Capítulo 4e

4. STURM-LIOUVILLE
4.4 MÁS SOBRE FUNCIONES DE GREEN.
ESTAS NOTAS SON ANTIGUAS Y LAS HE REPASADO, DE TODAS LAS MANERAS OJO CON LAS
POSIBLES ERRATAS O POSIBLES CAMBIOS DE NOTACIÓN RESPECTO A LAS NOTAS PREVIAS DE
ESTE CAPÍTULO
Generalizaciones del concepto de función de Green:
***Casos donde no hace falta exigir las mismas c.c. de la EDO a la función de Green:
Sea la EDO
d ⎡
dy ( x) ⎤
P
(
x
)
+ q( x) y ( x) = f ( x) (o Ly=f) con unas ciertas c.c., sabemos que L es
dx ⎢⎣
dx ⎥⎦
autoadjunto (respecto al peso w=1) y que la identidad de Green generalizada se escribe, para dos
funciones u y v cualesquiera, como (suponemos que las funciones son reales)
b
b
a
a
∫ dxv( x) Lu ( x) − ∫ dxu( x) Lv( x) = [P( x)(v( x)u ' ( x) − u ( x)v' ( x))] a .
b
Suponga que conoce una función G(x,x’) que verifica LG(x,x’)=δ(x-x’) pero no cumple necesariamente las
c.c. de la ecuación dada (las otras propiedades de continuidad, [4.2.25], y discontinuidad de su primera
derivada, [4.2.32], en x=x’ no dependen de las c.c.). Sustituimos u, en la identidad generalizada de
Green, por una de las soluciones y(x) de la ecuación dada con las c.c. correspondientes y la función v(x)
por la G:
b
b
b
dG ( x, x' ) ⎤
⎡
∫a dxG( x, x' ) Ly ( x) − ∫a dxy( x) LG ( x, x' ) = ⎢⎣ P( x)(G( x, x' ) y' ( x) − y( x) dx )⎥⎦ a
o, como LG(x,x’)=δ(x-x’),
b
b
dG ( x, x' ) ⎤
⎡
∫a dxG( x, x' ) f ( x) − y( x' ) = ⎢⎣ P( x)(G( x, x' ) y' ( x) − y( x) dx )⎥⎦ a
o intercambiando x por x’ y usando las propiedades de simetría de G:
x '= b
b
dG ( x' , x) ⎤
⎡
∫a dx' G( x, x' ) f ( x' ) − y( x) = ⎢⎣ P( x' )(G( x' , x) y' ( x' ) − y( x' ) dx' )⎥⎦ x '=a
Si G verifica las condiciones de contorno dadas el término de contorno (o de superficie) se anula y
b
volvemos a tener el resultado conocido:
∫ dxG( x, x' ) f ( x' ) = y( x) .
Si G no cumple las c.c. la solución
a
tendríamos:
x '= b
b
dG ( x' , x) ⎤
⎡
y ( x) = ∫ dxG ( x, x' ) f ( x' ) − ⎢ P( x' )(G ( x' , x) y ' ( x' ) − y ( x' )
)⎥
dx'
⎣
⎦ x '= a
a
que podría ser muy útil. En efecto, suponga que las c.c. de la EDO dada son del tipo y(a)=A e y(a)=B
(observe que no necesariamente son homogéneas) para obtener la solución necesitaríamos conocer
también u’ en los extremos del intervalo pero para esto necesitamos la propia solución buscada. La
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solución del problema es simple: exigir a G, a la cual todavía no hemos impuesto ninguna c.c., que sea
nula en los extremos del intervalo, de esta manera eliminamos los términos donde aparece la desconocida
y’:
x '= b
b
dG ( x' , x) ⎤
⎡
y ( x) = ∫ dxG ( x, x' ) f ( x' ) + ⎢ y ( x' )
)⎥
.
