Preliminares

Preliminares sobre Funciones Reales de Una Variable Real
1
Números
Si preguntamos a la gente de la calle qué son las Matemáticas, la mayorı́a nos dirı́a que se trata de
la ciencia que estudia los números. Esta respuesta es lógica ya que, durante los primeros años de
nuestra educación, siempre hemos percibido a las matemáticas como una asignatura en que se nos
enseña a hacer cuentas. En realidad, los números son sólo los ladrillos básicos con los que se hacen
las matemáticas, pero no son exclusivamente el objeto de su estudio. Un matemático nos dirı́a que
en las matemáticas se estudian las estructuras abstractas. La realidad es que la mayorı́a de tales
estructuras están compuestas o se relacionan con los números (por ejemplo, una recta es un conjunto
de números que en el plano o en el espacio lo vemos como un objeto geométrico, pero en dimensiones
superiores se pierde esa representación).
Lo que sı́ podemos afirmar es que hablar de números es referirse a cosas concretas, que pueden
simbolizarse fácilmente. Esta es la razón por la que a los niños se les enseñan los números antes que
las letras. Ciertamente es difı́cil asociar a la letra a algo que le dé significado, por contra la referencia
a 1 objeto es fácilmente asimilable por la mente del niño.
No vamos a definirlos formalmente por ahora, sino sólo recordar en qué consisten.
Números naturales
Se trata del conjunto de números que apreciamos con los sentidos (nadie sin práctica distingue si
hay 1,23 o 1,47 litros de agua en un recipiente), que con mayor frecuencia aparecen fuera del contexto
de las matemáticas y las ciencias en general. Aunque la llegada del euro nos ha obligado a ampliar el
conjunto de números con el que convivimos, no solemos referirnos de forma coloquial a los decimales
(tal cosa cuesta sobre 2 euros aunque sea 1,87).
El conjunto de números naturales viene dado por
N = f1, 2, 3, 4, ...g.
Incluir el 0 o no es un tema que no tiene mayor transcendencia, nosotros preferimos seguir la referencia
histórica de no incluirlo ya que hasta las fracciones de naturales fue considerada antes del propio
valor cero.
En N está definidas dos operaciones: la suma y la multiplicación. Decimos están definidas en
para referirnos a que el resultado de una suma o multiplicación de naturales sigue siendo un número
natural. Para poder restar, base fundamental de muchas de nuestras actividades cotidiana, como
por ejemplo las comerciales , este conjunto de números es insuficiente.
Números enteros
Los números enteros es el conjunto formado por los números naturales, sus valores negativos y el
1
cero
Z = f.., ¡4, ¡3, ¡2, ¡1, 0, 1, 2, 3, 4, ...g.
Claramente N ½ Z y ası́ los naturales también son reconocidos como los enteros positivos.
En Z está definida la suma y la multiplicación, y como cada elemento n tiene su opuesto ¡n en
el conjunto, entonces podemos definir la resta como la suma con el opuesto. No obstante, la división
no está definida en Z, otra operación fundamental en las aplicaciones y actividades diarias, y por
tanto no siempre podemos resolver la ecuación
ax = b
para todo a y b en Z.
Problema: ¿Para qué valores de a y b existen solución de esta ecuación en Z?
Números racionales
Los números racionales son cocientes de dos números enteros y son comúnmente conocidos como
fracciones o quebrados. Su definición rigurosa es
Q=f
p
: p, q 2 Z, q 6
= 0g.
q
Trivialmente se tiene que Z ½ Q, ya que podemos escribir n = n1 para todo n 2 Z.
Hay que destacar que un mismo número racional puede ser escrito de muchas formas distintas:
2
= 46 = .... Obviamente la segunda expresión nos darı́a la primera por simplificación de factores
3
comunes en el numerador y denominador, y cuando esta operación no es posible decimos que la
fracción es irreducible. Otra representación que admite un números racional es la decimal, donde
podemos encontrar exclusivamente un número finito de decimales ( 32 = 1, 5), o bien infinitos decimales
b = 0, 181818....
3 = 0, 333..., 13
= 0, 18
en forma periódica ( 13 = 0, b
11
En Q están definidas la suma y la multiplicación, teniéndose además que todo elemento distinto
del cero tiene inverso para esta última operación, esto es, para todo a 2 Q con a 6
= 0 se tiene que
existe 1/a 2 Q.
