1. Funciones de varias variables

Análisis Matemático II. Curso 2008/2009.
Diplomatura en Estadı́stica/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén
TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1.
1.1.
Funciones de varias variables
Introducción
En muchos problemas comunes aparecen funciones de dos o más variables,
por ejemplo:
w = F · D (Trabajo realizado por una fuerza)
V = πr2 h (Volumen de un cilindro circular recto)
V = xyz (Volumen de un solido rectangular)
z = ex + sen(y) = f (x, y)
w = f (x, y, z) = x2 + 3yz
Definición 1.1 (Función de n variables con valores reales).
f : D ⊂ Rn → R
(x1 , x2 , . . . , xn ) → f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R
D = dominio de f
{f (x1 , x2 , . . . , xn ) : (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R} = rango o imagen de f
Observación 1.1. La manera más común de describir una función de varias
variables es mediante una ecuación. A menos que se diga lo contrario el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación esté definida.
Ejemplo 1.1. Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1. f (x, y) = x2 + sen(y)
2. f (x, y) = ln(xy)
√
3. f (x, y) =
x2 +y 2 −4
y
4. g(x, y, z) = √
x
1−x2 −y 2 −z 2
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma
que las funciones de una variable:
(f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y) (Suma o diferencia).
(f · g)(x, y) = f (x, y) · g(x, y) (Producto).
(f /g)(x, y) =
f (x,y)
g(x,y)
si g(x, y) 6= 0 (Cociente).
Si f (x, y), g(z) y Rango(f ) ⊂ Dom(g)
(g ◦ f )(x, y) = g(f (x, y)) (Función compuesta).
Ejemplo 1.2. Si f (x, y) = 9 − 3x2 − y 2 y g(z) =
compuesta g ◦ f y su dominio.
1.2.
√
z calcular la función
Gráficas y curvas de nivel
La gráfica de una función de dos variables f (x, y) es el conjunto de todos
los puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y) para (x, y) ∈ Dom(f ). La gráfica de
f (x, y) es una superficie en el espacio.
p
Ejemplo 1.3. Representar la gráfica de la función f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 .
Otra forma de obtener información gráfica acerca de una función son las
curvas de nivel. Éstas se obtienen intersecando la gráfica de f (x, y) (cuya
ecuación es z = f (x, y)) con planos horizontales (de ecuación z = c para
cualquier constante c ∈ R)
z = f (x, y), Gráfica de f ,
z = c,
Plano horizontal de altura c.
Por tanto la ecuación implı́cita de cada curva de nivel viene dada por
f (x, y) = c.
Variando el valor de c obtenemos las distintas curvas de nivel. Cada curva
de nivel une los puntos del plano en los que f toma el mismo valor.
Observación 1.2. Si f (x, y, z) es una función de tres variables entonces la
ecuación f (x, y, z) = c determina las superficies de nivel.
2
Ejemplo 1.4. Curvas de nivel famosas:
Isobaras: curvas de nivel de la función presión atmosférica
Isotermas: curvas de nivel de la función presión temperatura
Lı́neas equipotenciales: curvas de nivel de la función potencial eléctrico.
Lı́neas topográficas: curvas de nivel de la función altitud con respecto
al mar.
Ejercicio 1.1. Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y) = y 2 − x2 .
2.
Lı́mite de una función de dos variables
Utilizaremos la siguiente notación:
p
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) := (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ,
B((a, b), r) := {(x, y) ∈ R2 : d((x, y), (a, b)) < r}.
Definición 2.1 (Lı́mite de una función de dos variables). Si f :
D ⊂ R2 → R, (a, b) ∈ int(D) y L ∈ R entonces
lı́m
f (x, y) = L
(x,y)→(a,b)
significa que
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 / 0 < d((x, y), (a, b)) < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε
Observación 2.1. La principal diferencia con el cálculo de lı́mites en una
variable es que para determinar si una función de una variable tiene lı́mite
solo se necesita comprobar que se aproxima al lı́mite por dos direcciones: por
la derecha y por la izquierda. Sin embargo en el caso de una función de dos
variables, la expresión
(x, y) → (a, b)
significa que (x, y) puede aproximarse al punto (a, b) a través de cualquier
dirección. Si el valor de
lı́m f (x, y)
(x,y)→(a,b)
depende de la dirección o trayectoria que usemos para acercarnos a (a, b)
entonces el lı́mite en dos variables no existe.
3
Ejemplo 2.1. Probar que
lı́m
x2 = 0 usando la definición de lı́mite.
(x,y)→(0,0)
Los lı́mites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades
respecto a la suma, diferencia, producto y cociente que los lı́mites de una
variable.
