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DISEÑO DE UNA UNIDAD DIDÁCTICA BASADA EN MÉTODOS INFORMALES PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA JUAN CARLOS SAENZ MURCIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS BOGOTÁ, D.C. 2014 DISEÑO DE UNA UNIDAD DIDÁCTICA BASADA EN MÉTODOS INFORMALES PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. JUAN CARLOS SAENZ MURCIA Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al título de: Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Asesor de Investigación: DR. HILDEBRANDO LEAL CONTRERAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS BOGOTÁ, D.C. 2014 RESUMEN Esta propuesta expone el diseño de una unidad didáctica que se fundamenta a nivel histórico, disciplinar y didáctico, en los métodos de resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Se presentan algunas actividades dinámicas usando sistemas de representación, diagramas, tableros, tablas, balanzas, mapa conceptual, algegrama, lenguaje natural y algebraico en contexto, software de matemáticas, y problemas contextualizados; a fin de lograr la superación de las dificultades de aprendizaje en los estudiantes sobre el tema. La propuesta se implementó a 36 estudiantes que cursan el grado 601 de Básica Secundaria en el Colegio La Palestina en la ciudad de Bogotá. Los resultados muestran cambios favorables en la superación de las dificultades y en la compresión del tema, evidenciados en el desarrollo de las sesiones y en los registros elaborados por el docente. Palabras Clave: unidad didáctica, métodos de resolución de ecuaciones, sistemas de representación. ABSTRACT This proposal is the design of a didactic unit that is based on historcal, disciplinary and learning level about methods of resolution of linear equations with one unknown factor. Some dynamic activities are presented using: representation systems, diagrams, boards, charts, scales, conceptual maps, algegramas, naturaland algebraic language in context, software of mathematics and contextualized problems, with the objective of finding a way to overcome the difficulties of the learning process which students can face in this topic. The proposal was applied to 36 students who are enrolled in course 601 of middle school in the Colegio La Palestina, in Bogota D.C. The results show favorable changes of understanding of the topic as well as the overcoming of difficulties. The evidence is in the development of the sessions and the lesson plan prepared by the teacher. Keywords: Didactic unit, methods of resolution of linear equations, representation systems. CONTENIDO Pág. INTRODUCCIÓN 10 1. ASPECTOS HISTÓRICOS Y EPISTEMOLÓGICOS 12 1.1 LOS BABILONIOS (2000 a.C.- 300 d.C.) 12 1.2 LOS EGIPCIOS - 1700 a.C 16 1.3 LOS CHINOS (1200-250 a.C.) 21 1.4 LOS GRIEGOS 25 1.5 LOS HINDÚES - (200 a.C-1200 d.C.) 29 1.6 LOS ÁRABES (800-1300 d. C.) 32 1.7 EUROPA EN LA EDAD MEDIA 37 1.8 EL RENACIMIENTO 38 2. ASPECTOS DISCIPLINARES 43 2.1 CONCEPTOS PRELIMINARES 43 2.1.1 Variable 43 2.1.2 Constante 44 2.1.3 Incógnita 44 2.1.4 Ecuación 44 2.1.5 Ecuación de primer grado 45 2.1.6 Lenguaje algebraico 47 2.1.7 Planteamiento y resolución de problemas 47 2.2 MÉTODOS INFORMALES PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER 48 GRADO CON UNA INCÓGNITA 2.2.1 Tipos de métodos informales 49 2.2.1.1 Técnicas de recubrimiento (cubrir datos) 49 2.2.1.2 Resolución hacia atrás 49 2.2.1.3 Sustitución por prueba y error (tanteo) 50 2.2.1.4 Las tablas 50 2.2.1.5 Cociente de los coeficientes 50 2.2.1.6 Reducción de términos 51 2.2.2 Representación de los métodos Informales 51 2.2.2.1 Diagramas 51 2.2.2.2 Identidades aritméticas 52 2.3 52 MÉTODOS FORMALES PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 2.3.1 Tipos de métodos formales 53 2.3.1.1 Operar a ambos lados de la igualdad 53 2.3.1.2 Transposición de términos 55 2.3.2 Representación de los Métodos Formales 55 2.3.2.1 La Balanza 55 2.3.3.2 Tableros de fichas 56 3. ASPECTOS DIDÁCTICOS 58 3.1 DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 59 3.2 ALGUNOS OBSTÁCULOS Y ERRORES EN LA ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 3.3 61 ESTRATEGIAS PARA LA SUPERACIÓN DE DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA 64 INCÓGNITA 3.4 ESTÁNDARES DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (MEN) 66 3.4.1 Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analíticos 67 4. DIAGNÓSTICO Y PROPUESTA DIDÁCTICA 69 4.1 EL DIAGNÓSTICO 69 4.1.1 Construcción prueba diagnóstica 72 4.1.2 Instrumento Diagnóstico 72 4.1.3 Análisis y valoración de los resultados 72 4.2 PROPUESTA DIDÁCTICA 83 4.2.1 Presentación 83 4.2.2 Sesión No 1. Encontremos la igualdad 85 4.2.3 Sesión No 2. Reconociendo las ecuaciones 87 4.2.4 Sesión No 3. Conociendo otros caminos 88 4.2.5 Sesión No. 4. Manipulando ecuaciones 89 4.2.6 Sesión No. 5. El mundo mágico de las ecuaciones 91 4.2.7 Sesión No. 6. Conociendo un nuevo lenguaje 92 4.2.8 Sesión No. 7. Resolvamos problemas 94 4.3 APLICACIÓN Y VALORACIÓN DE LA PROPUESTA 95 4.3.1 Caracterización de la población 95 4.3.2 Valoración de los resultados 95 4.3.2.1 Sesión No. 1 96 4.3.2.2 Sesión No. 2 96 4.3.2.3 Sesión No. 3 98 4.3.2.4 Sesión No. 4 99 4.3.2.5 Sesión No. 5 100 4.3.2.6 Sesión No. 6 100 4.3.2.7 Sesión No 7 101 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 102 BIBLIOGRAFÍA 104 ANEXOS 109 LISTA DE TABLAS pág. Tabla 1. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Babilónica 15 Tabla 2. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Egipcia 21 Tabla 3. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización China 25 Tabla 4. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Griega 28 Tabla 5. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Hindú 31 Tabla 6. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Árabe 36 Tabla 7. Métodos, aplicaciones y aportes en Europa en la Edad Media 37 Tabla 8. Métodos, aplicaciones y aportes del Renacimiento 38 Tabla 9. Ejemplo de método de Resolución por Tablas 50 Tabla 10. Cuadro estructura de la prueba diagnóstica 70 Tabla 11. Cuadro de direccionalidad y propósito de las preguntas del diagnóstico 71 Tabla 12. Cuadro conclusiones Concepto 81 Tabla 13. Cuadro conclusiones Método Informal 82 Tabla 14. Cuadro conclusiones Método Formal 82 Tabla 15. Cuadro conclusiones Aplicación 83 LISTA DE GRÁFICOS pág. Gráfico 1. Sistema numérico babilónico 12 Gráfico 2. Tabla de multiplicar del 9 de los babilonios 13 Gráfico 3. Sistema numérico egipcio 17 Gráfico 4. Representación de un número en el sistema numérico egipcio 17 Gráfico 5. Sustracción en el sistema egipcio 18 Gráfico 6. Diferencia en el sistema egipcio 18 Gráfico 7. Aspecto original de un problema y su solución en el sistema egipcio 20 Gráfico 8. Sistema numérico chino 22 Gráfico 9. Sistema numérico griego ático 25 Gráfico 10. Sistema numérico griego jónico o alejandrino 26 Gráfico 11. Sistema numérico hindú 29 Gráfico 12. Sistema numérico árabe 32 Gráfico 13. Método de completar el cuadrado 1 34 Gráfico 14. Método de completar el cuadrado 2 34 Gráfico 15. Método de las escalas 35 Gráfico 16. Ejemplo del método de las escalas 36 Gráfico 17. Ejemplo del método geométrico 41 Gráfico 18. Ejemplo de diagrama 52 Gráfico 19. Ejemplo de balanza 56 Gráfico 20. Ejemplo de tablero de fichas 57 INTRODUCCIÓN La siguiente propuesta surge de la experiencia con los estudiantes de Educación Básica Secundaria del Colegio La Palestina, al observar que existen serias dificultades en la comprensión, resolución y aplicación de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. En consecuencia, se evidencian varios problemas en la trasposición de los conceptos de la aritmética al álgebra; convirtiéndose en un obstáculo para el proceso de aprendizaje. Esta propuesta se fundamenta en el diagnóstico de esas dificultades de aprendizaje para la comprensión y uso de las ecuaciones en la resolución de problemas, evidenciadas en los estudiantes de grado sexto del Colegio La Palestina. En el diseño de la propuesta, inicialmente se abordan como herramienta didáctica los métodos informales para luego dar a comprender los métodos formales; esperando que los estudiantes enriquezcan sus conocimientos y faciliten su aprendizaje. La herramienta didáctica consiste en el diseño de actividades que permitan al estudiante adquirir destrezas para reconocer, formular y abordar problemas o situaciones que requieran las ecuaciones en su contexto más próximo, expresándolo a través del uso del lenguaje matemático. De la misma manera, se involucran algunas estrategias básicas como: uso de tablas, diagramas, detección de datos conocidos y aquellos que se deben buscar, traducción de frases del lenguaje ordinario al lenguaje simbólico, y la comprobación de posibles soluciones que satisfagan los problemas. Su relevancia radica en que no sólo se tiene en cuenta los métodos informales y formales para el desarrollo de las actividades; sino también, y de forma continua, los intereses, motivaciones y expectativas de los estudiantes; además de la utilización de diferentes recursos (programas informáticos, mapas conceptuales, laberintos, tablas, tableros de fichas, cuentos, problemas contextualizados, algegrama y balanzas), que posibilitan una mayor disposición en el aprendizaje de los estudiantes. La propuesta consta de cinco capítulos que se distribuyen de la siguiente manera: 10 En el Capítulo 1 se presentan los aspectos históricos y epistemológicos. Se hace una revisión histórica sobre los métodos de resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita a fin de indagar su origen, evolución y aplicaciones que llevaron a la construcción de este conocimiento. En el Capítulo 2 se estudian los aspectos disciplinares. Se exponen las definiciones de los conceptos más relevantes que sustentan la propuesta y se describen los métodos informales y formales como parte fundamental en la construcción de las actividades de la unidad didáctica. En el Capítulo 3 se retoman los aspectos didácticos. Se refiere a la indagación metódica y sistemática de los procesos de enseñanza y aprendizaje; tiene por objetivo la revisión de algunos obstáculos y errores que surgen en la enseñanza de las ecuaciones, así como también, de las estrategias e intentos para su superación. Además, se enfatiza en los lineamientos curriculares como directrices generales del área y fundamento de los estándares del M.E.N (Ministerio de Educación Nacional); asimismo, como punto de partida en el marco de trabajo curricular y base para el diseño de las actividades de la propuesta. En el Capítulo 4 se expone el diagnóstico y la propuesta didáctica. Se aborda de manera concreta los elementos que posibilitaron la estructura y construcción de la prueba diagnóstica: la creación del instrumento, su análisis, su valoración y las conclusiones. Adicionalmente, se da cuenta de la propuesta didáctica: aspectos fundamentales de su implementación, su estructura, la presentación de cada una de las sesiones, su aplicación y su valoración. Finalmente, en el Capítulo 5 se relacionan las conclusiones y recomendaciones. Se revelan los principales puntos de llegada.1. 11 1. ASPECTOS HISTÓRICOS Y EPISTEMOLÓGICOS Analizar la evolución de los métodos utilizados para plantear y resolver ecuaciones, es un hecho relevante para su enseñanza. En su historia y desarrollo han intervenido grandes civilizaciones que abarcan una transformación del concepto y de los procedimientos, ello se ha convertido en un aporte en la construcción, representación y valoración de los mismos. A continuación, se relaciona el origen de las ecuaciones de primer grado con una incógnita (primeras culturas y épocas que las implementaron) y sus interpretaciones históricas teniendo en cuenta los métodos (su evolución: el paso de un lenguaje verbal a un lenguaje simbólico), las aplicaciones (los problemas del contexto de cada época que generaban este tipo de ecuaciones), y los aportes más influyentes de las principales culturas. 1.1 LOS BABILONIOS (2000 a.C.- 300 d.C.) Se destacaron por el uso de la matemática en la astronomía y se basaron en un sistema posicional mixto base 10 y 60. Desarrollaron un sistema de numeración con solo dos símbolos. Gráfico 1. Sistema numérico babilónico Para formar los números del 1 al 59 se repetían estos símbolos. Con respecto a los números mayores, usaban un sistema posicional dejando un espacio entre los grupos de símbolos; de tal forma que el lugar correspondiente indicaba primero el número de 12 unidades, luego el número de unidades de grupos de 60, de 60x60, o de 60x60x60, y así sucesivamente, como se muestra en los siguientes ejemplos: = 30 + 4 = 34 , = 154 =2x60 + 3 x10+4x1 = 154, y = 21x60+ 3x10+4x1 = 1294. Utilizaban la combinación de sus conocimientos de astronomía para la construcción de templos y la elaboración de calendarios. Así mismo, empleaban la aritmética de los números enteros y las fracciones; los fraccionarios con único denominador sesenta. Algunas representaciones simbólicas de fracciones especiales son: 1 2 1 = 2 = 3 3 = Las operaciones aritméticas como la suma y la resta consistían en quitar o añadir símbolos. Además, construyeron tablas para ayudar a calcular multiplicaciones. A continuación se muestra la tabla del 9, reproducida por Acevedo y Falk1, utilizando en lugar de símbolos babilónicos originales, numerales de nuestro sistema decimal contemporáneo. Así el símbolo 1,21 = 1x60+ 21 y el símbolo 2,33= 2x60 +33. Gráfico 2. Tabla de multiplicar del 9 de los babilonios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 18 27 36 45 54 1,3 1,12 1,21 1,30 20 11 1,39 12 13 14 15 16 17 18 19 1,48 1,57 2,6 2,15 2,24 2,33 2,42 2,51 10 3 Al observar detenidamente la tabla, el 3 del último producto aparece solo; por tanto, se puede inferir que los babilonios que la crearon no utilizaban un símbolo para el cero. Después del último producto de la tabla (9x20=3), los productos en la tablilla original 1 ACEVEDO, Miriam y FALK, Mary. Recorriendo el álgebra: De la solución de ecuaciones al álgebra abstracta. SANTA FE DE BOGOTÁ: Impresores & publicistas,1997. p. 36. 13 crecen de 10 en 10: como sigue 9x30 = 4,3; 9 x40 = 6 y 9x50 = 7,3. Para hallar el producto 9x47, se utiliza la tabla de la siguiente forma: 9x47 = 9x (40+7) = 6 +1,3 = 7,3 Este sistema permite identificar cómo se aplica de manera implícita la propiedad distributiva. El gráfico 2 describe una tablilla que: “Data del primer periodo de la actividad matemática en Babilonia (2000 a.C -1700 a.C) y vale notar que en tablillas posteriores (300 a.C), se incluye un número para el cero, siempre que este ha de intercalarse entre dos dígitos, pero se seguía omitiendo si aparece al final del número”2. Con respecto a la ecuaciones lineales: “El sistema babilónico permite resolver una ecuación lineal como ɑx+b=c usando exactamente los mismos pasos que usaríamos nosotros. Se resta para obtener ɑx = c-b y luego se multiplica por el reciproco de ɑ para llegar a x = 𝑐−𝑏 ɑ “3. Es indudable que las características de la aritmética babilónica permiten un tratamiento de ecuaciones lineales completamente distinto de los métodos egipcios. Por consiguiente, los babilonios no tienen la necesidad de utilizar métodos como la falsa posición. Lo cual implica que las ecuaciones de primer grado no representan ningún reto importante para la matemática babilónica, tanto así que en álgebra: “Los babilonios podían resolver ecuaciones con una incógnita tales como: ax=b, x2+ax=c, x2-ax=c, x2=b, x(x+1)=b, ax2+bx=c y ax2-bx=c”4. “Las matemáticas babilónicas, abarcaban generalmente aproximaciones de números irracionales como soluciones de las ecuaciones determinadas y utilizaban fórmulas tales como: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y (a + b)(a –b) = a2 - b2”5. También desarrollaron sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de segundo grado, todo ello formulado y resuelto de una forma totalmente verbal. 2 Ibid., p. 36. Ibid., p. 37. 4COLLETTE, Jean Paul. Historia de las matemáticas. México: Siglo XXI editores, 1986. v. 1 p. 35 5 SOCAS ROBAYNA, Martín, et al. Iniciación al Algebra. Madrid: Editorial Síntesis, 1996. p. 46. 3 14 Para Acevedo y Falk: “Los problemas considerados por los babilónicos se expresan, la mayoría de las veces, en términos geométricos considerando el semiperímetro x+y y el área xy de un rectángulo”6. Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando estos términos geométricos, se debe tener en cuenta que los babilonios no formulaban en términos generales con letras para representar las constantes, sino a través de ejemplos numéricos particulares. A continuación se muestra una solución de una ecuación cuadrática que utiliza una notación moderna y estilizada; sin embargo, corresponde al enfoque babilónico: Si x +y = a y xy = b, se consideran ɑ ɑ y = x = –z, x = +z, 2 2 dos números cuya suma es ɑ. Luego, si se reemplaza estos valores en la ecuación xy = b, se obtiene: ɑ ɑ 2 2 ( +z ) ( +z ) = b, ɑ de donde ( )2 – z2 = b, de allí se sigue que z2 = ( )2 – b, o sea z = √ ( ) 2 + 𝑏, 2 ɑ 2 ɑ 2 la raíz negativa no era tenida en cuenta. Tabla 1. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Babilónica Civilización: BABILÓNICA MÉTODOS UTILIZADOS 6 - Hasta el momento no se ha encontrado evidencia que demuestre los métodos utilizados, sin embargo en: La Tabla YBC 4652 que contiene 22 problemas dispuestos por grado de dificultad, sólo once de ellos se conservan parcialmente y de estos, apenas seis están totalmente traducidos. Para cada problema se da una respuesta pero sin ningún comentario acerca de su resolución. El objetivo de los ACEVEDO Miriam y Falk Mary. Opt. Cit., p. 38. 15 APLICACIONES APORTES problemas es descubrir el peso original de una piedra dando origen a una ecuación de primer grado7. - Utilizaban tablillas que incluían problemas sobre el comercio, herencias, división de propiedades, etc. - La mayoría de sus problemas eran de tipo aritmético, algebraico y geométrico; sobre áreas de cuadrados, rectángulos, triángulos y círculos. - Como lo expresa Boyer8, manipulaban la incógnita sin usar símbolos especiales y utilizaban terminología geométrica para representarla. Ejemplo: “Us” para hallar la Longitud, “Sag” para establecer la Anchura y “Asa” para calcular el Área. 1.2 LOS EGIPCIOS - 1700 a.C . Se destacaron por sus avances cientificos en el campo de la matemática. Los egipcios la utilizaron en la administración de los asuntos del estado y de los templos, en el cálculo de salarios pagados a los trabajadores, en el cálculo de volúmenes de graneros y áreas de campos, en el cobro de impuestos estimados según el área de la tierra, en la conversión de un sistema de medidas a otro, y en el cálculo del número de ladrillos necesario para la construcción de edificios o rampas9. En otras palabras, le dieron uso a la matemática a nivel práctico y de aplicación cotidiana. En la cultura egipcia se usaron símbolos para representar números, tales como: el ojo, el dedo, el hombre orando, entre otros. El sistema numérico egipcio tiene semejanzas con el romano: es un sistema decimal con un símbolo especial para la unidad y para cada potencia de 10. 7 DALCÍN, Mario y OLAVE, Mónica. Ecuaciones de primer grado: su historia. En: Acta Latinoamericana de matemática Educativa. [En línea]. Mayo, 2007, vol. 20., p. 156-161. [Consultado el 18 de agosto de 2013]. Disponible en: http://www.clame.org.mx/documentos/alme20.pdf 8BOYER, Carl. Historia de la Matemática. Versión española de Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. p. 51. 9 MORRIS, Kline. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid: Editorial Alianza, 1992. v. 1 p. 44. 16 Gráfico 3. Sistema numérico egipcio No se aprecia en él ninguna noción de valor posicional. Este era un sistema aditivo: los símbolos se acumulaban sin importar el orden y siempre valían lo mismo. Aunque, en ocasiones se opta por una determinada disposición preferencial. Para hallar el valor representado en cada numeral, simplemente se adicionan los números representados por cada jeroglífico. Gráfico 4. Representación de un número en el sistema numérico egipcio 12,425 = 10,000+ 2x (1,000)+4x (100)+5 Los egipcios trabajaron las cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Según Acevedo y Falk: “La adición y sustracción egipcias se reducen a reunión de símbolos y, si fuera el caso “trueque” de un símbolo de valor mayor por diez del valor inmediatamente anterior, una decena por 10 unidades, una centena por 10 decenas y así sucesivamente”10. La sustracción es la eliminación de jeroglíficos con el trueque en caso de ser necesario. Como se muestra en el siguiente ejemplo: “Cambiando diez I por un ∩ y diez ∩ por 10 ACEVEDO, Miriam y FALK, Mary. Opt. Cit., p. 6. 17 tenemos [Gráfico 5]. Luego se puede restar suprimiendo símbolos correspondientes al sustraendo, para hallar la diferencia [gráfico 6]”11. Gráfico 5. Sustracción en el sistema egipcio Gráfico 6. Diferencia en el sistema egipcio Para Acevedo y Falk12, la multiplicación egipcia se realizaba por medio de duplicaciones sucesivas y la división multiplicando el divisor hasta obtener el dividendo. Por ejemplo: para hacer la multiplicación 19 x 71 se hacen sucesivas duplicaciones de 71 hasta la última potencia de 2 menor que 19. Después se elige la potencia de 2 cuya suma es 19 (19 = 24+ 21+20) y se suman los respectivos productos de 71. Como: 19 = 16+2+1, 19x71 = (16+2+1) x71 = 16x71+2x71+1x71 = 1136+142+71= 1349. + 20=1 + 71 + 21=2 +142 22=4 284 23=8 564 + 24=16 +1136 _____________________ Total 19 1349 Para realizar una división, se efectúa un procedimiento similar. Por ejemplo: para hacer 35 ÷ 8, se realizan sucesivas duplicaciones del divisor, hasta no exceder el dividendo. Si es preciso, como en este caso, se efectúan sucesivas divisiones por 2. Se adicionan aquellos 11 12 Ibid., p. 6. Ibid., p. 6- 7. 18 múltiplos y submúltiplos que suman 35. La adición de las respectivas potencias de 2 corresponde al cociente. 1 8 2 16 +4 +32 1 4 2 + + 𝟏 +2 𝟒 𝟏 +1 𝟖 ________________ 𝟏 𝟏 𝟒 𝟖 Totales 4 + + 35 La civilización Egipcia dejó papiros importantes como: Rhind (1650 a. C.). Moscú (1850 a.C.). La tablilla de madera de Ajmin (400 a. C). El EMLR (1800 a.C). Estos papiros, contienen multitud de problemas matemáticos resueltos a través de: formulas y métodos para el calculo de áreas, operaciones aritmeticas para la adición, la sustracción, la multiplicación y la división de fracciones unitarias, etc. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria. Sin embargo, había algunos que se podían clasificar como algebraicos, pues no hacían referencia a ningún objeto concreto, y de estos se obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga. Los egicios mostraban cómo solucionar ecuaciones lineales de primer orden, aun cuando no habían desarrollado una notación simbólica, planteaban y resolvían problemas de manera verbal. Posibilitaban más de un valor para la incógnita a través de los métodos de resolución de ecuaciones: el método de la falsa posición y el método de la doble falsa posición. 