Estructuras multiplicativas - IREM de Rennes

3 Diciembre
Estamos orgullosos de culminar el primer año de la
revista VARIABLES con el tercer número. Gracias
al esfuerzo coordinado de colegas franceses y
costarricenses, los docentes de matemáticas se
ven beneficiados con una propuesta dinámica y
creativa.
La primera edición del Juego matemático en Costa
Rica, organizada el 1 de noviembre pasado, nos
permitió comprobar la gran acogida por parte de
los docentes de este tipo de iniciativas. Más de 200
personas acudieron de todo el país para participar
en los cuatro talleres diseñados. Frente a tanto
entusiasmo, nos complace anunciarles que una
segunda edición, probablemente ampliada a dos
días, tendrá lugar en el 2009.
Por otra parte, la Cooperación Francesa y la
Cecc-Sica organizaron un seminario-taller de una
semana, en noviembre, dirigido a los asesores
de matemáticas de primaria cuyo objetivo
principal era la didáctica de las matemáticas. El
evento que reunió a participantes de 8 países de
Centroamérica y República Dominicano, contribuyó
a abrir un espacio de reflexión y de intercambio
sobre el tema y sus problemáticas: cómo rebasar
los hábitos pedagógicos susceptibles de causar
bloqueos definitivos en los niños? De que manera
despertar su interés?
Les deseamos un muy feliz fin de año y los
esperamos en el 2009 para seguir con las
actividades del proyecto francés para la enseñanza
de la matemática!
EDITORIAL ..................................................1
TEMAS Y ENFOQUES ................................2
Colorear e invariantes...................................2
Dos Rompecabezas.....................................3
Un paseo a caballo.......................................5
La tabla de Pitágoras...................................6
Geometría por placer...................................15
APORTES ..................................................16
Construcción del concepto gráfico en
primaria (II parte).........................................16
Geometría y arte........................................20
GOTAS HISTÓRICAS ..................................23
El teorema de los 4 colores.......................23
JUEGOS Y PASATIEMPOS........................24
Día del juego matemático...........................24
Dos niños comen cifras...............................24
Un truco digno de un buen mago...............25
Rally matemático........................................25
Haciendo pequeños matemáticos...............26
ANEXOS Y SOLUCIONES ............................28
Consejo Editorial: Andrés Márquez, Dir. Departamento Matemáticas UAM. Fernando Gutiérrez Moreno, Universidad
Tecnológica México. INITE. Francoise Guimier, IREM Rennes, Francia. Jean Michel Le Laouenan,CNED, Francia. JeanPierre Escofier, Université Rennes I, Francia. Marie-Christine Petitdemange, Liceo Franco Costarricense. Luis Valverde,
Universidad Americana. William Castillo, exdirector de Escuela Matemáticas UCR. Publicación impresa: Universidad
Americana. Portal Digital: Embajada de Francia y Universidad Americana. Diagramación, Diseño y Levantado de Texto:
Jonathan Carpio R. Tecnología Educativa Universidad Latina C.R. ISSN 1659-3391 III Edición, Diciembre 2008.
Colorear e invariantes
Primera parte
Jean Michel Le Laouénan
Director del Departamento de Ciencias
Coordinador de la revista Diagonales
Instituto de Rennes del CNED. Francia
Jean-Pierre Escofier
Profesor de la Universidad de Rennes I, Francia.
Iniciaremos presentando una serie de problemas que pueden ser resueltos coloreando. « Coloreando »,
se preguntará usted, « pero eso no es parte de las matemáticas ! ». Pues puede equivocarse dado que
iremos, gracias a ello, a tratar una noción fundamental en las matemáticas : la noción de invariantes.
Introduciremos una serie de problemas por medio del problema de « rellenar ». Entendemos por
« rellenar » el recubrimiento de una superficie dada, por medio de objetos de formas diversas que no
se sobrepongan. Por ejemplo, podríamos rellenar una cuadrícula de 8 x 8 casillas con la ayuda de
pequeñas regletas de 1 × 4 casillas como se muestra seguidamente :
Por su parte, rellenar una cuadrícula de 9 x 9 casillas por medio de regletas de 1 x 4 es imposible dado
que el número de casillas de la cuadrícula de 9 x 9 no es divisible por 4.
Intentemos ahora rellenar una cuadrícula de 10 x 10 casillas con la ayuda de regletas de 1 x 4 casillas.
Esto parece posible puesto que el número de casillas de la cuadrícula de 10 x 10 es divisible por 4.
Al realizar algunos ensayos para resolver lo propuesto, observamos que falta por cubrir infraestructura
dentro de la cuadrícula, veamos :
Podríamos realizar todavía otras tentativas sin poder rellenar completamente nuestra cuadrícula
pues, en realidad, eso es imposible. ¿Pero cómo se puede persuadir de que eso es imposible?.
Es precisamente coloreando adecuadamente la cuadrícula lo que nos permitirá comprender esta
imposibilidad.
Obsérvese, en el dibujo de la izquierda, el coloreado de la cuadrícula de 10 x 10 casillas y constate que
de cualquier forma que usted disponga una regleta en coincidencia con las casillas de la cuadrícula
( ver el dibujo de la derecha), en ella se cubrirá un número par de casillas negras ( 0 o 2). Colocamos
con esto en evidencia un invariante del problema. Observe también que el número de casillas negras,
25, es impar. Por consecuencia, es imposible cubrir todas las casillas negras de la cuadrícula con un
número entero de regletas que no se sobrepongan. Lo expuesto explica que no se puede rellenar una
cuadrícula de 10 x 10 casillas con la ayuda de regletas de 1 x 4 casillas.
Queremos remarcar la importancia del aporte de colorear al reconocer o determinar la evidencia de un
invariante. Es dentro de este objetivo que queremos proseguir nuestra exposición.
Dos Rompecabezas
1. ¿Es posible rellenar una cuadrícula de 6 x 4 utilizando dos figuras « bastón » de 4 casillas y cuatro
figuras « escuadra » de 4 casillas también ? ( Es posible colocar una figura « escuadra » sobre uno
u otro de sus lados)
2. ¿Es posible rellenar una cuadrícula de 8 x 8 casillas utilizando nueve figuras « bastón » de 4 casillas
y siete figuras « escuadra » de 4 casillas también ? (Es posible colocar una figura « escuadra » sobre
uno u otro de sus lados)
Remarquemos, por un lado, que 2 figuras « bastón » y 4 figuras « escuadra » contienen en total 24
casillas, lo que corresponde exactamente al número de casilla de la cuadrícula de 6 x 4 y, por otro lado,
que 9 casillas de « bastón » y 7 figuras « escuadra » contienen en total 64 casillas, que corresponden
al número de casillas de la cuadrícula de 8 x 8 casillas. Todo esto no contradice entonces la posibilidad
de resolver los dos rompecabezas propuestos.
Hagamos un ensayo ( y tratemos de resolver el problema…), no le resta más que recortar, en una
hoja de papel cuadriculado, una cuadrícula de 6 x 4 casillas, otra de 8 x 8 casillas y suficientes figuras
« bastón » y figuras « escuadra ».
