Estado el arte sobre control de caos en un sistema de orden superior

Estado el arte sobre control de caos en un
sistema de orden superior
Efrain Garcia Quiroga
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Colombia
[email protected]
Resumen – La mayoría de los sistemas reales,
no poseen una dinámica lineal, si no en cambio todos los
sistemas poseen una dinámica dependiente de
parámetros cambiantes, que alteran en algunos casos su
respuesta infinitesimalmente o en casos específicos su
respuesta en gran proporción, estos sistemas cuyos
pequeños cambios en su entrada generan grandes
cambios a la salida, se consideran sensibles a sus
condiciones iniciales, y en dados casos donde esta salida
posee un comportamiento aperiódico y una variación
impredecible de su amplitud entre unos rangos, se
considera un sistema caótico.
ende más eficientes y efectivos, dejando como resultados
sistemas muy estables capaces de prever cualquier
inconveniente ajeno a la máquina que pudiesen alterar su
normal funcionamiento.
Entonces el control de sistemas caóticos viene a representar
un área específica en el campo de control muy importante.
II. DESARROLLO
El desarrollo del artículo estará dividido en:
A. Definición de un sistema caótico.
B. Sistemas caóticos existentes, parámetros
características.
C. Estrategias de análisis de sistemas caóticos.
D. Metodologías de control de sistemas caóticos.
El estudio de los sistemas caóticos es un área de gran
importancia, ya que nos permite analizar de forma
precisa ciertos sistemas tales como el clima, el
crecimiento poblacional, el comportamiento del cerebro
etc…,para poder comprenderlos y a su vez poder
controlarlos.
y
A. Definición de un sistema caótico.
En este documento se realizara un análisis donde se
mostraran, algunos sistemas caóticos existentes, sus
características, sus parámetros de oscilación caótica y su
comportamiento, al igual que diversos métodos de
análisis y control utilizados en este campo.
Un sistema caótico es aquel sistema dinámico que
es sensible a sus condiciones iniciales, es transitivo y su
comportamiento debe formar un conjunto denso de orbitas
periódicas en una región compacta del espacio básico
llamado atractor caótico, además de que su comportamiento
sea posible conocerlo, modelarlo pero no predecirlo.[1][2]
Palabras clave: sistema caótico, control caótico.
Gran parte de estos sistemas son estudiados como sistemas
dinámicos no caóticos, pero sus aproximaciones o estudios
solo son válidos para cortos periodos de tiempo, entre los
sistemas caóticos más comunes se encuentran el sistema
planetario, el clima, el comportamiento de las partículas
subatómicas, el comportamiento del cerebro, entre otros.
I. INTRODUCCIÓN
Para trabajo en control y telecomunicaciones es
muy familiar la palabra caos, y control de caos determinista,
sin dar paso a explicaciones muy densas, puesto que la
teoría del caos y predicción de sistemas reúne un trabajo
desde cuando el hombre trataba de entender los cambios
climáticos o las oscilaciones planetarias cuando apenas se
aventuraba a descubrir el mundo que lo rodea, hoy en día en
los últimos años se ha querido llevar las palabras control y
caos a el modelado y representación de sistemas de diversa
naturaleza como por ejemplo movimientos oscilatorios
mecánicos, inducción de ruidos a señales de
telecomunicaciones, compatibilidad electromagnética de
sistemas de precisión, comunicación segura y encriptación.
B. Sistemas caóticos
características.
existentes,
parámetros
y
A continuación se mostraran los sistemas más
utilizados y representativos estudiados en el campo:
a)
Se encuentran sistemas ligados a maquinas eléctricas o
electrónicas en las que se inducen ruido o perturbaciones
que alteran el funcionamiento de estos, o por el contrario en
donde una inducción caótica controlada a un sistema,
permite mejorar y desarrollar técnicas para sistemas de
control mucho más avanzados, de mayor seguridad y por
Sistema caótico de Duffing.
Posee un comportamiento dado por la ecuación
diferencial de segundo orden (1) cuyos parámetros de
oscilación están dados por p1 = 2.75 y p2 = 0.2 la ecuación
modela el movimiento de un oscilador amortiguado más
complicado que en un movimiento armónico
simples.[3][4][5][6] Este sistema de considera no autónomo
1
ya que es dependiente de una excitación externa para su
oscilación.
𝑋̈ + 𝑝1 𝑋̇ + 𝑝2 𝑋 + 𝑋 3 = 𝑞 ∗ cos⁡(𝑤𝑡)
(1)
El atractor generado por la función en su régimen caótico se
muestra en la Figura 1.
Figura 3.Atractor de Chua.
d) Sistema caótico de Rossler.
