Matemáticas Financieras. Relación de Problemas. Rentas.

ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES.
Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas).
Matemáticas Financieras.
Relación de Problemas. Rentas.
1.- Una empresa se plantea una inversión cuyas características financieras son:




Coste inicial: 20.000 €.
Ingresos: 1.000 € al final de cada bimestre.
Gastos: 600 € al final de cada trimestre, con un incremento anual del 1%.
Valor residual: 5.000 €.
Analice si es recomendable realizarla, si su duración es de cinco años, y el tipo de
interés del mercado es del 5%.
SOLUCIÓN
Para decidir si es conveniente realizar la inversión, calcularemos el beneficio neto
de la misma en un momento determinado de su horizonte temporal, por ejemplo, el
momento inicial.
Los ingresos constituyen una renta constante de cuantía 1.000 euros cada dos
meses, cuyo esquema es el siguiente:
1.000
(€)

0
2
4
6
20
22
1.000
1.000
1.000
1.000
(meses)
A partir del tipo de interés anual, obtenemos el bimestral equivalente:
i6  (1  0,05)1 / 6  1  0,0081648
y el valor actual de los ingresos es igual a:
I  A1.000 30 0, 00816  26.512,91 €.
Por otra parte, existen unos gastos de 600 euros trimestrales con incremento
anual del 1%, que constituyen una renta geométrica fraccionada. Su esquema es el
siguiente (tiempo en años y cantidades en euros):
600
...... 600
6001,01
6001,01
6001,014
......
6001,014

0
1
2
....
.. ·4
5
Para transformar esta renta en otra equivalente sin fraccionar, hemos de calcular
la cuantía anual equivalente a la trimestral de 600 euros:
Ci
C C4
600  0,05

C  4 
 2.444,543
i
i4
i4
0,0122722
En consecuencia, la renta original es equivalente a una anual de cuantía 2.444,543
y crecimiento, también anual, del 1%. Por tanto, el valor de esta renta en el origen es:
G  A(2.444,543;1,01) 5 0, 05  10.786,92
-1-
Además, hay un coste inicial de 20.000 euros y un valor residual, al final de los
cinco años, de 5.000 euros, cuyo valor en el origen es 3.917,63 = 5.000 (1,05)-5.
Por tanto, el valor de la inversión, en el momento cero, sumando los ingresos
(periódicos y el residual) y restando los gastos (periódicos e inicial) es el siguiente:
V  26.512,91  3.917,63  20.000  10.786,92 
,
 30.430,54  30.786,92  356,38
resultando un flujo neto negativo, de lo que podemos concluir que no interesa la
inversión.
-2-
2.- El propietario de un importante supermercado decide venderlo, para lo cual recibe las
siguientes ofertas:
a) 56 pagos de 7.500 € trimestrales, pagaderos a final de cada trimestre, con un
aumento de 1.500 € al trimestre cada año.
b) 50.000 € al contado y el resto en pagos cuatrimestrales vencidos de 10.000 € el
primer año, con un incremento anual del 20% los 6 años siguientes y un decremento
del 3% trienal durante los 6 años restantes.
Determine el orden de preferencia de las ofertas, si todas ellas se valoran a un tipo de
interés del 8% nominal, capitalizable trimestralmente.
SOLUCIÓN
El orden de preferencias viene determinado por el valor de ambas ofertas en un
instante de tiempo determinado, que situaremos en el origen. El tipo de interés es j4
=0,08 y, por tanto, i4 = 0,02 e i = (1,02)4-1 = 0,08243216.
a) La primera oferta constituye una renta aritmética fraccionada, cuyo esquema es el
siguiente (cantidades en euros y tiempo en años):
7500
7500 7500+1500
...7500+1500
7500+13(1500)
7500+13(1500)

0
1
2 .... ·13
14
Para su valoración en el origen, de una manera cómoda, la convertimos en una
renta equivalente sin fraccionar, calculando la cuantía anual equivalente, en el primer
año, y el aumento anual equivalente, es decir:
C i 7.500 (0,08243216 )
C C4