¿Has resuelto el primer problema ? ¿Si ? ¡Perfecto! Entonces compartamos una solución :
En el segundo rompecabezas usted tiene algunas preocupaciones… Nada de desmotivarse por eso,
en efecto es imposible rellenar una cuadrícula de 8 x 8 casillas utilizando 9 figuras « bastón » y 7
figuras « escuadra ». ¿Cómo justificar esta imposibilidad ? Utilizando el coloreado siguiente :
Es clave ver que una figura « bastón » puesta en esta cuadrícula coloreada recubre necesariamente
un número par de casillas grises(0, 2 o 4) además que una figura « escuadra » recubre un número
impar de casillas grises (1 o 3 ). Estas son las dos invariantes del problema. El rellenado solicitado
de la cuadrícula de 8 x 8 es entonces imposible pues ella contiene 32 casillas grises de donde las 9
figuras « bastón » y las 7 figuras « escuadra » no pueden recubrir más que un número impar de casillas
grises, 9p + 7q que, si p es par y q es impar, es entonces impar.
Los veinti-cinco escarabajos
Se ha colocado un escarabajo sobre cada una de las
casilla de un tablero de 5 x 5 casillas. En un momento
dado, cada escarabajo se debe desplazar hacia una
casilla vecina (dos casillas se dicen vecinas cuando ellas
tienen al menos un lado en común). Muestre entonces
que una casilla al menos quedará vacía.
La explicación de la casilla vacía se determinará con el apoyo de un coloreado del tipo « ajedrez »
con un tablero de 5 x 5 casillas, es decir coloreando sus casillas alternativamente de negro y blanco,
como se muestra seguidamente :
Cada escarabajo que se encuentra sobre una casilla blanca se desplaza a una casilla negra, cada
escarabajo que se encuentra sobre una casilla negra se desplaza a una casilla blanca : he aquí el
invariante del problema. Después del desplazamiento de los escarabajos, las casillas negras son
ocupadas por los escarabajo que se encuentran en las casillas blancas y viceversa. Como el tablero
contiene 12 casillas blancas y 13 casillas negras, al menos una de esas casillas negras quedará
vacía.
Aquí culminamos la primera parte de este artículo. Usted notará que los coloreados que les hemos
propuesto no utilizan más que dos colores. Es nuestra promesa que la siguiente parte de este artículo
involucrará más colores.
Les presentamos, para terminar, dos pequeños problemas que sometemos a su sagacidad
comprometiéndonos a dar las soluciones a los mismos en el próximo número de Variables. Tome de
nuevo sus lápices de colores y buen trabajo.
El fondo de la caja
El fondo (base) rectangular de una caja a sido rellenado o cubierto por figuras « bastón » de 4 casillas
y de figuras « cuadrado» de 4 casillas también, como las que se muestran seguidamente :
Las casillas de todas las figuras son del mismo tamaño. Ana a invertido la caja y a perdido una de las
figuras « bastón » pero a encontrado, dentro de otro juego, una figura « cuadrado» del mismo tamaño
que las otras. Ella trata de rellenar el fondo de la caja con las figuras que ella dispone ahora. ¿Puede
Ana resolver ?
Nicole Bonnet (1996)
¿Cómo hacer aprender las tablas de multiplicación a
niños que se resisten? Se trata de hacerlos memorizar
de otra manera que « de memoria » en un vaivén de
"aprendo para jugar, juego para aprender", gracias
al juego de la tabla de Pitágoras.
El autor presenta aquí un dispositivo para la formación
inicial y continua, estrechamente vinculado a un
proceso de enseñanza probada en las clases de ZEP.
Además se presentan los comentarios y conclusiones
al analizar la actividad con docentes en servicio.
INTRODUCCIÓN
En el cuadro de trabajo con un grupo de 4to y 5to
año situado en Z.E.P.1 de NEVERS, he puesto en
marcha un dispositivo que apunta al aprendizaje de
las tablas de multiplicación que se apoya en el juego
de la tabla de Pitágoras2, ligeramente modificada.
Describo aquí la manera en que he utilizado este
punto de partida en formación de formadores:
he propuesto un recorrido en cuatro etapas que
pretende la apropiación del juego y un análisis a
priori de dispositivos de enseñanza que se apoyan
en esta herramienta.
* Primera etapa : apropiación del juego
* Segunda etapa : dispositivo de trabajo
* Tercera etapa : puesta en común y síntesis
de las producciones
* Cuarta etapa : complementos y comentarios
Mi presentación se completa con comentarios
consecutivos a la transferencia del proceso en
formación continua de docentes. En último lugar,
presento la puesta en marcha efectiva tal como
ha sido efectuada con un grupo de 4to y 5to año
(alumnos de 9 y 10 años).
Estructuras multiplicativas
PRIMERA ETAPA: APROPIACIÓN DEL JUEGO
POR LOS PROFESORES EN FORMACIÓN
Trabajo de a dos
Fase 1: descubrimiento del juego (20 minutos):
Instrucción:
« Esta es la descripción del juego con una regla
(distribuir el documento 1)³
Disponen de una plancha de juego y cartones.
Jueguen! ».
Fase 2: Identificación de estrategias locales (20
minutos) :
Consigna:
« Ciertamente este no es un juego enteramente
de azar. Identifiquen las estrategias locales y
redáctenlas».
Esta demanda se efectúa para que la formulación y
la enunciación sean mas claras.
El formador pedirá a las parejas que enuncien las
estrategias y las anotarán en la pizarra. Se preveen
dos tipos de formulaciones posibles:
• Las que generan estrategias (tácticas
locales);
• Las que generan conocimientos en
juego.
El formador las anotará en orden cronológico.
Z.E.P. : zone d’éducation prioritaire (zona de educación prioritaria)
1
In : « Jeux 2 », publication A.P.M.E.P. (Association des professeurs de mathématiques de Penseignement public) n° 59
2
³ El conjunto de documentos (numerados de 1 a 10) se encuentra al final del artículo
Observaciones:
Pienso que las estrategias locales no surgirán todas
en esta etapa. Si me equivoco, la fase 3 es inútil.
En ese caso, conviene igualmente clasificar las
estrategias escritas en la fase 2.
Fase 3 : Emergencia más detallada de las
estrategias (10 minutos)
Instrucción:
« Esta es la cuadrícula de un juego ya comenzado
(documento 2), primero van a determinar un jugador
A y un jugador B. Las reglas del juego no son
modificadas, salvo que no se sacan cartas restantes.
Si no pueden jugar más, pasen su turno. Cuando
« ponen un cartón » hay que tachar el número de
su columna y transportarlos a la cuadrícula de abajo
que es la memoria del juego ».
2. Estas diferentes fases permitirán a los profesores
darse cuenta que la correcta comprensión de
un juego necesita un tiempo bastante largo de
apropiación y que se necesita jugar varias veces.
Hacer emerger las estrategias aporta interés al juego:
al no ser un juego de azar total, las estrategias dan al
jugador el poder de ganar. Además éste tendrá interés
por adquirir conocimientos matemáticos (repertorio
multiplicativo, descomposición multiplicativa de un
número, disposición espacial de los números que
figuran en la tabla de Pitágoras, conocimiento del
número de repeticiones de cada número, lectura de
una tabla de doble entrada).
DISPOSITIVO
Presentación del origen de los soportes y del
proceso:
Se trataba de una búsqueda conducida en un
grupo de niveles de 4to y 5to año en la que los
alumnos tenían dificultades en relación a la tabla de
Pitágoras.
El test inicial (documento 3) había dado los siguientes
resultados:
4to año A: promedio 8,6/10
B: promedio 2,5/10
B: promedio 4,8/10
S1: Deshacerse de los cartones demasiado alejados del
juego.
S2: Poner lo antes posible los cartones que existen en
varios ejemplares (conviene entonces mirar su juego,
pero también el de su vecino).