Observación: El cero no tiene inverso, luego no se puede dividir entre cero. Se suele utilizar la
notación
1
=1
0
donde el sı́mbolo 1 se lee como infinito pero no representa ningún número. Para dar sentido a esta
igualdad es necesario desarrollar el concepto de lı́mite.
Este mismo concepto es el que ayudará a entender la identidad a0 = 1 para cualquier a 2 Z con
a6
= 0.
Números reales
La medición de determinadas magnitudes llevaron a conjeturar que los números racionales no
eran suficientes para describir toda la naturaleza, ¿podrı́as dar algún ejemplo?.
2
La definición rigurosa de los números reales será el objetivo del primer tema de la asignatura
Análisis Matemático I, no obstante podemos dar una idea intuitiva: el conjunto de números reales
R lo constituyen los números con infinitos decimales. Los números reales que no son racionales
p
se denominan irracionales y algunos ejemplos son 2 = 1.414213562..., π = 3.141592654..., e =
2.718281828..., etc.
Los números reales suelen representarse como la recta: la recta real, estableciéndose una correspondencia exacta entre números reales y puntos de la recta.
Los números reales permiten dar respuesta a ecuaciones de la forma
x2 = a
donde a > 0. No obstante, si a < 0 no podemos encontrar solución. Esto nos lleva a tener que definir
otro conjunto de números más grande.
Números complejos
Los números complejos constituyen el conjunto de números más grande que se suele emplear en
la práctica totalidad de las matemáticas.
Los números imaginarios. La raı́z cuadrada de -1 no es un número real, esto es, no existe x 2 R
tal que x2 = ¡1. Por ellos definimos a este valor como la unidad imaginaria y la denotamos por i.
Se sigue entonces el convenio de que
i2 = ¡1.
p
A todo múltiplo bi de esta unidad imaginaria (¡3i, 2i,...) se le denomina número imaginario puro.
La representación gráfica de estos números se realiza en el plano cartesiano asignándoles los valores
del eje OY.
Los números complejos. Un número complejo es la suma de un número real y un número
imaginario puro y al conjunto de tales números lo definimos de la siguiente forma
C = fa + bi : a, b 2 Rg.
La representación gráfica de estos números se realiza en el plano que se denomina plano complejo.
3
Las operaciones sobre números complejos sigue las reglas conocidas para números reales teniendo
siempre presente la identidad i2 = ¡1. En particular, sean a + bi y c + di dos números complejos,
entonces las operaciones básicas son:
Suma de complejos: (a + bi) + (c + di)=(a + b) + (c + d)i
Producto de complejos: (a + bi) ¢ (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac ¡ bd) + (ad + bc)i
Caso particular de interés: (a + bi) ¢ (a ¡ bi) = a2 ¡ b2
Cociente de complejos:
(a + bi)(c ¡ di)
(ac + bd) + (¡ad + bc)i
(ac + bd) bc ¡ ad
(a + bi)
=
=
= 2
+ 2
i
2
2
(c + di)
(c + di)(c ¡ di)
c ¡d
c ¡ d2
c ¡ d2
Inverso de un complejo:
2
1
(a+bi)
=
a
a2 −b2
¡
b
i
a2 −b2
Generalidades sobre funciones
Pretendemos en esta sección repasar de forma breve los conceptos básicos sobre funciones reales de
variable real.
Definición 2.1 Una función es una regla cualquiera que hace corresponder a un número real otro
único número real de un cierto conjunto.
Si denotamos por f a la función, f (x) representa el valor de f en el punto x. La gráfica de la
función es el conjunto de puntos del plano f(x, f (x))g.
⎧
⎨ ¡1 si x < 0
p
0
si x = 0 , f3 (x) = x
Ejemplo 1: f1 (x) = 5x + 7, f2 (x) =
⎩
1
si x > 0
Fijarse que cada función asigna a cada x un único valor, pero f3 sólo está definida para x > 0.
Veamos a continuación una serie de elementos caracterı́sticos de las funciones ası́ como algunas
de las propiedades más importantes.
4
² Se denomina dominio de la función f , y lo denotamos por Dom(f ), al conjunto de números
reales para los que está definida la función f , esto es, aquellos x 2 R para los que f (x) existe.
Se denomina imagen de la función f , y lo denotamos por Im(f ), al conjunto de valores
reales que toma la función al evaluarse en su dominio, esto es, y 2 Im(f ) si existe x 2 Dom(f )
tal que y = f (x).
Se tiene entonces que la función f aplica Dom(f ) en Im(f ) y lo denotamos
f : Dom(f ) ! Im(f )
x
! f (x)
7
Ejercicio: Determina el dominio y la imagen de las funciones del Ejemplo 1.