C  4 
 30.912,06
i
i4
i4
0,02
d i 1.500 ( 0,08243216 )
D d4

D 4 
 6.182,41
i
i4
i4
0,02
Una vez hecho esto, podemos obtener el valor en el origen de la renta original
como el valor de otra renta equivalente, sin fraccionar, de cuantía anual 30.912,06 € y
aumento anual de 6.182,41 €:
V a  A(30.912,06 ; 6.182,41) 14
0 ,0824
 514.561,36 €
b) La segunda oferta, aparte de una cantidad inicial, es una renta geométrica fraccionada,
creciente los 7 primeros años y decreciente los seis restantes, de acuerdo con el siguiente
esquema (cantidades en miles de euros y tiempo en años):
50
10

.............
10(1,2)6
10(1,2)60,97
10(1,2)6(0,97)2


0
1
......
6
7
8
9 10 11 12 13
Para calcular el valor en el origen de este flujo de capitales, consideraremos dos
rentas, la primera, hasta el año 7, variable en progresión geométrica fraccionada (q = 1,2)
-3-
y la segunda de dos términos (trienales), decreciente (q´ = 0,97) en progresión
geométrica fraccionada y diferida 7 años.
En el caso de la primera renta, calculamos la cuantía anual equivalente para el
primer año y su valor en el cero:
C i 10.000(0,082432 )
C C3

C  3 
 30.809,81
i
i3
i3
0,02675516
donde
1/ 3
i3  1,08243216  1  0,026755164
y, por tanto,
V b1  A30.809,81 ;1,2 7 0, 08243  277.282,37
En la segunda renta, calculamos la cuantía trienal equivalente y su valor en el
origen:
6
C 3 C ( 3)
C i ( 3) 10.000 1,2  (0,97)(0,2682418)
 ( 3)  C ( 3)  3

 290.387,58
i3
i
i3
0,02675516
donde
3
i (3)  1,08243216  1  0,2682418
y, por tanto,
Vb1  1,08243216  A290.387,58 ; 0,97 2
7
0 , 268241
 232.100,52
En definitiva, el valor de esta segunda oferta es:
Vb  50.000  277.282,37  232.100,52  559.382,89
Por último, el orden de preferencias es (b) y (a).
-4-
3.- El Team RAPID de motociclismo decide comprar, para el campeonato del mundo de
la próxima temporada a YAMAHONDA, 4 motocicletas valoradas cada una de ellas en
210.355 €. En el contrato de compra se acuerda formalizar los pagos de la siguiente
forma:
- El 20% del valor total a la firma del contrato.
- 24 mensualidades que crecen un 1% cada semestre, haciendo efectiva la primera a
los 7 meses de la formalización del contrato.
- Pagos semestrales a final de cada semestre siendo de 12.000 € el primero, con un
aumento anual de 1.800 € cada semestre, durante 6 años.
Determinar la cuantía de la primera mensualidad, valorando las operaciones a un
tipo de interés del 7% anual.
SOLUCIÓN
Precio de compra: 210.355  4 = 841.420 €.
Primer pago: 20% s/841.420 = 168.284 €.
Pagos mensuales:
1  i   1  i12 12  i12  1  0,07 112
 1  0,0056541
1  i   1  i 2 2  i 2  1  0,07  12  1  0,034408
Calculamos C2:
C12 C 2
C i
C  0,034408

 C 2  12 2  12
 6,08545428  C12 
i12
i2
i12
0,0056541
V0  1 / A4
0, 034408
(6,08545428C12 ; q  1,01)  21,95675754C12
Pagos semestrales:
C2 C
C i 12.000  0,07
 C  2 
 24.412,8965
i2
i
i2
0,034408

