Tema 6. Polinomios Expresiones algebraicas El álgebra

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Tema 6. Polinomios
Expresiones algebraicas
El álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. A
esas cantidades se les llama variables o incógnitas y las representamos con letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables
son el producto y la potencia.
Ejemplo: 2x2y3z
El grado de los monomios se calcula sumando los exponentes de las letras. En nuestro caso:
2x2y3z  Tiene grado 2 + 3 + 1 = 6
El coeficiente del monomio sería 2.
La parte literal del monomio sería x2y3z.
Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Operaciones con monomios
Suma y resta
Sólo podemos sumar o restar monomios semejantes
Ejemplo:
2x2y3z + 5 x2y3z = (2 + 5) x2y3z = 7 x2y3z
2x2y3z - 5 x2y3z = (2 - 5) x2y3z = -3 x2y3z
Producto de un número por un monomio
Multiplicamos el número por el cociente del monomio
Ejemplo:
6 . 2x2y3z = 12x2y3z
Multiplicación de monomios
Multiplicamos coeficientes y sumamos los exponentes de las potencias de la misma base.
Ejemplo:
(5 x2y3z) . (2y2z2) = (5 . 2)x2y2+3z2+1 = 10x2y5z3
División de monomios
Sólo podemos dividir monomios cuando:
1) Tienen la misma parte literal
2) El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor
Sí se cumplen esas dos condiciones, el monomio que resulta será la división de los coeficientes y la resta de
exponentes de las potencias con misma base
Ejemplo:
(10 x2y3z2) : (2y2z1) = (10:2)x2y3-2z2-1 = 5x2y3z
Potencia de un monomio
Elevamos cada elemento del monomio al exponente.
Ejemplo:
(2x3)4 = 24x3.4 = 24x12
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + … + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0
Los coeficientes son 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛−2 ,… 𝑎0
𝑎𝑛 es el coeficiente principal y 𝑎0 es el término independiente
EL grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la x.
Clasificación de polinomios
Polinomio nulo: Aquel que tiene todos sus coeficientes nulos
P(x) = 0x2 + 0x + 0
Polinomio homogéneo: Aquel en el que todos sus términos son del mismo grado
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo: Aquel en el que no todos sus términos son del mismo grado
P(x) = 2x3 + 3x2 – 3
Polinomio completo: Es aquel que tiene todos sus términos, desde el término in dependiente hasta el del
mayor grado
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x – 3
Polinomio incompleto: Es aquel que no tiene todos los términos
P(x) = 2x3 + 5x – 3
Polinomios semejantes: Es el resultado de sustituir la variable x por cualquier número en un polinomio
P(x) = 2x3 + 5x – 3 ; x = 1
P(1) = 2.13 + 5.1 – 3 = 4
Operaciones con polinomios
Suma y resta
Sumamos o restamos los coeficientes de los términos de mismo grado
P(x) = 2x2 + x - 1
Q(x) = 3x + 2
P(x) + Q(x) = 2x2 + 4x + 1
P(x) - Q(x) = 2x2 - 2x + 1
Multiplicación
Se multiplica cada término del primer polinomio con cada término del segundo polinomio
P(x) = 2x2 + x - 1
Q(x) = 3x + 2
P(x).Q(x) = (2x2 + x - 1).( 3x + 2) = 6x3 + 4x2 + 3x2 + 2x – 3x -2 = 6x3 + 7x2 – x – 2
División de polinomios
Usaremos el método de la división larga:
P(x) = x5 + 2x3 – x – 8
Q(x) = x2 – 2x + 1
Igualdades notables
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
(a + b).(a - b) = a2 – b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc