Bolet´ın FUNCIONES Y LÍMITES

Boletı́n FUNCIONES Y LÍMITES
1. La concentración de un compuesto orgánico en un embalse viene dada
en función del tiempo t (dı́as) como
1+t
,
et
C(t) =
t ≥ 0.
a) Determinar la concentración inicial; b) Determinar el valor a largo
plazo de la concentración; c) Representar C(t).
2. La temperatura de un alimento dentro de un frigorı́fico viene dada por
T = 10(4 +
t2
34
),
+ 4t + 10
t ≥ 0,
donde t es el tiempo medido en horas. Se pide a) Temperatura inicial
del alimento; b) Temperatura final; c) Determinar si la temperatura
aumenta o disminuye con el paso del tiempo; d) Representación gráfica
de T (t).
3. En cinética enzimática, la velocidad de reacción V depende de la concentración de substrato x, según la siguiente ecuación:
V =
ax
,
b+x
x ≥ 0,
donde a > 0, b > 0 son constantes. a) Determinar si la velocidad de
reacción es máxima o mı́nima para alguna cantidad de substrato; b)
¿Cuál será la velocidad final de la reacción? c) Representar la gráfica
de la función V (x).
4. Se cree que los peces migratorios intentan minimizar la energı́a requerida para desplazarse. Si el pez nada con velocidad v contra una corriente
de velocidad constante k > 0 entonces la energı́a necesaria para nadar
una distancia L es
v3
,
E(v) = 2L
v−k
v ≥ k.
Si consideramos el caso k = 10, a) Determinar el valor de v que minimiza la energı́a; b) Representar la función E(v).
1
5. Representar la función
y = (x3 − x)1/3 .
6. Un cuerpo caliente, que está inicialmente a una temperatura de 80 ºC
se sumerge en un lı́quido, que está a temperatura constante de 20 ºC .
El cuerpo se va enfriando según la ley de Newton
T (t) = 20 + A/B t
donde A, B > 0 son constantes positivas y T (t) es la temperatura del
cuerpo al cabo de t horas. a) Calcular A y B si se sabe que al cabo de
una hora la temperatura era de 40 ºC ; b) Representar la función T (t),
t ≥ 0.
7. El ritmo de crecimiento de cierta especie de plantas se ajusta al modelo
h(t) = 0, 2t + 0, 03 sen(2πt),
donde h(t) es la altura de la planta y t representa el tiempo en horas.
Si el momento t = 0 corresponde a la medianoche, ¿en qué momento
del dı́a es máximo y mı́nimo el ritmo de crecimiento?
8. Calcular los siguientes lı́mites de funciones:
a)
lı́m
x→0+
sen x
x
1/x
(sol. : 1);
b)
lı́m (x + ex )2/x
(sol. : e2 );
ln cos x
ln tg x
(sol. : −1);
x→∞
c)
lı́m
x→(π/2)−
d)
lı́m (x2 −
x→∞
e)
√
x4 − x2 + 2) (sol. : 1/2);
√
lı́m (cos x)1/x
x→0+
2
√
(sol. : 1/ e).