Doc estado del arte

Estado el arte sobre control de caos en un
sistema de orden superior
Efrain Garcia Quiroga
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Colombia
[email protected]
Resumen – La mayoría de los sistemas reales,
no poseen una dinámica lineal, si no en cambio todos los
sistemas poseen una dinámica dependiente de
parámetros cambiantes, que alteran en algunos casos su
respuesta infinitesimalmente o en casos específicos su
respuesta en gran proporción, estos sistemas cuyos
pequeños cambios en su entrada generan grandes
cambios a la salida, se consideran sensibles a sus
condiciones iniciales, y en dados casos donde esta salida
posee un comportamiento aperiódico y una variación
impredecible de su amplitud entre unos rangos, se
considera un sistema caótico.
ende más eficientes y efectivos, dejando como resultados
sistemas muy estables capaces de prever cualquier
inconveniente ajeno a la máquina que pudiesen alterar su
normal funcionamiento.
Entonces el control de sistemas caóticos viene a representar
un área específica en el campo de control muy importante.
II. DESARROLLO
El desarrollo del artículo estará dividido en:
A. Definición de un sistema caótico.
B. Sistemas caóticos existentes, parámetros
características.
C. Estrategias de análisis de sistemas caóticos.
D. Metodologías de control de sistemas caóticos.
El estudio de los sistemas caóticos es un área de gran
importancia, ya que nos permite analizar de forma
precisa ciertos sistemas tales como el clima, el
crecimiento poblacional, el comportamiento del cerebro
etc…,para poder comprenderlos y a su vez poder
controlarlos.
y
A. Definición de un sistema caótico.
En este documento se realizara un análisis donde se
mostraran, algunos sistemas caóticos existentes, sus
características, sus parámetros de oscilación caótica y su
comportamiento, al igual que diversos métodos de
análisis y control utilizados en este campo.
Un sistema caótico es aquel sistema dinámico que
es sensible a sus condiciones iniciales, es transitivo y su
comportamiento debe formar un conjunto denso de orbitas
periódicas en una región compacta del espacio básico
llamado atractor caótico, además de que su comportamiento
sea posible conocerlo, modelarlo pero no predecirlo.[1][2]
Palabras clave: sistema caótico, control caótico.
Gran parte de estos sistemas son estudiados como sistemas
dinámicos no caóticos, pero sus aproximaciones o estudios
solo son válidos para cortos periodos de tiempo, entre los
sistemas caóticos más comunes se encuentran el sistema
planetario, el clima, el comportamiento de las partículas
subatómicas, el comportamiento del cerebro, entre otros.
I. INTRODUCCIÓN
Para trabajo en control y telecomunicaciones es
muy familiar la palabra caos, y control de caos determinista,
sin dar paso a explicaciones muy densas, puesto que la
teoría del caos y predicción de sistemas reúne un trabajo
desde cuando el hombre trataba de entender los cambios
climáticos o las oscilaciones planetarias cuando apenas se
aventuraba a descubrir el mundo que lo rodea, hoy en día en
los últimos años se ha querido llevar las palabras control y
caos a el modelado y representación de sistemas de diversa
naturaleza como por ejemplo movimientos oscilatorios
mecánicos, inducción de ruidos a señales de
telecomunicaciones, compatibilidad electromagnética de
sistemas de precisión, comunicación segura y encriptación.
B. Sistemas caóticos
características.
existentes,
parámetros
y
A continuación se mostraran los sistemas más
utilizados y representativos estudiados en el campo:
a)
Se encuentran sistemas ligados a maquinas eléctricas o
electrónicas en las que se inducen ruido o perturbaciones
que alteran el funcionamiento de estos, o por el contrario en
donde una inducción caótica controlada a un sistema,
permite mejorar y desarrollar técnicas para sistemas de
control mucho más avanzados, de mayor seguridad y por
Sistema caótico de Duffing.
