CEB CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO.

CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO.
CEB
CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO.
MATEMÀTICAS I
BLOQUE 4
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
ANALY
CRISTINA
DANIELA
HADE
ITZIA
JANETTE
MATEMÀTICAS I
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EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN, ES POSIBLE REALIZARLO
MEDIANTE LA MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS O POR MEDIO DE LA SIGUIENTE REGLA:
A)
PRIMERO
SE
SACA
EL
CUADRADO
DEL
TÉRMINO
COMÚN.
B) SE HACE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES Y SE MULTIPLICA POR EL
TÉRMINO
COMÚN.
C)
SE
MULTIPLICAN
LOS
TÉRMINOS
NO
COMUNES.
1.(
3X
+5)
(3X
–
2)=
9X2 +
9X
–
10
A)
EL
CUADRADO
DEL
TÉRMINO
COMÚN.
(3X)2=
(3X)
(3X)
=
9X2
B) LA SUMA DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES POR EL TÉRMINO COMÚN.
(+
5-2)
(3X)
=
(3)
(3X)
=
+9X
C)
SE
MULTIPLICAN
LOS
TÉRMINOS
NO
COMUNES.
(5)
(-2)
=
-10
2
2.(
X
+
Y)
(X
+
Z)
=
X +
X
(
Y
X
Z)
A)
EL
CUADRADO
DEL
TÉRMINO
COMÚN
(X)2 =
X2
B) LA SUMA DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES POR EL TÉRMINO COMÚN.
(Y
+
Z)
(X)
=
X
(Y
+
Z)
C)
LA
MULTIPLICACIÓN
DE
LOS
TÉRMINOS
NO
COMUNES.
(Y) (Z) = YZ
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN
(X + A )(X + B ) = X2 + (A+B) X + AB
EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE ESTA FORMA QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN ES
IGUAL AL CUADRADO DEL TÉRMINO COMÚN MÁS LA SUMA DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES
MULTIPLICADO POR EL TÉRMINO COMÚN MÁS EL PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS NO
COMUNES.
1) (X + 2)(X + 7 ) = X2 + (2 + 7) X + (2)(7)
A) EL CUADRADO DEL TÉRMINO COMÚN ES (X)(X) = X2
B) LA SUMA DE TÉRMINOS NO COMUNES MULTIPLICADO POR EL TÉRMINO COMÚN
ES (2 + 7)X = 9X
C) EL PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES ES (2)(7) = 14
ENTONCES: (X + 2)(X + 7 ) = X2 + 9 X + 14
2) (Y + 9)(Y - 4 ) = Y2 + (9 - 4) Y + (9)(-4)
A) EL CUADRADO DEL TÉRMINO COMÚN ES (Y)(Y) = Y2
B) LA SUMA DE TÉRMINOS NO COMUNES MULTIPLICADO POR EL TÉRMINO COMÚN ES (9 - 4)
Y = 5Y
C) EL PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES ES (9)(-4) = -36
MATEMÀTICAS I
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ENTONCES: (Y + 9)(Y - 4 ) = Y2 + 5 Y - 36
BINOMIO: ES UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA CON DOS TÉRMINOS. ESTRICTAMENTE
HABLANDO SE REFIERE A UN POLINOMIO FORMADO POR LA SUMA DE DOS MONOMIOS
ALGEBRA: ES LA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS QUE ESTUDIA LAS ESTRUCTURAS,
LAS RELACIONES Y LAS CANTIDADES (EN EL CASO DEL ÁLGEBRA ELEMENTAL).
ES UNA DE LAS PRINCIPALES RAMAS DE LA MATEMÁTICA, JUNTO A LA GEOMETRÍA,
EL ANÁLISIS MATEMÁTICO, LA COMBINATORIA Y LA TEORÍA DE NÚMEROS.
BINOMIO EN TERMINO COMÚN
PRODUCTOS NOTABLES: SON NORMAS QUE SE ESTABLECEN PARA
RESOLVER ALGUNAS MULTIPLICACIONES SIN NECESIDAD DE APLICAR EL
MÉTODO TRADICIONAL (TODOS CONTRA TODOS).
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN: PRODUCTO NOTABLE QUE PERMITE
DESARROLLAR BINOMIOS CON LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS DE
FORMA RÁPIDA Y SENCILLA, ES NECESARIO CONSIDERAR QUE COMO
RESULTADO
SE
OBTIENE
UN TRINOMIO
DE
LA
SIGUIENTE
FORMA: AX2+BX+C Ó X2+BX+C
TEL./FAX: 3-14-28-09 /3-14-21-52 EXT.:
C.3).- FACTORIZACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.