19 Estos consistían básicamente, en ensayo y error por tanteo: tomaban un valor concreto para la incógnita y verificaban si se cumplía la igualdad, de lo contrario, mediante cálculos obtenían la solución. La ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind (2300 a.C) responde al problema siguiente: “Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24”13. En 1 nuestra notación moderna esto es: x + 7 x = 24 o 8 7 x = 24. A continuación se muestra el aspecto original de un problema y su solución. El enunciado está escrito en la primera línea y se lee de izquierda a derecha. Gráfico 7. Aspecto original de un problema y su solución en el sistema egipcio Traducción: una cantidad (o montón) y su séptimo sumados juntos resulta 19 ¿Cuál es la cantidad? La cantidad o montón era la manera de nombrar a lo desconocido: la 1 8 incógnita. En nuestra notación esto es, x + x = 19 o x = 19. Más adelante, se hará 7 7 una breve descripción de este método. Uno de los limitantes de la civilización Egipcia hace referencia al poco uso de los simbolismos. Tenían dificultad de hacer “álgebra” porque el sistema numérico en el cual se trabaja estaba muy reducido, no tenían un modelo totalmente adecuado para la división, lo cual les impedía la resolución de las ecuaciones lineales generales. El tratamiento que le daban a los fraccionarios en la civilización Egipcia, impedía en general, concebir la división como multiplicación por el reciproco. Además, los procesos que utilizaban los egipcios eran puramente aritméticos y no constituían un tema distinto. Los problemas planteados aparecían formulados verbalmente, poseían unas someras instrucciones para obtener la solución, sin explicación alguna de procedimientos y su funcionamiento. Los métodos de resolución eran simplemente reglas prácticas conocidas 13 SOCAS ROBAYNA, Martín, et al Op. Cit., p. 46. 20 por experiencias, y no tenían una estructura deductiva basada en axiomas, que justificara la corrección de sus reglas. Tabla 2. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Egipcia Civilización: EGIPCIA MÉTODOS UTILIZADOS APLICACIONES APORTES - Falsa posición “regula falsa”. - Factorización. - Desandar lo andado. - Utilizaban problemas en los cuales la incógnita no hacía referencia a un objeto concreto. Ejemplo: “Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24”14 Como lo expone Dancín y Olave15, los problemas planteados pedían lo equivalente a resolver ecuaciones lineales del tipo x +ax = b o x + ax + bx = c; siendo a, b y c números conocidos, y x desconocido. - Según Socas y otros16, utilizaban el jeroglífico “aha” (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. - Actualmente, en la manipulación algebraica los métodos de factorización y desandar lo andado, son similares a la solución por factorización y al uso del método de la igualdad y sus propiedades. 1.3 LOS CHINOS (1200-250 a.C.) Diseñaron su propio sistema de numeración. Consistía en un sistema hibrido que combinaba el principio aditivo con el multiplicativo en base diez, en este utilizaron las unidades y las distintas potencias de 10. Era de carácter posicional: para representar cantidades se debe tener en cuenta el orden en su escritura ya fuera vertical u horizontal. Igualmente, utilizan 9 símbolos distintos para los primeros 9 números, pero ningún símbolo para representar el cero; utilizando combinaciones entre sí para obtener la cifra deseada. 14 Ibid., p.46. DALCÍN, Mario y OLAVE Mónica. Op. Cit., p. 156-161. 16SOCAS ROBAYNA, Martín, et al Op. Cit., p. 46. 15 21 Gráfico 8. Sistema numérico chino Además, al ser una disposición es híbrida (a la hora de componer los números emplean tanto la multiplicación como la adición), por lo que cada cifra es acompañada por otra que la multiplica, y la suma de dichas multiplicaciones da la cifra total. Algunos ejemplos: Los números 4361 y 5789 se representan así: = = 4x1000 + 3x100+ 6x10 + 1 = 4361. = = 5x1000+ 7x100+8x10+9= 5789. Para Gallardo y Rojano17, uno de los primeros textos matemáticos en China es el Fiu Zhang Suanshu o Los Nueve Capítulos del Arte Matemático. En el capítulo 8 titulado Fang Cheng, surgen dos métodos: el Fangcheng o Cálculo por Tabulación para la resolución de un conjunto de ecuaciones, y el Zheng Fu Shu acerca de las reglas de adición y de sustracción para los números positivos y negativos. A continuación se muestra como ejemplo, el problema 8 de este capítulo, su enunciado y su resolución se expresa en lenguaje natural: Al vender 2 vacas y cinco cabras para comprar 13 cerdos hay un sobrante de 1000. El dinero obtenido de la venta de 3 vacas y 3 cerdos alcanza exactamente para comprar 9 cabras. Al vender 6 cabras y 8 cerdos para comprar cinco vacas hay un déficit de 600. ¿Cuál es el precio de una vaca, una cabra y un cerdo? 17 GALLARDO, Aurora y ROJANO, Teresa. Los números negativos en el contexto de la resolución de ecuaciones algebraicas. Un análisis historico-epistemologico. En: Conferencia Iberoamericana sobre Educación Matemática (1990. Sevilla: España). Memorias de congresos internacionales. [En línea] p. 4. [Consultado 15 de septiembre del 2013]. Disponible en: http://www.teresarojano.net/node/370 22 Este problema relaciona las ventas y compras, que se corresponden con positivos y negativos respectivamente. El sistema de ecuaciones relacionado, en forma tabular es el siguiente: -5 6 8 -600 3 -9 3 0 2 5 -13 10018. Como se evidencia en el anterior ejemplo, los chinos trabajaban sistemas de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. Este sistema, en arreglo matricial, era transformado de tal manera que todos los números a la derecha de la diagonal principal fueran cero. Esta matriz transformada, corresponde a un conjunto diagonalizado de ecuaciones, del cual todas las incógnitas son sucesivamente determinadas. Haciendo uso de un procedimiento con símbolos contemporáneos, el sistema de ecuaciones lineales que representa el problema 8, es un sistema de 3x3; de tres ecuaciones y tres incógnitas, donde x: precio de una vaca, y: precio de una cabra, z: precio de un cerdo; y está dado por: 2x + 5y = 13z +1000, Ordenando y 2x + 5y -13z = 1000 Ec. 1, 3x + 3z – 9y =0, simplificando x – 3y + z = 0 6y + 8z- 5x = -600. se tiene: -5x + 6y + 8z = -600 Ec. 2, Ec. 3. Con el propósito de encontrar los valores de x, y, z, se aplica el método de reducción de términos, así: para eliminar x, sumamos (-2) veces la segunda ecuación a la primera y (5) veces la segunda ecuación a la tercera, para obtener: -2x + 6y - 2z = 0 Ec 2, 2x + 5y -13z = 1000 Ec 1, 11y -15z = 1000 Ec4. 18 5x – 15y + 5z = 0 Ec 2, -5x + 6y + 8z = -600 Ec 3, -9y + 13z = -600 Ec 5. Ibid., p.4. 23 Quedando un sistema de dos ecuaciones en las incógnitas y y z. 11y – 15z = 1000 Ec4, -9y + 13z = -600 Ec 5. Ahora se elimina y en este sistema; se suma (9) veces la ecuación cuarta con (11) veces la quinta, para obtener: 99y – 135z = 9000 Ec 6, -99y + 143z = -6600 Ec 7. 8z = 2400, z =2400/ 8, z = 300. Al sustituir este valor de z en la ecuación cuarta, es evidente que y = 500, como se muestra a continuación: 11y – 15(300)=1000, 11y– 4500=1000, 11y=5500, y=5500/11, y= 500. Al reemplazar estos valores de y, z en la segunda ecuación, se nota que x =1200; así: x – 3(500) + 300 = 0, x = 1500 – 300, x =1200. Luego, el precio de una vaca es $1.200, el de una cabra $500 y el de un cerdo $300. El desarrollo de estos textos matemáticos de los chinos, les permitió destacarse y mostrar avances en el área del álgebra en temas como: el método de resolución de sistemas de ecuaciones, la introducción de los números negativos (aunque no los aceptaban como soluciones de las ecuaciones), los métodos para resolver ecuaciones, los algoritmos para obtener ecuaciones cuadráticas y el método para solucionar ciertas clases de ecuaciones cuadráticas. 24 Tabla 3. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización China Civilización: CHINA MÉTODOS UTILIZADOS APLICACIONES APORTES - Falsa posición - Se destacaron por tener una matemática concisa. - Se centraban en la resolución de problemas prácticos de la vida cotidiana: problemas en el calendario, en los negocios, en la medida de las tierras, en la arquitectura, en los archivos gubernamentales y en los impuestos. - Consideraban que una ecuación estaba resuelta cuando existía al menos una raíz positiva. - Se evidencia el uso de la letra como incógnita. 1.4 LOS GRIEGOS La civilización Griega comprendió 2 periodos: El periodo clásico (600 – 300 a. C.) El periodo Alejandrino o heurístico (330 a.C. – 600 d.C) En el periodo Clásico (600-300 a.C.), aparece Euclides. Este expresaba la matemática en lenguaje verbal y lenguaje geométrico y resolvía ecuaciones lineales por métodos geométricos. El primer sistema de numeración utilizado por los griegos se llamó Ático o Herodiánico, muy parecido al romano, fue desarrollado hacia el año 600 a. C.; era un sistema numérico aditivo en base diez. Para representar la unidad y los números hasta el 4, empleaban trazos verticales repetitivos; para 5, 10 y 1000, su representación era la letra correspondiente a la inicial de cada cifra: 5 (Pente), 10 (Deka), 1000 (Khiloi). Los símbolos de 50, 500, 5000, los obtenían por el principio multiplicativo, añadiendo el signo de 10, 100, 1000, al de 5. Gráfico 9. Sistema numérico griego ático 25 Para hallar el valor representado en cada numeral, simplemente se adicionan los números representados por cada símbolo. Sin embargo, es prohibido escribir una cifra menor a la izquierda de una mayor, como se muestra en los siguientes ejemplos: = 4x10 +1x5+2x1= 47 = 1x1000+2x500+1x100= 2100 = 3x1000 + 500 + 2x100 + 3x10 + 5 + 2x1 = 3737 El sistema de numeración griego ático, también utilizó los números fraccionarios. Estos se representaban en la parte superior derecha con una comilla para el numerador, y con dos comillas para el denominador: las cifras se ubicaban seguidas. Un ejemplo para este tipo de operación es representar 7/8 = 5+1+1 5+1+1+1 7 = . 8 En el periodo Alejandrino (330 a.C. – 600 d.C), el sistema de numeración jónico o alejandrino utilizaba las letras minúsculas del alfabeto, lo mismo que algunos símbolos, como se muestra en el Gráfico 10. Las letras representan cantidades constantes 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; múltiplos de 10 hasta 90 y múltiplos de 100 hasta 900; la combinación de estas letras representarían números intermedios. Gráfico 10. Sistema numérico griego jónico o alejandrino La figura griega más representativa de la época con respecto al álgebra, fue el matemático Diofanto de Alejandría con su obra Aritmética; en la que trató por primera vez la historia de las matemáticas griegas, no solo en las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. 26 Como lo ha expresado Morris19, el tipo de álgebra de Diofanto de Alejandría se suele llamar álgebra “numerosa” o “numeral”, ya que los coeficientes de las ecuaciones siempre son conocidos. Un ejemplo suyo, sobre una ecuación lineal, aparece durante los Siglos V o VI en el epigrama algebraico: Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó la sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aun una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto deduce su edad20. Los problemas de álgebra que propuso Diofanto de Alejandría prepararon el camino a lo que siglos más tarde sería “La teoría de Ecuaciones”. A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes de sus métodos, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna. La Aritmética de Diofanto es una colección de 189 problemas, introduce algunas expresiones y símbolos para representar las incógnitas, las operaciones y las potencias de las incógnitas. Incluye símbolos especiales para algunas operaciones aritméticas como: La adición: Yuxtaposición de términos, así: La sustracción La Igualdad así: así: significa 3.x2 +12 x6 - 5x4 + x2 -3x -2 se escribe . =. El cero como: 0▪¯0 = 0. La unidad:M0 indica que seguido va un número puro que no contiene a la incógnita. Fracciones: L” para representar 1/2, así: L” = ½. Los griegos no utilizan signos para representar la multiplicación ni la división. Obtienen un sistema cerrado para las cuatro operaciones del álgebra, para lo cual establecen las leyes de los signos. Ejemplo: deficiencia por deficiencia permite disponibilidad. Esto (-) x (-) = +. 19 20 MORRIS, Kline. Op. Cit., p. 48. SOCAS ROBAYNA, Martín, et al Op. Cit., p. 47. 27 es: Establecen las reglas de que cambiar de signo cuando se cambia de lado de la igualdad y la de reunir términos semejantes. Usaron las fracciones como razón entre números enteros, no como partes de un todo, y las razones las utilizaron solo para proporciones; esto surgió debido al interés de convertir un rectángulo de lados a y b en un cuadrado, para lo que se precisaba resolver: ɑ 𝑥 𝑥 = 𝑏. Tabla 4. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Griega Civilización: GRIEGA MÉTODOS UTILIZADOS APLICACIONES APORTES APORTES - Métodos geométricos - Se utilizó para calcular las edades de las personas y aplicaciones geométricas. - A los griegos se les dificultó el tratamiento aritmético de magnitudes, áreas y volúmenes; como recurso utilizaron las figuras geométricas para representar magnitudes, tal es así que: Los números son sustituidos por segmentos de recta y las operaciones se realizan por medio de construcciones geométricas, el producto de dos números se convierte en el área del rectángulo cuyos lados tienen como longitudes esos dos números, el producto de tres segmentos es un volumen, la suma de dos números es igual a la prolongación de un segmento en longitud igual a la de otro, la resta es recortar de un segmento la longitud del segundo, la división se indica por la razón entre los segmentos que lo representan21. - Establecieron las reglas de cambiar de signo cuando se cambia de lado de la igualdad y aquella según la cual hay que reunir términos semejantes. - Desarrollaron un álgebra de tipo geométrico en la cual las variables están presentes en las longitudes de los segmentos de recta, en un área o en un volumen. - Morris22 relata que el tipo de álgebra de Diofanto de Alejandría se suele llamar álgebra “numerosa” o “numeral”, ya que los coeficientes de las ecuaciones siempre son conocidos. - Introdujeron un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita y las operaciones como un signo (primera sílaba de la palabra griega arthmos que significa número). - “Los coeficientes numéricos los escribían después de los símbolos para las respectivas potencias de las incógnitas”23. 21 MORRIS, Kline. Op. Cit., p. 98 Ibid., p. 48. 23 BOYER, Carl. Op. Cit. p. 54. 22 28 1.5 LOS HINDÚES - (200 a.C-1200 d.C.) En esta cultura, las matemáticas se apoyaban más en el cálculo numérico. Utilizaron, como en occidente, un sistema de numeración posicional de las cifras en sus operaciones. Mediante este sistema es posible escribir cualquier número usando tan solo diez (10) dígitos, o sea que es un sistema de numeración de base diez o decimal. Gráfico 11. Sistema numérico hindú Los hindúes eran hábiles matemáticos, estos resolvieron un gran problema al inventar el símbolo del cero (0), denominándolo Sunya. Las cifras utilizadas por los hindúes se convirtieron en las cifras que se utilizan actualmente. Las ecuaciones las resolvían con el método de la falsa posición como los egipcios, admitiendo los coeficientes negativos y en algunos casos las raíces negativas. Mucho más tarde (hacia 1150), Bhaskara II escribiría un tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento de cálculo de las raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, en una forma que se puede llamar “algebraica”. En el manuscrito de Bhaskshali, se encuentran las operaciones básicas, la solución de ecuaciones, los sistemas de ecuaciones y la regla de tres. Además, plantea ecuaciones en las que la incógnita se escribe de manera similar a la del símbolo utilizado para referirse al cero (Sunya, que significa vacío). Como se muestra en el siguiente ejemplo: 29 Este texto también muestra operaciones con fracciones. Algunas representaciones con nuestro sistema decimal contemporáneo son las siguientes: Aryabhata fue el primer matemático en sumar y restar fracciones usando el m.c.m (mínimo común múltiplo), tal como se hace hoy en día: sumar 2/5 + 2/4 = 12+10 20 22 = 20; ahora aplicando el método de Aryabhata, haciendo uso de nuestro sistema numérico actual se obtiene: m.c.m (5,4) = 20 y amplificando fracciones tenemos: Según Gallardo y Rojano: “El primer año que se mencionaron los números negativos fue hacia el año 628 d. C., en el trabajo astronómico de Brahmagupta, en su obra BrahamaSphuta-Siddhanta”24. Esta dedica una sección para exponer las reglas de operación de las cantidades afirmativas, negativas y el cero. Dhana, Sva (bien o propiedad) fueron las palabras usadas para denominar el número positivo y Ksaya, Rna (pérdida o deuda) sirvieron para referirse al número negativo. A continuación se muestra la traducción de algunas reglas utilizadas por Brahmagupta, haciendo uso de nuestro lenguaje contemporáneo; para ello se considera ɑ+, b+, c+,d+ números enteros positivos y ɑ-, b-, c- ,d- números enteros negativos. 24 GALLARDO, Aurora y ROJANO, Teresa. Op. Cit., [En línea] p. 4 [Consultado el 15 de mayo de 2014]. Disponible en: http://www.teresarojano.net/node/370 30 1. Cuando el cero se suma a un número o se resta de un número, el número permanece inalterado: ɑ+ +0 = a+ o ɑ + - 0= a+. ɑ+ x 0 =0. 2. Un número multiplicado por cero es cero: ɑ- - 0 =a-. 3. Una deuda menos el cero es una deuda: 4. Un bien menos el cero es un bien: ɑ+ - 0 =a+. 5. Una deuda restada del cero es un bien: 6. Una bien restado del cero es una deuda: 0 - ɑ - = ɑ+. 0 - ɑ + = ɑ. - 7. El producto de cero multiplicado por una deuda o bien es cero: ɑ -x0 = 0 o ɑ+x0=0. 8. El producto o cociente de dos bienes es una fortuna: ɑ+ x b+ = c+ o ɑ+ ÷ b+ = d+. 9. El producto o cociente de dos deudas es un bien: ɑ - x b - = c+ o ɑ - ÷ b- = d+. 8. El producto o cociente de una deuda y un bien es una deuda: ɑ-x b+=c- o ɑ-÷b+= d-. 9. El producto o cociente de un bien y una deuda es una deuda: ɑ+x b-=c- o ɑ+÷b-= d-. El desarrollo de estas reglas o propiedades con los números negativos, le permitió a Brahmagupta consolidar: El tratamiento de las tres formas de ecuaciones consideradas por Diofanto, a saber, ax2+bx=c, bx+c=ax, ax+c = bx (a, b, c números positivos), en el caso general px+qx+r=0. Esta unificación en el tratamiento admite la existencia de coeficientes negativos en la ecuación. Inclusive, los términos de las ecuaciones no se ordenan para obtener cantidades positivas en ambos miembros, como sucede con Diofanto25. Tabla 5. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Hindú Civilización: HINDÚ MÉTODOS UTILIZADOS APLICACIONES - Falsa posición - Construcción de templos - Cálculos de lados y áreas de figuras geométricas - Se les debe el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra Cero como valor nulo. - Para Boyer26, Brahmagupta (nacido en 598), expresa de forma abreviada cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la 25 26 Ibid., p.4. BOYER, Carlo B. Op. Cit., p. 52. 31 APORTES representaba por la abreviatura ya (yavattavat, que significaba tanto o cuanto), y las operaciones con la primera sílaba de las palabras correspondientes. Carrillo27 relaciona algunos ejemplos de la simbología creada por Brahmagupta y que hacen referencia a la utilización de abreviaturas como: la suma: indicada por yuxtaposición; la resta: un punto sobre el sustraendo; la igualdad: dos miembros en dos líneas consecutivas; la división: el divisor debajo del dividendo: y el producto: bha de bhavita. - Admiten los coeficientes negativos y en algunos casos las raíces negativas. 1.6 LOS ÁRABES (800-1300 d. C.) Su sistema numérico fue tomado de los hindúes, debido a sus contactos culturales. Se reconocieron por mejorar los símbolos indios y su notación posicional. Mantuvieron el sistema posicional de base 10, no hicieron uso de los números negativos y al cero lo llamaron Céfer (en el idioma árabe significa vacío). Gráfico 12. Sistema numérico árabe La civilización árabe sostuvo contactos culturales con los griegos y los egipcios; por ello, adquirieron traducciones al idioma árabe de obras de Euclides, Ptolomeo, Arquímedes y Aristóteles. Esto permitió la influencia de los griegos con respecto a la variable y su dimensionalidad, estando aquella presente en las longitudes de segmentos de recta, área o volumen. Según Acevedo y Falk28, el Árabe Abu Muhammad Ben Musa Al-kwarizmi, fue el primer autor islámico que escribió sobre la solución de problemas por al-jabr y almugabala, que significa más o menos compleción y reducción. Al examinar su obra titulada El Compendio de Cálculos por Al-jabr y Almugabala, encontramos un libro de álgebra con soluciones de 27CARRILLO NAVARRO, Francisco Armando. Algebra India. En: Apuntes de Historia de las Matemáticas. [En línea]. Enero, 2003, vol. 2, no. 1, p. 5. [Consultado el 20 de agosto de 2013]. Disponible en: http://cipri.info/resources/HIST-2-1-1-india.pdf 28 ACEVEDO, Miriam y FALK, Mary. Op. Cit., p. 53 -54. 32 ecuaciones por medio de la manipulación de los términos. De esta manera, el tratado de álgebra de Al-kwarizmi, desarrolla un trabajo algebraico similar al de nuestros días. En la primera parte de su obra desarrolla la solución de seis tipos de ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones lineales y cuadráticas. En notación contemporánea estas son: ax2 = bx, ax2 = b , ax = b, ax2 +bx =c , ax2 +c =bx y ax2 =bx +c. Al-kwarizmi da reglas para resolver estas ecuaciones, demuestra la validez de sus reglas e ilustra su aplicación mediante ejemplos. En la terminología original considera el problema tipo: raíces y cuadrados iguales a números. Por ejemplo: “Un cuadrado y diez raíces de la misma cantidad suman treinta y nueve dirhemm; es decir ¿qué debe ser el cuadrado que, incrementado en 10 de sus propias raíces suma treinta y nueve?”29. Al-kwarizmi da dos soluciones*. La primera solución es de corte geométrico. Se parte de un cuadrado ∎ABCD cuyo lado es la raíz buscada x. Sobre cada uno de los cuatro lados se construyen rectángulos, cada uno de los cuales tiene de ancho 10 4 . Ahora bien, el cuadrado con los cuatro rectángulos es igual a 39. Para completar el cuadrado ∎EFGH hay que sumar cuatro veces el cuadrado de área 25 4 , o sea, 25. Luego el área del cuadrado mayor es 64 y su lado es 8. De ello se concluye que el lado del cuadrado menor es 8-5 =3. 