Ejercicios Temas 9 y 10 - Web del Profesor

ULA. FACULTAD DE INGENIERIA.
ESCUELA DE MECANICA.
TEORIA DE CONTROL.
EJERCICIOS TEMA 9
1) Hacer las gráficas aproximadas, sin cálculo, de la respuesta de un sistema donde el proceso es de segundo orden,
sobrebamortiguado, el elemento de medición y el elemento final de control tienen constantes como función de
transferencia, siendo la señal de referencia igual a 10 unidades y la perturbación igual a 5 unidades. Si la función de
transferencia del controlador es:
Kp
a)
b)
c)
 1
K 1  
 s
K 1  s 
(5 puntos)
SOLUCION
a)
y(t) u(t) p(t)
10
5
t
b)
y(t) u(t) p(t)
10
5
t
c)
y(t) u(t) p(t)
10
5
t
2) Hacer la gráfica aproximada sin cálculo de la respuesta de un sistema donde el proceso es de segundo orden,
subamortiguado, el elemento de medición y el elemento final de control tienen constantes como función de
transferencia, siendo la señal de referencia igual a 3 unidades y la perturbación igual a 1 unidad. Si la función de
transferencia del controlador es:
a) K p


b) K 1 
1 
 s
s

c) K
1  s 
3) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:
(8 puntos)
SOLUCION
Debemos primeramente simplificar el diagrama de bloques. Comenzamos con hacer cero a p(t).
Simplificando tendremos
En segundo lugar hacemos que u(t) sea cero.
La solución completa será:
La estabilidad la determina la ecuación característica:
6 D 3  21D 2  16 D  4  0
Con el método de ROUTH determinamos la forma de estas raíces
6
21
0.1486
4
16
4
0
0
0
El sistema es ESTABLE
El valor en estado estable lo determinamos con el teorema del valor final:
2
6
3
1
10
lim
→
21
16
4
21
6
6
10 15
25
_ lim
→
4
4
4
6.25
4) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:
5) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:
6) Se tiene el siguiente sistema de Control:
3
16
5
4
a)
b)
c)
d)
e)
Calcular la función de transferencia de lazo abierto del sistema.
Determinar la estabilidad del sistema
Calcular el valor en estado estable.
Hacer la gráfica aproximada de la respuesta del sistema.
Hacer la grafica aproximada de la respuesta del sistema suponiendo que se sustituye el controlador por uno cuya
función de transferencia es
1
7) Determine la influencia sobre la estabilidad y el valor en estado estable de un sistema cuyo proceso tiene una ecuación
característica de primer orden con constante de tiempo igual a 2, el elemento final de control tiene una constante igual a
3, el elemento de medición tiene una constante igual a , siendo el controlador PD con Kp = Kd = 1, si el sistema tiene
una señal de referencia de una unidad y se somete a una perturbación de tres unidades.
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ESCUELA DE MECANICA.
TEORIA DE CONTROL.
EJERCICIOS TEMA 10
1) Se tiene un sistema de control donde:
0.0001s
1
0.2725s
0.0126s
0.52s
1.4
La grafica de la respuesta
transitoria del sistema en lazo
abierto es:
1
Utilizando el método de
Ziegler Nichols basado en la
respuesta al escalón
determine los parámetros del
controlador si quiere utilizar
un controlador PID.
0.8
0.6
0.4
0.2
2) Se tiene un sistema de
control donde la grafica
de
la
respuesta
transitoria del sistema en
lazo abierto ante una
entrada en escalón se
muestra en la figura:
Y
su
función
transferencia es:
0
-0.2
de
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1.5
1
0.5
Utilizando el método de Ziegler
Nichols basado en la respuesta
al escalón determine los
parámetros del controlador
suponiendo que se quiere utilizar
un controlador PID.
0
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
3) A- Se tiene un horno para tratamientos térmicos, tal como
se muestra en la figura.
Obtenga el modelo matemático de dicho horno, donde una
entrada es el cuadrado del voltaje en el sistema ( u1 t   V ),
2
la otra entrada es la temperatura exterior u2 t   TE y la salida
es la temperatura en el interior del horno ( y t   T ).
RT1 = RT2 = 1;
R = 22 Ω.
C = CP = 1;
a) Expresado en espacio de estado
VE
R
T
C
TP
CP
TE
Aire
Aislante
Expresado como ecuación diferencial
B- Se quiere medir la temperatura del horno presentado en el ejercicio anterior con un termómetro cuyo funcionamiento
corresponde a un sistema de segundo orden con un coeficiente de amortiguamiento igual a 1 y una frecuencia natural de 0.5
radianes/minuto. Inicialmente el horno esta desconectado y la temperatura en su interior es igual a la temperatura ambiente
(TE = 20ºC), y de repente se conecta el horno con lo cual su temperatura comienza a aumentar a razón de 40 ºC por minuto
hasta 620 ºC, momento para el cual el controlador comienza a actuar y la temperatura se mantiene constante.
b) Haga la grafica de la respuesta del sistema.
c) Calcule la temperatura indicada por el termómetro en el momento en que el horno alcanza su temperatura
máxima.
d) Cual será el error en estado estable de la lectura del termómetro una vez que la temperatura del horno sea
constante.
C- Se quiere controlar el horno del primer ejercicio, para mantener su temperatura constante en 620 ºC, utilizando un
controlador PID. Para ello se usa como elemento de medición el termómetro del segundo ejercicio y la variable manipulada
es el voltaje del circuito eléctrico. Se sabe además que la perturbación es constante e igual a la temperatura ambiente (20
ºC).
a) Haga el diagrama de bloques del sistema completo
b) Determine la temperatura que se tendrá en el horno cuando el sistema se encuentra en estado estable
c)
Haga la grafica de Nyquist suponiendo que el controlador es solo proporcional con una ganancia de 1 (KP
= 1)
d) Calcule los parámetros necesarios para el controlador PID utilizando el método de Ziegler – Nichols
basando en la respuesta frecuencial
Solución
ALas ecuaciones del sistema son:
Potencia eléctrica = calor entregado por la resistencia:
QR  IV  I 2 R  V 2 R
Pérdida de calor por las paredes del horno:
QR  Q1  CDT
Q1  Q2  CP DTP
Q1 
T  TP
;
RT 1
Q2 
TP  TE
RT 2
Introduciendo las ecuaciones de la potencia eléctrica y de los calores en las otras dos ecuaciones obtenemos:
V 2 T  TP

 CDT
R
RT 1
T  TP TP  TE

 C P DTP
RT 1
RT 2
Reorganizando estas ecuaciones y tomando en cuenta cuales son las entradas y cual la salida podemos escribirlas de la
siguiente forma:
T
T
V2
T  P 

CRT 1 CRT 1 CR
TP 
C R  CP RT 1 TP  TE
T
 P T2
C P RT 1
CP RT 1CP RT 2
C P RT 2
Parte a) Espacio de estado
Como:
u1 t   V 2 ;
u 2 t   TE ;
y t   T
Se pueden tomar como variables de estado a:
x1 t   T ;
x2 t   TP
El sistema se puede escribir en función de estas variables de estado como:
x1 
x2 
1
1
1
x2 
x1 
u1
CRT 1
CRT 1
CR
C R  CP RT 1  x  1 u
1
x1  P T 2
2
2
CP RT 1
CP RT 1C P RT 2
CP RT 2
y  x1
Expresado matricialmente:
x  Ax  Bu
y  Cx
Donde:
1

 CR
T1
A
1

 CP RT 1
C  1 0
1


CRT 1
;

CP RT 2  CP RT 1  

CP RT 1CP RT 2 
 1 1 
A
;
 1  2
C  1 0
 1

B   CR
 0



1 

CP RT 2 
0
1

0
B   22
 0 1


Parte b) Ecuación diferencial
En este caso lo mas fácil es volver a las ecuaciones del sistema:
T
T
V2
T  P 

CRT 1 CRT 1 CR
TP 
C R  CP RT 1 TP  TE
T
 P T2
C P RT 1
CP RT 1CP RT 2
C P RT 2
Despejando TP de la primera ecuación y sustituirlo en la segunda:

T

CP RT 1
Reacomodando nos queda:
CP RT 2  CP RT 1  T  RT 1V
R

CP RT 1CP RT 2
2

 CRT 1DT 
2
  D T  RT 1V  CR DT   TE
T1

 C R
R


P T2
 C R  CP RT 1
 C R  CP RT 1 C 
1 
T 
CRT 1D 2T   P T 2

 1 DT   P T 2
CPCP RT 2
CP RT 1 
 CP RT 1CP RT 2


CP RT 2  CP RT 1 V 2  TE
RT 1
DV 2 
R
C PCP RT 2 R
CP RT 2
Se puede simplificar la escritura de la siguiente forma:
a2 D 2T  a1DT  a0T  b1DV 2  b0V 2  c0TE
Donde:
a2  CRT 1  11  1
 C R  CP RT 1 C   1  11 
a1   P T 2
 1  
 1  3
CP CP RT 2


  1
 C R  C P RT 1
1  11 1


  1
a0   P T 2
CP RT 1   1 1 
 C P RT 1C P RT 2
b1 
1
RT 1
 ;
R
22
c0 
1
1
C P RT 2
D 2T  3DT  T 
b0 
CP RT 2  CP RT 1   1  1 
22
CP C P RT 2 R
1
11
1
1
DV 2  V 2  TE
22
11
BParte a) Grafica de la respuesta
El termómetro es de segundo orden críticamente amortiguado y su respuesta es de la forma:
620
T (ºC)
TT = ?
Entrada
Respuesta
20
0
Parte b) Respuesta del termómetro
La ecuación del termómetro expresada en minutos es:
D 2TT  210.5DTT  0.25TT  0.25TH
Donde la temperatura del horno TH varía en forma de rampa:
TH  40t  20
Luego la ecuación es:
D 2TT  DTT  0.25TT  10t  5
15
t (min)
Siendo las condiciones iniciales:
t  0  TT  20; DTT  0
Solución transitoria:
0.5t
TTt  C1 e
Solución en estado estable:
0.5t
 C2t e
TTee  A  Bt
DTTee  B
Sustituyendo en ecuación:
5 B  A  Bt  40t  20
 B  40
 A  180