C.2A).- FACTORIZACIÓN DE UN MONOMIO.
C.2B).- FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO.
C.4).- FACTOR COMÚN.
C.4 A).- FACTOR COMÚN MONOMIO.
C.4 B).- FACTOR COMÚN POLINOMIO.
C.5).- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
C.6).- BINOMIO CUADRADO PERFECTO.
C.6 A).- REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.
C.7).- TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX +C.
C.8).- CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO.
C).- BINOMIO DE NEWTON
D).- CASO
E).- ECUACIONES CUADRÁTICAS.
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E-A).- GRÁFICAS E INTERPRETACIONES
E-B).- APLICACIONES.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
COMO VEREMOS NO TODO POLINOMIO SE PUEDE SE PUEDE DESCOMPONER EN DOS O
MAS FACTORES DISTINTOS DE 1, PUES EN EL MISMO MODO QUE EN ARITMÉTICA, HAY
NÚMEROS PRIMOS QUE SOLO SON DIVISIBLES POR ELLOS MISMOS Y POR 1, HAY
EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE SÓLO SON DIVISIBLES POR ELLOS MISMOS Y POR 1, Y
QUE , POR LO TANTO, O SON EL PRODUCTO DE OTRAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, EL
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA PUEDE DAR LA RESPUESTA DE CUANDO SE PUEDE
OBTENER UNA DESCOMPOSICIÓN.
FACTOR COMÚN
EL CASO MAS SIMPLE ES CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN MONOMIO O EN GENERAL
UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN.
A).- FACTOR COMÚN MONOMIO.
SE PRETENDE DESCOMPONER EN FACTORES LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA:
COMO LOS FACTORES DE LA EXPRESIÓN
COMÚN A ESCRIBIREMOS AL FACTOR COMÚN
TENIENDO
.
SON
Y , LOS CUALES TIENEN EN
COMO COEFICIENTE DE LA EXPRESIÓN
B).- FACTOR COMÚN POLINOMIO.
SE PRETENDE DESCOMPONER LA EXPRESIÓN
LOS TÉRMINOS
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Y
.
TIENEN EN COMÚN EL FACTOR
POR LO QUE
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COMO PODEMOS OBSERVAR EN AMBOS CASOS, FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR
COMÚN
POLINOMIO, CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA EXPRESIÓN ORIGINAL SE PUEDE DIVIDIR
POR
EL FACTOR COMÚN.
EJEMPLOS:
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
2+2X
X(A + B) + M(A + B)
FACTOR COMÚN
DESCOMPOSICIÓN
2
(A + B)
3X2 + 3
2X+1
3X2 + 1
3
NINGUNO
NINGUNO
2 + 2X =2(1+X)
X(A + B) + M(A + B) = (X +
M)(A + B)
3X2 + 3 = 3(X2+1)
EN EL ÚLTIMO EJERCICIO SE MUESTRA UNA EXPRESIÓN DE GRADO DOS Y LA
DESCOMPOSICIÓN NO SE PUEDE REALIZAR.
POLINOMIO, CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA EXPRESIÓN ORIGINAL SE PUEDE DIVIDIR
POR
EL FACTOR COMÚN.
EJEMPLOS:
EN EL ÚLTIMO EJERCICIO SE MUESTRA UNA EXPRESIÓN DE GRADO DOS Y LA
DESCOMPOSICIÓN NO SE PUEDE REALIZAR.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
SE DICE QUE UNA EXPRESIÓN ES UN CUADRADO PERFECTOCUANDO LA EXPRESIÓN SE
PUEDE DESCOMPONER COMO PRODUCTO DE UN MISMO FACTOR.
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POR EJEMPLO:
1.- SE PUEDE EXPRESAR COMO 9X2 COMO 9X2= (3X)(3X)
2.- X4 SE PUEDE DESCOMPONER COMO X4=(X2 )(X2)
UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO ES EL CUADRADO DE UN BINOMIO, O EL
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS IGUALES.
POR EJEMPLO: X2 + 2XY + Y2 SE PUEDE EXPRESAR COMO:
NOTA CUANDO SE UTILIZA EL SIGNO MAS LA EXPRESIÓN ES:
(X + Y )2 = (X + Y) (X + Y ) = X2 + 2XY + Y2
CON SIGNO MENOS:
(X - Y )2 = (X - Y) (X - Y ) = X2 - 2XY + Y2
O EN UNA SOLA EXPRESIÓN:
(X + Y )2 = (X + Y) (X + Y ) = X2 + 2XY + Y2
TAMBIÉN SE LEE COMO: “EL CUADRADO DE UN BINOMIO ES IGUAL AL CUADRADO DEL
PRIMER TÉRMINO MAS O MENOS, SEGÚN EL CASO, EL DOBLE PRODUCTO DEL PRIMERO
POR EL SEGUNDO MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO.”
