Nombre y código - Departamento de Matemáticas

1
Nombre y código:
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
MATE1207 Cálculo Vectorial
Primer Parcial — (03/03/2011) 1
AD
OR
Sección Magistral # 21: Profesor: José Ricardo ARTEAGA B.
Prob.
Valor
1
10
2
10
3
15
4
15
Total
50
Puntos
Escriba todo su análisis si desea recibir el máximo valor en cada punto.
Respuesta sin justificar se invalida.
No puede usar calculadora
Problema 1. [10 Ptos.] Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso.
No olvide la justificación matemática.
a) [5 pts. ] En el punto (−1, 1) la función f (x, y) = x2 + xy + y 2 crece lo más rápido posible en la
1
1
dirección del vector unitario ~u = √ , √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2
b) [5 pts. ] La curvatura de la espiral ~r(t) = et cos t, et sin t tiende a cero a medida que t tiende a
BO
RR
infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden
conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad”
Secciones:
(22)Edgar
Mayorga
(23)Andrés
Mejı́a
(24)Edgar
Mayorga
(25)Andrés
Mejı́a
2
Nombre y código:
Problema 2. [10 Ptos.] Considere las funciones,
f (x, y) = y 2 + 4x − 4,
g(x, y) = y 2 − 4x − 4
AD
OR
y el siguiente resultado: “El ángulo de intersección en un punto P de dos curvas de nivel de dos
funciones diferentes es igual al ángulo entre los vectores gradiente en P de las dos funciones”.
a) [3 pts. ] En un mismo plano dibujar las curvas de nivel c = 0 de f y g que pasan por el punto
(0, 2). (Ayuda: Hallar las intersecciones con los ejes coordenados.)
b) [3 pts. ] Probar que el ángulo de intersección entre las curvas de nivel con c = 0 de las funciones
f y g es un ángulo recto.
BO
RR
c) [4 pts. ] Las curvas de nivel de f y g para cualquier nivel c se intersectan perpendicularmente?.
Justifique.
3
Nombre y código:
Problema 3. [15 Ptos.]
a) [5 pts. ] Probar que la ecuación x2 +y 2 −z 3 −3 = 0 define una función z = f (x, y) en una vecindad
del punto (1, 1) tal que f (1, 1) = −1.
∂f
(1, 1).
∂x
c) [5 pts. ] Hallar la derivada
∂2f
(1, 1).
∂y∂x
BO
RR
AD
OR
b) [5 pts. ] Hallar la derivada
4
Nombre y código:
Problema 4. [15 Ptos.] Considere la función f (x, y) = 5xy + 7x2 − 4x − 5y + 2.
a) [5 pts. ] Encontrar los puntos crı́ticos de f (x, y).
AD
OR
b) [5 pts. ] Clasificar los puntos crı́ticos según en ellos haya un mı́nimo local, un máximo local o un
punto de silla.
BO
RR
c) [5 pts. ] Hallar los valores máximo y mı́nimo, si existen, de f (x, y) sobre la recta: 5x + 5y + 5 = 0.
Tiempo: 70 minutos
Buena Suerte!