d2 D
d i 1.800  0,07
 D 2 
 3.661,9345
i2
i
i2
0,034408
 V0  A 6
0, 07
(24.412,8965; d  3.661,9365)  156.567,13 €.
Igualamos el precio de compra a todos los pagos:
-5-
841.420,00  168.284,00  21,95675754  C12  156.567,13
Despejamos C12
 C12 
841.420,00  168.284,00  156.567,13
 23.526,65 €.
21,95675754
que es la cuantía de la primera mensualidad.
-6-
4.- Para la construcción de un Club de Hípica, un grupo de inversores adquiere un
terreno por el que acuerda pagar 200.000 € hoy, 1 de enero, y 36 mensualidades de
10.000 a abonar la primera el 1 de julio. Asimismo:
-Contratan hoy 5 jinetes con un sueldo bruto mensual de 2.000 € cada uno y un
incremento anual del 2%.
-Los gastos de mantenimiento ascienden a 3.000 € semestrales, pagaderos al final
de cada semestre, estimándose un incremento anual de los mismos de 500 € en cada
semestre.
Determinar la cuantía de ingresos a obtener anualmente, sabiendo que los socios
abonan sus cuotas a primeros de año, y de forma que se garantice que el valor actual de
los ingresos superan en un 20% la cuantía total de los gastos realizados. Realizar esta
estimación para los 20 años que dura la concesión y a un tipo de interés de mercado del
6% anual.
SOLUCIÓN
Gastos:
Terreno:
200.000  5 / A 36
0, 0048676
(10.000)  521.586,32 €.
Jinetes:
Sueldo mensual: 5  2.000  10.000 €.
Sueldo anual:
C C12
C i 10.000 (0,06)

 C  12 
 123.265,28
i
i12
i12
0´0048676
Sueldo total hoy:
V0  A123.265, 28;1, 02  20
0 ,06
 1.653.833,60 €.
Gastos de mantenimiento:
Gasto semestral = 3.000  gasto anual:
C C2
C i 3.000(0,06)

C  2 
 6.088,69
i
i2
i2
0,029563
Incremento anual semestral =500  incremento anual:
H h2
h i 500 (0,06)

H  2 
 1.014,78
i
i2
i2
0,029563
Gasto mantenimiento total hoy: V0  A6.088 ,69 ;1.014 ,78  20 0,06  158.356,63 €.
Total Gastos = 521.586,32 + 1.653.833,60 + 158.356,63 = 2.333.776,55 €

