análisis de las principales estructuras actuariales con certeza en el

Parte III: Análisis de la determinación de las primas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador
cuando los tipos de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos
[ [ ] [ ]] [
(α )] p = f p
] [
]
E[Z]α =tExα= E Z1 (α ) , E Z 2 (α ) = t E 1x (α ), t E 2x (α ) = f t1 (α )t p x , f t2 (α )t p x =
[
= f t1 (α ), f t2
t
x
tα t
x
~
~
Así pues, t E x = f t tpx, pudiéndose entonces hallar su función de pertenencia como:
µ
~
t Ex
 x 

( x ) = µ ~f 
t
 t px 
~
siendo t E x el factor de actualización financiero-actuarial en base al principio de equivalencia
estática en presencia de un interés o intereses de actualización borrosos.
~
Asimismo, la varianza borrosa será un número borroso V[Z] cuyos α-cortes son:
{
V[Z]α = y ∈ R + | y = x 2 t p x t q x , x ∈ f t α
}
Dado que y es creciente respecto a x, los α-cortes de la varianza borrosa se obtienen como:
[
]
[
]
(
) (
)
2
2
2
2
V[Z]α =  f t1 (α ) t p x t q x , f t2 (α ) t p x t q x  =  f t1 (α ) , f t2 (α )  t p x t q x

 

( )2 t p x t q x
= f tα
Es decir, el extremo inferior de los α-cortes de la varianza se obtiene como la varianza de la
( )2 p
~
~
variable aleatoria inferior, y viceversa. Asimismo, podemos comprobar que, V[Z] = f t
t x tqx,
~
siendo por tanto su función de pertenencia deducible a través de la de f t , es decir:

µ V~[Z ] ( x ) = µ ~f 
t 




t px t qx 
x
~
Por otra parte, la desviación estándar D[Z] se hallará como
~
V[Z] , siendo entonces su función
de pertenencia:

µ D~[Z ] ( x ) = µ V~[Z ] x 2 = µ ~f 
t 

( )
y sus α-cortes,
[
D[Z]α = f t1 (α )
t



t px t qx 
p x t q x , f t2 (α )
x
t
] [
]
p x t q x = f t1 (α ), f t2 (α )
349
t px t qx
=
3. Análisis de las principales estructuras actuariales con el tipo de interés de valoración estimado a través de números
borrosos
= f tα
t px t qx
Respecto a la varianza de Feng, que notamos como V*[Z], partiendo de:
[
] (
)
V Z1 (α ) = f t1 (α )
2
t
[
] (
)
p x t q x y V Z 2 (α ) = f t2 (α )
2
t
px t qx
se obtiene,
V*[Z]=
1
2
1
∫ {V[Z (α )] + V[Z
1
0
∫ {[
1
=
1
2
] + [f
1
f t1 (α )
t px t qx
2
0
2
2
t
(α )] }dα = 1 ∫
20
(α )] 2
{[f (α)] + [f (α)] } p
1
t
2
2
2
t
t
x t q x dα
=
}dα
3.3.2. Análisis cuando el tipo de interés a aplicar es un número borroso constante
En este caso, durante toda la vida del contrato aplicamos un único interés que es el que se supone
que el asegurador conseguirá por término medio invirtiendo las primas que percibe por parte del
~
asegurado, y éste viene dado por un número borroso i constante. Así, las variables aleatorias
Z1(α) y Z2(α) serán:
(1 + i 2 (α)) − t
Z1 (α ) = 
0
con
t px
con
t qx
(1 + i1 (α)) − t
y Z 2 (α ) = 
0
con
t px
con
t qx
~
Siendo entonces los α-cortes de t E x :
t E xα
=
[E
t
1
x
(α ), t E 2x (α )] = (1 + i 2 (α ))
−t

t px ,
(1 + i (α ))
−t
1


t px 
~
Asimismo, la función de pertenencia de t E x puede ser obtenida explícitamente a través de la
~
función de pertenencia de i , µ ~i ( x ) , de forma que:
1


−
 x  t
 x 

 = µ ~i 
 − 1
µ E~ ( x ) = µ ~f 


t x
t
p
 t px 
 t x 

~
Por otra parte, la varianza borrosa V[Z] , presentará como α-cortes:
[
] (
)
(
)
−2 t
−2 t
V[Z]α = V 1 [Z](α ), V 2 [Z](α ) =  1 + i 2 (α ) t p x t q x , 1 + i 1 (α ) t p x t q x 


