lineal, no siempre tenemos la certeza de que el punto de trabajo del
convertidor sea el deseado.
Para superar los inconvenientes surgidos en las técnicas de control lineales se
introducen técnicas de control no lineales. Entre ellas, se puede destacar la técnica de control
en modo deslizamiento y la técnica de linealización entrada-salida.
El control en modo deslizamiento define dentro del espacio de estado una superficie
especifica de deslizamiento o de conmutación. Mediante una ley de control se pretende
conducir la trayectoria de estado del sistema hacia esta superficie, y mantenerla intersectando
dicha superficie.
La técnica de linealización entrada-salida propone controlar la dinámica no lineal de
algunas de las variables del convertidor, mediante un control de carácter opuesto a dicha
dinámica. Con la implementación de este control, se intenta que la tensión de salida siga a una
consigna, pero también se busca una respuesta rápida del sistema ante variaciones de esta
consigna, variaciones de la carga o de la tensión de entrada. Para la obtención de la ley de
control, se utiliza una realimentación múltiple de todas las variables de estado e incluso de la
entrada del sistema. Dicha ley de control actuará sobre el convertidor por medio de un
modulador de anchura de pulsos, el cual trabaja a una frecuencia constante ajustada por el
diseñador.
56
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3.2
CONTROL EN MODO DESLIZAMIENTO
3.2.1 Fundamentos
Los sistemas de estructura variable (VSS) se caracterizan por una topología variante en
el tiempo y, como resultado, la acción del control es discontinua y el conjunto planta-control
no lineal. En el caso de los convertidores conmutados la acción del control es discontinua, lo
que permite clasificarlos dentro de la categoría de VSS.
El sistema de estructura variable sometido a esta técnica de control, define dentro del
espacio de estado una superficie especifica para cada uno de los interruptores, llamada
superficie de deslizamiento o de conmutación. Mediante una ley de control a alta velocidad, se
pretende conducir la trayectoria de estado del sistema hacia estas superficies, y una vez
alcanzadas, dicha trayectoria de estado debe mantenerse intersectando entre ellas, esto es lo
que se llama modo o régimen de deslizamiento.
El sistema es, de este modo, confinado a moverse a lo largo de la intersección entre las
superficies de conmutación (o sobre la propia superficie de conmutación, en el caso de existir
un único interruptor), y a partir de ese momento no puede desplazarse libremente en el espacio
de estado, presentando así una conducta dinámica de orden reducido. Esto será posible, si en la
vecindad de cada una de las superficies de conmutación la trayectoria de estado está dirigida
hacia la superficie, a causa de la evolución adecuada del interruptor correspondiente. Así pues,
en un sistema complejo, puede establecerse una jerarquía de control, según la cual uno tras
otro, los interruptores vayan conduciendo la trayectoria de estado de la planta hacia la
superficie de deslizamiento correspondiente, quedando así el vector de estado atrapado sobre
esta superficie.
En el caso ideal, la conmutación se produce de forma infinitamente rápida, con lo que
la trayectoria de estado se mantiene sobre la superficie de conmutación. Pero en la realidad la
conmutación se produce a frecuencias finitas, debido a pequeñas imperfecciones tales como
retardos, histéresis, etc., así como limitaciones propias de los componentes físico (capacidades
parásitas, resistencias dispersas, etc.). Esto hace que aparezca un rizado en torno a la superficie
de deslizamiento, tanto mayor cuanto mayor sean los comportamientos no ideales
57
3. Control en modo deslizamiento
3.2.2 Bases del control en modo deslizamiento
Considerando un sistema de orden n que se desea controlar, su estado es representado
por un vector x con n componentes. Suponiendo que el estado x se puede medir, se pueden
diseñar sistemas de control clásicos que trabajen con realimentación de estado, y la misma
metodología puede aplicarse a los Sistemas de Control de Estructura Variable. A partir de un
vector kx, que incluye los coeficientes de realimentación de estado, se puede definir la
siguiente función:
s( x ) = k xT x + k rT r
( 3.1 )
donde r es un vector de referencia y kr es el vector que incluye los coeficientes de la
referencia. La función s(x) se asocia a los errores del sistema de control. Si s(x) tiende a cero,
el problema de control se resuelve al imponer la siguiente ley:
s( x) = 0
( 3.2 )
La ecuación (3.2) define una superficie de orden n-1 en el espacio de dimensión n. Por
ejemplo, si se considera un sistema de segundo orden, la relación (3.2) identifica una
superficie de primer orden, que es una línea recta en el plano de variables de estado. Las
condiciones para la existencia del modo deslizamiento pueden expresarse de la siguiente
manera:
s! < 0
lim s! > 0 ; lim
s →0 +
s →o −
( 3.3 )
Las dos ecuaciones de (3.3) se pueden satisfacer suponiendo una entrada de control u,
tal como está expresado en las siguientes relaciones:
u + (x, t) per s(x) > 0
u= u (x, t) per s(x) < 0
( 3.4 )
donde u+ i u- son determinadas funciones continuas que han de ser escogidas por el
sistema de control. Si la entrada de control conmuta continuamente entre u+ i u-, verificando
las condiciones (3.3), el sistema opera en modo deslizamiento, es decir, el movimiento de los
58
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errores de estado sigue la superficie de conmutación definida por (3.2).
Fig 3.38.- Funcionamiento en modo deslizamiento
La figura (3.2) muestra un ejemplo de trabajo en modo deslizamiento, en el caso n=2;
se ha introducido una banda de histéresis en el cruce con la superficie de conmutación para
evitar una frecuencia de conmutación infinita.
Cuando u es igual a u+, una trayectoria del sistema alcanza el valor de conmutación
marcado por el punto a. Después u se iguala a u-, y la trayectoria del sistema cambia y tiende
hacia el interior de la banda de histéresis, hasta que llega al valor de conmutación opuesto en el
punto b. Entonces u es igual a u+, y así hasta que se llega a un punto de equilibrio, donde la
conmutación persiste mientras se verifica la condición (3.2). En particular, como el estado del
sistema suele estar relacionado con las salidas controladas i sus derivadas, imponer la relación
(3.2) implica imponer la dinámica del sistema.
3.2.3 Sistema de estructura variable
Los sistemas de estructura variable (VSS) están caracterizados por una topología
variable con el tiempo. Como consecuencia directa la acción de control es discontinua y el
sistema no es lineal. La teoría de los VSS y el control en modo deslizamiento (SMC) son
técnicas de diseño en el dominio temporal. El SMC utiliza múltiple realimentación de estado,
y ajusta la respuesta en lazo cerrado deseada en el dominio temporal. La respuesta en algunos
casos es independiente de los parámetros del sistema.
59
3. Control en modo deslizamiento
3.2.4 Descripción mediante la dinámica de errores del sistema
La descripción de un sistema mediante variables de estado no es única. Si se utiliza el
error de una de las variables de estado ~
x , es decir,
x ≡ variable de estado
x * ≡ valor deseado
~
x ≡ error de la variable = x-x *
( 3.5 )
~
se puede definir la matriz X n×1
~
X n×1
 ~x

 d~x



 dt

=
... 


 d n −1 ~x 


 dt 
( 3.6 )
con el que la dinámica del sistema será la siguiente:
~
~
X! n ×1 = Cn × n X n ×1 + Dn ×1u + E n×1
( 3.7 )
Se puede escribir una nueva ecuación:
dx
d n −1 ~
x
~
S = GX = g 0 x~ + g1 +...+ g n −1
dt
dt
G = [g 0 g 1 ... g n-1 ]
( 3.8 )
( 3.9 )
~
La función S = GX es la suma ponderada del error ~
x i de sus derivadas sucesivas. Los
elementos de la matriz G son las ganancias de realimentación de ~
x y sus derivadas. La
ecuación S=0 representa un hiperplano en el espacio n-dimensional donde los vectores base
son el error i sus n-1 derivadas sucesivas.
La finalidad del control en modo deslizamiento consiste en obligar al sistema a
mantenerse en el hiperplano S=0 mediante una acción de conmutación adecuada. Cuando el
sistema queda restringido mediante la acción de control a moverse sobre el hiperplano o
superficie de deslizamiento, se cumple que la dinámica del sistema vendrá dictada por S=0.
60
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g0 ~
x + g1
dx
d n −1 ~
x
+...+ g n −1
=0
dt
dt
( 3.10 )
Para forzar que el sistema verifique S=0, es necesario asegurar que este alcance la
superficie de deslizamiento S=0 desde cualquier condición inicial y que, una vez alcanzada la
superficie, la acción de control sea capaz de mantener al sistema en S=0. Estas condiciones
pueden expresarse matemáticamente así:
dS
< 0 cuando S > 0
dt
dS
> 0 cuando S < 0
dt
( 3.11 )
dS
~
= GX!
dt
( 3.12 )
~
~
X! = CX + Du + E
( 3.13 )
dS
~
= GCX + GDu + GE
dt
( 3.14 )
Por otra parte,
donde
con el que resulta
Suponiendo que
u = u + cuando S > 0
u = u - - cuando S < 0
( 3.15 )
y aplicándolo a las expresiones (3.11) y (3.12) se obtiene
~
GCX + GDu + GE < 0
~
GCX + GDu + GE > 0
( 3.16 )
~
~
GCX + GDu + + GE < 0 < GCX + GDu − + GE
( 3.17 )
De forma compacta
Esta desigualdad refleja la estrategia de control a seguir. Si el control u se escoge
61
3. Control en modo deslizamiento
adecuadamente 1 o 0 según la ecuación anterior, la dinámica del sistema quedará descrita por
S=0, o de forma equivalente por las ganancias de realimentación g0, g1,...gn-1 que son
independientes de los parámetros del sistema. Debido a esta propiedad se dice que el control
en modo deslizamiento es robusto.
Todas las variables controlables han de ser continuas y accesibles. Si no se verifica esta
condición la teoría de control en modo deslizamiento basada en la dinámica del error no se
puede aplicar. En estos casos se puede utilizar la descripción basada en el análisis vectorial.
3.2.5 Descripción mediante análisis vectorial
3.2.5.1 Definición del gradiente de una superficie
Consideremos un punto cualquiera del espacio P(x,y,z) determinado por su vector de
"
" "
"
posición R = i x + jy + kz , tal como esta representado en la figura 3.3.
Fig 3.39.- Representación del punto P
Sea Φ( x, y, z ) una función escalar con derivadas primeras parciales continuas
dΦ =
(
"
"
" ∂ Φ " ∂ Φ " ∂ Φ  "
∂ Φ
∂Φ
∂Φ
 • i dx + j dy + kdz
dx +
dy +
dz =  i
+j
+k
∂ x
∂ y
∂z
∂ y
∂z
 ∂ x
)
( 3.18 )
"
" "
" "
"
Sabiendo que dR = i dx + jdy + kdz y representando el producto escalar A • B como
" "
" "
A • B = A, B
se obtiene
62
( 3.19 )
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"
"
dΦ = ∇Φ • dR = ∇Φ, dR
( 3.20 )
donde ∇Φ ≅ gradiente de Φ. Si φ(x, y, z)= constante entonces
"
dΦ ≅ ∇Φ, dR = 0
( 3.21 )
el gradiente de Φ es perpendicular a la superficie Φ=constante en el punto P.
3.2.6 Modelización matemática del sistema
Considerando los sistemas de dinámica no lineal, los cuales se pueden describir
mediante la siguiente expresión bilineal:
x! = ( Ax + δ ) + ( Bx + γ )u = f (t , x, u )
( 3.22 )
donde x es el vector de estado del sistema, por lo tanto x∈X (X simboliza el espacio de
estado) y x ∈ ℜ n ; ( Ax + δ ) y ( Bx + γ ) son campos vectoriales locales definidos en X con
( Bx + γ ) ≠ 0 , ∀x ∈ X y la función del control se define como u : ℜ n → ℜ
f
+
= f (t , x, u + ) campo vector para u +
f
−
= f (t , x, u − ) campo vector para u -
( 3.23 )
El control u definirá la ley de control del sistema, de manera que:
u + ( x) para S ( x) > 0
u= −
u ( x) para S ( x) < 0
u+ ≠ u-
( 3.24 )
3.2.7 Condiciones para la existencia del modo deslizamiento
Se debe garantizar la existencia del modo deslizamiento, es decir, que la trayectoria de
estado alcance la superficie S(x), y una vez alcanzada, se mantenga intersectando con ella. El
sistema, a partir de ese momento, pasará a tener un comportamiento dinámico de orden
restringido, donde las variables de estado actúan de acuerdo a lo previsto al diseñar el control.
Además, el modo de deslizamiento debe existir en una zona del espacio de estado que
contenga el punto de equilibrio del sistema.
63
3. Control en modo deslizamiento
3.2.8 Definición del modo de deslizamiento
Suponiendo que como resultado de la ley de control (3.24), las trayectorias del sistema
alcanzan la superficie de deslizamiento, una vez conseguido, la trayectoria de estado reducirá
sus movimientos a una vecindad de dicha superficie.
La condición necesaria y suficiente para alcanzar la superficie S(x)=0 vendrá dada por
lim+ ∇S, f+ < 0
S→ 0
∇S, f
lim−
-
>0
( 3.25 )
S→0
donde ∇S es el gradiente de S(x) y se denota mediante , , producto escalar de vectores.
Fig 3.40.- Proyecciones de f sobre ∇S
Existe un modo de deslizamiento si las proyecciones de los campos vectores f
+
yf
-
sobre el gradiente de la superficie son de signo opuesto y apuntan hacia la superficie. Esta
situación está representada en la figura 3.4.
3.2.9 Condición de invarianza. Dinámica ideal de deslizamiento
En estas condiciones se puede decir que la dinámica ideal de deslizamiento se
caracteriza por las condiciones de invarianza:
64
S =0
( 3.26 )
∇S, f(t, x, u eq ) = 0
( 3.27 )
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La condición (3.27) define la noción de control equivalente ueq como la ley de control
continua que constriñe las trayectorias de estado a la superficie S.
Sustituyendo la expresión (3.22) en (3.27) se obtiene:
∇S , ( Ax + δ ) + ( Bx + γ )ueq = 0
( 3.28 )
Por tanto,
ueq = −
∇S , Ax + δ
∇S , Bx + γ
( 3.29 )
∇S, Bx + γ ≠ 0
( 3.30 )
Existirá control equivalente si
Esta condición se denomina condición de transversalidad, e implica que Bx +γ no
puede ser tangente a la superficie S
S =0
( 3.31 )
∇S, f(t, x, u eq ) = 0
( 3.32 )
Fig 3.41.- Condición de transversalidad
 x1(t ) 
x =  x 2(t )
 x3(t ) 
( 3.33 )
S ( x) = S ( x1(t ); x 2(t ); x3(t ))
( 3.34 )
65
3. Control en modo deslizamiento
 ∂ S " ∂ S " ∂ S "  dx1 " dx2 " dx3 "
i +
j+
k
i +
j+
k = 0

 ∂ x1
dt
dt 
∂ x2
∂ x3   dt
( 3.35 )
∂ S dx1 ∂ S dx2 ∂ S dx3
+
+
=0
∂ x1 dt ∂ x2 dt ∂ x3 dt
( 3.36 )
De forma equivalente:
dS
=0
dt
( 3.37 )
Por tanto, las condiciones de invarianza pueden expresarse así:
s=0
( 3.38 )
dS
=0
dt
( 3.39 )
3.2.10 Condición de existencia
Teniendo en cuenta las expresiones de (3.23), se puede escribir
∇S , f
+
= ∇S , ( Ax + δ ) + u + ( Bx + γ ) < 0
∇S , f
−
= ∇S , ( Ax + δ ) + u − ( Bx + γ ) > 0
( 3.40 )
Por tanto,
∇S ,−( Ax + δ ) − u − ( Bx + γ ) < 0
( 3.41 )
y sumando las ecuaciones de (3.40)
∇S , (u + − u − )( Bx + γ ) < 0
( 3.42 )
Si se considera u+>u- entonces (3.42) quedará
∇S , ( Bx + γ ) < 0
( 3.43 )
Por otra parte, restando (3.28) a la segunda ecuación de (3.40) se obtiene:
(
)
∇S , u + − ueq ( Bx + γ ) > 0
66
( 3.44 )
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Esto implica
u − − ueq < 0
( 3.45 )
u − < ueq < u +
( 3.46 )
En forma compacta,
Considerando u->u+ se obtendria de forma similar
u + < ueq < u −
( 3.47 )
max(u + , u − ) > ueq > min(u + , u − )
( 3.48 )
Así se puede concluir que
Esta expresión indica la condición necesaria y suficiente para la existencia de un
régimen o modo deslizamiento en el espacio de estado
3.2.11 Regiones de deslizamiento
Cuando la trayectoria de estado se encuentre en un entorno alrededor de la superficie de
deslizamiento con una acción de control u+ o u-, se cumplirán la inecuaciones (3.40). En esta
situación las regiones de deslizamiento quedan definidas como
{
}
para u +
( 3.49 )
{
}
para u -
( 3.50 )
R + = x ∈ ℜ n : ∇S , (Ax + δ ) + u + (Bx + γ ) < 0
R − = x ∈ ℜ n : ∇S , (Ax + δ ) + u − (Bx + γ ) > 0
Existe un régimen de deslizamiento en S(x) localmente si y solamente si
R + ∩ R − ∩ S es un conjunto no vaci o
3.2.12 Punto de equilibrio
Una vez determinada la existencia de un modo de deslizamiento del sistema en S(x), se
debe asegurar que la trayectoria de estado, bajo el comportamiento dinámico establecido por la
ley de control, va a ser conducida hacia un punto de equilibrio en el espacio de estado.
Para determinar el punto de equilibrio, se considera la trayectoria de estado bajo la
acción del control equivalente. Entonces se supone que en dicho punto se cumple
67
3. Control en modo deslizamiento
x! = 0
( 3.51 )
x! = ( Ax + δ ) + ( Bx + γ ) ⋅ Ueq
( 3.52 )
imponiendo esta condición en
Se obtiene la expresión
0 = ( Ax + δ ) + ( Bx + γ ) ⋅ Ueq
( 3.53 )
La ecuación (3.53), indica un punto en el espacio de estado cuyas componentes serán
los valores constantes de las variables de estado.
3.2.13 Estabilidad del punto de equilibrio
Un determinado sistema, puede ser que cumpla las condiciones de existencia de un
régimen de deslizamiento y además posea un punto de equilibrio, pero si este punto no cumple
los requisitos de estabilidad, no se puede utilizar el control en modo deslizamiento.
3.3
ESTUDIO SISTEMÁTICO DE LAS ESTRATEGIAS DE CONTROL
El siguiente método se basa en la descripción mediante la dinámica de
errores del sistema y en el análisis vectorial que se ha expuesto en las secciones anteriores.
Permite analizar las regiones en el espacio de estado donde se pueden crear regímenes de
deslizamiento y realizar la implementación del control, si es necesario.
El procedimiento que se sigue es el siguiente:
1. Análisis de la condición de transversalidad
2. Obtención del control equivalente ueq
3. Definición de las regiones de deslizamiento
4. Estudio de la dinámica ideal de deslizamiento
5. Obtención de los puntos de equilibrio según la dinámica ideal de deslizamiento
6. Análisis de la estabilidad de los puntos de equilibrio
7. Conclusiones
Se estudian diversas estrategias de control aplicando este método sistemático. En
función de los resultados obtenidos se determina en qué condiciones cada estrategia de control
es válida para realizar el control deseado.
68
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3.4
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DEL SISTEMA
Fig 3. 1. Convertidor elevador Boost
La descripción matemática de estos convertidores es la siguiente:
x! = A1 x + B1
x! = A2 x + B 2
para
para
u =1
u=0
( 3.54 )
siendo
i 
x= 
v 
( 3.55 )
Compactando:
x! = ( A1 x + B1)u + ( A2 x + B 2)(1 − u) =
= A2 x + B 2 + ( A1 − A2 ) xu + ( B1 − B 2 )u =
( 3.56 )
= A2 x + B 2 + [( A1 − A2 ) x + ( B1 − B 2 )]u
Definiendo
A = A2
δ = B2
B = A1 − A2
γ = B1 − B 2
( 3.57 )
se obtiene la siguiente descripción bilineal
x! = ( Ax + δ ) + ( Bx + γ )u
( 3.58 )
69
3. Control en modo deslizamiento
En el convertidor elevador, los valores de las matrices A, δ, B y γ, según los cálculos
realizados en el segundo capítulo, serán los siguientes:
3.5
A1
B1
0 0
 -1 
0 
 RC
 Vg 
L
 
0 
A2

0

1
C
B2
−1
L

-1 
RC
A
 Vg 
L
 
0 

0

1
C
−1
L

-1 
RC
δ
B
γ
 Vg 
L
 
0 
 −1
0 L 


 1 0
C 
0
0
 
SUPERFICIES DE DESLIZAMIENTO
Se analizarán las diferentes superficies de deslizamiento, que se pueden utilizar para
para controlar el circuito. Principalmente las superficies que interesan son las formadas por
una variable de estado o las formadas por una combinación lineal de estas.
3.5.1 Superficie de una variable S(x)=v-K=0
0. Definición de las regiones de deslizamiento
S(x) = v - K = 0
( 3.59 )
∇S = (0,1)
( 3.60 )
1. Análisis de la condición de transversalidad
∇S , Bx + γ ≠ 0
(0,1),  v ,−
L
i 
i
 =− ≠0
C
C
( 3.61 )
( 3.62 )
2. Obtención del control equivalente Ueq(x)
u eq ( x) = −
70
∇S , Ax + δ
∇S , Bx + γ
=−
 Vg − v i
v 
i
v

, −

−
L
C
RC
v


= − C R ⋅ C =1−
i
i
R⋅i
−
C
C
(1,0), 
( 3.63 )
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3. Definición de las regiones de deslizamiento
0 < u eq < 1
0 <1−
( 3.64 )
v
<1
R⋅i
De forma equivalente,
i>
v
R
( 3.65 )
4. Estudio de la dinámica ideal de deslizamiento
v=K
( 3.66 )
di
v Vg v
v Vg v 
v  Vg
v2
=− +
+ u eq = − +
+ 1 −
=
−

dt
L L L
L L L
R⋅i L L⋅ R⋅i
( 3.67 )
5. Obtención del punto de equilibrio del sistema (i*)
v* = K
0=
Vg
L
−
( 3.68 )
K2
K2
⇒ Vg ⋅ i * =
L ⋅ R ⋅ i * &%$ #
R
Potencia
( 3.69 )
Potencia
salida
entrada
6. Análisis de la estabilidad del punto de equilibrio
g 1 ( x) =
g1( x) ≈ g1( x) x = x*
dg 1( x)
+
dv
g 1( x) x = x*
x = x*
di V g
K2
=
+
dt L L ⋅ R ⋅ i
L⋅R
Vg ⋅ R
2
K2
(i − i*) =
( 3.70 )
K4
2
Vg R 2
(i − i*) =
L⋅K2
(i − i *)
( 3.71 )
K2
= 0 ; i* =
↑
VgR
71
3. Control en modo deslizamiento
Es decir
di V g ⋅ R
i − i*
≈
2
dt L ⋅ K
2
(
(
)
)
d i − i * Vg ⋅ R
i − i*
≈
dt
L⋅K2
2
(
( 3.72 )
)
2
~
d i Vg ⋅ R ~
i
≈
dt
L⋅K 2
( 3.73 )
( 3.74 )
Vg ⋅ R
2
t
2
~ ~
i = i (0)e L⋅K
( 3.75 )
7. Conclusiones
Como
Vg ⋅ R
2
L⋅K2
>0
( 3.76 )
el punto de equilibrio es inestable. No hay un modo de deslizamiento en el convertidor
boost para la tension de salida=constante
3.5.2 Superficie de una variable S(x)=i-K=0
0. Definición de las regiones de deslizamiento
S(x) = i - K = 0
( 3.77 )
∇S = (1,0)
( 3.78 )
1. Análisis de la condición de transversalidad
∇S , Bx + γ ≠ 0
(1,0 ),  v ,−
L
72
i 
v
 = ≠0
C
L
( 3.79 )
( 3.80 )
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2. Obtención del control equivalente Ueq(x)
ueq ( x ) = −
∇S , Ax + δ
∇S , Bx + γ
 Vg − v i
v 
Vg v