29 Ibid., p. 53-54 Los métodos de estas dos soluciones son conocidos esencialmente como métodos de completar cuadrados. * 33 Gráfico 13. Método de completar el cuadrado 1 La segunda solución se diferencia de la primera porque tiene un tratamiento geométrico similar al euclidiano. Se inicia con la construcción de rectángulos, cuyo lado es 10 2 =5, sobre dos de los lados del cuadrado ∎ABCD y se completa el 10 cuadrado ∎DEFG con un cuadrado de área ( 2 )2 = 52. Es claro que el área del cuadrado ∎DEFG que se ha completado es (x + =64. Por lo tanto, el lado del cuadrado es x + 10 2 10 2 ), 2 y que (x+ 10 2 10 10 2 2 )2 = x2 + 2( )x+ ( )2 = 8, de donde, x = 8-5 y x =3. Gráfico 14. Método de completar el cuadrado 2 El procedimiento actual para solucionar ese mismo problema, usando símbolos contemporáneos, sería: La ecuación que representa la ecuación es: x2 +10x= 39. Esta se puede desarrollar como: x2 +10x+ 25 = 39+25, sumamos 25 a ambos lados, para formar un trinomio cuadrado perfecto: x2 +10x+ 25 = 64, 34 por ser trinomio cuadrado perfecto queda: (x+ 5)2 =64, aplicando raíz cuadra a ambos lados, tenemos: 2√(𝑥 + 5)2 = 2√64, x+5 = 8. Por propiedad de la uniformidad, llegamos a x+5 -5 = 8-5, y por último, por el inverso aditivo, concluimos que x = 3. Para Al-Karizmi, sus ecuaciones son lineales y cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrados; para él, por ejemplo, una cantidad era un número, una raíz era x y un cuadrado x2. No empleó símbolos de ninguna clase, sino sólo palabras; lo cual indicaba una ausencia de notación simbólica. En su tratado de álgebra, enseñó cómo aplicarla a la resolución de problemas de la vida cotidiana en el Imperio Islámico de entonces. Después de la obra de Abu-Kamil (desarrollada en los siglos IX y X y que trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición), Socas y otros30, refieren que surgió un nuevo procedimiento conocido como el “Método de las Escalas”; su nombre proviene de un diagrama que permitía escribir la solución rápidamente: Gráfico 15. Método de las escalas p m q n Las dos líneas de la izquierda representan p y q, las de la derecha m y n, y la cruz del centro indica que hay que multiplicar. El método se puede describir como sigue: Primero se consideran dos valores cualesquiera de la incógnita m, n. Después, se calculan los errores correspondientes a ellos: p, q. Luego se halla el valor de la incógnita en función de los valores dados y sus errores. 30 SOCAS ROBAYNA, Martín et al. Op. Cit., p. 49. 35 Lo anterior, mediante un ejemplo, sería: Dada la ecuación 5x -10 =0, si se consideran m = 4 y n =3, tenemos: p = 5.(4) – 10 = 10 y q = 5.(3) – 10 = 5. Gráfico 16. Ejemplo del método de las escalas Con lo cual x = 10 4 5 3 10.3−5.4 10−5 . (Gráfico 16), x =2. Posteriormente, el matemático musulmán Abu Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-kwarizmi; gracias a ellos, los europeos conocieron la Aritmética de Diofanto de Alejandría. Tabla 6. Métodos, aplicaciones y aportes de la Civilización Árabe MÉTODOS UTILIZADOS APLICACIONES APORTES Civilización: ÁRABE - Simple y doble falsa posición - Método geométrico Al-kwarizmi en su tratado de algebra, enseñó cómo aplicar el álgebra a la resolución de problemas en la vida cotidiana del imperio Islámico de la época. - Contribuyeron con el nombre de álgebra. Proveniente de la palabra aljabr que significa “restauración o complementación”; y muqabalah probablemente “reducción o compensación”, que según Morris31. también significa “restauración” “componedor de huesos”. 31MORRIS, Klein. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días, Citado por GONZÁLEZ TRUJILLO, Erika Sofía. Del lenguaje natural al Lenguaje algebraico. El significado de la variable. Una propuesta didáctica basada en el Planteamiento y resolución de problemas. Tesis de maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012. p. 15. 36 - Según Socas y otros32, a Abu-Kamil (siglos IX y X) se le atribuye una obra que trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición. -Según el Trattato d´Algibra (anónimo del Siglo XIV), la civilización árabe introduce nombres especiales para la incógnita llamándola cosa (o chosa). 1.7 EUROPA EN LA EDAD MEDIA En esta época toma gran importancia las instrucciones de las obras matemáticas en árabe. Uno de los matemáticos más importantes en esta época fue Leonardo de Pisano (1170-1250), más conocido como Fibonacci. Este matemático introduce el sistema de numeración Hindú-Arábigo y la utilización del Cero en Europa. Fibonacci no aceptaba los números negativos como coeficientes y raíces de ecuaciones, además utilizaba la misma simbología para la incógnita que Diofanto de Alejandría: ∆ “la potencia” x En 1202 vio la luz de su obra Liber Abaci (el libro del ábaco). Un completo texto sobre métodos y problemas algebraicos en el que recomendaba con gran insistencia el uso de los numerales Hindú-Arábigo. Tabla 7. Métodos, aplicaciones y aportes en Europa en la Edad Media Europa en la Edad Media MÉTODOS UTILIZADOS APLICACIONES - La simple y doble falsa posición. - Comercio y dominio de los números - Como lo expone Antonio Ortega33, Fibonacci en su trabajo Liber Quadratorum (1225), expuso la solución de ecuaciones determinadas e indeterminadas de primer grado. 32 SOCAS ROBAYNA, Martín et al. Op. Cit., p. 48. TORRES, Antonio Manuel. Unidad didáctica: Ecuaciones de primer grado. Tesis de master. España: Universidad de Granada. 2011-2012. p.72. 33ORTEGA 37 APORTES - Nicolas Chuquet (1455 a 1488), en su obra Triparti (texto que trata de los números, las raíces y la “regla de los primeros”), dio un paso decisivo en el álgebra al considerar los números negativos como “absurdos”; asimismo, llamó a la incógnita el “número primero” o “primario”, usando la abreviatura “radix” (raíz). Además, usó por primera vez la notación exponencial e incluyendo el cero como exponente. Ejemplo: Rx1 Raíz o incógnita* 1.8 EL RENACIMIENTO En esta época se dio la consolidación de las notaciones y procesos que conocemos hoy día. Uno de sus principales exponentes fue el italiano Luca Pacioli (1445-1514), Siglo XVI. Este trabajó el álgebra de una manera retorica a partir de la búsqueda de soluciones para las ecuaciones lineales. Tabla 8. Métodos, aplicaciones y aportes del Renacimiento MÉTODOS UTILIZADOS APLICACIONES APORTES RENACIMIENTO - Falsa posición - Método algebraico - Comercio - Al movimiento - Según Antonio Ortega34, en España, en 1482, Francesc Santcliment presenta la regla de falsa posición, distinguiendo tres casos en la resolución de la ecuación ax + b = c: 1. que x1 y x2 sean ambos mayores que c (al calcular ax1+b y ax2 +b). Santcliment dice que ambas posiciones dan más, 2. que x1 y x2 sean más pequeñas que c. Santcliment dice que ambas posiciones dan menos, 3. que x1 y x2 sean alternos. Santcliment dice que una posición da más y otra menos. - Como lo expone García35, el italiano Luca Pacioli (1445-1514, Siglo XVI), en su libro Summa (1494), llama a la incógnita como “radix” o “res” (raíz o cosa en latín) o “cosa” que toma significado según el problema. (X co de cosa). *Ejemplo extraído de la tesis Del lenguaje natural al Lenguaje algebraico. El significado de la variable. Una propuesta didáctica basada en el planteamiento y resolución de problemas. p. 16. 34 Ibid., p. 73. 35GARCIA CRUZ, Juan Antonio. Las matemáticas en Luca Pacioli. Seminario Orotava de Historia de la Ciencia, Universidad de la Laguna (2001, Islas Canarias: España). Memorias. [En línea]. p. 8. [Consultado el 20 de julio de 2013]. Disponible en: http://jagcruz.webs.ull.es/Articulos/pacioli.pdf 38 Erika González36, en su tesis de maestría, relaciona la simbología utilizada en aritmética por Pacioli: p de pui (más) m de meno (menos) ae de equalis (igual) Si m estaba ubicada delante de un número, significaba que este número era negativo. De esta manera, el simbolismo de Luca Pacioli era más de abreviaturas. APORTES - Rene Descartes inventó la notación algebraica moderna. En ella las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto: a, b, c,… y las variables o incógnitas por las ultimas: x, y, z. En la tesis de Juan Rey37, se relacionan los diferentes aportes que permitieron que Rene Descartes crease la notación algebraica. Dichos elementos, fueron: * Los símbolos “+” y “-“(introducidos en 1489 por el matemático alemán Johann Widman). * El símbolo de la raíz (una forma estilizada de la letra “r” de radical o raíz, introducido en 1525 por el matemático alemán Chistoph Rudolff). * El símbolo de la igualdad “=” (incorporado en 1557 por el matemático ingles Robert Recorde). * Una nueva notación muy cómoda (desarrollada en 1591 por el matemático francés Francois Viéte, el cual representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes). - Euler define en su libro Elementos del Álgebra (1770), al álgebra como la teoría de los “cálculos con cantidades de distintas clases”. Desarrolla métodos de resolución de diferentes tipos de ecuaciones y el aparato simbólico-literal del álgebra para la resolución de tales ecuaciones. - Con la universalización del álgebra, la regla de falsa posición es relegada a método de aproximación numérica y desaparece. Pues, como lo explica Antonio Ortega38, el principal motivo es un cambio en el enfoque metodológico: el método algebraico resulta más natural, además de tener un carácter universal (permite resolver todo tipo de problemas), ya que la regla de falsa posición únicamente es válida para problemas cuya solución se da al resolver una ecuación lineal 36GONZÁLEZ TRUJILLO, Erika Sofía. Del lenguaje natural al Lenguaje algebraico. El significado de la variable. Una propuesta didáctica basada en el Planteamiento y resolución de problemas. Tesis de maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012. p.16. 37 REY LÓPEZ, Juan Luis. Unidad didáctica sobre ecuaciones de primer grado en 2° de E.S.O. Tesis de maestría. España: Universidad de Granada. 2012. p. 54. 38 ORTEGA TORRES, Antonio Manuel. Op. Cit., p. 75. 39 A manera de conclusión, los métodos para la solución de las ecuaciones que más se utilizaron a través de la historia fueron: la regla de la falsa posición, el método geométrico, el método de la doble falsa posición y el método de desandar lo andado. A continuación, se describen cada uno de ellos: La regla de la falsa posición. Según Acevedo y Falk39, el método de falsa posición fue utilizado por los egipcios para resolver las ecuaciones de primer grado con una incógnita que pretenden solucionar problemas de la época como: “un montón y un 1 8 séptimo del mismo es igual a 19”40; lo cual en nuestra notación es x + 7 x = 1 9 o + 7 x = 19. Se inicia, suponiendo que para obtener 19, donde 19 8 1 x= 7, entonces, x + x = 8. Después se multiplica 8 por 7 1 19 8 1 se puede sustituir por 2 + 4 + 8 ; luego el valor correcto de x se 1 1 1 1 obtiene, por lo tanto, multiplicando 7 por 2 +4 + 8 que da como resultado x = (2 + 4 + 8) 7 y 1 1 llegando a la solución de x=16 +2 + 8 = 133 8 . Una descripción verbal de este método seria: se da un valor (apropiadamente escogido), para la cantidad desconocida o incógnita y se reemplaza este en la ecuación obteniendo un valor numérico. La solución de la ecuación tiene la misma relación con el valor escogido, que el número dado con el resultado que se calcula. Una de las limitantes de los egipcios para resolver este tipo de ecuaciones era que no concebían la división como multiplicación por el reciproco; sin embargo, concebían la división como la inversa de la multiplicación. Método Geométrico. El método geométrico de Al-Khwarizmi para resolver ecuaciones, radica en considerar que tanto la variable como la constante son lados de rectángulos. La multiplicación de variable por variable, variable por número, o número por número, es considerada como un área. Para la resolución de las ecuaciones se parte de un cuadrado adicionando o sustrayendo áreas, según corresponda. Es importante cómo 39 40 ACEVEDO, Miriam y FALK, Mary. Op. Cit., p 8. SOCAS ROBAYNA, Martín et al. Op. Cit., p. 46. 40 se disponen esas áreas; para raíces iguales a números (A X = C), el siguiente es un ejemplo citado por Covas41: Sea X= 4 y A = 1. X = 4, se puede expresar como 1.X= 2. 2. “Una solución posible es trabajar con rectángulos equivalentes. Se parte de un cuadrado de lado 2, y sabiendo que su área debe ser igual a la de un rectángulo con un lado igual a 1, se encuentra la medida del otro lado, tal que el área sea 4” 42. Como se muestra en el Gráfico 17. Gráfico 17. Ejemplo del método geométrico Método de la doble falsa posición. Procedimiento aritmético que partía de dos valores falsos cualesquiera para la incógnita. Desde estos falsos valores se llega a la solución de la ecuación por proporcionalidad. Ejemplo: Halla un número tal que cinco veces ese número menos 10 sea 0. Este problema se soluciona resolviendo la ecuación 5X-10=0. Según este procedimiento, se inicia asignando dos valores falsos para el número o incógnita que se quiere hallar; por ejemplo: si tomamos x= 3 y x = 4, por sustitución obtenemos: 5·3-10 = 5 y 5·4-10=10. Generamos dos proposiciones falsas. Para obtener el valor de la incógnita, obteniendo: x = 10.3−5.4 10−5 se utilizan los valores dados y sus errores, = 2, que es la solución del problema. 41 COVAS, Mará Cristina y BRESSAN, Ana. La enseñanza del algebra y los modelos de área. GPDM. [En línea] p. 10. [Consultado el 15 de noviembre de 2013]. Disponible en: http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/algebrageometricacovas3.pdf 42 Ibid., p. 10. 41 Método desandar lo andado. Consistía en calcular la solución después de manipular aritméticamente la incógnita, invirtiendo el proceso; de manera que mediante la aplicación a la solución de las operaciones aritméticas inversas y en sentido contrario, se pueda llegar a la cantidad inicial. Este método aparece aplicado en algunos problemas que figuran en el Papiro de Moscú, el cual se encuentra en el Museo de Bellas Artes de Moscú. Ejemplo: “El Problema 19 pide calcular un montón tomándolo 1 y ½ veces y añadiendo 4 para dar 10. ¿Cuál es la cantidad que hace esto?”43 El procedimiento describe los siguientes pasos: Si al final se ha añadido 4 para obtener el resultado 10, lo primero que se hace para llegar a la cantidad inicial es sustraer 4 del resultado (10 - 4 = 6). Si la cantidad se repite 1 y ½ significa que se ha multiplicado por 1½. Luego se invierte de nuevo el proceso multiplicando 6 por el inverso de 1½, que es 2/3, obteniéndose como solución 4. Método Algebraico. Teniendo en cuenta que la incógnita se encuentra en el primer miembro de la ecuación, el método consiste en factorizar la incógnita, posteriormente se divide el segundo miembro de la ecuación con el factor que está multiplicando la incógnita. Ejemplo: Para resolver la ecuación: 2 1 1 3 2 7 x+ x + x+ x= 37, se factoriza el primer miembro de la ecuación y se divide 37 por factor que está multiplicando la incógnita, así: 2 1 1 3 2 7 y (1 + + + ) x = 37 37 x= 2 3 Obteniéndose como resultado: x = 16 + 43 1 56 + DALCÍN, Mario, OLAVE, Mónica. Op. CIt., p.159. 42 1 679 + 1 1 2 1 7 (1 + + + ) . 776 . 2. ASPECTOS DISCIPLINARES 2.1 CONCEPTOS PRELIMINARES A continuación se darán a conocer algunas definiciones y conceptos preliminares de las ecuaciones que fueron claves en el desarrollo de la propuesta. Entre estos, se destacan las nociones de: variable, constante, incógnita, ecuación, ecuación de primer grado, lenguaje algebraico, y planteamiento y resolución de problemas. 2.1.1 Variable. Trigueros y Ursini44, en su artículo La conceptualización de la variable en la enseñanza media, definen la variable como un concepto multifacético porque su uso depende del contexto en el que se encuentre; destacándose tres usos: la variable como incógnita, como número general y como relación funcional. El concepto de variable como incógnita requiere que el estudiante: - reconozca e edifique en un problema la existencia de un valor desconocido que se puede determinar, - logre inferir que la variable simbólica que aparece en la ecuación puede tomar valores específicos, - reemplace los valores de la variable en la ecuación, de tal manera que encuentre su solución; - e identifique la incógnita en una situación dada y la represente simbólicamente en una ecuación. El concepto de variable como número general, implica que el alumno: - reconozca patrones y reglas en secuencias numéricas y en grupos de problemas, - interprete la variable simbólica como un objeto que puede tomar cualquier valor, y - la interprete también como un objeto indeterminado que permite operar y manipular el símbolo para reducir o desarrollar expresiones algebraicas. El concepto de variable en relación funcional, demanda del educando: - reconocer la correspondencia entre cantidades en sus diferentes representaciones tales como: tablas, enunciados verbales, gráficas o expresiones analíticas, - calcular los valores de la variable 44 TRIGUEROS, María y URSINI, Sonia. La conceptualización de la variable en la enseñanza media. Artículo de investigación. En: Educación matemática. Agosto, 2000, v. 12, no. 2, p. 27- 48. 43 dependiente cuando se conozca la variable independiente, - determinar los intervalos de variación de una variable cuando se conozca los de la otra, y - establecer la variación conjunta de las variables que intervienen en una relación en cualquier tipo de representación. 2.1.2 Constante. Una constante se puede definir como una magnitud que habrá de considerar como conocida o dada. Las constantes recibirán su nombre de la primera mitad de su alfabeto: a, b, c, d… En ocasiones, cuando se tenga que manipular muchas cantidades, la práctica aconseja numerarlas, siguiéndolas entre sí mediante “subíndices” añadidos. Según ello, podríamos escribir una ecuación de dos formas diferentes: ax+ b= c. 2.1.3 Incógnita. Una incógnita o 𝑎1 x + 𝑎2 = 𝑎3 . es un valor desconocido que ha de buscarse y determinarse. Estas se simbolizan con las letras finales del alfabeto: x, y, z. Al igual que en las constantes, cuando se tenga que manipular varias incógnitas, es recomendable numerarlas: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 …𝑥𝑛 ; para eliminar posibles equivocaciones. 2.1.4 Ecuación. Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros, y están separadas por el signo igual (=). Los lados o miembros, a su vez están formados por términos dependientes que son combinaciones de constantes e incógnitas, y términos independientes que son solo constantes. Algunos ejemplos son los siguientes: x + 3 = 8, x = 9 – z, x2 + 5x +2 = 3, x2 + 2xy +y2 = 0, Cada ecuación contiene al menos una incógnita y esta puede ser de diferentes grados. Algunas ecuaciones se definen de la siguiente forma: Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en la incógnita x son aquellas que se pueden escribir en la forma ax2+ b. x + c= 0; donde a, b y c son constantes, y a ≠ 0. Las ecuaciones cúbicas o de tercer grado en la variable x, son aquellas que se pueden 44 representar de la forma ax3 + bx2+ c.x + d= 0, donde a, b, c, d son constantes y a ≠ 0. Por otro lado, las ecuaciones de grado n en la variable x son de la forma 𝑎𝑛 xn + 𝑎𝑛−1 xn-1+𝑎𝑛−3 xn-2 +…+𝑎1 x +𝑎0 = 0, con 𝑎𝑛 ≠ 0. En el caso particular de esta investigación: una ecuación de primer grado con una incógnita se concibe como una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye x por un elemento del dominio en consideración; en este caso por número entero. El conjunto de los elementos del dominio que hacen de la ecuación una proposición verdadera, se le llama el conjunto solución de la ecuación. Resolver una ecuación es encontrar su conjunto solución; es decir, descubrir todos los números que la hacen verdadera. Uno de los procedimientos para resolver ecuaciones consiste en transformarlas en ecuaciones que tengan las mismas soluciones, también llamadas ecuaciones equivalentes, hasta llegar a su solución. 2.1.5 Ecuación de primer grado. La ecuación de primer grado con una incógnita, se define como una igualdad en la que hay un número entero desconocido; representado usualmente por la letra x, llamado incógnita o variable; no elevado al cuadrado, ni al cubo, etc. Por ejemplo: 3x+6 =3. Una expresión como 3x2+8 = 9, no es una ecuación de primer grado con una incógnita porque la incógnita está elevada al cuadrado; tampoco lo es la expresión 5x- 9+ y = 18, porque hay dos Incógnitas: la x y la y. En general, una ecuación de primer grado con una incógnita es aquella que se puede escribir de la forma: a.x+ b= 0 o 𝑎1 x + 𝑎0 = 0 con a, b, 𝑎1 , 𝑎0 ∈ Z y a ≠0, 𝑎1 ≠0. Se llama de primer grado porque la incógnita sólo aparece elevada a la potencia uno. 45 En la ecuación 3x + 6 = 3, la igualdad es verdadera cuando el valor de la incógnita es x = 1, de tal forma que 3(-1) + 6 = 3; a este valor numérico se le llama solución de la ecuación. Si se reemplaza la x por un número que no es la solución, no se satisface la igualdad. Por ejemplo, si sustituimos x por 4, tenemos: 3 (4) + 6 ≠ 3. Existen ecuaciones que tienen la misma solución como es el caso de las ecuaciones 3x+6 =3 y x+5 = 4, las cuales tienen como solución x= -1. Estas ecuaciones son equivalentes; en otras palabras, comparten la misma solución. Comúnmente, una ecuación de primer grado con una incógnita tiene una única solución; mas hay casos en los cuales la ecuación no tiene solución, como en el siguiente ejemplo: 3x - 6 = 3x, es una ecuación sin solución porque es imposible que restando seis a un número, obtengamos este mismo número. Por otra parte, hay ecuaciones que tienen infinitas soluciones, por ejemplo: 6x + 5 - 2 = 6x + 3, ya que la igualdad se mantiene para cualquier valor de la incógnita. Si en el primer miembro reemplazamos 5 - 2 por 3, la ecuación anterior se convierte en: 6x + 3 = 6x + 3. Esta igualdad se mantiene para cualquier valor de x porque en realidad lo que afirma es que un número (6x + 3) es igual a él mismo, y esto se cumple siempre. Un gran número de problemas de distintas áreas del conocimiento, como son las ciencias naturales, sociales y físicas, manejan ecuaciones que relacionan dos conjuntos de variables. Una ecuación del tipo a. x = b, que expresa la variable b en términos de la variable x y la constante a, es una ecuación de primer grado con una incógnita. De manera semejante, la ecuación a1 x1 + a2 x2 +…+ a n xn = b, que expresa b en términos de las variables 𝑥1 , 𝑥2 ,…, 𝑥𝑛 , y las contantes conocidas 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , es una ecuación de primer grado con varias incógnitas. En varias aplicaciones, se conoce b y las constantes 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , y se deben determinar los números 𝑥1 , 𝑥2 ,…, 𝑥𝑛 , llamados incógnitas y que satisfacen la ecuación. 