Complemento 1 Clase 1 2 Clase 2

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er Semestre de 2013
Semana 6: Lunes 15 – Viernes 19 de Abril
Complemento
Contenidos
• Clase 1: Clase de consultas.
• Clase 2: Funciones exponencial y logaritmo, propiedades algebraicas y cualitativas,
fórmula de crecimiento exponencial.
1
Clase 1
1.1
Clase de consultas
• Esta clase se ha de destinar para responder dudas a los estudiantes
2
Clase 2
2.1
Aprendizajes esperados
• Reconoce las funciones exponenciales y logarı́tmicas, sus propiedades básicas y gráficas relacionadas.
• Relaciona exponenciales y logaritmos como funciones inversas.
• Identifica notación especial ln x y log x.
• Plantea y resuelve problemas de aplicación relacionados a funciones logarı́tmicas y exponenciales (Enfriamiento
de cuerpos, crecimiento, interés, etc.)
• Resuelve ecuaciones exponenciales y logarı́tmicas.
2.2
Función Exponencial.
Sea a > 0, con a 6= 1. La función f : R → R+ : x 7→ f (x) = ax es llamada función exponencial de base a.
Observación 2.1. Puede observar que ax =sup{ar : r ≤ x, r ∈ Q} lo que permite definir la función exponencial.
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1
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Departamento de Matemática
2.2.1
Algunas propiedades de la función exponencial
• Si f (x) = ax , a > 1
• Si g(x) = ax , 0 < a < 1
1. f (x) > 0, para toda x ∈ R.
1. g(x) > 0, para toda x ∈ R.
2. f (0) = 1.
2. g(0) = 1.
3. f (1) = a.
3. g(1) = a.
4. f es biyectiva.
4. g es biyectiva.
5. f es creciente en todo su dominio.
5. g es decreciente en todo su dominio.
x
6. Si x tiende a +∞ entonces ax tiende a 0.
6. Si x tiende a +∞ entonces a tiende a
+∞.
7. Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a
+∞.
x
7. Si x tiende a −∞ entonces a tiende a 0.
2.3
Función Logaritmo.
Observación 2.2. Si bien una manera más precisa de introducir los logaritmos y estudiar sus propiedades cualitativas es por medio de integrales, existen maneras heurı́sticas que sólo precisan los contenidos hasta aquı́ revisados.
Sea a > 0, con a 6= 1. La función f : R+ → R : x 7→ f (x) = loga x es llamada función logaritmo de base a y
es la función inversa de ax , es decir:
y = ax ⇔ loga y = x
2.3.1
Algunas propiedades de la función logaritmo
• Si g(x) = loga x, 0 < a < 1
• Si f (x) = loga x, a > 1
1. loga 1 = 0, pues a0 = 1.
1. loga 1 = 0, pues a0 = 1.
2. loga a = 1, pues a1 = a.
2. loga = 1, pues a1 = a.
3. f es biyectiva.
3. g es biyectiva.
4. f es creciente en todo su dominio.
4. g es decreciente en todo su dominio.
5. Si x tiende a +∞ entonces loga x tiende a
+∞.
5. Si x tiende a +∞ entonces loga x tiende a
−∞.
6. Si x tiende a 0 tomando valores positivos,
entonces loga x tiende a −∞.
6. Si x tiende a 0 tomando valores positivos
entonces loga x tiende a +∞.
3
ax
2
1
loga (x)
−2
−1
0
1
2
3
−1
−2
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2.3.2
Propiedades generales de las funciones exponencial y logaritmo.
• Función exponencial de base a
• Función logaritmo en base a
1. loga (xy) = loga x + loga y
x
2. loga
= loga x − loga y
y
1. ax ay = ax+y
ax
2. y = ax−y
a
3. (ax )y = axy
4. a
2.3.3
loga x
3. loga (x)y = y loga x
=x
4. loga ax = x
logb x
5. loga x =
logb a
Bases 10 y e
Las bases para la función logaritmo mas usuales de encontrar son a = 10, y a = e, con 2 < e < 3. Reciben entonces
los nombres presentados a continuación.
• Logaritmo decimal (a = 10)
y = log10 x = log x
• Logaritmo natural (a = e)
y = loge x = ln x
En ambos casos, se presentan tanto las propiedades generales como las descritas anteriormente para a > 1.
Ejercicios Propuestos
• Encontrar el valor de x para que la igualdad sea verdadera
•
•
log6x−17 (x2 − 9) = 1
log2 (x2 − 5) = 2
Respuesta: S = {4}
Respuesta: S = {−3, 3}
• Considere las funciones definidas por
– h(x) = log2 (x + 2)
– f (x) = ln(−x + 3)
– m(x) = 3x + 1
Determine su máximo dominio real y bosqueje las gráficas respectivas.
• Verificar que
3x 2 2 ·x 5
3
– log2 √
= 3x + 2 · log5 − − x5
2
8 · 2x5
• Resolver las siguientes ecuaciones, aplicando las propiedades descritas anteriormente
•
•
•
ln[(x + 3)(x + 5)] = ln 15
ln(x2 − 3x + 2) = ln(x2 − 5x + 5), Solution is:
9 · 32x − 15 · 3x − 6 = 0
3
2
Respuesta: S = {−8, 0}
Respuesta: S = ∅
Respuesta: S = {log3 2}
• Verifique que
– log12 2 + log12 6 = 1
• Resuelva:
– 1 < log3 x2 < 2
√
√
Respuesta: ] − 3, − 3[∪] 3, 3[
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2.3.4
Aplicaciones
Las funciones exponenciales y logarı́tmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar situaciones de la vida real.
Algunas de estas situaciones son: El crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una
ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, interés bancario, etc.
• Modelo de crecimiento(k > 0) y decrecimiento(k < 0).
A(t) = A0 ekt
• Ley de enfriamiento de Newton.
u(t) = T + (u0 − T )ekt , k < 0
• Modelo logı́stico de crecimiento.
P (t) =
c
1 + ae−bt
Ejercicios propuestos
• Calcule la vida media del radio si éste decae exponencialmente con una constante de k = −0.0004188.
• Un pollo que tiene una temperatura de 40◦ F es movido a un horno cuya temperatura es de 350◦ F. Después
de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170◦ F. Si el pollo está listo para comer cuando su temperatura
llegue a 185◦ F, calcule el tiempo que tomará cocinarlo.
• La población de cierta isla se puede modelar en función del tiempo como
f (t) =
35000
1 + 4 · 3−(0,1)t
en que porcentaje varı́a la población entre t = 5 y t = 10.
• Cierto cultivo de bacterias tiene una tasa de crecimiento poblacional exponencial. Si inicialmente hay 1000
bacterias y la cantidad se duplica en 5 minutos ¿Cuánto hay que esperar antes de tener 1000000 de bacterias?.
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