Presentación

Pronóstico de Secuencias Individuales
Predicciones Ponderadas
Aplicación en Quantil
Pronósticos con Recomendaciones de
Expertos
Quantil S.A.S.
Adrian Visbal - Quantil S.A.S.
Abril - 2015
Adrian Visbal - Quantil S.A.S.
Pronósticos con Recomendaciones de Expertos
Referencias
Pronóstico de Secuencias Individuales
Predicciones Ponderadas
1 Pronóstico de Secuencias Individuales
Ejemplo Básico - Caso General
Formalización - Decisiones Secuenciales
2 Predicciones Ponderadas
Predicciones Basadas en un Potencial
Potencial polinomial
Potencial exponencial
Potencial variable en el tiempo
3 Aplicación en Quantil
4 Referencias
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Pronósticos con Recomendaciones de Expertos
Aplicación en Quantil
Referencias
Pronóstico de Secuencias Individuales
Predicciones Ponderadas
Aplicación en Quantil
Referencias
Introducción
Problema: predecir secuencias individuales {y1 , y2 , ...} que son el
resultado de algún mecanismo desconocido que puede ser:
Determinı́stico.
Estocástico.
Resultado de una reacción o adaptación al comportamiento
del individuo que está prediciendo la secuencia.
Este análisis se aleja de la aproximación tradicional en la que la
secuencia observada es la realización de un proceso estocástico. No
tengo una distribución de probabilidad para la secuencia.
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Ejemplo Básico - Caso General
Descripción problema:
Predecir secuencia {y1 , y2 , ...} de bits yt ∈ {0, 1}.
En cada momento t, N expertos hacen sus pronósticos: vector
binario (f1,t , ..., fN,t ), donde fi,t ∈ {0, 1}.
En cada momento t, el jugador hace su pronóstico pbt ∈ {0, 1},
basado en las recomendaciones de los N expertos.
Objetivo: acotar el número de errores del jugador pbt 6= yt .
Suponemos que hay un experto i que no comete errores:
fi,t = yi , ∀i, t. No sabemos cuál experto es.
El jugador empieza asignando un peso wj = 1 a cada experto
j = 1, ..., N .
En cada momento t, el jugador predice pbt = 1 si el número de
expertos j con wj = 1 y fj,t = 1 es mayor que el de aquellos
con wj = 1 y fj,t = 0.
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Ejemplo Básico - Caso General
Al ser revelado yt : si pbt 6= yt , entonces el jugador asigna el
peso wk ←− 0 a todos aquellos expertos k tales que fk,t 6= yt .
El jugador predice teniendo en cuenta los expertos que, hasta
el momento t, nunca se han equivocado.
Sea Wm la suma de los pesos de los expertos después de que
el jugador ha cometido m errores. En t = 0: m = 0 y
W0 = N .
Cuando el jugador comete su error mth , al menos la mitad de
los expertos que no se habı́an equivocado, cometen su primer
error. Por lo tanto: Wm ≤ Wm−1 /2.
Esta desigualdad se mantiene ∀m ≥ 1 ⇒ Wm ≤ W0 /2m .
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Ejemplo Básico - Caso General
Experto i no comete errores (wi = 1) ⇒ Wm ≥ 1.
W0 = N ⇒ 1 ≤ N/2m .
Solucionando para m se obtiene: m ≤ log2 N .
Se obtiene una cota superior para el número de errores, la cual
depende del número de expertos N que se consideren para
hacer las pronósticos.
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Ejemplo Básico - Caso General
Caso General
Mismo problema pero sin el supuesto de tener un experto que
no cometa errores.
Nuevo objetivo: relacionar el número de errores que comete el
jugador con el número de errores que comete el mejor
experto. Y acotar errores.
Ya no tiene sentido asignar un peso wk ←− 0 al experto k que
cometa un error (no tengo la certeza de que hay uno que
nunca se equivocará).
Cambio: wk ←− βwk , cada vez que el experto k cometa un
error, donde 0 < β < 1 (parámetro libre). Cada vez que un
experto cometa un error, se reduce su peso en un factor
constante β.