, −
−
C RC 
Vg
 L
L L
=−
= 1−
v
v
v
L
L
(1,0), 
=−
( 3.81 )
3. Definición de las regiones de deslizamiento
0 < ueq < 1
0 < 1−
Vg
v
( 3.82 )
<1
De forma equivalente,
v > Vg
( 3.83 )
4. Estudio de la dinámica ideal de deslizamiento
i=K
( 3.84 )
KVg
dv K
v
K
K
v
K  Vg 
v
= −
− ueq = −
− 1 −  = −
+
dt C RC C
C RC C 
v
RC
Cv
( 3.85 )
5. Obtención del punto de equilibrio del sistema (i*)
i* = K
0=
( 3.86 )
K ⋅ Vg
v*
v *2
+
⇒
= K ⋅ Vg
&%$
R⋅C C ⋅v*
R
#
Potencia
Potencia
salida
v* = K ⋅ R ⋅ Vg
( 3.87 )
entrada
( 3.88 )
73
3. Control en modo deslizamiento
6. Análisis de la estabilidad del punto de equilibrio
K ⋅ Vg
dv
v
=−
+
dt
C⋅R
C ⋅v
( 3.89 )


1
K ⋅ Vg
(v − v*) = −
−
 (v − v*) =
2
C
R
⋅
C
v
⋅
x = x*
*
x
x
=


 1

K ⋅ Vg
2
(v − v*)
−
 (v − v*) = −
R ⋅C
 R ⋅ C C ⋅ K ⋅ R ⋅ Vg v = v* 
( 3.90 )
g 1 ( x) =
g 1( x) ≈ g 1( x) x = x* +
dg 1( x)
dv
Es decir
dv
2
(v − v * )
≈−
dt
CR
( 3.91 )
d (v − v * )
2
v − v* )
(
≈−
dt
CR
( 3.92 )
2 ~
v~! ≈ −
v
CR
( 3.93 )
−2 t
~
v~ = V (0)e CR
( 3.94 )
7. Conclusiones
El punto de equilibrio es estable. Se puede crear un modo de deslizamiento en el
convertidor boost en la región
v > Vg > 0
i= K>0
74
( 3.95 )
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3.5.2.1 Simulación del circuito
Para facilitar la representación del circuito se incluirá el modelo del Boost en un bloque
con dos entradas (Vg, D) y dos salidas (I,V).
1
I
0
1
a11
1 /L
1
s
P ro d u c t
i
Sum
D
b1
-1 / L
2
1 /L
a12
Vg
S ig m a
1 /C
1
2
a21
-1 / C
s
v
Sum 1
P ro d u c t 1
b2
V
- 1 / (R * C )
a22
Fig 3.42.- Implementación del modelo del convertidor Boost
Utilizando los valores de los componentes indicados en el apartado 2.7.2 y sustituyendo en la
ecuación (3.88) se obtiene el valor de la señal de referencia:
v* = K ⋅ R ⋅ Vg
⇒
v *2
K=
= 1.0909
Vg ⋅ R
( 3.96 )
La implementación del control en modo deslizamiento de la superficie S(x)=i-K será:
t
T o W orkspace
Clock
i
0
u
T o W orkspace1
T o W orkspace2
t1
i1
u1
v
D
I
12
Vg
V
Vg
Boost
T o W orkspace3
v1
Sum 2
1.0909
Relay
Constant
Fig 3.43.- Implementación del circuito en Simulink
75
3. Control en modo deslizamiento
3.5.2.1.1
Influencia de la banda de histeresis
El controlador en modo deslizamiento deberá observar la superficie escogida, y en
función del error de la misma respecto a cero, variará la señal de control del convertidor. El
principio de funcionamiento de este tipo de control es llevar a la salida del sistema a oscilar
alrededor de la superficie de deslizamiento escogida. Se intentará que la amplitud de dicha
oscilación sea lo menor posible, ya que así se obtendrá una salida más cercana a la deseada.
Se puede implementar físicamente el controlador en modo deslizamiento mediante un
comparador con histéresis. Este dispositivo variará su salida en función del resultado de la
comparación de la señal de entrada con los límites marcados en su banda de histéresis, y según
se haya rebasado por encima o por debajo se asignará se escogerá el valor de salida.
Ancho de Frecuencia de Amplitud
la banda
conmutación
de rizado
0.08
≅170KHz
7mV
0.13
≅108KHz
11mV
0.2
≅70KHz
19mV
Fig 3.44.- Efecto de la variación de la banda de histeresis en la tensión de salida
Se puede comprobar como a medida que esta banda se reduce, el sistema se mantiene
más cercano a la superficie de deslizamiento elevando la frecuencia de conmutación, y
consiguiendo que el rizado de la tensión de salida sea menor.
Aunque las herramientas de simulación nos permiten aumentar casi indefinidamente la
frecuencia de conmutación, los componentes del mercado tienen limitada la frecuencia
máxima de funcionamiento Los componentes reales poseen unos márgenes de conmutación
oscilan entre 50KHz y 100KHz.
76
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La elección de una banda de histéresis de 0.2 proporcionará una frecuencia de
conmutación que permitirá una posible implementación del circuito y mantiene el error en una
cota suficientemente pequeña para considerar que se ha obtenido el resultado deseado.
3.5.2.1.2
Respuesta del sistema con control en modo deslizamiento
Se puede comprobar como la tensión de salida del sistema se estabiliza para t ≅ 0.7 ms .
Además, se observa claramente como el circuito entra en funcionamiento en modo
deslizamiento para Vo>Vg, y conduce los parámetros del sistema hacia su funcionamiento
estable en el punto de trabajo.
Fig 3.45.- Respuesta del Boost en modo deslizamiento (S=i-K)
3.5.2.1.3
Respuesta del sistema en estado estacionario
La tensión de salida aproximadamente un 1% inferior a la calculada, por lo que se
considerará que se ha alcanzado el resultado deseado.
Si se observan las gráficas en estado estacionario, se puede comprobar como la
frecuencia de conmutación es aproximadamente de 67KHz. Esto hace que la señal de las
variables de estado tengan mucho menos rizado (≅80mV), aunque siguen teniendo el rizado
típico debido a la absorción y la cesión de energía de los elementos almacenadores en el
cambio del subcircuito del Boost en ON y el de OFF.
77
3. Control en modo deslizamiento
Fig 3.46.- Valores de las señales en régimen permanente
3.5.2.1.4
Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación
Si se introduce una perturbación de 3V en la tensión de alimentación Vg, cabe esperar
que la tensión de salida varíe respecto al valor de estabilización anterior.
v* = K * R * Vg = 1.0909 * 44 * 15 = 26.83
Fig 3.47.- Respuesta del sistema ante una perturbación de Vg
78
( 3.97 )
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En la figura 3.11 se puede observar que al introducir una perturbación en la tensión de
alimentación, se produce un incremento en la tensión de salida, estabilizándose en una tensión
de Vo=26.81, valor prácticamente igual al calculado teóricamente.
3.5.2.1.5
Respuesta ante perturbaciones en la carga
Introduciendo una perturbación en la carga que incrementa su valor en un 20%, cabe
esperar que la tensión en la carga se estabilice al nuevo valor
v* = K * R * Vg = 1.0909 * 52.8 * 12 = 26.29
( 3.98 )
Puede comprobarse como el circuito se comporta tal y como se esperaba,
estabilizándose en un valor de Vo=26.275V, muy cercano al calculado teóricamente.
Fig 3.48.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 20% en la carga
79
3. Control en modo deslizamiento
En el caso de la introducción de una perturbación de un 50% en la carga la tensión de
salida será v* = K * R * Vg = 1.0909 * 66 * 12 = 29.39 , que como se puede comprobar se
estabiliza a 29.32V.
Fig 3.12(b).-Respuesta del sistema ante una perturbación del 50% en la carga
3.5.3 Superficie de dos variables S ( x) = i − K 2 ⋅ (Vref − v)
0. Definición de las regiones de deslizamiento
S ( x) = K ⋅ i − K 1 ⋅ (Vref − v) = 0
S ( x) = i − K 2 ⋅ (Vref − v) = 0
K , K 1 = constantes
K 2 , Vref = constantes
( 3.99 )
El gradiente de esta superficie será
∇S = (1,− K 2 )
( 3.100 )
1 para S ( x) < 0
u=
0 para S ( x) > 0
( 3.101 )
1. Análisis de la condición de transversalidad
(∇S , Bx + γ )
80
i 
v K ⋅i
v
= (1,− K 2 ),  ,−  = + 2 ≠ 0
L
C
L C
( 3.102 )
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La condición depende del signo y del valor de la constante K2. En este caso se supondrá
K2>0 y por lo tanto resultará:
(∇S , Bx + γ )
=
v K2 ⋅ i
+
>0
L
C
( 3.103 )
2. Obtención del control equivalente Ueq(x)
v 
 Vg − v 
Vg  


L + =
L


L
v
i
v 
  0   −

−
R⋅C
C R ⋅ C 

0
Ax + δ = 
i

C
Ueq ( x) = −
(∇S , Ax + δ )
(∇S , Bx + γ )
−
 Vg − v i
v 

, −

L
C
R
C
⋅


(1,− K 2 ), 
=-
(1,− K 2 ),  v ,−
L
Ueq( x) = 1 −
i 

C
( 3.104 )
Vg − v
= -
R ⋅ C ⋅V g + K 2 ⋅ L ⋅ v
R ⋅C ⋅v + K 2 ⋅ L ⋅ R ⋅i
L
K2 ⋅ i K2 ⋅ v
+
C
R⋅C =
v K2 ⋅ i
+
L
C
−
( 3.105 )
3. Definición de las regiones de deslizamiento
∇S , (u + − u − )( Bx + γ )
(∇S , Bx + γ )
⟨ 0
⟩ 0 ⇒ u+ < u− ⇒u+ = 0 ; u− =1
( 3.106 )
( 3.107 )
∇S , (Ax + δ ) + u + (Bx + γ ) ⟨ 0
∇S , (Ax + δ ) + 0 ⋅ (Bx + γ ) ⟨ 0
 Vg − v i
(1,− K 2 ), 

Vg − v
L
v ⟨
−
,
L
K2 ⋅ i
+
C
−
v 
 ⟨ 0
R ⋅ C 
( 3.108 )
K2 ⋅ v
⟨ 0
C
R⋅C
-R (Vg ⋅ C − K 2 ⋅ L ⋅ i )
− R ⋅ C + K2 ⋅ L
81
3. Control en modo deslizamiento
∇S , (Ax + δ ) + u − (Bx + γ ) ⟩ 0
∇S , (Ax + δ ) + 1 ⋅ (Bx + γ ) ⟩ 0
 Vg
(1,− K 2 ), 
 L
Vg
L
+
v ⟩ -
,−
v 
 ⟩ 0
R ⋅ C 
( 3.109 )
K2 ⋅ v
⟩ 0
R ⋅C
Vg ⋅ R ⋅ C
K2 ⋅ L
Por lo tanto las regiones de deslizamiento se definen por:
-R (Vg ⋅ C − K 2 ⋅ L ⋅ i )

+
ℜ+ =  x ∈ ℜ n : v ⟨
 para u = 0
− R ⋅C + K2 ⋅ L 

Vg ⋅ R ⋅ C 

ℜ− =  x ∈ ℜ n : v ⟩  para u = 1
2
K
L
⋅


( 3.110 )
En forma compacta
-
Vg ⋅ R ⋅ C
-R (Vg ⋅ C − K 2 ⋅ L ⋅ i )
⟨ v ⟨
K2 ⋅ L
− R ⋅C + K2 ⋅ L
( 3.111 )
0 ⟨ Ueq ⟨ 1
( 3.112 )
Ahora se puede calcular los márgenes de K2 entre los que el sistema permanecerá en las
regiones de deslizamiento
-
Vg ⋅ R ⋅ C
R ⋅ C (Vg − v )
⟨ K2 ⟨
L⋅v
L(R ⋅ i − v )
( 3.113 )
4. Estudio de la dinámica ideal de deslizamiento
x! = (Ax + δ ) + (Bx + γ ) ⋅ U eq
i − K 2 (Vref − v )
82
( 3.114 )
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La dinámica es de orden n-1


di
v Vg v
di
=− +
+ U eq 
=0


dt
L L L
dt

 dv i
v
i
dv i
v
i

= −
− U eq 
= −
− U eq


dt
C
R
C
C
⋅
dt C R ⋅ C C


i − K 2 (Vref − v) = 0

5. Obtención del punto de equilibrio
(i
*
i * = K 2 ⋅ Vref − K 2 ⋅ v * 
K 2 ⋅ Vg ⋅ R ±
i
v
i
⇒ v* = −

0= −
− U eq 
C R⋅C C

, v*
( 3.115 )
)
(K 2 ⋅ Vg ⋅ R )2 + 4 ⋅ K 2 ⋅ Vref ⋅ Vg ⋅ R
2
( 3.116 )
6. Análisis de la estabilidad del punto de equilibrio


R ⋅ C ⋅ V g + K 2 ⋅ L ⋅ v 
dv i
v
i 
1 −

= −
−
dt C R ⋅ C C 
R ⋅ C ⋅ v + K 2 ⋅ L ⋅ R ⋅ i 

i = K 2 ⋅ Vref - K 2 ⋅ v
( 3.117 )
dv
− v 2 + R ⋅ Vg ⋅ i
− v 2 + R ⋅ Vg ⋅ [K 2 ⋅ Vref − K 2 ⋅ v ]
=−
=
=
dt
R ⋅ C ⋅ v + K 2 ⋅ L ⋅ R ⋅ i R ⋅ C ⋅ v + K 2 ⋅ L ⋅ R ⋅ [K 2 ⋅ Vref − K 2 ⋅ v ]
− v 2 − K 2 ⋅ R ⋅ Vg ⋅ v + K 2 ⋅ R ⋅ Vg ⋅ Vref
=
= g1
(R ⋅ C − K 2 2 ⋅ L ⋅ R ) ⋅ v + K 2 2 ⋅ L ⋅ R ⋅ ⋅Vref
g 1( x )
≅ g1( x ) x = x* +
g 1( x ) ≅ −
[(
dg 1( x )
dv
( v − v*)
=−
[(
2
( 3.118 )
2
+ ( 2 ⋅ Vref ⋅ K 2 L )v − K 2 ⋅ R ⋅ C ⋅ Vref ⋅ Vg
R C − K2
x = x*
g 1( x ) x = x* = 0
2
)
2
⋅ L ⋅ v + K 2 ⋅ L ⋅ Vref
]
2
) α + RVg (CK 2 RVg − 4VrefC + 4 K 2
)
(
R C − K 2 ⋅ L ⋅ á + K 2 -C ⋅ R ⋅ Vg + 2 ⋅ L ⋅ Vref + K 2
2
⋅
2
v = v*
LVref + K 2 LRVg
L ⋅ R ⋅ Vg
( v − v*)
2
↑
2 K 2 CRVg − 2 K 2 LVref − K 2 LRVg
[(
2
(C − K 2 L ) v
.
3
)]
2
)]
( v − v*)
↑ α = K 2 ⋅ R ⋅ Vg ⋅ ( K 2 ⋅ R ⋅ Vg + 4 ⋅ Vref )
( 3.119 )
83
=
3. Control en modo deslizamiento
Es decir
[
dv
2 K 2 (CRVg − 2 K 2 LVref
≅−
dt
(
[
− K 2 LRVg
2
)
)
(
α + RVg CK 2 RVg − 4VrefC + 4 K 2 LVref + K 2 LRVg
2
(
R C − K 2 ⋅ L ⋅ á + K 2 -C ⋅ R ⋅ Vg + 2 ⋅ L ⋅ Vref + K 2
2
⋅
3
L ⋅ R ⋅ Vg
)]
2
)]
( v − v*)
( 3.120 )
[
d (v − v*)
2 K 2 (CRVg − 2 K 2 LVref
≅−
dt
(
− K 2 LRVg
2
[
)
)
(
α + RVg CK 2 RVg − 4VrefC + 4 K 2 LVref + K 2 LRVg
2
(
R C − K 2 ⋅ L ⋅ á + K 2 -C ⋅ R ⋅ Vg + 2 ⋅ L ⋅ Vref + K 2
2
⋅
L ⋅ R ⋅ Vg
3
)]
2
)]
(v − v*)
( 3.121 )
[
2 K 2 (CRVg − 2 K 2 LVref
v~! ≅ −
[(
− K 2 LRVg
2
)
)
(
α + RVg CK 2 RVg − 4VrefC + 4 K 2 LVref + K 2 LRVg
2
(
R C − K 2 ⋅ L ⋅ á + K 2 -C ⋅ R ⋅ Vg + 2 ⋅ L ⋅ Vref + K 2
2
⋅
L ⋅ R ⋅ Vg
3
)]2
)] ~v
( 3.122 )
v~ ≅ V (0) ⋅ e
−
[(
2 K 2 CRVg − 2 K 2 LVref − K 2 2 LRVg
Teniendo en cuenta
[
)
(
α + RVg CK 2 RVg − 4VrefC + 4 K 2 2 LVref + K 2 3 LRVg
(
R (C − K 2⋅ L )⋅ á + K 2 -C ⋅ R ⋅Vg + 2⋅ L ⋅Vref + K 2 ⋅ L ⋅ R ⋅Vg
2
α = K 2 ⋅ R ⋅ Vg ⋅ ( K 2 ⋅ R ⋅ Vg + 4 ⋅ Vref ) ,
)]
2
)]⋅t
( 3.123 )
y sustituyendo valores, se
comprueba que el exponente de la función será negativo, y por lo tanto el punto de equilibrio
estable para
K 2 > −1.033
tal y como se puede observar a continuación en la representación gráfica de la variación
del exponente en función de K2.
84
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Fig 3.49.- Influencia de la variación de K2 en la estabilidad del punto de equilibrio
3.5.3.1 Estudio del circuito en el dominio de la transformada de Laplace
Para estudiar la estabiliad del sistema se ddebe obtener el modelo dinámico lineal del
convertidor en forma de la transformada en el dominio de Laplace. Para ello se utilizará el
modelo descrito en la figura 3.12. Este es el diagrama de bloques general de un convertidor
continua-continua, pudiendo ser controlado por un PWM (m≠0), o por un controlador en modo
deslizamiento (m=0).
G1(s)
x*
+
Kn (s+z)/s
-
+
x1(s)
u(s)
1/m
-
G2(s)
x2(s)
SUM(Ki* xi)
Gn(s)
xn(s)
K1,K2...Kn-1
Fig 3.50.- Diagrama de bloques del convertidor dc-dc
Las diferentes funciones Gx(s), representan la función de transferencia de cada variable
respecto a la señal de control u(s) y los factores Kx representan los coeficientes con los que se
realimenta cada variable.
Particularizando el circuito general al control en modo deslizamiento que se estudia, se
obtiene el siguiente circuito:
85
3. Control en modo deslizamiento
Vref
+
+
K2
-
1/m
Gv(s)
Vo
-
Gi(s)
Fig 3.51.- Boost controlado en modo deslizamiento con superfie S(x) = i − K2 ⋅ (Vref - v )
Según los cálculos realizados en el apartado 2.6.3 las funciones de transferencia
respecto al control serán:
Vg
Vg
S +
2
v( S )
′
L ⋅C
Gv( s ) =
= C ⋅ R ⋅D
d (S )
1
D′2
S2 +
S +
R ⋅C
L ⋅C
−
( 3.124 )
P o le z e ro m a p
Im a g A x i s
4000
2000
0
-2 0 0 0
-4 0 0 0
-1
0
1
2
3
4
5
6
R e a l A x is
x 10
4
Im a g A x i s
2000
1000
0
-1 0 0 0
-2 0 0 0
-1 0 0
-9 0
-8 0
-7 0
-6 0
-5 0
-4 0
-3 0
D i a g r a m a d e p o l s i z e r o s d e G v( s )
-2 0
-1 0
0
Fig 3.52.- Diagrama de polos y ceros de Gv(s)
2 ⋅ Vg
Vg
S+
i(S ) L ⋅ D ′
L ⋅ R ⋅ C ⋅ D′
Gi( s ) =
=
d (S )
1
D′2
S2 +
S +
R ⋅C
L ⋅C
86
( 3.125 )
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P o le
z e ro
m a p
2 5 0 0
2 0 0 0
1 5 0 0
Im a g A x is
1 0 0 0
5 0 0
0
-5 0 0
-1 0 0 0
-1 5 0 0
-2 0 0 0
-2 5 0 0
-2 5 0
-2 0 0
-1 5 0
D ia g ra m a
d e p o ls
-1 0 0
i z e ro s
d e
-5 0
0
G i(s )
Fig 3.53.- Diagrama de polos y ceros de Gi(s)
Se observa que la función de transferencia de la salida de intensidad respecto al control,
tiene un cero en el semiplano derecho del plano S, lo que indica que se trata de un sistema de
fase no mínima
3.5.3.2 Sistemas de fase mínima y de fase no mínima
Las funciones de transferencia que no tienen polos ni ceros en el semiplano derecho del
plano S son funciones de transferencia de fase mínima, mientras que si tienen polos y/o ceros
en el semiplano derecho del plano S son funciones de transferencia de fase no mínima. Los
sistemas con funciones de transferencia de fase mínima se llaman sistemas de fase mínima; y
los que tienen funciones de transferencia no mínimas se denominan sistemas de fase no
mínima.
Para sistemas con la misma característica de magnitud, la variación en el ángulo de fase
de funciones de transferencia de fase mínima es mínima para todos estos sistemas, mientras
que la variación en el ángulo de fase de cualquier función de transferencia de fase no mínima
es mayor que este mínimo.
Considérese como ejemplo dos sistemas cuyas funciones de transferencia senoidales
son respectivamente,
G1 ( jω ) =
1 + jωT
1 + jωT1
G 2 ( jω ) =
1 − jωT
1 + jωT1
0 < T < T1
( 3.126 )
Las configuraciones de ceros y polos de estos sistemas se muestran en la figura 2.16.
Las dos funciones de transferencia senoidales tienen la misma característica de magnitud, pero
87
3. Control en modo deslizamiento
tienen distintas características de ángulo de fase como se muestra en la figura 2.18.
G1 ( s ) =
1 + Ts
1 + Ts
G2 ( s) =
1 − Ts
1 + Ts
Fig 3.54.- Diagrama de polos y ceros
Estos dos sistemas se diferencian entre sí por el factor
G ( jω ) =
1 − j ωT
1 + jωT
( 3.127 )
La magnitud del factor (1 − jωT ) / (1 + jωT ) es siempre la unidad. Mientras que el
ángulo de fase es igual a − 2 ⋅ tg −1 ùT y varía de 0 180º cuando ω crece de cero a infinito.
Para un sistema de fase mínima, las características de magnitud y de ángulo de fase
están directamente relacionadas. Esto significa que si la curva de magnitud de un sistema se
especifica sobre una variación de frecuencia de cero a infinita, la curva de ángulo de fase está
determinada unívocamente, y viceversa. Esto no se mantiene para sistemas de fase no mínima.
Las situaciones de fase no mínima se pueden presentar de dos formas diferentes. Una
es simplemente cuando un sistema incluye un elemento ovarios elementos de fase no mínima.
La otra situación se puede presentar cuando un lazo secundario es inestable.
Para un sistema de fase mínima, el ángulo de fase en ω = ∞ llega a ser –90º(q-p),
donde p y q son respectivamente los grados de los polinomios del numerador y del
denominador de la función de transferencia. Para un sistema de fase no mínima, el ángulo de
fase en ω = ∞ difiere de –90º(q-p). En cualquier sistema la pendiente de la curva del logaritmo
de la magnitud en ω = ∞ es igual a –20 (q-p) dB/década. Por tanto es posible detectar si un
sistema es de fase mínima o no examinando la pendiente de la asíntota de altas frecuencias de
la curva del logaritmo de la magnitud y el ángulo de fase en ω = ∞ Si la pendiente de al curva
del logaritmo de la magnitud cuando ω se aproxima a i finito es –20(q-p) dB/década y el
88
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ángulo de fase en ω = ∞ es igual a –90º(q-p), el sistema es de fase mínima.
Fig 3.55.- Diagrama de fase
Si se considera un sistema de segundo orden de fase no mínima:
s
+1
α ⋅ζ
H ( s) = 2
s + 2 ⋅ζ ⋅ s +1
H ( s) =
1
s
−1
+
2
s + 2 ⋅ζ ⋅ s +1 α ⋅ζ s + 2 ⋅ζ ⋅ s +1
&''%''$ &'''%'''$
2
Ho ( s )
( 3.128 )
( 3.129 )
Hd ( s )
El primer término, Ho(s), es el término original (sin ningun cero finito), y el segundo
Hd(s), que introduce el cero, es el producto de la contante (1 / α ⋅ ζ ) veces s el término
original. La transformada de Laplace de df/dt es sF(s), por lo que Hd(s) corresponde al
producto de una contante derivativa del término original.
89
3. Control en modo deslizamiento
Fig 3.56.- Respuesta al escalón
Como se puede comprobar en la figura 3.20, la parte derivativa produce una respuesta
contraria a la excitación del sistema, que al sumarse a la respuesta Ho(s), provoca que la
respuesta de un sistemas de fase no mínima sea lenta debido a su defectuoso comportamiento
al comienzo de la misma. En la mayoría de los sistemas de control prácticos, se deberían de
evitar cuidadosamente los excesivos retardos de fase. En el diseño de un sistema, si lo
importante es la velocidad de respuesta no se deberían utilizar componentes de fase no
mínima.
3.5.3.3 Cálculo de la función de transferencia del convertidor
En primer lugar, el bucle de realimentación de corriente será:
u(s)
+
1/m
-
Gi(s)
Fig 3.57.- Bucle de corriente
90
U1(s)
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G1( s ) =
U 1( s )
=
u (s)
1
D′2
S +
R ⋅C
L⋅C
2
2 ⋅ Vg
1
D ′   Vg