S3: Poner lo más tarde posible los cartones que sólo
existen en un ejemplar (casilleros rayados salvo 4, 9,16
y 36).
ETAPA:
Los profesores se reparten en grupos de 4
personas. Se debe producir un afiche al final de la
exploración.
5to año A: promedio 9,1/10
1. Las estrategias locales son las siguientes:
SEGUNDA
TRABAJO
construir elementos de respuesta al interrogante:
« ¿será necesario conocer la tabla de multiplicación
para jugar o jugar bien para aprender la tabla de
multiplicación? ».
DE
Duración aproximada: 1 hora
Esta etapa debería permitir a los participantes
Observando los resultados del test A, en principio
había pensado que los alumnos no tenían tantas
dificultades, pero el tiempo impartido había sido lo
suficientemente largo para que ellos utilicen otros
procedimientos que la memoria rápida (cálculo a
partir de un múltiplo conocido, conteo con los dedos
o simplemente trampas).
El test B, que pone en juego otras competencias
diferentes a la memorización es más revelador.
Estructuras multiplicativas
El mismo test ha sido propuesto en esta clase luego
de una decena de sesiones de enseñanza. Los
resultados son los siguientes:
4to año A: promedio 9,5 /10; B: promedio 5,5 /10
5to año A: promedio 9,9 /10; B : promedio 9,4/10
Un mejoramiento global puede percibirse claramente
a través de las medias.
Consigna de trabajo para los profesores en
formación:
« Estas son herramientas (documentos 1, 2, 3 (ya
dados), documentos 4, 5, 6, 7, 8), que podrían
servir en un grupo de 4to y 5to año cuyo problema
principal es el aprendizaje de la tabla de Pitágoras.
¿Cuál es la puesta en marcha que consideran? »
2. Diagonal eje de simetría (conmutativa):
8 x 5 = 5 x 8.
3. Frecuencia de repetición de los números.
Hipótesis:
4. Observación de las líneas : diferencia entre
• El trabajo a partir de este juego favorece otra dos naturales consecutivos.
forma de memorización que el aprendizaje de 5. Particularidades de la línea de los 9.
memoria. Se trata de construir el sentido y no
solamente repetir rituales de tipo : « 2 por 3 ●Las unidades disminuyen regularmente de 1 en
hacen 6 ; 8 por 5 hacen 40...»
1, y las decenas aumentan regularmente de 1 en
1.
●La suma de las cifras vale siempre 9.
• El aspecto lúdico es motivante.
●Esta observación desembocará quizás en el
criterio de divisibilidad por 9: solo los números
Observación
cuya suma de las cifras vale 9 son divisibles por
Puede ocurrir que la noción de identificación de 9 (apertura posible hacia la prueba del 9 que
los casilleros, en la tabla de Pitágoras, haya que no es más enseñada en las escuelas, pero
trabajarla nuevamente, pero éste no es el objetivo que puede constituir un objeto de reflexión en
formación inicial).
de este estudio.
●Mostrar una ayuda mnemotécnica para los
TERCERA ETAPA: PUESTA EN COMÚN, niños : tabla de los 9 con los dedos de las dos
manos
SÍNTESIS DE LAS PRODUCCIONES
Duración aproximada: 30 minutos
Ejemplo 9 x 5: se baja el quinto dedo y se lee 45
Exhibición de las producciones de los
profesores y comentarios: Las siguientes
preguntas han sido y podrán ser objeto
de debates:
• ¿Para qué sirve el juego de la tabla de
Pitágoras?
• Según las diversas proposiciones de puesta en
marcha, ¿cuáles son las condiciones subyacentes
que emergen de la enseñanza con alumnos en
dificultad?
• ¿Qué otros intereses además del aprendizaje de
la tabla, ven en este juego?
• ¿Han definido los objetivos previos? ¿Cuáles?
• ¿Porqué han ubicado tal herramienta (documento)
en tal lugar?
• ¿Cuáles son los obstáculos potenciales que
pueden detener a los alumnos, y en este caso
qué apoyos sugieren?
Estructuras multiplicativas
Observación 2 : El documento 5 puede permitir
dos tipos de puesta en marcha :
• problema : búsqueda de las relaciones que
vinculan los números de una cruz, luego
juego de descubrimiento de dos números
desconocidos de una cruz, por ejemplo :
• Observaciones para el formador :
Observación 1 : El documento 4 podría permitir
la elaboración de sesiones en que los niños
re-descubran la tabla de Pitágoras y algunas
propiedades :
1. Intercambios líneas/columnas
9
16
27
Se trata de hacer descubrir (por los profesores en
formación o por los alumnos), la siguiente relación:
En una “cruz mágica” se tiene : a + b = d + e = 2 x c
a
d
c
e
b
para que los niños puedan jugar al juego de
Pitágoras. Pero rápidamente ellos perciben que
pierden tiempo en buscar los productos y que es
mejor conocerlos de memoria. Entonces puede
observarse el siguiente fenómeno :
espontáneamente sin que el maestro lo imponga,
los alumnos aprenden en su casa la tabla « para
jugar mejor e
ir rápido ». El juego sirve de motivación mientras que el hecho de calcular
operaciones no ha finalizado en absoluto para el
alumno. Entonces, memorizan para jugar sin darse
cuenta que finalmente juegan para memorizar las
tablas.
● Encontrar soluciones a la siguiente cruz. Esta
solución se encuentra en la tabla de Pitágoras?
CUARTA ETAPA: COMPLEMENTOS
Algunos participantes
querrán
jugar
nuevamente el juego de Pitágoras, otros
podrán utilizar los documentos 9 y/o 10.
49
•
56
Comprometemos al lector a plantearse la siguiente
pregunta: ¿qué nuevas dificultades surgen?
Observación 3 : El documento 6 permite a los niños
una primera aproximación al juego. Es inútil el análisis
de varias partes para mostrar que A o B pueden
ganar (de lo que los niños dudan en un primer lugar:
ellos piensan frecuentemente que el que comienza
es el vencedor). Ayuda a poner en evidencia las
primeras estrategias del juego. Debería preceder al
documento 2.
Observación 4 : El documento1 7 y el documento2
8 pueden servir para sesiones de apoyo o de
evaluación.
Observación 5 : En respuesta a la
pregunta planteada en la segunda etapa :
« ¿Hay que conocer la tabla de multiplicación
para jugar o jugar bien para aprender la tabla ? »,
pienso que las idas y vueltas tabla / juego se
realizan espontáneamente. La tabla de Pitágoras
(documento 4) puede ser una ayuda, un sostén
Documento3
reconstituir.
9:
puzzle
para
recortar
y
Documento 10 : batalla naval en la tabla de
Pitágoras4 . Este juego tiene por objetivo reutilizar las tablas de multiplicación a fin que no
aparezca el fenómeno de cansancio.
Los niños pueden encontrar dificultades de
identificación de un casillero. En efecto, el casillero
4 X 3 no es el mismo que el casillero 3 X 4. La
expresión oral deberá ser entonces: “12 columna
del 3 o 12 línea del 4”.
•
Estructuras multiplicativas
COMENTARIOS
LUEGO
EXPERIMENTACIÓN
DE
LA
Una experimentación de esta herramienta de
formación ha podido ser llevada a cabo en
formación continua con docentes. Pero las etapas
3 y 4 no han tenido lugar por falta de tiempo.