46 Una solución de la ecuación de primer grado con varias incógnitas, es una sucesión de n números 𝑠1 , 𝑠2 ,…, 𝑠𝑛 , con la propiedad que se satisface cuando 𝑥1 = 𝑠1 , 𝑥2 = 𝑠2 ,…, 𝑥𝑛 = 𝑠𝑛 , se sustituyen en la ecuación. Así, 𝑥1 = 1, 𝑥2 =-2 y 𝑥3 =3, es una solución de la ecuación de primer grado con tres incógnitas: 3 𝑥1 + 2 𝑥2 - 4 𝑥3 = -13, pues 3 (1) + 2 (-2)- 4 (3)= -13. Sin embargo, esta no es la única solución de la ecuación dada, pues 𝑥1 = -1, 𝑥2 =-3 y 𝑥3 =1, es otra solución. 2.1.6 Lenguaje algebraico. El lenguaje algebraico es una generalización de la aritmética, este nos permite expresar relaciones entre variables de una manera general. Para ello, utiliza letras, números y signos de operaciones; a fin de representar una situación planteada. Estas generalizaciones se hacen asignando letras a algunas expresiones variables o desconocidas. Por ejemplo: el enunciado “el triple de un número”, puede ser representado por 3.x; y la expresión “un numero aumentado en cinco”, puede ser simbolizado por y+5. 2.1.7 Planteamiento y resolución de problemas. Bautista y otros45, proponen tres pasos para la solución de problemas con ecuaciones. Estos son: - Interpretar el enunciado. En este paso sugieren que el estudiante debe conocer los datos del problema y los que se deben buscar. Después, asignarle una letra o incógnita a la información desconocida del problema. - Planteamiento y resolución de la ecuación. En esta etapa el educando debe plantear la ecuación. Posteriormente, debe resolverla y redactar su solución en los términos del enunciado planteado. - Comprobación de la solución. Aquí se pretende que el alumno verifique si la solución cumple con las condiciones dadas por el problema. 45 BAUTISTA, Ballén et al. Rutas matemáticas 7. Bogotá: Editorial Santillana, 2013. p 68. 47 Como se muestra en el siguiente ejemplo: Por la compra de 6 lápices de igual valor y un borrador se pagan $4100. Si el valor del borrador es de $500, ¿Cuál es el valor de un lápiz? Solución: - Interpretar enunciado. Se asigna la incógnita x al valor de cada lápiz. * Datos - valor de un borrador: $500 - valor de cada lápiz: x - - total a pagar: $4.100 - valor de 6 lápices: 6x Planteamiento y resolución de la ecuación. Como el valor a cancelar es $4.100 y el valor del borrador es $500, se tiene que 6x+500 = 4100. Aplicando la propiedad uniforme tenemos: 6x+500-500 = 4100-500; luego, empleando las propiedades asociativa, del inverso y modulativa con respecto a la suma, obtenemos: 4x = 3600; finalmente, utilizando de nuevo la propiedad uniforme: (6÷6) x = (3600÷6), llegamos a la solución: x= 6. El valor de cada lápiz seria 600. - Comprobación de la solución. Como el valor de un lápiz es $600 y el valor del borrador es $500; entonces, el valor que se debe cancelar es 6.(600) + 500 = 4100; por tanto, la solución es correcta. Existen diferentes métodos, algunos formales y otros informales, para resolver las ecuaciones de primer grado con una incógnita. 2.2 MÉTODOS INFORMALES PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Etimológicamente el término método significa camino para intentar lograr un fin. Proviene del griego métodos; de meta: a lo largo, y hodós: camino, senda, dirección, medio, procedimiento. El método hace las veces de procedimiento o instrumento (explícito, regular, racional, repetible, ordenado y objetivo); en el caso de una ecuación de primer grado, permite encontrar el valor de la incógnita. 48 Según el análisis hecho por Cabanne46, los métodos informales son aquellos procedimientos que recurren a esquemas expresados unas veces en lenguaje gráficofigurativo y otras en lenguaje gráfico-no figurativo. Sirven para demostrar una proposición, resolver un problema o expresar en forma lógica o gráfica la ley de variación de un suceso. 2.2.1 Tipos de métodos informales. Entre los métodos Informales usados en esta propuesta, se encuentran: Técnicas de recubrimiento (cubrir datos). Resolución hacia atrás. Sustitución por prueba y error (tanteo). Las tablas. En las siguientes líneas, se explicará en qué consiste cada uno de estos métodos: 2.2.1.1 Técnicas de recubrimiento (cubrir datos). Se utiliza el método tapar, aquel permite analizar el sentido de la ecuación. También se puede manejar para aquellas ecuaciones en las cuales es difícil “deshacer”; pero, que por su estructura, estas permiten ser analizadas fácilmente desde el punto de vista operacional. Ejemplo: Para la ecuación 3x+ 5 = 23, se puede plantear la siguiente situación: encuentra el número cubierto y luego comprueba el resultado. 3. + 5 = 23, 3. 6 + 5 = 23, 18 + 5 = 23, 23 = 23. 2.2.1.2 Resolución hacia atrás. Se utiliza el método de “Deshacer” que se enfoca en la resolución de la ecuación desde el punto de vista operacional; este consiste en aplicar al segundo miembro (c), las operaciones inversas a las realizadas con la x en el primer miembro, estableciendo previamente para ello la oportuna cadena de operaciones expresadas por la ecuación. Ejemplo: 6X- 8 = 10. 46CABANNE, Nora, Didáctica de la Matemática. ¿Cómo se aprende? ¿Cómo se enseña? 4° ed. Buenos Aires: Bonum, 2010. p. 109. 49 Se inicia del lado derecho de la ecuación hacia el lado izquierdo, deshaciendo las operaciones; utilizando en cada paso las operaciones inversas, así: 10 + 8 = 18, 2.2.1.3 18 / 6 = 3. Sustitución por prueba y error (tanteo). Consiste en asignar o sustituir la incógnita por un valor numérico en la ecuación, de tal manera que al final se obtenga el mismo valor en ambos lados de la ecuación. Aunque este método en ocasiones puede ser muy largo, tiene la ventaja de tomar la ecuación de manera integral, y no solo a las incógnitas; además, utiliza el concepto de igualdad en su procedimiento; dicho procedimiento puede desarrollarse de forma mental o utilizando como apoyo tablas. 2.2.1.4 Las tablas. Es una estrategia que posibilita ir probando valores de la incógnita hasta encontrar aquellos que verifican la condición que define la ecuación, permitiendo aclarar el concepto de incógnita. Ejemplo: 7X- 5 = 9 Se elabora una tabla con tres columnas. La primera toma los valores de la incógnita, en la segunda está el primer miembro de la ecuación, y en la tercera el segundo miembro. En la segunda columna se sustituyen los valores de la incógnita, hasta encontrar el valor donde se satisface la igualdad; tal como se muestra a continuación. Tabla 9. Ejemplo de método de Resolución por Tablas x 0 1 2 3 4 7x - 5 = 7(1 ) -5 = 2 7( 2) - 5= 9 7(3 )- 5 = 16 7( 4 )- 5= 23 7(5 ) -5= 30 9 9 9 9 9 9 Obteniendo como solución: X=2 2.2.1.5 Cociente de los coeficientes. Este método es una aplicación del método de la falsa posición, donde dada una ecuación de la forma ax + b = cx+ d, la solución se obtendrá dividiendo la diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los 50 coeficientes de los desconocidos; esto es, x = 𝑑−𝑏 𝑎−𝑐 , con la diferencia que en la actualidad los términos a y c son conocidos; de tal manera que la solución de una ecuación como 6x+2 = 4x+8, seria x = 8−2 6−4 = 3. 2.2.1.6 Reducción de términos. Este procedimiento consiste en formar a partir de la ecuación dada, otra igualdad con el término que se desea eliminar; se reducen las dos ecuaciones a una sola, con esta se forma una ecuación equivalente a la anterior y de nuevo se crea otra igualdad con la expresión que se desea eliminar; después, se reducen las ecuaciones a una sola, hasta culminar con una expresión de la forma ax= b, que permita deducir el valor de la incógnita. Ejemplo: Dada la ecuación 7x + 2 = 6x - 4, 8x + 2 = 7x - 3, = -7x, -7x se forma una igualdad con el término -7x que desea eliminar. _______________ x+2 = -3, posteriormente, se suman las ecuaciones eliminando términos -2 = -2, inversos. luego, se crea otra igualdad con el término -2 que desea eliminar. _____________ x = -5, por último, se suman las igualdades eliminando términos inversos; y llegamos a la solución x = -5. 2.2.2 Representación de los métodos Informales. Cada uno de estos métodos se apoyan en diferentes modelos o formas de representación, tales como: los caminos y las identidades aritméticas. 2.2.2.1 Diagramas. Son esquemas expresados en lenguaje grafico-figurativo (pictórico), y otros en lenguaje gráfico no figurativo (ideográfico). Como lo platean Socas y otros47, sirven para demostrar una proposición geométrica, resolver un problema o expresar de forma lógica o gráfica la ley de variación de un suceso. 47SOCAS ROBAYNA, Martín, et al Op. CIt., p. 175. 51 Ejemplo: 3x+2 = 8, utilizando el método de resolución hacia atrás en un diagrama (Gráfico 18). Gráfico 18. Ejemplo de diagrama Llegando a la solución que X=2 Este tipo de representación tiene dos notables ventajas. Facilita en el estudiante el paso de un enunciado verbal a la expresión de la ecuación y su resolución. Adicionalmente, direcciona los pasos para seguir en la resolución de ecuaciones indicando cada una de las operaciones. 2.2.2.2 Identidades aritméticas. Permiten alcanzar el concepto de ecuación intuitivamente, ya que trabaja el concepto como una situación de equilibrio: con la incógnita a ambos lados, en un contexto natural. De esta manera, se afianza el concepto de solución como número que hace cierta la identidad, permitiendo que los estudiantes obtengan el número por ensayo y error. Ejemplo: 3X + 2 = X – 4, 3. 3. + 2= -3 + 2= + (-4), el dato oculto se reemplaza por -3, obteniendo la expresión: -3 + (-4), que hace cierta la identidad. 2.3 MÉTODOS FORMALES PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Ciencias como la matemática, utilizan los métodos formales para justificar la verdad o falsedad de un enunciado. El método formal consiste en tomar como punto de partida una serie de axiomas (aquello que es considerado como verdadero sin necesidad de prueba o demostración), y a partir de ellos proceder deductivamente. Se entiende por deducción el proceso de razonamiento que permite derivar de una o varias proposiciones dadas 52 (axiomas o premisas), otra que es su consecuencia lógica necesaria y que se denomina conclusión. Un método formal se compone de lo siguiente: - un conjunto finito de símbolos que se utilizan para la construcción de fórmulas: el alfabeto o vocabulario, - una gramática formal; es decir, un mecanismo para la construcción de fórmulas bien establecidas, - un conjunto de axiomas que deben ser fórmulas bien planteadas, -un conjunto de reglas de inferencia (mediante ellas se obtienen conclusiones basándose en la información conocida), - y un conjunto de teoremas que incluye todas las fórmulas bien planteadas que se pueden derivar de los axiomas o de otros teoremas mediante reglas de inferencia. 2.3.1 Tipos de métodos formales. Los métodos formales utilizados para la resolución de ecuaciones en la educación Básica Secundaria, son: operar en ambos lados de la igualdad (uso de las propiedades de la igualdad), y la transposición de términos. Seguidamente, se hará una breve descripción de cada uno. 2.3.1.1 Operar a ambos lados de la igualdad. El proceso para encontrar la solución de una ecuación, consiste en hallar el valor de la incógnita que satisface la igualdad. Para ello, si es necesario, se simplifican ambos miembros de la ecuación mediante la eliminación de signos de agrupación y la reducción de términos semejantes. Luego, se aplican las propiedades de la igualdad de acuerdo al tipo de ecuación. A continuación se relacionan propiedades importantes de los números enteros que permiten resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. De tal manera que para todo a, b, c ∈ Z, se cumple que: Propiedad uniforme: La propiedad uniforme de la igualdad establece que si ambos miembros de la ecuación se suman o restan, multiplican o dividen por una misma cantidad, la igualdad se conserva. - Si a = b, entonces a +c = b +c. - Si a = b, entonces a- c = b – c. 53 - Si a = b, entonces a. c = b. c. - Si a = b, entonces a ÷ c = b ÷ c. Propiedad del inverso aditivo: Para número entero a, existe un único número entero –a, tal que a + (-a) = 0. Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación: a + b = b + a y a .b = b .a, esto significa que dos números pueden ser sumados o multiplicados en diferente orden. Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación: a + (b +c) =(a + b) y a. (b. c) = (a. b).c. Esta propiedad permite sumar o multiplicar los números, agrupando en diferente orden el resultado es el mismo. Propiedad modulativa de la suma y la multiplicación: a+0 = 0 y a.1 = 1, 0 es el módulo de la suma, y 1 es el módulo de la multiplicación. De tal manera que la suma de cualquier número entero con cero es igual al mismo número; de la misma manera, un número entero multiplicado por 1, da el mismo número entero. Propiedad distributiva: a. (b +c) = a. b+ b. c y (b +c).a = b. a +c. a, la multiplicación de un número entero por una suma de números enteros es equivalente a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos. Luego de definir las propiedades de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones de primer con una incógnita como se establece en el siguiente ejemplo: Dada la ecuación 5x - 3 = -x + 3, por la propiedad uniforme se suman ambos lados de la igualdad x, generando la expresión 5x+x-3 = -x + x+ 3. Luego se aplica la propiedad asociativa obteniendo (5x+x) -3 = (-x + x)+ 3, se reducen términos semejantes por las propiedades del inverso aditivo y posteriormente por la modulativa con respecto a la suma, quedando 6x - 3 = 3. Después se emplea de nuevo la propiedad uniforme, sumando 3 unidades a ambos lados de la igualdad; así mismo, la asociativa, formando la ecuación 6x+ (–3+3) =( 3+3). Se reducen términos semejantes recurriendo a la propiedad del inverso aditivo y luego a la modulativa con respecto a la suma, quedando 6x = 6; finalmente, se aplica la propiedad uniforme al dividir por 6 a ambos lados de la igualdad, 54 creando la ecuación (6÷6)x = 6÷6; y haciendo una división de enteros a ambos lados de la igualdad, obtenemos la solución de la ecuación donde x = 1. 2.3.1.2 Transposición de términos. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita mediante transposición de términos, se hacen las transformaciones que sean necesarias hasta llegar a una ecuación equivalente del tipo a.x = b. Para conseguirlo, se transponen todos los términos que tienen incógnita a un lado de la igualdad (usualmente es el izquierdo), y todos los que no la tienen al otro (generalmente el lado derecho); después se efectúan las operaciones indicadas hasta llegar a una ecuación del tipo a.x = b; que se resuelve dividiendo ambos miembros de la igualdad por a, para despejar la incógnita. Ejemplo: Dada la ecuación inicial 5x - 20 + 4x = 6x – 2, se transponen, con el signo cambiado, los términos que tienen x al lado izquierdo de la igualdad y los que no tienen al lado derecho de la misma: 5x + 4x - 6x = -2 + 20. Se efectúan las operaciones indicadas: 3x = 18, se dividen ambos miembros de la ecuación por 3: 3/3 x = 18/3, y se halla la solución: x = 6. 2.3.2 Representación de los Métodos Formales. Para trabajar los métodos anteriormente expuestos, se utilizan modelos concretos como: la balanza y los tableros de fichas. 2.3.2.1 La Balanza. Para Cabanne48, la balanza ayuda a lograr ecuaciones que equilibren y permitan trabajar la simetría del signo igual (=), y el concepto de ecuaciones como relaciones entre algo desconocido (variable independiente) y algo conocido (variable dependiente). Ejemplo: Para la ecuación 2x+40 = x+ 60, buscar su solución será hallar el equilibrio de nuevo, pero dejando en un platillo solamente un banano. Para ello, quitamos un banano de cada platillo y luego quitamos 40 kg. de cada platillo; con lo que nos queda el banano solo en un platillo y en otro el peso del banano 48 CABANNE, Op. Cit., p. 112. 55 Gráfico 19. Ejemplo de balanza Expresado simbólicamente es: x= 20, donde x representa el peso del banano Son varias las ventajas de este tipo de representación. Por un lado, facilita la adquisición del concepto de ecuación como una igualdad simétrica con la incógnita a ambos lados; alcanzándose con este modelo a descubrir las leyes uniformes de la igualdad en las que se basa la resolución formal de ecuaciones. También, permite la manipulación de objetos y el trabajar los desequilibrios, llegando a abordar el tema de inecuaciones. Por otro lado, posee capacidad auto conectora, permite las leyes uniformes de la igualdad, se utiliza para inecuaciones, y se puede acudir a la manipulación con objetos para confirmar hipótesis sucesivas. En cuanto a sus desventajas, es evidente: la no utilización de variables, el esquema de equilibrio de los dos brazos, y el no ser aplicable a todas las ecuaciones. 2.3.3.2 Tableros de fichas. “Es un material que consta de un tablero de madera o cartulina con un símbolo de igualdad (=) en el centro. Posee fichas de colores y de dos formas. Las fichas pueden ser bicolores, pero siempre serán de dos formas”49. Los tableros de fichas son un material que se puede manipular. Ellos utilizan, en la observación de algunas reglas de manipulación de la igualdad y en la resolución de ecuaciones sencillas, expresiones simbólicas para introducir el concepto de igualdad. Se encuentran juegos con fichas de plástico, cartulina o madera. 49 SOCAS ROBAYNA, Martín et al. Op. Cit., p. 182. 56 Suponiendo que se eligen las formas de rectángulos y cuadrados, las fichas podrían ser: Verde para incógnitas positivas. Amarillo para números positivos. Rojo para incógnitas negativas. Rojo para números negativos. La única regla de eliminación es: parejas de la misma forma y diferente color en un mismo lado del tablero, se neutralizan y eliminan. Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x+ 3 = 5, primero se representa la ecuación en el tablero, luego quitamos tres unidades a cada miembro (poniendo fichas de color contrario); después se reparten equitativamente los cuadrados por cada rectángulo, llegando a la solución correspondiente (Gráfico 20). Gráfico 20. Ejemplo de tablero de fichas Expresado simbólicamente es X= 1 57 3. ASPECTOS DIDÁCTICOS Para la enseñanza de las matemáticas algunas tendencias actuales invitan a los docentes a hacer uso de estrategias de enseñanza, tales como: la resolución de problemas, la modelización, el juego, el contexto histórico y las tecnologías. Con respecto a la enseñanza a través de la resolución de problemas, este es el método más utilizado para poner en práctica el principio general del aprendizaje activo. Con esta estrategia se persigue trasmitir en lo posible, de una manera sistemática, los procesos de pensamiento más eficientes para la resolución de los problemas cotidianos que tienen los estudiantes. Según Guzmán50, esta estrategia propone que el estudiante manipule los conceptos matemáticos, active su capacidad mental, ejercite su creatividad y reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente. Para la educación en matemáticas existe la necesidad de que su aprendizaje se realice a partir del continuo contacto que tiene el estudiante con situaciones de su vida real, propiciándole interés y motivación. De ahí, que a esta estrategia se le denomine modelización. El uso de los “Modelos”, como lo expresa Cabanne51, permite pasar de la forma simple de una situación problemática expresada en lenguaje cotidiano, al modelo; y de este a la expresión algebraica correspondiente. La utilización de modelos juega un papel fundamental en la creación de conceptos y procesos de razonamiento, porque permite hacer accesibles y manipulables conceptos intelectualmente más difíciles. Ahora bien, la estrategia del juego ha sido a través de la historia una herramienta fundamental para la enseñanza de la matemática. Esta permite despertar en el estudiante 50 GUZMAN, Miguel de. Enseñanza de las ciencias y de las matemáticas: tendencias e innovaciones. Madrid: Editorial Popular, 1993. p. 111. 51 CABANNE, Nora. Op. Cit., p. 108. 58 el interés por el tema de trabajo, orienta lazos especiales entre quienes lo practican y produce placer a través de su contemplación y de su ejecución. El contexto histórico, es una estrategia que permite que el estudiante esté en contacto con el origen y la evolución de los conceptos matemáticos. Su utilidad radica en el conocimiento y la comprensión de los problemas de los que han surgido los conceptos más importantes de la materia; brindando información de las razones que tuvo el hombre para ocuparse de estos y permitiendo observar su transformación a través de los tiempos (avances y errores). Por último, la estrategia del uso de las tecnologías (calculadoras, computadores, tabletas, entre otros), es una herramienta que permite evidenciar, comprobar y reforzar los conceptos matemáticos. Las tecnologías están generando una gran influencia en los estudiantes y contribuyen autónomamente a su propio conocimiento. Al incorporarlas, se convierten en un recurso que propicia el trabajo en red, la producción y el intercambio de conocimientos; contribuyendo a la mejora de los procesos educativos. Su inclusión al aula puede pensarse desde diferentes acciones: en el diseño y desarrollo de comunidades virtuales, en la utilización de ambientes virtuales, en la implementación de proyectos de aula, en el desarrollo del pensamiento, en la incursión de cada día nuevas tecnologías, y en el uso de software educativo y páginas web. 3.1 DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Se toma como referencia la didáctica de las matemáticas, al proponer “situaciones de aprendizaje” que logren estimular en los estudiantes el entendimiento como modificación de su conocimiento. Al hablar de la didáctica en la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, es necesario revisar el desarrollo de la teoría de situaciones didácticas 59 planteada por Brousseau Guy52. Esta teoría implica una interacción del estudiante con situaciones problemáticas. Una interacción dialéctica en la cual el sujeto anticipa, finaliza sus acciones y comprende sus conocimientos anteriores; los somete a revisión, los modifica, los complementa o los rechaza para formar concepciones nuevas. Por ello la importancia de que en matemáticas se deba construir primero, y poco a poco, los conceptos por medio del juego; del contacto real y repetido con experiencias de los estudiantes que les permitan interiorizar dichos conceptos, entenderlos y poderlos aplicar en situaciones variadas y diferentes; antes de pretender que expresen estos conceptos por medio de símbolos. En el trabajo de las ecuaciones, es muy importante tener en cuenta estas ideas. Pues es necesario prevenir el aprendizaje memorístico y mecánico de reglas, así como el manejo de símbolos carentes de significado y sin referentes concretos. Mucha destreza por parte del estudiante, no necesariamente, está ligada a la adquisición de conceptos. Se debe reestructurar la forma de enseñar las ecuaciones de manera que para introducir cualquier concepto básico, el primer paso sea la experimentación, el juego. Haciendo el mayor énfasis posible no sólo en que el estudiante comprenda las instrucciones verbales; sino especialmente en que una vez realizado el trabajo práctico, y antes de representarlo por escrito con símbolos, pueda describirlo y dar cuenta de sus resultados en su propio lenguaje oral y de muchas formas diferentes. El estudiante necesita comprender el enunciado, reconocer los objetivos y eventos presentes, recordar lo que sabe, abstraer, hacerse un plan, utilizar procedimientos, operar, encontrar un resultado y contrastarlo. Es por esto, que la didáctica que maneje el docente debe llevar al estudiante a incluir poco a poco las palabras técnicas apropiadas para que aprenda a manejar términos matemáticos. 