Dom(f1 ) = R, Im(f1 ) = R;
² Una función f se dice que es inyectiva si la igualdad f (x1 ) = f (x2 ) implica que x1 = x2 .
= x2 se tiene que
Esta condición puede ser también escrita como que para cualesquiera x1 6
f (x1 ) 6
= f (x2 ).
Gráficamente significa que la gráfica de f pasa una vez, y sólo una, por cada valor de su imagen.
Esto se puede visualizar como que la gráfica de f corta sólo una vez a cada recta horizontal.
Ejercicio: Determinar qué funciones del Ejemplo 1 son inyectivas.
² Una función f se dice que es sobreyectiva si Im(f ) = R.
Toda función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice que es biyectiva.
Ejercicio: Determinar qué funciones del Ejemplo 1 son sobreyectivas.
² Un función f se dice que es periódica de periodo k si f (x+k) = f (x) para todo x 2 Dom(f ).
Ejemplo 2: f (x) = sen x y g(x) = cos x son funciones periódicas de periodo 2π.
5
² Una función f se dice que es par si f (x) = f (¡x). Esta condición gráficamente significa que
la gráfica de f es simétrica con respecto al eje OY, esto es, si doblamos el plano por el eje OY
haremos coincidir los dos lados en que queda dividida la gráfica de f por este eje.
Una función f se dice que es impar si f (¡x) = ¡f (x). Esta condición gráficamente significa
que la gráfica de f es simétrica con respecto al origen, esto es, si doblamos el plano primero
por un eje cartesiano y después respecto al otro, entonces coinciden las dos ramas de la gráfica
de f delimitadas por el eje OY.
Ejercicio: Completar la gráfica siguiente de forma que se obtenga una función: a) par y
periódica; b) impar y periódica.
¿Tienen estas extensiones el mismo periodo?
6
² Un función f se dice que es monótona creciente (decreciente) si para x1 · x2 se tiene
f (x1 ) · f (x2 ) ( f (x1 ) ¸ f (x2 )).
3
Funciones elementales
3.1
Funciones polinómicas y racionales
Se denominan funciones polinómicas aquéllas que vienen dadas por polinomios. Su expresión general
es
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0 (an 6
= 0)
El mayor exponente n se denomina grado del polinomio.
Si x verifica que f (x) = 0 se dice que x es una raı́z del polinomio y gráficamente son fácilmente
reconocibles porque son exactamente donde ésta corta al eje OX. Las raı́ces de un polinomio son fáciles
de calcular para polinomios de grado 1 y 2. Para polinomios de grado superior, bien su expresión es
muy complicada (grado 3) o bien no es posible dar una fórmula explı́cita de todas ella (para grado
mayor que 5).
Las gráficas más familiares para nosotros son las de los polinomios de grado 1 y 2.
² f (x) = ax + b. Su gráfica es una recta. Tiene una única raı́z en el punto x = ¡b/a, lo que nos
da un punto por donde pasa su gráfica, el (¡b/a, 0). Para representarla completamente basta
tener las coordenadas de otro punto por el que pase, uno sencillo de obtener es el de corte con
el eje OY, el (0, b).
² f (x) = ax2 + bx + c. Su gráfica se suele llamar parábola. Sus raı́ces son bien conocidas:
x1 =
¡b +
p
p
¡b ¡ b2 ¡ 4ac
b2 ¡ 4ac
, x2 =
.
2a
2a
7
Estos puntos de corte con los ejes hacen su gráfica simétrica a la recta que pasa por el punto
medio de estas dos raı́ces, es su vértice y tiene por coordenada
x=
x1 + x2
b
=¡ .
2
2a
El punto de corte con el eje OY es (0, c). Por último, para poder perfilar su gráfica resta
comentar que si a > 0 entonces tiene sus ramas hacia arriba, y si a < 0 las tiene hacia abajo.