Sistema desarrollado por Otto Rossler el cual posee una
dinámica dada por la ecuación diferencial (4) cuyos
parámetros son a = 0.2 b= 0.3 c= 5.7. El sistema es
autónomo ya que no posee una excitación externa para su
oscilación.
Cabe resaltar que este sistema es uno de los las fácil de
analizar según la literatura.[10][11][12]
Figura 1. Atractor caótico de Duffing.
b) Sistema caótico de Lorenz.
𝑋̇ = −𝑌 − 𝑍
𝑌̇ = 𝑋 + 𝑎𝑌
̇
𝑍 = ⁡𝑏 + 𝑍(𝑋 − 𝑐)
Representa el comportamiento de la convección
atmosférica terrestre, está dada por la ecuación diferencial
(2) donde sus parámetros son p = 28, o = 10 y B = 8/3 para
obtener su régimen caótico, este sistema se considera
autónomo ya que no tiene excitación externa para su
oscilación.[7][8]
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑜(𝑦 − 𝑥),⁡⁡⁡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑥(𝑝 − 𝑧) − 𝑦⁡,⁡⁡⁡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝑥𝑦 − 𝐵𝑧
(4)
El atractor generado por la función en su régimen caótico se
muestra en la Figura 4.
(2)
El atractor generado por la función en su régimen caótico se
muestra en la Figura 2.
Figura 4.Atractor de Rossler.
C. Estrategias de análisis de sistemas caóticos.
Figura 2.Atractor de Lorenz.
c)
Los principales métodos de análisis de sistemas caóticos
son:
Sistema caótico de Chua.
Sistema desarrollado por Matsumoto chua definido por la
ecuación (3) donde sus parámetros son p = 9, q = 14.3, este
sistema es no autónomo ya que depende de una excitación
externa al sistema.[9]
𝑋̇ = 𝑝(𝑌 − 𝑓(𝑥))
𝑌̇ = 𝑋 − 𝑌 + 𝑍
𝑍̇ = ⁡ −𝑞𝑌
(3)
El atractor generado por la función en su régimen caótico se
muestra en la Figura 3.
2
VII REFERENCIAS
[1]
P. Sobrino Mejía, C. Gutiérrez Roncero, S. Luyo
Aguilar, R. Magallanes Martínez, and V. Lévano
Yataco, “Teoría del Caos : Efecto Mariposa,” pp.
1–91, 2002.
[2]
R. L. Devaney, “An Introduction to Chaotic
Dynamical Systems.” p. xvi + 336, 1989.
[3]
N. Inabat, “Bifurcation and chaos in the piecewiselinear forced duffing-van der pol oscillator with,”
pp. 1297–1300.
[4]
H. S. Kenjiro Ymaguchi, “OSCILLATIONS,
BIFURCATION PHENOMENA AND CHAOTIC
THE, I N A SYSTEM DESCRIBED BY
EQUATION, DUFFING-VAN DER POL’S,” pp.
11–14, 1990.
[5]
L. A. Aguirre and P. F. Donoso-garcia, “Control of
the Chaotic Duffing Equation with Uncertainty in
All Parameters,” Ieee, vol. 47, no. 7, pp. 1081–
1085, 2000.
[6]
H. Nijmeijer and H. Berghuis, “On Lyapunov
control of the duffing equation,” IEEE Trans.
Circuits Syst. I Fundam. Theory Appl., vol. 42, no.
8, pp. 473–477, 1995.
[7]
T. Gao, G. Chen, Z. Chen, and S. Cang, “The
generation and circuit implementation of a new
hyper-chaos based upon Lorenz system,” Phys.
Lett. Sect. A Gen. At. Solid State Phys., vol. 361,
no. 1–2, pp. 78–86, 2007.
[8]
M. K. Vaishnav and B. B. Sharma, “Observer
Design & Synchronization of Fourth Order Lorenz
Stenflo Chaotic System,” no. 4, pp. 1–6, 2013.
[9]
N. H. N. He, Q. G. Q. Gao, C. G. C. Gong, Y. F.
Y. Feng, and C. J. C. Jiang, “Adaptive tracking
control for a class of Chua’s chaotic systems,”
2009 Chinese Control Decis. Conf., pp. 4241–
4243, 2009.
[10]
W. Der Chang, “Parameter identification of
Rossler’s chaotic system by an evolutionary
algorithm,” Chaos, Solitons and Fractals, vol. 29,
no. 5, pp. 1047–1053, 2006.
[11]
I. I. Applications, “Control of Chaos : Methods and
Applications .,” vol. 65, no. 4, pp. 505–533, 2004.
[12]
M. Frunzete, B. Florea, V. Stefanescu, and D.
Stoichescu, “Image Enciphering by Using R ¨
ossler Map,” pp. 307–310, 2011.
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