Posee un comportamiento dado por la ecuación
diferencial de segundo orden (1) cuyos parámetros de
oscilación están dados por p1 = 2.75 y p2 = 0.2 la ecuación
modela el movimiento de un oscilador amortiguado más
complicado que en un movimiento armónico
simples.[3][4][5][6] Este sistema de considera no autónomo
1
ya que es dependiente de una excitación externa para su
oscilación.
𝑋̈ + 𝑝1 𝑋̇ + 𝑝2 𝑋 + 𝑋 3 = 𝑞 ∗ cos⁡(𝑤𝑡)
(1)
El atractor generado por la función en su régimen caótico se
muestra en la Figura 1.
Figura 3.Atractor de Chua.
d) Sistema caótico de Rossler.
Sistema desarrollado por Otto Rossler el cual posee una
dinámica dada por la ecuación diferencial (4) cuyos
parámetros son a = 0.2 b= 0.3 c= 5.7. El sistema es
autónomo ya que no posee una excitación externa para su
oscilación.
Cabe resaltar que este sistema es uno de los las fácil de
analizar según la literatura.[10][11][12]
Figura 1. Atractor caótico de Duffing.
b) Sistema caótico de Lorenz.
𝑋̇ = −𝑌 − 𝑍
𝑌̇ = 𝑋 + 𝑎𝑌
̇
𝑍 = ⁡𝑏 + 𝑍(𝑋 − 𝑐)
Representa el comportamiento de la convección
atmosférica terrestre, está dada por la ecuación diferencial
(2) donde sus parámetros son p = 28, o = 10 y B = 8/3 para
obtener su régimen caótico, este sistema se considera
autónomo ya que no tiene excitación externa para su
oscilación.[7][8]
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑜(𝑦 − 𝑥),⁡⁡⁡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑥(𝑝 − 𝑧) − 𝑦⁡,⁡⁡⁡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝑥𝑦 − 𝐵𝑧
(4)
El atractor generado por la función en su régimen caótico se
muestra en la Figura 4.
(2)
El atractor generado por la función en su régimen caótico se
muestra en la Figura 2.
Figura 4.Atractor de Rossler.
C. Estrategias de análisis de sistemas caóticos.
Figura 2.Atractor de Lorenz.
c)
Los principales métodos de análisis de sistemas caóticos
son: Mapa de poincare y coeficientes de lyaponuv
Sistema caótico de Chua.
a) Mapa de poincare
Sistema desarrollado por Matsumoto chua definido por la
ecuación (3) donde sus parámetros son p = 9, q = 14.3, este
sistema es no autónomo ya que depende de una excitación
externa al sistema.[9]
𝑋̇ = 𝑝(𝑌 − 𝑓(𝑥))
𝑌̇ = 𝑋 − 𝑌 + 𝑍
𝑍̇ = ⁡ −𝑞𝑌
La posibilidad de transformar el movimiento caótico en
periódicos por una acción exterior en el sistema, fue
descubierto por Matsumoto y Tsyda y Alekseev y Loskutov
a mediados de 1980.
Sin embargo, sólo hasta los años 1990 fueron testigos de un
crecimiento explosivo de interés para el control de procesos
caóticos, que es en gran parte debido al papel de E. Ott, C.
Grebogi y Yorke, donde se formulan las siguientes dos ideas
clave: (1) el diseño del controlador mediante el modelo del
sistema discreto basado en la linealización del mapa de
Poincaré y (2) el uso de la propiedad de la recurrencia de la
caótica trayectorias y la aplicación de la acción de control
(3)
El atractor generado por la función en su régimen caótico se
muestra en la Figura 3.
2
sólo en los instantes en que la trayectoria regresa a alguna
vecindad del estado deseado o órbita determinada.
c)
E. Ott, C. Grebogi y JA Yorke fueron los primeros en hacer
la observación clave, que el número infinito de órbitas
periódicas inestables típicamente incrustadas en un atractor
caótico podría ser aprovechadas para el propósito de lograr
el control por medio de la aplicación de solamente pequeñas
perturbaciones. Después de hacer este punto general, se
ilustran con un método específico (ya que llama al método
OGY ( Ott , Grebogi y Yorke ) de lograr la estabilización de
una órbita periódica inestable. En el método OGY se aplican
perturbaciones al sistema para mantenerlo cerca de la órbita
deseada.