52 BROUSSEAU, Guy. Los diferentes roles del maestro, Citado por CABANNE, Nora, Didáctica de la Matemática. ¿Cómo se aprende? ¿Cómo se enseña? 4° ed. Buenos Aires: Bonum, 2010. p.9. 60 De ello depende que el alumno encuentre en cada símbolo matemático escrito, el contenido y el sentido para trabajarlo en su realidad; en consecuencia, comience a encontrarle la aplicabilidad en varias situaciones de su vida. 3.2 ALGUNOS OBSTÁCULOS Y ERRORES EN LA ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA En la transición de la aritmética al álgebra, los estudiantes van cometiendo errores. De acuerdo a la clasificación hecha por Socas*, son: errores que tiene su origen en un obstáculo (en este caso podría ser la inseguridad de los estudiantes en el trabajo algebraico), y errores que tiene su origen en la ausencia de sentido del concepto (como son: conceptos previos, uso inapropiado de reglas de procedimiento, y generalización de concepciones aprendidas en casos particulares). A continuación, se relacionarán algunos trabajos e investigaciones que profundizan sobre las dificultades en el aprendizaje de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, y que además dan sustento a la propuesta. El artículo titulado El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica53, expresa que dentro de las dificultades que presentan los estudiantes al resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, se manifiesta la falta de contextualización e interpretación de las situaciones cotidianas. De la misma manera, hace referencia a que los educandos no utilizan las ecuaciones como una herramienta para solucionar problemas, sino que se apoyan en procesos aritméticos para luego tratar de justificar la respuesta mediante una ecuación. De igual * Esta es una clasificación que Socas hace del concepto de obstáculo epistemológico y que expone en varios artículos consultados por el autor de este trabajo de grado; sin embargo, en los dos artículos que más información relaciona al respecto son: uno publicado en file:///C:/Users/Martha/Downloads/Dialnet-AnalisisYClasificacionDeErroresCometidosPorAlumnos2258680.pdf y otro en http://revistasuma.es/IMG/pdf/16/091-098.pdf. Ver bibliografía. 53 KIERAN, E. y FILLOY, E. El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica. En: revista Planteamientos en educación. [En Línea] Abril, 2000. p. 33 - 60 [Consultado el 24 de noviembre del 2013]. Disponible en: http://www.corporacionepe.org/IMG/pdf/Matematicas__Lengua_materna_-_Escuela_Pedagogica_Experimental.pdf 61 manera, encuentra que los estudiantes no son capaces de expresar las ecuaciones que representan las situaciones de los problemas; y tienden a escribir las operaciones que permiten resolver el problema, sin tener en cuenta la incógnita. El articulo concluye comentando que: “Los procesos que usan los niños para resolver las proposiciones de sumando desconocido incluyen contar” hacia adelante”, “contar hacia atrás”, “sustitución”, “uso de hechos numéricos conocidos”54. Seguidamente, en los estudios de Wagner, Rachlin y Jensen (1984)55, se muestra que los estudiantes presentan dificultades con ecuaciones donde la incógnita es reiterativa y tiene muchos términos. Además, no observan que estas ecuaciones pueden ser equivalentes a otras con menos términos. Kieran, manifiesta que uno de los errores de los estudiantes se presenta en el “intercambio de sumandos”. Pasan al segundo miembro los coeficientes sin cambiar el signo de este; también cuando utilizan las propiedades de la igualdad en el primer miembro de la ecuación, suman el coeficiente y en el segundo miembro lo restan. Greeno56, ha destacado que los estudiantes no son conscientes de los elementos que forman las ecuaciones. El artículo La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación,57 presenta una síntesis del trabajo de investigación La adquisición del lenguaje algebraico y la detección de errores comunes cometidos en algebra por alumnos de 12 a 14 años. En él se exponen trabajos de varios investigadores*, quienes identifican los factores más significativos que afectan la enseñanza y aprendizaje del álgebra en los últimos 50 años. 54 BOOTH. L. R. Equations revisited, Citado por KIERAN, E. y FILLOY, E. Opt. Cit., p. 40. WAGNER, RACHLIN Y JENSEN, Citados por KIERAN, E. y FILLOY, E. Opt. Cit., p 43. 56 GREENO, J.G. Congnitivi learning analysis of algebra, Citado por KIERAN, E. y FILLOY, E. Opt. Cit., p. 44. 57 PALAREA MEDINA, María Mercedes. La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación. En: Revista de didáctica de las matemáticas. [En Línea]. Diciembre, 1999, v. 40, p. 3-28. [Consultado el 30 de noviembre del 2013]. Disponible en: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/40/Articulo01.pdf * Investigadores como Chalouh-Herscovics, (1988), Wagner y Kieran (1989), Kieran y Filloy (1989), Cedillo (1991), Kieran (1992), Rojano (1994), Cooper (1997) y Boulton (1997). 55 62 Agrupan sus aportes de la siguiente manera: a. Los errores que provienen de considerar la aritmética como antecesora del álgebra. Esto incluye las implicaciones en el aprendizaje y en especial las dificultades en: el uso y significado de las letras, el cambio de las convenciones diferentes de las usadas en la aritmética, y, el reconocer y usar estructuras que se han podido evitar en la aritmética. b. Los errores que provienen de la falta de modelos teóricos para la enseñanzaaprendizaje del álgebra. Por último, el artículo titulado Una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmética al álgebra en alumnos de secundaria58, expone las investigaciones de diferentes autores*, estos señalan como dificultades de los estudiantes en la transición de la aritmética al álgebra, las siguientes: - Generalización equivocada de procedimientos aritméticos. - Resistencia a emplear ecuaciones. - Dificultades en el empleo de los signos y expresiones. - Dificultades para expresar formalmente los métodos y procedimientos usados al resolver problemas. - Equivocaciones en la interpretación de las variables. - Desconocimiento del significado de la igualdad. - Omisión parcial de la incógnita. - Interpretación equivocada de la concatenación de términos algebraicos. - Conjunción de términos no semejantes. - Inversión incorrecta de operaciones. - Pensar empleando una estrategia de solución de problemas - Solucionar mediante una representación gráfica de la ecuación 58 FLORES MACIAS, Rosa del Carmen y CASTELLANOS CRUZ, Raúl. Una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmética al álgebra de secundaria. En: Didac. [En línea]. Jul-dic 2010 y ene – jun 2011, no. 56-57, p. 44-46. [Consultado el 28 de diciembre del 2013]. Disponible en: http://www.uia.mx/web/files/didac/56-57.pdf * Autores como Kieran (1992) y Filloy (1989), MacGregor y Stacey (2000); Pizon y Gallardo (2000). 63 De esta forma, los obstáculos en el aprendizaje de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, son dificultades que generan errores continuos en los procedimientos llevados a cabo por los estudiantes. Esta es la razón de la importancia de identificarlos como punto de partida en la construcción de actividades que permitan superarlos, con el objetivo de mejorar el nivel de comprensión frente al tema. 3.3 ESTRATEGIAS PARA LA SUPERACIÓN DE DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA En este apartado, al hablar de estrategias para la superación de dificultades en el aprendizaje de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se hace referencia a una revisión bibliográfica de algunas investigaciones y artículos que han demostrado avances significativos en la enseñanza y comprensión del tema. En la tesis de Rafael Moreno Cháirez59, se realiza un análisis sobre la influencia, en estudiantes de primer grado de secundaria, de la resolución de problemas como estrategia de aprendizaje en el despeje de ecuaciones de primer grado. La idea central de la estrategia es que los estudiantes adquieran un aprendizaje más significativo a través de una serie de pasos que argumentan la solución del problema planteado; cada paso es un planteamiento lógico de una nueva ecuación. En el trabajo de Máster cuyo autor es Antonio Ortega,60 se propone como estrategia para la enseñanza de las ecuaciones, el uso de dos métodos: Los Palillos para Problemas Geométricos y La Balanza Algebraica. Según esta investigación, estos dos métodos ayudan a los estudiantes a traducir los enunciados verbales al lenguaje algebraico, mediante el uso de herramientas manipulativas y gráficas. Precisamente, la funcionalidad de estas herramientas para dichos efectos, es una de las conclusiones de esta investigación. 59 MORENO CHÁIREZ, Rafael. La influencia de la resolución de problemas en el aprendizaje de las ecuaciones de primer grado en la escuela secundaria. Tesis de Grado. México: Universidad Pedagógica de Durango, 2012. 103 p. 60 ORTEGA TORRES, Antonio Manuel. Opt. Cit., p. 83. 64 Por otro lado, en el trabajo de grado de Francisco Rivero61, se plantea como estrategia el uso de un modelo concreto para la resolución de ecuaciones de primer grado, usando fichas y un tablero rectangular dividido en 4 zonas. Este estudio permite relacionar el modelo con una serie de pasos y procedimientos efectuados dentro de las ecuaciones. En el artículo Una experiencia didáctica: el aprendizaje de ecuaciones de primer grado usando actividades lúdicas62, los autores presentan los resultados de una investigación cuyo objetivo se centró en proponer actividades lúdicas como estrategia didáctica para la enseñanza de las ecuaciones de primer grado. Dentro de las estrategias planteadas, se destaca el maletín de herramientas; el cual expone actividades lúdicas como: Jueces Expertos y Carteles de Ecuaciones. Estas actividades apuntan a la resolución de ecuaciones mediante el uso de las propiedades de la igualdad, la identificación de las partes de la ecuación y la solución. De otra parte, Rojano63 analiza los resultados de la implementación de un modelo virtual de la balanza, para la enseñanza de la resolución de ecuaciones de primer grado. En este estudio se pudo concluir que los estudiantes logran extender el método algebraico a una amplia variedad de ecuaciones y alcanzan espontáneamente a utilizar el método de trasposición de términos. Otro artículo, Una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmética al álgebra en alumnos de secundaria64, presenta una propuesta instruccional para apoyar la transición de la aritmética al algebra durante la solución de problemas. La propuesta se basa en el empleo de una estrategia de solución de problemas diseñada de tal forma que el alumno pueda ser autónomo en su uso y en la comprensión de las ecuaciones 61 RIVERO MENDOZA, Francisco. Resolviendo las ecuaciones lineales con el uso de modelos. En: Notas de Matemática. [En línea]. No. 201, p. 1-8. [Consultado el 5 de octubre del 2013]. Disponible en: http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/22683/1/numero_201.pdf 62 LABRADOR, Dorka y MAITA GUÉDEZ, Maryanela. Una experiencia didáctica: aprendizaje de ecuaciones de primer grado usando actividades lúdicas. En: Investigaciones Interactivas Cobaind. [En Línea]. Diciembre, 2011, vol. 1, no 4, p. 129- 150. [Consultado 26 de diciembre del 2013]. Disponible en: http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/35435/1/experiencia-didactica.pdf 63 ROJANO CEBALLOS, María Teresa. Modelación concreta en algebra: balanza virtual, ecuaciones y sistemas matemáticos de signos. En: Números. Revista didáctica de las matemáticas. [En Línea]. Noviembre, 2010, vol. 75, p. 5-20. [Consultado el 27 de diciembre del 2013]. Disponible en: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/75/Apertura.pdf 64 FLORES MACIAS, Rosa del Carmen y CASTELLANOS CRUZ, Raúl. Opt. Cit., p 43-49. 65 algebraicas mediante una representación gráfica. Se hace especial énfasis en que los estudiantes comprendan el significado de conceptos como incógnita, igualdad, literal; además, en que apliquen los procedimientos algebraicos en el contexto de la solución de un problema. Por último, en Secuencia de enseñanza para solucionar ecuaciones de primer grado con una incógnita65, se hace un análisis sobre los errores más frecuentes de los estudiantes en la solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, para luego diseñar estrategias que se basan en la trasposición de términos. Una de las conclusiones de este artículo, hace referencia a la importancia y necesidad de explorar y reforzar el nivel de los conocimientos básicos de los estudiantes; pues así el aprendizaje es significativo y se puede integrar a los conocimientos previos. 3.4 ESTÁNDARES DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (MEN) En los Estándares Curriculares66, la enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de varios procesos; mediante estos el docente planea, gestiona y propone situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo para sus estudiantes. Permitiendo que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen con sus compañeros, docentes y materiales; a fin de reconstruir y validar personal y colectivamente el saber matemático. Tanto los estándares como los lineamientos curriculares son una herramienta para la comunidad educativa; estos busca atender la necesidad y dar orientaciones sobre las estructuras curriculares del área académica. En este sentido, es necesario comprender y asumir pedagógicamente la función de dichas disposiciones para la formación y el desarrollo integral de los estudiantes, según las épocas y las demandas socio-culturales de un mundo en permanente cambio y transformación. 65 MORENO, Inés y CASTELLANOS, Lilia. Secuencia de enseñanza para solucionar ecuaciones de primer grado con una incógnita. En: Revista EMA. 1997, vol. 2, no 3, p. 247-258. [En Línea]. [Consultado el 29 de diciembre del 2013]. Disponible en: http://funes.uniandes.edu.co/1054/1/30_Moreno1997Secuencia_RevEMA.pdf 66 COLOMBIA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Estándares Básicos de competencias en Matemáticas. [En línea]. [Consultado el 26 de agosto de 2013]. Disponible en: http://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/articles-116042_archivo_pdf2.pdf 66 El MEN con los lineamientos y estándares curriculares, abandona el rol de diseñador de un currículo único nacional para asumir el de orientador y facilitador de ambientes de participación, en los cuales la comunidad educativa despliegan su creatividad, el reconocimiento de los contextos socio-culturales propios y las posibilidades de desarrollo endógeno para construir propuestas educativas bien estructuradas y fundamentadas, con control y seguimiento, avaluadas y sistematizadas. De ahí que los lineamientos y estándares curriculares del MEN, contribuyan a la construcción de propuestas educativas con las estructuras básicas de los saberes que contienen las áreas académicas y fomenten así la profundización del estudio disciplinar, pedagógico y didáctico. En las próximas líneas, se harán consideraciones y reflexiones sobre el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. 3.4.1 Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analíticos. Se relaciona con otros tipos de pensamiento: el numérico, el espacial, el de medida o métrico, y el aleatorio o probabilístico. Así mismo, según los Lineamientos Curriculares67, tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio de diferentes contextos, así como su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. Según Vasco: El pensamiento variacional tiene que ver con el tratamiento matemático de la variación y el cambio. Se describe como una manera de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que cavarían en forma semejante a los patrones de covaración 67 COLOMBIA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Lineamientos Curriculares de Matemáticas. [En línea]. Bogotá: MEN, 1998. p. 49 – 51. [Consultado el Consultado el 25 de julio del 2013]. Disponible en: http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-89869_archivo_pdf9.pdf 67 de cantidades de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos recortados de la realidad”68. El pensamiento variacional se comprende a partir del análisis matemático de contextos desde la vida cotidiana; en los cuales se puedan modelar procesos de variación entre variantes, y se abre un camino fructífero para el desarrollo de los procesos de pensamiento matemáticos ligados al álgebra, las funciones y el cálculo. Según los estándares de competencias de matemáticas, el pensamiento algebraico y analítico: En la Educación Básica Secundaria, el sistema de representación más directamente ligado con las variaciones es el sistema algebraico, pero éstas también se expresan por medio de otros tipos de representaciones como las gestuales, las del lenguaje ordinario o técnico, las numéricas (tablas), las gráficas (diagramas) y las icónicas, que actúan como intermediarias en la construcción general de los procedimientos, algoritmos o fórmulas que definen el patrón y las respectivas reglas que permiten reproducirlo69. Por lo anterior, la importancia de recurrir a diferentes representaciones como herramienta que posibilite la construcción y comprensión de los procedimientos en la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 68 VASCO, C. El pensamiento variacional, la modelación y las nuevas tecnologías, Citado por ÁVILA MEJÍA, Piedad Elena. Razonamiento covariacional a través de software dinámico. El caso de la variación lineal y cuadrática. Trabajo de grado. Medellín: Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2011, p.10. [En línea]. [Consultado el octubre 13 de 2013]. Disponible en: http://www.bdigital.unal.edu.co/6765/1/43480455.2012.pdf 69 COLOMBIA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Estándares Básicos de competencias en Matemáticas. Op. Cit., p. 67. 68 4. DIAGNÓSTICO Y PROPUESTA DIDÁCTICA 4.1 EL DIAGNÓSTICO La propuesta tiene en cuenta las dificultades de los alumnos del Colegio La Palestina, en el aprendizaje de las ecuaciones de primer grado; dificultades identificadas a partir del diagnóstico. En las siguientes líneas se describe la metodología para el diseño, la aplicación y la valoración del diagnóstico. 4.1.1 Construcción prueba diagnóstica. Para la construcción de la prueba diagnóstica, se realizó una revisión bibliográfica sobre los conocimientos básicos de la resolución de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. A partir de esta, se elaboró un cuadro con el cual se buscó la coherencia de diferentes elementos en la estructura de la prueba diagnóstica: los conocimientos, los estándares, el pensamiento matemático, los logros, y las competencias que un estudiante de grado sexto debe desarrollar para resolver problemas o situaciones cotidianas que requieran ecuaciones de primer grado con una incógnita. En dicha estructura se establecieron 3 ejes fundamentales que se llamaron variables (concepto, métodos y aplicación); cada una de ellas tiene una descripción y unos indicadores que permitieron la construcción de las preguntas para la prueba. La tabla 10 es el cuadro que describe la estructura de la prueba. 69 Tabla 10. Cuadro estructura de la prueba diagnóstica 70 Además de la construcción del cuadro de la estructura de la prueba diagnóstica, se determinó qué indagaría cada pregunta en las variables anteriormente descritas, aclarando su direccionalidad y su propósito. De esto resultó la siguiente tabla. Tabla 11. Cuadro de direccionalidad y propósito de las preguntas del diagnóstico PREGUNTA 1 y 1.1 2 , 2.1 y 2.2 3, 3.1 y 3.2 DIRECCIONADA A Indagar si el estudiante identifica las partes de una ecuación, si puede identificar de un grupo cuáles son ecuaciones de primer grado con una incógnita y qué criterios tiene para seleccionarlas. Conocer qué problemas tiene el estudiante para resolver una ecuación de primer grado utilizando el método de ensayo y error y el método de propiedades de la igualdad (mal uso de las operaciones inversas, pérdida del signo igual, omisión de la incógnita). También averiguar los errores más comunes al comprobar la solución de una ecuación (perdida del signo igual, no sustituir la incógnita, errores con las operaciones). Conocer cómo resuelve el educando situaciones problemas recurriendo a las ecuaciones de primer grado con una incógnita, y saber cómo pasa del lenguaje verbal al lenguaje algebraico al construir las ecuaciones. SE PROPONE Identificar si realmente se está cumpliendo con lo planteado en el plan de estudios del Colegio La Palestina, en el cual se manifiesta que el educando debe estar en la capacidad de conocer qué es una ecuación de primer grado con una incógnita y cuáles son sus características. Evidenciar cómo el alumno resuelve una ecuación de primer grado con una incógnita utilizando el método de ensayo y error y el de propiedades de la igualdad. Observar cómo el estudiante comprueba cuando un valor es la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. Conocer qué otros métodos, tanto formales como informales, utilizan para resolver ecuaciones (transposición de términos, otros enseñados por sus padres en el acompañamiento de las tareas ) Identificar si el educando puede traducir del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, diferentes enunciados. En tal caso, establecer sus dificultades en esta transición. Analizar si resuelve problemas de su contexto utilizando las ecuaciones de primer grado con una incógnita. 71 4.1.2 Instrumento Diagnóstico. Establecida la estructura de la prueba diagnóstica, los 31 estudiantes del curso 601 del Colegio La Palestina, desarrollaron una guía constituida por 9 preguntas, con las que se obtendría la información planteada en la tabla 11. Ver la guía en el Anexo 1. 4.1.3 Análisis y valoración de los resultados. A continuación se presentan los datos obtenidos con cada uno de los Ítems de la prueba diagnóstica y se realiza un análisis porcentual de los mismos. CONCEPTO Ítem No. 1 Ítem No 1 ¿Qué entiende por una ecuación de primer grado con una incógnita? 