350
Parte III: Análisis de la determinación de las primas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador
cuando los tipos de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos
Siendo la función de pertenencia de la misma:

µ V~ [Z ] ( x ) = µ ~f 
t 




x
 = µ ~ 
i 

p q
t px t qx 
 t x t x
x



−

− 1

1
2t
~
Por otra parte, para D[Z] los α-cortes son:
] (
[
)
−t
D[Z]α = D1 [Z](α ), D 2 [Z](α ) =  1 + i 2 (α )

t px t qx
(
)
, 1 + i1 (α )
−t
t px t qx


y por tanto, su función de pertenencia será:

µ D~[Z ] ( x ) = µ ~f 
t 




x
 = µ ~ 

i 

t px t qx 



x


p
q
t x t x 
−
1
t


− 1


Respecto a la varianza y a la desviación estándar que se obtienen aplicando el enfoque de Feng,
se deduce inmediatamente a través de la expresión hallada en 3.3.1., sin más que expresar los
~
extremos de los α-cortes de f t como una función de i1(α) y i2(α).
3.3.3. Análisis cuando el tipo de interés a aplicar es un número borroso constante y
triangular
Dado que las variables aleatorias inferior y superior para un nivel α vienen determinadas por el
tipo de interés superior e inferior respectivamente, éstas son:
(1 + i 3 − (i 3 − i 2 )α) − t
Z1 (α ) = 
0
t
px
t qx
(1 + i1 + (i 2 − i1 )α) − t
y Z 2 (α ) = 
0
~
De esta forma, los α-cortes de t E x toman como expresión:
t
[
E x α = (1 + i 3 − (i 3 − i 2 )α ) − t t p x , (1 + i1 + (i 2 − i1 )α ) − t t p x
y por tanto, µ
~
t Ex
( x ) es:
351
]
t
px
t qx
3. Análisis de las principales estructuras actuariales con el tipo de interés de valoración estimado a través de números
borrosos
1

−


 (1 + i 3 ) −  x  t
 p 

t x

si (1 + i 3 ) − t t p x ≤ x < (1 + i 2 ) − t t p x
3
2

i −i
1

−
 x  t
1
  p  − (1 + i )
 t x
µ E~ ( x ) =  
si (1 + i 2 ) − t t p x ≤ x < (1 + i1 ) − t t p x
2
1
t x
i
i
−




en otro caso
0



~
Por otra parte, los α-cortes de V[Z] se obtienen como:
[
V[Z] α = (1 + i 3 − (i 3 − i 2 )α) −2 t t p x t q x , (1 + i1 + (i 2 − i1 )α) −2 t t p x t q x
]
y entonces, la función de pertenencia de la varianza será:
1

−
 2t
x
 (1 + i 3 ) − 
 p q 

 t xt x


i3 − i 2
1

−
 2t
x

− (1 + i1 )
  p q ) 
 t x t x 
µ V~ [Z ] ( x ) = 
i 2 − i1




0



si (1 + i 3 ) − 2 t t p x t q x ≤ x < (1 + i 2 ) − 2 t t p x t q x
si (1 + i 2 ) − 2 t t p x t q x ≤ x < (1 + i1 ) − 2 t t p x t q x
en otro caso
~
De esta forma, los α-cortes de D[Z] y su función de pertenencia se obtienen como:
[
D[Z] α = (1 + i 3 − (i 3 − i 2 )α) − t
t px t qx
, (1 + i1 + (i 2 − i1 )α) − t
y,
352
t px t qx
]
Parte III: Análisis de la determinación de las primas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador
cuando los tipos de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos
1

−
t



x
3


(
1
i
)
+
−

 p q 

 t xt x 

i3 − i2

1
−

t

x
 − (1 + i1 )

 t p x t q x ) 