La trayectoria deseada x es una solución para la función u,
esta trayectoria puede ser periódica o caótica, pero en ambos
casos recurrentes, construimos la superficie de poincare con
los puntos que pasan transversalmente al punto fijo a
estabilizar.
D. Metodologías de control de sistemas caóticos.
a)
Control OGY
Control Adaptativo
Para empezar, se obtiene información sobre el sistema
caótico mediante el análisis de un segmento del atractor
caótico. Esta porción es una sección de Poincaré. Después
de que la información sobre la sección ha sido recogida, se
permite que el sistema funcione y se acerque a la órbita
periódica seleccionada. A continuación, se recomienda que
el sistema permanezca en esa órbita perturbando el
parámetro adecuado. Cuando el parámetro de control se
cambia en realidad, el atractor caótico se desplaza y
distorsionó un poco. Si todo va según lo previsto, el nuevo
atractor alienta el sistema para continuar en la trayectoria
deseada. Una fuerza de este método es que no requiere un
modelo detallado del sistema caótico pero sólo alguna
información acerca de la sección de Poincaré. Es por esta
razón que el método ha tenido tanto éxito en el control de
una amplia variedad de sistemas caóticos.[19]
Muchas publicaciones consideran la posibilidad de aplicar
los métodos de control adaptativo a los sistemas caóticos,
lo cual no es sorprendente, ya que en muchas aplicaciones
físicas, los parámetros de la planta controlada son
desconocidos y la información sobre la estructura del
modelo también. La mayoría de las obras hacen uso de los
métodos de control paramétrico adaptativo directo e
indirecto.
Un gran arsenal de los métodos existentes adaptativos, tales
como los métodos de gradiente y gradiente de velocidad,
mínimos cuadrados, máxima verosimilitud, y así
sucesivamente se puede utilizar para desarrollar algoritmos
de control adaptativo e identificación paramétrica de
cationes. Para los sistemas de tiempo continuo, varios
algoritmos de control adaptativos de pueden obtener en
forme diferencia. [13][14][15]
Para control caótico también son válidas metodologías de
control clásicos como P PD PID [20]
b) Control en lazo abierto
III.
Control por parte de la perturbación o control por la señal
de programa, es decir, la generación de una señal de control
como una función del tiempo sin tener en cuenta los valores
de proceso controlado, se basa sobre la variación del
comportamiento del sistema no lineal, bajo la acción de una
entrada externa predeterminada u (t); que puede ser o bien
una determinada acción física en el sistema, tales como la
fuerza, el campo o la variación de algún parámetro del
sistema controlado.



Este enfoque tiene un atractivo debido a su simplicidad,
porque lo hace sin ningún tipo de mediciones o sensores.
Esto es especialmente importante para control de los
procesos ultrarrápidos que ocurre, por ejemplo, a nivel
molecular o atómico donde el estado del sistema no se
puede medir (al menos en tiempo real).[16] [17]
Los primeros intentos de conceptualización teórica se
hicieron en [189, 234] donde el Mel'nikov Método se utilizó
para tener en cuenta el llamado Oscilador de Duffing.[18]
El estudio de los sistemas caóticos es un área muy
importante en control ya que esta dedicada al estudio
de comportamientos complejos.
Es posible controlar sistemas caóticos a través de
diversas metodologías, ya sea de control moderno,
clásico, adaptativo o métodos actuales para sistemas de
este tipo.
Cada sistema caótico posee un comportamiento
característico, y dependiendo de este es mas
conveniente la utilización de una estrategia de control
especifico.
IV.
3
Conclusiones
Referencias
[1]
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Aguilar, R. Magallanes Martínez, and V. Lévano
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[2]
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[3]
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[15]
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[4]
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[16]
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[17]
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[18]
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[19]
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[20]
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[6]
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[10]
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[11]
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[12]
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4