 + 
S +
S +
+

R ⋅C
L ⋅ C   L ⋅ D′
L ⋅ R ⋅ C ⋅ D′ 
S2 +

m ⋅  S 2

D′2
1
S +
R ⋅C
L ⋅C
lim m →0 G1( s ) =
2 ⋅ Vg
Vg
S +
L ⋅ R ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ D′
( 3.130 )
S2 +
( 3.131 )
Añadiendo el bloque de ganáncia de tensión:
+
u(s)
1/m
Gv(s)
U2(s)
-
Gi(s)
Fig 3.58.- Ganancia del circuito en bucle abierto
G 2( s ) =
U 2( s )
NumGv( s )
L ⋅ S − R ⋅ D′2
=
=
u ( s ) C ⋅ R ⋅ D ′ S + 2 ⋅ D ′ NumGi( s )
( 3.132 )
Pole zero map
1
Imag Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
x 10
4
1
Imag Axis
0.5
0
-0.5
-1
-250
-200
-150
-100
-50
Diagrama de pols i zeros del Boost(s)
0
Fig 3.59.- Diagrama de polos y ceros y de bode del circuito en bucle abierto
Se observa que el circuito en lazo abierto sigue siendo de fase no mínima y su ancho de
91
3. Control en modo deslizamiento
banda es de 2265 rad/seg.
Vref
+
K2
-
+
1/m
Gv(s)
Vo
-
Gi(s)
Fig 3.60.- Diagrama de bloques del Boost en lazo cerrado
Vo( s )
K 2 ⋅ L S - K 2 ⋅ R ⋅ D′ 2
=
Vref ( s ) (− R ⋅ C ⋅ D ′ − K 2 ⋅ L ) S − D ′ (K 2 ⋅ R ⋅ D ′ − 2)
( 3.133 )
Los sistemas estables de fase mínima en lazo abierto pueden convertirse en inestables
al cerrar el lazo de realimentación. Por lo tanto se calculará si el sistema es estable para
cualquiera valor de K2.
En primer lugar se buscará el valor de K2 que provoca que el polo pase del semiplano
izquierdo al derecho
K2 ⟩ -
2
= −0.0909
R ⋅ D′
( 3.134 )
Como se puede comprobar en el siguiente diagrama de Nyquist de T(s), éste es el
mínimo valor del factor K2 que asegura la estabilidad del sistema, por lo que en el diseño del
control se habrá de imponer la condición K2≥-0.0909
92
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Fig 3.61.- Diagrama de polos y diagrama de Nyquist para K2=-0.0909
Esta condición de estabilidad es más restrictiva que la permanéncia en régimen de
deslizamiento, y la de estabilidad del punto de equilibrio. Por ello, el circuito permanecerá
estable y en régimen de deslizamiento para
− 0.0909 ⟨ K2
( 3.135 )
3.5.3.4 Simulación del circuito
El circuito utilizado para realizar la simulación del control en modo deslizamiento del
convertidor será el siguiente:
93
3. Control en modo deslizamiento
Fig 3.62.- Circuito en Simulink del control en modo deslizamiento S(x)=i-K2*(Vo-Vref)
Fig 3.63.-
Fig 3.64.- Implementación del bloque de control
En la siguiente gráfica se puede observar el efecto de la variación del factor de
realimentación K2.
94
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Respuesta temporal de la tensión en el condensador
K2=0.5
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
40
K2=1
6
-3
x 10
Valor K2
Tensión de salida
0.5
22.1427
1
22.1535
5
23.7858
20
0
0
1
2
3
4
5
6
-3
x 10
K2=5
100
50
0
0
1
2
3
Tiempo
4
5
6
-3
x 10
Fig 3.65.- Efecto de la variación de K2 en la tensión en el condensador
A medida que se incrementa este coeficiente, también lo hace el tiempo de
estabilización del sistema y el sobrepico inicial. No obstante, la tensión a la que se estabiliza al
llegar el funcionamiento en régimen estacionario se acerca cada vez más a la tensión de salida
deseada.
La superficie que se utiliza en el control no permite llegar a conseguir un error cero ya
que solamente sería posible para una corriente nula
S ( x) = i − K 2 ⋅ (Vref − v) = i − K 2 ⋅ error ⇒ i = K 2 ⋅ error
( 3.136 )
Para eliminar este error remanente, se introducirá una segunda variable K3, que anule
dicho error
S ( x) = i − K 2 ⋅ (Vref − v) − K 3
( 3.137 )
Para la simulación se fijará el valor de K2,con un sobrepico y tiempo de
estacionamiento aceptable como K2=0.5, y se irá variando el valor de K3 hasta conseguir
minimizar el error en estado estacionario
95
3. Control en modo deslizamiento
3.5.3.5 Estudio de la estabilidad del sistema con la introducción de K3
El diagrama de bloques que definirá el nuevo circuito será
Vref
+
+
K2
1/m
-
-
Gv(s)
Vo
K3
Gi(s)
Fig 3.66.- Diagrama de bloques del circuito con K3
Para calcular la función de transferencia del circuito modificada por la introdución de
la constante K3, se utilizará el teorema de superposición.
En primer lugar se calcula la función de transferencia de la salida respecto a la tensión
de referencia, anulando el efecto de K3.
Vref
+
K2
-
+
1/m
Gv(s)
Vo
-
Gi(s)
Fig 3.67.- Efecto de la entrada Vref sobre la salida
Vo( s )
K 2 ⋅ L S - K 2 ⋅ R ⋅ D′ 2
=
Vref ( s ) (− R ⋅ C ⋅ D ′ − K 2 ⋅ L ) S − D ′ (K 2 ⋅ R ⋅ D ′ − 2)
( 3.138 )
Después se anula el efecto de la tensión de referencia y se calcula la función de
transferencia de la tensión de salida respecto a K3.
96
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+
K3
-
1/m
Gv(s)
Vo
-
Gi(s)
K2
Fig 3.68.- Efecto de la entrada K3 sobre la salida
Vo( s )
L ⋅ S + R ⋅ D′2
=
K 3( s ) (− R ⋅ C ⋅ D ′ − K 2 ⋅ L ) S − D ′ (K 2 ⋅ R ⋅ D ′ − 2)
( 3.139 )
Sumando ambas componentes
Vo( s ) =
L S - R ⋅ D′2
( K 2 ⋅ Vref + K 3)
(− R ⋅ C ⋅ D ′ − K 2 ⋅ L ) S − D′ (K 2 ⋅ R ⋅ D ′ − 2 )
( 3.140 )
Como puede comprobarse, el factor K3 no varía el denominador de la función de
transferencia por lo que su variación no influirá en la estabilidad del sistema.
3.5.3.6 Simulación del sistema con la variable K3
1
i
2
Vo
4
e rr o r
Sum
3
K2
Sum 2
1
-0 . 5
D
S lid in g
2
i -K 2 * e rr o r -K 3
3
V re f
P ro d u c t
C o n st a n t K 2
1 .1
C o n st a n t K 3
5
K3
Fig 3.69.- Implementación del bloque de control con K3
97
3. Control en modo deslizamiento
Respuesta temporal de la tensión en el condensador K2=0.5
K3=1.85
30
20
10
0
Valor K3
Tensión de salida
20
1.85
25.2793
10
1.4
24.5268
1.1
24.0161
0
1
2
3
4
5
K3=1.4
30
6
x 10
-3
0
0
1
2
3
4
5
K3=1.1
30
6
x 10
-3
20
10
0
0
1
2
3
Tiempo
4
5
6
x 10
-3
Fig 3.70.- Efecto de la variación de K3 en la tensión en el condensador
Tras varias simulaciones se ha concluido que el valor de K3=1.1 proporciona una
tensión de salida prácticamente igual a la deseada. También se puede observar como al
aumentar el valor de la constante K3, se eleva también el valor del sobrepico inicial.
3.5.3.6.1
Respuesta del sistema en estado estacionario
Fig 3.71.- Variables del sistema en estado estacionario
En la figura 3.35 se observa como el rizado de tensión es de ∆Vo=150mV, y la
frecuencia de conmutación es aproximadamente 68KHz.
98
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3.5.3.6.2
Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación
La introducción de una perturbación de un 25% en la tensión de alimentación, produce
una ligera variación (≅1.5%) en la tensión de salida, estabilizándose a una tensión de
Vo=24.15V y manteniendo la amplitud del rizado.
Fig 3.72.- Efecto de una variación en Vg
3.5.3.6.3
Respuesta ante perturbaciones en la carga
El incremento del valor de la resistencia de carga provoca un ligero incremento en la
tensión del condensador, que en el caso de la perturbación del 50% se estabiliza en una tensión
de 24.66V. La estabilización se produce muy rápidamente en unos 4ms.
El error debido a la perturbación de carga es ligeramente mayor que en el caso de
convertidor sin control.
99
3. Control en modo deslizamiento
Fig 3.73.- Efecto de una perturbación del 20% en la carga
Fig 3.37 (b).- Efecto de una perturbación del 50% en la carga
100
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3.5.3.6.4
Respuesta ante variaciones en la tensión de referencia
La variación de la tensión de referencia, indica al sistema el cambio del punto de
funcionamiento del mismo, con lo que el control intenta seguir las variaciones de la referencia.
En este caso se introduce una señal cuadrada de 6V, y el sistema intenta seguir dicha variación
y varía entre Vo=24.16V y Vo=29.1V. El error estacionario es debido a que la constante K3,
que se encargaba de minimizarlo, estaba ajustada para el punto de funcionamiento anterior y
no se ajusta a las necesidades del nuevo punto de funcionamiento del sistema.
Fig 3.74.- Efecto de una perturbación en la Vref
3.5.4 Superficie de dos variables S(x)=i-K2*error-K3, usando el modelo real
3.5.4.1 Estudio del circuito en el dominio de la transformada de Laplace
Según los cálculos realizados en el apartado 2.9.5 las funciones de transferencia
respecto al control serán:
S2 +
Gv( s ) = K
S +
2
K=
− L ( R + rc) + R 2 ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′2 + rl ⋅ R ⋅ rc( R + rc)
− rl ( R + rc) + R 2 D′2
S+
L ⋅ C ⋅ rc ⋅ ( R + rc)
L ⋅ C ⋅ rc ⋅ ( R + rc)
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
rl ⋅ ( R + rc) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′ 2
S+
2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
( 3.141 )
R ⋅ rc ⋅ Vg
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2
101
3. Control en modo deslizamiento
Fig 3.75.- Diagrama de polos y ceros de Gv(s)
R ⋅ Vg ( R ⋅ D′ + rc )
Gi ( s ) =


L  rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2 


2
S +
S+
R ⋅ Vg ( 2 ⋅ R ⋅ D′ + rc )


L ⋅ C ( R + rc ) rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 ⋅ D′2 


L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R ⋅ D′
S+
2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
2
Fig 3.76.- Diagrama de polos y ceros de Gi(s)
3.5.4.2 Cálculo de la función de transferencia del convertidor
En primer lugar, el bucle de realimentación de corriente será:
u(s)
+
1/m
-
Gi(s)
Fig 3.77.- Bucle de corriente
102
U1(s)
2
( 3.142 )
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lim m →0 G1( s ) =
K=
1
K
S2 +
L + C ⋅ rl ⋅ (R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ C ⋅ D ′
R ⋅ rl + rl ⋅ rc + R ⋅ rc ⋅ D ′ + R 2 ⋅ D ′ 2
S+
2
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
L ⋅ C ⋅ (R + rc )
S2 +
− L ( R + rc ) + R 2 ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′2 + rl ⋅ R ⋅ rc ( R + rc )
− rl ( R + rc ) + R 2 D′2
S+
L ⋅ C ⋅ rc ⋅ ( R + rc )
L ⋅ C ⋅ rc ⋅ ( R + rc )
R ⋅ rc ⋅ Vg
rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2
( 3.143 )
Añadiendo el bloque de ganáncia de tensión:
+
u(s)
1/m
Gv(s)
U2(s)
-
Gi(s)
Fig 3.78.- Ganancia del circuito en bucle abierto
U 2( s )
=
u ( s)
S2 +
− L ( R + rc) + R 2 ⋅ rc ⋅ C ⋅ D′2 + rl ⋅ R ⋅ rc( R + rc )
− rl ( R + rc ) + R 2 D′2
S+
L ⋅ C ⋅ rc ⋅ ( R + rc)
L ⋅ C ⋅ rc ⋅ ( R + rc)
R ⋅ Vg ( R ⋅ D′ + rc )


L  rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2 


S +
R ⋅ Vg ( 2 ⋅ R ⋅ D′ + rc )
(3.144)


L ⋅ C ( R + rc ) rl ⋅ ( R + rc ) + R ⋅ rc ⋅ D′ + R 2 ⋅ D′2 


Fig 3.79.- Diagrama de polos y ceros y de bode del circuito en bucle abierto
Se observa que el circuito en lazo abierto sigue siendo de fase no mínima y su margen
de fase es de 2192 rad/seg valor inferior al modelo ideal, debido a las pérdidas.
Vref
+
K2
-
+
1/m
-
Gv(s)
Vo
103
Gi(s)
3. Control en modo deslizamiento
Fig 3.80.- Diagrama de bloques del Boost en lazo cerrado
[L ⋅ rc ⋅ C ( R + rc)] ⋅ S 2 + [(rcCrl + L)( R + rc) − rcCR2 ⋅ D′2 ]S + [rl ( R + rc) − R2 D′2 ]
Vo( s )
= −K 2
2
2
2
2
2
Vref ( s )
− K 2 ⋅ (L ⋅ rc ⋅ C + L ⋅ rc ⋅ C ⋅ R ) ⋅ S + rc + 2 ⋅ R ⋅ D′ + K ⋅ R ⋅ D′ − K 2 ⋅ rl ( R + rc )
[
[(
)
]
[
]
]
+ K 2 ( R ⋅ D′ − rl ) + D′ + 1 ⋅ rc ⋅ R ⋅ C + C ⋅ R D′ − K 2 L ( R + rc ) ⋅ S
2
2
( 3.145 )
Al cerrar el lazo de realimentación los márgenes de K2 en los que el sistema se
mantenga los polos en el semiplano izquierdo son:
K2 >
− 2 RD ′ − rc
= −0.0938
R ⋅ D 2 − rl ( R + rc)
2
( 3. 146 )
Como se puede comprobar en el siguiente diagrama de Nyquist de T(s), éste es el
mínimo valor de K2 que asegura que el sistema es estable.
− 0.0938 ⟨ K 2
Fig 3.81.- Diagrama de polos y diagrama de Nyquist para K2=-0.0938
104
( 3.147 )
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3.5.4.3 Simulación del sistema
t
T o W o rksp a c e
C lo ck
i
0
u
T o W o rksp a c e 1
T o W o rksp a c e 2
t1
i1
u 1
V o
T o W o rksp a c e 3
D
I
V o
1 2
V g
V g
V
v1
B o o st c o n
p e rd i d a s
v
T o W o rksp a c e 4
I
U
V o
v2
V re f
I -K 2 * e rro r-k3
2 4
V re f
Fig 3.82.- Modelación del control en modo deslizamiento del convertidor con pérdidas
1
I
2
Vo
i - k2 * e r r o r - k 3
3
e rro r
1
U
sl i d i n g
K 2 * e rro r
V re f
-0 . 5
K2
1 .1 3
K3
Fig 3.83.- Modelación del bloque de control
Una vez modelado el circuito en Simulink, se ajustan los valores de la constantes K2 y
K3, hasta conseguir el resultado deseado. Los valores óptimos son bastante parecidos a los
utilizados en el caso ideal, quedando finalmente
K 2 = 0.5
K 3 = 1.3
( 3.148 )
105
3. Control en modo deslizamiento
3.5.4.3.1 Régimen transistorio de la respuesta
La tensión de salida sube rápidamente y llega al estado estacionario en 5ms. Debido al
incremento del factor de amortiguamiento del modelo con pérdidas, se ha eliminado el
sobrepico inicial.
Fig 3.84.- Respuesta del sistema con el control en modo deslizamiento con K3
3.5.4.3.2 Respuesta del sistema en estado estacionario
Fig 3.85.- Variables del sistema del convertidor con pérdidas en estado estacionario
106
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En este caso el valor al que se estabiliza la tensión de salida es ligeramente inferior al
caso ideal, debido a las pérdidas, por lo que el factor K3 es mayor, para conseguir la de 24V.
La frecuencia de conmutación, está alrededor de los 65KHz, dentro de los márgenes deseados
3.5.4.3.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación
La introducción de una perturbación de un +25% en la tensión de alimentación provoca
un aumento de la tensión de salida hasta 24.42V, valor ligeramente superior al caso ideal. La
señal de salida se estabiliza en unos 3.5ms.
Fig 3.86.- Efecto de una variación en Vg
3.5.4.3.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga
El incremento de la carga en un 20% provoca un ligero incremento de la tensión de
salida hasta estabilizarse nuevamente en un valor de Vo=24.41V, mientras que la perturbación
del 50% eleva la tensión final hasta 24.68V, reduciendo el rizado a 30mV. Cuando se aplica la
perturbación, así como cuando se elimina, el sistema tarda 5ms en llegar al nuevo estado
estacionario.
107
3. Control en modo deslizamiento
Fig 3.87.- Efecto de una perturbación de un 20% en la carga
Fig 3.88.- Efecto de una perturbación de un 50% en la carga
108
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3.5.4.3.5 Respuesta ante variaciones en la tensión de referencia
Como en el caso ideal, si se introduce una señal de referencia que varie entre 24 y 30V,
la salida intenta seguir las variaciones de dicha señal de referencia, y se ajusta perfectamente
para el caso de Vo=24V, pero queda un error estacionario para el valor superior ya que el
factor K3 está ajustado para eliminar el error con la salida de 24V.
Fig. 3.53. Efecto de la variación de Vref
109
3. Control en modo deslizamiento
3.6
CONCLUSIONES
Arranque E. Estacionario
tr
ms
ts
ms
Pertur. 25% Vg
Vm
∆Vo
F
ts
Vm
V
mV
KH
ms
V
Pertur. 50% R
∆V
ts
Vm
o
ms
V
mV
Ideal ⇑
⇓
Real ⇑
⇓
•
0.8
5 24.15
15
0.9
5 23.98
35
68
4
4
65 3.5
3.5
24.39
24.15
24.42
23.98
16
16
22
35
Pertur. 25% Vref
∆V
ts
Vm
o
ms
V
mV
4
4
5
5
24.66
24.15
24.68
24.1
14
15
30
22
∆V
o
mV
5
5
7
7
29.1
24.16
28.94
24.01
20
15
55
45
La aplicación del control en modo deslizamiento dota al sistema de una mayor velocidad
de respuesta y reduce el efecto de las perturbaciones.
•
El empleo de la superficie de deslizamiento S ( x) = i − K ⋅ e , presenta un error en estado
estacionario innato a la superficie.
•
Este error puede eliminarse modificando la superficie a S ( x) = i − K 2 ⋅ e − K 3 .
•
La variación de la tensión de referencia cambia el punto de funcionamiento del sistema,
por lo que el factor K3, ajustado para el punto de funcionamiento inicial, no elimina el
nuevo error en estado estacionario.
•
Debe modificarse el control, de modo que permita ajustar el valor de la variable K3 a cada
nuevo punto de funcionamiento del sistema.
110
4. CONTROL CON LÓGICA
DIFUSA
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4.1
INTRODUCCIÓN
En la vida cotidiana se tiende a agrupar las cosas por sus cualidades o magnitudes,
indicando que algo es correcto o erróneo, que algo es de tal color o no. No obstante,
diariamente utilizamos infinidad de expresiones tales como: esta persona es alta o baja, joven
o anciana, gorda o flaca. Todos estos términos expresan de forma vaga una cualidad o una
cantidad. El lenguaje nos muestra como no todas las magnitudes se pueden medir de una forma
precisa y exacta. No siempre existe una barrera que delimite la pertenencia o no a un grupo.
¿Es coherente decir que una persona de 59 años es de mediana edad, pero una de 60 ya
es anciana?, ¿Existe una diferencia suficientemente sustancial?. Preguntas como esta nos
llevan a concebir unos grupos donde la pertenencia de sus elementos no se indica con un
simple si o no, sino que existen elementos que no están totalmente dentro ni fuera de dicho
grupo, por lo que se debe indicar su grado de pertenencia a dicho grupo.
La lógica convencional, se caracteriza en que todos sus elementos, pertenecen o no a
un grupo determinado. En contrapartida, en la lógica difusa cada elemento posee un peso
específico de pertenencia al grupo, que puede variar del todo a la nada.
Fig 4.1.- Delimitación de los grupos por la lógica convencional frente a la lógica difusa
Las principales características que definen la lógica difusa son:
•
Concepto fácil y flexible basado en el lenguaje.
•
Medidas tolerantes (No asociadas a un valor exacto).
•
Facilita la modelización de sistemas no lineales.
113
4. Control con lógica difusa
4.2
TEORIA DE LOS GRUPOS DIFUSOS FRENTE A LA PROVABILIDAD
Un evento E se define como un subgrupo tradicional. La probabilidad de E, P(E)∈[0,1]
es el porcentaje de ocurrencias de E en una gran serie de pruebas.
La probabilidad condicional P(E|E’) se define como la probabilidad de que el suceso E
ocurra sabiendo que el suceso E’ ha sucedido.
Si E es un subgrupo no tradicional del universo U se lo puede considerar como un
grupo difuso E donde u sería un valor preciso y µE (u) no es más que una probabilidad
condicional P(E|u,C), en donde C es el contexto donde el significado de E es real.
A pesar de todo, una distribución de probabilidad indica la posibilidad de que un
suceso ocurra y el grupo difuso cuantifica el suceso que está ocurriendo.
4.3
TIPOS DE GRUPOS
En un grupo difuso, los elementos, no tienen porque pertenecer o no al 100% al grupo,
sino que tienen una ponderación en su factor de pertenencia.
Fig 4.2.- Diferencias entre los grupos convencionales y los grupos difusos
4.4
PROPIEDADES DE LA LÓGICA DIFUSA
IGUALDAD
UNIÓN
INTERSECCIÓN
PRODUCTO
ALGEBRAICO
SUMA
PRODUCTO
µA(u) = µB(u)
µA∪
µA(u),µ
µB(u)]
∪b(u)=max[µ
µA∩
µA(u),µ
µB(u)]
∩B(u)=min[µ
µA(u)••µB(u)
µA••B(u)=µ
µA⊕
µA(u),µ
µB(u)]
⊕B(u)=min[1,µ
µA⊗
µA(u),µ
µB(u)
⊗B(u)=max(0,µ
Fig 4.3.- Propiedades de los grupos difusos
114
u ∈U
|u∈
∈U
|u∈
∈U
u∈
∈U
u∈
∈U
u∈
∈U
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4.5
FUNCIONES DE PERTENENCIA
Tomando el universo U, cada elemento u tiene un grado de pertenencia µF∈[0,1].
Siendo F una función de pertenencia tal que:
µF : F → [0,1]
( 4.1 )
F está completamente determinado usando el grupo binario:
F = {u, µF u ∈ U}
( 4.2 )
En funciones continuas
F=∫
µ F (u )
u
( 4.3 )
F=∑
µ F (u i )
ui
( 4.4 )
U
En funciones discretas
4.5.1 Representación de las funciones de pertenencia
-Mediante una relación binaria, indicado cada elemento y su grado de pertenencia
-Mediante una ecuación, que indica el grado de pertenencia de cada intervalo
-Mediante una gráfica, representando los pares elemento, grado de pertenencia
-Mediante notación matricial
4.5.1.1 Representación mediante una relación binaria
U={BMW, Buick, Ferrari, Fiat, Lada, Mercedes, Rolls Royce}
Coches caros ={(Ferrari, 1), (Rolls Royce, 1), (Mercedes, 0.8), (BMW, 0.7)}
4.5.1.2 Representación mediante una ecuación
U=[0, 120]
para
0 ≤ u ≤ 60
 0
 u − 60