µ D~[Z ] ( x ) =  
2
i − i1




0




si (1 + i 3 ) − t
t
p x t q x ≤ x < (1 + i 2 ) − t
t
px t qx
si (1 + i 2 ) − t
t
p x t q x ≤ x < (1 + i1 ) − t
t
px t qx
en otro caso
Así, es inmediato hallar V*[Z], sin más que sustituir en su expresión hallada en el apartado 3.2.1:
f t1 (α ) = (1 + i 3 − (i 3 − i 2 )α) −2 t t p x t q x
f t2 (α ) = (1 + i 1 + (i 2 − i1 )α) − 2 t t p x t q x
obteniéndose,
1
∫[
]
1
V [Z]= t p x t q x (1 + i 3 − (i 3 − i 2 )α ) − 2 t + (1 + i1 + (i 2 − i1 )α) − 2 t dα =
2
0
*
=
1 t px t qx
⋅
2 2t − 1
[
] [
 (1 + i 2 ) − 2 t +1 − (1 + i 3 ) − 2 t +1
(1 + i1 ) − 2 t +1 − (1 + i 2 ) − 2 t +1
+


i3 − i2
i 2 − i1
]

Hallándose entonces D*[Z] como la raíz cuadrada de la expresión anterior.
3.3.4. Aplicación numérica
A continuación ejemplificamos los resultados obtenidos en este apartado, utilizándose las mismas
bases técnicas que en la aplicación efectuada para el capital de fallecimiento del apartado 3.2.4.
En este caso hallamos los parámetros asociados a la variable borroso aleatoria del valor actual de
un capital de supervivencia de 1000 unidades monetarias con vencimiento 10 años para un
individuo cuya edad actual es de 45 años.
~
Para un nivel α dado, las variables aleatorias inferior Z1(α) y superior, Z2(α) asociadas a Z son:
353
3. Análisis de las principales estructuras actuariales con el tipo de interés de valoración estimado a través de números
borrosos
 3
−10
10 ⋅ (1'05 − 0'02α )
1
Z (α ) = 
0

906.484
 3
10 ⋅ (1'02 + 0'01α) −10
951.683 y Z 2 (α ) = 

45.199
0
con
951.683

con
Así, obtenemos la función de pertenencia de
1

−
1'05 −  951.683x  10

 906.484.000 

0'02

1
  951.683x  − 10

− 1'02

  906.484.000 
µ E~ ( x ) = 
10 45
0'01




0



~
10 E 45
906.484
951.683
45.199
con
951.683
con
como:
si 10 3 ⋅ 1'05-10
906.484
906.484
≤ x < 10 3 ⋅ 1'03-10
951.683
951.683
si 10 3 ⋅ 1'03-10
906.484
906.484
≤ x < 10 3 ⋅ 1'02 -10
951.683
951.683
en otro caso
siendo sus α-cortes:
10 E 45α
906.484

(1'05 − 0'02α )−10 ,1.000 ⋅ 906.484 (1'02 + 0'01α )−10 
= 1.000 ⋅
951.683
951.683


Por otra parte, la función de pertenencia de la varianza borrosa es:
1

−
2
 20


951
.
683
x

1'05 − 
6
906
.
484
45
.
199
10
⋅
⋅




0'02

1
−
2

 20
951
.
683
x


− 1'02
  906.484 ⋅ 45.199 ⋅ 106 
µ V~[Z]( x ) = 
0'01




0




si 106 ⋅ 1'05- 20
si 106 ⋅ 1'03- 20
906.484 ⋅ 45.199
2
951.683
906.484 ⋅ 45.199
951.6832
≤ x < 106 ⋅ 1'03- 20
≤ x < 106 ⋅ 1'02- 20
906.484 ⋅ 45.199
951.6832
906.484 ⋅ 45.199
951.6832
en otro caso
y sus α-cortes:
906.484 ⋅ 45.199

(1'05 − 0'02α )−20 ,1.000 ⋅ 906.484 ⋅ 452.199 (1'02 + 0'01α )−20 
V[Z]α = 1.000 ⋅
2
951.683
951.683


354
Parte III: Análisis de la determinación de las primas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador
cuando los tipos de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos
y por tanto, la función característica de la desviación estándar se hallará como:
1

−

 20
951.683x

1'05 −  906.484 ⋅ 45199 ⋅ 103 



0'02

1

−
 20
951.683x


− 1'02
 
  906.484 ⋅ 45199 ⋅ 103 
µ D~[Z]( x ) = 
0'01




0



si 103 ⋅ 1'05-10
906.484 ⋅ 45.199
906.484 ⋅ 45.199
≤ x < 103 ⋅ 1'03-10
951.683
951.683
si 103 ⋅ 1'03-10
906.484 ⋅ 45.199
906.484 ⋅ 45.199
≤ x < 103 ⋅ 1'02-10
951.683
951.683
en otro caso
siendo sus α-cortes:


906.484 ⋅ 45.199
(1'05 − 0'02α )−10 ,1.000 ⋅ 906.484 ⋅ 452.199 (1'02 + 0'01α )−10 
D[Z]α = 1.000 ⋅
2
951.683
951.683


La varianza y la desviación estándar ciertas son: V*[Z]= 242,17 y D*[Z] = 15,56.
Para analizar la idoneidad de la aproximación triangular, tenemos que calcular el error que
cometemos en el nivel de presunción de un valor por el hecho de tomarse dicha aproximación
triangular, y por tanto, debemos conocer los niveles αI*(t) y αD*(t) para los cuales se produce
mayor error en los α-cortes izquierdo y derecho respectivamente. Asimismo, αI*(t) y αD*(t) se
obtienen fácilmente a través de las expresiones que dimos para los mismos parámetros asociados
a la actualización monetaria con tipo de interés constante y triangular del apartado 4.2.3.2. de la
primera parte de la tesis, como ya hemos comentado. Para ello debemos tener en cuenta que para
~
~
~
los parámetros t E x , V[Z] y D[Z] observamos:
a) La esperanza matemática y la desviación estándar para un vencimiento t se obtienen como
producto del factor de descuento a t años por una constante, y por tanto:
1 + i3
1  (1 + i 2 ) − t − (1 + i 3 ) − t 
α *I (t ) = 3 2 − 3 2 

i −i
i −i 
t i3 − i2

(
)
−
1
t +1
1+ i
1  (1 + i1 ) − t − (1 + i 2 ) − t 
α *D (t ) = − 2 1 + 2 1 

i −i
i −i 
t i 2 − i1

1
(
)
−
1
t +1
b) La varianza para un vencimiento t se obtiene como producto del factor de descuento a 2t
años por una constante:
355
3. Análisis de las principales estructuras actuariales con el tipo de interés de valoración estimado a través de números
borrosos
1 + i3
1  (1 + i 2 ) − 2 t − (1 + i 3 ) − 2 t 
α *I (t ) = 3 2 − 3 2 

i −i
i −i 
2t i 3 − i 2

(
α *D
)
−
1
2 t +1
1 −2t
2 −2t
1


(t ) = − 12 + i 1 + 2 1 1  (1 + i ) 2− (1 1+ i ) 
i −i
i −i 
2t i − i

(
)
−
1
2 t +1
A continuación exponemos los errores que se cometen en la aproximación triangular de la
esperanza matemática, varianza y desviación estándar borrosas (que coincidirá con el error
cometido en la esperanza matemática) para un asegurado de 45 años y unos vencimientos t=0, 5,
10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, y 50 años del capital de supervivencia, con las mismas bases
técnicas que hemos venido utilizando. También, y para dichos vencimientos, damos el valor de la
varianza y la desviación estándar de Feng:
Error en la
Error en la Varianza
Vencimiento Esperanza Borrosa
0
0,00
0,00
5
0,01
0,03
10
0,03
0,05
15
0,04
0,07
20
0,05
0,10
25
0,06
0,12
30
0,07
0,14
35
0,09
0,17
40
0,10
0,19
45
0,11
0,21
50
0,12
0,23
V*[Z]
0,00
136,14
242,17
317,44
363,83
384,14
371,10
312,81
210,82
100,04
28,62
D*[Z]
0,00
11,67
15,56
17,82
19,07
19,60
19,26
17,69
14,52
10,00
5,35
Podemos comprobar que el comportamiento de la aproximación triangular de la esperanza,
varianza y desviación estándar en este tipo de capital es muy similar al comportamiento de dichos
parámetros para el capital de fallecimiento. Para vencimientos “cortos” la aproximación es buena,
pero no lo es tanto en vencimientos largos. Por otra parte, la aproximación de la varianza es peor
que la de la esperanza o de la desviación estándar, ya que implica aproximar triangularmente un
factor de descuento de una cuantía con un vencimiento que es el doble del de la esperanza
matemática o la desviación estándar borrosa.
356