1 Nombre y código: Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE1207 Cálculo Vectorial Primer Parcial — (03/03/2011) 1 AD OR Sección Magistral # 21: Profesor: José Ricardo ARTEAGA B. Prob. Valor 1 10 2 10 3 15 4 15 Total 50 Puntos Escriba todo su análisis si desea recibir el máximo valor en cada punto. Respuesta sin justificar se invalida. No puede usar calculadora Problema 1. [10 Ptos.] Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso. No olvide la justificación matemática. a) [5 pts. ] En el punto (−1, 1) la función f (x, y) = x2 + xy + y 2 crece lo más rápido posible en la 1 1 dirección del vector unitario ~u = √ , √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 b) [5 pts. ] La curvatura de la espiral ~r(t) = et cos t, et sin t tiende a cero a medida que t tiende a BO RR infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad” Secciones: (22)Edgar Mayorga (23)Andrés Mejı́a (24)Edgar Mayorga (25)Andrés Mejı́a 2 Nombre y código: Problema 2. [10 Ptos.] Considere las funciones, f (x, y) = y 2 + 4x − 4, g(x, y) = y 2 − 4x − 4 AD OR y el siguiente resultado: “El ángulo de intersección en un punto P de dos curvas de nivel de dos funciones diferentes es igual al ángulo entre los vectores gradiente en P de las dos funciones”. a) [3 pts. ] En un mismo plano dibujar las curvas de nivel c = 0 de f y g que pasan por el punto (0, 2). (Ayuda: Hallar las intersecciones con los ejes coordenados.) b) [3 pts. ] Probar que el ángulo de intersección entre las curvas de nivel con c = 0 de las funciones f y g es un ángulo recto. BO RR c) [4 pts. ] Las curvas de nivel de f y g para cualquier nivel c se intersectan perpendicularmente?. Justifique. 3 Nombre y código: Problema 3. [15 Ptos.] a) [5 pts. ] Probar que la ecuación x2 +y 2 −z 3 −3 = 0 define una función z = f (x, y) en una vecindad del punto (1, 1) tal que f (1, 1) = −1. ∂f (1, 1). ∂x c) [5 pts. ] Hallar la derivada ∂2f (1, 1). ∂y∂x BO RR AD OR b) [5 pts. ] Hallar la derivada 4 Nombre y código: Problema 4. [15 Ptos.] Considere la función f (x, y) = 5xy + 7x2 − 4x − 5y + 2. a) [5 pts. ] Encontrar los puntos crı́ticos de f (x, y). AD OR b) [5 pts. ] Clasificar los puntos crı́ticos según en ellos haya un mı́nimo local, un máximo local o un punto de silla. BO RR c) [5 pts. ] Hallar los valores máximo y mı́nimo, si existen, de f (x, y) sobre la recta: 5x + 5y + 5 = 0. Tiempo: 70 minutos Buena Suerte!