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Ejemplo Básico - Caso General
En cada momento t, el jugador predice pbt = 1 si el peso
asignado a los expertos j con fj,t = 1 es mayor que el de
aquellos con fj,t = 0.
Cuando el jugador comete su error mth , el peso de los
expertos incorrectos es al menos Wm−1 /2; mientras que el de
los expertos correctos es como máximo Wm−1 /2.
El peso de los expertos incorrectos es multiplicado por β,
mientras que el de los correctos permanece igual. Por lo tanto:
Wm ≤ Wm−1 /2 + βWm−1 /2.
Esta desigualdad se mantiene ∀m ≥ 1, por lo tanto:
Wm ≤ W0 (1 + β)m /2m .
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Ejemplo Básico - Caso General
Sea l el experto que ha cometido la menor cantidad de errores
cuando el jugador comete su error mth . Su número mı́nimo de
errores se denota por m∗ y, por lo tanto, su peso actual es
∗
∗
wl = β m . Entonces, Wm ≥ β m .
∗
Esto lleva a la desigualdad β m ≤ W0 (1 + β)m /2m . Con
W0 = N y resolviendo para m, se obtiene:
m≤
log2 N + m∗ log2 (1/β)
log2 (2/(1 + β))
Para un valor dado de β, esta desigualdad establece una
relación lineal entre el número de errores m cometidos por el
jugador, después de cierta cantidad de pronósticos, y el
número de errores cometidos por el mejor experto después de
esa misma cantidad de pronósticos.
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Formalización - Decisiones Secuenciales
Parámetros:
D: espacio de decisión convexo.
Y: espacio de resultados .
l : D×Y → R: función de perdida (no negativa).
E: conjunto de expertos. Número finito de expertos (1, ..., N ).
Para cada perı́odo t = 1, 2, ...:
Los expertos hacen sus pronósticos {fE,t ∈ D : E ∈ E} y son
revelados al jugador (agente).
2 El jugador hace su predición p
bt ∈ D una vez conocidos los
pronósticos de los expertos.
3 La naturaleza (adversario) escoge el próximo resultado yt ∈ Y.
4 El jugador incurre en una pérdida l(b
pt , yt ) y cada experto E en
una pérdida l(fE,t , yt ).
1
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Formalización - Decisiones Secuenciales
La pérdida acumulada del experto E hasta el perı́odo n
(LE,n ) se define como:
LE,n =
n
X
l(fE,t , yt )
t=1
bn .
Análogamente, la pérdida acumulada del jugador es: L
El arrepentimiento (acumulado) o regret RE,n del jugador con
respecto al experto E, hasta el perı́odo n, se define como:
b n − LE,n
RE,n = L
Y el arrepentimiento instantáneo se define como:
rE,n = l(b
pt , yt ) − l(fE,t , yt ) ⇒ RE,n =
n
X
rE,t
t=1
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Formalización - Decisiones Secuenciales
Objetivo del jugador: minimizar el arrepentimiento acumulado
RE,n respecto a cada experto E, para toda realización posible
de resultados.
Por ejemplo: el objetivo podrı́a ser que para toda secuencia de
resultados:
Ri,n
=0
lı́m máx
n→∞i=1,...N n
O de forma equivalente:
1 b
lı́m
Ln − mı́nLE,n → 0
n→∞ n
E∈E
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Predicciones Ponderadas
Una estrategia natural del jugador para hacer sus predicciones es
asignar un promedio ponderado a los pronósticos de los expertos:
N
P
pbt =
wi,t−1 fi,t
i=1
N
P
wi,t−1
i=1
donde wi,t−1 ≥ 0 son los pesos que se le asocian a cada experto en
el momento t. La notación hace referencia a que los pesos deben
escogerse con base en la información revelada hasta t − 1.
pbt ∈ D: combinación de fi,t ∈ D.
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Referencias
Si Ri,t−1 es grande entonces el experto i tiene una pérdida acumulada pequeña, por lo tanto, su peso asignado (wi,t−1 ) debe ser grande.
En particular (por conveniencia), vamos a suponer que:
wi,t−1 = φ0 (Ri,t−1 )
donde φ : R → R es una función no negativa, convexa y creciente.
