taller 1, pauta - Hugo Maturana Cornejo

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de matemáticas y computación
Facultad de ingeniería
Nota:
Taller 1
Sistemas de ecuaciones, Subespacios vectoriales y dependencia lineal
Profesor Hugo Maturana Cornejo
Sección B-1
x1  x2  x3  2
1.  Considere el sistema: x1  2 x2  x3  3
(*) determine:
x1  2 x2   a 2  4  x3  a
i ) S1  a 
/ (*) tenga solución única
ii ) S1  a 
/ (*) tenga infinitas soluciones
iii ) S1  a 
/ (*) no tenga solución
2.  Si   u1 , u2 , u3  es un conjunto L.I. Demuestre que el conjunto
u1  2u2 , u1  3u3 , u1  2u2  3u3 es L.I.
3.  Si    1, k , 3 ,(k , 3,5),(1,0, 1) 
S  k 
4.  Sean W1  ( x, y, z ) 
a)Demuestre que W1 
3
3
3
, determine el conjunto :
/  es L.I
/ x  y  2 z  0 y W2  ( x, y, z ) 
y W2 
3
3
.
b)Determine una base de W1  W2
5.  Si u1 ,..., un  es L.I y u1,..., un , un1 es L.D. Demuestre que
un1  u1 ,..., un 
/ x  y  0.
Pauta de corrección:
Solución P1:
1  x1   2 
1 1

   
Expresando el sistema en su forma matricial, tenemos: 1 2
1  x2    3  ,
1 1 a 2  4  x   a 

 3   
para determinar los conjuntos mencionados, debemos escalonar la matriz ampliada.
1
2 
1 1


Haciendo
nos queda:  0 1
2
1  . Analizando los rangos
f3  f 3  f1
 0 0 a2  3 a  2 


se tiene:
f 2  f 2  f1
Para que r ( A)  r ( A | B)  3 se debe cumplir que a   3, por tanto: S1 
 
  3
Para que r ( A)  r ( A | B)  3, nos damos cuenta que no hay un "a" que simultaneamente
nos cumpla esa condición, por tanto: S 2  

Para que r ( A)  r ( A | B), basta con hacer a   3 o a  3, luego: S3  3, 3

Solución P2:
Veamos la linealidad del conjunto en cuestion, para ello consideremos  ,  ,  
tales que:  (u1  2u2 )   (u1  3u3 )   (u1  2u2  3u3 )  0, distribuyendo y asociando
tenemos:       u1   2  2  u2   3  3  u3  0, pero de antemano se
sabia que u1 , u2 , u3 
     0
era L.I, por tanto, se obtiene el sistema: 2  2  0 dado que
3  3  0
es un sistema homogeneo, si el determinante es distinto de cero, entonces su solución es
la trivial, por lo mismo, calcularemos el determinante por la 3er fila:
1
1
1
2
0
2  3
0 3
3
1
1
2 2
3
1 1
2 0
 3  4  3  12  3  9  0
Luego, podemos concluir que       0, quedando demostrado lo pedido.
Solución P3:
Viendo la linealidad, se tiene:   1, k , 3    k , 3,5     1, 0, 1  (0, 0, 0), se
   k    0
sigue:     k   ,  k  3 , 3  5     (0, 0, 0)   k  3  0
3  5    0
1
Calcularemos el determinante asociado, que sería: k
3
 1
k
3
3
5
1
1
k
k
3
k
1
3
0 nos queda:
5
1
   5k  9   (3  k 2 )  k 2  5k  6   k  3 (k  2), por
tanto se concluye que: S 
 2,3
Solución P4:
a )Vamos a demostrar que W1 
3
 Notamos que  0, 0, 0   W1 , por tanto: W1  
 u1 , u2 , u3  ,  v1 , v2 , v3  W1 , tenemos que probar que  u1  v1 , u2  v2 , u3  v3  W1
En efecto: u1  v1  u2  v2  2  u3  v3    u1  u2  2u3    v1  v2  2v3   0  0  0
  u1  v1 , u2  v2 , u3  v3  W1
Tomamos
 u1 , u2 , u3  W1 y   , se sigue que: u1  u2  2u3  0  u1  u2  2u3  0
  u1 , u2 , u3     u1 , u2 , u3   W1
Sean
Por los puntos anteriores, hemos probrado que W1 
3
.
Ahora vamos a demostrar que W2 
3
 Notamos que  0, 0, 0   W2 , por tanto: W2  
 u1 , u2 , u3  ,  v1 , v2 , v3  W2 , tenemos que probar que  u1  v1 , u2  v2 , u3  v3  W2
En efecto: u1  v1  u2  v2   u1  u2    v1  v2   0  0  0
  u1  v1 , u2  v2 , u3  v3   W2
Tomamos
 u1 , u2 , u3  W2 y   , se sigue que: u1  u2  0  u1  u2  0
  u1 , u2 , u3     u1 , u2 , u3   W2
Sean
Por los puntos anteriores, hemos probrado que W2 
3
.
b)
Sea ( x, y, z ) W1  W2  ( x, y, z ) W1  ( x, y, z ) W2 
x  y  2z  0
x y 0

x  y
z0
( x, y, z )  ( y, y, 0)  y (1,1, 0)
 W1  W2  (1,1, 0)
Como es un sólo vector, entonces (1,1, 0) es L.I, entonces (1,1, 0) es base de
W1  W2 .
El problema 5 fue demostrado en clases.