Ingresos: 2.333.776,55 (1,2)  A 20
0 ,06
(C )  C  230.342,58 €
-7-
5.- Cierta empresa para atender al reparto y distribución de sus mercancías dispone de las
siguientes opciones:
Opción A: Adquisición, a un fabricante, de tres vehículos por un valor total de 90.000
euros con unos gastos de conservación y reparación de 2.400 € anuales, un
valor residual de 15.000 € y una vida útil estimada de seis años.
Opción B: Adquisición de los citados tres vehículos a otro fabricante, que asegura un
valor residual de 33.000 € al final de los ocho años de vida útil, lo que
supone un desembolso inicial de 102.000 € y unos gastos de conservación y
reparación de 2.100 € anuales.
Opción C: Contratar con una empresa de transporte el servicio de reparto y distribución
de mercancías, lo que supone unos gastos anuales crecientes en un 5% anual
siendo los del primer año de 6.000 €.
Supuesto un tipo de interés del 6% determine la oferta más ventajosa, teniendo
en cuenta que los sueldos del personal necesario para atender el servicio de los vehículos
son de 3.600 € durante el primer año, esperándose un incremento anual del 4% .
Nota: En la resolución del problema se supondrá que las renovaciones se realizan con
una actualización del 2% anual.
SOLUCIÓN
En primer lugar, es importante comentar que este problema no posee una
solución clara. Ello es así por el hecho de que estamos comparando bienes financieros
distintos. Así, la opción A consiste en el reparto y distribución de la mercancía por 6
años, la opción B por 8 años y la C, en principio, a perpetuidad. Por ello, los valores
actuales de las opciones no se pueden comparar directamente (es lógico pensar que C
será más cara que B y ésta a su vez más cara que A). Antes de volver sobre este tema,
valoremos las tres opciones separadamente:
Opción A:
Adquisición:
90.000,00
Conservación:
A6
V. Residual:
-15.000(1 + 0,06)-6 
Personal:
A6
0 , 06
0 , 06
90.000,00
(2.400) 
(3.600; q  1,04) 
TOTAL OPCIÓN A:
11.801,58
-10.574,41
19.440,00
110.667,17
Opción B:
Adquisición:
102.000,00
Conservación:
A8
(2.100) 
13.040,57
V. Residual:
- 33.000(1 + 0,06)-8 
-20.704,61
Personal:
A8
0 , 06
0 , 06
(3.600; q  1,04) 
TOTAL OPCIÓN B:
102.000,00
25.441,71
119.777,67
-8-
Opción C:
A
Contratación:
0 , 06
(6.000; q  1,05) 
600.000,00
TOTAL OPCIÓN C:
600.000,00
Una vez calculados estos valores, debemos encontrar alguna forma de
compararlos. Una de ellas puede consistir en suponer que las opciones A y B se podrán
renovar infinitamente, es decir, volver a realizar la operación una vez concluida la vida
útil de los vehículos. A fin de ser más realistas, vamos a suponer que todos los costes se
incrementan, según la inflación, a razón de un 2% anual. Así, la opción A quedaría:
110.667,17
110.667,17  (1,02)6
0
6
110.667,17  (1,02)12
12
Así pues, el valor actual de la oferta A, renovada infinitamente de esta forma,
sería:
Ä
i(6 )
(110.667,17; q  1,02 6 )  536.958,81
i 6   0,41851911
Por su parte, para la opción B tenemos:
119.777,67
119.777,67  (1,02)8
0
8
Ä
i(8 )
119.777,67  (1,02)16
16
(119.778, q  1,028 )  452.185,04
i 8   0,59384807
Por lo tanto, bajo estas hipótesis, la opción elegida será la B, que es la que tiene un
menor valor actual.
-9-
6.- La Empresa Municipal de Aguas, encargada del abastecimiento a la capital, tiene
acordado con el Ayuntamiento, por su gestión, entregarle las siguientes cantidades:
 Entregar un millón de euros el primer año, con un incremento anual del 10% los
ocho años siguientes.
 El año décimo pagará la misma cantidad que el año anterior.
 Los diez años siguientes disminuirá la entrega en 10.000 € cada año.
Después de pagado el séptimo plazo acuerdan, empresa y ayuntamiento, sustituir
los pagos restantes por anualidades constantes en el mismo número de las que quedan
por vencer. Determinar la cuantía de estos plazos, si el tanto de interés aplicado es el 6%
anual.
SOLUCIÓN
La estructura de los pagos descritos en el enunciado es la siguiente:
1.000.000 1.100.000
0
1
2.143.589 2.143.589 2.133.589
···
2
9
10
2.043.589
···
11
20
Por lo tanto, transcurridos siete años, las cantidades que quedan por pagar son las
siguientes:
1.948.717 2.143.589 2.143.589 2.133.589
,10
2.043.589
···
7
8
9
10
11
20
Para resolver el problema, calcularemos el valor actual (en el instante 7) de los
pagos restantes, para luego determinar la cuantía anual de una renta constante que tenga
ese mismo valor actual. La renta de los pagos restantes se puede dividir en dos partes. La
primera, de dos términos, en progresión geométrica de razón 1,1 y de cuantía inicial
1.000.000  (1,1)7 = 1.948.717,10. La segunda, de 11 términos, en progresión aritmética
decreciente de diferencia – 10.000 y cuantía inicial 1.000.000  (1,1)8 = 2.143.588,81,
renta que hay que diferir dos años. Así pues, obtenemos el siguiente valor actual:
A2
0 , 06