26% 16% Respuesta Acertada Respuesta con deficiencias 58% No responde Análisis: Se encontró que el 16% de los estudiantes respondió de manera acertada la pregunta; lo cual indica que estos estudiantes comprenden el tema y les es fácil su definición. Un 58% presenta respuestas deficientes en la definición de ecuación de primer grado con una incógnita: hablan de varias incógnitas, de los diferentes grados de las incógnitas y dan ejemplos de expresiones que no son ecuaciones; confunden las ecuaciones de primer grado con las de otros grados y las de una incógnita con varias incógnitas. Ello trae como consecuencia, que los estudiantes no tengan claridad de los criterios que caracterizan la ecuación de primer grado con una incógnita. Por último, un 26% de los estudiantes no responden la pregunta. 72 Ítem No. 1.1. Ítem No 1.1: ¿Cuáles son ecuaciones de primer grado? y ¿qué aspectos tuvo en cuenta para su elección? 10% 19% Respuesta Acertada Respuesta con deficiencias 71% No responde Análisis: Un 19% de estudiantes respondió acertadamente a la pregunta, teniendo en cuenta todos los criterios para su clasificación. El 71% no contempló todos los criterios: algunos nombraban el grado o exponente de la incógnita, otros nombraban el signo igual, y otros solo podían tener una incógnita, la cual se podían repetir; esto los llevó a cometer errores a la hora de seleccionar las ecuaciones. Por último, un 10% de los estudiantes no respondió la pregunta. Ítem No. 1.2. Ítem No1.2: Dadas las partes de una ecuación, se le pide al estudiante ubicarlas en un diagrama. 35% 29% Respuesta Acertada Respuesta con deficiencias 36% No responde 73 Análisis: Se encontró que el 29% de los alumnos, identificó adecuadamente las partes en la ecuación: primer miembro, segundo miembro, la incógnita, el signo igual, el grado de la ecuación y el término en X del segundo miembro. El 35% no ubicó bien los términos porque en el diagrama su representación no indicaba las partes de la ecuación. Un 36% de los estudiantes no respondió la pregunta. RESOLUCIÓN Ítem No. 2a. Ítem No 2a: Resolver la ecuación 4Y - 8 = 16 por ensayo y error 35% Respuesta Acertada 26% Respuesta con deficiencias 39% No responde Análisis: Con respecto a la ecuación a. del ítem 2, el 26% de los educandos la resuelve acertadamente; se evidencia el reemplazo de varios términos hasta encontrar su solución. Un 39% intenta resolverla sin llegar a la solución debido a errores como: fallan en el manejo de las operaciones básicas, operan los coeficientes sin tener en cuenta el valor de la incógnita, no relacionan el producto entre a.x al ser una ecuación de la forma a.x+ b = c, sustituyen la incógnita formando un solo número, operan un lado de la ecuación y el resultado de este lo manipulan con el segundo miembro, no entienden la pregunta, y se limitan a nombrar los términos de la ecuación. Un 35 % de los alumnos no responde la pregunta. 74 Ítem 2b. Ítem No 2b: Resolver la ecuación 3Z+ 6 = 18 por ensayo y error Respuesta Acertada 29% 35% Respuesta con deficiencias 36% No responde Análisis: Con relación a la ecuación b de ítem 2, el 29% de los estudiantes la resuelven acertadamente: se refleja el reemplazo de varios términos hasta encontrar su solución. Un 36% intenta resolverla sin tener éxito, cometiendo los mismos errores enunciados anteriormente. Un 35% no responde la pregunta. Ítem 2.1, a. Ítem No 2.1 a: Resolver la ecuación 2X + 10 = X + 30 por propiedades de la igualdad Respuesta Acertada 35% 0% Respuesta con deficiencias 65% No responde Análisis: En la ecuación a. del ítem 2.1., un 65 % de los alumnos intentó dar respuesta a la pregunta de diferentes formas: 75 - Un 19% de los estudiantes utilizó el método de propiedades de la igualdad cometiendo errores en su aplicación: al ser la ecuación de la forma ax+b = cx +d. De este porcentaje, un 7% tenía en cuenta la incógnita del lado izquierdo y la del lado derecho no aparecía; mientras que un 8% de los estudiantes sumaba el opuesto a un solo lado de la ecuación, y un 4% sustituía por un valor numérico una de las incógnitas y la otra intentaba despejarla. Ninguno tuvo éxito. - El 23% sustituyó el valor de la incógnita, pero sin tener éxito en este procedimiento. - Un 23% no entendió la pregunta y se limitó a nombrar los términos de la ecuación. Un 35% de los estudiantes no responde la pregunta. Ítem 2.1.b. Ítem No 2.1 b: Resolver la ecuación 3Z+ 6 = 18 por propiedades de la igualdad 35% Respuesta Acertada 13% Respuesta con deficiencias 52% No responde Análisis: En la ecuación b. del ítem 2.1., un 13% de los alumnos aplicó adecuadamente las propiedades de la igualdad. Un 52% tuvo deficiencias en las respuestas, debido a que aplicaron mal el método: utilizaron el método de ensayo y error y no entendieron la pregunta limitándose a señalar las partes de la ecuación. Un 35% de los estudiantes no responde la pregunta. 76 Ítem No. 2.2.a. Ítem No 2.2a: Comprobar la solución de la ecuación 3X - 6 = 15 para X = 7 48% Respuesta Acertada 23% Respuesta con deficiencias 29% No responde Análisis: En la ecuación a. del ítem 2.2, un 23% de los educandos comprobó la solución de la ecuación reemplazando el valor de la incógnita y haciendo las operaciones pertinentes. Un 29 % realizó unas operaciones sin llegar al resultado esperado, algunos realizaron operaciones con los coeficientes de la ecuación en forma vertical y otros continuaron señalando las partes de la ecuación. Un 48% no responde la pregunta. Ítem 2.2.b. Ítem No 2.2b: Comprobar la solución de la ecuación 2Y + 8 = Y – 2 para Y = -10 Respuesta Acertada 45% 0% Respuesta con deficiencias 55% No responde Análisis: En la ecuación b. del ítem 2.2., no se evidenciaron respuestas acertadas. Lo cual indica que este tipo de ecuaciones genera un grado de dificultad mayor. 77 Un 55% de los estudiantes, intentó comprobar la ecuación y se evidenció ciertas deficiencias en el proceso como: - De este porcentaje, un 17% al ser la ecuación de la forma ax+b= cx+d, sustituyó la incógnita en un solo lado de la ecuación; un 6% cambió los signos de los coeficientes; un 8% pasó el resultado del primer miembro al segundo miembro y lo operaban con los números que este tenía; un 14% realizaba operaciones con los coeficientes sin tener en cuenta el valor de la incógnita, lo que llevó a que ninguno comprobara la ecuación. Un 10% de la totalidad de los estudiantes, se limitó a señalar las partes de la ecuación. Un 45% no respondió la pregunta. APLICACIÓN Ítem No. 3 Ítem No 3 Expresar 6 enunciados verbales en lenguaje algebraico 16% Respuesta Acertada 52% 32% Respuesta con deficiencias No responde Análisis: Se encontró que el 16% de los educandos respondió acertadamente: no presentaron problemas para expresar los enunciados de forma verbal a la forma algebraica. Un 32% tuvo respuestas con deficiencias al cometer errores como: - El 3% cambió el signo de adición por el de producto, y viceversa. - El 16% escribió una incógnita al frente de cada enunciado, esta se relacionaba con la información dada. 78 - El 6% dio un valor numérico al frente de cada enunciado que no guardaba relación con la expresión dada. - El 7% propuso valores numéricos que guardaban una relación con los demás enunciados, como si se hubiera sustituido el valor desconocido. Un 52% no respondió los enunciados. Ítem 3.1 ítem No 3.1: Dada una balanza equilibrada compuesta por latas de atún y pesas, calcular el peso de una lata. 45% Respuesta Acertada 13% Respuesta con deficiencias 42% No responde Análisis: Se evidenció que un 13% de los estudiantes obtuvo la respuesta acertada dándole valores a ambos lados de la balanza o argumentándola de forma verbal; ninguno hace una ecuación para representar la situación planteada. El 42%, realizó una mala argumentación de la situación expuesta ya que no consideró que todas las latas pesaban lo mismo, de este porcentaje: - El 24% le dio diferentes valores a las latas del lado derecho y del lado izquierdo. - Un 11% no relacionaron los lados de la balanza y los tomaron como independientes, creyendo que el valor de las pesas es el valor del peso de las latas de ese lado. - Un 7% de los estudiantes multiplicó el número de latas por el peso de las pesas, y ese resultado lo dividió en dos. Un 45% de los estudiantes no responde la pregunta. 79 Ítem 3.2 ítem No 3.2: Solucionar un problema con ayuda de un diagrama 10% 10% Respuesta Acertada Respuesta con deficiencias 80% No responde Análisis: Se encontró que el 10% de los estudiantes completan el diagrama y responden la pregunta. Sin embargo, no representaron la situación en forma de ecuación, lo hicieron sustituyendo los valores numéricos. Un 80% responde con deficiencias tales como: - El 26% realizó la primera parte del diagrama sustituyendo valores, sin llegar a la solución. - El 45% ubicó los valores que no representan la situación planteada y estos eran generados por operaciones de los valores dados en el problema. - En el 9% se evidencia errores en la diferencia de dos números. Un 10% no responde la pregunta. Con relación a lo anterior, las dificultades evidenciadas en los estudiantes durante el desarrollo de la prueba diagnóstica y que se pretenden superar en el diseño de la unidad didáctica, son: - La mala utilización del concepto del signo igual. En este caso se desconoce el significado de igualdad como un equilibrio entre los dos miembros de la ecuación. - La no identificación del producto entre la incógnita y el coeficiente. En lo que se refiere a la multiplicación, se genera una interpretación equivocada en la concatenación de términos algebraicos. 80 - La omisión de la incógnita. Se expresa cuando hay más de una incógnita en la ecuación: los estudiantes dejan una incógnita y las demás las desaparecen, o la sustituyen por valores numéricos. - La no utilización del inverso aditivo a ambos lados de la igualdad. Se agrega el inverso aditivo a un solo lado de la igualdad, ello hace que los estudiantes presenten dificultad al aplicar las reglas de las operaciones en las ecuaciones. - Los cambios de signos en los coeficientes. En los procedimientos se observa que por olvido o falta de concentración, los educandos no ponen el signo en la respuesta o cambian el signo de un paso al otro. - La falta de traducción de frases del lenguaje habitual al lenguaje algebraico. La traducción es de forma literal: el alumno escribe los símbolos de la ecuación en el mismo orden en que aparecen en el lenguaje natural. - Dificultades en la detección e interpretación de los datos conocidos y los que se deben buscar. La confianza en métodos aritméticos centrados en conseguir “de alguna forma” la respuesta, va en contra de que establezcan las relaciones enunciadas en el problema y sistematicen su método de solución. - Deficiente manejo de las operaciones básicas. En el resultado de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división), se presenta un inadecuado uso de las mismas. 4.1.4 Conclusiones del diagnóstico. Las conclusiones del diagnóstico se realizan teniendo en cuenta cada una de las variables trabajadas. Tabla 12. Cuadro conclusiones Concepto VARIABLE CONCEPTO DESCRIPCIÓN Tiene claridad sobre los aspectos más relevantes de una ecuación de primer grado con una incógnita Se evidencia que un 71% de los estudiantes no tiene claridad sobre el concepto de una ecuación y por lo tanto, carecen de criterios como: identificación del signo igual, números de incógnitas, y el grado o CONCLUSIÓN exponente de la incógnita para clasificar cuándo una expresión algebraica es una ecuación de primer grado con una incógnita. Recomendación o sugerencia: - Crear actividades en las que el estudiante conozca y haga uso de los criterios para la identificación y clasificación de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. 81 Tabla 13. Cuadro conclusiones Método Informal VARIABLE METODO INFORMAL DESCRIPCIÓN Utiliza un procedimiento para hallar el valor de la incógnita. Se demuestra que los estudiantes comenten errores en el uso de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división); no tienen en cuenta el producto entre la incógnita y el coeficiente que la acompaña, y poseen dificultades en el manejo del concepto de CONCLUSIÓN ecuación. Recomendación o sugerencia: - Desarrollar actividades de refuerzo que posibiliten la comprensión y aplicación de las operaciones básicas en las ecuaciones de primer grado con una incógnita. - Hacer énfasis en el cambio de símbolo cuando se utiliza la operación de la multiplicación: X .ó() - Utilizar modelos o representaciones que permitan construir el concepto de ecuación. Tabla 14. Cuadro conclusiones Método Formal VARIABLE METODO FORMAL DESCRIPCIÓN Utiliza un procedimiento para hallar el valor de la incógnita. Se evidencia que un 100% de los estudiantes tiene dificultades cuando la incógnita se repite, como en las ecuaciones de la forma (ax+b=cx+d); los estudiantes no perciben la incógnita en el segundo miembro, en consecuencia, el error más común es la eliminación de la incógnita o la sustitución con un valor numérico. CONCLUSIÓN Un 19% comete errores en la no utilización del inverso aditivo a ambos lados de la igualdad, los cambios de signos en los coeficientes y el desconocimiento de la incógnita. Nuevamente se presenta error en el manejo del concepto de ecuación y en el uso de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división). Recomendación o sugerencia: - Proponer actividades basadas en los métodos informales que ayuden al estudiante a la comprensión de los métodos formales. 82 Tabla 15. Cuadro conclusiones Aplicación VARIABLE APLICACIÓN DESCRIPCIÓN Resuelve problemas de enunciados, expresándolos como ecuaciones. Se encontró que el 100% de los estudiantes no utilizan las ecuaciones de primer grado con una incógnita como herramienta para la solución de problemas e intentan dar respuesta mediante procedimientos aritméticos. Los errores más comunes que se presentaron fueron: CONCLUSIÓN El 84% de los estudiantes, evidencia la falta de traducción de frases del lenguaje habitual al lenguaje algebraico, un 90% no identifica la incógnita y tiene una mala detección e interpretación de los datos conocidos y los que se deben buscar. Nuevamente se presenta el error en el manejo del concepto de ecuación e ignoran su significado como un equilibrio entre sus miembros; además el uso de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división).es deficiente, esto los lleva a cometer errores en el desarrollo de las operaciones. Recomendación o sugerencia: - Pasar de un enunciado verbal a la representación simbólica mediante el uso de un modelo o representación gráfica. - Utilizar problemas del contexto del estudiante, acompañados de modelos o representaciones que le permitan deducir y usar las ecuaciones de primer grado con una incógnita para su solución. 4.2 PROPUESTA DIDÁCTICA 4.2.1 Presentación. Se presenta el diseño de una unidad didáctica, cuyo fundamento esencial es utilizar los métodos informales usados para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Unidad didáctica que promueve, en los estudiantes de grado sexto, la aplicación de este tipo de ecuaciones en diferentes contextos. En principio, se crearon las condiciones al conocer a los estudiantes, no sólo desde su contexto sino también desde sus expectativas; del mismo modo, se propició la oportunidad de utilizar sus conocimientos previos con libertad. De ahí, la importancia de proponer “situaciones de aprendizaje” que logren estimular en los estudiantes el entendimiento como modificación de su conocimiento. 83 Para el desarrollo de la siguiente propuesta, se construye primero y poco a poco, los conceptos por medio del juego, del contacto real y repetido con experiencias de los estudiantes. De manera tal, que puedan interiorizar dichos conceptos, entenderlos y aplicarlos en situaciones variadas y diferentes, antes de pretender que los expresen por medio de símbolos. La idea es que los estudiantes no sólo comprendan las instrucciones verbales; sino especialmente que, una vez realizado el trabajo práctico y antes de representarlo por escrito con símbolos, puedan describirlo junto con sus resultados en su propio lenguaje oral, de muchas formas diferentes. En coherencia con esto, la propuesta busca la superación de dificultades como: la mala utilización del concepto del signo igual, la no identificación del producto entre la incógnita y el coeficiente, la omisión de la incógnita, la no utilización del inverso aditivo a ambos lados de la igualdad, los cambios de signos en los coeficientes, la falta de traducción de frases del lenguaje habitual al lenguaje algebraico, las dificultades en la detección e interpretación de los datos conocidos y los que se deben buscar, y el deficiente manejo de las operaciones básicas. Para llevar a cabo la propuesta se diseñó una unidad didáctica compuesta por siete sesiones de actividades, cada una con duración de 90 minutos. Cada sesión se desarrolla de manera activa y participativa, en función del nivel de conocimientos del que parten los estudiantes y del trabajo que realicen ellos mismos. En las actividades se modelaron situaciones reales para desarrollar habilidades en los estudiantes hacia la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita; Estas actividades se elaboraron de manera progresiva: el grado de dificultad iba aumentando a medida que los alumnos avanzaban. De esta forma, en primer lugar, ellos conocieron las nociones más elementales; posteriormente, accedieron a otros conocimientos basados en los anteriores, siguiendo un orden lógico y natural. 84 Las sesiones están estructuradas de la siguiente manera: contenidos, objetivos, logros, recursos, metodología, y evaluación. Seguidamente, se presentan cada una de las sesiones. 4.2.2 Sesión No 1. Encontremos la igualdad Contenidos: - Conceptual: Noción de igualdad. - Procedimental: Interpretación de la noción de igualdad. - Actitudinal: Interés por involucrar las nuevas tecnologías como herramienta de aprendizaje. Objetivo: Reconocer el significado de igualdad e interpretar el papel de las operaciones básicas. Logros: - Construirá el concepto de igualdad e identificará cuándo una expresión es una igualdad. - Identificará y aplicará las operaciones básicas en una situación problema. Recursos: - Espacio de aula o sala de computo. - Computador, video beam (opcional). - Guía de trabajo Sesión No.1 (Anexo 2). - Programa informático Ecuaciones Visuales (Anexo 3): http://www.educaplus.org/play-13-Ecuaciones-visuales.html - Premios simbólicos. Metodología: El docente inicia aplicando el programa informático de ecuaciones visuales, mostrándoles a los estudiantes los tableros con tres niveles de dificultad que maneja dicho programa. 85 Seguidamente, invita a los estudiantes a realizar una lluvia de ideas alrededor de las siguientes preguntas: - ¿Cómo respondería a cada nivel? - ¿Qué elementos tienen en cuenta para hallar la respuesta? - ¿Qué otros métodos se podrían utilizar para llegar a la respuesta? Las respuestas obtenidas son registradas en el tablero y el maestro orienta los razonamientos de los estudiantes. Posteriormente, les indica conformar grupos de tres personas y entrega la guía de trabajo para su diligenciamiento (Ver Anexo 2). En la guía de trabajo se deben desarrollar tres actividades. Cada una de ellas con tres tableros de diferente nivel de dificultad (fácil, medio y alto), para hallar el valor desconocido de un objeto que permita resolver la situación planteada. Deben justificar su respuesta. Al finalizar el desarrollo de la guía de trabajo, el docente plantea las siguientes preguntas: - ¿De qué se dan cuenta en el desarrollo de los tableros? - ¿Qué operaciones se trabajan en los tableros? - ¿Qué signo matemático se puede utilizar para relacionar lo que sucedió en los tableros? Las respuestas se anotan en el tablero en forma general; para luego, a partir de las experiencias de los estudiantes, ir construyendo el término de igualdad. El profesor pide a los educandos exponer dos o tres ejemplos similares en los cuales se evidencian las igualdades; adicionalmente, resuelve las dudas que vayan surgiendo. Evaluación: Los instrumentos utilizados para obtener información sobre el progreso de los estudiantes, son: la observación diaria, la revisión y corrección de los ejercicios planteados en la sesión, la discusión en pequeños grupos, y producción escrita de la sesión. 86 4.2.3 Sesión No 2. Reconociendo las ecuaciones Contenidos: - Conceptual: Concepto y elementos de ecuación de primer grado con una incógnita. - Procedimental: Reconocimiento de ecuaciones de primer grado con una incógnita y de los elementos que la conforman. - Actitudinal: Apreciación del trabajo colaborativo que favorezca la interacción y el logro de metas comunes. Objetivo: Conocer el concepto de ecuación de primer grado con una incógnita, así como los elementos que la conforman. Logro: Desarrollará el concepto de ecuación de primer grado con una incógnita e identificará sus elementos. Recursos: - Guía de trabajo Sesión No. 2 (Anexo 4). - Premios simbólicos. - Colores. Metodología: El docente plantea a los estudiantes la siguiente situación: Si tengo 8 peras, ¿cuantas más necesito para llevarle a mi mamá 12 peras que me encargó? Luego se les solicita la explicación de cómo llegar a la respuesta. La idea es que los estudiantes expresen con sus propias palabras la situación planteada. Después, se les pide que escriban en el tablero la situación, usando números. Es necesario repetir el proceso varias veces con diferentes problemas. Se contextualiza a los educandos, manifestándoles que los matemáticos usan las letras minúsculas para representar los números que faltan, los que se quieren encontrar o los que se conocen; y que estas letras son también llamadas incógnitas. Se les pide que 87 expresen las situaciones anteriores mediante el uso de las mismas, cada alumno tiene la libertad de utilizar las letras minúsculas con las que más se sienta cómodo. Para concluir, el profesor aclara que estas expresiones se llaman ecuaciones y, desde allí, invita a los estudiantes al refuerzo de este concepto a través del desarrollo de las actividades propuestas en la guía Sesión No. 2 (ver Anexo 4). Evaluación: Los instrumentos utilizados para obtener información sobre el progreso de los estudiantes, son: la observación diaria, la revisión y corrección de los ejercicios planteados en la sesión, la discusión en pequeños grupos, y producción escrita de la sesión. 