Ancianos 
para 60 < u < 80
 20
para 80 ≤ u ≤ 120
 1
115
4. Control con lógica difusa
4.5.1.3 Representación mediante una gráfica
Fig 4.4.- Representación gráfica de una Función de Pertenencia (FdP)
4.5.1.4 Representación mediante notación matricial
Cuando U = {1,2,3}, entonces, "aproximadamente igual" es una relación difusa binaria.
Y
X
4.5.2
2
3
1
1
0.8
0.3
2
0.8
1
0.8
3
0.3
0.8
1
Funciones de pertenencia estandarizadas
0

2
2[(u - a) / (c - a)]
S(u;a,b,c) = 
2
1- 2[(u - c) / (c - a)]
1

para
u<a
para
a≤u≤b
para b ≤ u ≤ c
para u > c
S(u;c - b , c - b/2 , c)
Ð (u; b, c) = 
1 − S(u;c , c + b/2 , c + b)
116
1
para u ≤ c
para u ≥ c
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0


à (u; a, b) = (u − b)/(b − a)

1

1

L(u; a, b) = (b − u) /(b − a)
0

0
(u - a) /(b - a)

T(u; a, b, c) = 
(c − u)/(c − b)
0
0
(u − a) /(b − a)

Π(u; a, b, c, d ) = 1
(d − u) /(d − c)

0
para u < a
para a ≤ u ≤ b
para u > b
u<a
a ≤u≤b
u >b
para
para
para
para
u<a
a≤u≤b
b≤u≤c
u>c
u<a
a≤u<b
b≤u≤c
c<u≤d
u >d
117
4. Control con lógica difusa
4.6
VARIABLES LINGÜÍSTICAS (VL)
Un grupo difuso puede ser asociado a un valor lingüístico como por ejemplo alto,
donde la variable lingüística altura representa el rango de pertencia a este grupo.
Esto permite utilizar cuantificadores lingüísticos como más, menos, bastante, etc...
Se puede asociar el razonamiento aproximado con la anulación de variable lingüística.
< X, LX, X, MX >
( 4.5 )
Donde X denota el nombre simbólico de una variable, como podría ser edad, peso,
altura, velocidad, temperatura.... LX es el conjunto de valores lingüísticos que X puede
adquirir. Un valor lingüístico simboliza una propiedad de X. En el caso de la variable
Temperatura T tenemos
LT = {helado, frío, confortable, cálido, seco},
( 4.6 )
en el caso de error o la cota de error puede ser {negativa grande (NG), negativa media (NM),
negativa pequeña (NP), cero (CE), positiva pequeño (PP), positiva media (PM), positiva
grande (PG)} o un conjunto todavía más detallado a este. LX también puede ser llamado set de
referencias de X. Los valores de LX se denotan arbitrariamente. X es ahora el dominio físico
sobre los valores en que trabaja la variable lingüística X. En el caso de la variable temperatura
puede ser un intervalo de valores [-10º C, 35º C]. En el caso de la velocidad puede ser de [0
km/h, 200 km/h]. En el caso de error o cota de error, se utiliza dominios normalizados [-6,6].
Usualmente tenemos un universo U en lugar de X. Este universo puede ser discreto o
continua. MX es una función semántica que da la principal interpretación de los valores
lingüísticos de los términos cuantitativos de X.
M X : LX → LX
( 4.7 )
donde LX es la definición de las variables difusas sobre X
LX = ∑ x µ LX ( x) / x en el caso discreto de X
( 4.8 )
LX = ∫ µ LX ( x) / x en el caso continuo de X
( 4.9 )
x
En otras palabras, M X es una función que coge el símbolo como argumento, p.e. frío y
devuelve la referencia para la directriz de frío, en términos de lógica difusa. En lugar de
utilizar de LX se puede utilizar µLX.
118
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4.6.1 Puntos notables de una Variable Lingüística
4.6.1.1 Valor de pico
Siendo X una V.L., existirá un valor Xpico para el cual
µ(Xpico) será máximo.
Si los valores que puede tomar µ(X) se escalan para
que su rango sea [0,1], se llaman valores normalizados.
4.6.1.2 Ancho izquierdo y derecho
El ancho izquierdo o derecho es la distancia desde el
punto Xpico hasta el valor X para el que µ(X) =0. La suma
de ambas distancias define el intervalo para que la F.D.P.
4.6.2
Puntos de corte de las FdP
En las representaciones en que existen diversas V.L. éstas pueden estar definidas para
intervalos diferentes, aunque pueden estar definidos para intervalos comunes, con lo que se
puede encontrar uno o más puntos de corte.
Fig 4.5.- Funciones de pertenencia con y sin punto de corte
4.6.2.1 Influencia del punto de corte
Cuando la V.L. está formada por varias FdP puede ser que:
•
No existen puntos de corte, lo que indica que habrá algún valor de entrada que no podrá
ser fuzzificado y por lo tanto no se computará y no afectará a la salida del control.
•
El punto de corte sea en cero, lo que indica que cada valor se verá afectado por una F.D.P.
•
El punto de corte sea para un valor mayor que cero, lo que significa que cada valor
convencional pertenece como mínimo a una F.D.P. estrictamente mayor que cero.
119
4. Control con lógica difusa
Empíricamente se conoce que con una F.D.P. simétrica, con un ratio de 1 y un punto de
corte de 0.5 se consigue un bajo sobrepico, un rápido tiempo de subida y un bajo sobrepico
negativo.
Fig 4.6.- Punto de corte entre FdP en diferentes niveles
4.6.2.2 Influencia de la simetría y el ancho
La inferencia formada por una sola regla de control está basada en la idea del
controlador proporcional. Si la variable de proceso es e y la salida u, el valor actual del error
e* proporcionará un peso α en la F.D.P. µLE. Entonces, el valor actual de la variable de salida
debe producir el mismo peso en la P.D.F de salida µLU, ya que la función de pertenencia de
salida está modificada en proporción a α. La µLU modificada (conformada) se designa por
µCLU: E →[0,α], donde α es el grado de pertenencia del valor actual de e a la F.D.P. del
antecedente.
Si se toma la n-ésima regla se obtiene un resultado como “u ES NM”, con una µNM
Fig 4.7.- FdP de la VL “Negativo Medio” y su versión conformada. Esta última acaba para
el grado 0.7.
En este caso existen dos valores de salida para un valor de entrada igual a 0.7, uno a la
izquierda del valor de pico y otro a la derecha. La salida ha de estar formada por un único
120
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valor, por lo que se habrá de computar estos valores u1 y u2 para conseguirla.
Una posibilidad sería calcular la media aritmética de ambos valores
u=
u1 + u 2
2
( 4.10 )
El método llamado centro de gravedad se usa normalmente para obtener un único valor
de control mediante una promediación que incluye cada elemento de U y su correspondiente
peso de la F.d.P. a µCNM, donde
µ CNM : U → [0,0.7]
∫µ
u cdg = U
CNM
(u ) ⋅ u ⋅ du
∫ µ CNM (u ) ⋅ du
( 4.11 )
U
Si se considera el caso en que el peso del antecedente es uno, existe un solo elemento
de U que satisface dicho peso, upico. Además el µCNM=µNM, pero calculando el CdG de µCNM se
obtiene u CdG ≠ u pico
Fig 4.8.- Diferencia entre el valor de pico y el CdG
Esta diferencia entre la idea de inferencia con una única regla y el resultado producido
por el CdG, se resuelve escogiendo una FdP simétrica respecto a su valor de pico
Ejemplo:Estudiar la influencia de la anchura de las FdP empleadas para representar el
significado de las VL, considerando la implementación de un controlador proporcional como
un control difuso con las siguientes dos reglas:
SI e ES PM ENTONCES u ES PG
SI e ES PP ENTONCES u ES PM
Puede ser que el ancho izquierdo de µPP sea igual al ancho derecho de µPM e igual al
intervalo entre el valor de pico y los valores de las FdP adyacentes, o que sean diferentes.
121
4. Control con lógica difusa
Fig 4.9.- Representación de FdP simétrica y asimétrica
En el primer caso, una variación suave de e entre epico1 y epico2, produce como resultado
(calculado mediante el método de CdG), una variación suave, mientras que en el segundo caso,
la salida tiene una forma de escalón
Fig 4.10.- Variación suave de la salida para unas FdP simétricas
Fig 4.11.- Variación escalonada de salida para unas FdP asimétricas
122
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4.6.3
Influencia del ruido
Los valores actuales de e, ∆e y ∆u pueden estar sujetos a interferencias externas en
forma de señales de ruido (señal seno, ruido aleatorio, etc). La experiencia indica que en dicho
caso las FdP que representan a estos valores lingüísticos deben construirse referenciados a la
distribución de probabilidad del ruido.
Aunque la eliminación del ruido se realiza heurísticamente, existen algunas directivas:
Sea e(t) un proceso estacionario y Gausiano
T
1
E [e(t )] = lim
⋅ ∫ e(t ) ⋅ dt
t → ∞ 2T
−T
( 4.12 )
con una varianza
σ 2 [e(t )] =
1 T
2
⋅ ∫ (e(t ) − E [e(t )]) dt
T
−
2T
( 4.13 )
Fig 4.12.- Significado de la variancia del ruido en el dominio para el que la FdP está
definida
Sea I=[-a,a] un dominio normalizado en el cual las FdP describan el valor lingüístico
del error. Ahora E[e(t)] se sitúa en el centro del intervalo [-a,a] puesto que la anchura del
dominio del error en este dominio
anchura = a - ( - a ) = 4 σ
( 4.14 )
ya que la probabilidad de que una medida de e* caiga en el dominio [-a,a] es de
Prob(e*)=0.95
123
4. Control con lógica difusa
4.6.4
Influencia de los dominios discretos
Las F.d.P. están definidas en dominios continuos.
El proceso de discretización se llama cuantificación y consta de:
•
El dominio discreto se cuantifica en un número finito de segmentos (niveles). Cada
segmento es un elemento y el grupo de segmentos forma un universo discreto.
•
Dado un valor lingüístico determinado, el conjunto difuso que define el significado de este
valor asignando un valor de pertenencia a cada elemento.
Para ello se crea una tabla de búsqueda como la siguiente. Si se discretiza un dominio
continuo [-3.2, +3.2] en trece segmentos, enumerados desde el –6 al 6, que posteriormente
serán asignados al grupo difuso representando los valores lingüísticos.
VL = {NG, NM, NP, CE, PP, PM, PG}
( 4.15 )
El valor de pertenencia a cada uno de los valores lingüísticos serán los siguientes
Etiqueta
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Segmento
e≤-3.2
-3.2≤e≤-1.6
-1.6≤e≤-0.8
-0.8≤e≤-0.4
-0.4≤e≤-0.2
-0.2≤e≤-0.1
-0.1≤e≤0.1
0.1≤e≤0.2
0.2≤e≤0.4
0.4≤e≤0.8
0.8≤e≤1.6
1.6≤e≤3.2
NG
1.0
0.7
0.3
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
NM
0.3
0.0
1.0
0.7
0.3
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
NP
0.0
0.0
0.3
0.7
1.0
0.7
0.3
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
CE
0.0
0.0
0.0
0.0
0.3
0.7
1.0
0.7
0.3
0.0
0.0
0.0
PP
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.3
0.7
1.0
0.7
0.3
0.0
PG
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.3
0.7
1.0
0.7
PP
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.3
0.7
3.2≤e
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.3
1.0
Fig 4.13.- Tabla de discretización de variables continuas
El número de niveles, influencia significativamente el sobrepico y el amortiguamiento.
Se emplea una cuantificación basta para niveles de error grandes, y otra más fina para
pequeños errores. Estos hallazgos tienen una naturaleza puramente empírica y no existen
herramientas de análisis para estudiar como afecta la cuantificación al funcionamiento del
124
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controlador.
4.7
4.7.1
ESTRUCTURA DEL CONTROLADOR DIFUSO
Esquema de bloques
Valores del
Proceso de
Estado
Valores de
salida del control
Normal ización
Denormal ización
Conversión a
L. Difusa
Motor de
Actuación
Conversión a
L.Convencional
Mem oria de
datos
Directrices
Fl ujo de Inform ación
Rep resenta ci ón
Simbó lica
Fluj o Com pu tacional
Fig 4.14.- Estructura del controlador difuso
4.7.2 Directrices
Al diseñar un control en lógica difusa se han de tener en cuenta las imprecisiones del
lenguaje natural. Se deben elegir unas variables y el contenidos de las reglas que modelen lo
mejor posible el sistema que se desea implementar.
Pese que en cada caso puede ser necesario la elección de diferentes variables del
sistema para su posterior control, típicamente se suelen elegir las siguientes:
Las variables de entrada (antecedente)
Error (e)
Variación del error ( ∆e, e! )
Suma de errores ( δe! )
Las variables de salida del control (consecuente)
125
4. Control con lógica difusa
Variación de la salida ( ∆u , u! )
Salida de control (u)
Análogamente al control convencional se obtienen las siguientes expresiones:
e( k ) = y sp − y ( k )
∆e( k ) = e( k ) − e( k −1)
ysp → Valor de salida
∆u ( k ) = u ( k ) − u ( k −1)
k → número de muestra
( 4.16 )
4.7.2.1 Ajuste de las reglas
Principalmente se usa uno de los tres métodos siguientes para realizar la aproximación
de las reglas de control:
•
Basándose en la experiencia el operador del proceso y/o el ingeniero de control.:
1. Verbalización introspectiva del conocimiento
2. Interrogación del operador o ingeniero mediante un cuestionario organizado
Ambas técnicas, se apoyan en una versión prototipo de las reglas. A partir de aquí
se van sintonizando las funciones de pertenencia y las reglas para cada paso. Una vez
construido el control, se prueba el lazo y se va actualizando el control hasta que se adapta
al requerido
•
En este caso se utiliza una descripción verbal del proceso, vista como un modelo difuso.
Después se sigue los mismos pasos de refinamiento sucesivo utilizados con el método
anterior.
•
El último método consiste en utilizar como reglas base, las correspondientes a un control
convencional.
4.7.2.2 Comparación de los controles difusos con controles PID
CONTROL CONVENCIONAL
CONTROL DIFUSO
P ⇒ u = Kp ⋅ e
SI e ES <Variable Lingüística> ENTONCES u ES <VL>
PD ⇒ u = Kp ⋅ e + Kd ⋅ e!
SI e ES <VL> AND ∆e ES <VL> ENTONCES u ES <VL>
PI ⇒ u = Kp ⋅ e + Ki ⋅ ∫ e ⋅ dt ⇒
SI e ES <VL> AND ∆e ES <VL> ENTONCES ∆u ES <VL>
⇒ u! = Kp ⋅ e! + Ki ⋅ e
126
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PID ⇒ u = Kp ⋅ e + Kd ⋅ e! + Ki ⋅ ∫ e ⋅ dt SI e ES <VL> AND ∆e ES <VL> AND δe ES <VL>
ENTONCES u ES <VL>
4.7.2.3 Elección del conjunto de términos
El grupo de términos LX de la variable lingüística X consiste en un número finito de
palabras que expresan los valores que X puede tomar. Los valores lingüísticos, se expresan de
forma binaria <valor del signo, valor de la magnitud>. El valor del signo puede ser: positivo o
negativo; el valor de la magnitud puede ser: cero, pequeño, medio o grande.
Así pues un valor negativo de e indicará que c( k ) = y sp − y ( k ) < 0 , mientras que un
signo negativo de ∆e indicará ∆e( k ) = −(y ( k ) − y ( k −1) ) < 0 . Un valor de error igual a cero
indicará
que
el
control
está
en
el
punto
de
trabajo:
c( k ) = y sp − y ( k ) = 0 ,
∆e( k ) = −(y ( k ) − y ( k −1) ) = 0 .
Suponiendo que e, ∆e y ∆u se han escogido de igual tamaño y contienen los mismos
valores para las variables lingüísticas LE = L∆E = L∆u = {NG , NM , NP, C , PP, PM , PG}, se
puede obtener una tabla de resultados para los diferentes valores de las entradas.
SI e(k) ES <V.L.> AND ∆e(k) ES <V.L.>
ENTONCES ∆u(k) ES <V.L.>
e \ ∆e
NG
NM
NP
NG
NG
NG
NG NG NM NP
C
NM
NG
NG
NG NM NP
C
PP
NP
NG
NG
NM NP C
PP
PM
C
NG
NM
NP
C
PP
PM PG
PP
NM NP
C
PP
PM PG
PM
NP
C
PP
PM PG
PG
PG
PG
C
PP
PM PG PG
PG
PG
C
PP PM PG
PG
Grupo 0
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
Fig 4.15.- un control PI como un control difuso con cinco grupos de reglas
127
4. Control con lógica difusa
Grupo 0: En este grupo ambas reglas, aunque positivas o negativas, están muy
próximas a cero, por lo que la salida se mantendrá en estado de espera, cerca del punto de
trabajo.
Grupos 1 y 3: En este grupo los valores del error son medios o grandes, lo que implica
que la salida y(k) es muy lejana al punto de trabajo. Por otra parte la variación del error indica
que la salida está yendo hacia el punto de trabajo. Esto significa que la salida ha de variar
rápidamente hacia el punto de trabajo, por lo que debe simplemente incrementarse.
Grupo 2 y 4: Aquí, el error varía entre pequeño y grande, mientras que la variación
del error es grande. Esto indica que la salida debe incrementarse considerablemente de forma
positiva.
4.7.3
Módulo de conversión a lógica difusa
Recibe las variables físicas no normalizadas y las introduce al dominio normalizado de
la lógica difusa. Además se encarga de convertir los valores de las variables al dominio difuso.
El módulo normalizador, al igual que el denormalizador, son opcionales en función del
sistema que se desea controlar.
4.7.3.1 Conversión de los datos a lógica difusa
Convierte las variables de estado en un grupo difuso de manera que se pueda hacer
compatible con el controlador difuso.
Conversión por composición de reglas: considerando un control PI como un
controlador difuso donde los valores convencionales e y ∆e serán e* y ∆e*. El punto de
funcionamiento se transformará en el conjunto difuso de funcionamiento:
1
µ e* = 
0
1
µ ∆e* = 
0
e = e*
e ≠ e*
∆e = ∆e *
∆ e ≠ ∆e *
e∈ε
∆e ∈ Ä ε
( 4.17 )
( 4.18 )
Conversión por reglas individuales: en este caso la salida convertida a lógica
convencional se obtendrá de la siguiente manera. La k-ésima regla de control será:
SI e ES LE(k) AND ∆e ES L∆E(k)
128
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ENTONCES ∆u SERA L∆U(k)
4.7.4 Motor de actuación
El motor de actuación o reglas de control puede ser de dos tipos:
1. Inferencia por composición de reglas: Las relaciones difusas que representan el
significado de cada regla individual se agregan a las reglas de control que describen el
completo control del sistema. El grupo de salida difuso se obtendrá mediante una composición
entre el valor de entrada una vez convertido a lógica difusa y el conjunto de reglas.
2. Inferencia por reglas individuales: Cada regla será tratada individualmente. Se
calculará el grado influencia entre la entrada convencional y los conjuntos difusos que
describen el significado de la regla antecedente; se separa el conjunto difuso que describe el
significado de la regla consiguiente y el grado que el antecedente de la regla ha sido
equiparado por el aporte del valor de entrada. Finalmente estos valores se agregan,
consiguiendo así el valor final de la variable de control.
4.7.4.1 Representación de una única regla
La expresión simbólica para la regla k-ésima del control PI como controlador difuso es
SI e ES LE(k) AND ∆e ES L∆E(k)
ENTONCES u es LU(k)
dónde LE(k), L∆E(k) y LU(k) son valores lingüísticos de los conjuntos LE, L∆E y LU
respectivamente. El significado de estos V.L. se representa en la F.D.P. de los conjuntos
difusos por µ LE ( k ) µ L∆E ( k ) y µ LU ( k ) , definidos en los dominios E, ∆E y U
Así pues la relación R(k) se definirá en Ex∆ExU
∀e, ∆e, u : µ R ( k ) (e, ∆e, u ) = min( µ LE ( k ) (e), µ L∆E ( k ) (∆e), µ LU ( k ) (u ))
( 4.19 )
4.7.4.2 Representación de un conjunto de reglas
El significado de este conjunto de reglas es simplemente la unión de todas las regla
individuales µR(k), k=1,...,n.
∀e, ∆e, u : µ R (e, ∆e, u ) = max( µ LE (1) (e, ∆e, u ),..., µ LE ( n ) (e, ∆e, u ))
( 4.20 )
129
4. Control con lógica difusa
4.7.4.3 Representación de los valores de entrada
Suponiendo que en el punto de funcionamiento actual (convencional) los valores de e y
∆e son e* y ∆e*. Estos valores son la entrada del modulo de fuzificación, el cual produce la
representación de conjunto de funcionamiento como las siguientes F.D.P.
1
∀e : µ * E (e) = 
0
1
∀∆e : µ *∆e (∆e) = 
0
e = e*
e ≠ e*
( 4.21 )
∆e = ∆e *
∆e ≠ ∆e *
( 4.22 )
4.7.4.4 Representación del antecedente
Aquí µ*E y µ*∆E se cambian en la F.D.P. µant de la siguiente forma
∀e, ∆e : µ ant (e, ∆e) = min( µ * E (e), µ *∆E (∆e))
ε × ∆ε
( 4.23 )
4.7.4.5 Inferencia con el conjunto de reglas
El valor de la variable de salida del controlador se obtiene por composición de µant y
µR.
∀u : µU (u ) = max min( µ ant (e, ∆e), µ R (e, ∆e, u ))
e , ∆e
( 4.24 )
El principal inconveniente de este tipo de composición es el coste de computacional de
cálculo y la memoria requerida, pero como esta composición es equivalente a la inferencia de
una regla individual se puede simplificar como:
∀u : µU (u ) = max( µ CLU (1)t (u ),..., µ CLU ( N ) (u ))
= max( µ R (1) (e*, ∆e * .u ),..., µ R ( n ) (e*, ∆e*, u ))
( 4.25 )
= µ R (e*, ∆e*, u)
4.7.5 Lógica del sistema. Memoria de datos
Provee al sistema de la información necesaria para el funcionamiento de los módulos
de conversión a lógica difusa, conversión a lógica convencional y el módulo de control. Dicha
130
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información incluye:
-Grupos difusos que representan las variables lingüísticas del proceso de estado y las
variables de salida del control
-Dominio físico y su normalización/denormalización
4.7.5.1 Elección de las funciones de pertenencia
Los valores lingüísticos escogidos como variables antecedente” y consecuente”, y la
representación simbólica de las funciones de control es necesario, pero no suficiente para
permitir un análisis cualitativo de la estabilidad en lazo cerrado.
Si los dominios físicos de e, ∆e, ∆u son ξ, ∆ξ y ∆U, respectivamente, los elementos de
estos dominios serán e, ∆e y ∆u. La interpretación del valor lingüístico LX de una variable
~
lingüística x viene dada por un grupo difuso LX o µLX definido en el dominio X como:
µ ( x)
~
LX = µ LX = ∫ LX
x
X
( 4.26 )
Ahora se supone que LE=L∆E=L∆U={NG,NM,NP,C,PP,PM,PG}. Los términos que
contienen los valores lingüísticos para las tres V.L. son iguales. En este caso se han definido
21 funciones de pertenencia, representando el significado de cada valor lingüístico en su
respectivo dominio E, ∆E, ∆U.
Para un tratamiento informático eficiente se necesita una representación uniforme, que
puede conseguirse definiendo las FdP con igual amplitud y parámetros. Las más comunes son
las funciones triangular Λ(u;a,b,c), trapezoidal Π(u:a,b,c,d) y de campana Π(u;b,c), con las
que se consigue un almacenaje con un uso mínimo de memoria y una eficiente manipulación.
Una vez obtenida la curva de la F.D.P. se ha de representar cada elemento del grupo en
el dominio correspondiente a la V.L.
Fig 4.16.- Representación del grupo de términos del error en un dominio normalizado
131
4. Control con lógica difusa
4.7.5.2 Elección de los factores de escalado:
El uso de dominios normalizados requiere una transformación de escala que adecue los
valores físicos de las variables de estado del proceso a un dominio normalizado. Igualmente,
los valores normalizados de salida deberán adaptarse a sus respectivos dominios físicos.
Hay básicamente dos métodos para determinar los factores de escalado:
1. Heurístico, mediante el ensayo y error
Se escogen las variables que se desea controlar:
Sobrepico deseado (Sd)
Tiempo de subida deseado (TSd)
Amplitud de las oscilaciones deseada (OSCd)
∆S = S − Sd
∆TS = TS − TSd
∆OSC = OSC − OSCd
( 4.27 )
Las reglas heurísticas empleadas para ajustar el factor de escalado serán del tipo:
SI <Valor de variable> = <Valor>
ENTONCES ∆Ne = <Valor>
SI <Valor de variable> = <Valor>
ENTONCES ∆N∆e = <Valor>
dónde ∆Ne y ∆N∆e representan los valores de escalado de las variables e y ∆e y <Valor>
puede representar tanto una V.L. como un valor concreto.
Finalmente, al conectarse el controlador al proceso actual, se cierra el bucle de control,
con lo que los factores de escalado son actualizados cada iteración:
Ne(i + 1) = Ne(i) + ∆Ne
( 4.28 )
N∆e(i + 1) = N∆e(i) + ∆N∆e
( 4.29 )
Las iteraciones se continúan hasta que se obtienen los valores deseados.
Así por ejemplo, si la respuesta es demasiado lenta, se puede incrementar el efecto del
error ∆TS en el proceso
132
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2. Analítico
Se considera al controlador difuso como un elemento no lineal, y se relacionan
analíticamente los factores de escalado con el proceso de control en bucle cerrado.
4.7.6 Modulo de conversión a lógica convencional
Este modulo se divide en dos partes:
1. Conversión a lógica convencional de los datos: convierte los grupos difusos de datos de
salida del controlador a un único valor de salida.
2. Adaptación de escala: escala el valor de salida para adaptarse al dominio físico
representado.
4.7.6.1 Elección del método de conversión difuso-convencional
Existen algunos métodos tipificados de conversión:
-Centro del área / centro de gravedad
-Medio del máximo
-Centro de sumas
-Altura
-Centro de la mayor área
-Sistemas Sugeno
-Primero del máximo
4.7.6.2 .Centro del área / centro de gravedad (CdG)
En el caso discreto (U ={u1,...,ul }) se calcula mediante la fórmula
l
l
u* =
∑ ui ⋅ µU (ui )
i =1
l
∑µ
i =1
U
=
∑u
i =1
i
⋅ max µ CLU ( k ) (u i )
k
( 4.30 )
l
∑ max µ
CLU ( k )
(u i )
∫ u ⋅ max µ
CLU ( k )
(u ) ⋅ du
(u i )
k
i =1
En el caso continuo:
u* =
∫u
i
⋅ µ U (u ) ⋅ du
U
∫ µU (u) ⋅ du
U
=
k
U
∫ max µ CLU ( k ) (u ) ⋅ du
U
( 4.31 )
k
Este método determina el centro del área de la combinación de F.D.P. La siguiente
~
figura muestra esta operación de forma gráfica. Este método toma el área de U como una
entidad. Las áreas superpuestas se reflejan en la fórmula como una sola área.
133
4. Control con lógica difusa
Esta operación es compleja, por lo que los ciclos de inferencia pueden resultar lentos.
Fig 4.17.- Conversión por el método de Centro de Gravedad (CdG)
4.7.6.3 Centro de sumas (CdS)
Este método es similar al anterior aunque más rápido. Se basa en la consideración de la
~
contribución del área de cada CLU ( k ) individualmente. Matemáticamente el CdG construye
~
~
~
U cogiendo la unión de todos los CLU ( k ) . El Centro de sumas, toma la suma de los CLU ( k ) .
Con este método las áreas superpuestas aparecen más de una vez en la fórmula.
La fórmula utilizada para el caso discreto es
u* =
l
n
i =1
l
k =1
n
∑ ui ⋅ ∑ µ CLU ( k ) (ui )
∑ ∑µ
i =1
k =1
( 4.32 )
CLU ( k )
(u i )
Y en el caso continuo
u* =
∫ u⋅∫ µ
∫ ∑µ
U
(u ) ⋅ du
n
U
134
CLU ( k )
U
k =1
CLU ( k )
(u )
( 4.33 )
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Fig 4.18.- Conversión por el método de Centro de Sumas (CdS)
4.7.6.4 Centro de la mayor área (CMA)
~
Este método se utiliza cuando U no es convexa. Se utilizan un mínimo de dos
subconjuntos difusos convexos. El método consiste en determinar el subconjunto con el área
mayor y definir el valor del CdA de dicho subconjunto como el valor de salida u*.
Fig 4.19.- Defuzificación por el método del Centro de la Mayor Área
4.7.6.5 Primero del máximo
Este método toma el menor valor del dominio con el máximo grado de pertenencia a
~
U
mayor (U ) = sup µU (u )
( 4.34 )
u∈U
~
el mayor grado de pertenencia a U , y se obtiene
{u ∈ U µ
U
(u ) = mayor (U )}
( 4.35 )
el grupo de elementos del dominio con mayor grado de pertenencia igual a mayor(U).
Entonces u* viene dada por
u* = primer{u ∈ U µU (u ) = mayor (U )}
( 4.36 )
u∈U
Una versión alternativa a este método llamada Ultimo del Máximo, corresponde a:
u* = ultimo{u ∈ U µ U (u ) = mayor (U )}
u∈U
( 4.37 )
135
4. Control con lógica difusa
Fig 4.20.- Defuzificación por el método de Primero del Máximo
4.7.6.6 Medio del máximo
Este método es muy similar al método de Primero del Máximo o Último del máximo.
El valor de u* se determina promediando los valores de U primero y último pertenecientes a la
FdP mayor.
u* =
primer{u ∈ U µU (u ) = mayor (U )}+ ultimo{u ∈ U µ U (u ) = mayor (U )}
u∈U
u∈U
2
( 4.38 )
Fig 4.21.- Defuzificación por el método de Medio del Máximo
4.7.6.7 Altura
~
Este método toma el valor de pico de cada CLU ( k ) y calcula la suma de alturas de esos
~
valores de pico (con respecto a la altura fk de CLU ( k ) ). Se toma c(k) como el valor de pico de
~
~
LU y fk es la altura de CLU ( k ) . Así pues este método, en un sistema con m reglas ,
respondería a la siguiente ecuación:
m
u* =
∑c
(k )
( 4.39 )
n
∑f
k =1
136
⋅ fk
k =1
k
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Fig 4.22.- Defuzificación por el método de la Altura
4.7.6.8 Sistemas Sugeno
Este tipo de sistemas se caracteriza por que en una regla del tipo
R(k) : SI e ES E(k) AND ∆e ES ∆E(k) ENTONCES
u ES u*(k)
el valor de salida u* es un valor numérico (combinación lineal de las entrada e y ∆e).
La salida de este tipo de sistemas se llama salida “singleton”
Así pues para un sistema del tipo:
R1 : SI e ES E1 AND ∆e ES ∆E1
ENTONCES
u ES u*1
R2 : SI e ES E2 AND ∆e ES ∆E2
ENTONCES
u ES u*2
Fig 4.23.- Sistema con salida singleton
El conjunto difuso de salida es una unión de singleton, que tiene como consecuencia
una simplificación de los algoritmos de defuzificación.
La ecuación que determina el cálculo de la salida para el caso continuo será
u* =
∫ u ⋅ µ (u ) ⋅ du
∫ µ (u ) ⋅ du
U
( 4.40 )
U
137
4. Control con lógica difusa
y en el caso discreto
n
∑ FdP ⋅ u *
u* =
∑ FdP
i
i
i =1
i
4.8
( 4.41 )
DISEÑO DEL CONTROL
En este caso se controlará el convertidor con el control en modo deslizamiento
estudiado, en el cual, se introducirá un control difuso que variará los valores de K2 y K3 en
función del error y el incremento del error existente en cada momento en la salida del sistema.
4.8.1 Elección de las variables de entrada y salida
Las variables del sistema necesarias para poder controlar la evolución del sistema
serán:
1) Error (e=Vref-Vo)
2) Incremento del error (∆e)
La salida serán los incrementos de los factores que forman la superficie de
deslizamiento
1) ∆K2
2) ∆K3
Cada una de estas variables se representará en el dominio difuso mediante una variable
lingüística (VL), a la que se le asignará su mismo nombre
4.8.2 Escalado y elección de las funciones de pertenencia
Las dos variables de salida K2 y K3, se representarán como variables singleton, con
cinco FdP {NG, NM, CE, PM, PG} cada una.
En todas las variables lingüísticas de entrada se representaran las funciones de
pertenencia de forma triangular y simétricas, obteniendo así una mayor velocidad de cálculo.
En el caso de la variable error, la información que suministrará al control, será una
medida de lo cerca que se encuentra la salida del punto de referencia y el signo del error. Si el
error se considera grande no se tiene en cuenta su magnitud, por lo que no será necesario
escalar esta entrada y simplemente se limitará la amplitud de la entrada al rango [-1.5,1.5].
Se utilizarán cinco FdP, que se concentrarán sobre el punto cero para obtener mayor
138
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sensibilidad alrededor de dicho valor.
Así pues se definirá la variable error como:
Rango [− 1.5,1.5]
 NG = L(−0.6,0.3)
 NM = T (−0.6,0.3,0.01)