N
P
⇒ pbt =
φ0 (Ri,t−1 )fi,t
i=1
N
P
φ0 (Ri,t−1 )
i=1
Alternativamente, se definirán cierto tipo de predicciones basadas
en una función potencial.
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Predicciones Basadas en un Potencial
Definición (Predicciones Basadas en un Potencial)
Definamos la función potencial Φ : RN → R de la forma:
!
N
X
Φ (u) = ψ
φ(ui )
i=1
donde φ : R → R es una función no negativa, convexa, creciente y
dos veces diferenciable y ψ : R → R es una función no negativa,
estrictamente creciente, cóncava y dos veces diferenciable. Una
predicción basada en el potencial Φ es una predicción de la forma:
pbt =
∇Φ (Rt−1 ) · ft
,donde Rt−1 = (R1,t−1 , ..., RN,t−1 ) .
N
P
∇Φ (Rt−1 )i
i=1
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Predicciones Basadas en un Potencial
!
N
X
Φ(Rt−1 ) = ψ
φ(Ri,t−1 )
i=1
∂Φ(Rt−1 )
⇒ ∇Φ (Rt−1 )j =
∂Rj,t−1
∇Φ (Rt−1 )i = ψ 0
!
N
X
φ(Ri,t−1 ) φ0 (Rj,t−1 )
i=1
N
P
⇒ pbt =
φ0 (Ri,t−1 )fi,t
i=1
N
P
→ Independiente de ψ
φ0 (R
i=1
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i,t−1 )
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Predicciones Basadas en un Potencial
Lema (Condición de Blackwell)
Si la función de pérdida es convexa en el primer argumento
entonces:
sup rt · ∇Φ (Rt−1 ) ≤ 0
yt ∈Y
Prueba.
N
X
sup rt · ∇Φ (Rt−1 ) ≤ 0 ⇔ sup
ri,t φ0 (Ri,t−1 ) ≤ 0
yt ∈Y
yt ∈Y i=1
Usar desigualdad de Jensen para llegar a la segunda expresión.
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Predicciones Basadas en un Potencial
El siguiente teorema aplica a cualquier tipo de pronóstico que satisfaga la condición de Blackwell y no únicamente a pronósticos
ponderados. No requiere que φ sea convexa.
Sea rt = (r1,t , ..., rN,t ) el vector de arrepentimiento instántaneo.
Teorema
Supongamos que los pronósticos de un jugador satisfacen la
condición de Blackwell para cierto potencial Φ, entonces:
n
Φ (Rn ) ≤ Φ(0) +
1X
C(rt )
2
i=1
donde,
C(rt ) = sup ψ 0
u∈RN
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Pronósticos con Recomendaciones de Expertos
! N
N
X
X
2
φ(ui )
φ00 (ui )ri,t
i=1
i=1
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Predicciones Basadas en un Potencial
Una aplicación del Teorema 1 es: Supongamos que φ es invertible.
Entonces, como ψ es invertible por definición de función potencial,
entonces:
!
N
X
ψ φ máx Ri,n
≤ ψ
φ (Ri,n ) = Φ(Rn )
i=1,...,N
⇒
máx Ri,n
i=1,...,N
≤
i=1
φ−1 ψ −1 (Φ(Rn ))
y Φ(Rn ) se puede limitar por la cota que arroja el teorema.
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Potencial polinomial
Ejemplo (Potencial Polinomial)
Considere el siguiente potencial denominado el potencial
polinomial:
!2/p
N
X
Φp (u) =
(ui )p+
= kukp+
i=1
donde p ≥ 0. Si calculamos los pesos, podemos ver que la
predicción satisface:
N
P
pbt =
(Ri,t−1 )p−1
+ fi,t
i=1
N
P
(Ri,t−1 )p−1
+
i=1
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Referencias
Potencial polinomial
Corolario (Cotas para predictor polinomial)
Supongamos que la función de pérdida l es convexa en su primer
argumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1,
p ≥ 2 y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor
polinomial satisface:
q
b
Ln − mı́n Li,n ≤ n(p − 1)N 2/p
i=1,...N
b n − mı́n Li,n ≤
Si p = 2 ⇒ L
i=1,...N
√
nN
Optimizar esta cota superior para el predictor polinomial, sugiere
usar p = 2ln(N )
p
b n − mı́n Li,n ≤ n(2ln(N ) − 1)e
⇒L
i=1,...N
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Potencial exponencial
Ejemplo (Potencial Exponencial)
Considere el siguiente potencial denominado el potencial
exponencial:
!
