Resolución Maple

Métodos Numéricos
EPSEM-UPC
Dep. Matemática Aplicada III
Versión 1.1 Febrero, 2011
Profesor: Francisco Palacios
Soluciones Tema 1: Preliminares
Problema 1
a)
> solve(2*x-3<=1);
RealRange( , 2 )
b)
> solve(4*x+1>2*x-2);

 -3  
RealRange Open ,  

2 
c)
> solve(x^2>=2*x+1,x);
RealRange( , 1 2 ), RealRange( 2 1,  )
d)
> solve((2*x-1)/x<x-2,x);
RealRange( Open( 0 ), Open( 2 3 ) ), RealRange( Open( 2 3 ),  )
>
Problema 2
a) El argumento de la raíz debe ser no negativo.
> solve(x^2-1>=0,x);
RealRange( , -1 ), RealRange( 1,  )
b) El argumento del logaritmo debe ser positivo.
> solve(x^2-x>0,x);
RealRange( , Open( 0 ) ), RealRange( Open( 1 ),  )
c) El argumento de la raíz debe ser no negativo; además debe ser no nulo para que el cociente esté definido.
> solve(2-x^2>0,x);
RealRange( Open(  2 ), Open( 2 ) )
d) Representaciones gráficas
> plot(sqrt(x^2-1),x=-5..5);
4
3
2
1
-4
-2
0
> plot(ln(x^2-x),x=-2..4);
Page 1
2
x
4
2
1
-2
0
-1
1
2
x
3
4
-1
-2
> plot(1/sqrt(2-x^2),x=-5..5);
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
-4
0.7
-2
0
2
x
4
Observa que la gráfica no existe fuera del intervalo (-1.4142,1.4142).
>
Problema 3
a) Determinación analítca. Calculamos la derivada tercera
> f:=x^2*ln(x);
f := x2 ln( x )
> f3:=diff(f,x$3);
2
f3 :=
x
La función objetivo es h(x)=f3(x), que es contínua en [2,3]; por lo tanto tiene un máximo y un mínimo absolutos sobre el
intervalo. Para determinar el extremo absoluto de h(x) en [2,3], consideramos
a) El valor de h(x) en los puntos críticos.
b) El valor de h(x) en los extremos del intervalo.
> h:=f3;
h1:=diff(h,x);
h :=
2
x
h1 := 
2
x2
Vemos que h1 no se anula en el intervalo (de hecho es siempre negativa y, por lo tanto, h es decreciente).
> va:=subs(x=2,h);
vb:=subs(x=3,h);
va := 1
vb :=
Vemos que M=1 y m=2/3.
b) Representación gráfica
> plot(h,x=2..3,y=0..1.5);
Page 2
2
3
1.4
1.2
1
0.8
y
0.6
0.4
0.2
02
2.2
2.4
x
2.6
2.8
3
Observamos que, efectivamente, los extremos de la función objetivo h(x) en [2,3] son m=2/3 y M=1.
>
Problema 4
a) Es similar al problema anterior.
> f:=x*exp(x);
f4:=diff(f,x$4);
h:=f4;
h1:=diff(f4,x);
f := x ex
f4 := 4 exx ex
h := 4 exx ex
h1 := 5 exx ex
Vemos que la primera derivada de la función objetivo es siempre positiva en [0,2]. La función objetivo h(x) es creciente en
el intervalo y resulta
> m:=subs(x=0,h);
M:=subs(x=2,h);
m := 4 e0
M := 6 e2
Para obtener una aproximación decimal, usamos evalf()
> mf:=evalf(m);
Mf:=evalf(M);
mf := 4.
Mf := 44.33433659
b) Representamos gráficamente
> plot(h,x=0..2);
40
30
20
10
0
0.5
1
x
1.5
2
Problema 6
Empezamos por escribir la desigualdad; le asignamos el nombre inec. Observa que para obtener el número e debes escribir
exp(1).
> inec:=exp(1)/(180*n^2)<=1/2*10^(-3);
Page 3
inec :=
1
e
2

1
180 n
2000
Usamos el comando solve para resolver de forma exacta la inecuación, observa que la incógnita es n.
> s:=solve(inec,n);
10