FdP CE = T (−0.3,0,0.3)
 PG = T (0.01,0.3,0.6)

 PP = Γ(0.3,0.6)
( 4.42 )
Fig 4.24.- Representación gráfica de la variable lingüística error
En el caso de la variable incremento del error, la información necesaria para el control,
es si este es positivo, negativo o cero. No se necesita conocer su magnitud por lo que
simplemente se limitará la amplitud de la entrada.
La variable inc_error se definirá como:
Rango [-0.5,0.5]
 N = L(−0.04,−0.001)

FdP Z = T (−0.04,0,0.04)
 P = Γ(0.001,0.04)

( 4.43 )
139
4. Control con lógica difusa
Fig 4.25.- Representación gráfica de la variable lingüística inc_error
4.8.3 Ajuste de las reglas
El conjunto de reglas define el funcionamiento del controlador, y deberán describir la
reacción deseada de la salida del control para cualquier combinación de entradas.
El control debe reducir el error por lo que los valores de las salidas se opondrán a éste.
La variable K2 actuará cuando el error sea grande, acercándolo al valor cero. Por la
definición de la superficie de deslizamiento, esta variable reducirá el error pero no lo podrá
eliminar totalmente, dejando un error en régimen permanente.
Un incremento de error nulo, indicará que la variable K2 no puede reducir más el error,
y se variará K3 para eliminar totalmente ese error.
Puesto que un error negativo indica que la tensión de salida está por encima de la
deseada, el valor de ∆K2 será negativo y por lo tanto positivo para errores positivos.
Análogamente, el ∆K3, será del mismo signo que el error.
140
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Fig 4.26.- Representación de las directivas de control
Así pues las directrices y las reglas que las implementan el funcionamiento de la
variable K2 serán las siguientes:
•
Para errores positivos grandes, el incremento de K2 será positivo grande
1. If (error is PG) and (inc_error is N) then (K2 is PG)(K3 is CERO) (1)
•
Para errores positivos pequeños, el incremento de K2 será positivo pequeño
2. If (error is PM) and (inc_error is N) then (K2 is PP)(K3 is CERO) (1)
•
Para errores negativos grandes, el incremento de K2 será negativo grande
3. If (error is NG) and (inc_error is P) then (K2 is NG)(K3 is CERO) (1)
•
Para errores negativos pequeños, el incremento de K2 será negativo pequeño
4. If (error is NM) and (inc_error is P) then (K2 is NP)(K3 is CERO) (1)
•
Cuando existe un error pero la variación de la salida tiende a disminuirlo no se actuará
5. If (error is PG) and (inc_error is P) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)
6. If (error is PM) and (inc_error is P) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)
7. If (error is NG) and (inc_error is N) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)
8. If (error is NM) and (inc_error is N) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)
•
Para error cero, la salida K2 no se variará
9. If (error is CE) then (K2 is CE) (1)
Los valores de la variable K3 vendrán marcados por las siguientes reglas:
•
Para errores positivos, el incremento de K3 será negativo
10. If (error is PM) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is MAS) (1)
11. If (error is PM) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is MAS) (1)
•
Para errores negativos, el incremento de K3 será positivo
12. If (error is NM) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is MENOS) (1)
13. If (error is NM) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is MENOS) (1)
•
Cuando el error es cero y el sistema se ha estabilizado, se ha llegado al punto de
funcionamiento deseado por lo que no se variarán los valores de K2 ni de K3
14. If (error is CE) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)
141
4. Control con lógica difusa
En la representación gráfica del conjunto de las reglas se pueden observar todas las
posibles combinaciones de entradas y sus respectivas salidas singleton.
Fig 4.27.- Representación gráfica de las reglas
En la representación tridimensional se puede observar como los valores del incremento
de K2 variarán de –0.1 a0.1, siempre en la misma dirección del error, mientras que la variable
K3 variará entre –0.05 y 0.05, eliminando el pequeño error estacionario.
Fig 4.28.- Representación tridimensional de la variación de K2 y K3
4.9
IMPLEMENTACIÓN DEL CONTROL DIFUSO MEDIANTE UN ORDENADOR
4.9.1 Conversión analógico-digital y digital-analógico de las señales
La elevada potencia de cálculo de los ordenadores, su rápida evolución y su
versatilidad, han incrementado su empleo como elemento de control de sistemas eléctricos y
electrónicos. Los circuitos reales presentan variables físicas, continuas en el tiempo. La
computadora digital opera con los valores numéricos discretos de las variables que se desea
142
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controlar, obtenidas mediante la discretización de las mismas mediante un conversor analógico
digital (A/D). Una vez el control ha tratado las señales de entrada, se obtiene una señal de
salida digital que se convertirá a continua mediante un conversor digital-analógico(D/A) para
introducirla nuevamente al sistema como control.
Muestreo
de l a señal
Señal analógica
de entrada
Filtrado
Multip lexación
Conver sión A/D
Procesamiento
digital
de l a señal
Señal anal ógica
de salida
Or denador /
Control digital
Conver sión D/A
Filtrado
Reconstrucción
de l a señal
Fig 4.29.- Adecuación de las señales para el tratamiento digital
4.9.1.1 Muestreo de la señal
Los intervalos de muestreo deben ser lo suficientemente pequeños para que las
variaciones de la señal continua puedan ser representadas por la señal discreta. Si el intervalo
de muestreo es demasiado grande, el ordenador recibirá una copia errónea de la señal original,
mientras que si se escoge un intervalo muy pequeño se requerirá una capacidad de
procesamiento innecesaria. La frecuencia mínima de muestreo vendrá determinada por la
dinámica del sistema.
Dada una señal de paso bajo x(t) de banda limitada, de forma que no tiene componentes
de frecuencia por encima de ω B rad/seg, el teorema de muestreo dice que x(t) queda
completamente determinada por sus valores en instantes tomados cada T segundos, si se
cumple que T < π / ω B
Este teorema permite reconstruir completamente una señal de banda limitada a partir de
sus muestras tomadas con una frecuencia ω S = 2π / T , suponiendo que se cumple que ω S es
mayor o igual que 2ω B , es decir, dos veces la frecuencia más alta presente en la señal de
banda limitada x(t).
Fig 4.30.- Efecto del muestreo a diferentes frecuencias
143
4. Control con lógica difusa
La frecuencia mitad de la de muestreo se llama frecuencia de Nyquist, e indica la
frecuencia máxima de la señal que podrá ser reconstruida posteriormente sin pérdida de
información.
Tal y como se puede observar en la figura, la elección de un periodo de muestreo
demasiado grande puede comportar la pérdida de información de la señal y la confusión en el
dominio discreto, provocando un solapamiento de las componentes de la señal discreta y un
error en su posterior reconstrucción. Este efecto se denomina solapamiento (aliasing) y
distorsiona la información de la señal que llega al controlador. Por ello, dada una frecuencia de
muestreo, es necesario asegurarse de que la señal analógica de entrada no presenta
componentes frecuenciales a la frecuencia de Nyquist.
Para evitarlo, en el sistema de conversión analógico-digital debe introducirse un filtro
paso bajo “anti-aliasing”, con una frecuencia de corte inferior a 0.5 ⋅ FNyquist .
4.9.1.2 Filtrado de la señal
El filtrado es el proceso por el que la parte esencial o útil de una señal se separa de
otras componentes indeseadas, que se generalmente se denominan ruido. Con el término ruido
se incluye tanto las interferencias generadas por los propios dispositivos electrónicos, como
cualquier parte de la señal, no deseada.
La idea de realizar filtrados utilizando sistema LTI se basa en la propiedad de la
convolución de la transformada de Fourier . Para este tipo de sistemas, la salida es el producto
de la transformada de Fourier de la entrada por la respuesta en frecuencia del sistema. Un filtro
ideal selectivo en frecuencia es aquel que deja pasar ciertas frecuencias inalteradas y elimina el
resto. El intervalo de frecuencias que pasan se denomina banda de paso del filtro, y el intervalo
de frecuencias que se eliminan se denomina banda eliminada.
144
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Fig 4.31.- Filtros pasa bajo ideal y real
En el caso ideal, H (ω ) = 1 en la banda de paso, y H (ω ) = 0 en la banda eliminada.
Estos filtros con cambios abruptos de la banda de paso a la banda eliminada y viceversa son
imposibles de realizar, por lo que los filtros que se utilizan en la práctica tienen una banda de
transición como se indica en la figura.
En teoría, si una señal x(t) no es de banda limitada, se puede eliminar el solapamiento
filtrando previamente la señal con un filtro pasa bajo antes de muestrearla. Lógicamente se
tiene que utilizar una frecuencia de muestreo de al menos el doble del ancho de banda del
filtro, ω B . Sin embargo, en la práctica, no es posible eliminar completamente el solapamiento
primero porque no es posible diseñar un filtro paso bajo que limite completamente las
componentes de frecuencia que están por encima de un cierto valor, y segundo, porque en
muchas aplicaciones, no es posible filtrar paso bajo x(t) sin eliminar parte de la información
que transporta.
En estos casos, será al menos posible reducir el efecto del solapamiento muestreando la
señal con una frecuencia suficientemente alta como para que las componentes que se solapan
no distorsionen seriamente la señal reconstruida. En algunos casos, la frecuencia de muestreo
puede llegar a ser hasta 8 ó 10 veces el ancho de banda de la señal
4.9.1.3 Reconstrucción de la señal
La reconstrucción de señal más simple se realiza mediante un mantenedor de orden
cero
f (t ) = f (t k ),
t k ≤ t ≤ t k +1
( 4.44 )
Esto significa que la señal reconstruida es constante a tramos, e igual que la señal
muestreada en cada instante. El valor reconstruido es constante hasta el nuevo instante de
muestreo.
Debido a su simplicidad, el mantenedor de orden cero (ZOH) es muy empleado en
145
4. Control con lógica difusa
controles por computador. Además tiene la ventaja de poder usarse para la reconstrucción de
señales muestreadas con una frecuencia no periódicas
Fig 4.32.- Salida obtenida con un conversor ZOH
4.9.2 Discretización de las variables del circuito
En la implementación física del sistema, el control difuso que se encarga de adecuar los
valores de los factores K2 y K3, se implementaría mediante un ordenador o un
microprocesador. Para ello, se debe discretizar las variables físicas del sistema, para su
posterior procesado digital.
En el caso del convertidor la única señal de entrada al controlador es la señal de error
de salida (error=Vo-Vref).
A partir del diagrama de Bode del sistema se obtiene el valor de la frecuencia máxima
que puede tener la señal.
Fig 4.33.- Diagrama de Bode de la planta
El margen de fase del sistema es de 2265 rad/seg, por lo que la frecuencia de
conmutación debe ser al menos el doble de ésta para no perder información de la señal en la
conversión A/D.
Una frecuencia de muestreo elevada, aunque aumenta la capacidad de cálculo
necesaria, reproduce más fielmente la señal analógica. Una mayor frecuencia de muestreo
también implica un mayor coste económico en la implementación del control, por lo que se
debe llegar a un compromiso entre ambos factores. Aunque actualmente los componentes
146
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existentes en el mercado permiten muestrear a frecuencias mucho mayores, se escogerá una
frecuencia de muestreo de 20KHz, que es suficientemente grande para el procesamiento
correcto de la señal del circuito.
Fig 4.34.- Gama de frecuencias reconstruible y no reconstruible
Así pues, la frecuencia de Nyquist será de 10KHz, lo que indica que todas las señales
de frecuencias intermedias entre ésta y la de muestreo, serán digitalizadas incorrectamente, con
lo que generarán una distorsión en la señal muestreada y no podrán ser recompuestas
correctamente por el conversor digital-analógico.
Para evitar estos problemas se eliminarán todas estas frecuencias introduciendo en el
sistema un filtro anti-aliasing con una frecuencia de corte ligeramente inferior a la de Nyquist.
Para que la banda de paso sea lo más pequeña posible, se utilizará un filtro paso bajo de
segundo orden que no modifique la amplitud de la señal.
H ( s) =
wo 2
S 2 + 2 ⋅ ξ ⋅ wo ⋅ S + wo
( 4.45 )
Si se considera wo = 60 Krad / seg y ξ = 1
H ( s) =
wo 2
60000 2
=
S 2 + 2 ⋅ ξ ⋅ wo ⋅ S + wo (S + 60000)2
( 4.46 )
147
4. Control con lógica difusa
En el diagrama de Bode del filtro se puede observar como no varía las señales de
frecuencia inferiores a la de corte y atenúa las señales de frecuencia mayores a ésta.
Fig 4.35.- Diagrama de bode del filtro anti aliasing
Si se comparan los diagramas de bode de la planta y del filtro, se comprueba como
ambos están separados más de una década, por lo que se considerará que la influencia del filtro
sobre la señal analógica que se desea muestrear será despreciable.
4.10 SIMULACIÓN DEL CIRCUITO
La simulación del control con lógica borrosa se implementará con el siguiente circuito:
148
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D1
D
T o W o rksp a c e 3
D
V o
I
12
V g V o
V o
V g
B o o st
T o W o rksp a c e 2
S li
i -k2 * V o -K 3
T o W o rksp a c e 4
D
V o
S lid in g
K 2
V re f
K 3
K 2
i
K 2
T o W o rksp a c e 5
e rro r
24
i
V re f
T o W o rksp a c e 1
I
In c E rro r
C o n tro l
K 3
T o W o rksp a c e 6
K 3
e rro r1
V o -V re f
T o W o rksp a c e 7
i n c _ e rro r
T o W o rksp a c e 8
t
0
T o W o rksp a c e
C lo ck
t1
i n c _ e rro r
Fig 4.36.- Circuito en Simulink del control con lógica difusa
3
I
1
Vo
Sum
5
2
Vref
error
p*p
1
3
Filtro
Sum2
Muestra ant.
[0]
1
2
C.Sliding
Product
IC1 Saturation1 Sum5
Demux
[0]
Demux
4
Mux
D/A
Saturation3
Mux
Control Fuzzy
Sliding
K3
A/D
z
K2
D
s2+2*e*ps+p*p
IC Saturation2 Sum1
1
z
1
Saturation Sum4
z
Muestra
anterior
Muestra ant.1
6
IncError
Fig 4.37.- Implementación del bloque de control
149
4. Control con lógica difusa
4.10.1 Respuesta del sistema mediante un control con lógica borrosa
En la gráfica se puede observar como la variable K2 varia desde el principio
oponiéndose al error y disminuyéndolo paulatinamente.
La actuación únicamente de este factor consigue minimizar el error hasta 0.56V, error
permanente en estado estacionario.
Con la inclusión del segundo factor, una vez llegado al error en estado estacionario, que
el factor K2 no puede eliminar, éste se estabiliza y es el factor K3 quien varía para acabar de
reducir el error de salida.
La señal de salida llega a estabilizarse en el punto de funcionamiento del sistema para
t=0.7ms, aproximadamente en el mismo tiempo que en el caso del control en modo
deslizamiento.
Fig 4.38.- Evolución de la tensión de salida y de los factores K2 y K3
4.10.2 Respuesta del sistema en estado estacionario
Ampliando las señales en estado estacionario, se comprueba como la tensión de salida
a la que se estabiliza el sistema es prácticamente la tensión de referencia (Vo=23.9995),
consiguiéndose un error cero. La frecuencia de conmutación es de 63KHz aproximadamente.
150
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La salida sigue teniendo un rizado a la frecuencia de conmutación del control, aunque
su amplitud ha disminuido a 20mV.
Fig 4.39.- Valor de la señal de salida en régimen permanente
4.10.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación
Para comprobar como evoluciones ambas variables ante perturbaciones y su eficiencia
se introduce una perturbación en la tensión de alimentación consistente en una señal cuadrada
que hará variar la alimentación un 25%. Ambas variables reaccionan para minimizar esta
perturbación, y tomando los valores correspondientes a cada una de las dos tensiones.
En la tensión de salida se observan picos de 60mV cada vez que se produce el cambio
de valor de la tensión de alimentación. Estos efectos son amortiguados rápidamente (≅4ms)
volviendo el sistema al punto de funcionamiento deseado.
151
4. Control con lógica difusa
Fig 4.40.- Respuesta del sistema ante una perturbación de Vg
4.10.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga
En este caso también se aplica una perturbación del 20% en la carga y se observa como
el control varía la corriente para eliminar dicho error. El efecto de estas perturbaciones son
picos de tensión de 50mV y de 100mV en el caso de la perturbación del 50%. En ambos casos
el control difuso tarda unos 4ms en eliminar dicho efecto.
152
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Fig 4.41.- Respuesta del sistema ante una perturbación de un 20% en la carga
153
4. Control con lógica difusa
Fig 4.42.- Respuesta del sistema ante una perturbación de un 50% en la carga
4.10.5 Respuesta ante variaciones de la señal de referencia
La señal de referencia es la que indica al sistema el punto de funcionamiento en el que
debe estabilizarse por lo que si se introduce como perturbación una señal cuadrada de 6V de
amplitud, el sistema intentará seguir las variaciones de la referencia.
154
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En la gráfica puede observarse como inicialmente la reproducción de la referencia no es
demasiado correcta, aunque las variable K2 y K3, van ajustándose y finalmente consiguen
seguir a la referencia de forma correcta.
Este es el funcionamiento deseado, y con ello se consigue una mayor versatilidad en el
funcionamiento del sistema, ya que convierte el circuito en una fuente de alimentación
variable, permitiendo obtener diferentes valores de salida según las necesidades. Además la
precisión obtenida es excelente y la amplitud del rizado mínima.
Fig 4.43.- Respuesta del sistema ante una variación en la señal de referencia
4.11 SIMULACIÓN DEL CONVERTIDOR CON PÉRDIDAS
En este caso se utilizará el mismo control que en el caso anterior pero variando el
modelo del convertidor.
D1
D
I
Vo
D
T o W o rksp a ce 3
12
Vg
Vg
Vo
T o W o rksp a ce 2
B o o st c o n
p e rd i d a s
S li
i -k2 * V o -K 3
V
Vo
T o W o rksp a ce 4
Vo1
D
155
4. Control con lógica difusa
Fig 4.44.- Circuito en Simulink del control con lógica difusa
4.11.1 Respuesta del sistema con pérdidas
Los resultados obtenidos son bastante parecidos al caso ideal. La variable K2 se
incrementa desde el principio, disminuyendo el error, y después lo hace el factor K3, que
elimina el error en estado estacionario, y conduce al sistema al punto de funcionamiento
deseado en unos 3ms aproximadamente.
Al igual que en la simulación del control en modo deslizamiento se observa que el
efecto de las pérdidas y el incremento del factor de amortiguamiento que provocan, hacen que
la respuesta del sistema, aunque más lenta, no tenga ningún sobrepico, llegando suavemente a
los 24V de salida.
156
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Fig 4.45.- Evolución de la tensión de salida y de los factores K2 y K3
4.11.2 Respuesta del sistema en estado estacionario
Ampliando las señales en estado estacionario, se comprueba como la tensión de salida
a la que se estabiliza el sistema es prácticamente la tensión de referencia, consiguiéndose un
error prácticamente igual a cero.. La frecuencia de conmutación ha disminuido hasta 46KHz y
el rizado de la tensión de salida ha aumentado a unos 50mV.
Fig 4.46.- Valor de la señal de salida en régimen permanente
4.11.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación
Aplicando una perturbación del 25% en la tensión de alimentación consistente en una
señal cuadrada, se observa como aunque se provocan picos de 50mV y 80mV en la tensión de
salida. Las variables K2 y K3 evolucionan oponiéndose a dicha perturbación y el efecto de las
157
4. Control con lógica difusa
variaciones de la tensión de entrada en unos 4ms.
Fig 4.47.- Respuesta del sistema ante una perturbación de Vg
4.11.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga
En este caso también se aplica unas perturbaciones del 20 y 50% en la carga y se
observa como el control varía la corriente para eliminar dicho error. Estas perturbaciones
158
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provocan picos de tensión de hasta 0.15V, que el control difuso tarda unos 5ms en eliminar.
En este caso, al igual que se puede observar en la figura 4.46, los picos positivos y
negativos que se producen en la salida no tienen la misma amplitud. Esto provoca que la
variable K2 aumente y disminuya para reducir estos errores, pero la diferencia de amplitud
provoca que no vuelva al valor anterior, con lo que su valor medio va aumentando
progresivamente.
Este hecho puede llevar al sistema a un punto de funcionamiento inestable si supera el
valor máximo de permanencia dentro del margen de funcionamiento en modo deslizamiento.
Tomando el margen superior calculado en la ecuación (3.113) y sustituyendo valores:
K2 ⟨
R ⋅ C (Vg − v )
≅ 11
L(R ⋅ i − v )
( 4.47 )
Para solucionar este problema bastará con limitar el valor de K2 a algun valor inferior
al calculado. Los pequeños errores producidos por esta saturación serán asumidos por la
variable K3, consiguiendo igualmente la respuesta deseada.
159
4. Control con lógica difusa
Fig 4.48.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 20% en la carga
Fig 4.49.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 50% en la carga
4.11.5 Respuesta ante variaciones de la señal de referencia
Se vuelve a introducir como variación una señal cuadrada de 6V de amplitud, y se
comprueba como las variables K2 y K3, van ajustándose al error producido y consiguen que la
160
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tensión de salida siga perfectamente a la señal de referencia introducida.
Fig 4.50.- Seguimiento de las variaciones señal de referencia .
El resultado es prácticamente igual al obtenido en el caso ideal, aunque el rizado es un
poco mayor.
Fig 4.51.- Respuesta del sistema ante una variación en la señal de referencia
4.12 CONCLUSIONES
Arranque E. Estacionario
Pertur. 25% Vg
Pertur. 50% R
Pertur. 25% Vref
161
4. Control con lógica difusa
tr
ms
ts
ms
Vm
∆Vo
F
ts
Vm
V
mV
KH
ms
V
∆V
ts
Vm
o
ms
V
mV
Ideal ⇑
⇓
Real ⇑
⇓
0.7
3
24
20
63
0.8
4
24
50
40
4
4
5
5
24
24
24
24
17
20
35
50
∆V
ts
Vm
o
ms
V
mV
4
4
5
5
24
24
24
24
13
18
30
40
∆V
o
mV
5
5
5
5
30
24
30
24.01
23
18
65
40
•
El control difuso es un control digital que proporciona al sistema una gran versatilidad.
•
La elección adecuada de las reglas permitirá habilitar o inhibir arbitrariamente la
actualización de los factores K2 y K3.
•
Mientras el error sea elevado se ajustará el valor del factor K2 para que disminuya el error.
Cuando la variación de dicho factor no afecte sensiblemente a la salida, se considerará que
se ha llegado al régimen estacionario.
•
La habilitación del factor K3 en ese momento anulará totalmente el error en estado
estacionario.
•
La variación de la señal de referencia provocará un error en la salida del sistema. El control
ajustará el valor de los factores K2 y K3 hasta eliminar totalmente el error.
•
Los incrementos de cada uno de los factores se escogen de forma empírica mediante el
método de ensayo y error. Debería introducirse un algoritmo de control que ajustara el
valor de las variaciones de dichos factores en función de parámetros del sistema como el
error (e) y el incremento del error ( ∆e ).
162
5. CONTROL ADAPTATIVO
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5.1
INTRODUCCIÓN
Un controlador convencional está pensado para controlar sistemas (mayoritariamente
lineales), cuyos parámetros permanecen constantes. Esta es una buena aproximación cuando se
pretende regular un sistema en un punto fijo de operación. Cuando existen perturbaciones, si
éstas son pequeñas, dicha aproximación continúa siendo suficiente para obtener un buen
control. Sin embargo, la aproximación en torno a un punto de funcionamiento no suele seguir
siendo buena, si el punto de funcionamiento cambia.
El término adaptativo significa cambiar el comportamiento conforme a nuevas
circunstancias. Un regulador adaptativo es aquel que puede modificar su comportamiento en
respuesta a cambios en la dinámica del sistema y a las perturbaciones. Este mismo objetivo es
el de la inclusión de la realimentación en el bucle de control, por lo que surge la pregunta de
cuál es la diferencia entre control realimentado y control adaptativo.
Existen muchas definiciones de control adaptativo, siendo una de las más aceptadas,
que control adaptativo es un tipo especial de control no lineal en ele que el estado del proceso
puede ser separado en dos escalas de tiempo que evolucionan a diferente velocidad. La escala
lenta corresponde a los cambios de los parámetros y por consiguiente a la velocidad con la cual
los parámetros del regulador son modificados, y la escala rápida que corresponde a la dinámica
del bucle ordinario de realimentación.
Perturbación
r
+
Controlador
Ajustable
u
y
Planta
+
Actuación
Deseada
Comparación
Decisión
+
Mecanismo
de
Adaptación
Medida del
Índice de
Actuación
Fig 5.1.- Configuración básica de control adaptativo
165
5. Control Adaptativo
El esquema básico de control adaptativo (Landau 1974), según puede observarse en la
figura, está compuesto de un bucle principal de realimentación negativa, en el que actúa al
igual que en los sistemas convencionales un regulador y de otro bucle en el que se mide un
cierto índice de funcionamiento, el cual es comparado con el índice deseado y se procesa el
error en un mecanismo de adaptación que ajusta los parámetros del regulador y en algunos
casos actúa directamente sobre la señal de control. También puede existir un tercer bucle
dedicado a supervisar la marcha de los dos bucles anteriores (Isermann 1982) en orden a
asegurar la estabilidad del sistema y a mejorar la actuación del conjunto.
El mecanismo de adaptación presenta una solución en tiempo real al problema de
diseño para sistemas con parámetros conocidos, aunque puede ir a un tiempo de muestreo
superior al correspondiente al regulador e identificador.
La característica fundamental que distingue a los sistemas adaptativos es la presencia
de un bucle de control en el que se compara un índice de funcionamiento (Landau 1981).
Existen muchos tipos de controladores que proporcionan buenas característica de
regulación en presencia de cambios de los parámetros del sistema y que según la definición
anterior no son realmente adaptativos, puesto que la adaptación se realiza en bucle abierto.
Un ejemplo muy utilizado de control adaptativo en bucle abierto es el denominador
Cambio por tabla. Consiste en la modificación de los parámetros del controlador a partir de
una tabla que ha sido calculada previamente para distintos puntos de funcionamiento, en
función de una variable auxiliar.
Mecanismo
de
Adaptación
Medida de
la Variable
Auxiliar
Medio
Ambiente
y
r
+
e
Controlador
Ajustable
u
Planta
-
Fig 5.2.- Sistema adaptativo en bucle abierto
166
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En la figura se presenta esquemáticamente este tipo de controladores. Se supone que
existe una fuerte relación entre la variable auxiliar y la dinámica de los parámetros del sistema.