N
X
1
ηµi
e
Φη (u) = ln
η
i=1
donde η > 0. Si calculamos los pesos, podemos ver que la
predicción satisface:
N
P
pbt =
e−ηLi,t−1 fi,t
i=1
N
P
e−ηLi,t−1
i=1
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Potencial exponencial
Ventajas:
La predicción solo depende del rendimiento pasado de los
expertos y no de las predicciones pasadas del jugador como
sı́ es el caso con predictores basados en otro potenciales.
Los pesos satisfacen una recursión simple.
wi,t =
wi,t−1 e−ηl(fi,t ,yi,t )
N
P
wi,t−1 e−ηl(fi,t ,yi,t )
i=1
Desventajas:
La elección óptima del parámetro η depende de n (número
total de rondas de predicción).
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Referencias
Potencial exponencial
Corolario (Cotas para predictor exponencial)
Supongamos que la función de pérdida l es convexa en su primer
argumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1,
η > 0 y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor
exponencial satisface:
b n − mı́n Li,n ≤ ln(N ) + nη
L
i=1,...N
η
2
Optimizarqesta cota superior para el predictor exponencial, sugiere
)
usar η = 2 ln(N
n
p
b n − mı́n Li,n ≤ 2n ln(N )
⇒L
i=1,...N
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Potencial exponencial
La cota óptima encontrada para el predictor exponencial, puede ser
mejorada a través del siguiente teorema:
Teorema
Supongamos que la función de pérdida l es convexa en su primer
argumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1,
η > 0 y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor
exponencial satisface:
b n − mı́n Li,n ≤ ln(N ) + nη
L
i=1,...N
η
8
r
Si η =
8 ln(N )
b n − mı́n Li,n ≤
⇒L
i=1,...N
n
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r
n
ln(N )
2
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Potencial variable en el tiempo
“Double-tricking”
La cota del predictor exponencial depende del parámetro η, por lo
tanto no se mantiene uniforme para secuencias de resultados de
cualquier longitud, sino para una longitud determinada n. Esta desventaja puede solucionarse a través de una técnica conocida como
“double-tricking”:
Dividir el tiempo en perı́odos cuyas longitudes sean crecientes
exponencialmente. Dentro de cada perı́odo se tienen varias
rondas de predicción.
En cada perı́odo se optimiza η para la longitud
correspondiente.
Los pesos pueden hallarse recursivamente dentro de cada
perı́odo. Al finalizar el perı́odo, se reinician los pesos y se
vuelve a optimizar η para el intervalo correspondiente.
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Potencial variable en el tiempo
Usando la técnica de “double-tricking”, para todo n ≥ 1 y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor exponencial
satisface:
√ r
2
n
b
Ln − mı́n Li,n ≤ √
ln(N )
i=1,...N
2−1 2
Esta cota es mayor
que la cota óptima encontrada en el Teorema 2,
√
2
√
por el factor 2−1 ≈ 3,41.
Para mejorar esta cota, se evita la técnica de “double-tricking”, y
se recurre a funciones potenciales cuyos parámetros varı́an en el
tiempo.
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Referencias
Potencial variable en el tiempo
Potencial variable en el tiempo
q
8 ln(N )
Cuando η =
obtengo la mejor cota no-uniforme para el
n
predictor exponencial. Por lo tanto, una forma de escoger el potencial
exponencial con parámetro variable en el tiempo es:
r
8 ln(N )
ηt =
t
donde t es el número de la ronda de predicción en que nos encontramos. La cota óptima está dada por el siguiente teorema:
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Referencias
Potencial variable en el tiempo
Teorema
Supongamos que la función de pérdida l es convexa en su primer
argumento
y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1,
q
)
y realización y1 , ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del
ηt = 8 ln(N
t
predictor exponencial satisface:
r
r
n
ln(N )
b n − mı́n Li,n ≤ 2
L
ln(N ) +
i=1,...N
2
8
Esta cota es menor que la encontrada a través de la técnica de
“double-tricking”.