¹In « Jeux de calcul » du CP au CM2 de F. Boule, éditeur A. Colin
²Según una idea de F. Boule
³Según una idea de F. Boule
4
Juego inventado por N.Bonnet al finalizar el taller
Balance de la etapa 1
Desde la distribución del material (para dos
profesores: un juego de Pitágoras en hoja A4 en
cartón, y un sobre que contiene 100 cartones
numerados), se manifiesta un gran interés que
persiste a lo largo de toda la actividad.
esta clase, el ejercicio B no fue logrado. ¿Quieren
remediarlo? Entonces reúnan los documentos de 1
a 8. ¿En qué orden los introducen? “
Cuatro grupos de cuatro profesores han dado el
siguiente orden de presentación:
Dada la siguiente pregunta: « ¿Se puede mirar
el juego del otro ? » lo que conduce a la idea de
estrategias posibles. Luego los profesores han
trabajado sobre estas estrategias. He aquí algunas
« a granel ». Se trata sea de tácticas, sea de conocimientos necesarios para jugar bien.
• Una apertura del juego, que permite más
posibilidades, consiste en colocar los cartones de
manera dispersa, una vez que son tirados.
• Conocer todas las descomposiciones de los
números de sus cartones (Conocimiento).
• Determinar la frecuencia de un cartón en la tabla
(conocimiento).
• Mirar si hay cartones en la diagonal
(de su juego o el de su adversario) y
guardarlos el mayor tiempo posible si el otro no los ha
pasado (estrategia incompleta porque los números
de la diagonal no tienen la misma frecuencia de
aparición).
• Entre sus cartones, intentar organizar
una línea o una columna para encadenar
sus ubicaciones. Por ejemplo, si se tiene
12, 14, 16, ubicar más bien 12 en 2 x 6
que en 3 x 4 (estrategia).
• Intentar poner mas rápido los cartones
que tienen varios lugares (ver S2 del
recuadro).
• Ubicar desde que sea posible los cartones
en los rincones (¿para bloquear a su
adversario?).
• Eliminar los números repetidos (S2).
• Evitar ubicarse en un casillero adyacente al
casillero rayado.
• Buscar los casilleros rayados (S3).
Se nota con frecuencia que el juego (doc 1) no se
pone al final. Y ningún docente piensa que hay
que conocer la tabla para jugar bien, los maestros
consideran servirse del juego para dar sentido al
aprendizaje.
Proposición de puesta en marcha en un grupo de
4to y 5to año Pre-test y post-test (documento 3)
Sesión 1 : Descubrimiento : La Tabla de Pitágoras
y algunas propiedades. Los niños son invitados a
completar una tabla de Pitágoras, luego a poner
en evidencia propiedades características de ésta.
Ellos se interesan igualmente (por necesidades
posteriores) en la frecuencia de aparición de
ciertos números. (Documento 4)
Sesión 2 : Descubrimiento : ¿Qué números para
qué productos ? Los niños van a descubrir reglas
Estas estrategias locales están implícitas para sobre los productos de dos enteros pares, el
sus autores y se discuten en grupo.Es común producto de dos enteros impares, el producto de
excederse del tiempo previsto, porque cada grupo un entero par y un entero impar. (Documento 4)
de dos personas quiere testear las estrategias que
Sesión 3 : « Una cruz mágica ».
les parecen prometedoras.
Los niños van a descubrir relaciones entre dos
números situados en una misma « cruz », se les
Balance de la etapa 2
La consigna de esta etapa debe ser clarificada propondrá posteriormente descubrir 1 y Iuego 2
valorando la naturaleza del documento 3 : “ En números escondidos.
Estructuras multiplicativas
En una misma cruz. Es una actividad rica en cálculo
mental, que hace funcionar la reversibilidad de las
operaciones y que es motivante por su aspecto
lúdico. (Documento 5)
Sesión 4 : presentación del juego.
Una fase colectiva de presentación del juego. Los
niños son repartidos en dos equipos de 12. Se
enfrentan alternativamente y se apropian poco a
poco de las reglas del juego.(Documento 1)
para
los
números
naturales
de
1
a 10 (placa de cartón duro o de
madera). Los casilleros de la diagonal
principal están rayados.
• 100 pequeños cartones destinados a
ser ubicados en los casilleros y sobre
los que están escritos los productos que deben
figurar en la tabla.
Se tendrá de esta manera, 4 cartones con
el número 12 (para 4x3 ; 3x4 ; 2x6 ; 6x2), 3
cartones con el número 16 (4x4 ; 2x8 ; 8x2), 1
cartón con el número 81 (9x9).
Sesión 5 : Descubrimiento de las estrategias del
juego .
Para ayudar a lo niños a descubrir las estrategias,
les proponemos partes de tablas donde sólo
aparecen números cuyos productos son conocidos.
(Documento 6, Documento 2)
Sesión 6 : juego de a dos.
Los niños se enfrentan de a 2. Ellos re-utilizan
en el juego completo, todos los descubrimientos
matemáticos o estratégicos precedentes. Se trata
de juegos fabricados en formato 40 cm x 40 cm.
Sesión 7 : Tablas incompletas.
Proponemos a los niños (en evaluación formativa)
el juego de la tabla incompleta : se trata de tablas de
multiplicación en las que se ha borrado el contenido
de ciertos casilleros. Las cabezas de líneas y de
columnas no están ordenadas en orden creciente.
(Documento 7)
Sesión 8 : Las tablas-puzzles.
Los niños tienen para construir dos tipos de puzzles
: (Documento 8 ; Documento 9)
Estructuras multiplicativas
Reglas :
●Los cartones se mezclan.
Personalmente no utilicé el Documento 10, que he ●Los jugadores tiran por turno 2 cartones y
fabricado por sugerencia de algunas personas del los ubican en los casilleros convenientes de la
tabla de Pitágoras (de esta manera han puesto
taller, lo ubicaré en la sesión 8.
4 cartones en la tabla).
●Cada uno toma al azar 20 cartones. El resto de
los cartones constituye el puño.
DOCUMENTO 1
Se
juega por turnos.
EL
E JUEGO DE PITÁGORAS
●Un cartón sólo puede ser puesto en un casillero
adyacente (1) a un cartón ya colocado.
Objetivo: mejora del conocimiento de la tabla de ●El que ubica un cartón sobre un casillero rayado
multiplicación. Duración: 20 a 30 minutos
puede poner en el puño un cartón de su elección
entre los que le quedan.
Material para dos jugadores:
●El que no puede jugar tira un cartón en el puño
• Una tabla de Pitágoras de la multiplicación y pasa su turno.
El vencedor es el que primero logra deshacerse
de todos los cartones.
(1) un casillero es adyacente a otro si tienen un
lado en común.
B)
Completa las siguientes tablas.
DOCUMENTO 2
E
EL
L JUEGO DE LA TABLA DE
PITÁGORAS
Regla simplificada : no hay mazo. Si no puede
jugar cede su turno.
DOCUMENTO 4
L
LA TABLA DE PITÁGORAS
Estructuras multiplicativas
DOCUMENTO 3
TEST
A)
Completa las siguientes tablas
DOCUMENTO 5
LA "CRUZ MÁGICA"
DOCUMENTO 7
TABLAS INCOMPLETAS
Se trata de tablas de multiplicaciones a las que se
les ha borrado el contenido en algunos casilleros.
Pero atención: las cabezas de líneas y de columnas
no están ordenadas en orden creciente.