(1.948.717,10; q  1,1)  A11 0, 06 (2.143.588,81; d  10.000) (1  0,06)  2 
3.746.198,77  14.736.128,62  18.482.327,39
Esta renta se quiere sustituir por otra constante con el mismo número de términos
(13), cuyo valor actual sea el mismo:
A13 0, 06 (C )  18.482.328,54  C  2.087.765,6489 ,
es decir, la cuantía de los nuevos pagos es de 2.087.765,65 €.
- 10 -
7.- La empresa Factor S.A. desea realizar un estudio con objeto de decidir el precio de
venta de su producto. Deberá hacer frente a los siguientes gastos e inversiones:
a) Compra de terrenos, con fecha 1 de enero: 50.000 € a pagar al contado y el
resto en cuatro mensualidades de 20.000 € cada una, venciendo la primera al mes de la
compra.
b) Construcción de un pabellón durante doce meses, con un coste mensual de
10.000 €, pagadero por vencido.
c) Finalizado el pabellón comienza la producción. Para ello compra maquinaria
por valor de 200.000 €; pagando la mitad al contado y el resto a los tres años.
d) Cada tres meses compra materia prima por 10.000 € con un incremento anual
de 800 € al trimestre.
e) Gastos de mano de obra (en el proceso de producción) 8.000 € mensuales
por vencido, incrementándose anualmente en un 6% sobre el anterior. Pagas extras en
junio y diciembre de igual cuantía que la mensualidad correspondiente.
f) Los gastos de mantenimiento ascienden a 30.000 € cada dos años, salvo el
último año.
Prevé una demanda de 10.000 unidades trimestrales el primer año, con un
incremento anual de 800 unidades.
Sabiendo que venderá el negocio a los 10 años de su puesta en funcionamiento
por 1.000.000 € y que espera obtener un beneficio antes de impuestos del 60% sobre los
ingresos totales, calcular dicho precio de venta utilizando un tanto de valoración del 15%
anual.
SOLUCIÓN
El planteamiento de este problema lo realizaremos sobre la idea, básica, de que
los beneficios son la diferencia entre ingresos y gastos. No obstante, deberemos tener en
cuenta que los capitales, que integran los tres conceptos anteriores, están distribuidos a
lo largo de un periodo de tiempo de duración 11 años (10 años de explotación +1 año de
construcción del pabellón), y por tanto deberemos proceder a su valoración bajo el punto
de vista financiero. Trabajaremos, con valores actuales, valorando al 15% anual y sus
equivalentes mensuales, trimestrales. semestrales y bienales, que son:
i12  0,01171492
i4  0,035558076
i2  0,07238035
i ( 2)  0,3225
1º) Valor actual de los ingresos:
Como los ingresos son trimestrales y sufren un incremento, en progresión
aritmética, anual habrá que homogeneizar la periodicidad de ambos conceptos, por tanto:
El término de la renta equivalente anual, será:
10.000  p
10.000  p
a
a a4
 42.184,50924  p



 a  0,15
0,15 0,035558076
0,035558076
i
i4
- 11 -
El incremento de la renta equivalente anual, será:
D d4

 D  800  p * 0,15 / 0,035558076  3.374,760771  p
i
i4
Los ingresos constituyen una renta variable en progresión aritmética, temporal,
diferida (d =1 año) y pospagable, la expresión de su valor actual es:
n
n

D  1  1  i 
nD1  i 
d An  i (a, D)    a  

i 
i
i


 1  i 1


sin mas que sustituir tendremos el valor actual de los ingresos
V0 ( I )  1 A10  0.15 (42.184,50964  p, 3.374,760771  p )  233.926,9275  p
A dicho valor deberemos añadir la actualización del valor residual, por tanto quedan
unos ingresos totales de
V0(IT) = 233.926,9275 * p + 1.000.000 * (1+0,15)-11 =
= 233.926,9275 * p + 214.943,22
2º) Valor actual de los gastos:
2.a) Compra de terrenos:
50.000  20.000
1  1  i12 
i12
4
 127.710,81 €
2.b) Construcción del pabellón:
1  1  i12 
i12
2.c) Compra de maquinaria:
12
10.000
 111.340,77 €


100.000 (1  i) 1  100.000 (1  i ) 4  100.000 (1  i ) 1  (1  i) 4 
 100.000 (1,15) 1  (1,15) 4  144.131,85 €.


2.d) Compra de materia prima:
Se trata de una renta de una renta prepagable, trimestral, con variaciones en
progresión aritmética anuales. Homogeneizamos a periodicidad anual:
El término de la renta equivalente anual, será:
- 12 -
10.000
a a4
a

(1  i4 )  1,15

1,03555808 
0.15 0.03555808
i
i4
10.000
a  0,15
 1,03555808  37.986,53 €/año
0,03555808  1,15
(1  i )
El incremento de la renta equivalente anual, será:
D  (1,035558076 * 800 / 0,035558076) * (0,15 / 1,15)  3.038,92 €/año
Valorando la renta que es diferida y prepagable, queda:


V0 (I)  A
10
0,15

(37.986,53; d  3.038,92) (1  0,15)  1  242.244,92 €.
2.e) Gastos de mano de obra:
En este caso se trata de dos rentas: Una paga mensual con variaciones, anuales,
en progresión geométrica. Y otra, semestral, con variaciones del mismo tipo que la
anterior. Homogeneizamos, en ambos casos, a periodicidad anual:
Para las mensualidades el término, de la renta equivalente anual, será:
a a12
a
8.000
8.000  0,15



a 
 102.433,50 €/año.
i i12
0,15 0,01171492
0,01171492
Para las pagas extras el término, de la renta equivalente anual, será:
a a2
a
8.000
8.000  0,15



a 
 16.579,04 €/año.
i i2
0,15 0,07238053
0,07238053
puesto que, estos dos resultados, son capitales de periodicidad anual, podremos
considerar una sola renta que englobe los gastos de mano de obra y, la cuantía de su
término, será:
102.433,50  16579,04  119.012,55 €/año.
Valorando la renta que es diferida y pospagable, queda:
10
A
10 0 ,15

(119.012,55; q  1,06) (1  0,15) 1
 1,06 

 1
1,15 

 119 .012,55
(1,15) 1  640 .862,27 €.
1,06  (1,15)
2.f) Gastos de mantenimiento:
A
4

(30.000) (1  0,15) 1  30.000
0 ,3225
1  (1,3225) 4
(1.15) 1  54.446,77 €.
0,3225
2.g) Valor actual total de gastos:
- 13 -
V0 (G )  1.320.737,38 €.
3º) Valor actual de los beneficios:
V0 ( B)  0,60  V0 ( IT )  0,60 (233.926,9275  p  214.943, 22) .
4º) Precio de venta, unitario, del producto:
V0 ( B)  V0 ( IT )  V0 (G )
sustituyendo:
0,60 (233.926,9275 * p  214.943,22)  233.926,9275 * p  214.943,22  1.320.737,38
de donde:
p =13,20 €.
- 14 -
8.- Se reciben las siguientes ofertas por el alquiler de una vivienda, durante los próximos
5 años:
a) 420 € al mes durante el primer año, mensualidades que se incrementan un 2% cada
año.
b) 430 € al mes durante el primer año, mensualidades que se incrementan en 8 € cada
año.
Determine la mejor opción para la Sra. Lista, si valora la operación a un 5% anual.
SOLUCIÓN
Ambas opciones son rentas prepagables fraccionadas, con términos mensuales e
incrementos anuales. La primera oferta varía en progresión geométrica, mientras que la
segunda lo hace en progresión aritmética. Calculemos sus valores actuales a un 5%
anual:
i  0,05  i12  12 (1  0,05)  1  0,004074124 .
Opción a:
C12  420  C 

A
5
0 , 05
420
i
(1  i12 )
 4.929,03101
i12
(1  i )
(4.929,03; q  1,02)  23.276,5259
Por lo tanto, el valor actual de la primera oferta es 23.276,53 €.
Opción b:
C12  430  C 
430
i
(1  i12 )
 5.046,3889
i12
(1  i )
D12  8  D 

A
5
0 , 05
8
i
(1  i12 )
 93,8863
i12
(1  i)
(5.046,39; D  93,89)  23.752,6345
Por lo tanto, el valor actual de la segunda oferta es 23.752,63 €, y ésta será la
elegida.
- 15 -
10.- Un comerciante debe pagar a una empresa de distribución las siguientes cuantías con
los siguientes vencimientos:
 500 € los días 10/11/05, 5/03/06, 17/06/06 y 22/12/06
 1.000 € los días 25/8/05, 15/12/05, 22/03/06 y 10/05/06
 1.500 € los días 14/09/05, 24/02/06, 11/04/06 y 6/11/06.
Si deciden sustituirlos por un único pago el día 31/03/06. Determine la cuantía de
este único pago, si se valora la operación a un 4,5% anual.
SOLUCIÓN
Dado que se trata de tres rentas de diversas cuantías y con vencimientos que no son
uniformes, se debe capitalizar (para los capitales con vencimiento anterior al 31/03/06) y
actualizar (para aquellos capitales con vencimiento posterior al día citado) capital a
capital.
De este modo, para obtener el capital único se debe resolver la siguiente expresión:

 1.000 1  0,045
 1.500 1  0,045
141
CapitalComún  500 1  0,045
218
198
365
26
 1  0,045
106
365
 1  0,045
365
 1  0,045
35
12.026,79 €
- 16 -
 78
365
 1  0,045
365
 1  0,045
365
9
365
11
 1  0,045
365
365
 266
 1  0,045
 1  0,045
 40
 1  0,045
365
 220
365



365