EJEMPLOS DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS
X2 /4 + XY + Y2 = ( X/2 + Y ) 2 = (X/2 + Y) (X/2 + Y )
4X2 + 12XY + 9Y2 = ( 2X + 3Y ) 2 = (2X + 3Y) (2X + 3Y )
X2 /4 - 2XY + 4Y2 = ( X/2 - 2Y ) 2 = ( X/2 - 2Y ) ( X/2 - 2Y )
25A2 + 30AB + 9B2 = ( 5A + 3B ) 2 = ( 5A + 3B ) ( 5A + 3B )
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DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.
EN LOS
PRODUCTOS NOTABLES SE VIO QUE LA SUMA DE
DOS CANTIDADES
MULTIPLICADOS POR SU DIFERENCIA ES IGUAL AL CUADRADO DEL MINUENDO MENOS EL
CUADRADO DEL SUSTRAENDO, O SEA
SE CONOCE COMO DIFERENCIA DE CUADRADOS A LA EXPRESIÓN FORMADA POR EL
PRODUCTO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS Y LA DIFERENCIA DE LOS MISMOS TÉRMINOS.
(X + Y ) (X – Y) = X2 – Y2
REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.
DADA LA DIFERENCIA DE CUADRADOS, X2 – Y2, SE SACA LA RAÍZ A LOS DOS TÉRMINOS,
CONSIDERANDO LA RAÍZ POSITIVA Y SE MULTIPLICA LA SUMA DE LAS DOS RAÍCES POR LA
DIFERENCIA DE LAS DOS RAÍCES.
EJEMPLOS
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TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX +C.
LA DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES DE LA FORMA X2 + BX +C DEPENDE DE LOS VALORES
DE B Y C, POSITIVOS O NEGATIVOS (ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO).
EJEMPLOS:
EJEMPLOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE SEGUNDO GRADO DE LA
FORMAX2 + BX +C
X2 -2X +1= (X -1)(X -1) = (X -1)2
X2-2X +5 NO SE PUEDE DESCOMPONER EN EL CAMPO DE LOS REALES.
X2-2X-5=(X - 5/2)(X +1/2) (VER SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS).
CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO.
LA FORMA DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA QUE REPRESENTA UN CUBO PERFECTO DE UN
BINOMIO ES DADA POR:
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(X + Y)3= X3 +3X2Y + 3XY2 + Y3
GENERALMENTE SE EXPRESA COMO:
“EL CUBO DE UN BINOMIO ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMERO MAS, O MENOS, EL TRIPLE
PRODUCTO DEL PRIMER TERMINO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO MAS EL TRIPLE
PRODUCTO DEL PRIMERO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO MAS, O MENOS, EL SEGUNDO
AL CUADRADO.”
EJEMPLOS:
EJEMPLOS DE CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO
A3X3 + 3BA2X2Y + 3AB2XY2 +B3Y3 = (AX + BY)3
8X3 + 36X2Y + 54XY2 +27Y3 = (2X + 3Y)3
1/27X3 + X2Y + 9XY2 +27Y3 = (1/3X + 3Y)3
X3 + 3/2X2Y + 3/4XY2 + 1/8Y3 = (X + 1/2Y)3
SE PUEDE DESARROLLAR EXPRESIONES, NO SOLO CUADRADO O CUBOS DE BINOMIOS
PERFECTOS, SINO PARA EXPRESIONES DE BINOMIOS A MAYOR GRADO, SIN EMBARGO ES
MEJOR ANALIZAR EL TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON QUE AGRUPA A TODOS ESTOS
DESARROLLOS INCLUYENDO LOS CUADRADOS O CUBOS DE BINOMIOS.