DOCUMENTO 8
TABLA-PUZZLE
Observarán que:
8 + 16 = 9 + 15 = 12 x 2 y que 42 + 54 = 40 + 56 = 48 x 2
Estructuras multiplicativas
Juego simplificado: no hay mazo. Si no puede jugar
cede su turno
DOCUMENTO 6
E
EL
L JUEGO DE LA TABLA DE
PITÁGORAS
DOCUMENTO 9
TABLA-PUZZLE
Estructuras multiplicativas
DOCUMENTO 10
LA BATALLA NAVAL
DE PITAGORAS
El jugador A ubica en la cuadrícula:
* 1 porta aviones de 5 casilleros
* 1 acorazado de 8 casilleros
* 1 crucero de 2 casilleros
* 2 sub-marino de 2 casilleros
* 2 canoas de 1 casillero
El jugador B dice: “ 12 columna del 4 (o 12 línea
del 3)
El jugador A responde: “tocado”
El jugador B dice:” 15 columna del 5”
El jugador A responde: “tocado”
El jugador B dice: “9”
El jugador A responde: “hundido”
El jugador B dice:” 1”
El jugador A responde: “tocado”
El jugador B adopta tres tipos de
anotaciones en la cuadrícula memoria
según sea “tocado” ; “hundido” ; o “lanzado
al agua”.
GEOMETRIA POR PLACER
En esta edición construiremos una hermosa figura
basada en semicírculos.
Conocimientos necesarios:
1 .Bisecar un ángulo o arco
(véase
I edición 2008, página 2).
2. Medición de un ángulo.
3.Trazo de una circunferencia y semicircunferencia.
Paso 1:
Trace un círculo de centro O y radio 3,5 cm. Divídalo
en 12 arcos de 30º cada uno y llame a los puntos
generados con A, B, C …y L respectivamente.
Paso 2:
A partir de O trace semi-rectas que pasen por A, B,
C … y L. Prolongue cada una de las semi-rectas.
Paso 3:
En el sector de circunferencia AB, determine
el punto medio y trace una semicircunferencia
cuyos extremos sean A y B respectivamente.
Haga lo mismo para los sectores BC, CD … y LA
respectivamente.
Paso 4:
Haciendo centro ahora en el punto B trace
una semicircunferencia de extremos A y C
respectivamente. Haga una construcción similar
haciendo centro ahora en los puntos D, F, H, J y L
respectivamente.
Paso 5:
Haciendo centro en el punto C trace una semicircunferencia cuyos extremos sean los puntos
A y E respectivamente. Determine el punto
El procedimiento que ofreceremos posteriormente, donde la semirrecta OC corta a dicha semiserá basado en la siguiente figura que dará base circunferencia, llámelo C1. Haga una construcción
a nuestro objetivo.
similar haciendo centro ahora en los puntos G y K
respectivamente.
Paso 6:
Trace una circunferencia de radio OC1. Llame a
los puntos donde las semi-rectas determinadas en
el paso 2 cortan a esta circunferencia con A1, B1,
…, L1.
C1
B1
D
E
C
F
Paso 7:
B
M
G
A1
A
H
L
K
I
Haciendo centro en el punto medio del arco A1B1
trace la semi-circunferencia de extremos A1 y B1
respectivamente. Haga lo mismo con los arcos
B1C1 , C1D1 , … y L1A1 respectivamente.
J
Dedíquese ahora a pintar para tener la hermosa
figura propuesta.
semirrectas) perpendiculares, con origen común.
En estos segmentos o semirrectas llamados ejes,
se define una escala numérica que permite ubicar o
señalar las coordenadas. En lo que sigue usaremos
el tipo de sistema coordenado que se muestre en
el siguiente diseño, donde obviamente la escala
numérica se escoge de acuerdo con la magnitud de
las coordenadas:
Construcción del concepto de gráfico
en primaria (parte II)
William Castillo E.
Exdirector de Escuela Matemáticas UCR
El material presentado en la primera parte se enfocó
en ejemplos de cómo introducir, desde los primeros
años de primaria, los conceptos de coordenada y
gráfico utilizando cuadrículas (ver variables , págs.
9-15, No 2, 2008). El paso siguiente es lograr presentar
estos conceptos teniendo como referencia un sistema
de coordenadas. Esto se hará con el mismo enfoque,
elaborando diseños para sugerir la idea en forma gráfica
más que a través del discurso. El planteamiento se
caracteriza por ser un proceso ascendente que va de
lo más sencillo y específico (ubicación en cuadrícula),
a lo más complejo y abstracto (ubicación en un sistema
coordenado).
De cuadrículas a sistemas de coordenadas: en una
cuadrícula con filas y columnas numeradas se puede
localizar una celda con sólo dar sus coordenadas. En
este sentido las cuadrículas son una primera forma
de sistemas de coordenados. Si a una cuadrícula se
la despoja de su estructura cuadricular, se obtiene un
sistema de coordenadas más simplificado pero un
poco más abstracto que la cuadrícula:
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2 3 4
5
6 7
8
1
2 3 4
5
6 7
8
En la perspectiva del objetivo de este artículo, es
suficiente decir que un sistema de coordenadas (o
sistema coordenado, o simplemente sistema) se
obtiene trazando en el plano dos segmentos (o dos
El sistema (A) muestra la misma escala en ambos ejes,
mientras que en el sistema (B) cada 2 unidades sobre
el eje vertical, se marcan a igual distancia que cada
unidad sobre el eje horizontal. Decimos, en este último
caso, que la escala es 2 : 1.
Observe los siguientes diseños:
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
( 6,4 )
La representación de (6,4) se ha realizado de 2
maneras diferentes: en (A) tenemos la representación
en una cuadrícula con las celdas numeradas. Para
marcar la celda correspondiente a estas coordenadas
se coloca en ella, el símbolo (el corazón). Esto se hace
contando 6 celdas sobre la primera fila y desde esta
posición, o sea sobre la sexta columna, se cuentan 4
celdas (consultar la revista Variables , págs. 9-15, No
2, 2008). En (B) la representación de (6,4) se hace
marcando el punto de “encuentro” (de intersección) de
los dos segmentos dibujados a trazos. Se debe notar
que el acto de localizar este punto y marcarlo, supone
la habilidad para desplazarse siguiendo líneas y no
columnas como en el caso (A).
C
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0 1
2 3 4
5
6 7
1
3
1
8
Ejercicio 1: Complete utilizando como guía los diseños
anteriores.
D
2 3 4
5
6 7
8
1
1
( 5,2 )
En (C) se repite el diseño (B), y en (D) se borraron las
celdas de la cuadrícula conservando únicamente los
segmentos a trazos para señalar el recorrido que nos
lleva al punto de “encuentro” de ambos segmentos, el
cual se marca con un pequeño círculo negro.
E
F
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0 1
2 3 4
4
( ,6 )
5
6 7
8
2
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
( 6, )
3
1
2 3 4
5
6 7
8
( 4,12 )
En (E) se repite el diseño (D) salvo por el cambio de
escala en el eje vertical. Notemos que con la escala
del eje horizontal se requieren 12 divisiones sobre el
eje vertical para poder marcar el 12, lo que conlleva
una desproporción de las longitudes de ambos ejes,
restándole estética al diseño. El diseño (F) es igual
al (E) salvo porque se han borrado los segmentos a
trazos.
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
( ,2 )
4
6
12
5
10
4
8
3
6
2
4
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
( 1, )
( ,2 )
De coordenadas a gráficos: El acto de unir puntos
en un plano por medio de pequeños segmentos es un
paso previo hacia la construcción de gráficos.
