Problema 5 - Matemáticas

Matemáticas para Economistas II
LECCIÓN
5.MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN
A
LA
PROGRAMACIÓN
PROBLEMA 5
Dado el problema de programación matemática:
Optimizar x - y
s. a
x2 + y2 ≤ 4
x+y≥0
x≥0
a) Resuelva gráficamente el problema planteado.
b) ¿Podemos asegurar la existencia de soluciones?
c) ¿Se puede asegurar que los óptimos obtenidos son globales?
d) Indique las restricciones activas en los óptimos.
Solución:
a) La gráfica de dicho problema aparece al final de este fichero, donde el conjunto
de oportunidades se encuentra coloreado en verde. Vemos cómo dicho conjunto viene
delimitado por una circunferencia centrada en el (0, 0) y de radio dos y por la recta y =-x,
quedándonos con aquellos cuadrantes donde la variable x toma valores positivos.
En cuanto a las curvas de nivel son rectas de la forma x – y = α, las cuales van
perpendiculares a la dirección del gradiente que es el vector (1, -1) creciendo en la dirección
de ese vector, luego, la primera vez que tocan al conjunto de oportunidades lo hacen en el
punto (0, 2), mínimo del problema, y la última vez lo hacen en el punto de corte de la recta
con la circunferencia, luego para calcular el máximo debemos resolver el sistema:
x2 + y2 = 4
x+y=0
del cual obtenemos dos soluciones (√2, -√2) y (-√2, √2), pero el segundo punto no es
admisible porque la coordenada x resulta negativa, y además, en la gráfica se puede ver que
la última vez que las curvas de nivel tocan al conjunto de oportunidades lo hacen en un
punto perteneciente al cuarto cuadrante, es decir, un punto donde la coordenada x debe ser
positiva y la coordenada y negativa, por lo que el máximo se encuentra en (√2, -√2).
b) Ya hemos visto gráficamente que el problema posee solución, con lo cual
podemos contestar claramente a esta pregunta que sí, pero supongamos que no lo hemos
resuelto y que nos preguntan esta cuestión. Entonces podemos utilizar el teorema de
Weierstrass para ver si podemos afirmar que el problema tiene solución sin resolverlo ya
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que dicho teorema nos proporciona condiciones suficientes para asegurar la existencia de
mínimo global y máximo global.
Dicho teorema requiere que la función objetivo sea continua y que el conjunto de
oportunidades sea compacto (cerrado y acotado) y no vacío. En nuestro caso podemos
confirmar que la función objetivo es continua puesto que es lineal y en cuanto al conjunto
de oportunidades podemos decir que es cerrado porque contiene a su frontera, ya que todas
las restricciones del mismo contienen la igualdad. Para ver si es acotado necesitamos la
gráfica, en la cual podemos ver que el conjunto se puede encerrar en una bola de radio finito
por lo que sí es acotado y además vemos que no es vacío. En conclusión, podemos afirmar
que el teorema de Weierstrass se cumple y que el problema posee mínimo global y máximo
global.
c) En el apartado anterior hemos visto que el teorema de Weierstrass se cumplía
luego, asegurábamos la existencia de mínimo global y máximo global, por lo que los puntos
obtenidos serán los globales. Pero para responder a la cuestión planteada en este apartado
también podemos aplicar el teorema Local-Global, el cual nos proporciona condiciones
suficientes para asegurar que un óptimo local obtenido es global.
Dicho teorema requiere que el conjunto de oportunidades sea convexo, cosa que
nuestro conjunto verifica puesto que, si nos fijamos en su gráfica, podemos concluir que,
dados dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une también pertenece al
conjunto. En cuanto a la función objetivo, el teorema exige la continuidad de la misma,
verificándose en nuestro caso ya que la función es lineal. Entonces, si esta es convexa
podremos afirmar que todo mínimo local que encontremos será global, y si es cóncava
diremos que todo máximo local será global. En nuestro problema, al ser una función lineal
es tanto cóncava como convexa, luego el teorema se verifica tanto para mínimo como para
máximo, con lo que podemos asegurar que los puntos obtenidos en el apartado a) son
óptimos globales.
d) Al ser las restricciones activas aquellas que el punto verifica con igualdad, vemos
que las restricciones activas para el mínimo, el punto (0, 2), son la primera y tercera,
mientras que las correspondientes al máximo, el punto (√2, -√2), son la primera y segunda
(recordemos que lo hemos obtenido precisamente del sistema formado por dichas
restricciones tomadas con igualdad).
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CONJUNTO DE OPORTUNIDADES
CURVAS DE NIVEL
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