Análisis estadístico de datos simulados Estimadores por intervalos

Análisis estadístico de datos simulados
Estimadores por intervalos
Georgina Flesia
FaMAF
7 de mayo, 2013
Estimador por intervalos
Un estimador por intervalo de un parámetro es un intervalo aleatorio
con una probabilidad de cobertura para el parámetro.
Sean X1 , . . . , Xn independientes e idénticamente distribuídos F (θ).
Quiero encontrar L(X1 , . . . , Xn ), R(X1 , . . . , Xn ) tal que
P (L(X1 , . . . , Xn ) ≤ θ ≤ R(X1 , . . . , Xn )) = 1 − α
La confianza que se da al intervalo es la probabilidad de que el
intervalo contenga al parámetro, usualmente 1 − α.
Estimador por intervalos
Estimador por intervalo de la media poblacional
Sean X1 , . . . , Xn i.i.d con media µ.
Quiero encontrar L(X1 , . . . , Xn ), R(X1 , . . . , Xn ) tal que
P (L(X1 , . . . , Xn ) ≤ µ ≤ R(X1 , . . . , Xn )) = 1 − α
Sabemos que
I
X (n) es un estimador puntual de la media basado en X1 , . . . , Xn .
I
Si la población es normal con media µ y d.s. σ,
X (n) − µ
√
∼ Z = N(0, 1)
σ/ n
Ejemplo
Supongamos 1 − α = 0.95,
entonces
P
|X (n) − µ|
√
≤ 1.96
σ n
!
= 0.95.
σ
σ
P X (n) − 1.96 √ ≤ θ ≤ X (n) + 1.96 √
n
n
Este es un intervalo posible, el de
menor ancho con probabilidad fija
1 − α, y es simétrico.
Estimador por intervalos
I
El intervalo aleatorio con extremos
√
X (n) − 1.96 σ/ n
y
√
X (n) + 1.96 σ/ n
se dice que es un estimador por intervalo, con un 95% de
confianza para la media µ.
I
Si x es un valor observado de X (n), el intervalo con extremos
√
√
x − 1.96 σ/ n
y
x + 1.96 σ/ n
es el valor estimado del estimador por intervalo de µ, con un
95% de confianza.
Estimador por intervalos: Significado
I
I
I
1.96σ
1.96σ
(X − √ , X + √ ).
n
n
z0.025 = 1.96.
El 95% de los intervalos
cubren la media.
Estimador por intervalo de la media poblacional
I
X (n) es un estimador puntual de la media.
I
Si la población es normal con media θ y d.s. σ,
X (n) − θ
√
∼ Z = N(0, 1)
σ/ n
I
P(Z > zα ) = α, para 0 < α < 1.
I
Si el nivel de confianza deseado es 1 − α,
!
|X (n) − µ|
√
P
≤ zα/2 = 1 − α.
σ n
σ
σ
P X (n) − zα/2 √ ≤ θ ≤ X (n) + zα/2 √
= 1 − α.
n
n
Estimador por intervalos
I
El intervalo aleatorio con extremos
√
X (n) − zα/2 σ/ n
y
√
X (n) + zα/2 σ/ n
se dice que es un estimador por intervalo, con un 100(1 − α)%
de confianza para la media µ.
I
Si x es un valor observado de X (n), el intervalo con extremos
√
√
x − zα/2 σ/ n
y
x + zα/2 σ/ n
es el valor estimado del estimador por intervalo de µ, con un
100(1 − α)% de confianza.
Estimador por intervalos
I
Si la varianza σ 2 es desconocida, utilizamos el estimador S 2 (n).
I
Para determinar un intervalo de confianza, es necesario conocer
la distribución del estadístico:
√ X (n) − θ
n
S(n)
Distribuciones derivadas de la normal
I
χ2 de Pearson con k grados de libertad: si Z1 , Z2 , . . . , Zk son
v.a. N(0,1), independientes:
χ2k = Z12 + · · · + Zk2
I
Tk de Student, con k grados de libertad: (W. S. Gosset)
Z
Tk = r
χ2k
k
Estimador por intervalos
Distribuciones derivadas de la normal
I
Si X1 , X2 , . . . , Xk son v.a. N(µ, σ 2 ), independientes: el
estadístico S 2 tiene una distribución Tn−1 :
√ X (n) − µ
n
∼ Tn−1
S(n)
I
Sea tα tal que
P(|Tn−1 | > tα ) = 1 − α.
S(n)
S(n)
= 1 − α.
P X (n) − tα/2 √ ≤ µ ≤ X (n) + tα/2 √
n
n
Estimador por intervalos
I
El intervalo aleatorio con extremos
√
X (n) − tα/2 S(n)/ n
y
√
X (n) + tα/2 S(n)/ n
se dice que es un estimador por intervalo, con un 100(1 − α)%
de confianza para la media µ con σ desconocido.
I
Si x es un valor observado de X (n), el intervalo con extremos
√
√
x − tα/2 s/ n
y
x + tα/2 s/ n
es el valor estimado del estimador por intervalo de µ, con un
100(1 − α)% de confianza, con σ desconocido.
I
Para n > 120, puede usarse la distribución normal, es decir,
tα ≈ zα .
Intervalos de confianza para proporciones
I
X1 , X2 , . . . , Xn : Bernoulli, independientes, con probabilidad p de
éxito.
I
Para n suficientemente grande tal que np y n(1 − p) es mayor
que 5,
X1 + · · · + Xn = Bi(n, p) ∼ N(np, np(1 − p).
I
Si p es desconocido, podemos estimar p con la media muestral:
p̂ = X (n)
I
y
Var(p̂) =
p̂(1 − p̂)
.
n
Intervalos de confianza del 100(1 − α)%:
!
r
r
p̂(1 − p̂)
p̂(1 − p̂)
, p̂ + zα/2
p̂ − zα/2
n
n
Longitud del intervalo de confianza
I
Estimación de la media: s(n): valor observado de la varianza
muestral.
zα/2 σ
zα/2 s(n)
2 √
o 2 √
.
n
n
I
Estimación de la proporción:
r
2zα/2
I
p̂(1 − p̂)
n
La longitud del intervalo de confianza al 100(1 − α)% depende
del tamaño de la muestra.
Cuando parar una simulación para estimar la media
I
Definir α y d, para el nivel de confianza y el del error.
I
Generar al menos 30 datos.
I
Continuar generado datos hasta que k , el número de datos
generados produzca
zα/2 σ
2 √
≤d
n
I
si σ es desconocido S(k ) debe ser calculado a cada paso
2
zα/2 s(k )
√
≤d
n