Ejemplo 1: Conectando los puntos se obtiene el
gráfico que aparece posteriormente. Un gráfico como
este representa una tendencia lineal de crecimiento.
Supongamos que este gráfico representa el crecimiento
del tallo de una planta. El primer día que se hace la
medición, el tallo mide 2 centímetros, el segundo día
mide 3 centímetros y así hasta el cuarto día cuando el
tallo mide 5 centímetros. Si la tendencia de crecimiento
se mantiene entonces, sin necesidad de esperar que
llegue el quinto día, podemos afirmar que el tallo medirá
6 centímetros. Este es el principio de la extrapolación
(o pronóstico) lineal. Esta operación se indica sobre el
gráfico a la derecha prolongando a trazos el segmento
hasta el punto sin relleno.
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
5
4
1
2
4
4
2
2 4
1
2
3
5
4
6
Ejemplo 2: La información numérica que aparece en la
tabla a la izquierda, se representa como puntos, luego
estos se unen por medio de segmentos y finalmente
se borran las líneas a trazos que han servido de guía
para dibujar los puntos.
5
6
2
1
0
5
4
4
3
3
2
2
1
1
3
3
3
5
2
4
5
6
1
2
3
5
4
6
0
5
4
4
3
3
2
2
1
1
2
3
4
3
2
2
1
1
1
3
2
5
4
0
6
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
6
0
7
1
1
3
2
2
3
5
4
4
5
6
6
7
5
6
7
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1 2
3 4 5 6
7 8 9
0
1 2
3 4 5 6
7 8 9
Histogramas: Los histogramas son un tipo de gráfico
usado para representar distribuciones de frecuencias.
5
1
4
3
6
0
1
2
3
5
4
6
Ejemplo 3: Conectando adecuadamente los puntos
dibujados a la izquierda y borrándolos seguidamente,
obtendrás la figura dibujada a la derecha.
0
4
4
6
1
5
0
0
5
6
0
6
5
0
6
1 4
3 3
5 2
6
0
0
6
Ejercicio 2: Complete utilizando como guía los diseños
del Ejemplo 2.
0
1
2
3
4
5
6
7
Ejemplo 4: La tabla siguiente indica la cantidad de
bolas de vidrio de los diferentes colores, que tiene
Andrés.
Color Azul Rojo Verde Amarillo Celeste Naranja Morado
Nº de
bolas
2 4 7 10 8 6 3
Para representar gráficamente estos datos se dibuja
un sistema de coordenadas y 7 barras verticales de
igual ancho y cuya altura representa (o es proporcional
a) la cantidad de bolas del color correspondiente.
Se nota que sobre el eje vertical se usa una escala
numérica acorde con la variación de los datos. Sobre
el eje horizontal se indican los colores, por lo que no
hay una escala numérica.
10
10
8
9
7
8
7
6
6
4
5
4
2
3
2
"
[
V
M
1
3
P
K
P
7
F
S
E
F
"
N
B
S
J
M
M
P
$
F
M
F
T
U
F
3
/
B
S
B
O
K
B
.
P
S
B
E
P
Ejercicio 3: En un torneo de fútbol participaron 6
equipos: A, B, C, D, E y F. En el histograma siguiente
se ha representado el puntaje que cada equipo obtuvo
al finalizar el torneo. De acuerdo con el histograma
complete la tabla de la izquierda. ¿Cuáles son los
equipos que comparten el segundo lugar?
11
10
Equipo
Pts
9
8
A
B
7
6
5
4
B
E
3
2
2
1
A
B
C
D
E
F
Comentario final:
Con la presentación del tema “construcción de gráficos
en primaria”, no solo intentamos aportar un material
didáctico de apoyo a la docencia, sino que, además,
abordamos el tema bajo un enfoque que nos parece
acorde con la naturaleza de la disciplina matemática y
con su didáctica en el nivel de la escuela primaria. En
este enfoque se descubren al menos las tres siguientes
características:
1. Se ofrece al lector una idea global y completa
(en cierto sentido) del tema tratado, contrario a lo que
sería una formación fragmentada y sin una perspectiva
de desarrollo.
2. Respeta el orden ascendente del avance de
la ciencia matemática, partiendo de lo más concreto
hacia lo más abstracto. Por eso, dicho en pocas
palabras, debemos avanzar desde los desplazamientos
y ubicación en cuadrícula, pasando por la habilidad
para dibujar puntos en una cuadrícula o en un sistema
coordenado y conectarlos mediante segmentos; hasta
conseguir la representación de datos mediante gráficos
y su interpretación.
3. Se enfatiza el uso de diseños gráficos para
transmitir las ideas. Esto es, en el aula se debería buscar
un buen balance entre el discurso y las representaciones
gráficas, a fin de facilitar el aprendizaje, especialmente
en los primeros años de la escuela primaria.
Desde luego el objetivo último del material, es ser de
utilidad para el docente en su trabajo cotidiano en el
aula. Este objetivo sólo puede ser alcanzado, si al
mismo tiempo se desarrolla un vínculo de carácter
académico y docente con maestras y maestros, a
través de programas de actualización y formación.
Es en ese contexto donde la producción de material
didáctico adquiere todo su sentido, pues se convierte
en un instrumento para la formación docente, el cual
puede ser sustancialmente mejorado con el aporte
experto del docente de primaria, así como mediante
validaciones en las aulas escolares.
Por último nos referimos a la importancia del tema
“construcción de gráficos”, la cual se manifiesta en dos
vertientes:
1. Una primera vertiente se refiere a las
necesidades de la vida cotidiana. Las personas
estamos permanentemente expuestas a los medios
de comunicación (televisión, periódicos, etc.) donde se
hace uso de distintos tipos de gráficos para representar
tendencias y otros fenómenos. Es entonces deseable,
que los lectores tengan una base de conocimiento que les
ayude a realizar una lectura crítica y correcta. También
hay utilidades más sofisticadas tales como: software
para hacer gráficos (Excel y otros), en estadística
(análisis de datos univariados y multivariados) y el
“análisis técnico”, que es una metodología de análisis
de las tendencias de los mercados financieros, basada
en la construcción e interpretación de gráficos por
computador.
2. La segunda vertiente se refiere al entorno
académico de los estudiantes. En la escuela
secundaria, y después en las aulas universitarias, se
abordará el estudio de “funciones, sus propiedades
y gráficos”, de manera que muchos estudiantes
estarán expuestos a estos temas por varias años en
el futuro. El enfoque metodológico seguido en los
textos “Construcción de gráficos en primaria, parte I y
parte II”, nos conduce de manera natural, y no de una
manera “atropellada”, a la formulación del concepto
de función y temas conexos. Este, nos parece, es
un aporte sustancial de la metodología que hemos
discutido.
GEOMETRÍA Y ARTE
Los teselados
Marie-Christine Petitdemange.
Liceo Franco Costarricense
Todas las culturas han utilizado simetrías, traslaciones y rotaciones en sus manifestaciones artísticas.
Han jugado, casi siempre con sorprendentes resultados estéticos, con los movimientos en el plano.
Los movimientos en el plano se hacen en los mosaicos que rellenan el plano. Es imposible no
mencionar en este punto al gran artista holandés, Maurits Escher.
Hoy en día, la obra de Escher es mundialmente conocida, una de sus creaciones, los teselados,
constituye un buen punto de partida para la introducción y la aplicación de los movimientos del
plano.
Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación, cubren
una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras
yuxtapuestas.
A continuación se presentarán algunos métodos para enseñar a los alumnos a construir sus propios
teselados que pueden constituir lindos adornos para el aula.
El método consiste en dibujar un motivo en una figura base y luego reproducirlo por medio de traslaciones
y rotaciones. En los ejemplos siguientes, la figura base es un paralelogramo.
CONSTRUCCIÓN
NOTA
Primer tipo
Las uniones.
Los dos teselados anteriores son del mismo tipo,
el primero está constituido de elementos aislados
mientras que el segundo está constituido de
dibujos unidos (siempre existe un camino entre
dos puntos cualquiera). Entonces ¿cómo se debe
escoger el dibujo inicial para que el coloreado
entero sea continuo?
Es un asunto de uniones. El motivo inicial tiene
que intersecar por lo menos una vez, cada uno
de los cuatro lados del paralelogramo y respetar
la disposición siguiente:los puntos de intersección
del motivo con los lados del paralelogramo debe
mantenerse en cada uno de ellos en todo el
teselado.
Ahora construya su propio teselado, usando la
trama siguiente: Se dibuja el motivo inicial en el
paralelogramo sombreado y luego se completa
por traslaciones, con papel para calcar.
Segundo tipo
Ahora construya su propio teselado, usando la trama siguiente: se dibuja el motivo inicial en el
paralelogramo sombreado y luego se completa por el giro de 180o y luego realice traslaciones, con
papel para calcar.
Para realizar el giro, después de calcar la figura inicial, se clava con la punta de un compás las dos
hojas en el punto O y se le da media vuelta a la hoja para calcar hasta llegar al paralelogramo situado
a la derecha del primero.
Existen muchas maneras de pavimentar el plano. En ediciones posteriores se presentarán otros
teselados.
los 4 colores se reduce al estudio de 1478 casos,
para probar la propiedad en cada uno de esos
casos a requerido de 1200 horas de cálculo de
ordenador.
El teorema de los 4 colores.
Jean Pierre Escofier
Professeur d l´ Université de Rennes 1.
Un estudiante inglés, Francis Guthrie, es quien
ha dado origen a este teorema. En 1852, él ha
planteado que 4 colores son suficiente para poder
colorear un mapa, bastante complejo, de los
condados de Inglaterra sin utilizar el mismo color
en dos cantones que tengan en común una parte
de la frontera. El solicita a su hermano Frederick,
estudiante de matemática, si esta propiedad
se puede generalizar. Frederick no encuentra
respuesta a lo planteado y habla a otros colegas
matemáticos quienes tampoco pueden dar
solución al problema.
En 1878 y 1880, dos demostraciones al problema
de los 4 colores se proponen en forma simultánea,
una por Alfred Kempe (1849 – 1922) y Peter
Tait (1831-1901). Diez años después estas
demostraciones son puestas en duda por Percy
Heawood (1861 – 1955 ) y Julius Peterse (1839
– 1910) quienes descubren deficiencias en cada
una de las soluciones ofrecidas. Heawood se
apasiona por el tema, se basa en el trabajo de
Kempe en para el caso de 5 colores y encuentra
resultados en otras superficies y se dedica durante
los siguientes 60 años a pensar sobre el tema, de
estas reflexiones, simultáneamente, desarrolla un
campo importantísimo de las matemáticas llamado
Teoría de Grafos.
Durante los siguientes años, un importante número
de matemáticos y de aficionados a la conjetura
de los 4 colores, obtienen resultados parciales.
En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel, de
la Universidad de l´Illinois al sur de Chicago,
concluye que la demostración de la conjetura de
Esta utilización de ordenadores, que hacen cálculos
programados por el hombre pero no verificables
manualmente, a conducido a la comunidad
matemática a interrogarse sobre la valides de una
demostración. En 1995, N. Robertson, D. Sanders,
P. Seymour y R. Thomas han logrado reducir el
número de casos a 633, pero la utilización del
ordenador para hacer los cálculos es todavía
necesario. ¿Alguien ofrecerá una demostración
que no requiera del ordenador ?.
Seguidamente ofrecemos dos ejercicios :
1. Colorear con 4 colores el mapa ofrecido en el
dibujo 1.
2. Se puede todavía colorear con 4 colores el
mapa del dibujo 2 si se supone que uno de los
países no está relacionado y está formado de dos
zonas z y z´ ?
Juego Matemático y Estrategia.
Jean Michel Le Laouénan.
Con muy buen suceso se ha realizado el día
del juego matemático realizado por el Programa
Francés para la Enseñanza de las Matemáticas en
coordinación con la Universidad Americana (UAM).
El evento se desarrolló en las instalaciones del
Liceo Franco el sábado 1 de noviembre. Cuatro
charlas taller se ofrecieron complementadas por
una sesión de juegos lógicos desarrollados por
estudiantes de la Universidad de Costa Rica.
Materiales: un tablero en cartón (no es necesario
pero es adecuado)
20 fichas: 10 enumeradas con el número 1 y 10
enumeradas con el número 2.
Jugadores: dos
Docentes provenientes de escuelas, colegios y
universidades se inscribieron y participaron de las
siguientes charlas ofrecidas:
● Juego matemático y estrategia. Jean Michel Le
Laouénan. Francia.
● Pasatiempos, Magia y Matemáticas. Luis
Valverde. UAM.
● Una Olimpiada de juegos Matemáticos. MarieChristine Petitdemange. Liceo Franco.
● Haciendo pequeños Matemáticos. Reynaldo
Jiménez. Academia de Matemáticas AMP.
Hemos seleccionado de cada uno de los talleres
una de las actividades realizadas como ejemplo
ilustrativo del evento.
Dado el éxito del evento para el 2009 la jornada
de trabajo se aumentará a dos días para poder
tratar, además del juego matemáticos, temas
específicos afines al quehacer de la enseñanza
de las matemáticas.
Desarrollo: Los niños colocan aleatoriamente las
fichas en el tablero o sobre la mesa.
Dos niños van, turno a turno, a tomar dos fichas
del tablero o mesa respetando las siguientes
reglas:
Devuelve una ficha 1 si las dos fichas
tomadas tienen igual número.
• Devuelve una ficha 2 si las dos fichas
retiradas tienen diferente número.
Al final del juego sólo quedará una ficha en el
tablero. Si la ficha es 1, el primer jugador gana, si
la ficha es 2 es el segundo jugador el ganador.
Ahora a jugar y buscar la estrategia ganadora.
•
cerrada.
Una vez realizado lo anterior, haciendo acto
de concentración, el gran mago enuncia el
número de objetos que contiene la caja 2.
Solución: en la caja 2 siempre quedará 3x con x
el número obtenido como suma de los dados
imaginarios.
Pasatiempos, Magia y Matemáticas.
Luis Valverde.
Materiales:
Tres cajas enumeradas. La caja dos con una tapa.
Un número suficiente de objetos: fichas o cuentas
por ejemplo. Dos dados imaginarios.
Desarrollo:
Coloque las cajas en un lugar visible e invite a dos
personas a pasar al frente para realizar el truco.
Solicite a los voluntarios a realizar lo siguiente
mientras el mago se aparta de las cajas para no
presenciar el proceso:
Marie-Christine Petitdemange.
Liceo Franco Costarricense
Existen muchos torneos, concursos, olimpiadas
de matemática en el mundo. Estas competencias
tienen mucho éxito en los estudiantes,
contribuyendo a desarrollar su motivación hacia
la matemática. Estos concursos están previstos
para los mejores alumnos.