4.2.4 Sesión No 3. Conociendo otros caminos Contenidos: - Conceptual: Métodos de Resolución de ecuaciones. - Procedimental: Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita mediante el uso de métodos informales. - Actitudinal: Apreciación del trabajo colaborativo que favorezca la interacción y el logro de metas comunes. Objetivo: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando métodos informales y formales. Logro: Aplicará diferentes métodos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Recursos: - Espacio de aula. - Guía de trabajo Sesión No. 3 (Anexo 5) - Premios simbólicos. 88 Metodología: El docente propone algunas ecuaciones sencillas de primer grado e invita a los estudiantes a encontrar diferentes caminos para hallar su solución. Después, lleva a los educandos a descubrir algunos de los métodos informales y formales en la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, tales como: cubrir datos, resolución hacia atrás, sustitución por prueba y error, cocientes de los coeficientes, y reducción de términos. Luego, el maestro invita a los estudiantes a reunirse en grupo de tres y a solucionar las actividades propuestas en la sesión (Anexo 5), guiando su desarrollo. Evaluación: Los instrumentos utilizados para obtener información sobre el progreso de los estudiantes, son: la observación diaria, la revisión y corrección de los ejercicios planteados en la sesión, la discusión en pequeños grupos, y producción escrita de la sesión. 4.2.5 Sesión No. 4. Manipulando ecuaciones Contenidos: - Conceptual: Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita mediante el uso de propiedades de la igualdad. - Procedimental: Utilización de material concreto para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. - Actitudinal: - Agrado y comodidad por la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. - Interés por involucrar las nuevas tecnologías como herramienta de aprendizaje. Objetivo: Representar y resolver diferentes tipos de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 89 Logro: Representará y aplicará las propiedades de la igualdad para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Recursos: - 12 Rectángulos de color verde (representan incógnitas de valor positivo). - 12 Rectángulos de color rojo (representan incógnitas de valor negativo). - 12 Cuadrados de color amarillo (representan unidades positivas). - 12 Cuadrados de color rojo (representan unidades negativas). - Plataforma que distingue el primer y el segundo miembro de una ecuación, mediante una línea que representa la igualdad. Representa X Representa -X Representa 1 Representa -1 - Guía de trabajo Sesión No. 4 (Anexo 6). - Colores. - Computador y video beam. - Premios simbólicos. - Lección interactiva Álgebra Tiles, de la página: http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=216 (opcional). Ver referente de este programa en el Anexo 7. Metodología: En esta sesión el docente se apoya en un programa informático para trabajar las ecuaciones, haciendo uso de un tablero y fichas. Comienza explicando a sus estudiantes las partes del tablero y qué representan las fichas de colores; luego, dada una ecuación por el programa informático, invita a los estudiantes a representarla mediante el uso del tablero y las fichas. Este ejercicio se realiza varias veces. A continuación, se le pregunta al estudiante cómo hallaría el valor de la incógnita utilizando el tablero y las fichas; para ello, se van creando preguntas orientadoras hacia el uso del inverso aditivo. Seguidamente se propone a los estudiantes una serie de ecuaciones en donde se pide hallar su solución. Por último, el docente entrega a los 90 grupos la guía de trabajo (Ver Anexo 6), y les pide que utilicen los tableros y fichas para su desarrollo. Evaluación: Los instrumentos utilizados para obtener información sobre el progreso de los estudiantes, son: la observación diaria, la revisión y corrección de los ejercicios planteados en la sesión, la discusión en pequeños grupos, y producción escrita de la sesión. 4.2.6 Sesión No. 5. El mundo mágico de las ecuaciones Contenidos: - Conceptual: Comprobación de soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita. - Procedimental: Planteamiento de situaciones del contexto en términos de ecuaciones. - Actitudinal: - Valoración del uso e importancia de las ecuaciones de primer grado con una incógnita en la vida cotidiana. - Apreciación del trabajo colaborativo que favorezca la interacción y el logro de metas comunes. Objetivo: Comprobar la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. Logro: Resolverá y comprobará la solución de una ecuación de primer grado. Recursos: - Espacio de aula. - Guía de trabajo Sesión No. 5. (Anexo 8) - Colores. - Premios simbólicos. 91 Metodología: El docente propone una ecuación con varias posibles soluciones y solicita a los estudiantes encontrar el valor que satisface la igualdad; de tal manera que al desarrollar las operaciones ellos obtengan el mismo resultado en ambos lados de la igualdad. El maestro hace énfasis en el producto que se presenta entre la incógnita y los coeficientes, así como en la nueva forma de representar el producto. Finalmente, invita a los alumnos a desarrollar las actividades propuestas en la guía de trabajo (Ver Anexo 8). Evaluación: Los instrumentos utilizados para obtener información sobre el progreso de los estudiantes, son: la observación diaria, la revisión y corrección de los ejercicios planteados en la sesión, la discusión en pequeños grupos, y producción escrita de la sesión. 4.2.7 Sesión No. 6. Conociendo un nuevo lenguaje Contenidos: - Conceptual: Lenguaje Algebraico relacionado con las ecuaciones. - Procedimental: - Planteamiento de situaciones del contexto en términos de ecuaciones. - Traducción del lenguaje verbal al lenguaje algebraico y viceversa. Actitudinal: - Valoración del uso e importancia en la vida cotidiana de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. - Apreciación del trabajo colaborativo que favorezca la interacción y el logro de metas comunes. 92 Objetivo: Utilizar el lenguaje algebraico como herramienta fundamental para interpretar diferentes situaciones matemáticas, factibles de ser representadas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita. Logro: Identificará frases e imagen del contexto para luego representarlas por medio del lenguaje algebraico. Recursos: - Espacio de aula. - Guía de trabajo Sesión No, 6 (Anexo 9). - Premios simbólicos. Metodología: El docente plantea una situación cotidiana (ir al mercado), en la cual los estudiantes tienen que pesar frutas y verduras; adicionalmente, expresar la situación en forma verbal y luego simbólica. El profesor aprovecha este momento para introducir vocabulario técnico como: suma, incremento, producto, cociente, diferencia; la introducción de este vocabulario servirá para enriquecer la forma en que los estudiantes pueden leer una ecuación. En seguida, invita a conformar grupos de trabajo y a desarrollar las actividades propuestas en la guía (Ver Anexo 9). Evaluación: Los instrumentos utilizados para obtener información sobre el progreso de los estudiantes, son: la observación diaria, la revisión y corrección de los ejercicios planteados en la sesión, la discusión en pequeños grupos, y producción escrita de la sesión. 93 4.2.8 Sesión No. 7. Resolvamos problemas Contenidos: - Conceptual: Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita. - Procedimental: Aplicación de ecuaciones de primer grado con una incógnita a problemas cotidianos. - Actitudinal: - Valoración del uso e importancia en la vida cotidiana de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. - Apreciación del trabajo colaborativo que favorezca la interacción y el logro de metas comunes. Objetivo: Aplicar las ecuaciones de primer grado con una incógnita para resolver problemas de la vida cotidiana. Logros: Resolverán problemas del contexto utilizando las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Recursos: - Espacio de aula. - Guía de trabajo Sesión No. 7 (Anexo 10). - Premios simbólicos. Metodología: El docente propone una ecuación y pide a los estudiantes escribir un problema que mediante la solución de la ecuación se pueda resolver. Estas ecuaciones tienden a ser más complejas en la medida que se avanza. Después, se conforman los grupos de trabajo y se invita a desarrollar las actividades propuestas (Ver Anexo 10). Evaluación: Los instrumentos utilizados para obtener información sobre el 94 progreso de los estudiantes, son: la observación diaria, la revisión y corrección de los ejercicios planteados en la sesión, la discusión en pequeños grupos, y producción escrita de la sesión. 4.3 APLICACIÓN Y VALORACIÓN DE LA PROPUESTA 4.3.1 Caracterización de la población. La Unidad Didáctica se implementó en el Colegio La Palestina, sede B. Jornada Mañana. Institución de carácter oficial, ubicada en la Localidad Décima (Engativá) de la ciudad de Bogotá; la mayoría de sus estudiantes pertenecen a los estratos de clasificación socioeconómica 2 y 3, igualmente viven en los alrededores del colegio (barrios como La Palestina, Minuto de Dios, La Española y La Granja). En el Marco Institucional de su Proyecto Educativo Institucional denominado La comunicación y los valores: ejes para el desarrollo de una adecuada convivencia social y óptima relación con el desarrollo, se establece una formación de ciudadanos autónomos, responsables y participativos, que permita transformar la realidad de sus educandos. Para ello, el Colegio La Palestina considera importante que la comunidad educativa asuma la valoración del hombre bajo tres dimensiones: del ser, del saber y del hacer; apoyados en la expresión artística, investigativa y cultural. Las actividades de la propuesta se desarrollaron con 36 estudiantes del grado sexto, siguiendo la metodología planteada. 4.3.2 Valoración de los resultados. En las próximas líneas, se describen los aspectos observados más relevantes en la aplicación de la prueba piloto por cada una de las sesiones de la unidad didáctica; tomando como referencia los logros alcanzados por los estudiantes con las actividades desarrolladas. La aplicación de la prueba piloto inició, según lo previsto, el 21 de agosto del 2013, en el Colegio La Palestina, con los estudiantes de grado 601 de la Jornada Mañana. 95 4.3.2.1 Sesión No. 1. Se observó en los estudiantes interés y atención al ver en el aula recursos tecnológicos como el computador, video beam y la utilización del programa informático Ecuaciones Visuales (Anexo 3). Estas herramientas fueron de gran ayuda para el desarrollo de la sesión ya que se percibió una buena disposición por parte de los estudiantes. En el desarrollo de la sesión se generó competencia individual porque los estudiantes tenían que ser ágiles en la argumentación de sus respuestas, haciendo uso adecuado de las operaciones básicas, orden de procedimientos y relación de imágenes. Se evidenció trabajo colaborativo durante la socialización verbal del procedimiento que llevaron a cabo y hasta culminar la respuesta, integrando los aportes de varios estudiantes. En el trabajo en grupos, se observó que los estudiantes utilizaron tres formas diferentes para justificar y hallar la respuesta a los tableros: el 17 % de manera verbal, un 67% utilizando las operaciones básicas y el 16% empleó la representación algebraica. Se encontró que un 33 % de los grupos presentó dificultad para justificar las respuestas cometiendo errores en los procedimientos o en las operaciones básicas. También un 25% de los grupos no dio buen uso del signo igual (=), por ejemplo: 10x5 = 50+45 = 95 De la misma manera, se observó que aunque los grupos tenían conocimiento de los procedimientos para llegar a la respuesta, dudaban en la realización de las operaciones, haciéndolos cometer varios errores. Se consideró fundamental el seguimiento del docente en los diferentes grupos, ya que este acompañamiento no solo es necesario para que los estudiantes no se distraigan, sino también para que mantengan una motivación constante. Es relevante que en la ubicación de los grupos se deje un espacio prudente entre ellos, para que no se genere indisciplina. 4.3.2.2 Sesión No. 2. Este sesión permitió darse cuenta de la facilidad que tienen los estudiantes para encontrar la solución de la situación planteada. 96 En el momento de expresar cómo llegar a la respuesta, los educandos se tomaron su tiempo al pensar cuánto sumarle a 8 para completar 12. Existieron diferentes formas verbales de expresar la misma situación: - ¿Ocho más cuánto es 12? - ¿Cuánto hay que añadirle a 8 para que sea 12? - ¿Ocho más un número es igual a 12? - ¿Cuánto es 12 menos ocho? (Un estudiante lo expresó como una diferencia). A partir de esto fue mucho más fácil introducir el término de incógnita y de ecuación. Tanto así, que ello generó en los estudiantes otros interrogantes como: - ¿Se pueden usar las letras que uno quiera para expresar la incógnita? - ¿Cómo hago para distinguir el signo por, de la X? - ¿Se puede usar varias veces la misma letra? - ¿Una ecuación puede tener varias letras? Estas preguntas fueron muy acertadas, ya que permitieron dar mayor claridad a los conceptos descubiertos anteriormente por los estudiantes. Otro aspecto notable que se evidenció de la situación planteada, fue que en al pedirle a los estudiantes que expresaran esa situación en forma numérica en el tablero, estos escribieron ecuaciones donde representaban la incógnita con diferentes letras: utilizaron las iniciales de sus nombres o de otros aspectos que les llamaban la atención. Con respecto al desarrollo de las actividades propuestas en la sesión, en la actividad No. 1 el 58% de los grupos no presentó problemas en su solución; un 25 % de ellos confundió los elementos de la ecuación con los tipos de términos, y un 17% requirió de una breve orientación y corrección frente a la jerarquía de los términos utilizados. En la actividad No. 2 se pudo observar que un 83% de los grupos identificó los elementos de la ecuación, mientras que un 17% olvidó poner el signo de los términos; sin embargo, fácilmente completaron las columnas faltantes. 97 En la actividad No. 3 un 25% de los grupos identificó y corrigió durante el proceso los errores que cometía cuando señalaban una expresión que no era una ecuación de primer grado con una incógnita. Los grupos observaban que la ecuación tuviera el signo igual (=), que hubiese una sola incógnita, que esta se podía repetir y que el grado fuera uno. Se pudo constatar que un 58% de los grupos identificó cuándo una expresión es una ecuación de primer grado con una incógnita. Un 17% de los grupos no tuvo en cuenta todos los criterios, estos los llevó a cometer errores. La actividad No. 4 permitió consolidar el concepto de ecuación de primer grado con una incógnita teniendo en cuenta las actividades anteriormente trabajadas. En este punto, un 58% de los grupos argumentó su respuesta apoyándose en el mapa conceptual y realizó una adecuada justificación. Un 42% no tuvo claridad en la definición; de la misma manera, carecieron de conceptos y palabras técnicas que hacen parte de la definición de ecuación. 4.3.2.3 Sesión No. 3. Inicialmente llevó a los estudiantes a darse cuenta por ellos mismos que hay otros caminos para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Los alumnos expresaron que al cambiar la incógnita por un número y sumarlo con el otro, arrojaba el resultado solicitado. Además, manifestaron que si se toma el valor del segundo miembro y se le resta el valor numérico del primero, se obtiene el valor de la incógnita. Este proceso que se evidenció en los estudiantes de forma intuitiva, brindó al docente elementos para la designación de los métodos informales. En la tercera sesión se desarrollaron 5 actividades orientadas a la aplicación de los métodos informales en la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. En las actividades No. 1, 2 y 3, al utilizarse métodos informales y formales como: cubrir datos, método hacia atrás, sustitución por prueba y error, y reemplazar los coeficientes, se notó que un 50% de los grupos presentó inconvenientes para operar con números enteros; ello produjo la ocurrencia de errores en los resultados obtenidos. 98 Se observó también que el método de sustitución por prueba y error, utilizando tabla, ayudó a que los estudiantes consolidaran el producto entre la incógnita y el coeficiente que la acompaña. En los grupos se podía ver que eran ellos mismos quienes se llamaban la atención frente al olvido de los signos en los números. En la actividad No. 4 se presentó que un 42% de los grupos comete errores en el uso del inverso aditivo: expresaron en ambos lados de la igualdad el mismo número pero con diferente signo o no utilizaron el inverso. La actividad No. 5 permitió que los grupos ordenaran las respuestas de cada una de las ecuaciones anteriormente resueltas. 4.3.2.4 Sesión No. 4. Esta sesión se diseñó a partir de las dificultades observadas en la anterior (errores en la utilización del inverso aditivo). Se motivó a los estudiantes a utilizar el método de propiedades de la igualdad con ayuda de los recursos establecidos en la sesión. Se observó en ellos interés y atención al ver en el aula recursos tecnológicos como el computador, video beam y la utilización de un programa informático sobre un tablero de ecuaciones. Estas herramientas fueron de gran ayuda para el desarrollo de la sesión ya que se percibió un buen comportamiento y participación por parte de los estudiantes. En la utilización del programa informático, ellos pudieron representar, mediante cuadrados y rectángulos de colores, las ecuaciones que proponía dicho programa; esta situación se repitió varias veces y generó un mayor interés y participación. Posteriormente, al pedirles que hallaran el valor de la incógnita, se observó que utilizaron el inverso aditivo para eliminar los términos hasta encontrar el valor de la misma. En la cuarta sesión se desarrollaron 4 actividades orientadas a resolver diferentes tipos de ecuaciones de primer grado con una incógnita, mediante el método de propiedades de la igualdad; utilizando como recurso el tablero y las fichas. 99 En todas las actividades se percibió fácilmente que el 75% de los grupos empezó a utilizar adecuadamente el inverso aditivo; además, tienden a representar con gran facilidad las ecuaciones en el tablero con fichas. 4.3.2.5 Sesión No. 5. En la quinta sesión se desarrollaron 2 actividades. La actividad No. 1, generó en los estudiantes motivación e interés por encontrar los colores que le permitieran pintar los castillos y el dragón. Nuevamente, se confirma su gusto por las actividades artísticas (dibujo y aplicación del color). En la actividad No. 2, se observó que los estudiantes representaron la situación de la balanza equilibrada en forma de ecuación utilizando muy bien el concepto de igualdad. A nivel general, el desarrollo de las actividades de esta sesión tuvo una mayor disposición y gusto en los estudiantes puesto que fue notable un excelente comportamiento y unos buenos resultados en el producto final. En esta sesión se empezó a recoger los frutos de las sesiones anteriores. De otro lado, se observó que el 66% de los grupos hizo buen uso del signo igual (=), y del producto entre la incógnita y el coeficiente que la acompaña; así mismo, este porcentaje desarrolló adecuadamente las operaciones básicas. Finalmente, en las ecuaciones donde aparece la incógnita en ambos lados de la igualdad, fue interesante ver cómo un 75% de los grupos la sustituyó por un valor numérico, sin eliminarla o desconocerla. 4.3.2.6 Sesión No. 6. Se promovió el uso del lenguaje algebraico a partir de una situación cotidiana. Se detectó que el recurrir a hechos reales de los alumnos, contribuyó a la expresión de las ecuaciones en forma verbal y algebraica; además, a la expresión de la suma de varias incógnitas como un producto. En la sexta sesión se desarrollaron 2 actividades. La actividad No. 1 mostró que el 75% de los grupos no tuvo dificultad para representar la misma situación de tres formas diferentes (enunciado verbal, la balanza y la expresión simbólica). De la misma manera, 100 en la actividad No. 2 los mismos grupos no presentaron problemas para completar el algegrama. Llama la atención, con referencia al término desconocido o incógnita, que el 58% de los grupos utilizó solo la X y el 42% mezcló diferentes letras. De otra parte, se observaron errores en la escritura como: cambio de un número por otro y omisión del signo igual (=). 4.3.2.7 Sesión No 7. Abarcó la aplicación de las ecuaciones en el contexto del estudiante. En ella se evidenció la comprensión de los estudiantes en la medida que se mostraron las ecuaciones, esto facilitó la creación de diferentes problemas utilizando las ecuaciones enunciadas. En esta sesión se desarrolló una actividad compuesta por 6 problemas contextualizados. Se descubrió cómo el 33% de los grupos se apoyó en las figuras ilustrativas para deducir la ecuación. Frente a esta situación, se realiza la siguiente inferencia: las figuras ilustrativas tienden a dar más elementos para la comprensión y resolución del problema. El resolver problemas a partir de la complementación de las tablas sugeridas, implicó que el 83% de los grupos llegara a la solución del problema de una manera organizada y evidenciara la estructura lógica en su resolución. A nivel general, se observó que los estudiantes presentaron dificultad al inicio de esta sesión para formar la ecuación que representaba el problema planteado. Se vio la necesidad de que el docente direccionara la ecuación a través de preguntas orientadoras que permitieran la retroalimentación con los grupos para superar dicha dificultad. 101 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1 CONCLUSIONES Se diseñó una propuesta específica y fundamentada en las dificultades que presentan los estudiantes del grado sexto del Colegio la Palestina para resolver problemas relacionados con las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Se proponen siete sesiones con el objetivo de desarrollar los conocimientos y las habilidades necesarias al momento de aplicar métodos formales e informales para resolver problemas en diferentes contextos, dando sentido a las soluciones. Se resalta la importancia de la fundamentación teórica en la elaboración de la unidad didáctica, como una herramienta para facilitar la comprensión y articulación de los contenidos trabajados en la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. El trabajo en grupo favoreció el aprendizaje de los estudiantes, integrando sus experiencias y haciéndolos participes en el desarrollo de las actividades. En ellas se generaron varias expectativas a partir de la utilización de recursos tecnológicos, de la manipulación de material y del diseño de guías. Así mismo, generaron en los estudiantes una actitud positiva, y un mayor interés y atención en la ejecución del trabajo. 