Certamen 2: Series de Tiempo

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Certamen 2: Series de Tiempo
Problema 1.[15 puntos] Sea Yt un proceso estacionario con media cero y sean a y b constantes reales.
Considere
Xt = a + bt + St + Yt ,
donde St es una componente estacional determinı́stica con period 12. ¿Es el proceso
∇∇12 Xt = (1 − B)(1 − B 12 )Xt
estacionario?
Problema 2. [20 puntos] Demuestre que la solución de
"
#
n
n−1
X
X
1 2
2
2
Xt Xt−1 = φ (X1 + Xn ) +
Xt
2
t=2
t=2
es menor que 1. Es decir, |φbLS | < 1.
Problema 3. [25 puntos] Considere el modelo AR(1) con media µ dado por
Xt − µ = φ(Xt−1 − µ) + t ,
donde t es un ruido blanco. Suponga que una muestra de tamaño 100 está disponible proveniente de un
modelo AR(1) donde φ = 0.6 y σ 2 = 2 tal que X 100 = 0.271. Construya un intervalo de confianza del
95% para µ. Muestran los datos evidencia de a favor de la hipótesis H0 : µ = 0 ?
Problema 4. [20 puntos] Obtenga la función de autocorrelación y autocorrelación parcial del proceso
AR(2) dado por
Xt = 0.8Xt−2 + t ,
donde t es un ruido blanco con varianza σ 2 .
Problema 5.[20 puntos] Considere la siguiente información en el modelamiento de una serie de tiempo.
Modelo
AR(1)
AR(2)
MA(1)
ARIMA(2,2,0)
ARIMA(2,1,0)
Parámetros Estimados
φb = 0.99
φb1 = 0.90, φb2 = 0.03
θb1 = 0.99
b
φ1 = 0.87, φb2 = 0.09
φb1 = 0.83, φb2 = 0.01
AIC
-32.07
-31.97
-32.07
-32.07
-32.97
Valor p del test de Box-Ljung para H=20
p = 0.06
p = 0.05
p = 0.06
p = 0.1
p = 0.1
a) Usando los criterios discutidos en clases elija el modelo que usted considere más apropiado. Justifique.
b) Escriba la ecuación del modelo propuesto
c) ¿Qué información considera que falta para tomar una mejor decisión?
d) Escriba los supuestos que deberı́an satisfacerse para hacer pronósticos con el modelo propuesto.
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