Cada año, los alumnos de muchas clases en
el mundo participan al concurso Canguro,
competencia individual que consiste en una
prueba de marcar con equis.
La fórmula escogida en el rally es un poco
diferente:
• No es una competencia individual, sino grupal.
• No está destinada a los mejores alumnos sino que
a todos los alumnos. Es una búsqueda colectiva
de problemas o enigmas suficientemente variados
para que todos los alumnos puedan participar.
Se trata de una competencia entre clases de una o
varias escuelas cuyo objetivo no sólo consiste en
resolver problemas de matemática sino también
medir la capacidad de iniciativa y organización de
una clase.
1) Depositar en cada una de las tres cajas un
mismo número de objetos. Preferiblemente
mayor que 15 para hacer más interesante
el truco.
Posteriormente solicite a una persona del
auditorio que lance dos dados imaginarios
que los sume y comunique en voz alta el
resultado.
2) Ahora los voluntarios deben sacar de las
cajas 1 y 3 el número de objetos citados
anteriormente y depositarlos en la caja 2
(nótese que el número anterior no puede
ser mayor que el número de objetos, que
contiene cada caja).
3) Sacar de la caja 2 tantos objetos como
quedaron en la caja 3 y depositarlos en la
caja 1.
Ejemplo de problemas planteados en un rally del
4) Finalmente solicite que se separen las Liceo Franco:
cajas, quedando solamente la caja 2 bien
1. Subiendo la escalera.
Para subir una escalera, se puede subir las gradas
una por una o saltar una grada (se hacen pasos
de una o dos gradas máximo).
Por ejemplo, para subir 3 gradas, hay tres maneras
diferentes:
¿De cuántas maneras diferentes se pueden subir
6 gradas?
Se quita una bola de por medio. Quitando la bola
1, se quitaría luego la 3, la 5 y así sucesivamente.
Continúe quitando de bola por medio hasta que
quede una sola bola.
¿Cuál es el número de esta última bola?
Reynaldo Jiménez.
Academia de Matemáticas AMP.
2. Cubitos
Vamos a evitar usar ecuaciones en la solución de
Con cubitos, se construyó un cubo como el que los problemas, las sustituiremos por un método
se ofrece:
que nos permita transformar el enunciado en
imágenes, las cuales representaremos con
diagramas, construidos de tal manera que nos
permitan hacer las interpretaciones necesarias
para encontrar el hilo conductor, que nos dirija por
el camino correcto hacia la solución y, además,
nos construya las redes neurales requeridas
para aumentar la velocidad de pensamiento y la
intuición. Veamos la aplicación del método.
Con un taladro, se perforó el cubo de lado a lado
al centro de cada cara.
Luego, se desarma el cubo.
¿Cuál es el número de cubitos que quedaron sin
hueco?
3. Las bolas de tenis
Treinta y seis bolas de tenis, numeradas de 1 a 36
están colocadas en círculo en
este orden.
OBJETIVOS:
1. Fortalecer la perseverancia en la búsqueda de
la solución de un determinado problema.
2. Desarrollar la capacidad y la destreza para
pensar independientemente, buscando la
originalidad.
3. Desarrollar habilidad para aplicar conocimientos
elementales y mecanismos de trabajo en la
solución de problemas.
4. Desarrollar destrezas para construir nuevas
técnicas e instrumentos de trabajo para aplicarlas
a situaciones desconocidas.
Ejemplos:
1. Una corbata y una camisa cuestan ¢5000. La
camisa vale ¢2000 más que la corbata ¿Cuánto
vale la camisa?
2000
P. camisa
+
= 5000
P. corbata
Los 3000 restantes los distribuimos
en las dos partes iguales que faltan
por completar en el diagrama
5000 - 2000 = 3000
3000 ÷ 2 = 1500
2. Una docena de galletas y un pan cuestan 120 colones. Media docena de galletas y dos panes
cuestan 120 colones ¿Cuánto vale un pan?
Problema de los tres vasos (solución)
Página 19 Variables II edición 2008.
Solución: la tripleta (8,0,0) indica el estado inicial.
Es decir, hay 8 onzas de agua en el vaso A y 0
onzas en B y 0 onzas en C. La solución que se
presenta consta de 6 pasos y cada paso se indica
con una flecha. Por ejemplo (8,0,0)→(3,5,0)
significa pasar 5 onzas de agua del vaso A al vaso
B, quedando por lo tanto 8 – 5 = 3 onzas en el vaso
A y 5 en el B. La solución es: (8,0,0)→(3,5,0)→
(3,2,3)→(6,2,0)→(6,0,2)→(1,5,2)→(1,4,3).
Soluciones a los ejercicios sobre
el Principio de Dirichlet.
Pagina 8 Variables
II edición 2008.
Manzanas, manzanas y manzanas
Un jardinero ha recolectado manzanas de tres
variedades que él ha repartido, sin mezclar las
variedades, en 25 cestas. Mostrar que debe
haber al menos 9 cestas que contienen la misma
variedad de manzanas.
Solución:
El principio de Dirichlet generalizado afirma lo
siguiente:
Si k x n +1 conejos son repartidos en n jaulas,
entonces al menos una de esas jaulas contiene al
menos k + 1 conejos.
Aplicamos este principio a nuestro problema
considerando que los “conejos” son en este caso
las tres variaciones de manzanas y que las “jaulas”
son las cajas dentro de las cuales las manzanas
se han repartido. Tenemos entonces n=3 y k = 8
(dado que 25 = 8 x 3 + 1). Tenemos entonces al
menos 9 cajas ( 8 + 1 ) que contienen la misma
variedad de manzanas.
Claire y sus diferencias
Claire ha escogido 8 números enteros diferentes
y estrictamente superiores a 0 e inferiores a
16. Enseguida ha escrito todas las parejas de
números que ella ha podido constituir con esos 8
números enteros. Finalmente Claire ha calculado,
para cada una de esas parejas, la diferencia de los
dos números que la componen (el número mayor
menos el menor). Demuestre que, entre todas la
diferencias, Claire ha podido encontrar al menos
tres que son iguales.
Solución:
Puesto que todos los enteros escogidos son
distintos y comprendidos entre 1 y 15, hay un
máximo de 14 posibilidades para los diferentes
cálculos hechos por Claire: de 1 a 14. Esos 14
números serán las “jaulas” donde meteremos los
“conejos”. ¿Qué jugará el rol de los “conejos” en
este problema?. Sin duda que serán todas las
diferencias calculadas por Claire. Remarquemos
que hay 28 formas de escoger una pareja de
números diferentes dentro de un conjunto que
contiene 8. Se debe entonces distribuir 28
diferentes cálculos hechos por Claire entre las 14
“jaulas”. Notemos finalmente que un solo par de
números está asociado a la “jaula” que tiene el
número 14 (el par (15 ; 1) ). Entonces, en las otras
13 “jaulas” se encuentran distribuidos al menos 27
“conejos”.
Es suficiente constatar que 27 = 2 X 13 + 1
para concluir, gracias al teorema generalizado
de Dirichlet que al menos una de las 13 “jaulas”
contiene al menos 3 “conejos”.
?
Instituto
de las
Investigación
Matemáticas.
Enseñanza
Rennes,
Francia
Enseñanza
Instituto Investigación
Rennes, Francia
de las Matemáticas.
Instituto Investigación Enseñanza
de las Matemáticas. Rennes, Francia