EL TEOREMA DEL BINOMIO
EL TEOREMA DEL BINOMIO, DESCUBIERTO HACIA 1664 -1665, FUE COMUNICADO POR
PRIMERA VEZ EN DOS CARTAS DIRIGIDAS EN 1676 A HENRY OLDENBURG (HACIA 1615-1677),
SECRETARIO DE LA ROYAL SOCIETY QUE FAVORECÍA LOS INTERCAMBIOS DE
CORRESPONDENCIA ENTRE LOS CIENTÍFICOS DE SU ÉPOCA. EN LA PRIMERA CARTA,
FECHADA EL 13 DE JUNIO DE 1676, EN RESPUESTA A UNA PETICIÓN DE LEIBNIZ QUE QUERÍA
CONOCER LOS TRABAJOS DE MATEMÁTICOS INGLESES SOBRE SERIES INFINITAS, NEWTON
PRESENTA EL ENUNCIADO DE SU TEOREMA Y UN EJEMPLO QUE LO ILUSTRA, Y MENCIONA
EJEMPLOS CONOCIDOS EN LOS CUALES SE APLICA EL TEOREMA. LEIBNIZ RESPONDE, EN
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UNA CARTA FECHADA EL 17 DE AGOSTO DEL MISMO AÑO, QUE ESTÁ EN POSESIÓN DE UN
MÉTODO GENERAL QUE LE PERMITE OBTENER DIFERENTES RESULTADOS SOBRE LAS
CUADRATURAS, LAS SERIES, ETC., Y MENCIONA ALGUNOS DE SUS RESULTADOS.
INTERESADO POR LAS INVESTIGACIONES DE LEIBNIZ, NEWTON LE RESPONDE TAMBIÉN CON
UNA CARTA FECHADA EL 24 DE OCTUBRE EN LA QUE EXPLICA EN DETALLE CÓMO HA
DESCUBIERTO LA SERIE BINÓMICA.
EL DESCUBRIMIENTO DE LA GENERALIZACIÓN DE LA SERIE BINÓMICA ES UN RESULTADO
IMPORTANTE DE POR SÍ; SIN EMBARGO, A PARTIR DE ESTE DESCUBRIMIENTO NEWTON
TUVO LA INTUICIÓN DE QUE SE PODÍA OPERAR CON SERIES INFINITAS DE LA MISMA
MANERA QUE CON EXPRESIONES POLINÓMICAS FINITAS. EL ANÁLISIS MEDIANTE LAS
SERIES INFINITAS PARECÍA POSIBLE, PORQUE AHORA RESULTABAN SER UNA FORMA
EQUIVALENTE PARA EXPRESAR LAS FUNCIONES QUE REPRESENTABAN.
NEWTON NO PUBLICÓ NUNCA EL TEOREMA DEL BINOMIO. LO HIZO WALLIS POR PRIMERA
VEZ EN 1685 EN SU ALGEBRA, ATRIBUYENDO A NEWTON ESTE DESCUBRIMIENTO.
COMO SABEMOS DE LOS TEMAS DE FACTORIZACIÓN, ANTERIORES PODEMOS
DESARROLLAR FÁCILMENTE POLINOMIOS DE LA FORMA A2 + 2AB + B2 O A3 + 3A2B +3AB2 + B3
, SIN EMBARGO EL REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS DE MAYOR GRADO RESULTA
TEDIOSO, A CONTINUACIÓN PRESENTAMOS ALGUNOS DE ELLOS.
(A + B)1 = A + B
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3
(A + B)4 = A4 + 4A3B + 6A2B2 + 4AB3 + B4
(A +B)5 = A5 + 5A4B +10A3B2 10A2B3 + 5AB4 + B5
DEBIDO A LO TEDIOSO DE ESTOS CÁLCULOS SE HACE NECESARIO EL USO DE ALGUNA
EXPRESIÓN QUE NOS PERMITA ADQUIRIR LOS BINOMIOS DE MAYOR POTENCIA. LA
EXPRESIÓN QUE SE MUESTRA A CONTINUACIÓN ES CONOCIDO COMO EL TEOREMA DE
NEWTON, PERMITE DESARROLLAR LOS CÁLCULOS ANTERIORES Y DE MAYOR GRADO:
DONDE
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ES LA COMBINATORIA, SE LEE, DE N ELEMENTOS TOMADOS R,
DONDE N!=1234…..(N-1) N CONOCIDO COMO FACTORIAL DE N Y 0!=0, 1!=1
EJEMPLOS:
PERO PODEMOS VER QUE:
CON ESTA IGUALDAD ES FÁCIL DE CALCULAR EXPRESIONES MAS GRANDES CON MENOS
OPERACIONES, POR EJEMPLO:
VEMOS QUE:
ENTONCES :
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UN CASO PARTICULAR DEL BINOMIO DE NEWTON ES EL SIGUIENTE:
EJEMPLOS DE LA FORMA A N - B N :
CON N = 0
CON N = 1
CON N = 2
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