dx'
⎣
⎦ x '= a
a
Así para cada tipo de c.c. se busca las adecuadas para poder evaluar lo que quede, si queda, del término
de contorno (o superficie). Para el caso más general de c.c. separadas (no necesariamente homogéneas)
asociadas a la EDO:
A1 y (a ) + A2 y ' (a ) = A
B1 y (b) + B2 y ' (b) = B
se deben imponer las mismas c.c. a la función de Green pero en versión homogénea (se demuestra
fácilmente):
dG ( x' , x)
dx'
dG ( x' , x)
B1G (b, x) + B2
dx'
A1G (a, x) + A2
=0
x '= a
=0
x '=b
y la solución queda:
⎡
A dG ( x' , x)
B dG ( x' , x) ⎤
y ( x) = ∫ dxG ( x, x' ) f ( x' ) + ⎢ P(a )
− P(b)
A1
dx' a
B1
dx' b ⎥⎦
⎣
a
b
o
b
⎡
⎤
B
A
y ( x) = ∫ dxG ( x, x' ) f ( x' ) + ⎢ P (a ) G (a, x) − P (b) G (b, x)⎥
B2
A2
⎣
⎦
a
donde todo es ya conocido. Observe que si las c.c. son homogéneas se recupera el caso usual de la
función de Green. Cuando se imponen las c.c. a la función de Green se debe tener cuidado de no imponer
condiciones contradictorias con sus propiedades, por ejemplo si se conocen y’(a) e y’(b) conviene eliminar
los términos que dependen de las desconocidas y(a) e y(b) haciendo G’(a,x’)=G’(b,x’)=0, pero esto lleva
a que G no verifique la ecuación LG=δ si q=0 (se comprueba fácilmente integrando LG=δ sobre el
intervalo [a,b]). El problema, en este caso, se resuelve exigiendo que G’(b,x’)-G’(a,x’)=1/(p(b)-p(a)).
Ejemplo: y’’=f(x) con c.c. y(0)=A y y(1)+y’(1)=B.
*** Caso de EDO no homogénea con condiciones iniciales.
Cuando las condiciones impuestas a la EDO,
d ⎡
dy ( x) ⎤
+ p2 ( x) y ( x) = f ( x) , son iniciales se puede
P( x)
⎢
dx ⎣
dx ⎥⎦
utilizar el método para obtener una solución particular yp de la ecuación. La solución general sabemos que
es de la forma: y ( x ) = c1 y1 ( x ) + c2 y 2 ( x) + y p ( x ) donde y1 e y2 son dos soluciones linealmente
independientes de la ecuación homogénea. La solución particular se puede obtener por medio del método
de la variación de coeficientes donde la solución particular se escribe y p ( x ) = c1 ( x) y1 ( x) + c2 ( x ) y 2 ( x ) y los
coeficientes ci(x) acaban deben ser (ver capítulo 1):
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x
c1 ( x) = −
∫ dx' f ( x' ) y2 ( x' )
a
P( x)W [ y1 , y 2 ] x
x
∫ dx' f ( x' ) y ( x' )
1
c2 ( x) = +
a
P ( x)W [ y1 , y 2 ] x
y la solución particular es por tanto:
x
x
⎡
⎤
1
y p ( x) =
⎢− y1 ( x) ∫ dx' f ( x' ) y 2 ( x' ) + y 2 ( x) ∫ dx' f ( x' ) y1 ( x' )⎥
P( x)W [ y1 , y 2 ] x ⎣
a
a
⎦
que es fácil comprobar que verifica las condiciones iniciales y(a)=y’(a)=0 y que se puede rescribir como
∞
y ( x) = ∫ dx' G ( x, x' ) f ( x' ) si la función de Green está dada por:
a
G ( x, x ' ) =
1
P ( x)W [ y1 , y 2 ] x
0
⎧
⎨
⎩ y1 ( x' ) y 2 ( x) − y1 ( x) y 2 ( x' )
para a < x < x'
para
x' < x ≤ ∞
Puede comprobarse fácilmente que G es solución de LG=δ, es decir que LG=0 para x≠x’, G continua en
x=x’ y G’ tiene la discontinuidad correspondiente en x=x’. Una vez encontradas las dos soluciones
linealmente independientes de la homogénea, es más eficaz buscar la función de Green escribiendo
directamente:
0
⎧
G ( x, x ' ) = ⎨
⎩ a ( x' ) y 2 ( x) − y1 ( x)b( x' )
para a < x < x'
para
x' < x ≤ ∞
y exigir que cumpla las condiciones de continuidad y discontinuidad correspondientes para hallar a y b:
a ( x' ) y1 ( x' ) + b( x' ) y 2 ( x' ) = 0
1
a ( x' ) y1 ' ( x' ) + b( x' ) y 2 ' ( x' ) =
P ( x)
Si las condiciones iniciales no son homogéneas hay que añadir, a la solución particular con condiciones
homogéneas, la solución general de la homogénea y exigir a esta las condiciones iniciales que hayan sido
dadas, que sabemos que existe y es única.
Nota final sobre las generalizaciones de la definición de función de Green: vuelva al principio y observe
cómo se obtuvieron las propiedades de la función de Green usual, por eso si las c.c. que se exigen a la
función de Green no son las que hacen hermítico al operador L, la función de Green no tiene porqué ser
simétrica; las propiedades de continuidad y discontinuidad de G’ dependen sólo de la forma del término
no homogéneo, delta de Dirac, en la ecuación para G y por lo tanto siguen siendo propiedades de G. Un
ejemplo evidente es el de las condiciones iniciales descrito.
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