5.2 RECOMENDACIONES Es conveniente organizar en los currículos del Área de Matemáticas, la secuencia de enseñanza de las ecuaciones de primer grado con una incógnita; tomando como referencia su significado; y aplicando desde el grado cuarto hasta séptimo, secuencias didácticas que contribuyan a la comprensión del concepto de igualdad, de ecuación, y de métodos informales, hasta consolidar los métodos formales y sus aplicaciones. En propuestas futuras sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita, sería adecuado tratar de validar pruebas que sirvan para medir el estado de aprendizaje de este concepto. 102 Se considera especialmente necesario que para la construcción de actividades se parta de las ideas previas de los estudiantes, de su contexto y su aplicabilidad en situaciones cotidianas. Pues ello permite enriquecer la propuesta no solo en el aspecto motivacional, sino que genera un aprendizaje significativo que facilita la participación y el entendimiento a la hora de los estudiantes recibir instrucciones para resolver ecuaciones con sentido. Es pertinente buscar tiempo y espacio dentro del ámbito de la Educación Básica y Media, para el estudio y diseño de estrategias didácticas que permitan la identificación y superación de dificultades de aprendizaje de los estudiantes. 103 BIBLIOGRAFÍA ACEVEDO, Miriam y FALK, Mary. Recorriendo el álgebra: De la solución de ecuaciones al álgebra abstracta. SANTA FE DE BOGOTÁ: Impresores & publicistas,1997. 369 p. ÁVILA MEJÍA, Piedad Elena. Razonamiento covariacional a través de software dinámico. El caso de la variación lineal y cuadrática. Trabajo de grado. Medellín: Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2011. [En línea]. [Consultado el octubre 13 de 2013]. Disponible en: http://www.bdigital.unal.edu.co/6765/1/43480455.2012.pdf BAUTISTA, Ballén et al. Rutas matemáticas 7. Bogotá: Editorial Santillana, 2013. 176 p. BOYER, Carl. Historia de la Matemática. Versión española de Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. 808 p. CABANNE, Nora, Didáctica de la Matemática. ¿Cómo se aprende? ¿Cómo se enseña? 4° ed. Buenos Aires: Bonum, 2010. 144 p. CARRILLO NAVARRO, Francisco Armando. Algebra India. En: Apuntes de Historia de las Matemáticas. [En línea]. Enero, 2003, vol. 2, no. 1, p. 5 - 10 [Consultado el 8 de noviembre de 2012]. Disponible en: http://cipri.info/resources/HIST-2-1-1-india.pdf COLLETTE, Jean Paul. 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CONCEPTO 1. ¿Qué entiendes por ecuación de primer grado con una incógnita? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 1.1. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones de primer grado con una incógnita? XY + 5 = 8 3X – 4 = 6 Y2 = 2 2X +1 = 5 - y x+8 U+ 6 = 8 2Y +8 = 5Y – 6 6 - 8 = 10 - 12 ¿Qué aspectos tuviste en cuenta para escogerlas?________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ 1.2 Dadas las partes de la ecuación: Primer__________________________________ miembro, segundo miembro, grado de la ecuación, termino de x del segundo miembro, ______________ incógnita e igual; ubicarlas en el siguiente diagrama. __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ _____________________ * Escribe AQUÍ las ecuaciones de primer grado * 109 RESOLUCIÓN 2. Sustituye la incógnita por valores numéricos hasta encontrar la solución de la ecuación. Realiza tus operaciones en los cuadros. a. 4Y - 8 = 16 b. 3X+ 5 = 20 b. 2.1 Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de la igualdad. Realiza tus operaciones en los cuadros. a. 2X + 10 = X + 30 b. 3Z+ 6 = 18 2.2 Dada las siguientes ecuaciones, comprueba si el valor de la incógnita es su solución. Realiza tus operaciones en los cuadros a. 3X - 6 =15 ; b. 2Y + 8 = Y – 2 ; X=7 Y= -10 APLICACIÓN 3. Si 'Y' representa la edad de Juan David, escribe en lenguaje algebraico de los siguientes enunciados. a) El doble de la edad:_____ b) La edad de una persona dos años mayor:____ c) La edad de Juan David hace 10 años:______ d) El triple de la edad: _____ e) La edad de una persona cinco años más joven: ______ f) El número de meses que ha vivido Juan David:_______ 3.1 Para enviar por una empresa de transportes estas cuatro latas de atún, necesito saber su peso. Con ayuda de unas pesas consigo equilibrar la balanza como se ve en la figura. ¿Cuánto pesa cada lata? Explica cómo lo has averiguado. 3.2 Si María triplica el dinero que tiene, podría comprar un paquete de papas en la tienda escolar que cuestan $480, y le sobrarían $120 ¿Cuánto dinero tiene María? 110 111 ANEXO 2 Guía de la sesión 1 y registro fotográfico Guía de la sesión 1 COLEGIO LA PALESTINA ÁREA DE MATEMÁTICAS GUÍA SESIÓN No. 1 ACTIVIDAD 1: Resuelvan las siguientes ecuaciones visuales. Justifiquen cada respuesta. a. Determinen el valor de un objeto con la información proporcionada en los tableros Nivel fácil a) b) c) b. Determinen el valor de un objeto con la información proporcionada en los tableros Nivel medio a) b) c) 112 c. Determinen el valor de un objeto con la información proporcionada en los tableros Nivel alto a) b) c) Registro fotográfico sesión 1 113 114 ANEXO 3 Referente programa informático Ecuaciones Visuales Es una aplicación interactiva de libre uso, que se encuentra en Educaplus.org, sitio personal de Jesús Peñas Cano, profesor de Física y Química. Después de un determinado tiempo de uso es recomendable registrarse en la página para seguir utilizando la herramienta. El proyecto Educaplus.org se encuentra en línea desde 1998. Su objetivo fundamental es compartir con todos, fundamentalmente con la comunidad educativa hispanohablante, los trabajos que se han realizado para mejorar la práctica profesional docente. Ecuaciones Visuales es una herramienta interactiva de tres niveles: fácil, medio y difícil; cada nivel consta de 10 preguntas. Luego de escoger el nivel, se debe determinar el valor de un objeto con la información proporcionada en los tableros. En el ejemplo siguiente hay que encontrar el valor de un burro. A fin de resolver este problema, se usa el tablero de arriba para encontrar el valor de una bicicleta. Cuando se tenga, puede usarse esta información en el segundo tablero y determinar el valor de un burro. Después se escribe este valor en el cuadro y se oprime Comprobar para verificar si la respuesta dada es correcta; si es correcta saldrá la palabra Sí y la pestaña Comprobar cambiará por la palabra Seguir, al dar click aparecerá un nuevo tablero. Si por lo contrario, la respuesta es incorrecta, el programa le activa la pestaña Pista. Al oprimirla brinda información para la solución del problema y permite escribir nuevas posibles soluciones, tal cual se muestra en las siguientes imágenes. 115 Al mismo tiempo la pestaña cambia por Ver solución, al oprimirla se da la respuesta justificada y se activa la pestaña Seguir para continuar con otro tablero, como se muestra a continuación. Si el estudiante desea cambiar de nivel, oprime la pestaña Inicio que le permite regresar a la pantalla de los tres niveles. 116 ANEXO 4 Guía de la sesión 2 y registro fotográfico Guía de la sesión 2 COLEGIO LA PALESTINA ÁREA DE MATEMÁTICAS GUÍA SESIÓN No. 2 ACTIVIDAD 1: Complete el plano conceptual con ayuda de las siguientes palabras: 117 ACTIVIDAD 2: Complete las columnas de la tabla. 3x- 8 = 5x + 12 Primer miembro Segundo miembro Incógnita Términos dependientes Términos independientes 4y - 6 = 3 125Z = 380 125Z x -6 , 3 ACTIVIDAD 3: Ante la siguiente situación, encuentre las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Bart está en sexto grado y perdió un periodo del área de matemáticas. Su profesora le propone atravesar un laberinto para que pueda recuperar. Ayuda a Bart a cruzar este laberinto. Para ello, desplázate en líneas horizontales y verticales, nunca en diagonal, pintando el cuadro de aquellas expresiones que representan una ecuación de primer grado con una incógnita. 118 ACTIVIDAD 4: Asumiendo que la Editorial Santillana lo quiere contratar para su libro de matemáticas de grado sexto, defina el concepto de ecuación de primer grado con una incógnita Escriba el concepto en la siguiente plantilla para ser enviada a la editorial. Registro fotográfico de la sesión 2 119 ANEXO 5 Guía de la sesión 3 y registro fotográfico Guía de la sesión 3 COLEGIO LA PALESTINA ÁREA DE MATEMÁTICAS GUÍA SESIÓN No. 3 ACTIVIDAD 1: Resuelvan la ecuación Método Cubrir datos W – 12 = - 3 usando los siguientes métodos. Método Sustitución por Método Cociente de prueba y error (con los coeficientes tabla ) Encuentren el Completen el Completen la tabla y Sustituyan y operen número cubierto diagrama y hallen encuentren la solución los coeficientes de la o solución de la la solución de la de la ecuación. ecuación y hallen su ecuación. ecuación. Coloréenla. solución. W – 12 = - 3 - 12 = -3 W= Método Hacia atrás W – 12 = -3 3 +12 W= W 5 6 7 8 9 W -12 = ( )- 12= ( )- 12= ( )- 12= ( )- 12= ( )- 12= -3 -3 -3 -3 -3 -3 W - 12 =-3 1.W - 12 = 0W - 3 W= −3−(−12) 1− 0 W= W= ACTIVIDAD 2: Resuelvan la ecuación 4Y = -16 mediante los siguientes métodos. Método Cubrir datos Método Sustitución por prueba y error (con tabla ) Encuentren el Completen el Completen la tabla y número cubierto diagrama y hallen encuentren la solución o solución de la la solución de la de la ecuación. ecuación. ecuación. Coloréenla. 4 Y = - 16 4. = -16 Método Hacia atrás 4Y = -16 -16 ÷4 Y= Y= Y 0 -1 -2 -3 -4 4Y 4( )= 4( = 4( )= 4( )= 4( )= = -16 -16 -16 -16 -16 -16 Método Cociente de los coeficientes Sustituyan y operen los coeficientes de la ecuación y hallen su solución. 4Y = -16 4Y +0 = 0Y – 16 Y= Y= 120 Y= ACTIVIDAD 3: Resuelvan la ecuación 3X + 4 = 19 mediante los siguientes métodos. Método Cubrir datos Método Sustitución por prueba y error (con tabla ) Encuentren el Completen el Completen la tabla y número cubierto diagrama y hallen encuentren la solución o solución de la la solución de la de la ecuación. ecuación. ecuación. Coloréenla. 3X+ 4 = 19 3. + 4 = 19 Método Hacia atrás 3X + 4 = 19 19 -4 Y 0 -1 -2 -3 -4 ÷3 X= Y= 4Y 4( )= 4( = 4( )= 4( )= 4( )= = -16 -16 -16 -16 -16 -16 Método Cociente de los coeficientes Sustituyan y operen los coeficientes de la ecuación y hallen su solución. 3X + 4 = 19 3X + 4 = 0X + 19 x= x= x= ACTIVIDAD 4: Resuelvan las siguientes ecuaciones reduciendo términos como se muestra en el ejemplo. Ejemplo: 6x + 2 = 5x - 4 -5x = -5x ______________ x+2 = -4 -2 = -2 _____________ x = -6 a) 8y - 35 = 7y + 15 = _________________ _________________ b) 9w - 3 = 8w - 16 = ________________ ________________ Ejemplo: 2z + 5 = 21 -5 = -5 _____________ 2z = 16 /2 = /2 _____________ Z = 8 c) 6v - 16 = 20 d) 7s + 9 = 37 _____________ ________________ _____________ ________________ Actividad 5: Demuestren que son el grupo ganador, ubicando en cada escalón la solución de las ecuaciones de las actividades del 1 al 4. 121 Registro fotográfico de la sesión 3 122 ANEXO 6 Guía de la sesión 4 y registro fotográfico Guía de la sesión 4 COLEGIO LA PALESTINA ÁREA DE MATEMÁTICAS GUÍA SESIÓN No. 4 ACTIVIDAD 1: Resuelvan la ecuación x+ (-3) = -5. Representen la situación en el tablero. Expresión simbólica: X+(-3) = (-5) Quitamos tres unidades a cada miembro (poniendo fichas de color contrario). Representen la situación en el tablero. Observen el dibujo del tablero. Escríbanlo simbólicamente. Escriban la solución correspondiente. Comprueben el resultado sustituyendo el valor de x en la ecuación inicial ACTIVIDAD 2: Resuelvan la ecuación -3x = 9. Representen la ecuación en el tablero. 123 Escríbanla simbólicamente. Observen el dibujo y expliquen lo que se ha hecho. Escríbanla simbólicamente. ¿Cuánto le corresponde a cada incógnita? Escriban la solución. Comprueben el resultado sustituyendo el valor de x en la ecuación inicial. ACTIVIDAD 3: Resuelvan la ecuación 2x + 3 = -7. ¿Cómo eliminarían los cuadrados amarillos del primer miembro? Representen la ecuación en el tablero. Escriban la ecuación correspondiente. Representen la situación en el plano. Representen numéricamente lo que han hecho. ¿Cuantos cuadrados rojos le corresponde a cada rectángulo verde? Escriban la solución. Comprueben el resultado sustituyendo el valor de x en la ecuación inicial. 124 ACTIVIDAD 4: Resuelvan la ecuación 3x + 4 = 2x -7. Representen la ecuación en el tablero. Escriban la ecuación correspondiente. ¿Cómo eliminarían los rectángulos verdes del segundo miembro? Representen la situación en el plano. Representen numéricamente lo que han hecho. ¿Cómo eliminarían los cuadrados amarillos del primer miembro? Representen la situación en el plano. Representen numéricamente lo que han hecho. ¿Cuantos cuadrados rojos le corresponde a cada rectángulo verde? Escriban la solución Comprueben el resultado sustituyendo el valor de x en la ecuación inicial. 125 Registro fotográfico de la sesión 4 126 ANEXO 7 Referente programa informático Álgebra de Tiles Es una lesión interactiva que forma parte de un proyecto diseñado por el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM) y apoyado por la Verizon Foundation. NCTM sirve como un socio de contenido de Thinkfinity, la comunidad educativa de la Fundación Verizon en línea libre profesional, donde Illuminations es el principal contribuyente de los recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en los grados pre-K-12. Iluminaciones trabaja en pro de aumentar el acceso a los recursos basados en los estándares de calidad para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; incluyendo herramientas interactivas para los estudiantes y apoyo académico para los docentes. Este programa usa las fichas para representar las variables y constantes, permite enseñar cómo representar y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. En efecto, utiliza el inverso aditivo mediante la diferencia de color de las fichas y sus tamaños, permite las adiciones de inversos aditivos y promueve un camino hacia una mejor comprensión de este tema. A continuación se describe, de manera sintética y a modo de ilustración, las instrucciones para hacer uso de este programa. 1. Se elige la actividad presionando la pestaña Solve. Al presionar esta pestaña se muestra una imagen como la siguiente en la cual la línea vertical que divide el rectángulo es equivalente al signo (=). 2. Se agregan fichas. Se toman desde el banco o parte derecha inferior. Allí se indica el valor de cada ficha. Cuando esta se desplaza al espacio de trabajo, este valor se borra. Con respecto a las fichas hay botones para: - Cambiar todas las fichas en el banco o moverlas dentro del rectángulo de trabajo. - Cambiar las fichas por sus inversos. Por ejemplo: cuando se tiene una x (ficha verde), se puede conviertir en una ficha roja (– x). - Seleccionar y mover las fichas - Quitar las fichas del espacio de trabajo 127 - Remover pares inversos, donde su resultado es cero: como una ficha amarilla 1 y una ficha roja –1 - Copiar varias veces la ficha seleccionada 3. Completando un problema. Todos los problemas deben completarse en dos pasos: A. Construir el modelo: se puede verificar si las piezas están correctas en el espacio de trabajo. Después de construir el modelo del problema dado, el programa revisa su respuesta para ir al siguiente paso. Solo el tipo de ficha, la cantidad de fichas y la zona de espacio de trabajo se comprueban; no la forma en que se organizan las fichas. Es posible empezar de nuevo, vaciando el espacio de trabajo. B. Resolver el problema. Después de resolver el problema, se comprueba la respuesta. Tanto la respuesta ingresada, como el área de trabajo deben ser correctas. Si alguna o ambas son incorrectas, el sistema indicará la parte incorrecta. Se puede empezar nuevamente a solucionar el mismo problema o, ya terminada la solución y comprobada exitosamente, es factible empezar un nuevo problema. 128 ANEXO 8 Guía de la sesión 5 y registro fotográfico Guía de la sesión 5 COLEGIO LA PALESTINA ÁREA DE MATEMÁTICAS GUÍA SESIÓN No. 5 Lean el siguiente texto*: EL MUNDO DE LAS ECUACIONES Érase una vez en el mundo de las ecuaciones donde había dos reinos: el “reino de los números” y “el reino de las letras”. Los dos reinos tenían siempre el mismo valor, sino, entre los dos había guerra, cosa que aparte de los dos reinos, nadie quería. Para que los dos reinos valiesen siempre lo mismo, había un dragón controlado por el mago Merlín. La misión del Dragón era sustraer o sumar. Hubo una vez un problema: el mago Merlín enfermó y el Dragón se puso a quitar y poner valores a lo loco y los dos reinos entraron en guerra. El pánico se apoderó de todo el mundo, pero el Dragón que era bueno dijo: -“Os pondré una ecuación y si la resolvéis volveré a controlarme”. Y después dijo: -la ecuación es: 3x+2=22-2x - Enseguida todo el pueblo dijo: -“El resultado es 4”. Como el resultado era correcto el Dragón volvió a controlarse, y si a eso unimos que Merlín se curó, el pueblo quedó muy feliz y la paz volvió a reinar en el “mundo de las ecuaciones”. Así como los habitantes encontraron la solución a la ecuación del dragón, es importante la práctica en la comprobación de ecuaciones ayudando al pueblo a darle vida a su reino a través de los colores. Para ello, ustedes deberán desarrollar las actividades de esta guía. ACTIVIDAD 1: - Relacionen cada ecuación con su solución. a) 2X = 16 b) Y - 7 = 10 c) 36W = 72 d) 14+X= 26 e) 3Z+5 = 23 f) 2W-7 = 11 g) 2Y- 3 = Y+2 h) Z- 8 = -9 * Tomado del Blogspot Matecuentos. Ver bibliografía. 129 Soluciones de las anteriores ecuaciones: Verde = 6 Rojo = 2 Azul Oscuro = 8 Café = 9 Morado = -1 Naranja = 5 Amarillo = 12 Azul claro = 17 - Comprueben la solución de cada ecuación. Utilicen el color sugerido para decorar el dibujo. ACTIVIDAD 2: Contesten la siguiente pregunta: Si cada reino estuviera representado por un lado de las siguientes balanzas, ¿Cuánto debe ser el valor de la incógnita para que se mantenga la balanza en equilibrio y haya paz entre los reinos? a) ¿Cuánto pesa x? ____ c) ¿Cuánto pesa w? ____ b) ¿Cuánto pesa Y? ____ d) ¿Cuánto pesa S? _____ 130 Registro fotográfico de la sesión 5 131 ANEXO 9 Guía de la sesión 6 y registro fotográfico Guía de la sesión 6 COLEGIO LA PALESTINA ÁREA DE MATEMÁTICAS GUÍA SESIÓN No.6 ACTIVIDAD 1: Completen la siguiente tabla: ENUNCIADO VERBAL 1. Dos manzanas pesan 80 gr. BALANZA Llamando con la letra x el peso de la manzana, expresen la situación indicada X+X = 80. 2.Expliquen aquí la situación reflejada en el dibujo. 3. Un racimo de uvas, más 20 gr. pesa 200 gr. EXPRESIÓN SIMBÓLICA Llamando con la letra y el peso de una pera, expresen la situación indicada. Dibuja la situación indicada 4. Llamando con la letra z el peso de un racimo de uvas, expresen la situación indicada. Llamando con la letra w el peso de un banano, expresen la situación indicada W+W+40 gr. = 180 gr. 5. Inventa una situación semejante a las anteriores. 132 ACTIVIDAD 2: Resuelvan el siguiente ALGEGRAMA escribiendo en cada casilla un digito, una operación, una incógnita; según se requiera. a b c d e f g h i j k a. * Un número cualquiera. * El triple de un número. * El triple de un número más siete. * El cuádruple de un número. b. * El triple de un número más ocho. * La diferencia de un número y cuatro. * Un número más nueve. c. * El doble de un número más el triple del mismo. * El doble de un número. * Un numero menos siete d. * El quíntuple de un número * El triple de un número, más cinco, menos seis. * El séxtuple de un número. e. * El séxtuple de un número más veinte. * 9 es igual a cierto número más tres. f. * Tres veces un número es igual al doble del mismo menos 6. * Un número es igual a menos cuatro. 133 g. * El doble de un número es seis. * Un número es igual a menos seis. * Un numero menos dos. h. * Cinco veces un número es igual al doble del mismo más tres. * Dos veces un número es igual a seis. i. * Siete veces un número. * Un número es igual a nueve * Dos veces un número es igual a ocho. j. * Un número es igual a siete. * Seis veces un número es igual al doble del mismo más cuatro. k. * Un número cualquiera más cinco. * Un número es igual a seis veces el mismo menos tres Registro fotográfico de la sesión 6 134 ANEXO 10 Guía de la sesión 7 y registro fotográfico Guía de la sesión 7 COLEGIO LA PALESTINA ÁREA DE MATEMÁTICAS GUÍA SESIÓN No. 7 ACTIVIDAD 1: Resuelvan los siguientes problemas planteando la ecuación, su resolución y comprobación. a. Tablero A la izquierda de este tablero está Daniel, un estudiante de sexto grado con cuatro tazos. A la derecha está su compañero Camilo con 3 tazos. Daniel tiene $350 y Camilo $650. La suma del dinero, más el valor de los tazos de la izquierda, es igual a la suma del dinero y el valor de los tazos de la derecha. Escriban la ecuación que representa la situación, y calculen el valor de un tazo teniendo en cuenta que todos los tazos valen lo mismo. b. Para ganar una prueba final en el Desafío África El Origen, dos participantes deben calcular el peso de un escudo de una balanza en equilibrio, como se muestra en la figura. Los escudos de esta balanza en equilibrio pesan todos lo mismo. ¿Qué ecuación debe formar el participante ganador? y ¿cuál es el peso de un escudo? 135 c. Todos los Transmilenios son iguales. El lado izquierdo mide lo mismo que el derecho, como se muestra en la siguiente figura. Expresen esta situación mediante una ecuación y calculen cuánto mide de largo un Transmilenio. d. En la película Monsters University el número de niños que asustó James Sullivan es el doble de niños que asustó Mike Wazowski, disminuido en cinco. Si James Sullivan asustó 7 niños, ¿cuántos niños asustó Mike Wazowski? Completen la siguiente tabla desconocida con la letra x. Número de asustados niños y respondan la pregunta. Niños asustados por Mike Wazowski Representen la cantidad Niños asustados por James Sullivan x 2 4 6 8 e. El papá de Miguel sale de vacaciones para Girardot con su familia. El tío más joven de Miguel decide también ir con su carro. Si la velocidad del carro del tío es el triple de la del carro del papá, disminuida en 70 k/h, y la velocidad del tío es de 80km/h, ¿qué velocidad lleva el carro papá? Completen la siguiente tabla y respondan la pregunta. Representen la cantidad desconocida con la letra v. 136 Velocidad del carro del papá Velocidad del carro del tío Velocidades (k/h) v 30 40 50 60 f. En un Grado Sexto se realizó un concurso de matemática, para lo cual se publicaron las siguientes pistas en la cartelera del colegio, durante cuatro días: Pista # 1: Luis tenía para sus gastos $2600 Pista # 2: No se sabe cuánto Luis gastó en la cooperativa del colegio. Pista # 3: Sí se sabe que Luis gastó en un cuaderno el doble de lo gastado en la cooperativa. Pista # 4: Por último, a Luis le quedaron de sus gastos $500 Forma una ecuación con las pistas dadas y descubre cuánto gastó Luis en la cooperativa del colegio. Registro fotográfico de la sesión 7 137 138