Las funciones definidas por cocientes de polinomios se denominan funciones racionales
an xn + an−1 xn−1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0
f (x) =
bm xm + bm−1 xm−1 + ¢ ¢ ¢ + b1 x + b0
Su gráfica es más complicada. Se anula en las raı́ces del denominador y explota a §1 presentando
ası́ntotas verticales en las raı́ces del denominador
3.2
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas básicas son bien conocidas y son las asociadas a las razones trigonométricas
de un ángulo. Las tres funciones fundamentales y sus principales propiedades son:
8
² Función seno y = sen x. Es una función definida en todo R, su imagen es el intervalo [¡1, 1],
es impar y de periodo 2π. Su gráfica es
² Función coseno y = cos x. Es una función definida en todo R, su imagen es el intervalo
[¡1, 1], es par y de periodo 2π. Su gráfica es
² Función tangente y = tg(x). Viene dada por el cociente y = tg(x) = sen x/ cos x. Por tanto
se anula en los puntos donde se anula la función seno, x = kπ, y no está definida, en particular
+
explota a ¡ 1, en los puntos donde se anula la función coseno, x = π/2 + 2kπ. Su imagen es
todo R, es impar y de periodo π. Su gráfica es
A partir de estas funciones se definen también la cosecante, la secante y la cotangente:
cosec(x) =
1
1
1
, sec(x) =
, ctg(x) =
.
sen x
cos x
tg(x)
9
3.3
Función exponencial
Dado a > 0, a 6
= 1. La función exponencial viene dada por
f (x) = ax .
Esta función es positiva para todo x y para cualquier valor de a se tiene que f (0) = 1. Según sea
a > 1 o a < 1 tienen gráficas caracterı́sticas
Observar que a−x = (1/a)x , por lo que en las dos gráficas anteriores hemos presentado el prototipo
de función exponencial, con exponente positivo o negativo.
Por último, comentar que el caso más conocido es para el valor a = e = 2.718281828....
3.4
Función logaritmo
Dado a > 0, a 6
= 1, decimos que el valor y es el logaritmo de x en base a si x = ay y lo escribimos
y = loga x.
Como por definición se verifica que x = loga ax , entonces tenemos que la función f (x) = loga x es
la inversa de la función exponencial g(x) = ax , esto es, f (g(x)) = loga ax = x.
La función logaritmo en base a, f (x) = loga x, presenta las siguientes propiedades fundamentales:
- Está definida sólo para x > 0, esto es, Dom(f ) = (0, +1).
- No está definida en el origen pero presenta los siguientes comportamientos asintóticos:
f (x) ¡! ¡1 cuando x ! 0 si a > 1
f (x) ¡! +1 cuando x ! 0 si a < 1
- Este comportamiento tan simétrico según sea a > 1 o a < 1 es general en base a la relación:
log1/a x = ¡ loga x.
Sus gráficas son:
10
- Observar la propiedad de las gráficas del logaritmo y su correspondiente inversa, la exponencial:
Son simétricas con respecto a la recta y = x. Esta propiedad es común a todas las funciones y
su inversa.
- Las bases más usuales son a = 10, que se denota como y = log x, y a = e que define el logaritmo
neperiano y = loge x = ln x.
PROBLEMAS
1. A que conjunto de números más pequeño pertenece
p
p
2, π, ¡ 62 , ¡2, 0, 2e , π + 2i, 2 ¡ 3i, minf3, πg.
p
2. Encuentra el inverso y el opuesto del número 2.
11
3. Encuentra un número racional y otro irracional en el intervalo [4,5).
4. Dados z1 = 1 + 2i y z2 = 2 ¡ 3i. Calcular z1 + z2 , z1 ¡ z2 , z1 .z2 ,
5. Dado z = 1 + i, calcular
z1
z2
1
.
z
6. Halla el dominio y la imagen de f (x) = x2 ¡ 4x + 5
7. Halla el dominio de f (x) =
y donde es negativa.
8. Halla el dominio de f (x) =
(x ¡ 1)(x + 3)
¿Pertenece el 0 a la imagen? Indica donde es positiva
(x ¡ 2)(x + 2)
p
1 ¡ x2 y estudia su simetrı́a.
9. Estudia el dominio, la imagen y las simetrı́as de f (x) = sen2 x. ¿Es periódica? En caso
afirmativo halla su periodo mı́nimo.
10. Un estudiante va de su casa a la Universidad en cuatro ocasiones. Las gráficas siguientes
representan, para cada caso, la distancia a su casa en el instante t.
a) Indicar la gráfica que corresponde a la siguiente descripción del comportamiento del estudiante: Sale de casa rápido, al rato se da cuenta de que no lleva los libros que necesita, vuelve a
su casa, recoge los libros y se marcha rápidamente para llegar a clase.
b) Describir de forma análoga lo que se interpreta del comportamiento del estudiante en las
restantes gráficas.
IMPORTANTE: La rapidez en como hace el recorrido es un elemento importante que las
diferencia.
12