Ejercicio 2.1. Calcular los siguientes lı́mites:
1.
5x2 y
(x,y)→(1,2) x2 + y 2
2.
x2 − y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
2.1.
lı́m
lı́m
Lı́mites según un subconjunto
Sean f : D ⊂ R2 → R, (a, b) ∈ int(D) y C un conjunto de puntos en R2
que se “aproxime” al punto (a, b) (generalmente C será una curva contenida
en D que pase por (a, b)). Entonces podemos calcular
lı́m
f (x, y).
(x,y)→(a,b),(x,y)∈C
En caso de que dicho lı́mite exista lo llamaremos lı́mite de la función f en el
punto (a, b) según el conjunto C.
Teorema 2.1. Si existe
lı́m
f (x, y) = L,
(x,y)→(a,b)
entonces para cualquier conjunto C que se “aproxime” al punto (a, b) se
cumple que
lı́m
f (x, y) = L.
(x,y)→(a,b),(x,y)∈C
Los lı́mites según un subconjunto más habituales son:
Lı́mites direccionales: nos acercamos a través de rectas que pasan por
el punto (a, b), y = b + m(x − a).
Lı́mites parabólicos: nos acercamos a través de parábolas que pasan por
el punto (a, b), y = b + m(x − a)2 .
Ejercicio 2.2. Calcular los lı́mites direccionales en los siguientes ejemplos.
¿Qué podemos concluir acerca de la existencia del lı́mite en dos variables?
4
1.
x2 − y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
2.
x2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
lı́m
Observación 2.2. Estudiar los lı́mites direccionales resulta cómodo porque
se reduce a estudiar un lı́mite en una variable (y pueden usarse todas las
herramientas disponibles para ello como por ejemplo la regla de L’Hôpital).
Sin embargo este estudio sólo es concluyente si encontramos dos direcciones
distintas a lo largo de las cuales la función tenga lı́mites distintos, en cuyo
caso el lı́mite no existe.
2.2.
Lı́mites iterados
Sean f : D ⊂ R2 → R y (a, b) ∈ int(D). Los lı́mites iterados de f en
(a, b) se definen como
h
i
h
i
lı́m lı́m f (x, y) , lı́m lı́m f (x, y)
x→a x→b
x→b x→a
en el caso de que los lı́mites existan.
Teorema 2.2. Si en un punto (a, b) existen el lı́mite en dos variables de la
función y los dos lı́mites iterados, entonces los tres coinciden.
Ejemplo 2.2. Calcular
x2 + y 3
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Observación 2.3. De nuevo el cálculo de los lı́mites iterados solo sirve para
indicarnos cuándo no existe el lı́mite de una función en un punto. Un método
que si nos permitirá en muchas ocasiones demostrar que el lı́mite existe es el
paso a coordenadas polares.
2.3.
Coordenadas polares
El cambio a coordenadas polares en el punto (a, b) viene dado por
x = a + ρ cos(θ), ρ > 0,
y = b + ρ sen(θ),
θ ∈ [0, 2π],
donde ρ es la distancia del punto (x, y) al punto (a, b) y θ es el ángulo que
forma el vector que une (a, b) y (x, y) con la horizontal.
Mediante este cambio de variables podemos escribir:
lı́m
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = lı́m f (a + ρ cos(θ), b + ρ sen(θ)) = lı́m F (ρ, θ).
ρ→0
ρ→0
5
Teorema 2.3. Supongamos que se satisfacen las siguientes condiciones:
(i) Existe lı́m F (ρ, θ) = L, independiente del valor de θ.
ρ→0
(ii) Es posible determinar una función ϕ(ρ) tal que
|F (ρ, θ) − L| ≤ ϕ(ρ) ∀θ ∈ [0, 2π].
(iii) lı́m ϕ(ρ) = 0.
ρ→0
Entonces
lı́m
f (x, y) = L.
(x,y)→(a,b)
Observación 2.4.
1. Si no existe el lı́mite lı́m F (ρ, θ) o bien existe pero
ρ→0
toma valores distintos según el ángulo θ entonces podemos asegurar
que
6 ∃ lı́m f (x, y).
(x,y)→(a,b)
2. La condición (i) es equivalente a pedir que existan todos los lı́mites
direccionales y que su valor coincide.
Ejercicio 2.3. Estudiar la existencia de los siguientes lı́mites:
1.
lı́m
(x,y)→(0,0)
x2 y 2
2.
x2 + y 3
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
3.
x2 y
.
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
3.