5B  A  20
La solución completa será:
0.5t
TT  C1 e
0.5t
 C2t e
0.5t
DTT  0.5C1 e
Con las condiciones iniciales:
 180  40t
0.5t
 C2 e
0.5t
 0.5C 2 t e
 40t
20  C1  180  C1  200
0  0.5C1  C 2  C 2  100
Por lo tanto la ecuación de la respuesta es:
0.5t
TT  200 e
0.5 t
 180  40t
El horno alcanza su temperatura máxima en t  15 minutos, en este momento la temperatura indicada por el termómetro
será:
 100t e
TT  2000.000553  100150.000553  180  4015
TT  0.1106  0.8296  180  600
TT  420.94º C
Parte c) Error en estado estable
Cuando la temperatura del horno se mantiene constante, el error en la lectura del termómetro corresponde a la diferencia
entre el valor en estado estable de la respuesta del termómetro y la temperatura real del horno.
En este caso como se trata de un instrumento de 2do orden ante una entrada en escalón:
El error en estado estable es CERO.
CParte a) diagrama de bloque del sistema
Parte b) temperatura en estado estable
Como se utiliza un control PID la temperatura del horno en estado estable será: TH  620º C
Parte c) Diagrama de Nyquis para K P  1
Primero se debe reducir el diagrama de bloques para obtener la función de transferencia de lazo abierto, consideraremos
para ello una sola entrada, en este caso la referencia y se hace la perturbación cero:
Se debe entonces hacer el diagrama de Nyquist, considerando solo la ganancia proporcional y siendo esta igual a 1, luego
G(s)H(s) será:
s  2 K p  K D s  K i 
4
s 

2
2
22 4 s  4s  1s  3s  1
s  2
2
G s H s  
2
11 4s  4s  1s 2  3s  1
s  2 
2
G s H s  
4
3
11 4 s  16s  17 s 2  7 s  1
2s  4
G s H s  
4
3
44s  176s  187s 2  77s  11
Sustituimos a s  j
2 j  4
G s H s  
4
44 j  176 j 3  187 j 2  77 j  11
4  j 2
G s H s  
4
2
44  187  11  j 77  176 3 
G s H s  
Multiplico por el conjugado para obtener la parte real y parte imaginaria
G s H s  
G s H s  

 
 
 
4  j 2
44 4  187 2  11  j 77  176 3

44 4  187 2  11  j 77  176 3
44 4  187 2  11  j 77  176 3

 
4  j 2 44 4  187 2  11  j 77  176 3 
44
 
2
 187 2  11  77  176 3
4



2
4  j 2 44  4  j 2 187  4  j 2 11   j 4  2 77   j 4  2 176 
44  187  11  77  176 
44 4  44 j 2  187 4  187 j 2  44  j 22   77j 4  77 2   176 j 4  176
G s H s  
44  187  11  77  176 
 176  594  44
j 88  330  286 
G s H s  

44  187  11  77  176  44  187  11  77  176 
4
G s H s  
2
3
4
4
4
2
2
2
2
3
4
4
4
3 2
La parte imaginaria es cero para:
 330 3  286
4

44  187  11  77  176 
 88  330  286  0
4
3 2
5
2
5
2
2
2
2
88
3 2
2
2
4
3 2
3
2
2
3 2
0
2
Esto ocurre en:
  0 y 88 4  330 2  286  0
Esta ecuación tiene 5 raíces:
1.6653
1.6653
2.1157
2.1157
0.8521
0.8521
0.8521.
El valor que corresponde a un ángulo de fase de -180° es el valor real positivo:
es dibujar los diagramas de Bode y ver la frecuencia en la cual el ángulo de fase pasa
Una forma alternativa de ubicar
por -180°.
El diagrama de Nyquist para esta función es:
Nyquist Diagrams
From: U(1)
0.3
0.2
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Real Axis
Lo cual indica que el sistema es estable con K P  1 .
Parte d) Calibración del controlador
Para calibrar el controlador aumentamos el valor de KP hasta que la gráfica de Nyquist pase por el punto:
3
2

-1 + j0
Este valor se obtiene con una ganancia crítica
K C  25 y una frecuencia crítica C  0.8521 , en este caso el diagrama
de Nyquist se muestra en la figura siguiente.
Nyquist Diagrams
From: U(1)
8
6
2
To: Y(1)
Imaginary Axis
4
0
-2
-4
-6
-8
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Real Axis
Con estos valores buscamos en la tabla de Ziegler - Nichols para una respuesta frecuencial el valor de las ganancias del
controlador: Los valores serán entonces los siguientes.
K P  0.5K C  0.525  12.5
(2 )
(2 )
Ti  0.5t c  0.5
 0.5
 3.68
0.8521
C
(2 )
Ti  0.12t c  0.12
 0.88
0.8521
4) Para los ejercicios 3 a 6 del tema 9, determine el valor de las ganancias del controlador utilizando los dos criterios de
Ziegler Nichols. Utilice los tres tipos de controladores: P, PI y PID.