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Referencias
Aplicación en Quantil
Modelo de optimización de portafolio (CARM): generación de views
como uno de los inputs fundamentales del modelo.
Variable a pronosticar: precio objetivo de cada acción (view).
Expertos: analistas (empresas) que reportan precios objetivos
para cada acción.
Por definir:
Tipo de predictor.
Función de pérdida para evaluar precisión de los pronósticos.
Horizonte de evaluación de los pronósticos (¿Precio objetivo a
cuánto tiempo?).
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Referencias
Tipo de predictor
Predictor exponencial con parámetro variable en el tiempo:
El precio objetivo en cada ronda de predicción (pt ) estará dado por:
N
P
pbt =
e−ηt Li,t−1 fi,t
i=1
N
P
r
, ηt =
e−ηt Li,t−1
8 ln(N )
t
i=1
Donde,
N : número total de analistas (empresas) por acción.
fi,t : precio objetivo del analista i en cada ronda de predicción.
Li,t−1 : pérdida acumulada del analista i hasta la ronda de
predicción t − 1.
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Referencias
Función de pérdida
Según revisión de literatura, algunas medidas propuestas para determinar la precisión en los precios objetivos de los analistas son:
Bilinski et al.(2012) - Target Price Accuracy: International
Evidence.
M et − Any: variable indicadora que es igual a 1 si el precio de
la acción toca el precio objetivo en cualquier momento hasta
un perı́odo de 12 meses.
rev |
aT P E = |T P −P
,
P0
donde T P :precio objetivo, P12 :precio de cierre en 12 meses,
P0 :precio de cierre en fecha de emisión del precio objetivo.
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Referencias
M et − Any − rev: variable indicadora que es igual a 1 si el
precio de la acción toca el precio objetivo desde la emisión del
precio objetivo hasta el momento de la actualización.
12 |
aT P E − rev = |T PP−P
,
0
donde T P :precio objetivo, Prev :precio de cierre en fecha de
actualización, P0 :precio de cierre en fecha de emisión del
precio objetivo.
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Predicciones Ponderadas
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Referencias
Bradshaw et al.(2012) - Analyst Target Prices and Forecast
Accuracy around the World.
Clasifican los pronósticos de precio objetivo en: compra (si
T P > P0 ) y venta (si T P ≤ P0 ).
Acc12: porcentaje de dı́as, entre la fecha de emisión del precio
objetivo y la fecha en la que se cumpla el horizonte de 12
meses, en los que el precio de la acción es mayor que el precio
objetivo si es señal de compra (o menor si es señal de venta).
También lo analizan para un horizonte de 3 y de 6 meses (para
tener en cuenta las actualizaciones del precio objetivo).
T P M et = M et − Any.
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Predicciones Ponderadas
Aplicación en Quantil
Referencias
Kerl (2010) - Target Price Accuracy.
AM =
|T P −P12 |
TP
|T P −P12 |
TP
AM − Adj = 1 − V olatility
Estas medidas pueden ajustarse en caso de una actualización
del precio objetivo del analista, según lo propuesto por Bilinski
et al.(2012).
Sugerencia: realizar ejercicio de pronóstico con las medidas:
aT P E(Bilinski), AM y AM − Adj (Kerl), teniendo en cuenta el
ajuste en caso de actualización del precio objetivo antes del horizonte
de 12 meses, propuesto en Bilinski (2012).
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Predicciones Ponderadas
Aplicación en Quantil
Referencias
Cesa-Bianchi N., Lugosi G., (2006). Prediction, Learning, and Games.
Bilinski P., Lyssimachou D., Walker M., (2012). Target Price Accuracy:
International Evidence.
Kerl A., (2010) - Target Price Accuracy
Bradshaw M., Huang A., Tan H., (2012) - Analyst Target Prices and Forecast
Accuracy around the World
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