3
(x2 + y 2 ) 2
.
lı́m
lı́m
Continuidad de funciones de dos variables
Definición 3.1. Sean f : D ⊂ R2 → R, D un conjunto abierto y (a, b) ∈
int(D). Entonces f es continua en el punto (a, b) si y solo si
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 / d((x, y), (a, b)) < δ ⇒ |f (x, y) − f (a, b)| < ε
6
Intuitivamente la anterior definición nos dice que podemos hacer que
f (x, y) esté tan cerca de f (a, b) “como nosotros queramos” con tal de tomar
(x, y) “suficientemente” próximo a (a, b).
Diremos que la función f es continua en la región D si es continua en
todo punto (a, b) de D.
Teorema 3.1 (Caracterización de la continuidad usando lı́mites).
f es continua en (a, b) ⇐⇒ lı́m f (x, y) = f (a, b).
(x,y)→(a,b)
Teorema 3.2. Si k ∈ R y f, g son continuas en (a, b) entonces las siguientes
funciones son continuas en (a, b):
1. k · f (Múltiplo escalar).
2. f ± g (Suma y diferencia).
3. f · g (Producto).
4. f /g si g(a, b) 6= 0 (Cociente).
5. Si f (x, y) es continua en (a, b) y h(z) es continua en z0 = f (a, b)
entonces
(h ◦ f )(x, y) = h(f (x, y)) (Función compuesta)
es continua en (a, b).
El teorema anterior establece la continuidad de las funciones polinómicas
(suma de funciones de la forma cxm y n , c ∈ R,n, m ∈ N) y racionales (cociente
de dos funciones polinómicas) en todo punto de su dominio. También nos
permite probar fácilmente que las siguientes funciones son continuas en todo
punto
1
sen(x2 + y 2 ), Dom(f ) = R2 , f es continua en R2 .
2
√
2
2
f (x, y) = cos(y 2 )e− x +y , Dom(f ) = R2 , f es continua en R2 .
f (x, y) =
Ejercicio 3.1. Analizar la continuidad de las siguientes funciones:
x−2y
, (x, y) 6= (0, 0),
x2 +y 2
1. f (x, y) =
0,
(x, y) = (0, 0).
(
√ xy , (x, y) 6= (0, 0),
x2 +y 2
2. f (x, y) =
0,
(x, y) = (0, 0).
7
(
√
3. f (x, y) =
x2 y 2
x2 y 2 +(x−y)2
1,
4. f (x, y) =
4.
sen(xy)
,
xy
1,
, (x, y) 6= (0, 0),
(x, y) = (0, 0).
(x, y) 6= (0, 0),
(x, y) = (0, 0).
Apéndice
En esta sección recordaremos algunas técnicas para calcular lı́mites de
una variable ası́ como algunas de las principales propiedades de las funciones
continuas de una variable.
4.0.1.
Cálculo de lı́mites de una variable
Teorema 4.1 (Teorema del encaje). Sean I ⊂ R un intervalo abierto,
c ∈ I y supongamos que
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x ∈ I \ c.
Si
lı́m g(x) = L = lı́m h(x),
x→c
x→c
entonces existe el lı́m f (x) y es igual a L.
x→c
Teorema 4.2 (Regla de L’Hôpital). Sean f y g funciones derivables en
un intervalo abierto conteniendo al punto c, excepto posiblemente en el propio
c. Supongamos que g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b), excepto posiblemente en el
f (x)
punto c. Si lı́m
produce la forma indeterminada 0/0, entonces,
x→c g(x)
f (x)
f 0 (x)
= lı́m 0
,
x→c g(x)
x→c g (x)
lı́m
suponiendo que el lı́mite de la derecha existe (o es infinito). Este resultado
f (x)
también se aplica si lı́m
produce cualquiera de las formas indetermix→c g(x)
nadas ∞/∞, (−∞)/∞, ∞/(−∞) o (−∞)/(−∞).
4.0.2.
Principales propiedades las funciones continuas de una variable
Teorema 4.3 (Teorema de Bolzano). Supongamos que f : [a, b] → R
es continua y además f (a)f (b) < 0.
Entonces existe al menos un número c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
8
Teorema 4.4 (Teorema del valor intermedio). Supongamos que f :
[a, b] → R es continua y sea k cualquier número comprendido entre f (a) y
f (b).
Entonces existe al menos un número c ∈ [a, b] tal que f (c) = k.
Teorema 4.5 (Teorema de Weierstrass de los valores extremos).
Si f : [a, b] → R es continua entonces f alcanza su máximo y su mı́nimo en
el intervalo [a, b], es decir existen x0 , y0 ∈ [a, b] tales que
f (x0 ) = m = mı́n f (x) y
x∈[a,b]
9
f (y0 ) = M = máx f (x).
x∈[a,b]