Theta Vacua
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Theta Vacua Miguel Ignacio Díaz Ramírez 17 de Junio de 2015 Indice Parte 1: Fenomenología Qué es el Vacio theta? Qué son los Instantones? Relación Instanton – Vacio theta: Analogía Parte 2: Descripción matemática �− Se usa el parametro � para describir la degeneración del vacio en las teorías de YangMills no abelianas. se describe como una El � − superposición de estos sectores topológicos no equivalentes. � = � Donde n es el numero de winding. Es una pseudopartícula que aparece como solución de la ecuación de movimiento en espacio euclideo de la teoría clásica de campo. Este instanton se interpreta como la probabilidad de transición entre los distintos vacios. (Efecto tunel) �í Consideremos una partícula moviéndose sobre un potencial de altura finita. El estado de mínima energía se encuentra infinitamente degenerado. Los estados se encuentran conectados por el efecto tunekl : �ozo de potencial Primero encontramos la solución para un pozo de potencial. Tenemos el hamiltoniano = + Definimos la integral de camino de Feynman como: � −� /ћ = /ћ � En el lado autoestados . � izquierdo: −� /ћ −�� /ћ = En el lado derecho: = / − / expandimos [ � + ] en : donde � / = = / → − / = �; + − / = �ћ − = � Buscamos los puntos críticos del lado derecho. Por simplicidad asumimos que solo existe uno . Escogemos que variacional de S. � �� = �� = =− + sean autofunciones del segundo � �� − � + � �� Entonces expandimos el lado derecho para el límite de ћ pequeño. � −� /ћ = Imponemos = → Donde = = � = − � /ћ det − = = = = � det − ′′ − − � /ћ → + *Nota: Para ahorrar espacio supondremos que [ + + � [ + ′′ − ћ ] tiene un mínimo en − = �ћ � − ћ ] se encuentra presente durante el desarrollo. Queremos resolver Y − − −� /ћ −� /ћ − : = = −� /ћ −� /ћ − Con ± los mínimos. Buscamos soluciones donde la partícula pase de un mínimo − en − a en �� � = = = �� � + ; − � ′ → − La solución se llama instanton con centro en Procedemos a buscar la acción del instanton. = [ = + ]= − Por otro lado podemos aproximar = Para t grande. − → − ∝ −� Los instantones consisten en una serie de n objetos localizados entre − / y / *Nota: Parecen curvas discontinuas debido a la escala de tiempo T comparado con la longitud del instanton. Para n objetos los suficientemente separados = La solución de la integral está dada por �ћ � − � También integramos sobre las temporales de todos los instantones. / − / − / … − �− posiciones = ! − −� /ћ = �ћ −� /ћ = − �ћ − − − � � − − � � − ћ ! − ћ ! ± −� /ћ − = �ћ � − [exp � Comparando con el lado izquierdo ± Donde � � −ћ +± −� /ћ → − = ± −�� /ћ = ћ ± ћ� es el término detunneling. = +± = = − −− �ћ − ћ ∓ −� ± − ћ =− + +− − ћ ] : � Evaluemos solo un punto crítico. Por invarianza de traslación temporal existe una autofunción de autovalor cero. �� =− → = + − Por la traslación del centro = / → / tenemos que = � Por lo tanto �ћ − = Sin contar el autovalor cero −� /ћ = − �ћ − /ћ = �ћ det ′ − + ′′ *Nota: la ‘ en el determinante indica que se debe evitar el autovalor cero al evaluar. − � Comparando encontramos que �= �ћ det − det ′ − + + ′′ : Suponemos los puntos críticos sean enteros por simplicidad. La diferencia principal con el problema anterior es que un instanton puede saltar de = a = + . ó ó El número de instantones menos el número de anti-instantones debe ser igual a el cambio en x entre la posición inicial y final. + = −� /ћ �ћ − − � ∞ ∞ = ñ= � − ћ ! ñ! +ñ −ñ− + + − Usando la identidad + −� /ћ Por lo tanto Y − = � = �ћ � � − � = � � � � − ó / � � −− + / � × exp � ћ + ћ cos � � = �ћ � � − ћ − ћ cos � : ú � Queremos estudiar la convergencia de la integral de acción. a través de grandes Esta depende de valores de r, donde r es la variable radial en el espacio euclideo. puede expandirse en series Asumimos que de ú Para que la acción sea finita, mas rápido que → ~ necesariamente ~ =� �− + � debe caer , pero no Donde g es una función de espacio euclideo a G. (Solo depende de variables angulares). Esto es el equivalente a mapear → ú � Esta operación no es invariante de gauge, dado que bajo ℎ y →ℎ ℎ− + ℎ � → ℎ� + ℎ− Pero h debe ser continuo en todo , es decir de r desde cero a infinito. En particular h en el origen debe ser una constante independiente de angulos. ú � h en el infinito se puede obtener desde h=1 bajo deformación continua. Es decir buscamos grupos homotopos invariantes de gauge del mapeo descrito anterior. ú � Comenzando con algo simple. Estudiamos bajo la transformación , pero es homotopo de así que estudiamos → � � � = � � = � = � � � = � ú � ú � El número de winding se define como �= � � �� �− / � Donde se puede demostrar que es invariante bajo deformación. � �− �= � � / � =− � / � El cambio desaparece en la integración. ú � � � =� � � � →� =� +� Definimos Lo que da = � = lim →∞ � � � ú Por teorema de Gauss �= �= � � � � ú Ahora generalizamos para Topológicamente estudiamos → �= + � � ∙ �, � = = + = � es + ∙� / � entonces = ú El número de winding se define como � �= � � � 8� Donde � , � , � parametrizan Para cualquier representación de �=− Para � � � � � � � � �− + � �− + � �− � �− � �− � �− � �− = − � � �− � �− � �− = − Dado que el área de una hiperesfera es � obtenemos �= ú También � � = � � � � → � = � + � Por último si definimos = = � = = ≡ � , , , � � � � + = − , � � � , � � Evaluamos ú , � = El primer termino de aporta , el segundo termino da el número de winding salvo una constante , = � � Para finalizar , + , �− , , = = + , ,� = [ − � ] , − , , , , , Gracias por su atención Person