 10

s := RealRange , 
e , RealRange
e ,  

3

3

Para obtener resultados en forma decimal, evaluamos previamente la desigualdad
> inecf:=evalf(inec);
.01510156571
inecf :=
n2
.0005000000000
> sf:=solve(inecf,n);
sf := RealRange( , -5.495737568 ), RealRange( 5.495737568,  )
Como n es un número natural, la solución es n mayor o igual que 6.
Podemos resolver gráficamente el problema representando la inecuación. En la gráfica, el valor 1 corresponde a los valores de
n para los que la inecuación es cierta.
> plot(inec,n=1..12);
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
4
6
8
n
10
12
>
Problema 7
a) Usando la desigualdad triangular y teniendo en cuenta que x toma valores en [0,1] y que el valor de sin(x) y de cos(x) está
entre -1 y 1, resulta h(x)<=24.5.
b) Representamos h(x), conjuntamente con la constante K=24.5. Para representar conjuntamente dos expresiones f1,f2
debemos agruparla en la forma [f1,f2]
> h:=abs(23*x^2+sin(x)*cos(x^2)+1/(x^3+2));
h := 23 x2sin( x ) cos( x2 )
1
x32
> plot([h,24.5],x=0..1,y=0..30);
30
25
20
y15
10
5
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
Vemos que, efectivamente, h(x) no supera el valor de K en el intervalo [0,1].
>
Problema 8
a) La función f(x) es continua en [1/2,3], por lo tanto, tiene máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. Sabemos que los
extremos se puede tomar en:
 los puntos frontera del intervalo a=1/2 y b=3;
Page 4
 en los puntos críticos interiores.
Como f(x) es de la forma f(x)=|g(x)|, los puntos críticos de f(x) pertenecen al conjunto formado por los puntos críticos de g(x)
y los ceros de g(x).
Escribimos la expresión de g
> g:=x*ln(x);
g := x ln( x )
Calculamos la primera derivada,
> g1:=diff(g,x);
g1 := ln( x )1
Determinamos los ceros de g
> s0:=fsolve(g,x=0.5..3);
s0 := 1.
> s1:=fsolve(g1,x=0.5..3);
s1 := fsolve( ln( x )1, x, .5 .. 3 )
Vemos que Maple no encuentra ningun punto estacionario de g en el intervalo [1/2,3], de hecho el único punto
estacionario de g es x=exp(-1) y está fuera del intervalo. Los puntos a tener en cuenta son, por lo tanto, x=0.5, x=1, x=3.
Calculamos el valor de la función f(x) en estos puntos. Para ello definimos f como función mediante una estructura
f:=x->valor, que permite realizar las sustituciones de forma sencilla.
> f:=x->abs(x*ln(x));
f(0.5),f(1.0),f(3.);
f := x x ln( x )
.3465735903, 0, 3.295836867
Por lo tanto
Mínimo absoluto m=0, en x=1.
Máximo absoluto M=3.2958, para x=3.
b) Representamos f(x) en [0.5, 3] para verificar el resultado. Nótese que f está definida como función. En ese caso podemos
emplear uno de los siguientes formatos de plot
> plot(f(x),x=0.5..3)
> plot(f,0.5..3)
También valdría usar otra variable, por ejemplo, plot(f(t),t=0.5..3)
> plot([f(x),3.2958],x=0.5..3,y=-.5..4);
4
3
y
2
1
0 0.5
1
1.5
x
2
2.5
>
Problema 9
a) Vamos a determinar la cota M4 del valor absoluto de la cuarta derivada usando un gráfico
> restart;
f:=x^2*ln(x);
f4:=diff(f,x$4);
g:=abs(f4);
plot(g,x=1..2);
f := x2 ln( x )
Page 5
3
2
f4 := 
x2
2
g :=
x
2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
1
1.2
1.4
x
1.6
Está claro que podemos tomar M4=2.
> M4:=2;
M4 := 2
b) Teniendo en cuenta el apartado anterior, la expresión de Es(h) verifica
Exigimos que la cota superior de Es(h) no supere 0.5·10^(-4) y resolvemos en h
> ineq:=abs((2-1)/180*h^4*M4)<=0.5*10^(-4);
ineq :=
1
90
h 4.00005000000000
> solve(ineq,h);
RealRange( -.2590020064, .2590020064 )
Por lo tanto, el mayor valor de h admisible es h=0.2590
>
Problema 10
a) Calculamos las derivadas sucesivas de f. Empleamos un programa
> restart;
f:=exp(-x/2);
for i from 1 to 5 do
f.i:=diff(f,x$i);
od;
f := e(  12 x )
f1 := 
4
f3 := 
e(  12 x )
1
e(  12 x )
8
1
16
f5 := 
e(  12 x )
2
1
f2 :=
f4 :=
1
e(  12 x )
1
32
e(  12 x )
Observamos que la derivada n-ésima admite la expresión
> fn:=(-1)^n/2^n*exp(-x/2);
fn :=
( -1 )n e(  12 x )
2n
Page 6
1.8
2
El valor absoluto de la derivada n-ésina fn(x) elimina el factor (-1)^n, y como exp(-x/2) es decreciente, resulta que el
máximo de |fn(x)| se obtiene para x=0
> Mn:=1/2^n;
Mn :=
1
2n
b) Acotación de Rn(x). Como x pertenece a [0,1], obtenemos la cota superior
> Rn(x)<=1/(2^(n+1))/(n+1)!;
Rn( x )
1
( n1 )
2
( n1 )!
En este caso el comando solve no puede resolver la inecuación
> inec:=1/(2^(n+1))/(n+1)!<=1/2*10^(-5);
solve(inec,x);
inec :=
1
1

( n1 )
2
( n1 )! 200000
No obstante, como n toma valores naturales, podemos dar valores a n hasta que se verifique
> 1/(2^(n+1))/(n+1)!<=0.5*10^(-5);
1
2
( n1 )
( n1 )!
.5000000000 10-5
> for i from 1 to 6 do
v.i:=evalf(1/(2^(i+1)*(i+1)!));
od;
v1 := .1250000000
v2 := .02083333333
v3 := .002604166667
v4 := .0002604166667
v5 := .00002170138889
v6 := .1550099206 10-5
Obtenemos n=6.
También podemos representar la inecuación i ver cuando empieza a tomar valores positivos
> plot(inec,n=1..8,thickness=3);
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1
2
3
4
>
Page 7
n
5
6
7
8