Este tipo de adaptación tiene la ventaja de que el controlador puede ser cambiado muy
rápidamente, dependiendo de la rapidez con que la variable auxiliar refleje el cambio de la
dinámica del proceso, siendo muy importante la elección de dicha variable. Sin embargo estos
reguladores consumen mucho tiempo en la realización de la tabla de parámetros, presentando
así mismo algunos problemas en la conmutación de unos parámetros a otros.
Según sean diseñados los bloques descritos anteriormente, se pueden tener uno u otro
tipo de control adaptativo, pudiéndose dividir principalmente en dos grupos: Controladores
adaptativos con modelo de referencia (MRAC) y Reguladores autoajustables (STR).
MRAC y STR pueden ser considerados como una aproximación a la solución del
problema de control adaptativo. La hipótesis que justifica la aproximación es que para
cualquier juego de valores posibles de los parámetros de la planta y las perturbaciones, existe
un controlador lineal con una complejidad fijada, tal que el conjunto de controlador y planta
tienen características preespecificadas.
•
Los controladores con modelo de referencia, intentan alcanzar para una señal de entrada
definida, un comportamiento en bucle cerrado dado por un modelo de referencia.
•
Los reguladores adaptativos autoajustables, tratan de alcanzar un control óptimo, sujeto a
un tipo de controlador y a obtener información del proceso y sus señales.
Estas dos técnicas han sido desarrolladas separadamente durante varios años,
pudiéndose demostrar su equivalencia en muchos casos. Las ventajas de MRAC están en su
rápida adaptación para una entrada definida y en la simplicidad de tratamiento de la estabilidad
utilizando la teoría de estabilidad de sistemas no lineales. Sin embargo, no se adapta
convenientemente si la señal de entrada al sistema tiene poca riqueza. El STR tiene la ventaja
de que se adapta para cualquier caso y en particular para perturbaciones no mensurables,
teniendo al mismo tiempo una estructura modular, lo que hace posible la programación por
bloques, siendo fácil de realizar distintos reguladores.
167
5. Control Adaptativo
5.2
CONTROLES ADAPTATIVOS CON MODELO DE REFERENCIA (MRAC)
5.2.1 INTRODUCCIÓN
Los sistemas con modelo de referencia fueron diseñados primeramente para sistemas
continuos por minimización de un índice de actuación, siendo dicho índice la integral del error
al cuadrado (Hang 1973). Esta regla de diseñado fue propuesta por Whitaker del MIT (1958),
Instrumentation Laboratory, denominándose por ello como la regla del MIT.
En cuanto a las configuraciones posibles con modelo de referencia, la más usual es
utilizar un modelo paralelo como el de la figura, aunque son posibles otras configuraciones,
como modelo serie, serie-paralelo, etc.
Mecanismo
de
Adaptación
r
+
Controlador
Ajustable
u
yp
Planta
-
Modelo de
referencia
-
ym
+
Fig 5.3.- Estructura con modelo de referencia (MRAC)
5.2.2 DISEÑO DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS
Se puede dividir un sistema de control adaptativo en tres partes fundamentales:
•
Un controlador primario que puede corresponder a cualquiera de las configuraciones
conocidas para el diseño de controles lineales. Sin embargo debe cumplir la condición de
permitir que el conjunto del proceso y el controlador puedan reproducir al modelo de
referencia. Además, para poder aplicar adaptación directa, la señal de control debe ser una
función lineal de los parámetros.
168
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•
Un modelo de referencia, que especifica el comportamiento deseado en bucle cerrado. El
modelo debe ser sensible a la dinámica del proceso, ya que si por ejemplo se elige un
modelo con una dinámica muy rápida, la señal de control será muy grande causando
saturaciones y no pudiendo el sistema responder a dicha dinámica
•
Una ley de adaptación
5.2.2.1 Método del Gradiente
Existe una dualidad entre los sistemas de control adaptativo a un modelo de referencia
y el problema de identificación con un modelo ajustable, siendo en este caso el modelo de
referencia la planta a identificar.
Dado un modelo de referencia Gm(s, p) y un sistema ajustable Ga(s, p̂ ), el cual se desea
que siga al modelo para que el error sea nulo (o mínimo en el caso de la presencia de
perturbaciones), se define el índice de funcionamiento:
J=
1 2
e dt
2∫
;
e = ym − ya
ym - salida del modelo de referencia
ya - salida del modelo ajustable
pˆ
- parámetro a ajustar
( 5.1 )
Usando la técnica de optimización del gradiente (Landau 1981) se tiene que la regla de
adaptación es:
∆pˆ (e, t ) = − K ⋅ gra d ( J ) = − K
∂J
∂pˆ
( 5.2 )
siendo ∆p̂ la variación de p̂ con relación al último valor calculado y K es la ganancia
de adaptación.
La variación del parámetro ajustable con relación al tiempo será:
dpˆ
∂  ∂J 
p!ˆ =
= − J  
dt
∂t  ∂pˆ 
( 5.3 )
169
5. Control Adaptativo
Si se asume variación lenta de la ley de adaptación se puede intercambiar el orden de
las derivadas:
pˆ = − K
∂  ∂J 
∂ 1 2
  = −K  e 
∂pˆ  ∂t 
∂pˆ  2 
( 5.4 )
∂e
p!ˆ = − K ⋅ e ⋅
∂pˆ
La ley de adaptación anterior representa la regla M.I.T.
∂y
∂e ∂ ( y m − y a )
=
=− a
∂pˆ
∂pˆ
∂pˆ
( 5.5 )
∂y
p!ˆ = K ⋅ e ⋅ a
∂pˆ
La ∂y a ∂pˆ es la función de sensibilidad del modelo ajustable con respecto al
parámetro. En este caso la función de sensibilidad es proporcional a ym, quedando la ley de
adaptación de la forma:
pˆ! = K 1 ⋅ e ⋅ y m
( 5.6 )
Esta es una regla de diseño simple, aunque para el ajuste de varios parámetros se
necesitan tantas funciones de sensibilidad como parámetros. Además la ganancia de
adaptación gobierna la velocidad de respuesta; si es muy grande puede volver inestable el
sistema y si es pequeña la respuesta puede ser demasiado lenta, por lo que el compromiso entre
velocidad de respuesta y estabilidad conlleva un laborioso estudio por simulación.
5.2.2.2 Método de Lyapunov
Otra técnica de diseño se fundamenta en la utilización del segundo método de
Lyapunov, el cual asegura la estabilidad para cualquier ganancia y cualquier tipo de entrada.
Su principal desventaja es que requiere el conocimiento del vector de estado y no es aplicable
a los casos donde los parámetros de la planta y del controlador no pueden ser modificados
directamente.
170
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5.2.2.3 Método de hiperestabilidad
Landau (1981) propone una técnica de diseño basada en el concepto de hiperestabilidad
y en la teoría de estabilidad de Popov. El concepto de hiperestabilidad está relacionado con la
estabilidad de una clase de sistemas, tales que pueden ser separados en dos bloque, figura XX.
Este sistema está formado por una parte lineal invariante en el tiempo y otra no lineal y/o
variable en el tiempo
La primera parte contiene usualmente al modelo de referencia y su salida es la señal de
error que es utilizada para la ley de adaptación. La segunda parte contiene la ley de adaptación
y su salida negada es la entrada de la parte lineal.
Parte lineal
e invariante
en el tiem po
+
_
w
Parte no-lineal
y/o variable
en el tiem po
v
Fig 5.4.- Separación del sistema (hiperestabilidad)
La teoría de la hiperestabilidad garantiza la estabilidad asintótica si ambas partes (lineal
y no lineal), satisfacen las condiciones de pasividad:
1. La parte lineal G(s) debe ser estrictamente positiva:
-G(s) debe ser real si s es real
-Los polos de G(s) deben tener parte real negativa
-La parte real de G(jw) debe ser mayor que cero para -∞<w<∞
2. La parte no lineal debe cumplir la desigualdad de Popov
Si la entrada y salida de la parte no lineal están relacionadas por la desigualdad de Popov:
t
n(0, t ) = ∫ v ⋅ w ⋅ dt ≥ −Y0 ,
0
2
∀t > 0
( 5.7 )
donde v es la entrada y w la salida e Yo2 es una constante finita positiva independiente de t.
171
5. Control Adaptativo
Para diseñar la ley de adaptación mediante esta técnica se siguen los siguiente pasos:
1. Transformar el sistema con modelo de referencia en uno equivalente al de la estructura de
la figura 5.4.
2. Encontrar la ley de adaptación para que se cumpla la desigualdad de Popov.
3. Encontrar la parte de la ley de adaptación que aparezca en la parte lineal para que el
conjunto del sistema sea globalmente estable.
4. Volver al sistema original y formular la ley de adaptación explícitamente.
5.2.3 Estructura general
Se pueden considerar dos formas de descripción de los sistemas: mediante variables de
estado o bien entrada-salida. Considerando la primera de ellas, puede escogerse el modelo de
referencia como el conjunto de ecuaciones lineales
x! = AM x + BM u,
x(0) = x0
( 5.8 )
donde x es el vector de estado y u es el vector de entrada. Este modelo se supone
estable y completamente controlable. En cuanto al modelo ajustable (planta más controlador),
puede utilizarse la siguiente representación:
y! = AS (e, t ) x + BS (e, t )u,
x(0) = x 0 ;
AS (0) = AS 0 ;
BS (0) = BS 0 ( 5.9 )
El vector de error generalizado viene dado por: e=x-y
El objeto de diseño, en el caso paramétrico, es encontrar la ley de adaptación tal que las
matrices de parámetros AS(e,t) y BS(e,t) sean modificadas de forma que el error tienda a cero
para cualquier entrada u.
La derivada del error puede obtenerse restando las ecuaciones anteriores, donde además
se suma y resta el término AMy.
e! = x! − y! = AM x + BM x − AS (e, t ) x − BS (e, t ) + AM y − AM y
( 5. 10 )
pudiéndose expresar como:
e! = AM e + [AM − AS (e, t )]y + [BM − BS (e, t )]u
( 5. 11 )
Si se desea que el mecanismo de adaptación tenga memoria, debe considerarse la
172
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inclusión de un integrador en el mecanismo de adaptación. Esto tendrá el efecto de que los
parámetros ajustables dependerán no sólo del error en un instante sino también de los valores
pasados. Por ello la ley de adaptación se define como:
AS (e, t ) = F (e, τ , t ) + AS (0),
0 ≤τ ≤ t
BS (e, t ) = G (e, τ , t ) + BS (0),
0 ≤τ ≤ t
( 5.12 )
Las ecuaciones anteriores pueden representarse según la siguiente figura, sistema que
se puede descomponer en un sistema lineal y otro no lineal, al cual se le pueden aplicar el
criterio de Popov de estabilidad (o criterio de hiperestabilidad)
de
e
+
AM
AM -AS (0)
y
+
_
+F(e,t)
_
G(e,t)
+
u
BM -BS (0)
Fig 5.5.- Representación equivalente del modelo de error
Para conseguir cumplir dicho criterio, por un lado la parte lineal se modifica
añadiéndole un término D en serie. En cuanto a las funciones F y G, caben muchas
posibilidades de elección, pero teniendo en cuenta que deseamos que el error en régimen
permanente sea cero, pueden elegirse de la forma:
∞
F (e, t ) = ∫ Φ1 (v, t )dt + Φ 2 (v, t )
0
( 5.13 )
∞
G (e, t ) = ∫ Ψ1 (v, t )dt + Ψ2 (v, t )
0
La estructura final del sistema sería la representada en la siguiente figura donde los
parámetros de diseño serían las funciones D, Φ1, Φ2, Ψ1 y Ψ2. La resolución se realiza para
cada caso concreto y no de forma general, ya que el caso general resulta bastante complicado.
w1
w
de
e
V
D
_
173
AM
SL
y
AS (0)-AM
5. Control Adaptativo
Fig 5.6.- Sistema adaptativo por modelo de referencia paralelo
5.3
REGULADORES AUTOAJUSTABLES (STR)
El punto de trabajo de un determinado proceso puede variar con el tiempo, ya sea por
derivas o desgastes de las constantes físicas, o porque el proceso es no lineal, motivo por el
cual el controlador calculado para ese punto de trabajo no es adecuado para esta nueva
situación.
Otra solución posible es el uso de un regulador autoajustable, que consiste en plantear
una estructura de control que además del bucle principal de regulación que existe en todo
sistema de control, incorpore un segundo bucle de control, en el que a partir de la información
recogida del proceso y con un determinado criterio de diseño, se modifiquen los parámetros
del regulador.
Se comienza con un método de diseño para sistemas con parámetros conocidos,
sustituyendo posteriormente los parámetros conocidos por sus estimados y recalculando el
controlador en cada paso. La aplicación de esta idea es lo que se conoce como el principio de
equivalencia cierta.
El diagrama de bloques de estos controladores se puede observar en la figura 5.7, en
donde se distinguen tres partes claramente diferenciadas:
− Un algoritmo recursivo de estimación de parámetros
174
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− Un mecanismo de adaptación que desarrolla la tarea de diseño del regulador
− Un regulador con parámetros ajustables
Actuación
Deseada
Diseño del
Controlador
Estim ación
de la Planta
Controlador
Ajustable
Planta
+
_
Fig 5.7.- Esquema de un regulador autoajustable (STR)
Estos reguladores conforman una estructura basada en el principio de separación de las
tareas de control e identificación.
5.4
5.4.1
. ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS
Introducción
La identificación o modelado de un sistema se define como el proceso de determinar un
conjunto de ecuaciones diferenciales o en diferencia, o los parámetros de tales ecuaciones, que
describen un proceso físico de acuerdo con un determinado criterio.
Esta es una parte muy importante de los sistemas adaptativos, y además es la que
consume mayor parte del tiempo de cálculo en cada periodo de muestreo.
El modelo del procese se puede obtener por consideraciones física, siendo mucho más
difícil determinar el modelo de las perturbaciones, que tienen tanta o más importancia. No
obstante, el proceso puede no ser representable por un modelo matemático, siendo necesaria
una jerarquía de modelos complejos que lo implementan.
Desde el punto de vista de procesamiento, la identificación puede ser hecha en línea
(identificación en tiempo real) con el proceso o bien las medidas efectuadas son guardadas en
un archivo y posteriormente procesadas.
La identificación de un sistema comprende las siguientes tareas:
175
5. Control Adaptativo
•
Estudio experimental (adquisición de datos)
•
Formulación de un criterio
•
Seleccionar la estructura del modelo
•
Estimación de los parámetros
•
Validación del modelo obtenido
5.4.2
Modelo del sistema y de las perturbaciones
Se supone que el sistema puede ser modelado como un proceso estable, invariante con
el tiempo y linealizable, con una sola entrada y una sola salida, por lo que puede ser descrito
por la ecuación lineal en diferencias:
y (k ) + a1 ⋅ y (k − 1) + ... + a n ⋅ y (k − n) = b1 ⋅ u (k − d − 1) + b2 ⋅ u (k − d − 2) + ...
+ bn ⋅ u (k − d − n) + v(k ) + c1 ⋅ v(k − 1) + c 2 ⋅ v(k − 2) + ... + c n ⋅ v(k − n)
( 5.14 )
O de la forma vectorial:
y (k ) = ϕ T (k ) ⋅ θ + v(k )
( 5.15 )
donde:
ϕ T (k ) = (− y (k − 1), − y (k − 2), ... ,− y (k − n), u (k − d − 1), u (k − d − 2), ...,
u (k − d − n), v(k ), v(k − 1), v(k − 2), ..., v(k − n))
( 5.16 )
θ T = (a1 , a 2 , ... a n , b1 , b2 , ... bn , c1 , c 2 , ... c n )
u (k ) = U (k ) − U ∞
y (k ) = Y (k ) − Y∞
U(k) e Y(k) son los valores de entrada ya salida del sistema en el instante k, U∞ es el
valor medio de la señal de entrada, Y∞ es el valor medio de la variable de salida y v(k) es una
señal de ruido estadísticamente independiente y estacionaria con distribución normal y de
media nula. Se asume que las perturbaciones pueden ser modeladas por un proceso ARMA
(Auto Regresive Moving Average), con el mismo polinomio que el sistema. La función de
transferencia en z de este sistema puede escribirse como:
B( z −1 ) − d
C ( z −1 )
y( z) =
z u( z) +
v( z )
A( z −1 )
A( z −1 )
176
( 5.17 )
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donde:
A( z −1 ) = 1 + a1 z −1 + a 2 z −2 + ... + a n z − n
B( z −1 ) =
b1 z −1 + a 2 z −3 + ... + a n z − n
−1
−1
C ( z ) = 1 + c1 z + c 2 z
−2
+ ... + c n z
( 5.18 )
−n
El primer cociente B(z-1)/A(z-1) representa el modelo de la planta, y el segundo
cociente C(z-1)/A(z-1) representa el modelo de las perturbaciones. El conjunto planta más
perturbaciones, se denomina modelo ARMAX (Auto Regresive Moving Average con una
variable eXogenous)
5.4.2.1 Método de mínimos cuadrados
Según Gauss el principio de mínimos cuadrados consiste en buscar los parámetros
desconocidos de tal forma que la suma de los cuadrados de las diferencia entre los valores
observados y calculados multiplicado por un número que mide el grado de precisión, sea
mínimo. Para poder obtener una solució0n analítica, los valores calculados deben ser
funciones lineales de los parámetros desconocidos.
5.4.2.1.1
Caso determinista
Si el sistema a identificar es perfectamente determinista y sobre el mismo no inciden
perturbaciones ni ruidos de ningún tipo:
y (k ) + a1 ⋅ y (k − 1) + ... + a n ⋅ y (k − n) = b1 ⋅ u (k − d − 1) + b2 ⋅ u (k − d − 2) + ...
+ bn ⋅ u (k − d − n)
( 5.19 )
Para encontrar los 2n parámetros se necesitan realizar 2n medidas de u(k) e y(k), con
las que se puede plantear un sistema de ecuaciones lineales, donde las incógnitas son los
parámetros ai y bj
y (k ) =
ϕ T (k ) ⋅ θ
y (k + 1) = ϕ T (k + 1) ⋅ θ
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
y (k + N − 1)
( 5.20 )
= ϕ T (k + N − 1) ⋅ θ
donde N=2n. Otra forma de expresarlo sería:
177
5. Control Adaptativo
Yk = Ψk ⋅ θ
θˆ = Ψ ⋅ Y
k
5.4.2.1.2
( 5.21 )
k
Caso no determinista
Normalmente el sistema no es perfectamente determinista, sino que está afectado por
ruidos por lo que el modelo resultante es:
y ( k ) = ϕ T ( k ) ⋅ θ ( k ) + e(k )
( 5.22 )
donde:
ϕ T (k ) = (− y (k − 1), − y (k − 2), ... ,− y (k − n), u (k − d − 1), u (k − d − 2), ..., u (k − d − n))
( 5.23
θ (k ) = (a1 , a 2 , ... a n , b1 , b2 , ... bn )
T
)
La interpretación del primer término del segundo miembro es la predicción del paso
yˆ (k / k − 1) de la salida y(k) con los datos disponibles en el instante k-1, por lo que el error
resulta ser la diferencia entre la salida real y su predicción:
e(k ) = y (k ) − yˆ (k / k − 1)
( 5.24 )
El método de mínimos cuadrados consiste en minimizar el cuadrado del error:
ℑ = ∑ ek = ∑ ( yk − ϕ kT θ ) 2
2
k
( 5.25 )
k
En forma matricial:
ℑ = ξ kT ξ k
= (Yk − Ψkθ )T (Yk − Ψkθ )
( 5.26 )
= Y Yk − Y Ψkθ − θ Ψ Yk + θ Ψ Ψk θ
T
k
T
k
Derivando e igualando a cero:
178
T
T
k
T
T
k
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− 2YkT Ψk + 2θ T ΨkT Ψkθ = 0
−1
θˆMC = (ΨkT Ψk ) ΨkT Yk
( 5.27 )
Si el sistema está cambiando o se identifica un sistema no lineal en una determinada
zona de trabajo y se pasa a otra, se necesita tomar otras N medidas y recalcular los parámetros
estimados. Debido a la inversión de las matrices, este proceso puede sobrepasar el tiempo de
muestreo necesario para el sistema de control si la identificación se realiza en tiempo real.
5.4.2.2 Método recursivo
Los métodos recursivos aprovechan parte de los cálculos realizados en un paso para el
siguiente, por lo que el cálculo de los parámetros en un instante se realiza como:
θˆN +1 = θˆN + corrección
( 5.28 )
Además si el sistema está variando, (o bien se desea una actualización permanente de
los parámetros), se suelen ponderar las medidas que se van tomando, dándole más peso a las
más recientes.
La solución mediante el método recursivo consta de las siguientes partes:
•
Seleccionar los valores iniciales de P(k ) y θˆ(k )
•
Obtener los nuevos valores de y(k+1) y u(k+1)
•
Calcular el error residual a priori:
e(k + 1) = y (k + 1) − ϕ T (k + 1)θˆ(k )
•
Calcular L(k+1) dado por la expresión:
L(k + 1) =
•
P(k )ϕ (k + 1)
1 + ϕ (k + 1) P(k )ϕ (k + 1)
T
( 5.30 )
Calcular los nuevos parámetros estimados dados por:
θˆ(k + 1) = θˆ(k ) + L(k + 1)e(k + 1)
•
( 5.29 )
( 5.31 )
Actualizar la matriz de covarianza.
P(k + 1) = ( I − L(k + 1)ϕ T (k + 1)) P(k )
( 5.32 )
179
5. Control Adaptativo
•
Actualizar el vector de medidas ϕ (k + 2)
•
Hacer k=k+1 y volver al paso 2.
5.4.2.3 Método de variable instrumental
Si únicamente se desea conseguir los parámetros del sistema y no los de las
perturbaciones cuando éstas están correladas con ϕ(k), se puede utilizar este método. Consiste
en sustituir el vector ϕ(k) por otro W(k) que es incorrelado con e(k). Dicho vector es de la
forma:
W T ( k ) = (− h( k −1) ,− h( k − 2) ... − h( k − n ) , u ( k − d −1) , u ( k − d − 2) ...u ( k − d − n ) )
( 5.33 )
h( k ) = yˆ ( k ) = W T ( k )θˆaux ( k )
( 5.34 )
donde
es la salida de un modelo auxiliar de parámetros θˆaux ( k ) , sin perturbaciones. La
estructura del algoritmo es igual a la de mínimos cuadrados recursivos. Los parámetros suelen
filtrarse don un filtro paso bajo. La elección de los parámetros iniciales presenta algunos
problemas, por lo que se suele inicializar con los parámetros estimados por mínimos
cuadrados.
5.4.2.4 Método de la máxima verosimilitud
Este método se basa en maximizar la probabilidad de las medidas obtenidas en los
parámetros ai y bi y es fuertemente no lineal en los ci. Por ello se requiere muchos más cálculos
que los métodos anteriores, siendo por ello, de aplicación práctica limitada.
5.4.3
CONSIDERACIONES DEL ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN
En todos los métodos citados se supone que los parámetros del sistema son invariantes
con el tiempo, y con memoria infinita. Sin embargo si los parámetros del sistema varían
lentamente, bien por derivas o por que el sistema es no lineal, es conveniente reducir la
memoria del identificador con objetivo de que éste pueda seguir las variaciones del sistema,
ponderando las medidas de forma que tengan más peso las últimas sobre las más antiguas.
180
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5.4.3.1 Factor de olvido
Mediante este método, la memoria finita se consigue sustituyendo P(k) por P(k)/c.
Para c=1 se tiene el algoritmo de mínimos cuadrados normal, mientras que para c<1 el
algoritmo olvida las medidas más antiguas. Para c=0.99 la memoria es de 100 pasos, siendo el
rango normal un valor de c entre 0.98 y 1.
La elección de c es un compromiso entre una gran eliminación del ruido o un mejor
seguimiento de la variación de los parámetros.
La función de costo que se minimiza por mínimos cuadrados:
k
J = ∑ c k −m e 2 (k )
( 5.35 )
m =1
5.4.3.2 Suma de una matriz positiva
Este método (random walk), consiste en sumar una matriz (R) positiva a la matriz de
covarianza P(k), que pasa a ser de la forma:
P( k +1) = ( I − L( k +1)ϕ T ( k +1) ) P( k ) + R
( 5.36 )
Con ello se asegura que la matriz de covarianza permanezca limitada a un valor superior a R.
5.4.3.3 Problemas y soluciones que presenta el factor de olvido
Estos métodos pueden llegar a presentar problemas de cálculo ya que si el punto de
funcionamiento se mantiene estable, la excitación es pobre y el producto P( k )ϕ ( k ) → 0 con lo
que la matriz de covarianza se reduce a P(k+1)=P(k)/c. Con un factor de olvido menor que la
unidad, P(k) puede hacerse muy grande, con lo que es muy sensible a cualquier cambio.
Algunas posibles soluciones a estos problemas son:
•
Utilizando un factor de olvido variable, que responde a la siguiente
expresión:
c( k +1) = 1 − (1 − ϕ T ( k +1) L( k +1) )
e(k + 1) 2
So
( 5.37 )
181
5. Control Adaptativo
Cuando el error tiende a cero, c(k) tiende a uno, por lo que se evita el
crecimiento de P(k). El parámetro So debe buscarse a priori (So está relacionado con la
suma de los errores2).
En la fase inicial interesa que el factor de olvido sea pequeño, ya que los valores
de los parámetros son más inciertos, consiguiéndose mediante:
c(k + 1) = c o c(k ) + c f (1 − c o )
( 5.38 )
donde
c o < 1 y c(0) < 1
( 5.39 )
siendo el límite de c(k+1) cuando k tiende a infinito igual a cf .
No se eliminan todos los problemas de cálculo, pero disminuye la posibilidad
de aparición.
Hacer c(k)=1 cuando la matriz P(k) excede de un cierto valor
•
Utilizar una estructura con dos factores de olvido:
L(k + 1) =
P (k )ϕ (k + 1)
c1 (k )
+ ϕ T (k + 1) P(k )ϕ (k + 1)
c 2 (k )
P(k + 1) = ( I − L(k + 1)ϕ T (k + 1))
donde 0 < c1 (k ) < 1
y
P(k )
c1 (k )
( 5.40 )
0 < c 2 (k ) < 2
obteniéndose los mejores resultados para ganancia constante P(k)=P(0). Una posible
solución es fijar el cociente c1(k)/c2(k) entre 0.81 y 1.
182
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5.5
IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DEL GRADIENTE
5.5.1 Introducción
El método de control adaptativo con modelo de referencia responde a la estructura del
diagrama de bloques de la figura 5.3.
En primer lugar se escogerá un sistema cuyo comportamiento que se adapte a las
exigencias impuestas a nuestra planta, como modelo de referencia. La planta seguirá las
variaciones del sistema de referencia consiguiéndose así el funcionamiento deseado.
El controlador ajustable que atacará a la planta seguirá siendo el control en modo
deslizamiento diseñado en el tema anterior, las constantes del cual serán modificadas por un
mecanismo de adaptación en función del error y su derivada en cada momento. Para ello se
utilizará el método del gradiente.
El mecanismo de ajuste de parámetros utilizando por este método puede ser
implementado mediante la conocida regla del MIT. Para ello se utiliza la función de costo,
J=
1
2
∫e
2
dt ; e = ym − ya
( 5.41 )
y la ley de adaptación
∂ e ∂ (ym-ya) ∂ ya
=
=
∂ pˆ
∂ pˆ
∂ pˆ
( 5.42 )
∂ ya
p!ˆ = K ⋅ e ⋅
∂ pˆ
( 5.43 )
luego
5.5.2 Función de transferencia del sistema
En el caso del convertidor, se partirá de la función de transferencia en lazo abierto
calculada en la ecuación (3.132)
Vo( s )
L ⋅ S − R ⋅ D' 2
=
u ( s ) C ⋅ R ⋅ D' ⋅ S + 2 ⋅ D'
( 5.44 )
183
5. Control Adaptativo
de la que se obtiene el modelo de la planta.
C ⋅ R ⋅ D ′ ⋅ V!o + 2 ⋅ D ′ ⋅ Vo = L ⋅ u! − R ⋅ D ′ 2 ⋅ u
( 5.45 )
La ley de control que se desea implementar corresponde a un control proporcional:
u = K 2 ⋅ (Vref − Vo )
( 5.46 )
u! = K 2 ⋅ V!ref − K 2 ⋅ V!o
( 5.47 )
donde K2 es la ganancia proporcional y Vref la salida deseada
Sustituyendo en la ecuación de la planta
(C ⋅ R ⋅ D ′ + L ⋅ K 2 ) ⋅ V!o + (2 ⋅ D ′ − R ⋅ K 2 ⋅ D ′ 2 )⋅ Vo =
= (L ⋅ K 2 ) ⋅ Vref − (R ⋅ D ′ 2 ⋅ K 2 )⋅ Vref
(5.48)
cuya función de transferencia es,
Vo =
[L ⋅ K 2]⋅ S − [R ⋅ D ′ 2 ⋅ K 2]
[C ⋅ R ⋅ D ′ + L ⋅ K 2]⋅ S + [2 ⋅ D ′ − R ⋅ K 2 ⋅ D ′ 2 ]
Vref
( 5.49 )
5.5.3 Modelo de referencia
Se desea que el sistema reaccione como mínimo igual de rápido que en el caso del
control difuso. Se puede observar la evolución temporal de la tensión de salida del convertidor
en la figura 4.38, en donde se puede comprobar los valores de
Tr ≅ 0.54ms
Ts ≅ 1.7 ms
Fig 5.8.- Respuesta deseada del sistema
184
( 5.50 )
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Como modelo de referencia se escogerá una función de primer orden que reaccione
ligeramente más rápido que la respuesta deseada.
Tomando un sistema de referencia con ganáncia unitaria del tipo:
Y (s) =
a
S +a
( 5.51 )
el tiempo de subida será
Tr =
2.2
2.2
2.2
⇒a=
=
= 4074
a
Tr 0.54ms
( 5.52 )
con lo que se escogerá una función de transferencia para el modelo de referencia
Ym =
4500
Vref
S + 4500
( 5.53 )
Fig 5.9.- Comparativa de la salida deseada con la del modelo de referencia escogida
5.5.4 Calculo de la función ∆K2
Combinando las ecuaciones (5.49) y (5.53) y calculando la derivada parcial de
Ye = Ym − Vo , con respecto a K2 se tiene,
L ⋅ S − R ⋅ D′2
∂Ye
=
∂K 2 [C ⋅ R ⋅ D ′ + L ⋅ K 2 ] ⋅ S + 2 ⋅ D ′ − R ⋅ K 2 ⋅ D ′ 2
[
]
(Vref − Vo )
( 5.54 )
Esta ecuación no se podrá utilizar ya que no se conoce el valor del parámetro K2, pero
en el caso óptimo
185
5. Control Adaptativo
[C ⋅ R ⋅ D ′ + L ⋅ K 2]⋅ S
[
]
+ 2 ⋅ D′ − R ⋅ K 2 ⋅ D′ 2 = S + a
( 5.55 )
de donde se obtiene la ecuación diferencial del controlador proporcional
∂K 2
 a
=γ ⋅
∂t
S +a
(Vo − Vref ) ⋅ Ye
( 5.56 )

5.5.5 Simulación del circuito
En las figuras se observa la implementación del modelo del control adaptativo con
modelo de referencia, y los bloques implementados
Y m -Vo
AK 2
Vo
Ym
Vo
M e ca n i sm o d e
A d a p ta ci o n
I
Vo
T o Wo rksp a ce 2
i
T o Wo rksp a ce 1
D
24
error
K2
AK 2
K3
V re f
i
I
D
Sum 1
Co n tro l
Vo
P l a n ta
e rro r1
Sum
V o -V re f
T o Wo rksp a ce 7
4500
s+4 5 0 0
M ode lo d e
Re fe re n ci a
D1
D
T o Wo rksp a ce 3
t
0 .0 5
T o Wo rksp a ce
Cl o ck
K2
t1
K2
T o Wo rksp a ce 5
K3
K3
Fig 5.10.- Control adaptativo por modelo de referencia
Fig 5.11.- Mecanismo de adaptación
186
T o Wo rksp a ce 6
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1
2
z
Muestra ant.
3
AK2
K2
p*p
s2+2*e*ps+p*p
Filtro
A/D
Sum5
Product
Sum2
2
error
1
1
C.Sliding
I
D
Fig 5.12.- Controlador ajustable
5.5.5.1 Respuesta del sistema
En la figura se representa la evolución de la respuesta del sistema para diferentes
valores del parámetro γ.
A medida que esta magnitud disminuye, el tiempo de establecimiento también lo hace,
pero el valor del rizado en estado estacionario es prácticamente igual en todos los casos.
Tomando un valor de γ=-0.005 se obtiene un rizado (∆Vo≅18mV) inferior al 1‰. Para valores
mayores el sistema se hace inestable.
Realmente, en las simulaciones no se llega al régimen de estado estacionario, ya que el
control va disminuyendo el error, pero de forma muy lenta, por lo que se puede decir que se
sigue teniendo un error remanente en régimen estacionario y que se llega al mismo para t≅2ms.
Fig 5.13.- Respuesta temporal del convertidor
187
5. Control Adaptativo
5.6
CONTROL ADAPTATIVO CON ELIMINACIÓN DEL ERROR ESTACIONARIO
5.6.1 Diseño del controlador
Para eliminar el error en estado estacionario se volverá a introducir el factor K3 en el
control en modo deslizamiento.
En este caso se utilizará un controlador difuso, cuya misión será dejar actuar al control
actual mientras el error sea grande, y cuando los decrementos del error sean pequeños, se
anulará su efecto y se habilitará la variación de K3, eliminando así el error en estado
estacionario.
Se variará el controlador difuso añadiendo como entradas ∆K2 y ∆K3, correspondientes
al valor obtenido con el método del gradiente y el incremento de K3 se fijará en 0.05. Estas
entradas no se fuzzificarán
Las salidas del control serán una combinación lineal de las entradas. Así pues, los
valores de las entradas error e inc_error, indicarán que salida se debe habilitar, y en caso
contrario permanecerán a cero. Cuando las salidas K2 y K3 estén habilitadas, valdrán lo mismo
que las entradas ∆K2 y ∆K3, respectivamente.
La entrada error se modificará ligeramente ya que en este caso la información sobre la
amplitud del error no es necesaria. Las Variable Lingüísticas quedarán:
Fig 5.14.- Fuzzificación de las entradas error e inc_error
Las reglas del control serán las siguientes:
1. If (error is PO) and (inc_error is N) then (K2 is AK2)(K3 is CERO) (1)
2. If (error is NE) and (inc_error is P) then (K2 is AK2)(K3 is CERO) (1)
3. If (error is CE) then (K2 is CERO) (1)
4. If (error is PO) and (inc_error is Z) then (K2 is CERO)(K3 is MAS-AK3) (1)
5. If (error is NE) and (inc_error is Z) then (K2 is CERO)(K3 is MENOS-AK3)
188
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6. If (error is CE) and (inc_error is Z) then (K2 is CERO)(K3 is CERO) (1)
y representadas gráficamente
Fig 5.15.- Representación gráficas del conjunto de reglas
5.6.2 Simulación del control
5.6.2.1 Implementación del control
1
2
I
K2
1
p*p
2
error
z
Muestra ant.
s2+2*e*ps+p*p
Filtro
A/D2
Sum2
Saturation3
1
Mux
1
Sum4 Saturation
z
Muestra
anterior
Demux
Sum5
C.Sliding
D
Mux S=i-K2*error-K3 Demux
Sum6
3
1
AK2
z
Muestra ant.1
0.05
Product
3
K3
AK3
Fig 5.16.- Implementación del bloque de Control modificado con el factor K3
5.6.2.2 Respuesta del sistema
189
5. Control Adaptativo
En este caso, la introlducción de K3, mantiene el valor del tiempo de subida, pero
provoca un aumento del tiempo de establecimiento (Ts ≅ 3ms ) .
Fig 5.17.- Respuesta del sistema
5.6.2.3 Respuesta del sistema en estado estacionario
El nuevo control consigue disminuir el error en estado estacionario hasta 10mV,
manteniendo la amplitud del rizado y la frecuencia de conmutación sigue siendo de 65KHz.
Variando ligeramente las FdP de la variable de entrada error se consigue eliminar
totalmente el error en estado estacionario, pero el tiempo de establecimiento aumenta hasta los
6ms, por lo que se ha considerado que el error obtenido es aceptable.
Fig 5.18.- Respuesta del sistema en estado estacionario
190
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5.6.2.4 Respuesta ante perturbaciones de la tensión de alimentación
Una perturbación del 25% en la tensión de alimentación provoca unos sobrepicos en la
tensión de alimentación de 0.1V que desaparecen muy rápidamente en 1ms. Como estos
incrementos son muy pequeños, el factor K2 no varía y es el factor K3 quien anula el efecto de
esta perturbación.
Fig 5.19.- Respuesta del sistema ante una perturbación de Vg
191
5. Control Adaptativo
5.6.2.5 Respuesta del sistema ante perturbaciones de la carga
La introducción de una perturbación en la carga produce unas variaciones en la tensión
de salida que son eliminadas por el control en 1ms. En el caso de la perturbación del 50% los
picos son de 0.12V y son eliminados mediante la variación del factor K3.
Fig 5.20.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 20% en la carga
192
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Fig 5.21.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 50% en la carga
193
5. Control Adaptativo
5.6.2.6 Respuesta del sistema ante variaciones de la señal de referencia
En la figura se puede comprobar como la salida es capaz de seguir una variación de la
tensión de referencia entre 24 y 30V. El sistema minimiza el error muy rápidamente, aunque el
sobrepico de subida es muy elevado.
El hecho de que el sobrepico sea tan elevado hace que el error respecto al sistema de
referencia sea lo suficientemente grande como para hacer variar el factor K2, y al desaparecer
la perturbación no se produce un rebasamiento tan elevado con lo que dicho factor no varía.
Este hecho provoca que el valor del factor K2 vaya incrementándose paulatinamente,
con lo que podría sacar al sistema de la zona de funcionamiento en régimen permanente. Para
evitar la inestabilización del sistema bastará con insertar un limitador que mantenga su valor
dentro del rango permitido.
Fig 5.22.- Respuesta del sistema ante una variación de la tensión de referencia
194
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5.6.3 Función de transferencia del modelo con pérdidas
Tomando la función de transferencia en lazo abierto (3.144) que al igual que en el caso
ideal es de primer orden:
U ( s ) R (R + rc ) (CD′rc 2 + RCD′2rc − L ) S − R(− RD′2 ( R + 2rc) + rl ( R + rc) − rc 2 D′)
( 5.57
=
2
u( s)
C ⋅ (R ⋅ D′ + rc )(R + rc ) S + ((R + rc )(2 ⋅ R ⋅ D′ + rc ))
(
)
)
y siguiendo un razonamiento análogo a los cálculos del modelo real, se podrá utilizar el
mismo control en donde el incremento de la variable K2 correponderá a la función
∂K 2
 a
=γ ⋅
∂t
S +a
(Vo − Vref ) ⋅ Ye

( 5.58 )
5.6.4 Simulación del control utilizando el modelo con pérdidas
5.6.4.1 Respuesta del sistema
La tensión de salida no tiene sobrepico y la estabilización del sistema es mucho más
lenta que en el caso ideal Ts=8ms.
Fig 5.23.- Respuesta del sistema controlado mediante el método del gradiente
195
5. Control Adaptativo
5.6.4.2 Respuesta del sistema en estado estacionario
La frecuencia de conmutación en estado estacionario es de unos 68KHz. La señal se
estabiliza en una tensión de 23.99V y el rizado es de unos 50mV
Fig 5.24.- Respuesta del sistema en estado estacionario
5.6.4.3 Respuesta ante perturbaciones de la tensión de alimentación
El sobrepico producido por la perturbación es de 0.16V, valor ligeramente superior al
del modelo ideal.
La variable K3 se encarga de eliminar dicho error, que tras una pequeña oscilación se
estabiliza en 5ms
196
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Fig 5.25.- Respuesta ante perturbaciones del 25% en la tensión de alimentación
197
5. Control Adaptativo
5.6.4.4 Respuesta ante perturbaciones de la carga
En el caso más desfavorable, perturbación del 50% en la carga, se producen sobrepicos
en la salida de 0.22V, que debido a la definición del control también serán eliminados
únicamente por la variable K3. La salida vuelve a su punto de funcionamiento con una pequeña
oscilación que se estabiliza en 5ms.
Fig 5.26.- Respuesta ante una perturbación del 20% en la carga
198
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Fig 5.27.- Respuesta ante perturbaciones de un 50% en la carga
199
5. Control Adaptativo
5.6.4.5 Respuesta ante variaciones de la tensión de referencia
El control adaptativo por modelo de referencia diseñado intenta minimizar el error de la
respuesta del sistema respecto a la salida del modelo de referencia. Para conseguir la respuesta
óptima en un control adaptativo se debe aplicar una entrada persistentemente excitadora, lo
que permite ajustar el valor del factor K2 para que el sistema reaccione de forma óptima.
El hecho de variar la tensión de referencia mediante una señal cuadrada que varía entre
24 y 30V, representa la aplicación de una señal persistentemente excitadora, y se puede
comprobar como la salida del convertidor sigue cada vez mejor las variaciones de la salida del
sistema de referencia.
Al ser un sistema de fase no mínima no puede seguir perfectamente a la salida del
sistema de referencia pero los resultados obtenidos son aceptables.
Fig 5.28.- Respuesta del sistema ante variaciones de la señal de referencia
200
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5.7
IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE LYAPUNOV
5.7.1 Introducción
Un control basado en la regla de MIT no garantiza la estabilidad del sistema en lazo
cerrado. Por ello se buscará otro método de diseño que asegure la estabilidad, tal como el
método de Lyapunov.
Se utilizará el mismo sistema con modelo de referencia que en el caso del control
basado en la regla del gradiente, variando únicamente el Mecanismo de Adaptación, que
adecuará el valor de K2 utilizando el método de Lyapunov..
La principal desventaja de este método es que no es sistemático, dado que hay que
encontrar la función de Lyapunov V adecuada en cada caso.
5.7.2 Cálculo de la función de Lyapunov
Tomando como modelo de la planta
dVo
= −a ⋅ Vo + b ⋅ u
dt
( 5.59 )
y el modelo de referencia será
dVm
= − am ⋅ Vm + bm ⋅ Vref
dt
am > 0
( 5.60 )
El control proporcional que se desea implementar, responde a la ecuación
u = K 2 ⋅ (Vref − Vo )
( 5.61 )
e = Vo − Vm
( 5.62 )
y definiendo el error como
Para minimizar el error, se derivará la ecuación diferencial del error, obteniendo
de
= −am ⋅ e + (b ⋅ K 2 + a − am ) ⋅ Vo + (b ⋅ K 2 − bm ) ⋅ Vref
dt
( 5.63 )
Introduciendo una función cuadrática del tipo:
201
5. Control Adaptativo
V (e, K 2) =

1 2
1
1
 e +
(b ⋅ K 2 + a − am ) 2 +
(b ⋅ K 2 − bm ) 2 
2
bγ
bγ

bγ > 0
( 5.64 )
Esta función es cero cuando e es cero. Para que se considere una función de Lyapunov,
la derivada dV/dt debe ser negativa.
dV
de 1
dK 2 1
dK 2
= e + (bK 2 + a − am )
+ (bK 2 − bm )
=
γ
dt
dt γ
dt
dt
1
 dK 2
 1
 dK 2

− am ⋅ e + (bK 2 + a − am ) 
− γ ⋅ Vo ⋅ e  + (bK 2 − bm ) 
+ γ ⋅ Vref ⋅ e 
γ
 dt
 γ
 dt

( 5.65 )
2
Si los parámetros son actualizados como
dK 2
= −γ ⋅ Vref ⋅ e
dt
dK 2
= −γ ⋅ Vo ⋅ e
dt

 dK 2
= −γ ⋅ e ⋅ (Vo − Vref )

 dt

( 5.66 )
se obtiene
dV
= −am ⋅ e 2
dt
( 5.67 )
La derivada de V respecto al tiempo es semidefinida negativa pero no definida
negativa. Esto implica que V (t ) ≤ V (0) y entonces e y K2, deben ser acotadas. Esto implica
que Vo = e + Vm también está acotado. Y ya que
d 2V
de
= −2 ⋅ am ⋅ e = −2 ⋅ am ⋅ e(− am ⋅ e − (b ⋅ K 2 + a − am ) ⋅ Vo + (b ⋅ K 2 − bm ) ⋅ Vref )
2
dt
dt
Ya que Vref, e y Vo estan acotadas, V!! también lo estará; esto indica que dV/dt es
uniformemente continua y el error tenderá a cero.
202
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5.7.3 Simulación del control
Manteniendo la misma estructura de bloques del control por modelo de referencia
utilizado en el control por el método del gradiente y el mismo controlador difuso, se ajustarán
los bloques Mecanismo de adaptación y Control, a las ecuaciones obtenidas por el control
mediante el método de Lyapunov.
5.7.3.1 Implementación del control
1
I
Sum2
1
1
2
error
z
Muestra ant.
p*p
s2+2*e*ps+p*p
A/D2
Filtro
Saturation3
1
Sum4 Saturation
z
Muestra
anterior
AK2
C.Sliding
D
2
Mux
3
Product
Demux
K2
Sum5
S=i-K2*error-K3
Sum6
1
3
z
Muestra ant.1
p*p
s2+2*e*ps+p*p
K3
A/D3
Filtro1
Fig 5.29.- Implementación del control
3
Vref
Vo-Vref
1
Vo
1
AK2
e
2
Ym
0.0005
Gamma
Fig 5.30.- Implementacion del mecanismo de adaptación
203
5. Control Adaptativo
5.7.3.2 Respuesta del sistema
La respuesta del sistema llega al régimen permanente de forma suave y sin sobrepico en
unos 6ms.
Fig 5.31.- Respuesta del sistema cotrolado por el método de Lyapunov
5.7.3.3 Respuesta en régimen estacionario
La frecuencia de conmutación del transistor es de unos 70KHz, y el rizado de la señal
de salida de 67mV.
Fig 5.32.- Ampliación de la respuesta en estado estacionario
204
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5.7.3.4 Respuesta ante una perturbación de la tensión de alimentación
La introducción de perturbaciones en la Vg produce picos de 0.15V en la tensión de
salida que se eliminan mediante en 6ms
Fig 5.33.- Respuesta del sistema ante una perturbación de la Vg
205
5. Control Adaptativo
5.7.3.5 Respuesta ante una perturbación de carga
El efecto de la introducción de una perturbación de la carga de 0.12V en la del 20% y
de 0.21V en la del 50%. La salida llega al estado estacionario en unos 6ms.
Fig 5.34.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 20% en la carga
206
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Fig 5.35.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 50% en la carga
207
5. Control Adaptativo
5.7.3.6 Respuesta ante una variación de la tensión de referencia
La variación de la señal de referencia del sistema provoca una variación de la tensión
de salida, que intentará seguir las variaciones de la referencia.
El hecho de producir las variaciones mediante una señal cuadrada representa la
introducción al sistema adaptativo de una entrada persistentemente excitadora ya que actua
sobre todos los polos del sistema.
El control irá adecuando la salida a las variaciones de forma que cada vez se sigue a la
señal de referencia con más exactitud. Este efecto es conocido como adaptación.
No obstante, nunca se conseguirá que la respuesta del sistema sea igual a la respuesta
del sistema de referencia de primer orden, ya que el convertidor Boost es un sistema de fase no
mínima, y aunque se puede conseguir que reaccione aproximadamente como un sistema de
fase mínima, no se conseguirá un seguimiento totalmente exacto.
Fig 5.36.- Respuesta ante una variación de la tensión de referencia
208
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5.8
CONCLUSIONES
Arranque E. Estacionario
tr
ms
ts
ms
Pertur. 25% Vg
Vm
∆Vo
F
ts
Vm
V
mV
KH
ms
V
Pertur. 50% R
∆V
ts
Vm
o
ms
V
mV
Gradi. ⇑
⇓
Lyapu ⇑
⇓
•
1
8 23.99
50
68
1
6
67
70
24
6
6
6
6
24
23.99
24
24
45
68
42
42
Pertur. 25% Vref
∆V
ts
Vm
o
ms
V
mV
6
6
6
6
24
23.99
24
24
40
60
36
40
∆V
o
mV
6
6
5
5
30
24
30
24
70
65
50
42
La finalidad del control adaptativo por modelo de referencia es conseguir que la
planta que se desea controlar tenga una respuesta igual a la del sistema de
referencia escogido.
•
La utilización de un algoritmo adaptativo permite ajustar en cada momento la
variación idónea para el factor proporcional, según el valor del error y el
incremento del error en ese instante.
•
El algoritmo de control ha sido diseñado para que la tensión de salida elimine el
error respecto a la salida del modelo de referencia y siga las variaciones en la salida
del mismo.
•
La introducción continuada de una excitación persistentemente excitadora permite
que el factor proporcional vaya ajustándose a las variaciones, mejorando
paulatinamente el seguimiento de dichas variaciones.
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6. CONCLUSIONES
UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI
ESCOLA TÈCNICA SUPERIOR D’ENGINYERIA
A lo largo del proyecto se han desarrollado diversas estrategias de control para el
convertidor Boost, en las que paulatinamente se iban subsanando las deficiencias que
presentaba cada control.
El diseño de un control en modo deslizamiento ha proporcionado robustez al sistema,
minimizando el efecto de las perturbaciones que pueden introducirse en el sistema, pero la
superficie de deslizamiento escogida ( S ( x) = i − K 2 ⋅ e ) conlleva un error en estado
estacionario.
La modificación de la superficie con una segunda constante ( S ( x) = i − K 2 ⋅ e − K 3 )
permite eliminar dicho error en estado estacionario, pero un valor constante no permite
eliminar dicho error cuando se varia el punto de funcionamiento.
La introducción de un control digital con lógica difusa, junto con la facilidad de diseño
y su gran versatilidad, permite modificar los valores de ambos factores de tal forma que estos
se irán ajustando según las necesidades en cada momento.
Dichas variaciones se habían decidido de forma empírica mediante diferentes ensayos.
Finalmente se han implementado dos algoritmos adaptativos (Gradiente y Lyapunov) que se
encargan de ajustar el valor de los factores de forma automática.
Tal y como se deseaba, se ha conseguido dotar al convertidor de una respuesta más
rápida y de una mayor robustez frente a perturbaciones, por lo que se puede considerar que se
ha logrado el objetivo del proyecto. Aunque los resultados obtenidos son muy buenos, la
idoneidad del control diseñado, la definirá las exigencias impuestas por la aplicación que se
deba alimentar.
Es importante remarcar, que a pesar que esta ha sido una introducción a la lógica difusa
con una aplicación muy concreta, la facilidad conceptual y de diseño, le dota de grandes
posibilidades en el diseño de controles
7. BIBLIOGRAFÍA
UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI
ESCOLA TÈCNICA SUPERIOR D’ENGINYERIA
Sistemas de alimentación conmutados
J. Luis Muñoz Sáez y S. Hernández Gonzalez
Paraninfo, 1977
Apuntes de la asignatura Electrónica de Potencia
Javier Maixé
ETI Electrónica Industrial, 1995
Sistemas de Control Automatico
Benjamin C. Kuo
Prentice Hll, 1996, Séptima edición
Compensating Networks for Sliding Mode Control
R. Giral, L. Martínez, J. Hernanz, J. Calvente, F. Guinjoan, A Poveda and R. Leyva
ISCAS 1995
Control adaptativo deslizante de un motor de continua utiliizando lógoca difusa
E Vidal-Idiarte, R. Leyva, J. Calvente, R. Giral y L. Martínez
Apuntes asignatura Ingenieria de Control I
Luis Martínez
Ingeniería en Automática y Electrónica Industrial, 1999
Digital Control System. Analysis and Desing
Charles L. Philips and H. Troy Nagle
Prentice Hall, Englewood Cliffs, Ney Jersey. Third edition
Computer Sstems for Automation and Control
Gustaf Olsson and Gianguido Piani
Prentice Hall, 1992
Problemas de Ingeniería de Control Utilizando Matlab
Katsuhiko Ogata
Prentice Hall, 1998
Fuzzy Logic TOOLBOX For Use with MATLAB®
J-S. Roger Jang and Ned Gulley
The Math Works Inc.
Natick, Mass. January 1995 First Printing
Réglage par Logique Floue
Hansruedi Bühler
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1994 Première édition
217
7. Bibliografía
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D. Driankiv, H. Hellendoorn and M. Reinfrank
Springer, November 1995 Second Edition
Control Adaptativo y Robusto
Francisco Rodríguez Rubio y Manuel Jesús López Sánchez
Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Sevilla
1996 Primera Edición
Adaptative Control
Karl J. Aström and Björn Wittenmark
Addison Wesley Company, 1995, Second Edition
218